η = A/ P 1 = 1 – Q 2 /Q 1 ,
Gdje Q 1 - toplina koju prima radni fluid; Q 2 - toplota koja se daje.
Efikasnost Carnot ciklus:
Gdje T 1 , T 2 - temperature grijača i hladnjaka.
Clausiusova nejednakost:
gdje je δ Q - elementarnu toplotu koju sistem prima.
Prirast entropije sistema:
Osnovna jednadžba termodinamike za reverzibilne procese:
T d S=d U + str d V
Besplatna energija:
F = U - T.S., A T = - Δ F
Odnos između entropije i statističke težine Ω (termodinamička vjerovatnoća):
S = k∙ lnΩ
Gdje k - Boltzmannova konstanta.
3.1. U toplotnom stroju koji radi prema Carnot ciklusu, temperatura grijača je n = 1,6 puta veća od temperature frižidera. U jednom ciklusu mašina proizvodi rad A = 12 kJ . Koliko se rada po ciklusu troši na izotermnu kompresiju tvari? (Radna supstanca je idealan gas.)
Odgovori : A" =A/(n - 1) = 20 kJ .
3.2. U kom slučaju je efikasnost Carnotov ciklus će se povećati više: s povećanjem temperature grijača za Δ T ili kada se temperatura u frižideru smanji za isti iznos?
Odgovori : kada se temperatura frižidera smanji T 2 .
3.3. Vodonik prolazi kroz Carnotov ciklus. Pronađite efikasnost ciklus, ako je tokom adijabatskog širenja:
a) zapremina gasa se povećava za n = 2,0 puta;
b) pritisak se smanjuje za n = 2,0 puta.
Odgovori : a) η = 1 – n 1-γ = 0,25; b) η = 1 – n 1/(γ-1) = 0,18
3.4. Mašina za hlađenje koja radi po obrnutom Carnotovom ciklusu mora održavati temperaturu u svojoj komori - 10°C na temperaturi okoline od 20°C. Koji rad treba obaviti na radnom fluidu mašine da bi se uklonio iz njegove komore Q 2 = 140 kJ toplote?
Odgovori : A" =Q 2 (T 1/ T 2 - 1) = 16 kJ .
3.5. Mašina za zagrevanje. efikasno rade po Carnot ciklusu η 10% se koristi sa istim rezervoarima toplote kao rashladna mašina. Odrediti njegov koeficijent hlađenja ε.
Odgovori : ε = (1 - η)/η = 9
3.6. Pronađite efikasnost ciklus koji se sastoji od dvije izobare i dvije adijabate, ako unutar ciklusa pritisak varira za P jednom. Radna supstanca je idealan gas sa adijabatskim indeksom γ.
Odgovori : η = 1 – η -(γ - 1)/γ.
3.7. Idealan gas sa adijabatskim indeksom γ prolazi kroz ciklus koji se sastoji od dve izohore i dve izobare. Pronađite efikasnost takav ciklus, ako je temperatura T gas se povećava u P puta i tokom izohoričnog zagrijavanja i izobarične ekspanzije.
Odgovori : η = 1 – ( n+ γ)/(1 + γ n).
3.8. Idealan gas prolazi kroz ciklus koji se sastoji od:
a) izohore, adijabate i izoterme;
b) izobare, adijabate i izoterme,
Štaviše, izotermni proces se odvija na minimalnoj temperaturi ciklusa. Pronađite efikasnost svaki ciklus, ako temperatura unutar svojih granica varira za P jednom.
Odgovori : u oba slučaja η = 1 – ln n/(n - 1)
3.9. Idealan gas sa adijabatskim eksponentom γ prolazi kroz direktan ciklus koji se sastoji od adijabatskog ciklusa. izobare i izohore. Pronađite efikasnost ciklusa, ako je tokom adijabatskog procesa zapremina idealnog gasa:
a) povećava se u n jednom:
b) smanjuje se za n puta.
Odgovori : a)η= 1– γ( n– 1)/(nγ – 1); b)η= 1– ( nγ – 1)/γ( n – 1)nγ –1.
3.10. Koristeći Clausiusovu nejednakost, pokazati da je efikasnost svi ciklusi koji imaju istu maksimalnu temperaturu T max i istu minimalnu temperaturu T min , manji od Carnotovog ciklusa pri T max i T min. Bilješka : Uzmite u obzir da je nejednakost ∫δ Q 1 /T 1 - ∫δ Q ′ 2 / T 2 ≤ 0 se samo povećava kada se zamijeni T 1 on T max i T 2 on T min.
3.11. Koliki je maksimalni rad koji toplotna mašina može proizvesti ako se kao grijač koristi komad željezne mase? m= 100 kg sa početnom temperaturom T 1 = 1500 K. i kao frižider, okeanska voda sa temperaturom T 2 = 285 K?
Odgovori : A max = mc[T 1 – T 2 – T 2∙ln( T 1 /T 2)] = 34 MJ, gdje With- specifični toplotni kapacitet gvožđa.
3.12. Glavne varijable koje karakteriziraju stanje tijela su njegova temperatura i entropija. Grafički prikažite Carnotov ciklus na dijagramu, iscrtajte entropiju na osi apscisa i temperaturu na osi ordinata. Izračunajte efikasnost koristeći ovaj grafikon. ciklus.
3.13. Pronađite promjene u entropiji mola idealnog plina tokom izohornih, izotermnih i izobaričnih procesa.
3.14. Naći promjenu entropije pri prelasku 80 g kiseonika iz zapremine od 10 litara na temperaturi od 80 o C u zapreminu od 40 litara na temperaturi od 300 o C.
odgovor:
3.15. Jedan kubni metar vazduha na temperaturi od 0 o C i pritisku od 19,6 N/cm 2 izotermno se širi sa zapreminom V 1 do volumena V 2 = 2V 1 . Pronađite promjenu entropije tokom ovog procesa.
odgovor:
3.16. Dokažite tu entropiju v molovi idealnog gasa mogu se predstaviti kao: S = v[c V ln T + R ln( V/v) + const], pri čemu konstanta aditiva u zagradama ne zavisi od broja čestica gasa.
3.17. Dvije posude iste zapremine sadrže različite idealne gasove. Masa gasa u prvoj posudi m 1 u drugom – m 2, tlak i temperatura plina su isti. Posude su spojene jedna na drugu i započeo je proces difuzije. Odrediti ukupnu promjenu Δ S entropija sistema koji se razmatra, ako je relativna molekulska masa prvog gasa μ 1, a drugog μ 2.
Odgovori : Δ S = R ln2( m 1 /μ 1 + m 2 /μ 2).
3.18. Termički izolirana cilindrična posuda je klipom zanemarljive mase podijeljena na dva jednaka dijela. Na jednoj strani klipa nalazi se idealan gas mase m, relativna molekulska masa μ i molarni toplotni kapaciteti C str I WITH v , nezavisno od temperature, a na drugoj strani klipa se stvara visoki vakuum. Početna temperatura i pritisak gasa T 0 i str 0 . Klip se oslobađa i slobodno se kreće, omogućavajući gasu da ispuni čitav volumen cilindra. Nakon toga, postepeno povećavajući pritisak na klip, polako dovedite zapreminu gasa na prvobitnu vrednost. Pronađite promjenu unutrašnje energije i entropije gasa tokom ovog procesa.
Odgovori : Δ U = U - U 0 = (m/η)∙ C V T 0 (2 γ -1 - 1);
ΔS = S - S 0 = (m/μ)∙ C V(γ - 1)ln2.
3.19. Poznavanje zavisnosti slobodne energije o temperaturi i zapremini F(T, V), pokazuju da je pritisak p = -(dF/dV) T i entropija S = -(dF/d T) V .
3.20. Zajedno sa unutrašnjom energijom U i besplatnu energiju F u termodinamici funkcije se široko koriste N =U + RV - entalpija i F = F + RV - Gibbsova besplatna energija. Dokažite da ove funkcije zadovoljavaju relacije:
|
dU = TdS – pdV, |
dF = -SdT – pdV, |
||
|
dF= -SdT + Vdp, |
dH = TdS + Vdp, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3.21. Dokažite Maxwellove odnose:
|
|
|
|
|
|
3.22. Šta nije u redu sa sljedećim obrazloženjem? Elementarna količina toplote dQ, dobijeno od fizički homogenog tijela tokom kvazistatičkog procesa je jednako
dQ = dU + pdV = dH – Vdp,
ili 
Odavde 
Izjednačavajući oba izraza, dobijamo (∂ V/∂T) str = 0. Iz toga sledi da je toplotno širenje tela nemoguće.
3.23. Pokažite da je unutrašnja energija supstance sa jednadžbom stanja u obliku R = f(V)T ne zavisi od jačine zvuka.
3.24. Unutrašnja energija i jedinice zapremine su funkcija samo od T, a jednačina stanja gasa ima oblik p = u(T)/ 3 Odredite funkcionalni oblik I(T).
Odgovori : u(T) = konst T 4 - (foton gas)
3.25. Za idealan elektronski plin vrijedi sljedeća relacija: PV = 2 / 3 U. Pronađite adijabatsku jednačinu za ovaj gas: a) u varijablama ( R,V); b) u varijablama (V, T).
Odgovori : A) RV 5/3 = konst; b) TV 2/3 = konst .
3.26. Pokažite da je za tvari u kojima je tlak linearna funkcija temperature T, toplotni kapacitet WITHv ne zavisi od zapremine.
3.27. Koristeći Maxwellove relacije, pronađite izraz za entropiju mola van der Waalsovog plina.
Odgovori
:
3.28. Izračunajte gustoću entropije S polja toplotnog zračenja.
Odgovori : S = 4 / 3 aT 3 +konst. (vidi problem 2.32).
3.29. Pronađite omjer srednjih kvadratnih brzina molekula helija i dušika na istim temperaturama.
odgovor:
3.30. Odredite temperaturu smjese CO 2 I H 2 , ako je razlika u prosječnim kinetičkim energijama po molekulu oba plina 2,07·10 -14 erg. Plin se smatra idealnim.
odgovor:
300 o K.
3.31. N atomi gasa helijuma nalaze se na sobnoj temperaturi u kubičnoj posudi zapremine 1,0 cm 3. (Prosječno vrijeme leta atoma helijuma je udaljenost reda veličine posude τ ~ 10 -5 s). Pronađite:
a) vjerovatnoća da će se svi atomi okupiti u jednoj polovini posude;
b) približna brojčana vrijednost N, na kojem se ovaj događaj može očekivati cijelo vrijeme t= 10 10 godina (starost Univerzuma).
Odgovori :a) str= 1 / 2 N ; b) N= 1g (t/τ)/ 1g 2 = 80. gdje
3. 32 . Pronađite statističku težinu najvjerovatnije distribucije N= 10 identičnih molekula u dvije identične polovine posude. Odredite vjerovatnoću takve distribucije.
Odgovori: Ω ver = N!/[(N/2)!] 2 =252, str N/2 = Ω ver/2 N = 24,6%.
3.33. Koja količina toplote mora da se prenese u makroskopski sistem na temperaturi T = 290 K, tako da sa konstantnom zapreminom njegova statistička težina raste za Δη = 0,1%?
Odgovori : δ Q = kTΔη = 4·10 -23 J.
3.34. Jedan mol idealnog gasa koji se sastoji od monoatomskih molekula nalazi se u posudi na temperaturi T 0 = 300 K. Koliko i koliko puta će se promijeniti statistička težina ovog sistema (gasa) ako se izohorno zagreje za Δ T= 1,0 K?
Odgovori : Povećanje Ω/Ω 0 = (1 + Δ T/T 0) u /2 = 10 1,31·10ˆ21 puta .
Gdje 
ukupan broj molekula 
broj molekula u 1. dijelu posude, 
u drugom. Termodinamička vjerovatnoća u primjeru koji se razmatra.
Isto tako i za distribuciju 
:
.
Za 
.
Zapiši to da je najveća termodinamička vjerovatnoća za jednoličnu distribuciju, može se izvesti na najveći broj načina.
Odnos entropije i vjerovatnoće je instaliran Boltzmann, koji je to pretpostavio entropija je proporcionalna logaritmu vjerovatnoće stanja
const), gdje 
Boltzmannova konstanta, 
termodinamička verovatnoća.
Drugi zakon termodinamike i njegovo statističko tumačenje
Boltzmannova formulacija:
Svi procesi u prirodi odvijaju se u pravcu koji vodi ka povećanju vjerovatnoće stanja.
Clausiusova formulacija:
Takvi procesi su nemogući, čiji bi jedini konačni rezultat bio prijenos topline sa manje zagrijanog tijela na više zagrijano tijelo..
Sa stanovišta Boltzmannove formulacije, prijelaz iz hladnog tijela u zagrijano je u osnovi dostupan, Ali malo vjerovatno.
Primjer. Koristeći Boltzmannu formulu, izračunavamo iz promjene entropije 2 tijela koja se nalaze na temperaturama od 301 K i 300 K, respektivno, omjer vjerovatnoće da se tijela nalaze u tim stanjima ako se s jednog tijela prenese količina toplote drugome 
. Označimo vjerovatnoću zadržavanja na temperaturi od 300 K 
, 301 K 
.
.
Zbog male prenesene energije, razlika 
može se procijeniti korištenjem relacije: 
.
, Onda 
To znači da za svakog 
slučajevi tranzicije 
sa tela temperature 301 K na telo temperature 300 K može se desiti jedan slučaj prenosa iste količine toplote sa tela temperature 300 K na telo temperature 301 K. (Imajte na umu da za vrlo malu količinu topline 
vjerovatnoće postaju uporedive i za takve slučajeve se drugi zakon više ne može primjenjivati.).
Uopšteno govoreći, ako postoji multivarijantnost puteva i procesa u sistemu, onda Izračunavanjem entropije konačnih stanja, teoretski možete odrediti vjerovatnoću određenog puta ili procesa, a da ih zapravo ne proizvodi, a ovo je važna praktična primjena formule koja povezuje termodinamičku vjerovatnoću sa entropijom.
Pitanja za samokontrolu
Zamislite sistem koji se sastoji od velikog broja molekula. Nazovimo to makroskopskim sistemom. Stanje takvog sistema može se opisati na dva načina:
1. Korišćenje prosečnih karakteristika sistema, kao što je pritisak P, volumen V, temperatura T, energija E. Stanje definisano karakteristikama usrednjenim za veliki broj molekula nazvaće se makrostanje.
2. Opisivanjem stanja svih molekula koji formiraju tijelo, za to je potrebno znati koordinate q i momente p svih molekula. Stanje definisano na ovaj način će se zvati mikrostanje.
Neka makroskopski sistem bude deo nekog velikog zatvorenog sistema; nazvaćemo ga okruženjem. Nađimo mikroskopsku Gibbsovu distribuciju, tj. funkcija raspodjele vjerovatnoće različitih stanja makroskopskog sistema koji nije u interakciji sa okolnim tijelima i ima konstantnu energiju. Različita stanja sistema koji imaju istu energiju imaju istu vjerovatnoću.
Svaka energetska vrijednost makroskopskog sistema može odgovarati različitim mikrostanjima; broj takvih stanja naziva se statistička težina.
Neka makrostanje sistema od 4 molekula bude specificirano pomoću parametara: P, V, T, E. Molekuli se nalaze u posudi odvojenoj propusnom pregradom (slika 10.1a). Plovilo se nalazi u nekom okruženju, ali ne stupa u interakciju s njim.
Rice. 10.1a. Rice. 10.1b. Rice. 10.1c.
Ako su sva 4 molekula u desnoj polovini posude, tada se makrostanje sistema (0 - 4) može zapisati pomoću jednog mikrostanja, navodeći brojeve molekula. U ovom slučaju, statistička težina je .
Neka se sada jedan od molekula pomakne u lijevu polovinu posude (slika 10.1b). To može biti molekul 1, zatim će molekuli 2, 3, 4 ostati u desnoj polovini, ili može biti molekul 2, zatim će molekuli 1, 3, 4, itd. ostati na desnoj strani. Ukupno su moguća 4 različita mikrostanja, stoga je statistička težina makrostanja (1 - 3).
Vjerovatnoće svih mikrostanja su iste. Stanje u kojem je molekul 1 lijevo, a 2, 3, 4 desno ima istu vjerovatnoću kao stanje kada je molekul 2 lijevo, a 1, 3, 4 desno. Ovaj zaključak se zasniva na pretpostavci da se svi molekuli međusobno ne razlikuju.
Ravnomjerna raspodjela molekula na obje polovice posude postaje očigledna kada je broj molekula velik. Znamo da se pritisak vremenom izjednačava u obe polovice posude: a pošto koncentracija molekula, čak i pri konstantnoj temperaturi, broj molekula sa leve i desne strane će biti isti:
Budući da najveća statistička težina odgovara najvećoj vjerovatnoći stanja w, onda je očigledno da je vjerovatnoća proporcionalna broju stanja. Stanje (2 - 2) je najvjerovatnije, jer ima najveću statističku težinu (slika 10.1c).
Stanje makroskopskog tijela (tj. tijela formiranog od ogromnog broja molekula) može se specificirati korištenjem volumena, pritiska, temperature, unutrašnje energije i drugih makroskopskih (tj. karakterizirajući cijelo tijelo kao cjelinu) veličina.
Stanje okarakterisano na ovaj način naziva se makrostanje.
Stanje makroskopskog tijela, karakterizirano tako detaljno da su data stanja svih molekula koji formiraju tijelo, naziva se mikrostanje.
Bilo koje makrostanje se može postići na različite načine, od kojih svaki odgovara određenom mikrostanju tijela. Broj različitih mikrostanja koji odgovaraju datom makrostanju naziva se statistička težina ili termodinamička vjerovatnoća makrostanja. Dakle, statistička težina predstavlja broj mikroskopskih načina na koje se dato makrostanje može realizovati.
Da biste razjasnili koncept statističke težine, razmotrite načine na koje se molekuli plina mogu rasporediti između dvije polovice posude u kojoj se nalazi plin. Neka je ukupan broj molekula jednak N. Kao karakteristiku stanja gasa uzet ćemo broj molekula koji se nalaze u lijevoj polovini posude, što označavamo slovom (prema tome broj molekula u desnoj polovini posude će biti jednak ). Stanje pojedinog molekula ćemo okarakterizirati navođenjem u kojoj se polovici posude nalazi. Ovaj opis stanja gasa i stanja pojedinih molekula je, naravno, daleko od potpunog. Međutim, dovoljno je koristiti ovaj primjer da razjasnimo karakteristične karakteristike statističkog ponašanja bilo kojeg makrosistema.
Počnimo sa slučajem kada je ukupan broj molekula četiri (slika 102.1). Svaki molekul se može naći sa jednakom vjerovatnoćom u lijevoj i desnoj polovini posude. Stoga je vjerovatnoća da će, recimo, molekul 1 biti u lijevoj polovini posude P/a 1/2. Boravak molekula 1 u lijevoj polovini posude i boravak molekula 2 u istoj polovini posude su statistički nezavisni događaji. Dakle, vjerovatnoća da 1 do 2 molekula budu istovremeno na lijevoj strani posude jednaka je proizvodu vjerovatnoća, tj. Nastavljajući ove argumente, nalazimo da je vjerovatnoća istovremenog prisustva sva četiri molekula u lijevoj polovini posude jednaka (1/2).
Slično razmišljanje pokazuje da je vjerovatnoća bilo kakvog rasporeda molekula u posudi (recimo, onog u kojem će 1. i 4. molekul biti u lijevoj polovini posude, a 2. i 3. u desnoj) također jednaka (1 / 2). Svaki od položaja predstavlja određeno mikrostanje gasa.
Iz navedenog proizilazi da je vjerovatnoća svih mikrostanja ista i jednaka
U tabeli 102.1 pokazuje sve zamislive načine raspodjele molekula između polovica posude (sva mikrostanja plina). Stanje koje karakteriše činjenica da se, recimo, nalazi jedan molekul na lijevoj strani posude (nije važno koja), a tri molekula na desnoj strani, je makrostanje.
Tabela 102.1
Tabela pokazuje da takvo makrostanje odgovara 4 mikrostanja. Prema tome, statistička težina datog makrostanja je 4, a vjerovatnoća (obična, ne termodinamička) je 4/16. Makrostanje, u kojem se nalazi isti broj molekula u oba dijela posude, ostvaruje se uz pomoć šest mikrostanja.
Prema tome, njegova statistička težina je 6, a vjerovatnoća (uobičajena) je 6/16.
Iz razmatranog primjera proizilazi da su sva mikrostanja datog sistema jednako vjerovatna, zbog čega se statistička težina ispostavlja proporcionalna vjerovatnoći (uobičajenog) makrostanja. Tvrdnja o jednakoj vjerovatnoći svih mikrostanja leži u osnovi statističke fizike i naziva se ergodička hipoteza.
Prema tabeli. 102.1 u slučaju četiri molekula, postoji velika vjerovatnoća (jednaka 1/8) da će se svi molekuli skupiti u jednoj od polovica posude (lijevoj ili desnoj). Međutim, kako se broj molekula povećava, situacija se značajno mijenja.
Nađimo broj načina (broj mikrostanja) na koji se može postići makrostanje, koje karakteriše činjenica da će se u lijevoj polovini posude nalaziti molekuli od ukupnog broja N, au desnoj polovini - () molekule. Da bismo to učinili, numerišemo molekule, dodjeljujući im brojeve od 1 do N. Zatim počinjemo da biramo jedan po jedan molekul i stavljamo ih u lijevu polovinu posude. Prvi molekul se može odabrati na N načina, drugi na (N-1) načina, treći na (N-2) načina, i konačno molekul se može odabrati na () način. Stavite preostale (N-n) molekule u desnu polovinu posude.
Iz navedenog proizilazi da je broj načina na koji se može nasumično odabrati od ukupnog broja N molekula molekula za lijevu polovicu posude jednak
Pomnoženjem i dijeljenjem ovog broja dobijamo izraz
Međutim, ne vode sve metode do različitih mikrostanja. Pojedinačna mikrostanja se razlikuju samo po skupu brojeva molekula odabranih za svaku od polovica posude, ali ne i po redoslijedu u kojem su ti molekuli odabrani. Na primjer, kada se dobiju uzorci
Od toga, uzorci 1-2 i 2-1 odgovaraju istom mikrostanju (1. i 2. molekuli u lijevoj polovini, 3. molekuli u desnoj polovini). Isto važi i za uzorke 1-3 i 3-1, kao i za uzorke 2-3 i 3-2. Dakle, uzorci koji se razlikuju samo u permutaciji broja molekula odabranih za lijevu polovinu posude (takvi uzorci) odgovaraju istom mikrostanju.
Stoga, da biste dobili broj mikrostanja uz pomoć kojih se makrostanje može realizovati, potrebno je podijeliti broj (102.1) sa. Kao rezultat, izraz za statističku težinu je
Lako je to provjeriti (vidi tabelu 102.1).
U tabeli 102.2 prikazuje vrijednosti Q izračunate primjenom formule (102.2) za slučaj. Ukupan broj načina raspodjele 24 molekula između dvije polovice posude je 224-16,777,216, a samo u dva slučaja su svi molekuli koncentrirani u jednom polovica posude. Vjerovatnoća takvog događaja je približno . Četiri kubna centimetra zraka sadrži oko molekula. Vjerovatnoća da će se svi ovi molekuli akumulirati u jednoj polovini posude jednaka je dva podijeljena sa dva na stepen dva, što je približno . Ova vjerovatnoća je toliko mala da se praktično može smatrati jednakom nuli.
Tabela 102.2
Na sl. Slika 102.2 prikazuje grafikon koji pokazuje kako se broj molekula u jednoj polovini posude mijenja tokom vremena. Ovaj broj varira oko prosječne vrijednosti od .
Slučajna odstupanja vrijednosti bilo koje fizičke veličine x od njene prosječne vrijednosti nazivaju se fluktuacijama ove veličine. Označavajući fluktuaciju sa
(102.3)
Aritmetička sredina vrijednosti (102,3) je nula. stvarno,
Stoga, kao karakteristiku fluktuacija, uzimamo srednju kvadratnu fluktuaciju jednaku
Indikativnija je relativna fluktuacija vrijednosti x koja je određena omjerom
U statističkoj fizici je dokazano da je relativna fluktuacija aditivne veličine (tj. veličine čija je vrijednost za tijelo jednaka zbroju vrijednosti za njegove pojedinačne dijelove) obrnuto proporcionalna kvadratnom korijenu broja N molekula koji formiraju tijelo:
(102.6)
Izračunajmo na osnovu podataka u tabeli. 102.1 relativna fluktuacija u broju molekula u lijevoj polovini posude. Proračune ćemo izvršiti pomoću formule (93.5). U tabeli 102.3 prikazane su vrijednosti fluktuacija i njihova vjerovatnoća P. U skladu sa ovim podacima
Dakle, srednja kvadratna fluktuacija je jednaka, a relativna fluktuacija je jednaka 1/2 (prosječna vrijednost je 2). Slični proračuni napravljeni uz pomoć podataka u tabeli. 102.2, dajte vrijednost od 2,45 za srednju kvadratnu fluktuaciju i vrijednost od 0,204 za relativnu fluktuaciju. Lako je to provjeriti
Ovaj odnos je u skladu sa formulom (102.6).
Sa stola 102.2 slijedi da se odstupanja od prosječnog broja molekula (jednakih 12) za najviše 2 molekula javljaju s vjerovatnoćom od 0,7, a odstupanja od najviše 3 molekula se javljaju s vjerovatnoćom od 0,85.
Kada bi broj molekula mogao biti razlomačan, mogli bismo reći da je plin većinu vremena u stanjima u kojima odstupanja broja molekula od prosjeka ne prelaze srednju kvadratnu fluktuaciju, tj. 2,45.
Nakon što smo napravili proporciju sličnu (102.7), dobijamo relativnu fluktuaciju broja molekula u lijevoj polovini posude za slučaj kada ova proporcija ima oblik
odakle dobijeni rezultat znači da se vrijednost broja molekula u jednoj od polovica posude mijenja, uglavnom ne preko jedne desete značajne znamenke.
Ispitivali smo fluktuacije u broju molekula u jednoj od polovica posude. Druge makroskopske karakteristike, kao što su pritisak, gustina gasa u različitim tačkama u prostoru, itd., takođe doživljavaju fluktuacije, odnosno odstupanja od prosečnih vrednosti.
Tabela 102.3
Ravnoteža je makrostanje sistema koje se ne mijenja tokom vremena. Jasno je da će odsustvo takve tendencije biti najizraženije u najvjerovatnijem od svih makrostanja zamislivih za dati sistem. Vjerovatnoća stanja je proporcionalna njegovoj statističkoj težini. Stoga se stanje ravnoteže može definirati kao stanje čija je statistička težina maksimalna.
Sistem u ravnotežnom stanju s vremena na vrijeme spontano odstupi od ravnoteže. Međutim, ova odstupanja su mala i kratkotrajna. Sistem provodi veliku većinu svog vremena u ravnotežnom stanju, koje karakteriše maksimalna statistička težina.
Statistička fizika otkriva prirodu ireverzibilnih procesa. Pretpostavimo da se gas u početku nalazio u lijevoj polovini posude, koja je bila odvojena pregradom od prazne desne polovine. Ako uklonite pregradu, plin će se spontano širiti po cijeloj posudi. Ovaj proces će biti nepovratan, jer je vjerovatnoća da će se, kao rezultat termičkog kretanja, svi molekuli okupiti u jednoj od polovica posude, kao što smo vidjeli, praktički nula. Shodno tome, sam po sebi, bez vanjskog utjecaja, plin se neće moći ponovo koncentrirati u lijevoj polovini posude.
Dakle, proces širenja plina kroz cijelu posudu pokazuje se nepovratnim zbog činjenice da je obrnuti proces malo vjerojatan. Ovaj zaključak se može proširiti i na druge procese. Svaki nepovratan proces je proces čiji je obrnuto vrlo malo vjerojatan.
Maxwell je otkrio put koji je na kraju postao široki autoput. Tokom narednih stotinu godina, podignuto je veliko zdanje statističke mehanike, dijelom zahvaljujući radu Ludwiga Boltzmanna i J. Willarda Gibbsa. (Gibbs je bio prvi veliki američki teorijski fizičar, koji je, kao i drugi "proroci", posljednji bio priznat na vlastitom univerzitetu. Priča se da se predsjednik Univerziteta Yale, odlučivši da stvori odsjek za fiziku, obratio nekolicini Evropski naučnici u pomoć. Poslali su ga Willardu Gibbsu, kojeg predsjednik nije poznavao. Gibbs je u to vrijeme bio u osoblju Univerziteta Yale.)
Suština statističke hipoteze formulisane za gasove je da odustajemo od pokušaja da saznamo tačan položaj i brzinu svake od mnogih čestica koje čine sistem, i umesto toga pretpostavljamo, osim ako nema dodatnih informacija, da je za svaku česticu u u sistemu su svi mogući položaji i pravci brzine podjednako verovatni (treba posebno naglasiti reč podjednako verovatno). Imamo neke informacije: pretpostavlja se da su ukupna energija sistema E i ukupan broj čestica u njemu N fiksni (pretpostavljamo da su energija i broj čestica očuvani). Stoga su neke kombinacije brzina i položaja agregata čestica zabranjene; Kao primjer zabranjenog sistema navešćemo takvu kombinaciju kada barem jedna čestica ima energiju veću od E: u ovom slučaju ukupna energija sistema bi bila veća od E.
Mogla bi se zamisliti situacija u kojoj se sva energija gasa ulaže u jednu česticu, koja se kreće izuzetno velikom brzinom koja odgovara energiji, dok preostale čestice miruju. Smatramo, međutim, da je malo vjerovatno da će takva konfiguracija biti „održiva“, budući da bi se očekivalo da će se čestica koja se brzo kreće sudarati s drugim česticama i predati im dio svoje energije. Moguća je i druga kombinacija, kada se ukupna energija plina podijeli jednako između svih molekula, koji se kreću u jednakoj formaciji jedan za drugim istim brzinama; ali ova situacija, kako nam intuicija govori, izgleda malo vjerojatna, jer će sudari na kraju dovesti do haotizacije kretanja.
Razmotrimo sve moguće (i međusobno različite) raspodjele molekula u prostoru i brzini, zadovoljavajući uvjete da energija E i broj čestica N ostanu nepromijenjeni kada se svi molekuli nalaze u jednom kutu posude i imaju iste brzine, kada su u drugom uglu i imaju drugačiju brzinu itd., tj. uzećemo u obzir apsolutno sve moguće kombinacije. Hajde sada da pronađemo najvjerovatniju distribuciju položaja i brzina molekula. Ovaj problem je rješiv pod gore navedenim uslovima. Osnovna ideja statistike leži u hipotezi da ako je sistem
je na datoj temperaturi (u termalnoj ravnoteži, kao što je plin u posudi), brzine i položaji molekula su opisani najvjerojatnijom distribucijom. Poznavajući ovu najvjerovatniju distribuciju molekula, moguće je izračunati koeficijent viskoznosti, pritisak i druge veličine.
Maxwell-Boltzmannova raspodjela zahtijeva da čestice budu ravnomjerno raspoređene u prostoru i njihove brzine kao što je prikazano na sl. 385.
Ovo je najvjerovatnija raspodjela čestica po pozicijama i brzinama, pod uslovom da su sve konfiguracije jednako vjerovatne, a ukupan broj čestica i njihova ukupna energija fiksni.
Dakle, radimo bez pretpostavke o jednakosti brzina čestica i ne rješavamo jednadžbe gibanja iz kojih bismo mogli dobiti tačne vrijednosti koordinata i brzina svake čestice, već uvodimo najvjerovatniju raspodjelu položaja u prostoru i brzine za sve čestice. Ova vrlo radikalna pretpostavka nadilazi zakone mehanike; nije bez razloga što se o njoj dugo i intenzivno raspravljalo i analiziralo nakon Maxwella i Boltzmanna. Ova pretpostavka je formulisana na različite načine. Ali u suštini sve se svodi na čisto intuitivno nagađanje da se u bilo kojoj stvarnoj fizičkoj situaciji nevjerovatne distribucije molekula (i u prostoru i u brzini) ne mogu pojaviti tako često da bi imale barem neki utjecaj na ravnotežna svojstva sistema.
Ilustrirajmo značenje ove hipoteze s nekoliko primjera. Zamislite gas koji se sastoji od velikog broja čestica zatvorenih u posudi. Sasvim je moguće da do takve distribucije čestica dođe kada se sve čestice kreću u jednom smjeru, udare u nekom trenutku o jedan zid posude, a nijedna od njih ne udari u suprotni zid.
zid (sl. 386). Kao rezultat ovog pomeranja, na jedan zid posude biće primenjena značajna sila, ali na drugi zid neće biti primenjena sila, pa će cela posuda odbijati u stranu sve dok se suprotni zid ne sudari sa molekulima, nakon čega se plovilo će se vratiti nazad. Moguće je, ali malo vjerovatno. Malo je vjerovatno da će molekuli moći trenutno organizirati svoje kretanje i početi se kretati u jednom smjeru umjesto da nasumično jure u svim smjerovima.
Fig. 386. Svi molekuli se kreću u istom smjeru.
Može se desiti i da se u jednom trenutku svi molekuli odjednom nađu u jednom uglu posude, a svi ostali delovi posude izgledaju prazni (Sl. 387). U ovom trenutku će gustina gasa u jednom uglu posude postati veoma velika, dok će u drugim delovima gustina biti nula. Ova situacija je takođe moguća, ali malo verovatna.
Pretpostavimo da ima 10.000 automobila na parkingu i parking ima samo jedan izlaz; Kada fudbal završi, svi vlasnici automobila sjedaju za volan. Postavlja se pitanje da li je moguće da svi automobili napuste parking u neprekidnom toku, a da se na nekim mestima ne stvaraju „gužve“ ili nakupine automobila?
Fig. 387. Svi molekuli skupljeni u jednom uglu.
Naravno, to je moguće, ali je krajnje malo vjerovatno osim ako na licu mjesta nije veći broj saobraćajne policije. Po pravilu, kada se parkiralište oslobodi, stvara se nevjerovatan nered od automobila, jer se svaki od njih kreće gotovo nasumično, pokušavajući napustiti parking.
Pretpostavka sadržana u radovima Maxwella, Boltzmanna i Gibbsa ekvivalentna je tvrdnji da se veliki broj čestica povinuje Newtonovim zakonima kretanja, u prisustvu određenih vanjskih ograničenja (na primjer, konstantnost ukupne energije i ukupnog broja čestica), kao rezultat međusobnih sudara, na kraju prelaze u neko prosječno stanje. Iz poznate Boltzmannove teoreme (teoreme) slijedi da za date početne uslove sudari čestica dovode do postepenog uspostavljanja
najverovatnije stanje. Statistička mehanika nas oslobađa svih neugodnosti vezanih za rješavanje jednačina kretanja. Zasniva se na pretpostavci da je raspodjela čestica u ravnotežnom stanju najvjerovatnija, a zatim izvodi sve posljedice koje iz te raspodjele proizlaze. Očigledno je da mogu nastati i distribucije koje nisu najvjerovatnije. Ništa manje očito je, međutim, da će takve raspodjele brzo nestati ako se posuda protrese ili na neki drugi način unese nered.