Danas ćemo vam reći kako pronaći generatrisu konusa, što je često potrebno u školskim zadacima geometrije.
Koncept konusne generatrise
Pravi konus je lik koji se dobija kao rezultat rotacije pravougaonog trougla oko jedne od njegovih nogu. Osnova konusa formira krug. Vertikalni presjek konusa je trokut, horizontalni presjek je krug. Visina konusa je segment koji povezuje vrh konusa sa središtem baze. Generator konusa je segment koji povezuje vrh konusa sa bilo kojom tačkom na liniji osnovne kružnice.
Budući da se konus formira rotacijom pravokutnog trokuta, ispada da je prvi krak takvog trokuta visina, drugi polumjer kružnice koja leži u osnovi, a hipotenuza je generatriksa konusa. Nije teško pretpostaviti da je Pitagorina teorema korisna za izračunavanje dužine generatora. A sada više o tome kako pronaći dužinu generatrike konusa.
Pronalaženje generatora
Najlakši način da shvatite kako pronaći generator je na konkretan primjer. Pretpostavimo da su dati sljedeći uvjeti zadatka: visina je 9 cm, prečnik osnovnog kruga je 18 cm. Potrebno je pronaći generatricu.
Dakle, visina konusa (9 cm) je jedan od krakova pravokutnog trokuta uz pomoć kojeg je ovaj konus formiran. Drugi krak će biti poluprečnik osnovne kružnice. Radijus je polovina prečnika. Dakle, prečnik koji nam je dat podijelimo na pola i dobijemo dužinu poluprečnika: 18:2 = 9. Radijus je 9.
Sada je vrlo lako pronaći generatrisu konusa. Pošto je hipotenuza, kvadrat njene dužine će biti jednak zbiru kvadrati kateta, odnosno zbir kvadrata polumjera i visine. Dakle, kvadrat dužine generatrise = 64 (kvadrat dužine poluprečnika) + 64 (kvadrat dužine visine) = 64x2 = 128. Sada izvlačimo Kvadratni korijen od 128. Kao rezultat, dobijamo osam korijena iz dva. Ovo će biti generatriksa konusa.
Kao što vidite, u tome nema ništa komplikovano. Na primjer, uzeli smo jednostavnim uslovima zadataka, međutim školski kurs mogu biti složenije. Zapamtite da za izračunavanje dužine generatrike morate saznati polumjer kružnice i visinu konusa. Poznavajući ove podatke, lako je pronaći dužinu generatrise.
Nazad napred
Pažnja! Pregledi slajdova služe samo u informativne svrhe i možda ne predstavljaju sve karakteristike prezentacije. Ako si zainteresovan ovo djelo, preuzmite punu verziju.
Vrsta lekcije:čas učenja novog gradiva koristeći elemente problemske razvojne nastavne metode.
Ciljevi lekcije:
- edukativni:
- upoznavanje sa novim matematičkim konceptom;
- formiranje novih centara za obuku;
- formiranje praktičnih vještina rješavanja problema.
- razvijanje:
- razvoj samostalnog mišljenja učenika;
- razvoj vještina korektan govorškolska djeca.
- edukativni:
- razvijanje vještina timskog rada.
Oprema za nastavu: magnetna tabla, kompjuter, platno, multimedijalni projektor, konusni model, prezentacija lekcije, materijali.
Ciljevi časa (za učenike):
- upoznati se sa novim geometrijskim konceptom - konusom;
- izvući formulu za izračunavanje površine konusa;
- naučiti primijeniti stečeno znanje u rješavanju praktičnih zadataka.
Tokom nastave
Faza I. Organizacijski.
Vraćanje bilježnica od kuće testni rad na obrađenu temu.
Učenici su pozvani da kroz rješavanje zagonetke saznaju temu predstojećeg časa (slajd 1):
Slika 1.
Najavljivanje teme i ciljeva časa učenicima (slajd 2).
Faza II. Objašnjenje novog materijala.
1) Predavanje nastavnika.
Na tabli je tablica sa slikom konusa. Novi materijal je objašnjeno uz programski materijal “Stereometrija”. Na ekranu se pojavljuje trodimenzionalna slika konusa. Nastavnik daje definiciju konusa i govori o njegovim elementima. (slajd 3). Kaže se da je konus tijelo nastalo rotacijom pravokutnog trougla u odnosu na nogu. (slajdovi 4, 5). Pojavljuje se slika skeniranja bočne površine konusa. (slajd 6)
2) Praktični rad.
Ažuriranje osnovnih znanja: ponovite formule za izračunavanje površine kruga, površine sektora, dužine kruga, dužine luka kružnice. (slajdovi 7–10)
Razred je podijeljen u grupe. Svaka grupa dobija skeniranu bočnu površinu konusa isečenog od papira (sektor kruga sa dodeljenim brojem). Učenici vrše potrebna mjerenja i izračunavaju površinu rezultirajućeg sektora. Na ekranu se pojavljuju upute za izvođenje radova, pitanja - iskazi problema (slajdovi 11–14). Predstavnik svake grupe zapisuje rezultate proračuna u tabelu pripremljenu na tabli. Učesnici u svakoj grupi zalijepe jedan model konusa po uzorku koji imaju. (slajd 15)
3) Iskaz i rješenje problema.
Kako izračunati bočnu površinu stošca ako su poznati samo polumjer baze i dužina generatrike stošca? (slajd 16)
Svaka grupa vrši potrebna mjerenja i pokušava da izvede formulu za izračunavanje potrebne površine koristeći dostupne podatke. Pri izvođenju ovog rada učenici treba da uoče da je obim osnove konusa jednak dužini luka sektora – razvijenosti bočne površine ovog konusa. (slajdovi 17–21) Koristeći potrebne formule, izvodi se željena formula. Argumenti učenika bi trebali izgledati otprilike ovako:
Radijus zahvatanja sektora je jednak l, stepen mera lukovi – φ. Površina sektora se izračunava po formuli: dužina luka koji omeđuje ovaj sektor jednaka je polumjeru osnove stošca R. Dužina kruga koji leži u osnovi stošca je C = 2πR . Imajte na umu da pošto je površina bočne površine stošca jednaka površini razvoja njegove bočne površine, tada
Dakle, površina bočne površine konusa izračunava se po formuli S BOD = πRl.
Nakon izračunavanja površine bočne površine konusnog modela pomoću formule koja je nezavisno izvedena, predstavnik svake grupe upisuje rezultat proračuna u tablicu na tabli u skladu s brojevima modela. Rezultati proračuna u svakom redu moraju biti jednaki. Na osnovu toga nastavnik utvrđuje tačnost zaključaka svake grupe. Tabela rezultata bi trebala izgledati ovako:
|
Model br. |
I zadatak |
II zadatak |
(125/3)π ~ 41,67 π |
||
(425/9)π ~ 47,22 π |
||
(539/9)π ~ 59,89 π |
Parametri modela:
- l=12 cm, φ =120°
- l=10 cm, φ =150°
- l=15 cm, φ =120°
- l=10 cm, φ =170°
- l=14 cm, φ =110°
Aproksimacija proračuna povezana je s greškama mjerenja.
Nakon provjere rezultata, na ekranu se pojavljuje izlaz formula za površine bočnih i ukupnih površina konusa (slajdovi 22–26), učenici vode bilješke u sveskama.
Faza III. Konsolidacija proučenog materijala.
1) Studenti su ponuđeni zadaci za usmeno rješavanje na gotovim crtežima.
Pronađite površine potpunih površina čunjeva prikazanih na slikama (slajdovi 27–32).
2) Pitanje: Jesu li površine površina čunjeva koje nastaju rotacijom jednog pravokutnog trokuta oko različitih krakova jednake? Učenici postavljaju hipotezu i testiraju je. Hipoteza se provjerava rješavanjem zadataka i zapisuje je učenik na tabli.
Dato:Δ ABC, ∠C=90°, AB=c, AC=b, BC=a;
VAA", AVV" – tijela rotacije.
Pronađite: S PPK 1, S PPK 2.
Slika 5. (slajd 33)
Rješenje:
1) R=BC = a; S PPK 1 = S BOD 1 + S glavni 1 = π a c + π a 2 = π a (a + c).
2) R=AC = b; S PPK 2 = S BOD 2 + S baza 2 = π b c+π b 2 = π b (b + c).
Ako je S PPK 1 = S PPK 2, onda a 2 +ac = b 2 + bc, a 2 - b 2 + ac - bc = 0, (a-b)(a+b+c) = 0. Jer a, b, c – pozitivnih brojeva (duljine stranica trokuta), jednakost je istinita samo ako a =b.
zaključak: Površine dva konusa jednake su samo ako su stranice trokuta jednake. (slajd 34)
3) Rješavanje zadatka iz udžbenika: br. 565.
Faza IV. Sumiranje lekcije.
Zadaća: st. 55, 56; br. 548, br. 561. (slajd 35)
Objava dodijeljenih ocjena.
Zaključci tokom lekcije, ponavljanje glavnih informacija dobijenih tokom lekcije.
Književnost (slajd 36)
- Geometrijski razredi 10-11 - Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev et al., M., "Prosveshchenie", 2008.
- "Matematičke zagonetke i šarade" - N.V. Udalcova, biblioteka "Prvi septembar", serija "MATEMATIKA", broj 35, M., Chistye Prudy, 2010.
Geometrija je grana matematike koja proučava strukture u prostoru i odnose između njih. Zauzvrat, on se također sastoji od odjeljaka, a jedan od njih je stereometrija. Uključuje proučavanje svojstava trodimenzionalnih figura koje se nalaze u prostoru: kocka, piramida, lopta, konus, cilindar itd.
Konus je tijelo u euklidskom prostoru koje je omeđeno konusnom površinom i ravninom na kojoj leže krajevi njegovih generatora. Do njegovog formiranja dolazi prilikom rotacije pravouglog trougla oko bilo koje njegove noge, tako da pripada tijelima rotacije.
Komponente konusa
Postoje sljedeće vrste čunjeva: kosi (ili nagnuti) i ravni. Kosa je ona čija se osa ne seče sa centrom njene osnove pod pravim uglom. Zbog toga se visina u takvom konusu ne poklapa sa osom, jer je to segment koji je spušten od vrha tijela do ravni njegove osnove pod uglom od 90°.
Konus čija je osa okomita na njegovu osnovu naziva se ravan. Os i visina u takvom geometrijskom tijelu se poklapaju zbog činjenice da se vrh u njemu nalazi iznad središta promjera baze.
Konus se sastoji od sljedećih elemenata:
- Krug koji je njegova osnova.
- Bočna površina.
- Tačka koja ne leži u ravni baze, naziva se vrh konusa.
- Segmenti koji povezuju tačke kružnice osnove geometrijskog tijela i njegovog vrha.
Svi ovi segmenti su generatori konusa. Oni su nagnuti prema osnovici geometrijskog tijela, a u slučaju pravog konusa njihove projekcije su jednake, jer je vrh jednako udaljen od tačaka kružnice baze. Dakle, možemo zaključiti da su u pravilnom (ravnom) konusu generatori jednaki, odnosno da imaju istu dužinu i da formiraju iste uglove sa osom (ili visinom) i bazom.
Budući da je u kosom (ili nagnutom) tijelu rotacije vrh pomjeren u odnosu na središte osnovne ravni, generatrise u takvom tijelu imaju različite dužine i projekcije, budući da se svaka od njih nalazi na na različitim udaljenostima iz bilo koje dvije tačke osnovne kružnice. Osim toga, uglovi između njih i visina konusa također će biti različiti.
Dužina generatrisa u ravnom konusu
Kao što je ranije napisano, visina u pravom geometrijskom tijelu okretanja je okomita na ravan baze. Dakle, generatriksa, visina i radijus baze stvaraju pravougaoni trokut u konusu.
Odnosno, znajući polumjer i visinu baze, koristeći formulu iz Pitagorine teoreme, možete izračunati dužinu generatrike, koja će biti jednaka zbroju kvadrata polumjera baze i visine:
l 2 = r 2 + h 2 ili l = √r 2 + h 2
gdje je l generator;
r - radijus;
h - visina.
Generator u kosom konusu
Na osnovu činjenice da u kosom ili nagnutom konusu generatori nemaju istu dužinu, neće ih biti moguće izračunati bez dodatnih konstrukcija i proračuna.
Prije svega, morate znati visinu, dužinu ose i polumjer baze.
r 1 = √k 2 - h 2
gdje je r 1 dio polumjera između ose i visine;
k - dužina ose;
h - visina.
Kao rezultat zbrajanja polumjera (r) i njegovog dijela koji leži između ose i visine (r 1), možete saznati kompletnu generiranu generatricu stošca, njegovu visinu i dio prečnika:
gdje je R krak trougla kojeg čine visina, generator i dio prečnika baze;
r - poluprečnik osnove;
r 1 - dio polumjera između ose i visine.
Koristeći istu formulu iz Pitagorine teoreme, možete pronaći dužinu generatrikse stošca:
l = √h 2 + R 2
ili, bez posebnog izračunavanja R, kombinirajte dvije formule u jednu:
l = √h 2 + (r + r 1) 2.
Bez obzira da li je konus ravan ili kos i koji su ulazni podaci, sve metode za pronalaženje dužine generatrise uvijek se svode na jedan rezultat - korištenje Pitagorine teoreme.
Cone section
Aksijalna je ravan koja prolazi duž svoje ose ili visine. U ravnom konusu takav presjek je jednakokraki trougao, u kojem je visina trougla visina tijela, njegove stranice su generatori, a baza je prečnik osnove. U jednakostraničnom geometrijskom tijelu, aksijalni presjek je jednakostranični trokut, jer su u ovom konusu promjer baze i generatora jednaki.
Ravan aksijalnog presjeka u ravnom konusu je ravan njegove simetrije. Razlog tome je što se njegov vrh nalazi iznad središta njegove osnove, odnosno ravan aksijalnog presjeka dijeli konus na dva identična dijela.
Budući da se visina i osa ne poklapaju u nagnutom volumetrijskom tijelu, ravnina osnog presjeka možda ne uključuje visinu. Ako se u takvom konusu može konstruirati mnogo aksijalnih presjeka, jer za to mora biti ispunjen samo jedan uvjet - mora proći samo kroz osu, tada se može povući samo aksijalni presjek ravni kojoj će pripadati visina ovog konusa jedan, jer se broj uslova povećava, a, kao što je poznato, dve prave (zajedno) mogu pripadati samo jednoj ravni.
Površina poprečnog presjeka
Prethodno spomenuti aksijalni presjek konusa je trokut. Na osnovu toga, njegova se površina može izračunati pomoću formule za površinu trokuta:
S = 1/2 * d * h ili S = 1/2 * 2r * h
gdje je S površina poprečnog presjeka;
d - prečnik osnove;
r - radijus;
h - visina.
U kosom ili nagnutom konusu, presjek duž ose je također trokut, pa se površina poprečnog presjeka u njemu izračunava na sličan način.
Volume
Budući da je konus trodimenzionalna figura u trodimenzionalnom prostoru, njegov volumen se može izračunati. Zapremina konusa je broj koji karakterizira ovo tijelo u jedinici zapremine, odnosno u m3. Proračun ne zavisi od toga da li je pravo ili koso (koso), jer se formule za ova dva tipa tijela ne razlikuju.
Kao što je ranije rečeno, do formiranja pravog konusa dolazi zbog rotacije pravokutnog trokuta duž jedne od njegovih krakova. Kosi ili kosi konus se formira drugačije, jer je njegova visina pomjerena od središta ravnine osnove tijela. Ipak, takve razlike u strukturi ne utiču na metodu izračunavanja njenog volumena.
Proračun zapremine
Bilo koji konus izgleda ovako:
V = 1/3 * π * h * r 2
gdje je V zapremina konusa;
h - visina;
r - radijus;
π je konstanta jednaka 3,14.
Da biste izračunali visinu tijela, morate znati polumjer baze i dužinu njegove generatrike. Pošto su poluprečnik, visina i generator kombinovani u pravougaoni trokut, visina se može izračunati pomoću formule iz Pitagorine teoreme (a 2 + b 2 = c 2 ili u našem slučaju h 2 + r 2 = l 2, gdje je l je generator). Visina će se izračunati uzimanjem kvadratnog korijena razlike između kvadrata hipotenuze i drugog kraka:
a = √c 2 - b 2
Odnosno, visina konusa bit će jednaka vrijednosti dobivenoj nakon uzimanja kvadratnog korijena razlike između kvadrata dužine generatrike i kvadrata polumjera baze:
h = √l 2 - r 2
Izračunavanjem visine ovom metodom i znajući polumjer njegove baze, možete izračunati volumen konusa. Učitelj svira važnu ulogu, jer služi kao pomoćni element u proračunima.
Slično, ako su visina tijela i dužina njegove generatrise poznate, polumjer njegove baze se može saznati uzimanjem kvadratnog korijena razlike između kvadrata generatrike i kvadrata visine:
r = √l 2 - h 2
Zatim, koristeći istu formulu kao gore, izračunajte volumen konusa.
Zapremina nagnutog konusa
Budući da je formula za volumen konusa ista za sve vrste tijela rotacije, razlika u njenom proračunu je traženje visine.
Da bi se saznala visina nagnutog konusa, ulazni podaci moraju uključivati dužinu generatrike, polumjer baze i udaljenost između središta baze i presjeka visine tijela sa ravninom. njegove baze. Znajući to, lako možete izračunati dio prečnika baze koji će biti osnova pravokutnog trokuta (formiran od visine, generatriksa i ravni baze). Zatim, ponovo koristeći Pitagorinu teoremu, izračunajte visinu konusa, a potom i njegovu zapreminu.
Evo problema sa čunjevima, stanje se odnosi na njegovu površinu. Konkretno, u nekim problemima se postavlja pitanje promjene površine pri povećanju (smanjenju) visine stošca ili polumjera njegove baze. Teorija za rješavanje problema u . Razmotrimo sljedeće zadatke:
27135. Obim osnove stošca je 3, generator je 2. Nađite površinu bočne površine stošca.
Bočna površina stošca jednaka je:
Zamjena podataka:
75697. Koliko će se puta povećati površina bočne površine stošca ako se njegova generatriksa poveća za 36 puta, a polumjer osnove ostane isti?
Bočna površina konusa:
Generator se povećava 36 puta. Radijus ostaje isti, što znači da se obim baze nije promijenio.
To znači da će bočna površina modificiranog konusa imati oblik:
Tako će se povećati za 36 puta.
*Odnos je jednostavan, tako da se ovaj problem može lako riješiti usmeno.
27137. Koliko će se puta smanjiti površina bočne površine stošca ako se polumjer njegove osnove smanji za 1,5 puta?
Bočna površina stošca jednaka je:
Radijus se smanjuje za 1,5 puta, odnosno:
Utvrđeno je da se bočna površina smanjila za 1,5 puta.
27159. Visina konusa je 6, generatora 10. Nađite njegovu površinu puna površina, podijeljeno sa Pi.
Puna površina konusa:
Morate pronaći radijus:
Visina i generatriksa su poznate, koristeći Pitagorinu teoremu izračunavamo radijus:
ovako:
Podijelite rezultat sa Pi i zapišite odgovor.
76299. Ukupna površina stošca je 108. Odsjek je nacrtan paralelno s osnovom stošca, dijeleći visinu na pola. Pronađite ukupnu površinu odsječenog konusa.
Presjek prolazi kroz sredinu visine paralelno s bazom. To znači da će polumjer osnove i generatriksa odsječenog konusa biti 2 puta manji od polumjera i generatrike originalnog konusa. Zapišimo površinu odsječenog konusa:
Trebalo bi da bude 4 puta manje površine površina originala, odnosno 108:4 = 27.
*Budući da su originalni i odrezani konus slična tijela, bilo je moguće koristiti i svojstvo sličnosti:
27167. Poluprečnik osnove stošca je 3, a visina 4. Nađite ukupnu površinu stošca podijeljenu s Pi.
Formula za ukupnu površinu stošca:
Radijus je poznat, potrebno je pronaći generatricu. 
Prema Pitagorinoj teoremi:
ovako:
Podijelite rezultat sa Pi i zapišite odgovor.
Zadatak. Bočna površina konusa je četiri puta više površine osnove. Nađi nešto jednako kosinsu ugao između generatrise stošca i ravni baze.
Površina osnove stošca je: 