uvod nastavnici:

Mala historijska referenca: Mnogi naučnici su od davnina zainteresovani za rešavanje problema. Odluke mnogih jednostavni zadaci za rezanje su pronašli stari Grci i Kinezi, ali prva sistematska rasprava na ovu temu pripada peru Abul-Vefa. Geometri su počeli ozbiljno da rešavaju probleme sečenja figura na najmanji broj delova, a zatim konstruišu još jednu figuru početkom 20. veka. Jedan od osnivača ove sekcije bio je poznati osnivač slagalice Henry E. Dudeney.

Danas su ljubitelji slagalica željni rješavanja problema rezanja jer ne postoji univerzalna metoda za rješavanje takvih problema, a svako ko se upusti u njihovo rješavanje može u potpunosti pokazati svoju domišljatost, intuiciju i sposobnost kreativno razmišljanje. (Tokom časa ćemo navesti samo jedan od mogućih primjera rezanja. Može se pretpostaviti da bi učenici mogli na kraju dobiti neku drugu ispravnu kombinaciju - toga se ne treba bojati).

Ova lekcija bi trebala biti izvedena u formi praktična lekcija. Podijelite učesnike kruga u grupe od 2-3 osobe. Dajte svakoj grupi figure koje je unaprijed pripremio nastavnik. Učenici imaju ravnalo (sa podjelama), olovku i makaze. Dozvoljeno je napraviti samo ravne rezove pomoću škara. Nakon što ste izrezali figuru na komade, morate napraviti drugu figuru od istih dijelova.

Zadaci rezanja:

1). Pokušajte rezati figuru prikazanu na slici na 3 jednaka dijela:

Savjet: Mali oblici dosta liče na slovo T.

2). Sada izrežite ovu figuru na 4 jednaka dijela:

Savjet: Lako je pretpostaviti da će se male figure sastojati od 3 ćelije, ali nema mnogo figura sa tri ćelije. Postoje samo dvije vrste: ugao i pravougaonik.

3). Podijelite figuru na dva jednaka dijela, a od dobijenih dijelova formirajte šahovsku ploču.

Savjet: Predložite da zadatak započnete od drugog dijela, kao da uzimate šahovsku tablu. Zapamtite kakav oblik ima šahovska tabla (kvadrat). Izbrojite raspoloživi broj ćelija po dužini i širini. (Zapamtite da treba da bude 8 ćelija).

4). Pokušajte isjeći sir na osam jednakih komada sa tri pokreta noža.

Savjet: pokušajte sir iseći po dužini.

Zadaci za samostalno rješavanje:

1). Izrežite kvadrat od papira i uradite sledeće:

· izrezati na 4 komada od kojih se mogu napraviti dva jednaka manja kvadrata.

· iseći na pet delova - četiri jednakokraki trougao i jedan kvadrat - i savijte ih tako da dobijete tri kvadrata.

29. april 2013. u 16:34

Rezanje na dva jednaka dijela, prvi dio

• Matematika

Problemi rezanja su oblast matematike u kojoj, kako kažu, nema mamuta. Mnogo individualnih problema, ali u suštini nijedan opšta teorija. Osim dobro poznate Bolyai-Gerwinove teoreme, u ovoj oblasti praktično nema drugih fundamentalnih rezultata. Neizvjesnost je vječni pratilac zadataka rezanja. Možemo, na primjer, rezati pravilan pentagon na šest dijelova, od kojih možete presavijati kvadrat; međutim, ne možemo dokazati da pet dijelova ne bi bilo dovoljno za ovo.

Uz pomoć lukave heuristike, mašte i pola litre, ponekad uspijemo pronaći konkretno rješenje, ali, po pravilu, nemamo odgovarajući alat da dokažemo minimalnost ovog rješenja ili njegovo nepostojanje (potonje , naravno, važi i za slučaj kada nismo našli rešenje). To je tužno i nepravedno. I jednog dana sam uzeo praznu svesku i odlučio da vratim pravdu na skali jednog specifičnog zadatka: presecanja ravne figure na dva jednaka (kongruentna) dela. U sklopu ove serije članaka (usput, biće ih tri), vi i ja, drugovi, pogledaćemo ovaj smiješni poligon prikazan ispod i pokušati nepristrano shvatiti da li je moguće da ga presečemo na dva jednaka brojke ili ne.

Uvod

Prvo, osvježimo se školski kurs geometrije i zapamtite šta su jednake figure. Yandex uslužno predlaže:

Dvije figure na ravni nazivaju se jednakim ako postoji kretanje koje jedan prema jedan pretvara jednu figuru u drugu.

Sada pitajmo Wikipediju o kretanjima. Ona će nam prvo reći da je kretanje transformacija ravnine koja čuva rastojanja između tačaka. Drugo, postoji čak i klasifikacija kretanja u ravnini. Svi oni pripadaju jednoj od sljedeća tri tipa:

• Klizna simetrija (ovdje, radi pogodnosti i koristi, uključujem simetriju ogledala, kao degenerirani slučaj, gdje se paralelno prevođenje vrši na nulti vektor)

Hajde da uvedemo neke oznake. Figuru koja se seče nazvat ćemo figurom A, a dvije hipotetičke jednake figure u koje je navodno možemo izrezati zvati će se B, odnosno C. Deo ravni koji nije zauzet figurom A nazvaćemo regionom D. U slučajevima kada se određeni poligon sa slike smatra isečenom figurom, nazvaćemo ga A 0 .

Dakle, ako se figura A može izrezati na dva jednaka dijela B i C, onda postoji kretanje koje prevodi B u C. Ovo kretanje može biti ili paralelno translacija, ili rotacija, ili klizna simetrija (od sada više ne propisujem da se simetrija ogledala takođe smatra kliznom). Naša odluka će se graditi na ovoj jednostavnoj i, čak bih rekao, očiglednoj osnovi. U ovom dijelu ćemo se osvrnuti na najjednostavniji slučaj - paralelni prijenos. Rotacijska i klizna simetrija će pasti u drugi i treći dio.

Slučaj 1: paralelni prijenos

Paralelni prijenos je specificiran jednim parametrom - vektorom kojim se pomak događa. Hajde da uvedemo još nekoliko pojmova. Prava linija paralelna vektoru pomaka i koja sadrži barem jednu tačku na slici A će se pozvati secant. Presjek sekute i figure A će se pozvati presjek. Sekansa u odnosu na koju lik A (minus presjek) leži u potpunosti u jednoj poluravni nazivat će se granica.

Lema 1. Granični dio mora sadržavati više od jedne tačke.

Dokaz: očigledan. Pa, ili detaljnije: dokažimo to kontradikcijom. Ako ova tačka pripada slici B, onda ona slika(tj. tačka do koje će ići tokom paralelnog prevođenja) pripada slici C => slika pripada slici A => slika pripada sekciji. Kontradikcija. Ako ova tačka pripada slici C, onda ona prototip(tačka koja će, uz paralelni prevod, ulaziti u nju) pripada slici B, a zatim slično. Ispostavilo se da moraju postojati najmanje dvije tačke u sekciji.

Vodeći se ovom jednostavnom lemom, nije teško razumjeti da se željeni paralelni prijelaz može dogoditi samo duž vertikalne ose (u trenutnoj orijentaciji slike). Da je u bilo kojem drugom smjeru, barem jedan od graničnih dijelova bi sastoji se od jedne tačke. Ovo se može shvatiti mentalno rotirajući vektor pomaka i gledajući šta se dešava sa granicama. Da bismo eliminirali slučaj vertikalnog paralelnog prijenosa, potreban nam je sofisticiraniji alat.

Lema 2. Inverzna slika tačke koja se nalazi na granici figure C je ili na granici slika B i C, ili na granici figure B i oblasti D.

Dokaz: nije očigledno, ali sada ćemo to popraviti. Da vas podsjetim da je granična tačka figure takva tačka da, koliko god joj blizu, postoje i tačke koje pripadaju figuri i tačke koje joj ne pripadaju. Prema tome, blizu granične tačke (nazovimo je O") figure C postojaće i tačke na slici C i druge tačke koje pripadaju ili slici B ili regionu D. Inverzne slike tačaka figure C mogu biti samo tačke figure B. Prema tome, proizvoljno blizu inverzne slike tačke O" (logično bi bilo nazvati je tačkom O) postoje tačke figure B. Inverzne slike tačaka figure B mogu biti bilo koje tačke koje ne pripadaju B (to jest, bilo tačke na slici C ili tačke oblasti D). Slično za tačke regiona D. Shodno tome, bez obzira koliko blizu tačke O postoje ili tačke na slici C (i tada će tačka O biti na granici B i C) ili tačke regiona D (i tada će inverzna slika biti na granici B i D). Ako možete proći kroz sva ova slova, složit ćete se da je lema dokazana.

Teorema 1. Ako je poprečni presjek slike A segment, tada je njegova dužina višekratnik dužine vektora pomaka.

Dokaz: razmotrite „dalji“ kraj ovog segmenta (tj. kraj čiji prototip takođe pripada segmentu). Ovaj kraj očigledno pripada slici C i njena je granična tačka. Prema tome, njegova inverzna slika (usput rečeno, također leži na segmentu i odvojena od slike dužinom vektora pomaka) će biti ili na granici B i C, ili na granici B i D. Ako je je na granici B i C, tada uzimamo i njegovu inverznu sliku . Ovu operaciju ćemo ponavljati sve dok sljedeća inverzna slika ne prestane biti na granici C i završi na granici D - a to će se dogoditi upravo na drugom kraju odsječka. Kao rezultat, dobijamo lanac predslika koji dijele sekciju na nekoliko malih segmenata, od kojih je dužina svakog jednaka dužini vektora pomaka. Dakle, dužina sekcije je višekratna dužine vektora pomaka, itd.

Korolar teoreme 1. Bilo koja dva dijela koja su segmenti moraju biti srazmjerna.

Koristeći ovaj zaključak, lako je pokazati da vertikalni paralelni prijenos također nestaje.

Zaista, dio jedan ima dužinu od tri ćelije, a dio dva ima dužinu od tri minus korijen od dva na pola. Očigledno, ove vrijednosti su neuporedive.

Zaključak

Ako je figura A 0 i može se izrezati na dvije jednake figure B i C, onda B nije preveden u C paralelnim prevođenjem. Nastavlja se.

Slom na kariranom papiru.

Ovo je zapravo pojednostavljena verzija igre Katamino, koja zahtijeva samo karirani papir i olovku. Ovakvi problemi se često javljaju u udžbenici i zadaci olimpijada za mlađih školaraca. Trebate podijeliti figuru nacrtanu u ćelijama na određeni broj identičnih dijelova.

Ovi zadaci su prikladni za vrlo širok raspon uzrasta, počevši od tri do četiri godine. Ali ne biste ih trebali pretjerano koristiti - na kraju postanu dosadni. Najvjerovatnije bi se trebali odlučiti na složenost od 4-5 dijelova od po 4-5 ćelija.

Nivo 1.

Rice. 1: Podijelite duž linija mreže (po ćelijama) na 2 jednaka dijela.

Rice. 2: Podijelite duž linija mreže na 3 jednaka dijela.

Vašoj djeci će možda trebati jednostavniji zadaci. Veoma ih je lako sastaviti: samo treba ići „od odgovora“, tj. uzmite karirani papir, odaberite oblik figure ("dio") iz nekoliko ćelija i nacrtajte nekoliko takvih figura jednu pored druge, "zaslijepivši" ih zajedno. (Bilo bi lijepo da se figure ne brkaju sa njihovim zrcalnim slikama.) Nije važno ako se ispostavi da problem ima dva ili više rješenja, što znači da morate pronaći barem jedno (ili sva). Ponovo nacrtajte obris rezultirajućeg "čudovišta" na prazan list kockastog papira - zadatak je spreman.

Nivo 2.

Rice. 3: Podijelite ćelije na 2 jednaka dijela tako da svaka od njih sadrži po jednu
Crveni trg. ( Dodatni uvjet- crveni kvadrat - zabranjuje "ekstra"
rješenja.)

Rice. 4: Podijelite duž linija mreže na 3 jednaka dijela.

Rice. 5: Podijelite duž linija mreže na 4 jednaka dijela.

Nivo 3.

Rice. 6: Podijeliti na 4 jednaka dijela.

"Oblasti geometrije figura"- V). kolika će biti površina figure sastavljene od figura A i D. Pitagorina teorema. Područja raznih figura. Figure jednake površine. Jednake brojke imaju jednake površine. Figure su podijeljene na kvadrate sa stranicom od 1 cm. Pravougaoni trouglovi. Slike koje imaju jednake površine nazivaju se jednake površine. Riješite zagonetku.

"Tolstoj dva brata"- Spreman sam. glavna ideja bajke. A sada hodaj u mjestu, lijevo - desno, stani jednom - dvaput. "Dva brata". Želim naučiti. Sješćemo za naše stolove, zajedno ćemo ponovo krenuti na posao. Moja pažnja raste. Hajde da se upoznamo sa radom L.N. Tolstoj i djelo “Dva brata”. Ako nestanemo uzalud, nestaćemo uzalud, ako ostanemo bez ičega, ostaćemo bez ičega.

"Dva kapetana Kaverin"- Sanya živi u Ensku sa roditeljima i sestrom Sašom. Romani “Otvorena knjiga” i “Dva kapetana” snimani su više puta. Foka“ pod komandom Georgija Sedova, na škuni „Sv. V.A. Kaverin. Ekspedicija se nije vratila. Prva priča „Hronika grada Lajpciga. Nikolaj Antonovič, Katjin rođak se ispostavilo da je nezahvalan.

"ljudska figura"- Riječ proporcija u prijevodu sa latinskog znači “korelacija”, “proporcionalnost”. Glavno tijelo (stomak, grudi) Nije obraćao pažnju na glavu, lice, ruke. Renesansa. Proporcije. Umetnici i arhitekte 20. veka. 5. Primjeri različitih pokreta. Drevni Egipat. Kostur igra ulogu okvira u strukturi figure.

"Sličnost figura"- Životinje. Korišteni su internet materijali. Sličnost u našim životima. Geometrija. Ako promijenite (povećate ili smanjite) sve dimenzije ravne figure za isti broj puta (omjer sličnosti), tada se stare i nove figure nazivaju sličnima. Slični trouglovi. Biljke. Sličnost nas okružuje. Slično ravnim figurama.

"Interferencija dva talasa"- Smetnje. Talasi iz različitih izvora nisu koherentni. Brijač pluta po vodi površinski napon uljni film. Interferencija -. Razlika u putanji talasa zavisi od debljine filma. Interferencija mehaničkih zvučnih talasa. Ime optički fenomen. Uzrok? Odgovara svjetlu različitih boja različitim intervalima talasne dužine.