Jedna od oblasti matematike sa kojom se učenici najviše bore je trigonometrija. Nije iznenađujuće: da biste slobodno savladali ovu oblast znanja, potrebno vam je prostorno razmišljanje, sposobnost pronalaženja sinusa, kosinusa, tangenta, kotangensa pomoću formula, pojednostavljenja izraza i mogućnosti korištenja broja pi u kalkulacije. Osim toga, morate biti u mogućnosti koristiti trigonometriju prilikom dokazivanja teorema, a to zahtijeva ili razvijenu matematičku memoriju ili sposobnost izvođenja složenih logičkih lanaca.

Poreklo trigonometrije

Upoznavanje s ovom naukom trebalo bi započeti s definicijom sinusa, kosinusa i tangenta kuta, ali prvo morate razumjeti šta trigonometrija uopće radi.

Istorijski gledano, glavni predmet proučavanja u ovoj grani matematičke nauke bili su pravokutni trouglovi. Prisustvo ugla od 90 stepeni omogućava izvođenje razne operacije, što vam omogućava da odredite vrijednosti svih parametara dotične figure koristeći dvije strane i jedan kut ili dva ugla i jednu stranu. U prošlosti su ljudi primijetili ovaj obrazac i počeli ga aktivno koristiti u izgradnji zgrada, navigaciji, astronomiji, pa čak i u umjetnosti.

Prva faza

U početku se o odnosu uglova i stranica govorilo isključivo na primjeru pravokutnih trokuta. Tada su otkrivene posebne formule koje su omogućile proširenje granica upotrebe u Svakodnevni život ovu granu matematike.

Izučavanje trigonometrije u školi danas počinje pravouglim trouglim, nakon čega učenici koriste stečena znanja iz fizike i rješavanja apstraktnih zadataka. trigonometrijske jednačine, rad sa kojim počinje u srednjoj školi.

Sferna trigonometrija

Kasnije, kada je nauka dostigla sledeći nivo razvoja, formule sa sinusom, kosinusom, tangentom i kotangensom počele su da se koriste u sfernoj geometriji, gde važe različita pravila, a zbir uglova u trouglu je uvek veći od 180 stepeni. Ova sekcija se ne izučava u školi, ali je potrebno znati za njeno postojanje barem zato zemljine površine, a površina bilo koje druge planete je konveksna, što znači da će svaka oznaka površine biti u obliku luka u trodimenzionalnom prostoru.

Uzmi globus i konac. Pričvrstite konac na bilo koje dvije točke na globusu tako da bude zategnut. Imajte na umu - poprimio je oblik luka. Takvim oblicima se bavi sferna geometrija koja se koristi u geodeziji, astronomiji i drugim teorijskim i primijenjenim oblastima.

Pravokutni trokut

Pošto smo malo naučili o načinima korištenja trigonometrije, vratimo se na osnovnu trigonometriju kako bismo dalje razumjeli što su sinus, kosinus, tangenta, koja se izračunavanja mogu izvesti uz njihovu pomoć i koje formule koristiti.

Prvi korak je razumijevanje pojmova koji se odnose na pravokutni trokut. Prvo, hipotenuza je strana nasuprot ugla od 90 stepeni. To je najduže. Sjećamo se da je prema Pitagorinoj teoremi njegova numerička vrijednost jednak korijenu zbira kvadrata druge dvije strane.

Na primjer, ako su dvije stranice 3 i 4 centimetra, dužina hipotenuze će biti 5 centimetara. Inače, stari Egipćani su za to znali prije otprilike četiri i po hiljade godina.

Dvije preostale stranice, koje formiraju pravi ugao, nazivaju se noge. Osim toga, moramo zapamtiti da je zbir uglova u trokutu u pravougaonom koordinatnom sistemu jednak 180 stepeni.

Definicija

Konačno, sa čvrstim razumijevanjem geometrijske osnove, možemo se obratiti definiciji sinusa, kosinusa i tangenta ugla.

Sinus ugla je omjer suprotnog kraka (tj. strane suprotne željenom kutu) i hipotenuze. Kosinus ugla je omjer susjedne stranice i hipotenuze.

Zapamtite da ni sinus ni kosinus ne mogu biti veći od jedan! Zašto? Zato što je hipotenuza po defaultu najduža. Bez obzira koliko je krak dugačak, bit će kraći od hipotenuze, što znači da će njihov omjer uvijek biti manji od jedan. Stoga, ako u svom odgovoru na problem dobijete sinus ili kosinus sa vrijednošću većom od 1, potražite grešku u proračunima ili obrazloženju. Ovaj odgovor je očigledno netačan.

Konačno, tangenta ugla je omjer suprotne i susjedne strane. Podjela sinusa kosinusom dat će isti rezultat. Pogledajte: prema formuli, duljinu stranice podijelimo hipotenuzom, zatim podijelimo s dužinom druge stranice i pomnožimo sa hipotenuzom. Dakle, dobijamo isti odnos kao u definiciji tangente.

Kotangens je, prema tome, omjer strane susjedne ugla prema suprotnoj strani. Dobijamo isti rezultat dijeljenjem jedan sa tangentom.

Dakle, pogledali smo definicije šta su sinus, kosinus, tangent i kotangens i možemo prijeći na formule.

Najjednostavnije formule

U trigonometriji ne možete bez formula - kako pronaći sinus, kosinus, tangent, kotangens bez njih? Ali to je upravo ono što je potrebno pri rješavanju problema.

Prva formula koju trebate znati kada počnete proučavati trigonometriju kaže da je zbroj kvadrata sinusa i kosinusa ugla jednak jedan. Ova formula je direktna posljedica Pitagorine teoreme, ali štedi vrijeme ako trebate znati veličinu ugla, a ne stranu.

Mnogi učenici se ne mogu sjetiti druge formule, koja je također vrlo popularna pri rješavanju školski zadaci: zbir jedinice i kvadrata tangente ugla jednak je jednom podijeljenom s kvadratom kosinusa ugla. Pogledajte bliže: ovo je ista izjava kao u prvoj formuli, samo su obje strane identiteta podijeljene kvadratom kosinusa. Ispostavilo se da jednostavna matematička operacija radi trigonometrijska formula potpuno neprepoznatljiv. Zapamtite: znajući šta su sinus, kosinus, tangenta i kotangens, pravila transformacije i nekoliko osnovnih formula, možete u svakom trenutku izvesti potrebne složenije formule na listu papira.

Formule za dvostruke uglove i sabiranje argumenata

Još dvije formule koje trebate naučiti odnose se na vrijednosti sinusa i kosinusa za zbroj i razliku uglova. Oni su predstavljeni na donjoj slici. Imajte na umu da se u prvom slučaju sinus i kosinus množe oba puta, au drugom se dodaje upareni proizvod sinusa i kosinusa.

Postoje i formule povezane s argumentima u obrascu dvostruki ugao. Oni su u potpunosti izvedeni iz prethodnih - kao trening pokušajte ih sami dobiti uzimajući alfa ugao jednaka uglu beta.

Konačno, imajte na umu da se formule dvostrukog ugla mogu preurediti kako bi se smanjila snaga sinusa, kosinusa, tangenta alfa.

Teoreme

Dvije glavne teoreme u osnovnoj trigonometriji su sinusna teorema i kosinusna teorema. Uz pomoć ovih teorema, lako možete razumjeti kako pronaći sinus, kosinus i tangentu, a time i površinu figure, veličinu svake strane itd.

Teorema sinusa kaže da dijeljenjem dužine svake strane trokuta sa suprotnim uglom, dobijamo isti broj. Štaviše, ovaj broj će biti jednak dvama polumjerima opisane kružnice, odnosno kruga koji sadrži sve točke datog trougla.

Kosinusna teorema generalizira Pitagorinu teoremu, projektujući je na bilo koji trokut. Ispada da od zbira kvadrata dviju strana oduzmite njihov proizvod pomnožen dvostrukim kosinusom susjednog ugla - rezultirajuća vrijednost će biti jednaka kvadratu treće strane. Tako se ispostavlja da je Pitagorina teorema poseban slučaj kosinusne teoreme.

Nepažljive greške

Čak i znajući šta su sinus, kosinus i tangens, lako je pogriješiti zbog rasejanosti ili greške u najjednostavnijim proračunima. Da bismo izbjegli takve greške, pogledajmo one najpopularnije.

Prvo, ne biste trebali pretvarati razlomke u decimale dok ne dobijete konačni rezultat - odgovor možete ostaviti kao razlomak osim ako nije drugačije navedeno u uvjetima. Takva transformacija se ne može nazvati greškom, ali treba imati na umu da se u svakoj fazi problema mogu pojaviti novi korijeni, koje bi, prema autorovoj zamisli, trebalo smanjiti. U tom slučaju gubite vrijeme na nepotrebne matematičke operacije. Ovo posebno vrijedi za vrijednosti kao što su korijen od tri ili korijen od dva, jer se nalaze u problemima na svakom koraku. Isto važi i za zaokruživanje „ružnih“ brojeva.

Nadalje, imajte na umu da se kosinusna teorema primjenjuje na bilo koji trokut, ali ne i Pitagorina teorema! Ako greškom zaboravite da oduzmete dvostruki proizvod strane pomnožene kosinusom ugla između njih, ne samo da ćete dobiti potpuno netačan rezultat, već ćete pokazati i potpuno nerazumijevanje subjekta. Ovo je gore od neoprezne greške.

Treće, nemojte miješati vrijednosti za uglove od 30 i 60 stepeni za sinuse, kosinuse, tangente, kotangense. Zapamtite ove vrijednosti, jer je sinus od 30 stepeni jednak kosinsu od 60, i obrnuto. Lako ih je zbuniti, zbog čega ćete neizbježno dobiti pogrešan rezultat.

Aplikacija

Mnogi studenti ne žure da počnu proučavati trigonometriju jer ne razumiju njeno praktično značenje. Šta je sinus, kosinus, tangenta za inženjera ili astronoma? Ovo su koncepti zahvaljujući kojima možete izračunati udaljenost do daleke zvezde, predvidjeti pad meteorita, poslati istraživačku sondu na drugu planetu. Bez njih je nemoguće izgraditi zgradu, dizajnirati automobil, izračunati opterećenje na površini ili putanju objekta. A ovo su samo najočitiji primjeri! Uostalom, trigonometrija se u ovom ili onom obliku koristi svuda, od muzike do medicine.

Konačno

Dakle, ti si sinus, kosinus, tangent. Možete ih koristiti u proračunima i uspješno rješavati školske probleme.

Cijeli smisao trigonometrije svodi se na činjenicu da koristeći poznate parametre trougla morate izračunati nepoznanice. Ukupno ima šest parametara: dužina tri strane I magnitude tri uglovi Jedina razlika u zadacima leži u činjenici da su dati različiti ulazni podaci.

Sada znate kako pronaći sinus, kosinus, tangentu na osnovu poznatih dužina kateta ili hipotenuze. Pošto ovi pojmovi ne znače ništa više od omjera, a omjer je razlomak, glavni cilj trigonometrijski problem je pronalaženje korena obične jednačine ili sistema jednačina. I tu će vam pomoći redovna školska matematika.

Šta je sinus, kosinus, tangenta, kotangens ugla pomoći će vam da shvatite pravougli trokut.

Kako se zovu stranice pravouglog trougla? Tako je, hipotenuza i katete: hipotenuza je strana koja leži nasuprot pravi ugao(u našem primjeru ovo je strana \(AC\) ); krakovi su dvije preostale stranice \(AB\) i \(BC\) (one koje su susjedne pravom kutu), a ako uzmemo u obzir krakove u odnosu na ugao \(BC\), onda je krak \(AB\) susjedna noga, a noga \(BC\) je suprotna. Dakle, hajde da odgovorimo na pitanje: šta su sinus, kosinus, tangent i kotangens ugla?

Sinus ugla– ovo je omjer suprotnog (udaljenog) kraka i hipotenuze.

U našem trouglu:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Kosinus ugla– ovo je omjer susjednog (bliskog) kraka i hipotenuze.

U našem trouglu:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Tangenta ugla– ovo je odnos suprotne (udaljene) strane prema susednoj (bliskoj).

U našem trouglu:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Kotangens ugla– ovo je odnos susedne (bliske) noge i suprotne (daleke).

U našem trouglu:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Ove definicije su neophodne zapamti! Da biste lakše zapamtili koju nogu podijeliti na šta, morate to jasno razumjeti tangenta I kotangens samo noge sjede, a hipotenuza se pojavljuje samo u sinus I kosinus. A onda možete smisliti lanac asocijacija. Na primjer, ovaj:

Kosinus→dodir→dodir→susedni;

Kotangens→dodir→dodir→susedni.

Prije svega, morate zapamtiti da sinus, kosinus, tangenta i kotangens, jer omjeri strana trokuta ne ovise o dužinama ovih stranica (pod istim kutom). Ne vjerujem? Zatim se uvjerite gledajući sliku:

Razmotrimo, na primjer, kosinus ugla \(\beta \) . Po definiciji, iz trougla \(ABC\): \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), ali možemo izračunati kosinus ugla \(\beta \) iz trokuta \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Vidite, dužine stranica su različite, ali vrijednost kosinusa jednog ugla je ista. Dakle, vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa ovise isključivo o veličini ugla.

Ako razumijete definicije, samo naprijed i konsolidirajte ih!

Za trokut \(ABC \) prikazan na slici ispod, nalazimo \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(niz) \)

Pa, jesi li dobio? Zatim pokušajte sami: izračunajte isto za ugao \(\beta \) .

odgovori: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Jedinični (trigonometrijski) krug

Razumijevajući koncepte stupnjeva i radijana, razmatrali smo krug s polumjerom jednakim \(1\) . Takav krug se zove single. Bit će vrlo korisno kada proučavate trigonometriju. Stoga, pogledajmo to malo detaljnije.

Kao što vidite, ovaj krug je konstruisan u kartezijanskom koordinatnom sistemu. Polumjer kružnice jednak je jedan, dok središte kružnice leži na početku koordinata, početni položaj vektora radijusa je fiksiran duž pozitivnog smjera ose \(x\) (u našem primjeru, ovo je polumjer \(AB\)).

Svaka tačka na kružnici odgovara dva broja: koordinata duž ose \(x\) i koordinata duž ose \(y\). Koji su to koordinatni brojevi? I općenito, kakve veze oni imaju sa temom o kojoj je riječ? Da bismo to učinili, moramo se sjetiti razmatranog pravokutnog trokuta. Na gornjoj slici možete vidjeti dva cijela pravokutna trougla. Razmotrimo trougao \(ACG\) . Pravougaona je jer je \(CG\) okomita na osu \(x\).

Šta je \(\cos \ \alpha \) iz trougla \(ACG \)? Tako je \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Osim toga, znamo da je \(AC\) polumjer jedinične kružnice, što znači \(AC=1\) . Zamijenimo ovu vrijednost u našu formulu za kosinus. Evo šta se dešava:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

Koliko je jednak \(\sin \ \alpha \) iz trougla \(ACG \)? pa naravno \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Zamijenite vrijednost radijusa \(AC\) u ovu formulu i dobijete:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Dakle, možete li reći koje koordinate ima tačka \(C\) koja pripada kružnici? Pa, nema šanse? Šta ako shvatite da su \(\cos \ \alpha \) i \(\sin \alpha \) samo brojevi? Kojoj koordinati odgovara \(\cos \alpha \)? Pa, naravno, koordinata \(x\)! I kojoj koordinati odgovara \(\sin \alpha \)? Tako je, koordinata \(y\)! Dakle, poenta \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

Čemu su onda jednaki \(tg \alpha \) i \(ctg \alpha \)? Tako je, upotrijebimo odgovarajuće definicije tangente i kotangensa i dobijemo to \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Šta ako je ugao veći? Na primjer, kao na ovoj slici:

Šta se promijenilo u ovom primjeru? Hajde da to shvatimo. Da bismo to učinili, okrenimo se ponovo pravokutnom trokutu. Razmotrimo pravougaoni trougao \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : ugao (kao susedni ugao \(\beta \) ). Kolika je vrijednost sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa za ugao \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Tako je, pridržavamo se odgovarajućih definicija trigonometrijske funkcije:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \ugao ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\ugao ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\ugao ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(niz) \)

Pa, kao što vidite, vrijednost sinusa ugla i dalje odgovara koordinati \(y\) ; vrijednost kosinusa ugla - koordinata \(x\) ; i vrijednosti tangenta i kotangensa na odgovarajuće omjere. Dakle, ovi odnosi se primjenjuju na bilo koju rotaciju radijus vektora.

Već je spomenuto da je početni položaj radijus vektora duž pozitivnog smjera ose \(x\). Do sada smo ovaj vektor rotirali u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, ali šta će se dogoditi ako ga okrenemo u smjeru kazaljke na satu? Ništa neobično, dobit ćete i ugao određene vrijednosti, ali samo on će biti negativan. Dakle, kada se radijus vektor okrene suprotno od kazaljke na satu, dobijamo pozitivni uglovi, a pri rotaciji u smjeru kazaljke na satu – negativan.

Dakle, znamo da je cijela revolucija radijus vektora oko kružnice \(360()^\circ \) ili \(2\pi \) . Da li je moguće rotirati radijus vektor za \(390()^\circ \) ili za \(-1140()^\circ \)? Pa, naravno da možete! u prvom slučaju, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), dakle, radijus vektor će napraviti jednu punu revoluciju i zaustaviti se na poziciji \(30()^\circ \) ili \(\dfrac(\pi )(6) \) .

u drugom slučaju, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), to jest, radijus vektor će napraviti tri puna okretaja i zaustaviti se na poziciji \(-60()^\circ \) ili \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Dakle, iz gornjih primjera možemo zaključiti da se uglovi koji se razlikuju za \(360()^\circ \cdot m \) ili \(2\pi \cdot m \) (gdje je \(m \) bilo koji cijeli broj), odgovaraju istoj poziciji radijus vektora.

Slika ispod prikazuje ugao \(\beta =-60()^\circ \) . Ista slika odgovara uglu \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) itd. Ova lista se može nastaviti u nedogled. Svi ovi uglovi se mogu napisati općom formulom \(\beta +360()^\circ \cdot m\) ili \(\beta +2\pi \cdot m \) (gdje je \(m \) bilo koji cijeli broj)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(niz) \)

Sada, znajući definicije osnovnih trigonometrijskih funkcija i koristeći jedinični krug, pokušajte odgovoriti koje su vrijednosti:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(niz) \)

Evo jediničnog kruga koji će vam pomoći:

Imate poteškoća? Onda hajde da shvatimo. Dakle, znamo da:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(niz)\)

Odavde određujemo koordinate tačaka koje odgovaraju određenim mjerama uglova. Pa, počnimo redom: ugao unutra \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) odgovara tački sa koordinatama \(\left(0;1 \right) \) , dakle:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- ne postoji;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Dalje, pridržavajući se iste logike, saznajemo da su uglovi u \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) odgovaraju tačkama sa koordinatama \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \desno) \), odnosno. Znajući to, lako je odrediti vrijednosti trigonometrijskih funkcija u odgovarajućim točkama. Prvo pokušajte sami, a zatim provjerite odgovore.

odgovori:

\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- ne postoji

\(\sin \270()^\circ =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- ne postoji

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \360()^\circ =0\)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- ne postoji

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Strelica desno \text(tg)\ 450()^\circ \)- ne postoji

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Tako možemo napraviti sljedeću tabelu:

Nema potrebe da pamtite sve ove vrednosti. Dovoljno je zapamtiti korespondenciju između koordinata točaka na jediničnom krugu i vrijednosti trigonometrijskih funkcija:

\(\lijevo. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(niz) \desno\)\ \text(Morate zapamtiti ili biti u mogućnosti da ga prikažete!! \) !}

Ali vrijednosti trigonometrijskih funkcija uglova u i \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) dato u tabeli ispod, morate zapamtiti:

Nemojte se plašiti, sada ćemo vam pokazati jedan primjer prilično jednostavnog pamćenja odgovarajućih vrijednosti:

Za korištenje ove metode važno je zapamtiti vrijednosti sinusa za sve tri mjere ugla ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), kao i vrijednost tangente ugla u \(30()^\circ \) . Poznavajući ove \(4\) vrijednosti, prilično je jednostavno vratiti cijelu tablicu - vrijednosti kosinusa se prenose u skladu sa strelicama, odnosno:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\ \end(niz) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), znajući to, možete vratiti vrijednosti za \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Brojač "\(1 \)" će odgovarati \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \), a nazivnik "\(\sqrt(\text(3)) \)" će odgovarati \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Vrijednosti kotangensa se prenose u skladu sa strelicama prikazanim na slici. Ako ovo razumijete i zapamtite dijagram sa strelicama, tada će biti dovoljno zapamtiti samo \(4\) vrijednosti iz tabele.

Koordinate tačke na kružnici

Da li je moguće pronaći tačku (njene koordinate) na kružnici, znajući koordinate centra kruga, njegov polumjer i kut rotacije? Pa, naravno da možete! Hajde da ga izvadimo opšta formula da nađemo koordinate tačke. Na primjer, evo kruga ispred nas:

Dato nam je to \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- centar kruga. Polumjer kružnice je \(1.5\) . Potrebno je pronaći koordinate tačke \(P\) dobijene rotacijom tačke \(O\) za \(\delta \) stepeni.

Kao što se može vidjeti sa slike, koordinata \(x\) tačke \(P\) odgovara dužini segmenta \(TP=UQ=UK+KQ\) . Dužina segmenta \(UK\) odgovara koordinati \(x\) centra kruga, odnosno jednaka je \(3\) . Dužina segmenta \(KQ\) može se izraziti pomoću definicije kosinusa:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Tada imamo da je za tačku \(P\) koordinata \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1.5\cdot \cos \ \delta \).

Koristeći istu logiku, nalazimo vrijednost y koordinate za tačku \(P\) . dakle,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).

Dakle, unutra opšti pogled koordinate tačaka određene su formulama:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(niz) \), Gdje

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - koordinate centra kruga,

\(r\) - polumjer kružnice,

\(\delta \) - ugao rotacije vektorskog radijusa.

Kao što vidite, za jedinični krug koji razmatramo, ove formule su značajno smanjene, budući da su koordinate centra jednake nuli, a radijus jednak jedan:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

Javascript je onemogućen u vašem pretraživaču.
Da biste izvršili proračune, morate omogućiti ActiveX kontrole!

Instrukcije

Video na temu

Bilješka

Prilikom izračunavanja stranica pravokutnog trokuta, poznavanje njegovih karakteristika može igrati ulogu:
1) Ako krak pravog ugla leži nasuprot ugla od 30 stepeni, onda je jednak polovini hipotenuze;
2) Hipotenuza je uvek duža od bilo kog kateta;
3) Ako je kružnica opisana oko pravouglog trougla, onda njegovo središte mora ležati u sredini hipotenuze.

Hipotenuza je stranica u pravokutnom trokutu koja je nasuprot kuta od 90 stepeni. Da biste izračunali njegovu dužinu, dovoljno je znati dužinu jedne od kateta i veličinu jednog od oštrih uglova trokuta.

Instrukcije

Javite nam jednu od nogu i ugao uz nju. Da budemo precizni, neka ovo bude strana |AB| i ugao α. Tada možemo koristiti formulu za trigonometrijski kosinus– kosinus omjera susjedne noge prema . One. u našoj notaciji cos α = |AB| / |AC|. Iz ovoga dobijamo dužinu hipotenuze |AC| = |AB| / cos α.
Ako znamo stranu |BC| i ugao α, tada ćemo koristiti formulu za izračunavanje sinusa ugla - sinus ugla je jednak omjeru suprotnog kraka i hipotenuze: sin α = |BC| / |AC|. Nalazimo da je dužina hipotenuze |AC| = |BC| / cos α.

Radi jasnoće, pogledajmo primjer. Neka je data dužina kraka |AB|. = 15. I ugao α = 60°. Dobijamo |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30.
Pogledajmo kako možete provjeriti svoj rezultat koristeći Pitagorinu teoremu. Da bismo to uradili, moramo izračunati dužinu drugog kraka |BC|. Koristeći formulu za tangent ugla tan α = |BC| / |AC|, dobijamo |BC| = |AB| * tan α = 15 * tan 60° = 15 * √3. Zatim, primjenjujemo Pitagorinu teoremu, dobijamo 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Provjera završena.

Koristan savjet

Nakon izračunavanja hipotenuze, provjerite da li rezultirajuća vrijednost zadovoljava Pitagorinu teoremu.

Izvori:

• Tabela prostih brojeva od 1 do 10000

Noge su dvije kratke stranice pravokutnog trokuta koje čine vrh čija je veličina 90°. Treća stranica u takvom trokutu naziva se hipotenuza. Sve ove stranice i uglovi trokuta međusobno su povezani određenim odnosima koji omogućavaju izračunavanje dužine kraka ako je poznato nekoliko drugih parametara.

Instrukcije

Koristite Pitagorinu teoremu za krak (A) ako znate dužinu druge dvije stranice (B i C) pravokutnog trokuta. Ova teorema kaže da je zbir dužina na kvadrat kateta jednak kvadratu hipotenuze. Iz ovoga slijedi da je dužina svake od nogu jednaka kvadratni korijen od dužina hipotenuze i druge noge: A=√(C²-B²).

Koristite definiciju direktne trigonometrijske funkcije “sinus” za akutni ugao ako znate veličinu ugla (α) koji leži nasuprot kateta koji se izračunava i dužinu hipotenuze (C). Ovo kaže da je sinus ovog poznatog omjera dužine željenog kraka i dužine hipotenuze. To znači da je dužina željenog kraka jednaka proizvodu dužine hipotenuze i sinusa poznati ugao: A=C∗sin(α). Za iste poznate veličine možete koristiti i kosekans i izračunati potrebnu dužinu tako što ćete podijeliti dužinu hipotenuze sa kosekansom poznatog kuta A=C/cosec(α).

Koristite definiciju direktne trigonometrijske kosinusne funkcije ako je, osim dužine hipotenuze (C), poznata i veličina oštrog ugla (β) pored željenog. Kosinus ovog ugla je omjer dužina željenog kraka i hipotenuze, a iz toga možemo zaključiti da je dužina kraka jednaka umnošku dužine hipotenuze i kosinusa poznatog ugla: A=C∗cos(β). Možete koristiti definiciju funkcije sekansa i izračunati željenu vrijednost, dijeleći dužinu hipotenuze sa sekantom poznatog ugla A=C/sec(β).

Izvedite traženu formulu iz slične definicije za derivaciju tangente trigonometrijske funkcije, ako je osim vrijednosti oštrog ugla (α) koji leži nasuprot željenom kraku (A), poznata i dužina drugog kraka (B) . Tangens ugla suprotnog od željenog kraka je omjer dužine ovog kraka i dužine drugog kraka. To znači da će željena vrijednost biti jednaka proizvodu dužine poznatog kraka i tangenta poznatog ugla: A=B∗tg(α). Iz ovih istih poznatih veličina može se izvesti još jedna formula ako koristimo definiciju kotangensne funkcije. U ovom slučaju, da bi se izračunala dužina kraka, biće potrebno pronaći omjer dužine poznatog kraka i kotangensa poznatog ugla: A=B/ctg(α).

Video na temu

Reč „katet“ došla je na ruski iz grčkog. U tačnom prijevodu, to znači visak, odnosno okomito na površinu zemlje. U matematici, noge su stranice koje čine pravi ugao pravouglog trougla. Strana suprotna ovom uglu naziva se hipotenuza. Izraz "katet" se također koristi u arhitekturi i tehnologiji zavarivanja.

Sekansa ovog ugla se dobija dijeljenjem hipotenuze sa susednim krakom, odnosno secCAB = c/b. Rezultat je recipročna vrijednost kosinusa, odnosno može se izraziti pomoću formule secCAB=1/cosSAB.
Kosekans je jednak količniku hipotenuze podijeljenom suprotnom stranom i recipročan je sinusu. Može se izračunati pomoću formule cosecCAB=1/sinCAB

Oba kraka su međusobno povezana i kotangensom. IN u ovom slučaju tangenta će biti omjer strane a prema strani b, odnosno suprotne strane prema susjednoj strani. Ovaj odnos se može izraziti formulom tgCAB=a/b. Prema tome, inverzni omjer će biti kotangens: ctgCAB=b/a.

Odnos između veličina hipotenuze i oba kraka odredio je starogrčki Pitagora. Ljudi i dalje koriste teoremu i njegovo ime. Kaže da je kvadrat hipotenuze jednak zbiru kvadrata nogu, odnosno c2=a2+b2. Prema tome, svaki katet će biti jednak kvadratnom korijenu razlike između kvadrata hipotenuze i drugog kraka. Ova formula se može napisati kao b=√(c2-a2).

Dužina noge se može izraziti i kroz vama poznate odnose. Prema teoremama sinusa i kosinusa, katet je jednak proizvodu hipotenuze i jedne od ovih funkcija. Može se izraziti kao i ili kotangens. Krak a se može naći, na primjer, koristeći formulu a = b*tan CAB. Na potpuno isti način, ovisno o datoj tangenti ili , određuje se i drugi krak.

Termin "katet" se takođe koristi u arhitekturi. Primjenjuje se na jonski kapitel i probija kroz sredinu leđa. To jest, u ovom slučaju, ovaj pojam je okomit na datu pravu.

U tehnologiji zavarivanja postoji „kraka zavarivanja“. Kao iu drugim slučajevima, ovo je najkraća udaljenost. Evo mi pričamo o tome o razmaku između jednog od dijelova koji se zavaruju do granice šava koji se nalazi na površini drugog dijela.

Video na temu

Izvori:

• šta su krak i hipotenuza u 2019

Prosječan nivo

Pravokutni trokut. Potpuni ilustrovani vodič (2019.)

PRAVI TROUGAO. PRVI NIVO.

U problemima pravi ugao uopće nije potreban - donji lijevi, tako da morate naučiti prepoznati pravokutni trokut u ovom obliku,

iu ovome

iu ovome

Šta je dobro kod pravouglog trougla? Pa..., prvo, postoje posebna lijepa imena za njegove strane.

Pažnja na crtež!

Zapamtite i nemojte brkati: postoje dva kraka, a postoji samo jedna hipotenuza(jedan i jedini, jedinstven i najduži)!

Pa, razgovarali smo o imenima, sada o najvažnijoj stvari: Pitagorinoj teoremi.

Pitagorina teorema.

Ova teorema je ključ za rješavanje mnogih problema koji uključuju pravokutni trokut. Dokazao ju je Pitagora još u davnim vremenima i od tada je doneo mnogo koristi onima koji to poznaju. A najbolja stvar u vezi s tim je to što je jednostavan.

dakle, Pitagorina teorema:

Sjećate li se vica: “Pitagorine pantalone su jednake na sve strane!”?

Nacrtajmo ove iste pitagorejske pantalone i pogledajmo ih.

Zar ne liči na neke kratke hlače? Pa na kojim su stranama i gdje su jednaki? Zašto i odakle je došla šala? A ova šala je povezana upravo sa Pitagorinom teoremom, tačnije sa načinom na koji je sam Pitagora formulisao svoju teoremu. I formulisao je to ovako:

"Suma površine kvadrata, izgrađen na nogama, jednak je kvadratna površina, izgrađen na hipotenuzi."

Da li zaista zvuči malo drugačije? I tako, kada je Pitagora nacrtao izjavu svoje teoreme, to je upravo slika koja je ispala.

Na ovoj slici, zbir površina malih kvadrata jednak je površini velikog kvadrata. A kako bi djeca bolje zapamtila da je zbir kvadrata nogu jednak kvadratu hipotenuze, netko je duhovit smislio ovaj vic o pitagorinim pantalonama.

Zašto sada formulišemo Pitagorinu teoremu?

Da li je Pitagora patio i govorio o kvadratima?

Vidite, u stara vremena nije postojala... algebra! Nije bilo znakova i tako dalje. Nije bilo natpisa. Možete li zamisliti kako je bilo strašno za jadne drevne studente da se svega sjete riječima??! I možemo se radovati što imamo jednostavnu formulaciju Pitagorine teoreme. Ponovimo ponovo da ga bolje zapamtimo:

Sada bi trebalo biti lako:

Kvadrat hipotenuze jednak je zbiru kvadrata kateta.

Pa, o najvažnijoj teoremi o pravokutnim trokutima se raspravljalo. Ako vas zanima kako se to dokazuje, pročitajte sljedeće nivoe teorije, a sada idemo dalje... mračna šuma... trigonometrija! Na strašne riječi sinus, kosinus, tangenta i kotangens.

Sinus, kosinus, tangenta, kotangens u pravokutnom trokutu.

U stvari, sve uopšte nije tako strašno. Naravno, u članku treba pogledati "pravu" definiciju sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. Ali zaista ne želim, zar ne? Možemo se radovati: da biste riješili probleme o pravokutnom trokutu, možete jednostavno ispuniti sljedeće jednostavne stvari:

Zašto je sve samo na uglu? Gdje je ugao? Da biste ovo razumjeli, morate znati kako se izjave 1 - 4 pišu riječima. Pogledajte, shvatite i zapamtite!

1.
Zapravo zvuči ovako:

Šta je sa uglom? Postoji li noga koja je nasuprot uglu, odnosno suprotna (za ugao) noga? Naravno! Ovo je noga!

Šta je sa uglom? Pogledaj pažljivo. Koja noga je uz ugao? Naravno, noga. To znači da je za ugao noga susjedna, i

Sada, obratite pažnju! Pogledajte šta imamo:

Pogledajte kako je super:

Sada pređimo na tangentu i kotangens.

Kako da to sada zapišem riječima? Šta je noga u odnosu na ugao? Nasuprot, naravno - "leži" nasuprot uglu. Šta je sa nogom? U blizini ugla. Pa šta imamo?

Vidite kako su brojilac i imenilac zamijenili mjesta?

A sad opet uglovi i razmjena:

Sažetak

Hajde da ukratko zapišemo sve što smo naučili.

Pitagorina teorema:

Glavna teorema o pravokutnim trokutima je Pitagorina teorema.

Pitagorina teorema

Usput, da li se dobro sjećate šta su noge i hipotenuza? Ako nije baš dobro, onda pogledajte sliku - osvježite svoje znanje

Sasvim je moguće da ste Pitagorinu teoremu već koristili mnogo puta, ali jeste li se ikada zapitali zašto je takva teorema istinita? Kako to mogu dokazati? Postupimo kao stari Grci. Nacrtajmo kvadrat sa stranom.

Pogledajte kako smo pametno podijelili njegove stranice na dužine i!

Sada spojimo označene tačke

Ovdje smo, međutim, primijetili nešto drugo, ali vi sami pogledate crtež i pomislite zašto je to tako.

Kolika je površina većeg kvadrata? U redu, . Šta je sa manjom površinom? Svakako, . Ukupna površina četiri ugla ostaje. Zamislite da smo ih uzeli po dva i prislonili jedno na drugo hipotenuzama. Šta se desilo? Dva pravougaonika. To znači da je površina "rezova" jednaka.

Hajde da sve to spojimo sada.

transformirajmo:

Tako smo posjetili Pitagoru - dokazali smo njegovu teoremu na drevni način.

Pravokutni trokut i trigonometrija

Za pravougli trokut vrijede sljedeće relacije:

Sinus oštrog ugla jednak je omjeru suprotne strane prema hipotenuzi

Kosinus oštrog ugla jednak je omjeru susjednog kraka i hipotenuze.

Tangens oštrog ugla jednak je omjeru suprotne i susjedne strane.

Kotangens oštrog ugla jednak je omjeru susjedne i suprotne strane.

I još jednom sve ovo u obliku tableta:

Veoma je udobno!

Znaci jednakosti pravokutnih trougla

I. Sa dve strane

II. Po kraku i hipotenuzi

III. Hipotenuzom i oštrim uglom

IV. Duž noge i oštrog ugla

a)

b)

Pažnja! Ovdje je veoma važno da noge budu “primjerene”. Na primjer, ako ide ovako:

ONDA TROUGOVI NISU JEDNAKI, uprkos činjenici da imaju jedan identičan oštar ugao.

Treba u oba trougla krak je bio susedan, ili u oba suprotan.

Jeste li primijetili kako se znakovi jednakosti pravokutnih trouglova razlikuju od uobičajenih znakova jednakosti trokuta? Pogledajte temu „i obratite pažnju na to da za jednakost „običnih“ trouglova tri njihova elementa moraju biti jednaka: dvije stranice i ugao između njih, dva ugla i stranica između njih, odnosno tri stranice. Ali za jednakost pravokutnih trougla dovoljna su samo dva odgovarajuća elementa. Odlično, zar ne?

Približno ista situacija je i sa znacima sličnosti pravokutnih trokuta.

Znakovi sličnosti pravokutnih trougla

I. Duž oštrog ugla

II. Na dvije strane

III. Po kraku i hipotenuzi

Medijan u pravokutnom trokutu

Zašto je to tako?

Umjesto pravougaonog trokuta, razmotrite cijeli pravougaonik.

Nacrtajmo dijagonalu i razmotrimo tačku - tačku presjeka dijagonala. Šta znaš o dijagonalama pravougaonika?

I šta iz ovoga slijedi?

Tako se ispostavilo

1. - medijana:

Zapamtite ovu činjenicu! Pomaže puno!

Ono što je još više iznenađujuće je da je i obrnuto.

Kakvo dobro se može dobiti iz činjenice da je medijan povučen hipotenuzi jednak polovini hipotenuze? Pogledajmo sliku

Pogledaj pažljivo. Imamo: , to jest, udaljenosti od tačke do sva tri vrha trougla su se pokazale jednake. Ali u trouglu postoji samo jedna tačka od koje su udaljenosti od sva tri vrha trougla jednake, a to je CENTAR KRUŽNICE. Šta se desilo?

Pa počnimo sa ovim „osim...“.

Pogledajmo i.

Ali sličnih trouglova svi uglovi su jednaki!

Isto se može reći i za i

Sada ga nacrtajmo zajedno:

Koja korist se može izvući iz ove „trostruke“ sličnosti?

Pa, na primjer - dvije formule za visinu pravokutnog trougla.

Zapišimo odnose odgovarajućih strana:

Da bismo pronašli visinu, rješavamo proporciju i dobivamo prva formula "Visina u pravokutnom trokutu":

Dakle, primijenimo sličnost: .

Šta će se sada dogoditi?

Opet rješavamo proporciju i dobivamo drugu formulu:

Morate dobro zapamtiti obje ove formule i koristiti onu koja je prikladnija. Hajde da ih ponovo zapišemo

Pitagorina teorema:

U pravokutnom trokutu kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata kateta: .

Znakovi jednakosti pravokutnih trougla:

• na dvije strane:
• po kraku i hipotenuzi: ili
• duž kraka i susjednog oštrog ugla: ili
• duž kraka i suprotnog oštrog ugla: ili
• hipotenuzom i oštrim uglom: ili.

Znakovi sličnosti pravokutnih trokuta:

• jedan oštri ugao: ili
• iz proporcionalnosti dvije noge:
• iz proporcionalnosti kateta i hipotenuze: ili.

Sinus, kosinus, tangenta, kotangens u pravokutnom trokutu

• Sinus oštrog ugla pravokutnog trokuta je omjer suprotne strane i hipotenuze:
• Kosinus oštrog ugla pravokutnog trokuta je omjer susjednog kraka i hipotenuze:
• Tangens oštrog ugla pravokutnog trokuta je omjer suprotne strane i susjedne stranice:
• Kotangens oštrog ugla pravokutnog trokuta je omjer susjedne i suprotne stranice: .

Visina pravokutnog trougla: ili.

U pravokutnom trokutu medijana povučena iz vrha pravog ugla jednaka je polovini hipotenuze: .

Površina pravouglog trougla:

• preko nogu:

U životu ćemo se često morati suočiti matematički problemi: u školi, na fakultetu, a zatim pomoći svom djetetu da završi zadaća. Ljudi u određenim profesijama svakodnevno će se susresti s matematikom. Stoga je korisno zapamtiti ili prisjetiti matematička pravila. U ovom članku ćemo pogledati jedan od njih: pronalaženje stranice pravokutnog trokuta.

Šta je pravougli trougao

Prvo, prisjetimo se šta je pravougli trougao. Pravougli trougao je geometrijska figura od tri segmenta koji spajaju tačke koje ne leže na istoj pravoj liniji, a jedan od uglova ove figure je 90 stepeni. Stranice koje tvore pravi ugao nazivaju se kracima, a strana koja leži nasuprot pravog ugla naziva se hipotenuza.

Pronalaženje kraka pravouglog trougla

Postoji nekoliko načina da saznate dužinu noge. Želio bih ih detaljnije razmotriti.

Pitagorina teorema za pronalaženje stranice pravouglog trougla

Ako znamo hipotenuzu i katet, onda možemo pronaći dužinu nepoznatog kraka pomoću Pitagorine teoreme. Zvuči ovako: "Kvadrat hipotenuze jednak je zbiru kvadrata kateta." Formula: c²=a²+b², gdje je c hipotenuza, a i b su katete. Transformišemo formulu i dobijamo: a²=c²-b².

Primjer. Hipotenuza je 5 cm, a katet 3 cm Transformišemo formulu: c²=a²+b² → a²=c²-b². Zatim rješavamo: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).

Trigonometrijski omjeri za pronalaženje kraka pravokutnog trokuta

Također možete pronaći nepoznatu nogu ako su poznate bilo koja druga strana i bilo koji oštar ugao pravokutnog trokuta. Postoje četiri opcije za pronalaženje noge pomoću trigonometrijskih funkcija: sinus, kosinus, tangent, kotangens. Tabela u nastavku će nam pomoći da riješimo probleme. Hajde da razmotrimo ove opcije.

Nađite katet pravokutnog trokuta koristeći sinus

Sinus ugla (sin) je omjer suprotne strane i hipotenuze. Formula: sin=a/c, gdje je a krak nasuprot datom kutu, a c hipotenuza. Zatim transformiramo formulu i dobijemo: a=sin*c.

Primjer. Hipotenuza je 10 cm, ugao A je 30 stepeni. Pomoću tabele izračunavamo sinus ugla A, on je jednak 1/2. Zatim, koristeći transformiranu formulu, rješavamo: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).

Nađite katet pravokutnog trokuta koristeći kosinus

Kosinus ugla (cos) je omjer susjednog kraka i hipotenuze. Formula: cos=b/c, gdje je b krak koji je susjedan ovaj ugao, a c je hipotenuza. Hajde da transformišemo formulu i dobijemo: b=cos*c.

Primjer. Ugao A je jednak 60 stepeni, hipotenuza je jednaka 10 cm.Upotrebom tabele izračunavamo kosinus ugla A, jednak je 1/2. Zatim rješavamo: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).

Nađite krak pravokutnog trokuta koristeći tangentu

Tangent ugla (tg) je omjer suprotne i susjedne strane. Formula: tg=a/b, gdje je a strana suprotna kutu, a b susjedna strana. Hajde da transformišemo formulu i dobijemo: a=tg*b.

Primjer. Ugao A je jednak 45 stepeni, hipotenuza je jednaka 10 cm Koristeći tabelu izračunavamo tangentu ugla A, ona je jednaka Reši: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (cm).

Nađite katet pravokutnog trokuta koristeći kotangens

Kotangens ugla (ctg) je omjer susjedne i suprotne strane. Formula: ctg=b/a, gdje je b krak uz ugao, a suprotan krak. Drugim riječima, kotangens je “obrnuta tangenta”. Dobijamo: b=ctg*a.

Primjer. Ugao A je 30 stepeni, suprotni krak 5 cm Prema tabeli tangenta ugla A je √3. Računamo: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).

Dakle, sada znate kako pronaći nogu u pravokutnom trouglu. Kao što vidite, nije tako teško, glavna stvar je zapamtiti formule.