Prvobitno sam želio da uključim tehnike uobičajenih nazivnika u odjeljak za dodavanje i oduzimanje razlomaka. Ali pokazalo se da ima toliko informacija, a njihova važnost je toliko velika (uostalom, ne samo brojčani razlomci imaju zajedničke nazivnike), da je bolje proučiti ovo pitanje zasebno.
Dakle, recimo da imamo dva razlomka sa različitim nazivnicima. I želimo da budemo sigurni da imenioci postanu isti. U pomoć dolazi osnovno svojstvo razlomka, koje, da podsjetim, zvuči ovako:
Razlomak se neće promijeniti ako se njegov brojilac i imenilac pomnože istim brojem koji nije nula.
Dakle, ako pravilno odaberete faktore, imenioci razlomaka će postati jednaki - ovaj proces se naziva redukcija na zajednički imenilac. A traženi brojevi, "izjednačavajući" nazivnike, nazivaju se dodatnim faktorima.
Zašto trebamo svesti razlomke na zajednički nazivnik? Evo samo nekoliko razloga:
- Sabiranje i oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima. Ne postoji drugi način da se izvrši ova operacija;
- Poređenje razlomaka. Ponekad svođenje na zajednički nazivnik uvelike pojednostavljuje ovaj zadatak;
- Rješavanje zadataka koji uključuju razlomke i procente. Procenti su u suštini obični izrazi koji sadrže razlomke.
Postoji mnogo načina da se pronađu brojevi koji će, kada se pomnože s njima, učiniti nazivnike razlomaka jednakim. Razmotrit ćemo samo tri od njih - po rastućoj složenosti i, u određenom smislu, djelotvornosti.
Unakrsno množenje
Najjednostavniji i najpouzdaniji metod, koji garantirano izjednačava nazivnike. Postupit ćemo „bezglavo“: prvi razlomak pomnožimo sa imeniocem drugog razlomka, a drugi sa imeniocem prvog. Kao rezultat toga, nazivnici oba razlomka će postati jednaki proizvodu originalnih nazivnika. Pogledaj:
Kao dodatne faktore, razmotrite imenioce susjednih razlomaka. Dobijamo:
Da, tako je jednostavno. Ako tek počinjete proučavati razlomke, bolje je raditi koristeći ovu metodu - tako ćete se osigurati od mnogih grešaka i zajamčeno ćete dobiti rezultat.
Jedina mana ove metode je što morate puno brojati, jer se imenioci množe „iznova i iznova“, a rezultat može biti veoma veliki brojevi. Ovo je cijena koju treba platiti za pouzdanost.
Metoda zajedničkog djelitelja
Ova tehnika pomaže u značajnom smanjenju proračuna, ali se, nažalost, koristi prilično rijetko. Metoda je sljedeća:
- Prije nego što krenete pravo naprijed (tj. korištenjem unakrsnog metoda), pogledajte nazivnike. Možda je jedan od njih (onaj koji je veći) podijeljen na drugi.
- Broj koji nastaje ovim dijeljenjem bit će dodatni faktor za razlomak sa manjim nazivnikom.
- U ovom slučaju, razlomak s velikim nazivnikom uopće ne treba množiti ni sa čim - tu leži ušteda. Istovremeno, vjerovatnoća greške je naglo smanjena.
Zadatak. Pronađite značenja izraza:
Imajte na umu da 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Pošto je u oba slučaja jedan imenilac bez ostatka podijeljen drugim, koristimo metodu zajedničkih faktora. Imamo:
Imajte na umu da drugi razlomak uopće nije pomnožen ni sa čim. U stvari, prepolovili smo količinu izračunavanja!
Inače, nisam slučajno uzeo razlomke u ovom primjeru. Ako ste zainteresirani, pokušajte ih prebrojati metodom unakrsne. Nakon redukcije odgovori će biti isti, ali posla će biti mnogo više.
Ovo je snaga metode zajedničkih djelitelja, ali, opet, ona se može koristiti samo kada je jedan od nazivnika djeljiv s drugim bez ostatka. Što se dešava prilično retko.
Najmanje uobičajena višestruka metoda
Kada razlomke svedemo na zajednički nazivnik, u suštini pokušavamo pronaći broj koji je djeljiv sa svakim od nazivnika. Zatim imenioce oba razlomka dovodimo na ovaj broj.
Takvih brojeva ima puno, a najmanji od njih neće nužno biti jednak direktnom proizvodu nazivnika originalnih razlomaka, kao što se pretpostavlja u metodi „kris-cross“.
Na primjer, za nazivnike 8 i 12, broj 24 je sasvim prikladan, jer je 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Ovaj broj je mnogo manji od proizvoda 8 · 12 = 96.
Najmanji broj koji je djeljiv sa svakim od nazivnika naziva se njihov najmanji zajednički višekratnik (LCM).
Oznaka: Najmanji zajednički višekratnik a i b označen je sa LCM(a; b) . Na primjer, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24 .
Ako uspijete pronaći takav broj, ukupni iznos izračuna će biti minimalan. Pogledajte primjere:
Zadatak. Pronađite značenja izraza:
Imajte na umu da je 234 = 117 2; 351 = 117 3. Faktori 2 i 3 su međusobno jednostavni (nemaju zajedničke faktore osim 1), a faktor 117 je uobičajen. Stoga je LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.
Isto tako, 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktori 3 i 4 su međusobno jednostavni, a faktor 5 je uobičajen. Stoga je LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.
Sada dovedemo razlomke na zajedničke imenioce:
Primijetite koliko je bilo korisno faktorizirati originalne nazivnike:
- Otkrivši identične faktore, odmah smo došli do najmanjeg zajedničkog višekratnika, što je, generalno govoreći, netrivijalan problem;
- Iz rezultirajuće ekspanzije možete saznati koji faktori „nedostaju“ u svakom razlomku. Na primjer, 234 · 3 = 702, dakle, za prvi razlomak dodatni faktor je 3.
Da biste shvatili koliku razliku čini metoda najmanje uobičajenog višestrukog broja, pokušajte izračunati ove iste primjere koristeći unakrsnu metodu. Naravno, bez kalkulatora. Mislim da će nakon ovoga komentari biti nepotrebni.
Nemojte misliti da u stvarnim primjerima neće biti tako složenih razlomaka. Stalno se sastaju, a navedeni zadaci nisu granica!
Jedini problem je kako pronaći baš ovaj NOC. Ponekad se sve pronađe za nekoliko sekundi, doslovno "na oko", ali općenito je ovo složen računski zadatak koji zahtijeva odvojeno razmatranje. Nećemo to dirati ovdje.
Imenilac aritmetičkog razlomka a/b je broj b, koji pokazuje veličinu razlomaka jedinice od koje je razlomak sastavljen. Imenilac algebarskog razlomka A/B je algebarski izraz B. Za izvođenje aritmetičke operacije sa razlomcima se moraju svesti na najmanji zajednički nazivnik.
Trebaće ti
- Da biste radili s algebarskim razlomcima i pronašli najmanji zajednički nazivnik, morate znati kako rastaviti polinome na faktore.
Instrukcije
Razmotrimo svođenje dva aritmetička razlomka n/m i s/t na najmanji zajednički nazivnik, gdje su n, m, s, t cijeli brojevi. Jasno je da se ova dva razlomka mogu svesti na bilo koji nazivnik djeljiv sa m i t. Ali pokušavaju da to dovedu do najmanjeg zajedničkog nazivnika. Jednaka je najmanjem zajedničkom višekratniku nazivnika m i t datih razlomaka. Najmanji višekratnik (LMK) broja je najmanji djeljiv sa svim datim brojevima u isto vrijeme. One. u našem slučaju, moramo pronaći najmanji zajednički višekratnik brojeva m i t. Označava se kao LCM (m, t). Zatim se razlomci množe s odgovarajućim: (n/m) * (LCM (m, t) / m), (s/t) * (LCM (m, t) / t).
Nađimo najmanji zajednički imenitelj tri razlomka: 4/5, 7/8, 11/14. Prvo, proširimo nazivnike 5, 8, 14: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7. Zatim izračunajte LCM (5, 8, 14) množenjem svi brojevi uključeni u barem jedno proširenje. LCM (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. Imajte na umu da ako se faktor pojavi u proširenju nekoliko brojeva (faktor 2 u proširenju nazivnika 8 i 14), onda faktor uzimamo u veći stepen (2^3 u našem slučaju).
Dakle, primljena je opšta. Jednako je 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20. Ovdje dobijamo brojeve kojima trebamo pomnožiti razlomke sa odgovarajućim imeniocima da bismo ih doveli na najmanji zajednički imenilac. Dobijamo 4/5 = 56 * (4/5) = 224/280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280.
Svođenje algebarskih razlomaka na najmanji zajednički nazivnik vrši se po analogiji s aritmetičkim. Radi jasnoće, pogledajmo problem koristeći primjer. Neka su data dva razlomka (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) i (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1). Razložimo oba imenioca na faktore. Imajte na umu da je nazivnik prvog razlomka savršen kvadrat: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. Za
U ovom članku ćemo se fokusirati na bracketing zajednički množitelj . Prvo, hajde da shvatimo od čega se sastoji ova transformacija izraza. Zatim ćemo predstaviti pravilo za stavljanje zajedničkog faktora van zagrada i detaljno razmotriti primjere njegove primjene.
Navigacija po stranici.
Na primjer, pojmovi u izrazu 6 x + 4 y imaju zajednički faktor 2, koji nije eksplicitno zapisan. Može se vidjeti tek nakon što se broj 6 predstavi kao proizvod 2,3, a 4 kao proizvod od 2,2. dakle, 6 x+4 y=2 3 x+2 2 y=2 (3 x+2 y). Drugi primjer: u izrazu x 3 +x 2 +3 x pojmovi imaju zajednički faktor x, koji postaje jasno vidljiv nakon zamjene x 3 sa x x 2 (u ovom slučaju smo koristili) i x 2 sa x x. Nakon što ga izvadimo iz zagrada, dobijamo x·(x 2 +x+3) .
Recimo odvojeno o stavljanju minusa iz zagrada. U stvari, stavljanje minusa iz zagrada znači stavljanje minusa iz zagrada. Na primjer, izvadimo minus u izrazu −5−12·x+4·x·y. Originalni izraz se može prepisati kao (−1) 5+(−1) 12 x−(−1) 4 x y, odakle je jasno vidljiv zajednički faktor −1, koji vadimo iz zagrada. Kao rezultat, dolazimo do izraza (−1)·(5+12·x−4·x·y) u kojem se koeficijent −1 jednostavno zamjenjuje minusom ispred zagrada, kao rezultat imamo −( 5+12·x−4·x· y) . Odavde se jasno vidi da kada se minus izvadi iz zagrada, originalni zbir ostaje u zagradama, u kojima su predznaci svih njegovih članova promijenjeni u suprotne.
U zaključku ovog članka, napominjemo da se zagrada zajedničkog faktora koristi vrlo široko. Na primjer, može se koristiti za efikasnije izračunavanje vrijednosti numeričkih izraza. Takođe, stavljanje zajedničkog faktora iz zagrada vam omogućava da izrazite predstavite u obliku proizvoda; posebno, jedna od metoda za faktoring polinoma zasniva se na stavljenju u zagrade.
Bibliografija.
- Matematika. 6. razred: obrazovni. za opšte obrazovanje institucije / [N. Ya. Vilenkin i drugi]. - 22. izdanje, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-00897-2.
Da biste razlomke sveli na najmanji zajednički imenilac, potrebno je: 1) pronaći najmanji zajednički umnožak datih razlomaka, to će biti najmanji zajednički imenilac. 2) pronaći dodatni faktor za svaki razlomak tako što ćete novi imenilac podijeliti imenilac svakog razlomka. 3) pomnožimo brojilac i imenilac svakog razlomka njegovim dodatnim faktorom.
Primjeri. Smanjite sljedeće razlomke na njihov najmanji zajednički nazivnik.
Pronalazimo najmanji zajednički višekratnik nazivnika: LCM(5; 4) = 20, pošto je 20 najmanji broj koji je djeljiv i sa 5 i sa 4. Nađite za prvi razlomak dodatni faktor 4 (20 : 5=4). Za drugi razlomak dodatni faktor je 5 (20 : 4=5). Pomnožimo brojilac i imenilac 1. razlomka sa 4, a brojilac i imenilac 2. razlomka sa 5. Ove razlomke smo sveli na najmanji zajednički imenilac ( 20 ).
Najmanji zajednički nazivnik ovih razlomaka je broj 8, pošto je 8 deljivo sa 4 i samim sobom. Za 1. razlomak neće biti dodatnog faktora (ili možemo reći da je jednak jedan), za 2. razlomak dodatni faktor je 2 (8 : 4=2). Pomnožimo brojilac i imenilac 2. razlomka sa 2. Sveli smo ove razlomke na najmanji zajednički imenilac ( 8 ).
Ovi razlomci nisu nesvodljivi.
Smanjimo prvi razlomak za 4, a drugi razlomak za 2. ( vidi primjere smanjenja običnih razlomaka: Mapa sajta → 5.4.2. Primjeri redukcije običnih razlomaka). Pronađite LOC(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. Dodatni množitelj za prvi razlomak je 5 (80 : 16=5). Dodatni faktor za 2. razlomak je 4 (80 : 20=4). Pomnožimo brojilac i imenilac 1. razlomka sa 5, a brojilac i imenilac 2. razlomka sa 4. Ove razlomke smo sveli na najmanji zajednički imenilac ( 80 ).
Pronalazimo najmanji zajednički imenilac NCD(5 ; 6 i 15)=NOK(5 ; 6 i 15)=30. Dodatni faktor prvom razlomku je 6 (30 : 5=6), dodatni faktor drugom razlomku je 5 (30 : 6=5), dodatni faktor trećem razlomku je 2 (30 : 15=2). Pomnožimo brojilac i imenilac 1. razlomka sa 6, brojilac i imenilac 2. razlomka sa 5, brojilac i imenilac 3. razlomka sa 2. Ove razlomke smo sveli na najmanji zajednički imenilac ( 30 ).
Stranica 1 od 1 1
IN pravi zivot Moramo da operišemo sa običnim razlomcima. Međutim, da bismo sabrali ili oduzeli razlomke sa različitim nazivnicima, kao što su 2/3 i 5/7, moramo pronaći zajednički imenilac. Dovođenjem razlomaka na zajednički nazivnik, lako možemo izvoditi operacije sabiranja ili oduzimanja.
Definicija
Razlomci su jedni od najčešćih teške teme u osnovnoj aritmetici, a racionalni brojevi plaše školarce koji se s njima prvi put susreću. Navikli smo raditi s brojevima pisanim u decimalnom formatu. Mnogo je lakše odmah dodati 0,71 i 0,44 nego 5/7 i 4/9. Uostalom, da bi se zbrojili razlomci, oni se moraju svesti na zajednički nazivnik. Međutim, razlomci predstavljaju značenje količina mnogo preciznije od njihovih decimalnih ekvivalenata, a u matematici predstavljanje serija ili iracionalnih brojeva kao razlomaka postaje prioritet. Ovaj zadatak se zove “dovođenje izraza u zatvoreni oblik”.
Ako se i brojnik i imenilac razlomka pomnože ili podijele istim faktorom, vrijednost razlomka se ne mijenja. Ovo je jedno od najvažnijih svojstava razlomci brojeva. Na primjer, razlomak 3/4 u decimalnom obliku zapisuje se kao 0,75. Ako pomnožimo brojilac i imenilac sa 3, dobićemo razlomak 9/12, što je potpuno isto kao 0,75. Zahvaljujući ovoj osobini možemo množiti različite razlomke tako da svi imaju iste nazivnike. Kako uraditi?
Pronalaženje zajedničkog nazivnika
Najmanji zajednički imenilac (LCD) je najmanji zajednički višekratnik svih imenilaca u izrazu. Takav broj možemo pronaći na tri načina.
Koristeći maksimalni nazivnik
Ovo je jedna od najjednostavnijih, ali najdugotrajnijih metoda za traženje NCD. Najprije iz nazivnika svih razlomaka ispisujemo najveći broj i provjeravamo njegovu djeljivost manjim brojevima. Ako je djeljiv, tada je najveći imenilac NCD.
Ako su u prethodnoj operaciji brojevi djeljivi s ostatkom, tada se najveći od njih mora pomnožiti sa 2 i test djeljivosti ponoviti. Ako se podijeli bez ostatka, tada novi koeficijent postaje NOZ.
Ako nije, tada se najveći imenilac množi sa 3, 4, 5 i tako dalje dok se ne dobije najmanji zajednički umnožak donji delovi svi razlomci. U praksi to izgleda ovako.
Neka nam budu razlomci 1/5, 1/8 i 1/20. Provjeravamo 20 za djeljivost 5 i 8. 20 nije djeljivo sa 8. Pomnožite 20 sa 2. Provjerite 40 za djeljivost 5 i 8. Brojevi su djeljivi bez ostatka, dakle, N3 (1/5, 1/8 i 1/20) = 40, a razlomci postaju 8/40, 5/40 i 2/40.
Sekvencijalna pretraga višestrukih
Druga metoda je jednostavno pretraživanje višestrukih i odabir najmanjeg. Da bismo pronašli višekratnike, množimo broj sa 2, 3, 4 i tako dalje, tako da broj višekratnika ide u beskonačnost. Ovaj niz može biti ograničen ograničenjem, koje je proizvod datih brojeva. Na primjer, za brojeve 12 i 20 LCM se nalazi na sljedeći način:
- zapišite brojeve koji su višekratnici od 12 - 24, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120;
- zapišite brojeve koji su višestruki od 20 - 40, 60, 80, 100, 120;
- odrediti zajedničke višekratnike - 60, 120;
- odaberite najmanji od njih - 60.
Dakle, za 1/12 i 1/20, zajednički nazivnik je 60, a razlomci se pretvaraju u 5/60 i 3/60.
Primena faktorizacije
Ova metoda pronalaženja LOC-a je najrelevantnija. Ova metoda podrazumijeva dekompoziciju svih brojeva iz nižih dijelova razlomaka na nedjeljive činioce. Nakon toga se sastavlja broj koji sadrži faktore svih nazivnika. U praksi to funkcionira ovako. Nađimo LCM za isti par 12 i 20:
- razložiti 12 - 2 × 2 × 3;
- rasporedite 20 - 2 × 2 × 5;
- kombinujemo faktore tako da sadrže brojeve i 12 i 20 - 2 × 2 × 3 × 5;
- pomnožite nedjeljive i dobijete rezultat - 60.
U trećoj tački kombiniramo množitelje bez ponavljanja, odnosno dvije dvojke su dovoljne da se formira 12 u kombinaciji sa trojkom i 20 sa pet.
Naš kalkulator vam omogućava da odredite NOZ za proizvoljan broj razlomaka napisanih u običnom i decimalnom obliku. Da biste tražili NOS, samo trebate unijeti vrijednosti odvojene tabulatorima ili zarezima, nakon čega će program izračunati zajednički nazivnik i prikazati pretvorene razlomke.
Primjer iz stvarnog života
Zbrajanje razlomaka
Pretpostavimo da u aritmetičkom zadatku trebamo dodati pet razlomaka:
0,75 + 1/5 + 0,875 + 1/4 + 1/20
Rješenje bi se uradilo ručno na sljedeći način. Prvo, moramo predstaviti brojeve u jednom obliku notacije:
- 0,75 = 75/100 = 3/4;
- 0,875 = 875/1000 = 35/40 = 7/8.
Sada imamo niz običnih razlomaka koje treba svesti na isti nazivnik:
3/4 + 1/5 + 7/8 + 1/4 + 1/20
Budući da imamo 5 pojmova, najlakši način je korištenje metode traženja NOZ po najveći broj. Provjeravamo djeljivost 20 drugim brojevima. 20 nije djeljivo sa 8 bez ostatka. Pomnožimo 20 sa 2, provjerimo djeljivost 40 - svi brojevi dijele 40 s cjelinom. Ovo je naš zajednički imenitelj. Sada, da bismo sabrali racionalne brojeve, moramo odrediti dodatne faktore za svaki razlomak, koji su definisani kao omjer LCM-a i nazivnika. Dodatni množitelji će izgledati ovako:
- 40/4 = 10;
- 40/5 = 8;
- 40/8 = 5;
- 40/4 = 10;
- 40/20 = 2.
Sada množimo brojilac i nazivnik razlomaka odgovarajućim dodatnim faktorima:
30/40 + 8/40 + 35/40 + 10/40 + 2/40
Za takav izraz lako možemo odrediti zbir jednak 85/40 ili 2 cijela i 1/8. Ovo je glomazna kalkulacija, tako da možete jednostavno unijeti podatke o problemu u obrazac kalkulatora i odmah dobiti odgovor.
Zaključak
Aritmetičke operacije sa razlomcima nisu baš zgodna stvar, jer da biste pronašli odgovor morate izvršiti mnoga srednja izračunavanja. Koristite naš online kalkulator da pretvorite razlomke u zajednički nazivnik i brzo rešenješkolski zadaci.