Square geometrijski oblici - numeričke vrijednosti, karakterizirajući njihovu veličinu u dvodimenzionalnom prostoru. Ova vrijednost se može mjeriti u sistemskim i nesistemskim jedinicama. Tako, na primjer, nesistemska jedinica površine je stoti dio, hektar. Ovo je slučaj ako je površina koja se mjeri komad zemlje. Sistemska jedinica površine je kvadrat dužine. U SI sistemu jedinica za ravnu površinu je kvadratni metar. U GHS-u jedinica površine se izražava kao kvadratni centimetar.
Geometrija i formule površine su neraskidivo povezane. Ova veza leži u činjenici da se izračunavanje površina ravnih figura zasniva upravo na njihovoj primjeni. Za mnoge figure izvedeno je nekoliko opcija iz kojih se izračunavaju njihove kvadratne dimenzije. Na osnovu podataka iz iskaza problema možemo odrediti najjednostavnije moguće rješenje. Ovo će olakšati proračun i smanjiti vjerovatnoću grešaka u proračunu na minimum. Da biste to učinili, razmotrite glavna područja figura u geometriji.
Formule za pronalaženje površine bilo kojeg trokuta predstavljene su u nekoliko opcija:
1) Površina trokuta se računa iz osnove a i visine h. Osnovom se smatra strana figure na koju se visina spušta. Tada je površina trokuta:
2) Površina pravokutnog trokuta izračunava se na isti način ako se hipotenuza smatra bazom. Ako za osnovu uzmemo nogu, tada će površina pravokutnog trokuta biti jednaka umnošku prepolovljenih nogu.
Formule za izračunavanje površine bilo kojeg trokuta ne završavaju tu. Drugi izraz sadrži strane a,b i sinusoidnu funkciju ugla γ između a i b. Vrijednost sinusa nalazi se u tabelama. To možete saznati i pomoću kalkulatora. Tada je površina trokuta:
Koristeći ovu jednakost, također možete osigurati da je površina pravokutnog trokuta određena kroz dužine nogu. Jer ugao γ je pravi ugao, pa se površina pravokutnog trokuta izračunava bez množenja sa sinusnom funkcijom.
3) Razmotrite poseban slučaj- pravilan trougao čija je stranica a poznata po uslovu ili se njena dužina može naći pri rešavanju. Ništa se više ne zna o figuri u problemu geometrije. Kako onda pronaći površinu pod ovim uslovom? U ovom slučaju se primjenjuje formula za površinu pravilnog trokuta:
Pravougaonik
Kako pronaći površinu pravokutnika i koristiti dimenzije stranica koje imaju zajednički vrh? Izraz za obračun je:
Ako trebate koristiti duljine dijagonala za izračunavanje površine pravokutnika, tada će vam trebati funkcija sinusa kuta koji nastaje kada se sijeku. Ova formula za površinu pravokutnika je:
Square
Površina kvadrata određena je kao drugi stepen dužine stranice:
Dokaz slijedi iz definicije da je kvadrat pravougaonik. Sve strane koje čine kvadrat imaju iste dimenzije. Stoga se izračunavanje površine takvog pravokutnika svodi na množenje jednog s drugim, odnosno na drugi stepen stranice. I formula za izračunavanje površine kvadrata poprimiće željeni oblik.
Površina kvadrata se može pronaći na drugi način, na primjer, ako koristite dijagonalu:
Kako izračunati površinu figure koju formira dio ravnine omeđen krugom? Za izračunavanje površine, formule su:
Paralelogram
Za paralelogram, formula sadrži linearne dimenzije stranice, visine i matematičku operaciju - množenje. Ako je visina nepoznata, kako onda pronaći površinu paralelograma? Postoji još jedan način izračunavanja. Obavezno specifična vrijednost, koji će prihvatiti trigonometrijska funkcija ugao koji formiraju susjedne strane, kao i njihova dužina.
Formule za površinu paralelograma su:
Rhombus
Kako pronaći površinu četverokuta zvanog romb? Površina romba određuje se jednostavnim matematičke operacije sa dijagonalama. Dokaz se zasniva na činjenici da se dijagonalni segmenti u d1 i d2 sijeku pod pravim uglom. Iz tabele sinusa može se vidjeti da za pravi ugao ovu funkciju jednako jedan. Stoga se površina romba izračunava na sljedeći način:
Područje romba se može naći i na drugi način. To također nije teško dokazati, s obzirom da su njegove stranice iste dužine. Zatim zamijenite njihov proizvod u sličan izraz za paralelogram. Uostalom, poseban slučaj ove konkretne figure je romb. Ovdje je γ unutrašnji ugao romba. Površina romba se određuje na sljedeći način:
Trapez
Kako pronaći površinu trapeza kroz baze (a i b), ako problem ukazuje na njihove dužine? Ovdje bez poznata vrijednost dužine visine h, neće biti moguće izračunati površinu takvog trapeza. Jer ova vrijednost sadrži izraz za izračunavanje:
Veličina kvadrata pravougaoni trapez se takođe može izračunati na isti način. Uzima se u obzir da se u pravokutnom trapezu kombiniraju koncepti visine i strane. Stoga, za pravokutni trapez, morate odrediti dužinu bočne strane umjesto visine.
Cilindar i paralelepiped
Razmotrimo šta je potrebno za izračunavanje površine cijelog cilindra. Površina date figure je par krugova koji se nazivaju baze i bočna površina. Krugovi koji formiraju kružnice imaju dužine radijusa jednake r. Za površinu cilindra vrši se sljedeće izračunavanje:
Kako pronaći površinu paralelepipeda koji se sastoji od tri para lica? Njegove mjere odgovaraju određenom paru. Suprotna lica imaju iste parametre. Prvo, naći S(1), S(2), S(3) - kvadratne dimenzije nejednakih lica. Tada je površina paralelepipeda:
Prsten
Dva kruga sa zajedničkim centrom formiraju prsten. Oni također ograničavaju područje prstena. U ovom slučaju, obje formule za proračun uzimaju u obzir dimenzije svakog kruga. Prvi od njih, koji izračunava površinu prstena, sadrži veći R i manji r radijus. Češće se nazivaju vanjskim i unutrašnjim. U drugom izrazu, površina prstena se izračunava preko većeg D i manjeg d prečnika. Dakle, površina prstena je poznati radijusi izračunato ovako:
Površina prstena, koristeći dužine prečnika, određuje se na sljedeći način:
Poligon
Kako pronaći površinu poligona čiji oblik nije pravilan? Opća formula Ne postoje takve brojke za površinu. Ali ako je prikazan na koordinatnoj ravni, na primjer, to bi mogao biti karirani papir, kako onda pronaći površinu u ovom slučaju? Ovdje koriste metodu koja ne zahtijeva približno mjerenje figure. Oni to rade: ako pronađu točke koje padaju u kut ćelije ili imaju cijele koordinate, onda se samo one uzimaju u obzir. Da biste zatim saznali koja je površina, koristite formulu koju je dokazao Peake. Potrebno je sabrati broj tačaka koje se nalaze unutar izlomljene linije sa polovinom tačaka koje leže na njoj i oduzeti jednu, tj. izračunava se na ovaj način:
gdje je B, G - broj tačaka smještenih unutar i na cijeloj izlomljenoj liniji, respektivno.
Šta je područje?
Površina je karakteristika zatvorene geometrijske figure (krug, kvadrat, trokut, itd.), koja pokazuje njegovu veličinu. Površina mjerena u kvadratnih centimetara, brojila itd. Označeno slovom S(kvadrat).
Kako pronaći površinu trougla?
S= a h
Gdje a– dužina osnove, h– visina trougla povučena do osnove.
Štaviše, baza ne mora biti na dnu. I to će biti dovoljno.
Ako je trougao tupo, tada se visina spušta na nastavak osnove:
Ako je trougao pravougaona, tada su osnova i visina njegove noge:
2. Još jedna formula, koja nije ništa manje korisna, ali se iz nekog razloga uvijek zaboravlja:
S= a b sinα
Gdje a I b- dvije strane trougla, sinα je sinus ugla između ovih stranica.
Glavni uvjet je da se ugao uzme između dvije poznate stranice.
3. Formula za površinu na tri strane (Heronova formula):
S=
Gdje a, b I With su stranice trougla, i R - polu-perimetar str = (a+b+c)/2.
4. Formula za površinu trokuta u smislu poluprečnika opisane kružnice:
S=
Gdje a, b I With su stranice trougla, i R – poluprečnik opisane kružnice.
5. Formula za površinu trokuta u smislu polumjera upisane kružnice:
S= p · r
Gdje R - poluperimetar trougla, i r – poluprečnik upisane kružnice.
Kako pronaći površinu pravougaonika?
1. Površina pravokutnika nalazi se vrlo jednostavno:
S=a b
Nema trikova.
Kako pronaći površinu kvadrata?
1. Kako je kvadrat pravougaonik sa svim stranama jednakim, na njega se primjenjuje ista formula:
S=a · a = a 2
2. Također, površina kvadrata se može naći preko njegove dijagonale:
S= d 2
Kako pronaći površinu paralelograma?
1. Površina paralelograma se nalazi po formuli:
S=a h
To je zbog činjenice da ako od njega s desne strane izrežete pravokutni trokut i stavite ga na lijevo, dobit ćete pravougaonik:
2. Također, površina paralelograma se može naći kroz ugao između dvije stranice:
S=a · b · sinα
Kako pronaći površinu romba?
Romb je u suštini paralelogram sa svim stranama jednakim. Stoga se na njega primjenjuju iste formule površine.
1. Površina romba kroz visinu:
S=a h
Sve formule za površinu ravnih figura
Područje jednakokračnog trapeza
1. Formula za površinu jednakokračnog trapeza pomoću stranica i uglova
a - donja baza
b - gornja osnova
c - jednake strane
α - ugao na donjoj bazi
Formula za površinu jednakokrakog trapeza kroz stranice, (S):
Formula za površinu jednakokrakog trapeza koristeći stranice i uglove, (S):
2. Formula za površinu jednakokrakog trapeza u smislu polumjera upisane kružnice
R - poluprečnik upisane kružnice
D - prečnik upisane kružnice
O - centar upisane kružnice
H - visina trapeza
α, β - uglovi trapeza
Formula za površinu jednakokrakog trapeza u smislu polumjera upisane kružnice, (S):
FER, za upisan krug u jednakokraki trapez:
3. Formula za površinu jednakokračnog trapeza kroz dijagonale i ugao između njih
d- dijagonala trapeza
α,β- uglovi između dijagonala
Formula za površinu jednakokrakog trapeza kroz dijagonale i ugao između njih, (S):
4. Formula za površinu jednakokračnog trapeza kroz srednju liniju, bočnu stranu i ugao u osnovi
c- strana
m - srednja linija trapeza
α, β - uglovi u osnovi
Formula za površinu jednakokračnog trapeza koristeći srednju liniju, bočnu stranu i osnovni ugao,
(S): 
5. Formula za površinu jednakokračnog trapeza koristeći osnovice i visinu
a - donja baza
b - gornja osnova
h - visina trapeza
Formula za površinu jednakokrakog trapeza koristeći osnovice i visinu, (S):
Površina trokuta zasnovana na strani i dva ugla, formula.
a, b, c - stranice trougla
α, β, γ - suprotni uglovi
Površina trougla kroz stranu i dva ugla (S):
Formula za površinu pravilnog poligona
a - strana poligona
n - broj strana
Površina pravilnog poligona, (S):
Formula (čaplja) za površinu trokuta kroz poluperimetar (S):
Površina jednakostraničnog trougla je:
Formule za izračunavanje površine jednakostraničnog trokuta.
a - stranica trougla
h – visina
Kako izračunati površinu jednakokračnog trougla?
b - osnova trougla
a - jednake strane
h – visina
3. Formula za površinu trapeza koristeći četiri strane
a - donja baza
b - gornja osnova
c, d - strane
Poluprečnik opisane kružnice trapeza duž stranica i dijagonala
a - bočne strane trapeza
c - donja baza
b - gornja osnova
d - dijagonala
h - visina
Formula radijusa kruga trapeza, (R)
pronađite polumjer kruga jednakokračnog trougla koristeći stranice
Poznavajući stranice jednakokračnog trokuta, možete koristiti formulu da pronađete polumjer opisane kružnice oko ovog trokuta.
a, b - stranice trougla
Poluprečnik kružnice jednakokračnog trougla (R):
Poluprečnik upisane kružnice u šesterokut
a - strana heksagona
Poluprečnik upisane kružnice u šesterokut, (r):
Poluprečnik upisane kružnice u romb
r - poluprečnik upisane kružnice
a - strana romba
D, d - dijagonale
h - visina romba
Poluprečnik upisane kružnice u jednakostranični trapez
c - donja baza
b - gornja osnova
a - strane
h - visina
Poluprečnik upisane kružnice u pravougli trokut
a, b - kraci trougla
c - hipotenuza
Poluprečnik upisane kružnice u jednakokraki trokut
a, b - stranice trougla
Dokazati da je površina upisanog četvorougla
\/(r - a)(r - b) (r - s) (r - d),
gdje je p poluperimetar, a a, b, c i d su stranice četverougla.
Dokazati da je površina četvorougla upisanog u krug jednaka
1/2 (ab + cb) · sin α, gdje su a, b, c i d stranice četverougla, a α ugao između stranica a i b.
S = √[ a ƀ c d] sin ½ (α + β). - Pročitajte više na FB.ru:
Površina proizvoljnog četverokuta (slika 1.13) može se izraziti kroz njegove stranice a, b, c i zbir para suprotnih uglova:
gdje je p poluperimetar četverokuta.
Površina četverokuta upisanog u krug () (slika 1.14, a) izračunava se pomoću Brahmaguptine formule
i opisano (slika 1.14, b) () - prema formuli
Ako je četverokut upisan i opisan u isto vrijeme (slika 1.14, c), tada formula postaje vrlo jednostavna:
Pikova formula
Za procjenu površine poligona na kariranom papiru dovoljno je izbrojati koliko ćelija pokriva ovaj poligon (površinu ćelije uzimamo kao jednu). Preciznije, ako je S površina poligona, to je broj ćelija koje u potpunosti leže unutar poligona i broj ćelija koje imaju barem jednu zajedničku točku s unutrašnjosti poligona.
U nastavku ćemo razmotriti samo takve poligone, čiji svi vrhovi leže u čvorovima karirani papir– u onima gdje se linije mreže seku. Ispada da se za takve poligone može specificirati sljedeća formula:
gdje je površina, r je broj čvorova koji leže striktno unutar poligona.
Ova formula se zove "Pick formula" - po matematičaru koji ju je otkrio 1899.
Da biste riješili probleme geometrije, morate znati formule - kao što je površina trokuta ili površina paralelograma - kao i jednostavne tehnike koje ćemo pokriti.
Prvo, naučimo formule za površine figura. Posebno smo ih sakupili u prikladnu tabelu. Štampajte, naučite i prijavite se!
Naravno, nisu sve geometrijske formule u našoj tabeli. Na primjer, za rješavanje zadataka iz geometrije i stereometrije u drugom dijelu profilnog Jedinstvenog državnog ispita iz matematike, koriste se druge formule za površinu trokuta. Definitivno ćemo vam pričati o njima.
Ali što ako trebate pronaći ne područje trapeza ili trokuta, već površinu neke složene figure? Postoje univerzalni načini! Pokazat ćemo ih na primjerima iz FIPI banke zadataka.
1. Kako pronaći površinu nestandardne figure? Na primjer, proizvoljan četverougao? Jednostavna tehnika - podijelimo ovu cifru na one o kojima znamo sve i pronađite njenu površinu - kao zbir površina ovih figura.
Podijelimo ovaj četverougao horizontalna linija u dva trokuta sa zajedničkom bazom jednakom . Visine ovih trokuta su jednake i . Tada je površina četverokuta jednaka zbroju površina dva trokuta: .
Odgovor: .
2. U nekim slučajevima, površina figure se može predstaviti kao razlika nekih površina.
Nije tako lako izračunati koliko su osnova i visina ovog trougla! Ali možemo reći da je njegova površina jednaka razlici između površina kvadrata sa stranicom i tri pravokutnih trouglova. Vidite li ih na slici? Dobijamo: .
Odgovor: .
3. Ponekad u zadatku morate pronaći površinu ne cijele figure, već njenog dijela. Obično govorimo o površini sektora - dijelu kruga. Nađite površinu sektora kruga polumjera čija je dužina luka jednaka .
Na ovoj slici vidimo dio kruga. Površina cijelog kruga jednaka je . Ostaje da saznamo koji je dio kruga prikazan. Budući da je dužina cijelog kruga jednaka (od ), a dužina luka datog sektora jednaka je , dakle, dužina luka je nekoliko puta manja od dužine cijelog kruga. Ugao pod kojim leži ovaj luk je također nekoliko puta manji od puni krug(odnosno stepeni). To znači da će površina sektora biti nekoliko puta manja od površine cijelog kruga.