Kako pronaći površinu poligona na različite načine. Kako pronaći površinu poligona

Problemi s geometrijom često zahtijevaju izračunavanje površine poligona. Štaviše, može imati prilično raznolik oblik - od poznatog trokuta do nekog n-ugla s nekim nezamislivim brojem vrhova. Osim toga, ovi poligoni mogu biti konveksni ili konkavni. U svakom konkretnu situaciju trebalo bi da počne od izgled figure. Na taj način možete odabrati optimalan način rješavanja problema. Brojka se može pokazati točnom, što će uvelike pojednostaviti rješenje problema.

Malo teorije o poligonima

Ako nacrtate tri ili više linija koje se ukrštaju, one formiraju određenu figuru. Ona je taj poligon. Na osnovu broja presečnih tačaka postaje jasno koliko će vrhova imati. Oni daju ime rezultirajućoj figuri. To može biti:

Takvu figuru svakako će karakterizirati dvije pozicije:

Susedne strane ne pripadaju istoj pravoj liniji.
Nesusedni nemaju zajedničkih tačaka, odnosno ne seku se.

Da biste razumjeli koji su vrhovi susjedni, morat ćete vidjeti da li pripadaju istoj strani. Ako da, onda susjedne. Inače se mogu povezati segmentom, koji se mora nazvati dijagonalom. Mogu se izvesti samo u poligonima koji imaju više od tri vrha.

Koje vrste njih postoje?

Poligon sa više od četiri ugla može biti konveksan ili konkavan. Razlika između potonjeg je u tome što neki od njegovih vrhova mogu ležati duž različite strane od prave linije povučene kroz proizvoljnu stranu poligona. U konveksnom slučaju, svi vrhovi uvijek leže na istoj strani takve prave linije.

IN školski kurs geometrija večina vrijeme je posebno posvećeno konveksnim figurama. Stoga problemi zahtijevaju pronalaženje površine konveksnog poligona. Zatim postoji formula u smislu polumjera opisane kružnice, koja vam omogućava da pronađete željenu vrijednost za bilo koju figuru. U drugim slučajevima nema jasnog rješenja. Za trokut formula je jedna, ali za kvadrat ili trapez potpuno drugačija. U situacijama kada je figura nepravilna ili ima puno vrhova, uobičajeno je podijeliti ih na jednostavne i poznate.

Šta učiniti ako figura ima tri ili četiri vrha?

U prvom slučaju, ispostavit će se da je trokut, a možete koristiti jednu od formula:

S = 1/2 * a * n, gdje je a stranica, n visina do nje;
S = 1/2 * a * b * sin (A), gdje su a, b stranice trougla, A je ugao između poznatih stranica;
S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)), gdje je c stranica trougla, na dvije već naznačene, p je poluperimetar, tj. zbir sve tri strane podijeljen sa dva.

Figura sa četiri vrha može se pokazati kao paralelogram:

S = a * n;
S = 1/2 * d 1 * d 2 * sin(α), gdje su d 1 i d 2 dijagonale, α je ugao između njih;
S = a * u * sin(α).

Formula za površinu trapeza: S = n * (a + b) / 2, gdje su a i b dužine baza.

Šta učiniti s pravilnim poligonom koji ima više od četiri vrha?

Za početak, takvu figuru karakterizira činjenica da su sve strane jednake. Plus, poligon ima jednake uglove.

Ako nacrtate krug oko takve figure, tada će se njen polumjer poklopiti sa segmentom od središta poligona do jednog od vrhova. Stoga, da biste izračunali površinu pravilnog poligona s proizvoljnim brojem vrhova, trebat će vam sljedeća formula:

S n = 1/2 * n * R n 2 * sin (360º/n), gdje je n broj vrhova poligona.

Iz njega je lako dobiti onaj koji je koristan za posebne slučajeve:

trougao: S = (3√3)/4 * R 2 ;
kvadrat: S = 2 * R 2 ;
šestougao: S = (3√3)/2 * R 2.

Situacija sa pogrešnom figurom

Rješenje kako saznati površinu poligona ako nije pravilan i ne može se pripisati nijednoj od prethodno poznatih figura je algoritam:

razbijte ga u jednostavne oblike, na primjer, trokute, tako da se ne sijeku;
izračunajte njihove površine koristeći bilo koju formulu;
zbrojite sve rezultate.

Što učiniti ako problem daje koordinate vrhova poligona?

To jest, skup parova brojeva je poznat za svaku tačku koja ograničava strane figure. Obično se pišu kao (x 1 ; y 1) za prvi, (x 2 ; y 2) za drugi, a n-ti vrh ima sljedeće vrijednosti (x n ; y n). Tada se površina poligona određuje kao zbir n članova. Svaki od njih izgleda ovako: ((y i+1 +y i)/2) * (x i+1 - x i). U ovom izrazu, i varira od jedan do n.

Vrijedi napomenuti da će predznak rezultata ovisiti o obilasku figure. Kada koristite gornju formulu i krećete se u smjeru kazaljke na satu, odgovor će biti negativan.

Primer zadatka

Stanje. Koordinate vrhova određene su sljedećim vrijednostima (0,6; 2,1), (1,8; 3,6), (2,2; 2,3), (3,6; 2,4), (3,1; 0,5). Morate izračunati površinu poligona.

Rješenje. Prema gornjoj formuli, prvi član će biti jednak (1,8 + 0,6)/2 * (3,6 - 2,1). Ovdje samo trebate uzeti vrijednosti za Y i X iz druge i prve tačke. Jednostavan izračun će dovesti do rezultata 1.8.

Drugi član se dobija slično: (2,2 + 1,8)/2 * (2,3 - 3,6) = -2,6. Kada rješavate takve probleme, nemojte se bojati negativnih količina. Sve ide kako treba. Ovo je planirano.

Vrijednosti za treći (0,29), četvrti (-6,365) i peti član (2,96) dobijaju se na sličan način. Tada je konačna površina: 1,8 + (-2,6) + 0,29 + (-6,365) + 2,96 = - 3,915.

Savjeti za rješavanje zadatka gdje je na kariranom papiru nacrtan poligon

Ono što je najčešće zbunjujuće je da podaci sadrže samo veličinu ćelije. Ali ispostavilo se da više informacija nije potrebno. Preporuka za rješavanje ovog problema je da se figura podijeli na više trokuta i pravokutnika. Njihove površine je prilično lako izračunati po dužinama stranica, koje se onda lako mogu sabrati.

Ali često postoji jednostavniji pristup. Sastoji se od crtanja figure na pravougaoniku i izračunavanja njegove površine. Zatim izračunajte površine onih elemenata za koje se pokazalo da su suvišni. Oduzmi ih od opšte značenje. Ova opcija ponekad uključuje nešto manji broj radnji.

Lekcija iz serije “ Geometrijski algoritmi»

Zdravo dragi čitaoče.

Rješenje mnogih problema u računarskoj geometriji zasniva se na pronalaženju područje poligona. U ovoj lekciji ćemo izvesti formulu za izračunavanje površine poligona kroz koordinate njegovih vrhova i napisati funkciju za izračunavanje ove površine.

Zadatak. Izračunajte površinu poligona, dat koordinatama njegovih vrhova, po redoslijedu njihovog obilaska u smjeru kazaljke na satu.

Insights from Computational Geometry

Da bismo izveli formulu za površinu poligona, potrebne su nam informacije iz računske geometrije, odnosno koncept orijentirane površine trokuta.

Orijentirana površina trokuta je obična površina opremljena znakom. Znak orijentirane površine trokuta ABC isto kao i orijentisani ugao između vektora i . To jest, njegov predznak zavisi od redosleda po kojem su vrhovi navedeni.

On pirinač. 1 trougao ABC je pravougli trokut. Njegova orijentisana površina je jednaka (veća je od nule, pošto je par pozitivno orijentisan). Ista vrijednost se može izračunati i na drugi način.

Neka O– proizvoljna tačka ravni. Na našoj slici, površina trokuta ABC se dobija ako od površine trokuta OBC oduzmemo površine OAB i OCA. Tako da ti samo treba dodajte orijentisana područja trouglovi OAB, OBC i OCA. Ovo pravilo radi za bilo koju tačku O.

Slično tome, da biste izračunali površinu bilo kojeg poligona, morate zbrojiti orijentirane površine trokuta

Ukupni će biti površina poligona, uzeta sa znakom plus ako je, prilikom prelaska poligona, poligon lijevo (prelazak granice u smjeru suprotnom od kazaljke na satu), a sa znakom minus ako je desno ( pomicanje u smjeru kazaljke na satu).

Dakle, izračunavanje površine poligona svodi se na pronalaženje površine trokuta. Hajde da vidimo kako to izraziti u koordinatama.

Unakrsni proizvod dva vektora na ravni je površina paralelograma konstruisanog na ovim vektorima.

Unakrsni proizvod izražen u vektorskim koordinatama:

Površina trokuta će biti jednaka polovini ove površine:

Zgodno je uzeti početak koordinata kao tačku O, tada će se koordinate vektora na osnovu kojih se izračunavaju orijentirane površine poklapati s koordinatama tačaka.

Neka (x 1, y 1), (x 2, y 2), ..., (x N, y N) - koordinate vrhova datog poligona u smjeru kretanja kazaljke na satu ili suprotnom od kazaljke na satu. Tada će njegova orijentirana površina S biti jednaka:

Ovo je naša radna formula, koristi se u našem programu.

Ako su koordinate vrhova navedene u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, tada je broj S, izračunato pomoću ove formule će biti pozitivno. U suprotnom će biti negativan, a da bismo dobili uobičajenu geometrijsku površinu trebamo uzeti njenu apsolutnu vrijednost.

Dakle, razmotrimo program za pronalaženje površine poligona zadanog koordinatama vrhova.

Program geom6; Konst n_max=200; (maksimalni broj bodova+1) tip b=zapis x,y:real; kraj; myArray= niz b; var input:text; A:myArray; s:real; i,n:ceo broj; procedura ZapMas(var n:integer; var A:myArray); (Popunjavanje niza) begin assign(input,"input.pas"); reset (ulaz); readln(ulaz, n); za i:=1 do n do read(input, a[i].x,a[i].y); zatvori (unos); kraj; funkcija Kvadrat (A:myarray): realna; (Izračunavanje površine poligona) var i:integer; S: pravi; započeti a.x:=a.x; a.y:=a.y; s:=0; za i:=1 do n do s:= s + (a[i].x*a.y - a[i].y*a.x); s:=abs(s/2); Kvadrat:= S kraj; (Kvadrat) begin (glavni) Zapmas(n, a); PrintMas(a); S:= Kvadrat(a); writeln("S= ",s:6:2); kraj.

Koordinate vrhova se čitaju iz datoteke input.pas., pohranjene u nizu A kao zapisi sa dva polja. Radi lakšeg prelaska poligona, u niz se uvodi n+1 elemenata čija je vrijednost jednaka vrijednosti prvog elementa niza.

edukativni: naučiti učenike da pronađu površinu poligona koristeći odabrane metode, formiraju početne ideje
poligon, grafičke i mjerne vještine;
razvijanje: razvoj metoda mentalne aktivnosti učenika pri izvođenju zadataka od posmatranja, proračuna do razjašnjavanja obrazaca izračunavanja površine poligona;
edukativno: otkrivanje subjektivnog iskustva učenika, podsticanje djelovanja i težnji učenika kao osnove za njegovanje pozitivnih osobina ličnosti;
metodički: stvaranje uslova za ispoljavanje kognitivne aktivnosti učenika.

Oprema za nastavu:

Dizajn ploče: lijevo - poligone figure, desno - prazna ploča za pisanje lekcije, u sredini - poligon-pravougaonik.
Letak “Za istraživanje”.
Alati za nastavnike i učenike (kreda, pokazivač, ravnalo, istraživački list, figure, Whatman papir, marker).

Metoda lekcije:

U smislu interakcije između nastavnika i učenika – dijalog-komunikacija;
Prema načinu rješavanja zadataka - djelimično pretraživanje;
Prema metodi mentalne aktivnosti - (CUD) razvojno obrazovanje.

Forma časa je frontalna, u parovima, individualna.

Tip lekcije - čas savladavanja novih znanja, vještina i sposobnosti.

Struktura lekcije je postupno produbljivanje u temu, fleksibilna, dijaloška.

Tokom nastave

Pozdrav.

Lekcija je divna i donosi radost kada razmišljamo i radimo zajedno. Danas ćemo gledati figure, odrediti njihova imena, razmišljati, tražiti i pronaći rješenja. Poželimo jedni drugima uspješan rad.

Ažuriranje znanja.

Pogledajte figure (poligone na tabli).

Svi su zajedno. Zašto? Koja je njihova zajednička karakteristika? (Poligoni).

Imenujte ovaj poligon (5-ugao, 6-kut...)

Možda znate koja je površina poligona?

Zatim pokažite na jednoj od figura.

(Uopštenje od strane nastavnika: površina je dio ravni unutar zatvorene geometrijske figure.)

U ruskom jeziku ova riječ ima nekoliko značenja.

(Učenik koristi rečnik da uvede značenja.)

Dio ravni unutar zatvorene geometrijske figure.
Velika neizgrađena i ravna površina.
Soba za neku svrhu.

Koje se značenje koristi u matematici?

U matematici se koristi prva vrijednost.

(Na tabli je figura).

Je li ovo poligon? Da.

Imenujte figuru drugačije. Pravougaonik.

Prikaži dužinu, širinu.

Kako pronaći površinu poligona?

Napišite formulu koristeći slova i simbole.

Ako je dužina našeg pravougaonika 20 cm, širina je 10 cm. Koja je oblast?

Površina je 200 cm2

Razmislite o tome kako primijeniti ravnalo tako da se figura podijeli na:

Jeste li vidjeli od kojih dijelova se sastoji figura? Sada, naprotiv, hajde da sastavimo celinu deo po deo.

(Dijelovi figure leže na klupama. Djeca od njih sklapaju pravougaonik.)

Izvucite zaključke iz svojih zapažanja.

Cijela figura se može podijeliti na dijelove i cjelina se može napraviti od dijelova.

Kuće zasnovane na trouglovima i četvorouglovima bile su sastavljene od figura i silueta. Evo kako su ispali.

(Demonstracija crteža koje su učenici napravili kod kuće. Analizira se jedan od radova).

Koje ste oblike koristili? Imate složen poligon.

Postavljanje zadatka za učenje.

U lekciji moramo odgovoriti na pitanje: kako pronaći površinu složenog poligona?

Zašto osoba treba da pronađe područje?

(Odgovori djece i sažetak nastavnika).

Problem određivanja područja proizašao je iz prakse.

(Prikazan je školski plan lokacije).

Da bi izgradili školu, prvo su napravili plan. Tada je teritorija podijeljena na dijelove određenog područja, postavljene su zgrade, cvjetnjaci i stadion. U ovom slučaju, područje ima određeni oblik - oblik poligona.

Rješavanje problema učenja.

(Podijeljeni su listovi za istraživanje).

Pred vama je figura. Imenuj ga.

Poligon, heksagon.

Nađimo površinu poligona. Šta treba učiniti za ovo?

Podijelite na pravougaonike.

(Ako imate poteškoća, pojavit će se još jedno pitanje: "Od kojih se figura sastoji poligon?").

Iz dva pravougaonika.

Koristeći ravnalo i olovku, podijelite oblik na pravokutnike. Označite rezultirajuće dijelove 1 i 2 brojevima.

Hajde da izmerimo.

Nađimo površinu prve figure.

(Učenici nude sljedeća rješenja i zapisuju ih na tabli).

S 1 = 5? 2 = 10 cm 2
S2 = 5? 1 = 5 cm 2

Poznavajući površinu dijelova, kako pronaći površinu cijele figure?

S = 10 + 5 = 15 cm 2

S 1 = 6? 2 = 12 cm 2
S 2 = 3? 1 = 3 cm 2
S = 12 + 3 = 15 cm 2.

Uporedite rezultate i donesite zaključak.

Hajde da pratimo naše akcije

Kako ste pronašli površinu poligona?

Algoritam je sastavljen i ispisan na posteru:?

1. Podijelite figuru na dijelove

2. Naći površine dijelova ovih poligona (S 1, S 2).

3. Pronađite površinu cijelog poligona (S 1 + S 2).

Izgovori algoritam.

(Nekoliko učenika recituje algoritam).

Pronašli smo dva načina, možda ih ima više?

I možete dovršiti figuru.

Koliko ste pravougaonika dobili?

Označimo dijelove 1 i 2. Izvršimo mjerenja.

Pronađite površinu svakog dijela poligona.

S 1= 6? 5=30cm 2
S2 = 5? 3 = 15 cm 2

Kako pronaći površinu našeg šesterokuta?

S = 30 – 15 = 15 cm 2

Kreirajmo algoritam:

Završili smo figuru u pravougaonik

Pronađeno S 1 i S 2.

Pronašli smo razliku S 1 – S 2.

Uporedite dva algoritma. Izvucite zaključak. Koje radnje su iste? Gdje su se naši postupci razišli?

Zatvorite oči, spustite glave. Mentalno ponovite algoritam.

Uradili smo istraživanje, pogledali različite metode i sada možemo pronaći površinu bilo kojeg poligona.

Provjera performansi.

Testirajte se.

Pred vama su poligoni.

Pronađite površinu jedne figure po vašem izboru i možete je koristiti Različiti putevi.

Radovi se obavljaju samostalno. Djeca biraju figuru. Pronađite područje na jedan od sljedećih načina. Provjerite - ključ je na ploči.

Šta možete reći o formi? (Oblik varira)

Kolika je površina ovih poligona? (Površine ovih poligona su jednake)

Procijenite rezultate.

Ko ima pravo, stavi “+”.

Svako ko ima nedoumica ili poteškoća – “?”

Konsultanti pružaju pomoć djeci, traže greške i pomažu ih ispraviti.

Zadaća:

Napravite svoje istraživačke listove i izračunajte površinu poligona na različite načine.

Sažetak lekcije.

Dakle, momci, šta kažete svojim roditeljima o tome kako pronaći površinu geometrijske figure - poligona.

Lekcija iz serije “ Geometrijski algoritmi»

Zdravo dragi čitaoče.

Zadatak. Izračunajte površinu poligona, dat koordinatama njegovih vrhova, po redoslijedu njihovog obilaska u smjeru kazaljke na satu.

Insights from Computational Geometry

Da bismo izveli formulu za površinu poligona, potrebne su nam informacije iz računske geometrije, odnosno koncept orijentirane površine trokuta.

Orijentirana površina trokuta je obična površina opremljena znakom. Znak orijentirane površine trokuta ABC isto kao i orijentisani ugao između vektora i. To jest, njegov predznak zavisi od redosleda po kojem su vrhovi navedeni.

Slično tome, da biste izračunali površinu bilo kojeg poligona, morate zbrojiti orijentirane površine trokuta

Dakle, izračunavanje površine poligona svodi se na pronalaženje površine trokuta. Hajde da vidimo kako to izraziti u koordinatama.

Unakrsni proizvod dva vektora na ravni je površina paralelograma konstruisanog na ovim vektorima.

Unakrsni proizvod izražen u vektorskim koordinatama:

Dakle, razmotrimo program za pronalaženje površine poligona zadanog koordinatama vrhova.

3. Ako je poligon sastavljen od više poligona, tada je njegova površina jednaka zbiru površina ovih poligona.

4. Površina kvadrata sa stranicom \(a\) jednaka je \(a^2\) .

\[(\Large(\text(Površina pravougaonika i paralelograma)))\]

Teorema: Površina pravougaonika

Površina pravokutnika sa stranicama \(a\) i \(b\) jednaka je \(S=ab\) .

Dokaz

Izgradimo pravougaonik \(ABCD\) u kvadrat sa stranom \(a+b\), kao što je prikazano na slici:

Ovaj kvadrat se sastoji od pravokutnika \(ABCD\), drugog jednakog pravokutnika i dva kvadrata sa stranicama \(a\) i \(b\). dakle,

\(\begin(multline*) S_(a+b)=2S_(\text(pr-k))+S_a+S_b \Leftrightarrow (a+b)^2=2S_(\text(pr-k))+ a^2+b^2 \Leftrightarrow\\ a^2+2ab+b^2=2S_(\text(pr-k))+a^2+b^2 \Rightarrow S_(\text(pr-k) )=ab \end(više redova*)\)

Definicija

Visina paralelograma je okomica povučena iz vrha paralelograma na stranu (ili na produžetak stranice) koja ne sadrži ovaj vrh.
Na primjer, visina \(BK\) pada na stranu \(AD\) , a visina \(BH\) pada na nastavak stranice \(CD\) :

Teorema: Površina paralelograma

Površina paralelograma jednaka je umnošku visine i stranice na koju je ta visina povučena.

Dokaz

Nacrtajmo okomite \(AB"\) i \(DC"\) kao što je prikazano na slici. Imajte na umu da su ove okomite jednake visini paralelograma \(ABCD\) .

Tada je \(AB"C"D\) pravougaonik, dakle, \(S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD\) .

Imajte na umu da su pravokutni trouglovi \(ABB"\) i \(DCC"\) podudarni. dakle,

\(S_(ABCD)=S_(ABC"D)+S_(DCC")=S_(ABC"D)+S_(ABB")=S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD.\)

\[(\Large(\text(Površina trougla)))\]

Definicija

Stranicu na koju je povučena visina u trouglu zvaćemo osnovom trougla.

Teorema

Površina trokuta jednaka je polovini umnoška njegove osnove i visine povučene ovoj osnovici.

Dokaz

Neka je \(S\) površina trokuta \(ABC\). Uzmimo stranicu \(AB\) kao osnovu trougla i nacrtajmo visinu \(CH\) . Dokažimo da \ Dopunimo trokut \(ABC\) do paralelograma \(ABDC\) kao što je prikazano na slici:

Trokuti \(ABC\) i \(DCB\) su jednaki na tri strane (\(BC\) je njihova zajednička stranica, \(AB = CD\) i \(AC = BD\) kao suprotne strane paralelograma \ (ABDC\ )), pa su im površine jednake. Dakle, površina \(S\) trokuta \(ABC\) jednaka je polovini površine paralelograma \(ABDC\), tj. \(S = \dfrac(1)(2)AB\cdot CH\).

Teorema

Ako dva trokuta \(\trougao ABC\) i \(\trougao A_1B_1C_1\) imaju jednake visine, tada su njihove površine povezane sa osnovama na koje su ove visine povučene.

Posljedica

Medijan trougla dijeli ga na dva trougla jednake površine.

Teorema

Ako dva trokuta \(\trougao ABC\) i \(\trougao A_2B_2C_2\) imaju svaki jednak ugao, tada su njihove površine povezane kao proizvod stranica koje formiraju ovaj ugao.

Dokaz

Neka \(\ugao A=\ugao A_2\) . Kombinujmo ove uglove kao što je prikazano na slici (tačka \(A\) poravnata sa tačkom \(A_2\)):

Nađimo visine \(BH\) i \(C_2K\) .

Trokuti \(AB_2C_2\) i \(ABC_2\) imaju istu visinu \(C_2K\), dakle: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC_2))=\dfrac(AB_2)(AB)\]

Trokuti \(ABC_2\) i \(ABC\) imaju istu visinu \(BH\), dakle: \[\dfrac(S_(ABC_2))(S_(ABC))=\dfrac(AC_2)(AC)\]

Množenjem posljednje dvije jednakosti dobijamo: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC))=\dfrac(AB_2\cdot AC_2)(AB\cdot AC) \qquad \text( ili ) \qquad \dfrac(S_(A_2B_2C_2))(S_ (ABC))=\dfrac(A_2B_2\cdot A_2C_2)(AB\cdot AC)\]

Pitagorina teorema

U pravokutnom trokutu kvadrat dužine hipotenuze jednak je zbroju kvadrata dužina kateta:

Isto tako vrijedi i obrnuto: ako trokut ima kvadrat dužine jedne stranice jednak zbiru kvadrata dužina druge dvije stranice, onda je takav trokut pravougao.

Teorema

Površina pravokutnog trokuta jednaka je polovini proizvoda kateta.

Teorem: Heronova formula

Neka je \(p\) poluperimetar trokuta, \(a\) , \(b\) , \(c\) dužine njegovih stranica, tada je njegova površina \

\[(\Large(\text(Oblast romba i trapeza)))\]

Komentar

Jer Romb je paralelogram, tada za njega vrijedi ista formula, tj. Površina romba jednaka je umnošku visine i stranice na koju je ta visina povučena.

Teorema

Površina konveksnog četverokuta čije su dijagonale okomite jednaka je polovini umnoška dijagonala.

Dokaz

Razmotrimo četverougao \(ABCD\) . Označimo \(AO=a, CO=b, BO=x, DO=y\):

Imajte na umu da se ovaj četverougao sastoji od četiri pravokutnih trouglova, dakle, njegova površina je jednaka zbroju površina ovih trokuta:

\(\begin(multline*) S_(ABCD)=\frac12ax+\frac12xb+\frac12by+\frac12ay=\frac12(ax+xb+by+ay)=\\ \frac12((a+b)x+(a+b) y)=\frac12(a+b)(x+y)\end(više redova*)\)

Rezultat: površina romba

Površina romba jednaka je polovini umnoška njegovih dijagonala: \

Definicija

Visina trapeza je okomita povučena od vrha jedne baze do druge baze.

Teorema: Površina trapeza

Površina trapeza jednaka je umnošku polovine zbira osnovica i visine.

Dokaz

Razmotrimo trapez \(ABCD\) sa bazama \(BC\) i \(AD\) . Nacrtajmo \(CD"\paralelni AB\) kao što je prikazano na slici:

Tada je \(ABCD"\) paralelogram.

Izvedimo i \(BH"\perp AD, CH\perp AD\) (\(BH"=CH\) su visine trapeza).

Onda \(S_(ABCD")=BH"\cdot AD"=BH"\cdot BC, \quad S_(CDD")=\dfrac12CH\cdot D"D\)

Jer trapez se sastoji od paralelograma \(ABCD"\) i trokuta \(CDD"\), tada je njegova površina jednaka zbroju površina paralelograma i trokuta, odnosno:

\ \[=\dfrac12 CH\levo(BC+AD"+D"D\desno)=\dfrac12 CH\levo(BC+AD\desno)\]

Svako ko je studirao matematiku i geometriju u školi poznaje ove nauke barem površno. Ali vremenom, ako ih ne praktikujete, znanje se zaboravlja. Mnogi čak vjeruju da su samo gubili vrijeme proučavajući geometrijske proračune. Međutim, oni nisu u pravu. Tehnički radnici svakodnevno obavljaju poslove vezane za geometrijske proračune. Što se tiče izračunavanja površine poligona, ovo znanje takođe nalazi svoju primenu u životu. Oni će biti potrebni barem za izračunavanje površine zemljišta. Dakle, hajde da naučimo kako pronaći površinu poligona.

Definicija poligona

Prvo, hajde da definišemo šta je poligon. Ovo je ravna geometrijska figura koja nastaje kao rezultat sjecišta tri ili više pravih linija. Još jedna jednostavna definicija: poligon je zatvorena izlomljena linija. Prirodno, kada se linije ukrštaju, formiraju se tačke preseka čiji je broj jednak broju linija koje formiraju poligon. Točke presjeka nazivaju se vrhovi, a segmenti formirani od pravih se nazivaju stranicama poligona. Susedni segmenti poligona nisu na istoj pravoj liniji. Nesusedni segmenti su oni koji ne prolaze kroz zajedničke tačke.

Zbir površina trouglova

Kako pronaći površinu poligona? Površina poligona je unutrašnji deo ravan koja se formira presekom segmenata ili stranica poligona. Pošto je poligon kombinacija figura kao što su trokut, romb, kvadrat, trapez, onda univerzalna formula jednostavno ne postoji način da se izračuna njegova površina. U praksi je najuniverzalnija metoda dijeljenja poligona na jednostavnije figure, čiju površinu nije teško pronaći. Sabiranjem zbira površina ovih jednostavnih figura dobija se površina poligona.

Kroz područje kruga

U većini slučajeva, poligon ima pravilan oblik i formira lik sa jednakim stranicama i uglovima između njih. U ovom slučaju, izračunavanje površine je vrlo jednostavno pomoću upisanog ili opisanog kruga. Ako je površina kruga poznata, onda se mora pomnožiti s obimom poligona, a zatim rezultirajući proizvod podijeliti sa 2. Rezultat je formula za izračunavanje površine takvog poligona: S = ½∙P∙r., gdje je P površina kruga, a r perimetar poligona.

Metoda podjele poligona na "prikladne" oblike je najpopularnija u geometriji; omogućava vam da brzo i ispravno pronađete površinu poligona. U 4. razredu srednje škole obično se izučavaju takve metode.

Površina, jedna od glavnih veličina povezanih sa geometrijski oblici. U najjednostavnijim slučajevima mjeri se brojem jediničnih kvadrata koji ispunjavaju ravnu figuru, odnosno kvadrata čija je stranica jednaka jednoj jedinici dužine. Obračun P. je već u antičko doba......

Ovaj izraz ima druga značenja, pogledajte Područje (značenja). Površina ravne figure je aditivna numerička karakteristika figure koja u potpunosti pripada jednoj ravni. U najjednostavnijem slučaju, kada se figura može podijeliti na konačan... ... Wikipedia

I Površina je jedna od glavnih veličina povezanih s geometrijskim oblicima. U najjednostavnijim slučajevima mjeri se brojem jediničnih kvadrata koji ispunjavaju ravnu figuru, odnosno kvadrata čija je stranica jednaka jednoj jedinici dužine. Obračun P....... Velika sovjetska enciklopedija

Ovaj izraz ima druga značenja, pogledajte Područje (značenja). Površina Dimenzija L² SI jedinice m² ... Wikipedia

G. 1. Part zemljine površine, prostor prirodno ograničen ili posebno dodijeljen za neku svrhu. Ott. Vodeni prostor. Ott. Veliko, ravno mjesto, prostor. 2. Ravan, neizgrađen javni prostor...... Moderna Rječnik Ruski jezik Efremova

Ovaj članak je predložen za brisanje. Objašnjenje razloga i odgovarajuću raspravu možete pronaći na stranici Wikipedije: Za brisanje / 2. septembra 2012. Dok proces rasprave nije završen, možete pokušati poboljšati članak, ali biste trebali ... .. Wikipedia

Dva komada u R2 imaju jednake površine i, shodno tome, dva poligona M1 i M 2 takva da se mogu izrezati na mnogouglove tako da su dijelovi koji čine M 1 kongruentni dijelovima koji čine M 2. Jer, jednaka površina ... ... Mathematical Encyclopedia

V=7, G=8, V + G/2 − 1= 10 Pikova teorema je klasičan rezultat kombinatorne geometrije i geometrije brojeva. Površina poligona sa cijelim brojem ... Wikipedia

Ovaj izraz ima druga značenja, vidi Pikovu teoremu. V = 7, G = 8, V + G/2 − 1 = 10 Pikova formula (ili Pikova teorema) je klasičan rezultat kombinatorne geometrije i geometrije brojeva. Područje... Wikipedia

Područje (povezani otvoreni skup) na granici konveksnog tijela u Euklidskom prostoru E 3. Cijela granica konveksnog tijela se naziva. potpuni V. p. Ako je tijelo konačno, onda se zove potpuna V. p. zatvoreno. Ako je tijelo beskonačno, tada se naziva potpuni V.p. beskrajno...... Mathematical Encyclopedia

1.1 Proračun površina u antičko doba

1.2 Različiti pristupi proučavanju pojmova „područje“, „poligon“, „područje poligona“

1.2.1 Koncept područja. Area Properties

1.2.2 Koncept poligona

1.2.3 Koncept površine poligona. Deskriptivna definicija

1.3 Različite formule za površine poligona

1.4 Izvođenje formula za površine poligona

1.4.1 Površina trougla. Heronova formula

1.4.2 Površina pravougaonika

1.4.3 Površina trapeza

1.4.4 Površina četvorougla

1.4.5 Univerzalna formula

1.4.6 Površina n-ugla

1.4.7 Izračunavanje površine poligona iz koordinata njegovih vrhova

1.4.8 Pikova formula

1.5 Pitagorina teorema o zbiru površina kvadrata izgrađenih na kracima pravokutnog trokuta

1.6 Ravnopravan raspored trouglova. Bolyay-Gerwin teorema

1.7 Omjer površina sličnih trouglova

1.8 Slike sa najvećom površinom

1.8.1 Trapez ili pravougaonik

1.8.2 Izvanredno svojstvo trga

1.8.3 Sekcije drugih oblika

1.8.4 Trougao najveće površine

Poglavlje 2. Metodičke karakteristike proučavanja površina poligona u nastavi matematike

2.1 Tematsko planiranje i karakteristike nastave u odeljenjima sa detaljnim proučavanjem matematike

2.2 Metodologija izvođenja nastave

2.3 Rezultati eksperimentalnog rada

Zaključak

Književnost

Uvod

Tema "Površina poligona" sastavni je dio školskog kursa matematike, što je sasvim prirodno. Uostalom, istorijski je sama pojava geometrije povezana s potrebom za poređenjem zemljišne parcele ovaj ili onaj oblik. Međutim, treba napomenuti da su obrazovne mogućnosti za pokrivanje ove teme u srednja škola su daleko od potpunog korišćenja.

Osnovni zadatak nastave matematike u školi je da se učenicima osigura snažno i svjesno ovladavanje sistemom matematičkih znanja i vještina potrebnih u Svakodnevni život I radna aktivnost svaki član modernog društva, dovoljno za studiranje srodne discipline i kontinuirano obrazovanje.

Uz rješavanje glavnog problema, dubinsko izučavanje matematike podrazumijeva formiranje kod učenika održivog interesovanja za predmet, identifikaciju i razvoj njihovih matematičkih sposobnosti, orijentaciju na zanimanja koja su značajno povezana s matematikom i pripremu za studiranje na fakultetu. .

Kvalifikacioni rad obuhvata sadržaj kursa matematike srednja škola i brojna dodatna pitanja koja su direktno uz ovaj kurs i produbljuju ga duž glavnih ideoloških linija.

Uključivanje dodatnih pitanja ima dvije međusobno povezane svrhe. S jedne strane, ovo je stvaranje, u sprezi sa glavnim dijelovima predmeta, osnove za zadovoljavanje interesovanja i razvoj sposobnosti učenika sa sklonošću prema matematici, s druge strane, ispunjavanje sadržajne praznine glavnog jela, dajući sadržaj dubinska studija neophodnog integriteta.

Kvalifikacioni rad se sastoji od uvoda, dva poglavlja, zaključka i citirane literature. U prvom poglavlju razmatraju se teorijske osnove proučavanja površina poligona, a drugo poglavlje direktno se bavi metodološkim karakteristikama proučavanja područja.

Poglavlje 1. Teorijska osnova proučavanje površina poligona

1.1 Proračun površina u antičko doba

Počeci geometrijskog znanja vezanog za mjerenje površina gube se u dubinama hiljadama godina.

Još prije 4 - 5 hiljada godina, Babilonci su mogli odrediti površinu pravokutnika i trapeza u kvadratnim jedinicama. Kvadrat je dugo služio kao standard za mjerenje površina zbog svojih brojnih izvanrednih svojstava: jednakih stranica, jednakih i pravih uglova, simetrije i općeg savršenstva oblika. Kvadrati se lako konstruišu ili možete ispuniti ravan bez praznina.

IN drevne Kine Mjera površine bila je pravougaonik. Kada su zidari određivali površinu pravokutnog zida kuće, množili su visinu i širinu zida. Ovo je definicija prihvaćena u geometriji: površina pravokutnika jednaka je proizvodu njegovih susjednih stranica. Obje ove strane moraju biti izražene u istim linearnim jedinicama. Njihov proizvod će biti površina pravougaonika, izražena u odgovarajućim kvadratnim jedinicama. Recimo, ako se visina i širina zida mjere u decimetrima, onda će proizvod oba mjerenja biti izražen u kvadratnim decimetrima. A ako je površina svake obložene splavi kvadratni decimetar, tada će rezultirajući proizvod ukazati na broj pločica potrebnih za oblaganje. Ovo proizilazi iz tvrdnje na kojoj se temelji mjerenje površina: površina figure sastavljene od figura koje se ne sijeku jednaka je zbroju njihovih površina.

Stari Egipćani prije 4000 godina koristili su gotovo iste tehnike kao i mi za mjerenje površine pravokutnika, trokuta i trapeza: osnova trokuta je podijeljena na pola i pomnožena visinom; za trapez, zbir paralelnih stranica je podijeljen na pola i pomnožen sa visinom, itd. Za izračunavanje površine

četvorougao sa stranicama (slika 1.1), korišćena je formula

(1.1)

one. Polovične sume suprotnih strana su pomnožene.

Ova formula je očigledno netačna za bilo koji četvorougao; posebno sledi da su površine svih rombova iste. U međuvremenu, očigledno je da površine takvih rombova zavise od veličine uglova na vrhovima. Ova formula vrijedi samo za pravougaonik. Uz njegovu pomoć možete približno izračunati površinu četverokuta čiji su uglovi blizu pravih uglova.

Za određivanje područja

jednakokraki trougao(Slika 1.2), u kojoj su Egipćani koristili približnu formulu:

(1.2)

Rice. 1.2 Greška učinjena u ovom slučaju je manja, što je manja razlika između strane i visine trokuta, drugim riječima, što je bliži vrh (i ) bazi visine od . Zato je približna formula (1.2) primenljiva samo za trouglove sa relativno malim uglom na vrhu.

Ali već su stari Grci znali kako ispravno pronaći područja poligona. U svojim Elementima, Euklid ne koristi riječ "oblast", jer pod samom riječju "figura" razumije dio ravni omeđen jednom ili drugom zatvorenom linijom. Euklid ne izražava rezultat mjerenja površine brojem, već upoređuje površine različite figure između sebe.

Kao i drugi drevni naučnici, Euklid se bavi transformacijom nekih figura u druge jednake veličine. Površina kompozitne figure neće se promijeniti ako su njeni dijelovi raspoređeni drugačije, ali bez presijecanja. Stoga je, na primjer, moguće, na osnovu formula za površinu pravokutnika, pronaći formule za površine drugih figura. Dakle, trokut je podijeljen na dijelove od kojih se može formirati pravougaonik jednake veličine. Iz ove konstrukcije slijedi da je površina trokuta jednaka polovini umnoška njegove osnove i visine. Pribjegavajući takvom recutu, otkrivaju da je površina paralelograma jednaka umnošku osnove i visine, a površina trapeza je proizvod polovine zbira osnovica i visine .

Kada zidari moraju popločati zid složene konfiguracije, oni mogu odrediti površinu zida prebrojavanjem broja pločica koje se koriste za oblaganje. Neke će pločice, naravno, morati biti usitnjene tako da se rubovi obloge podudaraju s rubom zida. Broj svih pločica korišćenih u radu procenjuje površinu zida sa viškom, a broj nerazbijenih pločica – sa nedostatkom. Kako se veličina ćelija smanjuje, količina otpada se smanjuje, a površina zida, određena brojem pločica, sve se preciznije izračunava.

Jedan od kasnijih grčkih matematičara i enciklopedista, čiji su radovi uglavnom bili primenjene prirode, bio je Heron Aleksandrijski, koji je živeo u 1. veku. n. e. Kao izvanredan inženjer, zvali su ga i "Čaplja mehaničar". U svom djelu "Dioptrija" Heron opisuje različite mašine i praktične mjerne instrumente.

Jedna od Heronovih knjiga zvala se "Geometrija" i predstavlja svojevrsnu zbirku formula i odgovarajućih problema. Sadrži primjere za izračunavanje površina kvadrata, pravokutnika i trokuta. O pronalaženju površine trokuta na osnovu njegovih stranica, Heron piše: „Neka, na primjer, jedna strana trokuta ima dužinu od 13 mjernih užadi, druga 14, a treća 15. Da biste pronašli površinu, nastavite kao što slijedi. Dodajte 13, 14 i 15; to će biti 42. Polovina ovoga će biti 21. Oduzmite od ovoga tri strane jednu po jednu; prvo oduzmite 13 - ostaje vam 8, zatim 14 - ostaje vam 7, i na kraju 15 - ostaje vam 6. Sada ih pomnožite: 21 puta 8 daje 168, uzmite ovo 7 puta - dobijete 1176, i uzmite ovo još 6 puta - dobićete 7056. Odavde Kvadratni korijen bit će 84. Toliko će biti mjernih kablova u području trougla.”

Problemi s geometrijom često zahtijevaju izračunavanje površine poligona. Štaviše, može imati prilično raznolik oblik - od poznatog trokuta do nekog n-ugla s nekim nezamislivim brojem vrhova. Osim toga, ovi poligoni mogu biti konveksni ili konkavni. U svakoj konkretnoj situaciji potrebno je graditi na izgledu figure. Na taj način možete odabrati optimalan način rješavanja problema. Brojka se može pokazati točnom, što će uvelike pojednostaviti rješenje problema.

Malo teorije o poligonima

Takvu figuru svakako će karakterizirati dvije pozicije:

Susedne strane ne pripadaju istoj pravoj liniji.
Nesusedni nemaju zajedničkih tačaka, odnosno ne seku se.

Koje vrste njih postoje?

Poligon sa više od četiri ugla može biti konveksan ili konkavan. Razlika između potonjeg je u tome što neki od njegovih vrhova mogu ležati na suprotnim stranama prave linije povučene kroz proizvoljnu stranu poligona. U konveksnom slučaju, svi vrhovi uvijek leže na istoj strani takve prave linije.

U školskom kursu geometrije, većina vremena je posvećena konveksnim figurama. Stoga problemi zahtijevaju pronalaženje površine konveksnog poligona. Zatim postoji formula u smislu polumjera opisane kružnice, koja vam omogućava da pronađete željenu vrijednost za bilo koju figuru. U drugim slučajevima nema jasnog rješenja. Za trokut formula je jedna, ali za kvadrat ili trapez potpuno drugačija. U situacijama kada je figura nepravilna ili ima puno vrhova, uobičajeno je podijeliti ih na jednostavne i poznate.

Šta učiniti ako figura ima tri ili četiri vrha?

U prvom slučaju, ispostavit će se da je trokut, a možete koristiti jednu od formula:

S = 1/2 * a * n, gdje je a stranica, n visina do nje;
S = 1/2 * a * b * sin (A), gdje su a, b stranice trougla, A je ugao između poznatih stranica;
S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)), gdje je c stranica trougla, na dvije već naznačene, p je poluperimetar, tj. zbir sve tri strane podijeljen sa dva.

Figura sa četiri vrha može se pokazati kao paralelogram:

S = a * n;
S = 1/2 * d 1 * d 2 * sin(α), gdje su d 1 i d 2 dijagonale, α je ugao između njih;
S = a * u * sin(α).

Formula za površinu trapeza: S = n * (a + b) / 2, gdje su a i b dužine baza.

Šta učiniti s pravilnim poligonom koji ima više od četiri vrha?

Za početak, takvu figuru karakterizira činjenica da su sve strane jednake. Plus, poligon ima jednake uglove.

S n = 1/2 * n * R n 2 * sin (360º/n), gdje je n broj vrhova poligona.

Iz njega je lako dobiti onaj koji je koristan za posebne slučajeve:

trougao: S = (3√3)/4 * R 2 ;
kvadrat: S = 2 * R 2 ;
šestougao: S = (3√3)/2 * R 2.

Situacija sa pogrešnom figurom

Rješenje kako saznati površinu poligona ako nije pravilan i ne može se pripisati nijednoj od prethodno poznatih figura je algoritam:

razbijte ga u jednostavne oblike, na primjer, trokute, tako da se ne sijeku;
izračunajte njihove površine koristeći bilo koju formulu;
zbrojite sve rezultate.

Što učiniti ako problem daje koordinate vrhova poligona?

Vrijedi napomenuti da će predznak rezultata ovisiti o obilasku figure. Kada koristite gornju formulu i krećete se u smjeru kazaljke na satu, odgovor će biti negativan.

Primer zadatka

Stanje. Koordinate vrhova određene su sljedećim vrijednostima (0,6; 2,1), (1,8; 3,6), (2,2; 2,3), (3,6; 2,4), (3,1; 0,5). Morate izračunati površinu poligona.

Drugi član se dobija slično: (2,2 + 1,8)/2 * (2,3 - 3,6) = -2,6. Kada rješavate takve probleme, nemojte se bojati negativnih količina. Sve ide kako treba. Ovo je planirano.

Vrijednosti za treći (0,29), četvrti (-6,365) i peti član (2,96) dobijaju se na sličan način. Tada je konačna površina: 1,8 + (-2,6) + 0,29 + (-6,365) + 2,96 = - 3,915.

Savjeti za rješavanje zadatka gdje je na kariranom papiru nacrtan poligon

Ali često postoji jednostavniji pristup. Sastoji se od crtanja figure na pravougaoniku i izračunavanja njegove površine. Zatim izračunajte površine onih elemenata za koje se pokazalo da su suvišni. Oduzmi ih od ukupne vrijednosti. Ova opcija ponekad uključuje nešto manji broj radnji.