U paragrafima 8.2.1 pokazalo se da su algebarski koncepti sredstva generalizacije, jezik opisa aritmetičke operacije. Koncept matematičkog izraza je drugačije prirode od pojmova sabiranja, oduzimanja, množenja i dijeljenja. Relacije između ovih pojmova mogu se smatrati odnosima forme i sadržaja: matematički izrazi su jedan od oblika simboličkog, pisanog označavanja aritmetičkih operacija. Numerički izraz se takođe može smatrati jednim od oblika broja, jer svaki numerički izraz ima jednu numeričku vrijednost - broj.
Izrazi se pojavljuju u nastavi matematike čim se u prvom razredu pojave zapisi oblika 2 + 3, 4 - 3 kada se uči real
jednačine sabiranja i oduzimanja. Prvo se tako zovu: zapis sabiranja, zapis oduzimanja. Kao što znate, ovi unosi imaju i vlastita imena: „zbir“, „razlika“, koji se mogu uvesti u jednoj lekciji zajedno sa odgovarajućim radnjama ili nakon nekog vremena. A koncept izražavanja treba učiniti predmetom proučavanja tek nakon što studenti već imaju određeno praktično iskustvo u radu sa takvim zapisima. U ovom slučaju, nastavnik može u svom govoru koristiti izraz „izraz“, ne zahtijevajući od djece da ga koriste, već ga uvodeći u pasivni vokabular učenika. Upravo to se dešava kada Svakodnevni život kada djeca čuju novu riječ koja se odnosi na vizuelno istaknuti predmet. Na primjer, pokazujući na zapise sabiranja i oduzimanja nekoliko lekcija nakon uvođenja ovih radnji, nastavnik kaže: „Pročitajte ove zapise, ove izraze: ...“, „Pronađite u udžbeniku pod brojem ... izraz u kojem trebate oduzeti tri od sedam. ...”, “Pogledajte ove izraze (pokazuje na tabli). Pročitajte onaj koji vam omogućava da pronađete broj 3 veći od 5, koji sadrži broj 3 veći od 5; 3 manje od 5".
Prilikom proučavanja numeričkih izraza u osnovna škola razmotrite sljedeće koncepte i metode djelovanja.
Koncepti: matematički izraz, numerički izraz (izraz), vrste numeričkih izraza(u jednoj radnji iu više radnji; sa i bez zagrada; sadrži radnje jedne faze i radnje dvije faze); numerička vrijednost izraza; poslovnik; poređenje odnosa.
Metode djelovanja: čitanje izraza u jednom ili dva koraka; snimanje izraza iz diktata u jednom ili dva koraka; utvrđivanje redosleda radnji; izračunavanje značenja izraza prema pravilima redosleda radnji; poređenje dva numerička izraza; transformacija izraza - zamjena jednog izraza drugim jednakim njemu na osnovu svojstava akcija.
Uvođenje pojmova.Lekcija o upoznavanju pojma izraza Korisno je započeti razgovorom o bilješkama. Koje vrste zapisa postoje? Zašto ljudi pišu? Zašto učite pisati? Koje bilješke vodimo kada učimo matematiku? (Deca se okreću svojim sveskama, udžbeniku, unapred pripremljenim karticama sa primerima beležaka iz onih koje su učenici pravili tokom perioda obuke.) U koje grupe se mogu podeliti beleške pri učenju matematike?
Kao rezultat ove diskusije, fokusirali smo se na dvije glavne grupe zapisa: snimanje brojeva i snimanje aritmetičkih operacija. Zapisi o računskim operacijama, pak, dijele se u dvije grupe: bez računanja i sa računima, odnosno oblika 2 + 3 i 2 + 3 = 5. Na osnovu ove klasifikacije obavještavamo učenike da zapis sabiranja i oduzimanja oblika 2 + 3 i 7 -5, kao i svaki zapis sastavljen od takvih zapisa, na primjer, 2 + 3-4, 7 - 5 - 1 i slično, obično se nazivaju (dogovoreno da se zove) matematički
izraz, ili samo izraz. Dalje, kao i kod uvođenja drugih pojmova, potrebno je izvršiti zadatke prepoznavanja, podučavajući univerzalnu obrazovnu radnju - prepoznavanje objekata koji se odnose na pojam koji se proučava. U broj prepoznatljivih objekata treba uključiti one koji ne posjeduju sva opšta (esencijalna) svojstva pojma i stoga ne predstavljaju ovaj koncept i koji spadaju pod koncept, ali imaju različita varijabilna (nebitna) svojstva. Na primjer: 17 - 10, 17 - 10 =, 17 -10 = 7, 17 -; 17 - 5 + 4, 23 - 5 - 4, 23 - (5 + 4), 0 + 0, 18-2-2-2-2-2-2, 18-6= 18-3-3 = 15- 3 = 12.
Budući da su stavke koje se nazivaju izrazi već koristili, čitali i pisali učenici, potrebno je generalizirati načine na koje se dotični izrazi čitaju. Na primjer, izraz 17 - 10 može se čitati kao "razlika između brojeva 17 i 10", kao zadatak - "oduzmi 10 od 17", "smanji broj 17 za 10" ili "pronađi broj manji od sedamnaest". po deset” i koristeći slične nazive učimo učenike da zapisuju izraze. Ubuduće će se sa pojavom novih vrsta izraza raspravljati o pitanjima: kako čitati pisani izraz i kako napisati imenovani izraz.
U istoj lekciji u kojoj uvodimo pojam izraza, uvodimo i pojam značenje izraza je broj koji je rezultat izvođenja svih njegovih aritmetičkih operacija.
Da bismo sumirali uvođenje pojmova i planirali dalji rad, korisno je razgovarati o pitanjima u ovoj ili narednim lekcijama: Koliko izraza ima? Kako jedan izraz može biti sličan drugom? Kako se može razlikovati od drugih? Po čemu su svi izrazi slični jedni drugima? Šta nam izrazi mogu reći? Šta možete učiniti s izrazima? Šta vam je potrebno (možete li naučiti) proučavajući izraze?
Odgovarajući na posljednje pitanje, zajedno sa studentima, formulišemo ciljevi učenja predstojeće aktivnosti: možemo učiti i učit ćemo čitati i pisati izraze, pronalaziti značenja izraza, upoređivati izraze.
Čitanje i pisanje izraza. Pošto su izrazi zapisi, morate biti u mogućnosti da ih pročitate. Glavne metode čitanja se postavljaju prilikom uvođenja radnji. Izraz možete pročitati kao ime, kao listu znakova, kao zadatak ili pitanje. Nakon proučavanja odnosa “manje (više) po”, “manje (više) u” između brojeva, izrazi se mogu čitati i kao tvrdnje ili pitanja o odnosima jednakosti i nejednakosti. Svaki način čitanja otkriva određeni aspekt značenja odgovarajuće radnje ili radnji. Stoga je vrlo korisno ohrabrivati Različiti putevičitanje. Uzorak čitanja postavlja nastavnik prilikom uvođenja radnje ili prilikom razmatranja odgovarajućeg pojma, svojstva ili odnosa.
Osnova čitanja bilo kojeg izraza je čitanje izraza u jednoj radnji. Učenje čitanja događa se kao učenje voljeti
čitanje prilikom obavljanja zadataka koji zahtijevaju takvo čitanje. To mogu biti posebni zadaci: "Pročitajte izraze." Čitanje je neophodno pri provjeravanju vrijednosti izraza (čitanje izraza kao dijela jednakosti), kada se izvještavaju rezultati poređenja. Važna je i obrnuta radnja: snimanje izraza njegovim imenom ili zadatkom ili odnosom koji on specificira. Ovu vrstu radnje učenici izvode prilikom izvođenja matematičkih diktata, posebno osmišljenih da razvijaju sposobnost zapisivanja izraza ili kao dio zadataka za računanje, poređenje i sl. Čitanje matematičkih izraza, učenje čitanja izraza prije nije cilj, već sredstvo. učenja - sredstvo za razvoj govora, sredstvo za produbljivanje razumijevanja značenja radnji.
Pokažimo na primjerima kako čitati glavne vrste jednostavnih izraza:
1) 2 + 3 prema dva dodaj tri; saberi brojeve dva i tri; suma
ma brojevi dva i tri; dva plus tri; naći zbir brojeva dva i tri;
Pronađite zbir članova dva i tri; nađi broj tri veći
nego broj dva; povećati dva za tri; prvi termin 2, drugi
član 3, naći zbir;
2) 5 - 3 od pet oduzmi (ni u kom slučaju „oduzmi 1“!) tri;
Razlika između brojeva pet i tri; pet minus tri; pronađite razliku
brojevi pet i tri; minuend pet, oduzeti tri, naći vremena
ness; pronaći broj tri manji od pet; pet smanjiti
na tri;
3) uzeti 2 · 3 dva kao pojam tri puta; uzeti dva tri puta;
Dva puta tri; proizvod brojeva dva i tri; prvo
faktor dva, drugi faktor tri, pronađite proizvod; pronađite proizvodnju
održavanje brojeva dva i tri; dva puta tri, tri puta dva; povećati dva
tri puta; pronaći broj tri puta veći od dva; prvi lot
rezident dva, drugi tri, pronađite proizvod;
4) 12:4 dvanaest podeljeno sa četiri; koeficijent od dvanaest
tsat i četiri su količnik od dvanaest i četiri); količnik deljenja
dvanaest puta četiri; dividenda dvanaest, djelitelj četiri, nađi
količnik (za 13:4 - pronađite količnik i ostatak); smanjiti 12 u h
tri puta; naći broj četiri puta manji od dvanaest.
Čitanje izraza koji sadrži više od dvije akcije uzroka mlađih školaraca određene poteškoće. U planiranom predmetu rezultira, dakle, sposobnost čitanja ovakvih izraza
1 „ODNESI,... 1. koga (šta). Uzmi to od nekoga. na silu, oduzeti nekome nešto. O. novac. O. sin. O. nada. O. neko ima svoje vrijeme.(prevedeno: prisiliti nekoga da troši vrijeme na nešto). O. nečiji život.(ubiti). 2. Šta. Upijajte, uzrokujte potrošnja nečega. Posao je nekome oduzimao mnogo energije. 3. Šta. Odvojite, odvojite od nečega. O. merdevine sa zida...." [Ozhegov S.I. Rječnik/ S.I. Ozhegov, N.Yu.Shvedova. - M., 1949 -1994.]
može se postaviti u viši ili visoki nivo ovladavanje matematičkim govorom. Pozivaju se izrazi s dvije ili više radnji na posljednjoj radnji, čije se komponente smatraju izrazima. Međutim, neke vrste izraza su uključene u tekstove pravila. Poznavanje verbalnih formulacija pravila znači i poznavanje metoda (metoda) čitanja. Na primjer, distributivno svojstvo množenja u odnosu na sabiranje ili pravilo za množenje sume brojem u samom nazivu pravila daje naziv izrazu oblika ( A+ □ ) · th. A u formulaciji svojstva nazivaju se dvije vrste izraza: "Proizvod zbroja brojem jednak je zbiru proizvoda svakog člana ovim brojem." Metode za čitanje izraza u dvije ili više akcija mogu se specificirati instrukcijama algoritamskog tipa. Pododjeljak 4.2 daje primjer takvog algoritma. Ovladavanje metodama čitanja takvih izraza odvija se obavljanjem istih vrsta zadataka kao kada se uči čitanje izraza u jednoj radnji.
Pronalaženje značenja izraza. Poslovnik. Od početka proučavanja aritmetičkih operacija i pojave izraza, prešutno je prihvaćeno pravilo: radnje se moraju izvoditi s lijeva na desno onim redoslijedom kojim su napisane. Problem redoslijeda radnji otkriva se kada se pojave poteškoće u označavanju određenih objektivnih situacija izrazom. Na primjer, trebate uzeti 7 plavih kockica, 2 manje bijele, i saznati koliko je kockica ukupno uzeto. Izvodimo gotovo sve radnje, označavajući broj kocki brojevima, a radnje znakovima aritmetičkih operacija. Izbrojimo 7 plavih kockica. Da uzmemo 2 bijele kocke manje, pomjerimo dvije plave kocke na neko vrijeme u stranu i, praveći parove, uzmimo onoliko bijelih kockica koliko ima plavih kockica minus dvije. Kombinirajmo bijele i plave kocke. Naše akcije sa kockama zapisane su aritmetičkim operacijama: 7 + 7-2. Ali u takvom snimku radnje se moraju izvoditi po redoslijedu snimanja, a to nisu radnje zbog kojih smo sastavili snimak! Postoji kontradikcija. Moramo prvo oduzeti 2 od 7 (saznamo potreban broj bijelih kockica), a zatim dodati rezultat oduzimanja 7 i 2 do 7 - broj plavih kockica.Šta da radimo?
Izlaz iz ove i sličnih situacija može biti sljedeći: potrebno je nekako u zapisu izraza istaknuti radnju ili radnje koje treba izvršiti ne redoslijedom pisanja s lijeva na desno. I postoji takva metoda selekcije. Ovo zagrade, koji su upravo izmišljeni za situacije kada se radnje u izrazu moraju izvoditi ne redom s lijeva na desno. Sa zagradama, matematička notacija naših praktičnih radnji sa kockama će izgledati ovako: 7 + (7 - 2). Radnje napisane u zagradama se obično izvode prve. Da bismo savladali i dodijelili ovo svojstvo zagrada, sa učenicima sastavljamo različite izraze, drugačije stavljamo zagrade u njih, izračunavamo i upoređujemo rezultate. Zamjena
čaj: ponekad promena redosleda radnji ne menja značenje izraza, a ponekad menja. Na primjer, 12 - 6 + 2 = 8, (12 - 6) + 2 = 8, 12 - (6 + 2) = 4.
Prilikom uvođenja zagrada, općeprihvaćena pravila o redoslijedu radnji još uvijek nisu jasno proučena, iako se dva pravila već praktično primjenjuju: a) ako u izrazu bez zagrada postoji samo sabiranje i oduzimanje, tada se radnje izvode u redoslijed pisanja s lijeva na desno; b) radnje u zagradama se izvode prve.
Problem redoslijeda radnji ponovo se javlja akutno nakon pojave izraza koji sadrže radnje množenja i (ili) dijeljenja i radnje sabiranja i (ili) oduzimanja. U ovom periodu studenti mogu uvideti potrebu za poslovnikom iu tom periodu studenti već mogu razgovarati o ovom problemu, formulisati i razumjeti opšteprihvaćene formulacije poslovnika.
Razumijevanje potrebe za takvim pravilima može se postići eksperimentiranjem sa višestepenim izrazom. Na primjer, izračunajmo vrijednost izraza 7 - 3 · 2 + 15: 5, izvodeći radnje u tri različita niza: 1) - · + (po redoslijedu snimanja); 2) - + ·: (prvo sabiranje i oduzimanje, zatim množenje i dijeljenje); 3) ·: - + (prvo množenje i dijeljenje, zatim sabiranje i oduzimanje). Kao rezultat, dobijamo tri različite vrijednosti: 1) 4 (preostalo 3); 2) 13 (odmor 3); 3) 6. Razgovarajući sa studentima o nastaloj situaciji, zaključujemo: potrebno je da se dogovorimo i prihvatimo samo jedan niz kao opšteprihvaćeno pravilo postupanja. A pošto su značenja izraza izračunata prije nas, pa čak i stotinama godina, onda, vjerovatno, takvi sporazumi već postoje. Nalazimo ih u udžbeniku.
Zatim sa učenicima razgovaramo o potrebi poznavanja ovih pravila i sposobnosti da ih primjenjuju. Nakon što su sami sebi opravdali ovu potrebu, učenici mogu pokušati sami odrediti vrste akademski rad, poštujući koje će moći zapamtiti pravila i naučiti ih točno slijediti. Ovakva definicija vrsta vaspitno-obrazovnog rada može se dati u grupnom radu, a na istom času se mogu izvoditi i neke vrste takvog rada. U procesu grupnog rada učenici se upoznaju sa sadržajem odgovarajućih stranica udžbenika i sveske za samostalan rad udžbeniku mogu sami dopuniti zadatke učenja, neke od njih završiti, testirati se i potom napraviti izvještaj o radu u grupi o onome što su već savladali kao rezultat rada u grupi. Na primjer: „U našoj grupi svi su naučili da odrede redoslijed radnji u izrazima bez zagrada u tri ili četiri radnje, pozivajući se na tekst pravila u udžbeniku, i da taj redosljed označavaju brojevima radnji iznad znakova radnji u izraz.” Tada je cilj naučiti pronaći značenje takvih „velikih“ izraza - u tri, četiri ili više radnji u mnogim lekcijama.
oni koji nastupaju aktivnosti učenja da to postigne. Metoda za pronalaženje vrijednosti složenog izraza može se predstaviti u algoritamskom obliku.
Algoritam za pronalaženje vrijednosti numeričkog izraza(dato usmenim uputstvima u obliku liste koraka).
1. Ako u izrazu postoje zagrade, To izvršiti radnje u zagradama kao u izrazu bez zagrada. 2. Ako u izrazu nema zagrada, to: A) Ako u izrazu samo zbrajanje i (ili) oduzimanje ili samo množenje i (ili) deljenje, To izvršite ove radnje redom s lijeva na desno; b) ako izraz sadrži radnje iz grupnog sabiranja - oduzimanja i iz grupnog množenja - dijeljenja, To prvo izvršite množenje i dijeljenje redom s lijeva na desno, onda vršite sabiranje i oduzimanje redom s lijeva na desno. 3. Rezultat posljednje akcije naziva se vrijednost izraza.
Posebnu ulogu u učenju imaju metode pronalaženja značenja izraza na osnovu svojstava radnji. Takve metode se sastoje u činjenici da se prvo izrazi transformišu na osnovu svojstava akcija, a tek onda se primenjuju pravila za redosled akcija. Na primjer, trebamo pronaći vrijednost izraza: 23 + 78 + 77. Prema pravilima procedure, prvo moramo dodati 78 na 23, a rezultatu dodati 17. Međutim, komutativna i asocijativna svojstva ili pravilo „Možete sabirati brojeve bilo kojim redoslijedom“ nam omogućava da ovaj izraz jednak njemu zamijenimo drugim redoslijedom radnji 23 + 77 + 78. Nakon što smo izvršili radnje u skladu s pravilima redoslijeda akcija, lako možemo dobiti rezultat 100 + 78 = 178.
Zapravo matematičkom aktivnošću, matematički razvoj učenika nastaje upravo onda kada traže racionalne ili originalne načine transformacija izraza praćena pogodnim proračunima. Stoga je potrebno kod učenika razviti naviku u bilo kakvim nekalkulatorskim proračunima, tražiti načine za pojednostavljenje računanja, transformaciju izraza tako da se umjesto glomaznih, ružnih proračuna, željena vrijednost izraza pronađe pomoću jednostavnih i lijepih padeža. obračuna. Zadaci su u tu svrhu formulirani na sljedeći način: „Izračunaj na zgodan (ili racionalan) način...“.
Pronalaženje značenja doslovnih izraza - važna vještina koja formira ideje o varijabli i predstavlja osnovu za dalje razumijevanje funkcionalne zavisnosti. Vrlo zgodan oblik zadataka za pronalaženje značenja slovnih izraza i za uočavanje ovisnosti značenja izraza od značenja slova uključenih u njega je tabelarni. Na primjer, prema tabeli. 8.1 učenici mogu uspostaviti brojne zavisnosti: ako vrijednosti A su uzastopni brojevi, zatim vrijednosti 2a postoje uzastopni parni brojevi i vrijednosti 3a - svaki treći broj, počevši od vrijednosti 3a at najniža vrijednost A i sl.
Tabela 8.1
Poređenje izraza. Relacije koje povezuju značenja izraza prenose se na izraze. Glavni način poređenja je pronalaženje vrijednosti upoređenih izraza i poređenje vrijednosti izraza. Algoritam poređenja:
1. Pronađite vrijednosti izraza koji se upoređuju. 2. Uporedite dobijene brojeve. 3. Prenesite rezultat poređenja brojeva u izraze. Ako je potrebno, stavite odgovarajući znak između izraza. Kraj.
Kao što se prilikom pronalaženja značenja izraza vrednuju metode poređenja zasnovane na svojstvima aritmetičkih operacija, svojstva brojevnih jednakosti i nejednačina, jer takvo poređenje zahteva deduktivno rezonovanje i samim tim obezbeđuje razvoj logičkog mišljenja.
Na primjer, trebate uporediti 73 + 48 i 73 + 50. Svojstvo je poznato: "Ako se jedan član poveća ili smanji za nekoliko jedinica, tada će se zbir povećati ili smanjiti za isti broj jedinica." Dakle, vrijednost prvog izraza je manja od vrijednosti drugog, što znači da je prvi izraz manji od drugog, a drugi veći od prvog. Usporedili smo izraze bez pronalaženja vrijednosti izraza, bez izvođenja ikakvih aritmetičkih operacija, primjenom dobro poznatog svojstva sabiranja. U takvim slučajevima, korisno je uporediti izraze napisane upotrebom generalizovane simbolike. Uporedite izraze. © + F I © + (F+ 4), © + F I © + (F- 4).
Zanimljive metode poređenja zasnivaju se na transformaciji izraza koji se upoređuju - zamjeni jednakim. Na primjer: 18 · 4 i 18 + 18 + 18 + 18; 25 · (117 - 19) i 25 · 117 - 19; 25 · (117 -119) i 25 · 117 - - 19 · 117, itd. Transformisanjem izraza u jednom delu na osnovu svojstava radnji, dobijamo izraze koji se već mogu porediti poređenjem brojeva – komponenti iste radnje.
Primjer. 126 + 487 i 428 + 150. Za poređenje, primjenjujemo komutativno svojstvo. Dobijamo: 487 + 126 i 428 i 150. Transformiraj prvi izraz: 487 + 132 = (483 + 4) + (130 - 4) = 483 + 4 + 130 -4 = 483 + 130 = (483 - 20) + (130 + 20) = 463 + 150. Sada trebate uporediti izraze 463 + 150 i 428 + 150.
Numerički i algebarski izrazi. Pretvaranje izraza.
Šta je izraz u matematici? Zašto su nam potrebne konverzije izraza?
Pitanje je, kako kažu, zanimljivo... Činjenica je da su ovi pojmovi osnova svake matematike. Sva matematika se sastoji od izraza i njihovih transformacija. Nije jasno? Dopusti mi da objasnim.
Recimo da imate pred sobom zao primjer. Veoma velika i veoma složena. Recimo da ste dobri u matematici i da se ničega ne bojite! Možete li odmah dati odgovor?
Moraćeš odlučiti ovaj primjer. Dosljedno, korak po korak, ovaj primjer pojednostaviti. By određena pravila, naravno. One. uradi konverzija izraza. Što uspješnije provodite ove transformacije, to ste jači u matematici. Ako ne znate kako napraviti prave transformacije, nećete ih moći izvesti u matematici. Ništa...
Da biste izbjegli tako neugodnu budućnost (ili sadašnjost...), ne škodi razumjeti ovu temu.)
Prvo, hajde da saznamo šta je izraz u matematici. Šta se desilo numerički izraz i šta je algebarski izraz.
Šta je izraz u matematici?
Izraz u matematici- ovo je veoma širok koncept. Gotovo sve čime se bavimo u matematici je skup matematičkih izraza. Bilo koji primjeri, formule, razlomci, jednadžbe i tako dalje - sve se sastoji od matematički izrazi.
3+2 je matematički izraz. s 2 - d 2- ovo je takođe matematički izraz. I zdrav razlomak i čak jedan broj su matematički izrazi. Na primjer, jednadžba je:
5x + 2 = 12
sastoji se od dva matematička izraza povezana znakom jednakosti. Jedan izraz je lijevo, drugi desno.
IN opšti pogled izraz " matematički izraz"koristi se, najčešće, da se izbjegne mukanje. Pitat će te šta je na primjer običan razlomak? A kako odgovoriti?!
Prvi odgovor: "Ovo je... mmmmmm... takva stvar... u kojoj... Mogu li napisati razlomak bolje? Koji želiš?"
Drugi odgovor: „Običan razlomak je (veselo i radosno!) matematički izraz , koji se sastoji od brojnika i nazivnika!"
Druga opcija će biti nekako impresivnija, zar ne?)
Ovo je svrha fraze " matematički izraz "veoma dobro. I korektno i čvrsto. Ali za praktična primjena treba biti dobro upućen specifične vrste izraza u matematici .
Konkretna vrsta je druga stvar. Ovo To je sasvim druga stvar! Svaka vrsta matematičkog izraza ima moj skup pravila i tehnika koje se moraju koristiti prilikom donošenja odluke. Za rad sa razlomcima - jedan set. Za rad sa trigonometrijskim izrazima - drugi. Za rad sa logaritmima - treći. I tako dalje. Negdje se ta pravila poklapaju, negdje se oštro razlikuju. Ali nemojte se plašiti ovih strašnih reči. Savladavaćemo logaritme, trigonometriju i druge misteriozne stvari u odgovarajućim rubrikama.
Ovdje ćemo savladati (ili - ponoviti, ovisno o tome ko...) dvije glavne vrste matematičkih izraza. Numerički izrazi i algebarski izrazi.
Numerički izrazi.
Šta se desilo numerički izraz? Ovo je vrlo jednostavan koncept. Sam naziv nagoveštava da se radi o izrazu sa brojevima. To je tako. Matematički izraz sastavljen od brojeva, zagrada i aritmetičkih simbola naziva se numerički izraz.
7-3 je numerički izraz.
(8+3,2) 5,4 je takođe numerički izraz.
I ovo čudovište:
takođe numerički izraz, da...
Običan broj, razlomak, bilo koji primjer računanja bez X i drugih slova - sve su to numerički izrazi.
Glavni znak numerički izrazi - u njemu nema slova. Nema. Samo brojevi i matematički simboli (ako je potrebno). Jednostavno je, zar ne?
A šta možete učiniti s numeričkim izrazima? Numerički izrazi se obično mogu prebrojati. Da biste to učinili, dešava se da morate otvoriti zagrade, promijeniti znakove, skratiti, zamijeniti pojmove - tj. uradi konverzije izraza. Ali više o tome u nastavku.
Ovdje ćemo se pozabaviti tako smiješnim slučajem kada s numeričkim izrazom ne morate ništa da radite. Pa, baš ništa! Ova prijatna operacija - da ne radim ništa)- se izvršava kada je izraz nema smisla.
Kada numerički izraz nema smisla?
Jasno je da ako vidimo nekakvu abrakadabru ispred sebe, npr
onda nećemo ništa uraditi. Jer nije jasno šta da se radi o tome. Neka vrsta gluposti. Možda prebrojite pluseve...
Ali ima spolja sasvim pristojnih izraza. Na primjer ovo:
(2+3) : (16 - 2 8)
Međutim, i ovaj izraz nema smisla! Iz jednostavnog razloga što u drugim zagradama - ako računate - dobijate nulu. Ali ne možete podijeliti sa nulom! Ovo je zabranjena operacija u matematici. Dakle, ni sa ovim izrazom nema potrebe ništa raditi. Za svaki zadatak s takvim izrazom, odgovor će uvijek biti isti: "Izraz nema značenje!"
Da bih dao takav odgovor, naravno, morao sam izračunati šta bi bilo u zagradama. A ponekad ima puno stvari u zagradama... Pa, tu ništa ne možete učiniti.
U matematici nema toliko zabranjenih operacija. U ovoj temi postoji samo jedan. Deljenje sa nulom. Dodatna ograničenja koja se javljaju u korijenima i logaritmima razmatraju se u odgovarajućim temama.
Dakle, ideja šta je to numerički izraz- dobio. Koncept numerički izraz nema smisla- shvatio. Idemo dalje.
Algebarski izrazi.
Ako se slova pojavljuju u numeričkom izrazu, ovaj izraz postaje... Izraz postaje... Da! Postaje algebarski izraz. Na primjer:
5a 2; 3x-2y; 3(z-2); 3,4m/n; x 2 +4x-4; (a+b) 2; ...
Takvi izrazi se takođe nazivaju doslovni izrazi. Or izrazi sa varijablama. To je praktično ista stvar. Izraz 5a +c, na primjer, i literalni i algebarski, i izraz s varijablama.
Koncept algebarski izraz -širi od numeričkih. To uključuje i sve numeričke izraze. One. numerički izraz je takođe algebarski izraz, samo bez slova. Svaka haringa je riba, ali nije svaka riba haringa...)
Zašto abecedno- To je jasno. Pa, pošto postoje slova... Fraza izraz sa varijablama Takođe nije mnogo zbunjujuće. Ako shvatite da su brojevi skriveni ispod slova. Ispod slova se mogu sakriti svakakvi brojevi... I 5, i -18, i bilo šta drugo. To jest, pismo može biti zamijeniti on različiti brojevi. Zato se slova zovu varijable.
U izrazu y+5, Na primjer, at- varijabilna vrijednost. Ili samo kažu " varijabla", bez riječi "veličina". Za razliku od pet, što je konstantna vrijednost. Ili jednostavno - konstantan.
Termin algebarski izraz znači da za rad s ovim izrazom morate koristiti zakone i pravila algebra. Ako aritmetika onda radi sa određenim brojevima algebra- sa svim brojevima odjednom. Jednostavan primjer za pojašnjenje.
U aritmetici to možemo napisati
Ali ako takvu jednakost zapišemo kroz algebarske izraze:
a + b = b + a
odmah ćemo odlučiti Sve pitanja. Za svi brojevi moždani udar. Za sve beskonačno. Jer ispod slova A I b implicirano Sve brojevi. I ne samo brojevi, već i drugi matematički izrazi. Ovako funkcioniše algebra.
Kada algebarski izraz nema smisla?
Sve u vezi sa numeričkim izrazom je jasno. Tamo ne možete podijeliti sa nulom. A da li se slovima može saznati po čemu se dijelimo?!
Uzmimo za primjer ovaj izraz sa varijablama:
2: (A - 5)
Ima li smisla? Ko zna? A- bilo koji broj...
Bilo koji, bilo koji... Ali postoji jedno značenje A, za koji je ovaj izraz upravo nema smisla! A koji je ovo broj? Da! Ovo je 5! Ako je varijabla A zamijenite (kažu “zamjena”) brojem 5, u zagradama dobijate nulu. Koje se ne mogu podijeliti. Tako ispada da je naš izraz nema smisla, Ako a = 5. Ali za druge vrijednosti A ima li smisla? Možete li zamijeniti druge brojeve?
Svakako. U takvim slučajevima jednostavno kažu da je izraz
2: (A - 5)
ima smisla za sve vrijednosti A, osim a = 5 .
Cijeli skup brojeva koji Može zamjena u dati izraz se zove region prihvatljive vrijednosti ovaj izraz.
Kao što vidite, nema ničeg škakljivog. Pogledajmo izraz sa varijablama i shvatimo: pri kojoj vrijednosti varijable se dobija zabranjena operacija (podjela na nulu)?
A onda svakako pogledajte pitanje zadatka. Šta pitaju?
nema smisla, naše zabranjeno značenje će biti odgovor.
Ako pitate na kojoj vrijednosti varijable izraz ima značenje(osjetite razliku!), odgovor će biti svi ostali brojevi osim zabranjenog.
Zašto nam je potrebno značenje izraza? On je tu, nije... Koja je razlika?! Poenta je da ovaj koncept postaje veoma važan u srednjoj školi. Izuzetno važno! Ovo je osnova za takve čvrste koncepte kao što je domena prihvatljivih vrijednosti ili domena funkcije. Bez toga nećete moći uopće riješiti ozbiljne jednačine ili nejednakosti. Volim ovo.
Pretvaranje izraza. Transformacije identiteta.
Upoznali smo se sa numeričkim i algebarskim izrazima. Shvatili smo šta znači izraz „izraz nema značenje“. Sada treba da shvatimo šta je to transformacija izraza. Odgovor je jednostavan, do sramote.) Ovo je svaka radnja sa izrazom. To je sve. Ove transformacije radite od prvog razreda.
Uzmimo cool numerički izraz 3+5. Kako se može pretvoriti? Da, vrlo jednostavno! Izračunati:
Ovaj proračun će biti transformacija izraza. Isti izraz možete napisati drugačije:
Ovdje nismo ništa računali. Samo sam zapisao izraz u drugačijoj formi. Ovo će takođe biti transformacija izraza. Možete to napisati ovako:
I ovo je također transformacija izraza. Takvih transformacija možete napraviti koliko god želite.
Bilo koji akcija na izražavanje bilo koji zapisivanje u drugom obliku naziva se transformacija izraza. I to je sve. Sve je vrlo jednostavno. Ali postoji jedna stvar veoma važno pravilo. Toliko važno da se može bezbedno nazvati glavno pravilo sva matematika. Kršenje ovog pravila neizbežno dovodi do grešaka. Da li ulazimo u to?)
Recimo da smo svoj izraz nasumično transformirali, ovako:
Konverzija? Svakako. Izraz smo napisali u drugom obliku, šta tu nije u redu?
Nije tako.) Poenta je da su transformacije "nasumce" uopšte ih ne zanima matematika.) Sva matematika je izgrađena na transformacijama u kojima izgled, ali se suština izraza ne menja. Tri plus pet se može napisati u bilo kom obliku, ali mora biti osam.
transformacije, izrazi koji ne mijenjaju suštinu su pozvani identičan.
Upravo transformacije identiteta i dozvoli nam da se, korak po korak, transformiramo složen primjer u jednostavan izraz, čuvanje suštinu primjera. Ako pogriješimo u lancu transformacija, napravimo NE identičnu transformaciju, onda ćemo odlučiti drugi primjer. Uz druge odgovore koji nisu u vezi s tačnim.)
Ovo je glavno pravilo za rješavanje svih zadataka: održavanje identiteta transformacija.
Dao sam primjer sa numeričkim izrazom 3+5 radi jasnoće. U algebarskim izrazima transformacije identiteta su date formulama i pravilima. Recimo da u algebri postoji formula:
a(b+c) = ab + ac
To znači da u bilo kojem primjeru možemo umjesto izraza a(b+c) slobodno napišite izraz ab + ac. I obrnuto. Ovo identična transformacija. Matematika nam daje izbor između ova dva izraza. I od koje da napišem - od konkretan primjer zavisi.
Još jedan primjer. Jedna od najvažnijih i najvažnijih transformacija je osnovno svojstvo razlomka. Više detalja možete pogledati na linku, ali ovdje ću vas samo podsjetiti na pravilo: Ako se brojnik i imenilac razlomka pomnože (podijele) istim brojem, ili izrazom koji nije jednak nuli, razlomak se neće promijeniti. Evo primjera transformacije identiteta pomoću ovog svojstva:
Kao što ste vjerovatno pretpostavili, ovaj lanac se može nastaviti u nedogled...) Vrlo važno svojstvo. To je ono što vam omogućava da sve vrste primjera čudovišta pretvorite u bijela i pahuljasta.)
Postoje mnoge formule koje definiraju identične transformacije. Ali najvažnije su prilično razuman iznos. Jedna od osnovnih transformacija je faktorizacija. Koristi se u čitavoj matematici - od osnovne do napredne. Počnimo s njim. U sledećoj lekciji.)
Ako vam se sviđa ovaj sajt...
Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)
Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.
Doslovni izraz (ili varijabilni izraz) je matematički izraz koji se sastoji od brojeva, slova i matematičkih simbola. Na primjer, sljedeći izraz je doslovan:
a+b+4
Koristeći abecedne izraze možete pisati zakone, formule, jednadžbe i funkcije. Sposobnost manipulacije slovnim izrazima ključ je za dobro poznavanje algebre i više matematike.
Svaki ozbiljan problem u matematici svodi se na rješavanje jednačina. A da biste mogli rješavati jednačine, morate znati raditi s bukvalnim izrazima.
Da biste radili s bukvalnim izrazima, morate biti dobro upućeni u osnovnu aritmetiku: sabiranje, oduzimanje, množenje, dijeljenje, osnovne zakone matematike, razlomke, operacije s razlomcima, proporcije. I ne samo učiti, već i temeljno razumjeti.
Sadržaj lekcijeVarijable
Zovu se slova koja su sadržana u doslovnim izrazima varijable. Na primjer, u izrazu a+b+4 varijable su slova a I b. Ako zamijenimo bilo koje brojeve umjesto ovih varijabli, onda literalni izraz a+b+4će se pretvoriti u numerički izraz čija se vrijednost može pronaći.
Pozivaju se brojevi koji se zamjenjuju za varijable vrijednosti varijabli. Na primjer, promijenimo vrijednosti varijabli a I b. Znak jednakosti se koristi za promjenu vrijednosti
a = 2, b = 3
Promijenili smo vrijednosti varijabli a I b. Varijabilna a dodijeljena vrijednost 2 , varijabla b dodijeljena vrijednost 3 . Kao rezultat toga, doslovni izraz a+b+4 pretvara u regularni numerički izraz 2+3+4 čija se vrijednost može naći:
2 + 3 + 4 = 9
Kada se varijable pomnože, one se pišu zajedno. Na primjer, snimite ab znači isto što i unos a×b. Ako zamijenimo varijable a I b brojevi 2 I 3 , onda dobijamo 6
2 × 3 = 6
Također možete zajedno napisati množenje broja izrazom u zagradama. Na primjer, umjesto a×(b + c) može se zapisati a(b + c). Primjenom zakona raspodjele množenja dobijamo a(b + c)=ab+ac.
Odds
U doslovnim izrazima često možete pronaći zapis u kojem su broj i varijabla napisani zajedno, na primjer 3a. Ovo je zapravo skraćenica za množenje broja 3 promjenljivom. a i ovaj unos izgleda tako 3×a .
Drugim riječima, izraz 3a je proizvod broja 3 i varijable a. Broj 3 u ovom poslu zovu koeficijent. Ovaj koeficijent pokazuje koliko će se puta varijabla povećati a. Ovaj izraz se može čitati kao " a tri puta" ili "tri puta A", ili "povećajte vrijednost varijable a tri puta", ali se najčešće čita kao "tri a«
Na primjer, ako je varijabla a jednak 5 , zatim vrijednost izraza 3a biće jednako 15.
3 × 5 = 15
Govoreći jednostavnim jezikom, koeficijent je broj koji dolazi prije slova (ispred varijable).
Može biti nekoliko slova, na primjer 5abc. Ovdje je koeficijent broj 5 . Ovaj koeficijent pokazuje da je proizvod varijabli abc povećava petostruko. Ovaj izraz se može čitati kao " abc pet puta" ili "povećajte vrijednost izraza abc pet puta" ili "pet abc«.
Ako umjesto varijabli abc zamijenite brojeve 2, 3 i 4, a zatim vrijednost izraza 5abc biće jednaki 120
5 × 2 × 3 × 4 = 120
Mentalno možete zamisliti kako su brojevi 2, 3 i 4 prvo pomnoženi, a rezultirajuća vrijednost se povećala pet puta:
Znak koeficijenta se odnosi samo na koeficijent i ne odnosi se na varijable.
Razmotrite izraz −6b. Minus ispred koeficijenta 6 , odnosi se samo na koeficijent 6 , i ne pripada varijabli b. Razumijevanje ove činjenice omogućit će vam da u budućnosti ne griješite sa znakovima.
Nađimo vrijednost izraza −6b at b = 3.
−6b −6×b. Radi jasnoće, napišimo izraz −6b u proširenom obliku i zamijeniti vrijednost varijable b
−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18
Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza −6b at b = −5
Hajde da zapišemo izraz −6b u proširenom obliku
−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30
Primjer 3. Pronađite vrijednost izraza −5a+b at a = 3 I b = 2
−5a+b ovo je kratka forma za −5 × a + b, pa radi jasnoće pišemo izraz −5×a+b u proširenom obliku i zamijeniti vrijednosti varijabli a I b
−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13
Ponekad se slova pišu bez koeficijenta, na primjer a ili ab. U ovom slučaju, koeficijent je jedinica:
ali tradicionalno jedinica nije zapisana, pa jednostavno pišu a ili ab
Ako je ispred slova minus, tada je koeficijent broj −1 . Na primjer, izraz −a zapravo izgleda −1a. Ovo je proizvod minus jedan i varijable a. Ispalo je ovako:
−1 × a = −1a
Ovdje postoji mala zamka. U izrazu −a znak minus ispred varijable a zapravo se odnosi na "nevidljivu jedinicu" a ne na varijablu a. Stoga treba biti oprezan prilikom rješavanja problema.
Na primjer, ako je dat izraz −a i od nas se traži da pronađemo njegovu vrijednost u a = 2, onda smo u školi umjesto varijable zamijenili dvojku a i dobio odgovor −2 , ne fokusirajući se previše na to kako je ispalo. U stvari, minus jedan je pomnožen pozitivnim brojem 2
−a = −1 × a
−1 × a = −1 × 2 = −2
Ako se da izraz −a i morate pronaći njegovu vrijednost u a = −2, onda vršimo zamjenu −2 umjesto varijable a
−a = −1 × a
−1 × a = −1 × (−2) = 2
Da bi se izbjegle greške, u početku se nevidljive jedinice mogu eksplicitno zapisati.
Primjer 4. Pronađite vrijednost izraza abc at a=2 , b=3 I c=4
Izraz abc 1×a×b×c. Radi jasnoće, napišimo izraz abc a, b I c
1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24
Primjer 5. Pronađite vrijednost izraza abc at a=−2 , b=−3 I c=−4
Hajde da zapišemo izraz abc u proširenom obliku i zamijeniti vrijednosti varijabli a, b I c
1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24
Primjer 6. Pronađite vrijednost izraza − abc at a=3, b=5 i c=7
Izraz − abc ovo je kratka forma za −1×a×b×c. Radi jasnoće, napišimo izraz − abc u proširenom obliku i zamijeniti vrijednosti varijabli a, b I c
−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105
Primjer 7. Pronađite vrijednost izraza − abc at a=−2, b=−4 i c=−3
Hajde da zapišemo izraz − abc u proširenom obliku:
−abc = −1 × a × b × c
Zamijenimo vrijednosti varijabli a , b I c
−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24
Kako odrediti koeficijent
Ponekad morate riješiti problem u kojem trebate odrediti koeficijent izraza. u osnovi, ovaj zadatak veoma jednostavno. Dovoljno je da možete pravilno množiti brojeve.
Da biste odredili koeficijent u izrazu, morate posebno pomnožiti brojeve uključene u ovaj izraz i posebno pomnožiti slova. Rezultirajući numerički faktor će biti koeficijent.
Primjer 1. 7m×5a×(−3)×n
Izraz se sastoji od nekoliko faktora. To se može jasno vidjeti ako izraz napišete u proširenom obliku. Odnosno, radovi 7m I 5a upišite u formular 7×m I 5×a
7 × m × 5 × a × (−3) × n
Primijenimo asocijativni zakon množenja, koji vam omogućava da množite faktore bilo kojim redoslijedom. Naime, odvojeno ćemo množiti brojeve i posebno množiti slova (varijable):
−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105 man
Koeficijent je −105 . Nakon završetka, preporučljivo je rasporediti dio slova po abecednom redu:
−105amn
Primjer 2. Odredite koeficijent u izrazu: −a×(−3)×2
−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a
Koeficijent je 6.
Primjer 3. Odredite koeficijent u izrazu: 
Pomnožimo brojeve i slova odvojeno:
Koeficijent je −1. Napominjemo da se jedinica ne zapisuje, jer je uobičajeno da se ne piše koeficijent 1.
Ovi naizgled najjednostavniji zadaci mogu nam odigrati veoma okrutnu šalu. Često se ispostavi da je znak koeficijenta pogrešno postavljen: ili nedostaje minus ili je, naprotiv, postavljen uzalud. Da biste izbjegli ove dosadne greške, mora se proučiti na dobrom nivou.
Sabira u doslovnim izrazima
Prilikom sabiranja više brojeva dobija se zbir ovih brojeva. Brojevi koji se sabiraju nazivaju se sabirci. Može postojati nekoliko termina, na primjer:
1 + 2 + 3 + 4 + 5
Kada se izraz sastoji od pojmova, mnogo je lakše procijeniti jer je dodavanje lakše nego oduzimanje. Ali izraz može sadržavati ne samo zbrajanje, već i oduzimanje, na primjer:
1 + 2 − 3 + 4 − 5
U ovom izrazu brojevi 3 i 5 su oduzeti, a ne sabrani. Ali ništa nas ne sprečava da oduzimanje zamijenimo sabiranjem. Tada ponovo dobijamo izraz koji se sastoji od pojmova:
1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)
Nije važno što brojevi −3 i −5 sada imaju predznak minus. Glavna stvar je da su svi brojevi u ovom izrazu povezani znakom sabiranja, odnosno izraz je zbroj.
Oba izraza 1 + 2 − 3 + 4 − 5 I 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) jednaka istoj vrijednosti - minus jedan
1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1
1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1
Dakle, značenje izraza neće patiti ako negdje zamijenimo oduzimanje sa sabiranjem.
Također možete zamijeniti oduzimanje sa sabiranjem u doslovnim izrazima. Na primjer, razmotrite sljedeći izraz:
7a + 6b − 3c + 2d − 4s
7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)
Za bilo koje vrijednosti varijabli a b c d I s izrazi 7a + 6b − 3c + 2d − 4s I 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) će biti jednaka istoj vrijednosti.
Morate biti spremni na činjenicu da nastavnik u školi ili nastavnik na institutu može nazvati parne brojeve (ili varijable) koji nisu sabrani.
Na primjer, ako je razlika napisana na ploči a−b, onda učitelj to neće reći a je minus, i b- oduzeti. On će obje varijable nazvati jednom uopšteno govoreći — uslovi. A sve zbog izraza forme a−b matematičar vidi kako je zbir a+(−b). U ovom slučaju, izraz postaje zbir, a varijable a I (−b) postati uslovi.
Slični termini
Slični termini- ovo su pojmovi koji imaju isti dio slova. Na primjer, razmotrite izraz 7a + 6b + 2a. Komponente 7a I 2a imaju isti dio slova - promjenljiv a. Dakle, uslovi 7a I 2a su slični.
Obično se dodaju slični pojmovi da bi se pojednostavio izraz ili riješila jednačina. Ova operacija se zove donoseći slične uslove.
Da biste dobili slične pojmove, potrebno je sabrati koeficijente ovih pojmova, a rezultat pomnožiti zajedničkim slovnim dijelom.
Na primjer, predstavimo slične pojmove u izrazu 3a + 4a + 5a. IN u ovom slučaju, svi pojmovi su slični. Zbrojimo njihove koeficijente i pomnožimo rezultat sa zajedničkim slovnim dijelom - promjenljivom a
3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a
Slični termini se obično spominju i rezultat se odmah zapisuje:
3a + 4a + 5a = 12a
Takođe, može se rezonovati na sledeći način:
Dodane su im 3 varijable a, još 4 varijable a i još 5 varijabli a. Kao rezultat, dobili smo 12 varijabli a
Pogledajmo nekoliko primjera dovođenja sličnih pojmova. S obzirom da je ova tema jako bitna, prvo ćemo detaljno zapisati svaki detalj. Iako je ovdje sve vrlo jednostavno, većina ljudi pravi mnogo grešaka. Uglavnom zbog nepažnje, a ne neznanja.
Primjer 1. 3a + 2a + 6a + 8 a
Zbrojimo koeficijente u ovom izrazu i pomnožimo rezultat sa zajedničkim slovnim dijelom:
3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a
dizajn (3 + 2 + 6 + 8)×a Ne morate to zapisati, tako da ćemo odmah napisati odgovor
3a + 2a + 6a + 8a = 19a
Primjer 2. Navedite slične pojmove u izrazu 2a+a
Drugi mandat a napisano bez koeficijenta, ali u stvari postoji koeficijent ispred njega 1 , koji ne vidimo jer nije zabilježen. Dakle, izraz izgleda ovako:
2a + 1a
Sada ćemo predstaviti slične pojmove. Odnosno, zbrajamo koeficijente i rezultat množimo zajedničkim slovnim dijelom:
2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a
Zapišimo ukratko rješenje:
2a + a = 3a
2a+a, možete misliti drugačije:
Primjer 3. Navedite slične pojmove u izrazu 2a−a
Zamijenimo oduzimanje sa sabiranjem:
2a + (−a)
Drugi mandat (−a) napisano bez koeficijenta, ali u stvarnosti izgleda tako (−1a). Koeficijent −1 opet nevidljiv zbog činjenice da nije snimljen. Dakle, izraz izgleda ovako:
2a + (−1a)
Sada ćemo predstaviti slične pojmove. Dodajmo koeficijente i pomnožimo rezultat sa zajedničkim slovnim dijelom:
2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a
Obično se piše kraće:
2a − a = a
Navođenje sličnih pojmova u izrazu 2a−a Možete razmišljati drugačije:
Postojale su 2 varijable a, oduzmite jednu varijablu a, i kao rezultat je ostala samo jedna varijabla a
Primjer 4. Navedite slične pojmove u izrazu 6a − 3a + 4a − 8a
6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)
Sada ćemo predstaviti slične pojmove. Hajde da saberemo koeficijente i pomnožimo rezultat sa ukupnim delom slova
(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a
Zapišimo ukratko rješenje:
6a − 3a + 4a − 8a = −a
Postoje izrazi koji sadrže nekoliko razne grupe sličnim terminima. Na primjer, 3a + 3b + 7a + 2b. Za takve izraze vrijede ista pravila kao i za ostale, odnosno zbrajanje koeficijenata i množenje rezultirajućeg rezultata zajedničkim slovnim dijelom. Ali da biste izbjegli greške, to je zgodno različite grupe Termini su istaknuti različitim linijama.
Na primjer, u izrazu 3a + 3b + 7a + 2b oni termini koji sadrže varijablu a, mogu biti podvučeni jednom linijom, a oni pojmovi koji sadrže varijablu b, može se naglasiti sa dvije linije:
Sada možemo predstaviti slične pojmove. Odnosno, zbrojite koeficijente i pomnožite rezultat sa ukupnim dijelom slova. Ovo se mora učiniti za obje grupe pojmova: za termine koji sadrže varijablu a i za termine koji sadrže varijablu b.
3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b
Opet, ponavljamo, izraz je jednostavan, a slični pojmovi se mogu imati na umu:
3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b
Primjer 5. Navedite slične pojmove u izrazu 5a − 6a −7b + b
Zamijenimo oduzimanje sa sabiranjem gdje je to moguće:
5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b
Podvucimo slične pojmove različitim linijama. Termini koji sadrže varijable a podvlačimo jednom linijom, a pojmovi su sadržaj varijabli b, podvuci sa dvije linije:
Sada možemo predstaviti slične pojmove. Odnosno, dodajte koeficijente i pomnožite rezultat sa zajedničkim slovnim dijelom:
5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)
Ako izraz sadrži obične brojeve bez faktora slova, oni se dodaju zasebno.
Primjer 6. Navedite slične pojmove u izrazu 4a + 3a − 5 + 2b + 7
Zamijenimo oduzimanje sa sabiranjem gdje je to moguće:
4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7
Hajde da predstavimo slične pojmove. Brojevi −5 I 7 nemaju faktore slova, ali su slični pojmovi - samo ih treba dodati. I termin 2bće ostati nepromijenjen, jer jedini u ovom izrazu ima faktor slova b, i nema se šta dodati:
4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2
Zapišimo ukratko rješenje:
4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2
Termini se mogu poredati tako da se oni pojmovi koji imaju isti slovni dio nalaze u istom dijelu izraza.
Primjer 7. Navedite slične pojmove u izrazu 5t+2x+3x+5t+x
Pošto je izraz zbir nekoliko pojmova, to nam omogućava da ga procijenimo bilo kojim redoslijedom. Dakle, termini koji sadrže varijablu t, može se napisati na početku izraza, a pojmovi koji sadrže varijablu x na kraju izraza:
5t + 5t + 2x + 3x + x
Sada možemo predstaviti slične pojmove:
5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x
Zapišimo ukratko rješenje:
5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x
Zbir suprotnih brojeva je nula. Ovo pravilo važi i za doslovne izraze. Ako izraz sadrži identične pojmove, ali sa suprotnim predznacima, onda ih se možete riješiti u fazi redukcije sličnih pojmova. Drugim riječima, jednostavno ih eliminirajte iz izraza, jer je njihov zbir jednak nuli.
Primjer 8. Navedite slične pojmove u izrazu 3t − 4t − 3t + 2t
Zamijenimo oduzimanje sa sabiranjem gdje je to moguće:
3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t
Komponente 3t I (−3t) su suprotne. Zbir suprotnih članova je nula. Ako uklonimo ovu nulu iz izraza, vrijednost izraza se neće promijeniti, pa ćemo je ukloniti. A mi ćemo ga ukloniti jednostavnim precrtavanjem pojmova 3t I (−3t)
Kao rezultat, ostat ćemo sa izrazom (−4t) + 2t. U ovaj izraz možete dodati slične pojmove i dobiti konačni odgovor:
(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t
Zapišimo ukratko rješenje:
Pojednostavljivanje izraza
"pojednostavi izraz" a ispod je izraz koji treba pojednostaviti. Pojednostavite izraz znači učiniti ga jednostavnijim i kraćim.
U stvari, već smo pojednostavljivali izraze kada smo smanjivali razlomke. Nakon redukcije, razlomak je postao kraći i lakši za razumijevanje.
Razmotrite sljedeći primjer. Pojednostavite izraz.
Ovaj zadatak se doslovno može shvatiti na sljedeći način: “Primijenite sve valjane radnje na ovaj izraz, ali ga učinite jednostavnijim.” .
U ovom slučaju možete smanjiti razlomak, odnosno podijeliti brojnik i nazivnik razlomka sa 2:
Šta još možete učiniti? Možete izračunati rezultujući razlomak. Tada dobijamo decimalni razlomak 0,5
Kao rezultat toga, razlomak je pojednostavljen na 0,5.
Prvo pitanje koje morate sebi postaviti kada rješavate takve probleme trebalo bi biti "Šta se može učiniti?" . Jer postoje radnje koje možete učiniti, a postoje radnje koje ne možete učiniti.
Drugi važna tačka Ono što treba zapamtiti je da se vrijednost izraza ne smije mijenjati nakon pojednostavljenja izraza. Vratimo se izrazu. Ovaj izraz predstavlja podjelu koja se može izvršiti. Nakon ove podjele, dobijamo vrijednost ovog izraza, koja je jednaka 0,5
Ali mi smo pojednostavili izraz i dobili smo novi pojednostavljeni izraz. Vrijednost novog pojednostavljenog izraza je i dalje 0,5
Ali smo takođe pokušali da pojednostavimo izraz tako što smo ga izračunali. Kao rezultat, dobili smo konačan odgovor od 0,5.
Dakle, koliko god pojednostavili izraz, vrijednost rezultirajućih izraza je i dalje jednaka 0,5. To znači da je pojednostavljenje izvršeno korektno u svakoj fazi. To je upravo ono čemu trebamo težiti kada pojednostavljujemo izraze – značenje izraza ne bi trebalo da pati od naših postupaka.
Često je potrebno pojednostaviti doslovne izraze. Za njih se primjenjuju ista pravila pojednostavljenja kao i za numeričke izraze. Možete izvršiti bilo koju valjanu radnju, sve dok se vrijednost izraza ne promijeni.
Pogledajmo nekoliko primjera.
Primjer 1. Pojednostavite izraz 5,21 s × t × 2,5
Da biste pojednostavili ovaj izraz, možete odvojeno množiti brojeve i odvojeno množiti slova. Ovaj zadatak je vrlo sličan onome koji smo gledali kada smo naučili odrediti koeficijent:
5,21s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025st
Dakle, izraz 5,21 s × t × 2,5 pojednostavljeno na 13,025st.
Primjer 2. Pojednostavite izraz −0,4 × (−6,3b) × 2
Drugi komad (−6.3b) može se prevesti u nama razumljiv oblik, odnosno napisan u obliku ( −6,3)×b , zatim pomnožite brojeve odvojeno i posebno pomnožite slova:
− 0,4 × (−6.3b) × 2 = − 0,4 × (−6,3) × b × 2 = 5,04b
Dakle, izraz −0,4 × (−6,3b) × 2 pojednostavljeno na 5.04b
Primjer 3. Pojednostavite izraz 
Napišimo ovaj izraz detaljnije da jasno vidimo gdje su brojevi, a gdje slova:
Sada pomnožimo brojeve odvojeno i pomnožimo slova odvojeno:
Dakle, izraz pojednostavljeno na −abc. Ovo rješenje se može ukratko napisati:
Prilikom pojednostavljenja izraza, razlomci se mogu reducirati tokom procesa rješavanja, a ne na samom kraju, kao što smo radili s običnim razlomcima. Na primjer, ako u toku rješavanja naiđemo na izraz oblika , onda uopće nije potrebno izračunati brojilac i nazivnik i učiniti nešto ovako:
Razlomak se može smanjiti odabirom faktora i u brojniku i u nazivniku i smanjenjem ovih faktora za njihov najveći zajednički faktor. Drugim riječima, upotreba u kojoj ne opisujemo detaljno na šta su podijeljeni brojilac i imenilac.
Na primjer, u brojiocu je faktor 12, au nazivniku faktor 4 se može smanjiti za 4. Četvorku držimo u mislima i podijelimo 12 i 4 sa ovim četiri, zapisujemo odgovore pored ovih brojeva, pošto ih je prvo precrtao
Sada možete pomnožiti rezultirajuće male faktore. U ovom slučaju, malo ih je i možete ih umnožavati:
S vremenom ćete možda otkriti da prilikom rješavanja određenog problema izrazi počinju da se "debele", pa je preporučljivo da se naviknete na brza izračunavanja. Ono što se može izračunati u umu mora se izračunati u umu. Ono što se može brzo smanjiti mora se brzo smanjiti.
Primjer 4. Pojednostavite izraz 
Dakle, izraz pojednostavljeno na
Primjer 5. Pojednostavite izraz 
Pomnožimo odvojeno brojeve i slova:
Dakle, izraz pojednostavljeno na mn.
Primjer 6. Pojednostavite izraz 
Napišimo ovaj izraz detaljnije da jasno vidimo gdje su brojevi, a gdje slova:
Sada pomnožimo odvojeno brojeve i slova. Radi lakšeg izračunavanja, decimalni razlomak −6,4 i mješoviti broj mogu se pretvoriti u obične razlomke:
Dakle, izraz pojednostavljeno na
Rješenje za ovaj primjer može se napisati mnogo kraće. To će izgledati ovako:
Primjer 7. Pojednostavite izraz 
Pomnožimo odvojeno brojeve i slova. Radi lakšeg izračunavanja, mješoviti broj i decimale 0,1 i 0,6 se mogu pretvoriti u obične razlomke:
Dakle, izraz pojednostavljeno na a b c d. Ako preskočite detalje, onda ovu odluku može se napisati mnogo kraće:
Primijetite kako je razlomak smanjen. Novi faktori koji se dobijaju kao rezultat smanjenja prethodnih faktora takođe se mogu redukovati.
Hajde sada da pričamo šta ne treba raditi. Prilikom pojednostavljivanja izraza, strogo je zabranjeno množenje brojeva i slova ako je izraz zbir, a ne proizvod.
Na primjer, ako želite pojednostaviti izraz 5a+4b, onda to ne možete napisati ovako:
Ovo je isto kao da se od nas traži da saberemo dva broja i da ih pomnožimo umjesto da ih saberemo.
Prilikom zamjene bilo koje vrijednosti varijable a I b izraz 5a +4b pretvara u običan numerički izraz. Pretpostavimo da su varijable a I b imaju sljedeća značenja:
a = 2, b = 3
Tada će vrijednost izraza biti jednaka 22
5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22
Prvo se vrši množenje, a zatim se zbrajaju rezultati. A ako bismo pokušali da pojednostavimo ovaj izraz množenjem brojeva i slova, dobili bismo sljedeće:
5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab
20ab = 20 × 2 × 3 = 120
Ispada potpuno drugačije značenje izraza. U prvom slučaju je uspjelo 22 , u drugom slučaju 120 . To znači da se izraz pojednostavljuje 5a+4b izvršeno pogrešno.
Nakon pojednostavljenja izraza, njegova vrijednost se ne bi trebala mijenjati sa istim vrijednostima varijabli. Ako se prilikom zamjene bilo koje vrijednosti varijable u originalni izraz dobije jedna vrijednost, onda nakon pojednostavljenja izraza treba dobiti istu vrijednost kao prije pojednostavljenja.
Sa izrazom 5a+4b stvarno ništa ne možete učiniti. To ga ne pojednostavljuje.
Ako izraz sadrži slične pojmove, onda se oni mogu dodati ako je naš cilj pojednostaviti izraz.
Primjer 8. Pojednostavite izraz 0,3a−0,4a+a
0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a
ili kraće: 0,3a − 0,4a + a = 0.9a
Dakle, izraz 0,3a−0,4a+a pojednostavljeno na 0.9a
Primjer 9. Pojednostavite izraz −7,5a − 2,5b + 4a
Da bismo pojednostavili ovaj izraz, možemo dodati slične pojmove:
−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)
ili kraće −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)
Termin (−2,5b) ostao nepromijenjen jer se nije imao čime staviti.
Primjer 10. Pojednostavite izraz 
Da bismo pojednostavili ovaj izraz, možemo dodati slične pojmove:
Koeficijent je bio radi lakšeg izračuna.
Dakle, izraz pojednostavljeno na
Primjer 11. Pojednostavite izraz 
Da bismo pojednostavili ovaj izraz, možemo dodati slične pojmove:
Dakle, izraz pojednostavljeno na .
U ovom primjeru bi bilo prikladnije prvo dodati prvi i posljednji koeficijent. U ovom slučaju imamo kratko rješenje. To bi izgledalo ovako:
Primjer 12. Pojednostavite izraz 
Da bismo pojednostavili ovaj izraz, možemo dodati slične pojmove:
Dakle, izraz pojednostavljeno na 
.
Termin je ostao nepromijenjen, jer se nije imalo čemu dodati.
Ovo rješenje se može napisati mnogo kraće. To će izgledati ovako:
Kratko rješenje je preskočilo korake zamjene oduzimanja sa sabiranjem i detalja kako su razlomci svedeni na zajednički nazivnik.
Druga razlika je u tome što u detaljno rješenje odgovor izgleda , ali ukratko kao . U stvari, oni su isti izraz. Razlika je u tome što je u prvom slučaju oduzimanje zamijenjeno sabiranjem, jer smo na početku, kada smo detaljno zapisivali rješenje, oduzimanje zamijenili sabiranjem gdje god je to bilo moguće, a ta zamjena je sačuvana za odgovor.
Identiteti. Identično jednaki izrazi
Jednom kada pojednostavimo bilo koji izraz, on postaje jednostavniji i kraći. Da biste provjerili da li je pojednostavljeni izraz ispravan, dovoljno je zamijeniti bilo koju vrijednost varijabli prvo u prethodni izraz koji je trebao biti pojednostavljen, a zatim u novi koji je pojednostavljen. Ako je vrijednost u oba izraza ista, onda je pojednostavljeni izraz tačan.
Pogledajmo jednostavan primjer. Neka je potrebno pojednostaviti izraz 2a×7b. Da biste pojednostavili ovaj izraz, možete odvojeno množiti brojeve i slova:
2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab
Provjerimo da li smo izraz ispravno pojednostavili. Da bismo to učinili, zamijenimo bilo koje vrijednosti varijabli a I b prvo u prvi izraz koji je trebalo pojednostaviti, a zatim u drugi, koji je bio pojednostavljen.
Neka vrijednosti varijabli a , b bit će kako slijedi:
a = 4, b = 5
Zamijenimo ih u prvi izraz 2a×7b
Sada zamijenimo iste vrijednosti varijable u izraz koji je rezultat pojednostavljenja 2a×7b, naime u izrazu 14ab
14ab = 14 × 4 × 5 = 280
To vidimo kada a=4 I b=5 vrijednost prvog izraza 2a×7b i značenje drugog izraza 14ab jednaka
2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280
14ab = 14 × 4 × 5 = 280
Isto će se dogoditi i za sve druge vrijednosti. Na primjer, neka a=1 I b=2
2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 =28
14ab = 14 × 1 × 2 =28
Dakle, za bilo koje vrijednosti varijabli izraza 2a×7b I 14ab jednake su istoj vrijednosti. Takvi izrazi se nazivaju identično jednake.
To zaključujemo između izraza 2a×7b I 14ab možete staviti znak jednakosti jer su jednaki istoj vrijednosti.
2a × 7b = 14ab
Jednakost je svaki izraz koji je povezan znakom jednakosti (=).
I jednakost forme 2a×7b = 14ab pozvao identitet.
Identitet je jednakost koja vrijedi za bilo koju vrijednost varijabli.
Drugi primjeri identiteta:
a + b = b + a
a(b+c) = ab + ac
a(bc) = (ab)c
Da, zakoni matematike koje smo proučavali su identiteti.
Prave numeričke jednakosti su također identiteti. Na primjer:
2 + 2 = 4
3 + 3 = 5 + 1
10 = 7 + 2 + 1
Odlučivanje težak zadatak Radi lakšeg izračunavanja, složeni izraz se zamjenjuje jednostavnijim izrazom koji je identično jednak prethodnom. Ova zamjena se zove identična transformacija izraza ili jednostavno transformisanje izraza.
Na primjer, pojednostavili smo izraz 2a×7b, i dobio je jednostavniji izraz 14ab. Ovo pojednostavljenje se može nazvati transformacijom identiteta.
Često možete pronaći zadatak koji kaže "dokazati da je jednakost identitet" a zatim se daje jednakost koju treba dokazati. Obično se ova jednakost sastoji od dva dijela: lijevog i desnog dijela jednakosti. Naš zadatak je izvršiti transformacije identiteta sa jednim od dijelova jednakosti i dobiti drugi dio. Ili izvršite identične transformacije na obje strane jednakosti i uvjerite se da obje strane jednakosti sadrže iste izraze.
Na primjer, dokažimo da je jednakost 0,5a × 5b = 2,5ab je identitet.
Pojednostavimo lijevu stranu ove jednakosti. Da biste to učinili, pomnožite brojeve i slova odvojeno:
0,5 × 5 × a × b = 2,5ab
2.5ab = 2.5ab
Kao rezultat male transformacije identiteta, lijeva strana jednakost je postala jednaka desnoj strani jednakosti. Tako smo dokazali da je jednakost 0,5a × 5b = 2,5ab je identitet.
Iz identičnih transformacija naučili smo sabirati, oduzimati, množiti i dijeliti brojeve, smanjivati razlomke, sabirati slične članove, a također i pojednostavljivati neke izraze.
Ali to nisu sve identične transformacije koje postoje u matematici. Postoji još mnogo identičnih transformacija. Vidjet ćemo to više puta u budućnosti.
Zadaci za samostalno rješavanje:
Da li vam se dopala lekcija?
Pridružite se našoj nova grupa VKontakte i počnite primati obavještenja o novim lekcijama
Numerički izrazi, konverzija numeričkih izraza (racionalnih i iracionalnih). Prijatelji! Ovaj članak vam pruža rješenje za numeričko racionalno i iracionalni izrazi. Ovo su jednostavni zadaci za Jedinstveni državni ispit iz matematike, dovoljno je znati svojstva potencija i korijena. Također morate znati raditi sa razlomcima (naći njihov zbir, razliku, proizvod, količnik). Proces rješavanja takvog zadatka traje oko dvije minute, ne više. Nema puno teorije:
Jednostavnim (nematematičkim) jezikom racionalni izrazi To su cjelobrojni i razlomci. Razlomci su razmotreni u nastavku.
Algebarski izraz se naziva iracionalnim, ako se u izrazu, uz operacije sabiranja, oduzimanja, množenja i dijeljenja, izvodi operacija podizanja na racionalni (ne cijeli broj) stepen.
Obični razlomak je omjer oblika:
*RELACIJA je radnja - DIVISION (u ovom slučaju, “a” je podijeljena sa “b”).
Može se napisati i kao: a/b ili a:b (kosa crta i znak “:” označavaju podjelu). Primjeri običnih razlomaka:
Kao što vidite, broj 4 se može napisati kao razlomak 4/1. Postoje razlomci koji se mogu smanjiti, na primjer, 48/8 = 6. Neki se mogu predstaviti kao konačne decimale: ½ = 0,5 ¼ = 0,25.
Ako imamo cijeli broj s razlomkom (mješoviti razlomak) i trebamo izvršiti radnju, onda ga moramo predstaviti kao prosti razlomak. Kako?
Imamo nekoliko oblika:
Da bismo dobili razlomak jednak njemu, pomnožimo cijeli dio sa nazivnikom i dodamo brojilac, rezultat upišemo u brojilac, nazivnik ostaje isti:
Na primjer:
Ako trebate izračunati zbir (razliku) dva razlomka s različitim nazivnicima, trebate transformirati razlomke u takav oblik tako da su im imenioci jednaki:
*Odnosno, primili smo zajednički imenilac množenjem brojnika i imenioca prvog razlomka sa imeniocem drugog i množenjem brojnika i nazivnika drugog razlomka sa imeniocem prvog. Ovdje namjerno ne spominjem najmanji zajednički višekratnik jer za neke koji su "davno" napustili školu može doći do preopterećenja informacijama.
Cijela poenta radnje je da se razlomci dovedu do zajedničkog nazivnika, jer se razlomci s različitim nazivnicima ne mogu sabirati. Ako razlomci imaju zajednički nazivnik, onda će rezultat zbira razlomaka biti razlomak sa istim nazivnikom, a brojnici se sabiraju.
Ako trebate izračunati umnožak dva razlomka, rezultat će biti razlomak čiji je brojilac jednak umnošku brojnika ovih razlomaka, a nazivnik je jednak proizvodu nazivnika:
Ako jedan razlomak treba podijeliti drugim, onda se ova radnja svodi na umnožak dividende i recipročne vrijednosti djelitelja:
*Odnosno, jednostavno rečeno, „preokrećemo“ razlomak kojim dijelimo i zamjenjujemo dijeljenje množenjem.
Mogu se vidjeti svojstva stepena i korijena.
Pogledajmo zadatke:
77387. Pronađite vrijednost izraza
Odgovor: 8
77389. Pronađite vrijednost izraza
Odgovor: 5
77391. Pronađite vrijednost izraza
Odgovor: 10
77392. Pronađite vrijednost izraza
*U ovom zadatku ne morate izračunavati proizvode, a zatim omjer. Gledajući brojke možete vidjeti da se lijepo smanjuju. Dovoljno je napraviti jednostavne transformacije i primjer se izračunava usmeno.
Odgovor: 10
86983. Pronađite vrijednost izraza
Pojednostavite koristeći formulu razlike kvadrata
i izračunaj:
Odgovor: 702
61513. Pronađite vrijednost izraza
Odgovor: 24
62385. Pronađite vrijednost izraza
Odgovor: 2
62647. Pronađite vrijednost izraza
Odgovor: 2
68141. Find
Odredimo brojilac i imenilac:
Brojilac je jednak nazivniku. To znači da je omjer jednak jedan:
Odgovor: 1
26745. Pronađite vrijednost izraza
*Ako korijenje ima različitih stepeni, tada se transformacije koje uključuju uvođenje izraza pod jednim korijenom ne mogu izvoditi. Potrebno je sve korijene dovesti u jednaki stepen. Koristimo nekretninu:
Odgovor: 1
77405. Pronađite vrijednost izraza
*Uključeno završna faza korišteno:
Odgovor: 7
Biće korisno sa pokaznim izrazima.
26900. Pronađite vrijednost izraza
Jedan od pojmova u algebri 7. razreda su numerički izrazi. Koriste se za rješavanje problema. Šta su numerički izrazi i kako ih koristiti?
Definicija pojma
Koji je izraz brojevni izraz u algebri? Ovako označavaju zapis sastavljen od brojeva, zagrada i znakova za oduzimanje, množenje, dijeljenje i sabiranje.
Koncept numeričkog izraza je dozvoljen samo ako unos nosi semantičko opterećenje. Na primjer, unos 4-) nije numerički izraz jer je besmislen.
Primjeri numeričkih izraza:
- 25x13;
- 32-4+8;
- 12x(25-5).
Karakteristike koncepta
Numerički izraz ima nekoliko svojstava koja se koriste u rješavanju primjera i problema. Pogledajmo ova svojstva detaljnije. Da bismo to učinili, uzmimo sljedeći primjer - 45+21-(6x2).
Značenje
Budući da numerički izraz sadrži znakove različitih aritmetičkih operacija, one se mogu izvesti i rezultat će biti broj. To se zove vrijednost numeričkog izraza. Kako se izračunavaju vrijednosti numeričkog izraza? Odgovara pravilima za izvođenje aritmetičkih operacija:
- u izrazima bez zagrada izvršavaju akcije počevši od viši nivoi– množenje, dijeljenje, sabiranje, oduzimanje;
- ako postoji nekoliko identičnih radnji, one se izvode s lijeva na desno;
- ako postoje zagrade, prvo izvršite radnje u njima;
- Kada računate razlomke, prvo izvršite operacije u brojniku i nazivniku, a zatim podijelite brojilac sa nazivnikom.
Primijenimo ova pravila na naš primjer.
- Prvo, pronađimo vrijednost u zagradama: 6x2=12.
- Zatim radimo sabiranje: 45+21=66.
- Zadnji korak je pronaći razliku: 66-12=54.
Dakle, broj 54 će biti vrijednost izraza 45+21-(6x2).
Da biste ispravno pročitali numerički izraz, morate odrediti koja će akcija biti posljednja u proračunima. U izrazu 45+21-(6x2) posljednja radnja je bila oduzimanje. Shodno tome, ovaj izraz treba nazvati „razlika“. Ako bi umjesto znaka “-” bio znak “+”, izraz bi se zvao zbir.
Ako se izraz ne može prebrojati, kaže se da nema značenje. Na primjer, sljedeći izraz nema smisla: 12:(4-4). U zagradi, razlika je nula. Ali prema pravilima matematike, ne možete dijeliti sa nulom. To znači da je nemoguće pronaći značenje izraza.
Jednakost
Ovo je ime dato zapisu u kojem su dva numerička izraza odvojena znakom “=”. Na primjer, 45+21-(6x2)=66-12. Oba dijela zapisa jednaka su broju 54, što znači da su jednaki jedan drugom. Takva se jednakost naziva istinitom.
Ako napišete 45+21-(6x2)=35+12, ova jednakost će biti netačna. Na lijevoj strani jednakosti vrijednost izraza je 54, a na desnoj - 57. Ovi brojevi nisu međusobno jednaki, što znači da je jednakost netačna.
Primer zadatka
Da bismo bolje razumjeli temu, pogledajmo primjer rješavanja problema. Kako riješiti problem pomoću numeričkog izraza?
Dato: dva automobila odlaze od jedne do druge tačke. Ići će različitim putevima. Jedan automobil mora preći 35 km, a drugi – 42 km. Prvi automobil se kreće brzinom od 70 km/h, a drugi 84 km/h. Hoće li stići na odredište u isto vrijeme?
Rješenje: Morate kreirati dva numerička izraza da biste pronašli vrijeme putovanja za svaki automobil. Ako se pokaže da su isti, to znači da će automobili stići na krajnje odredište u isto vrijeme. Da biste pronašli vrijeme, trebate podijeliti udaljenost sa brzinom. 35 km: 70 km/h=0,5 h 42 km: 84 km/h=0,5 h.
Dakle, oba automobila su na krajnje odredište stigla za pola sata.
Šta smo naučili?
Iz predmeta algebra koji se učio u 7. razredu naučili smo da je numerički izraz zapis sastavljen od brojeva i znakova računskih operacija. Možete rješavati probleme koristeći numeričke izraze. Ako je posljednja radnja u numeričkom izrazu bila oduzimanje, onda se to naziva "razlika". Ako umjesto znaka “-” stoji znak “+”, izraz se naziva zbroj.