Poligon- geometrijski lik na ravni, omeđen zatvorenom izlomljenom linijom; prava koja se dobija ako uzmemo n bilo kojih tačaka A 1, A 2, ..., A n i svaku od njih povežemo sa sledećom, a poslednju sa prvom, pravim segmentima.
Postoje dvije vrste poligona: konveksna i nekonveksna. Pobliže ćemo pogledati konveksne poligone. Poligon se zove konveksan, ako nijedna strana poligona, budući da je neograničeno produžena, siječe poligon na dva dijela. Konveksni poligoni su pravilni i nepravilni, ali ćemo razmotriti pravilne. Konveksni poligon pozvao ispravan, ako su sve strane jednake i svi uglovi jednaki. Središte pravilnog mnogougla je tačka jednako udaljena od svih njegovih vrhova i svih njegovih stranica.
Centralni ugao pravilnog poligona je ugao pod kojim je strana vidljiva iz njegovog centra. Svojstva pravilnog poligona:
1) Pravilan mnogougao je upisan u krug i opisan oko njega, pri čemu se centri ovih krugova poklapaju;
2) Centar pravilnog mnogougla poklapa se sa centrima upisanog i opisanog kruga;
3) Desna strana n-gon je povezan sa radijusom R formula opisanog kruga;
4) Perimetri su ispravni n-uglovi su povezani kao poluprečnici opisanih kružnica.
5) Dijagonale pravilnog n-ugla dijele njegove uglove na jednake dijelove.
Regularni pentagon
Pogledajmo pobliže pravilan pentagon - pentagon.
Osnovni odnosi: ugao vrha petougla je 108°, spoljni ugao je 72°. Strana petougla izražava se u terminima poluprečnika upisane i opisane kružnice:
Konstruirajmo pravilan pentagon. Ovo je lako učiniti koristeći opisani krug. Iz njegovog centra je potrebno uzastopno iscrtati uglove sa vrhom u centru kruga, jednake 72°. Strane uglova će presijecati krug u pet tačaka, povezujući ih u seriju, dobivamo pravilan pentagon. Sada nacrtajmo sve dijagonale ovog pentagona. Oni formiraju pravilan petougao u obliku zvijezde, tj. čuveni pentagram. Zanimljivo je da stranice pentagrama, ukrštajući se, opet formiraju pravilan petougao, u kojem presjek dijagonala daje novi pentagram i tako redom ad beskonačno (vidi sliku 6).
Pentagram je pravilan nekonveksni petougao, takođe je pravilan zvjezdani petougao, ili pravilna petougaona zvijezda. Mnogi cvjetovi, morske zvijezde i ježevi, virusi itd. imaju oblik zvijezde petokrake. Prvo pominjanje pentagrama datira iz godine Ancient Greece. U prijevodu s grčkog, pentagram doslovno znači pet linija. Pentagram je bio zaštitni znak pitagorejske škole (580-500 pne). Vjerovali su da ovaj prekrasni poligon ima mnoga mistična svojstva. Pobožan stav prema pentagramu bio je karakterističan i za srednjovjekovne mistike, koji su mnogo toga posudili od Pitagorejaca. U srednjem vijeku vjerovalo se da pentagram služi kao znak zaštite od Sotone.
Pentagon predstavlja geometrijska figura sa pet uglova. Štoviše, sa gledišta geometrije, kategorija peterokuta uključuje sve poligone koji imaju ovu karakteristiku, bez obzira na lokaciju njegovih stranica.
Zbir uglova petougla
Pentagon je zapravo poligon, tako da za izračunavanje zbira njegovih uglova možete koristiti formulu usvojenu za izračunavanje navedene sume u odnosu na poligon sa bilo kojim brojem uglova. Gore navedeni zbir uglova poligona smatra sljedećom jednakošću: zbir uglova = (n - 2) * 180°, gdje je n broj uglova u željenom poligonu.Dakle, u slučaju kada mi pričamo o tome tačno o, vrijednost n u ovoj formuli bit će jednaka 5. Dakle, zamjenom date vrijednosti n u formulu, ispada da će zbir uglova petougla biti 540°. Međutim, treba imati na umu da je primjena ove formule u odnosu na određeni pentagon povezana s nizom ograničenja.
Vrste pentagona
Činjenica je da se navedena formula, koja ima, kao i za ostale vrste ovih geometrijskih figura, može primijeniti samo ako je riječ o takozvanom konveksnom poligonu. To je, pak, geometrijska figura koja zadovoljava sljedeći uvjet: sve njegove točke su na jednoj strani prave linije koja prolazi između dva susjedna vrha.Dakle, postoji cijela kategorija pentagona, zbir uglova u kojima će se razlikovati od naznačene vrijednosti. Tako je, na primjer, jedna od varijanti nekonveksnog pentagona geometrijska figura u obliku zvijezde. Zvjezdasti pentagon se također može dobiti korištenjem cijelog skupa dijagonala pravilnog petougla, odnosno petougla: u ovom slučaju će se rezultirajuća geometrijska figura zvati pentagram, koji ima jednakih uglova. U ovom slučaju, zbir naznačenih uglova će biti 180°.
Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.
Prikupljanje i korištenje ličnih podataka
Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.
Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.
U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.
Koje lične podatke prikupljamo:
- Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu Email itd.
Kako koristimo vaše lične podatke:
- Prikupljeno od nas lična informacija nam omogućava da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
- S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
- Također možemo koristiti lične podatke za interne svrhe kao što su revizija, analiza podataka i razne studije u cilju poboljšanja usluga koje pružamo i pružanja preporuka u vezi sa našim uslugama.
- Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.
Otkrivanje informacija trećim licima
Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.
Izuzeci:
- Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, pravnim postupkom, odnosno na osnovu javnog zahtjeva ili zahtjeva vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
- U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu nasljednika.
Zaštita ličnih podataka
Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.
Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije
Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.
Već smo pisali da su pitagorejci na svijet gledali kao na organiziran prema zakonima numeričke harmonije. Otkrili su da je percepcija harmonije u muzici povezana sa određenim odnosima između brojeva (vidi Pitagorina harmonija); ali vizuelna harmonija je, ispostavilo se, povezana i sa određenim odnosima između različitih segmenata. U tom smislu, najpoznatiji zlatni omjer- metoda dijeljenja segmenta na dva nejednaka dijela, u kojoj je cijeli segment povezan s većim dijelom kao što je veći s manjim:
Kipar Poliklejt razvio je ideju kanona (pravila) za prikazivanje proporcionalnih ljudsko tijelo i jasno utjelovio svoj kanon u statui "Doriphoros" ("Spearman"), inače nazvanoj jednostavno "Kanon". Zlatni rez je u izobilju prisutan u proporcijama statue. Na primjer, omjer visina donjeg i gornjeg dijela na koje pupak dijeli statuu jednak je zlatnom omjeru; zauzvrat, baza vrata se dijeli gornji dio također u zlatnom omjeru; koljena dijele donji dio u zlatnom omjeru itd.
Tokom renesanse, naučnici i umjetnici razvili su novo interesovanje za zlatni rez. Italijanski matematičar Luca Pacioli posvetio mu je svoju knjigu “Božanska proporcija”. A njegov prijatelj, veliki Leonardo da Vinči, posjeduje izraz „zlatni omjer“ (stari su ga obično nazivali „podjela segmenta u ekstremnom i srednjem omjeru“). „Zlatni omjer” se često nalazi u djelima Raphaela, Michelangela i Durera.
Johannes Kepler, kome nisu nepoznate pitagorejske ideje o osnovnoj numeričkoj harmoniji Univerzuma, rekao je da geometrija ima dva blaga – Pitagorinu teoremu i zlatni rez; prvi se može uporediti sa merom zlata, drugi sa dragim kamenom.
Eksperimentalno je dokazano da, na primjer, iz pravokutnika s različitim omjerima stranica ljudsko oko preferira one u kojima je ovaj omjer jednak zlatnom omjeru. Listovi papira, čokoladice, kreditne kartice itd. vrlo često se prave u obliku upravo takvih pravokutnika.
Da biste podijelili dati segment AB u proporciji zlatnog preseka, trebate vratiti okomicu kroz jedan od njegovih krajeva, recimo, kroz tačku B, položiti na njega segment BD = AB /2, nacrtati segment AD, staviti na njemu odsječak DE = AB /2 i na kraju označimo tačku C na segmentu AB tako da je AC = AE. Tačka C će podijeliti segment AB u zlatnom omjeru.
Dokažimo to. Po Pitagorinoj teoremi (AE + ED) 2 = AB 2 + BD 2, ili
AE 2 + 2AE ∙ ED + ED 2 = AB 2 + BD 2, a pošto je BD = DE = AB /2 i AE = AC, onda
AC 2 + AC ∙ AB = AB 2,
odakle je AC 2 = AB (AB – AC).
Pošto je AB – AC = BC, imamo
AC 2 = AB ∙ BC, odakle
Gornja konstrukcija nam omogućava da pronađemo numeričku vrijednost zlatnog preseka. Ona je jednaka omjeru cijelog segmenta AB prema segmentu
Dakle, zlatni rez se izražava brojem 
Ovaj broj je otprilike 1.618. Često se naziva Fidijev broj i označava se grčkim slovom Φ:
| Φ = |
Taj se broj ponekad naziva i mali broj Fidije (i Φ je tada veliki broj Phidias) i označeno sa φ. To je približno jednako 0,618. Zlatni rez se izražava kao iracionalan broj. Ovo proizilazi iz iracionalnosti (ako bi zlatni rez bio racionalan, onda bi i broj = 2Φ – 1 bio racionalan), a iracionalnost se može dokazati na sličan način kao i iracionalnost. Osim toga, iracionalnost Φ prilično je jednostavno pokazati korištenjem geometrijska ilustracija Euklidovog algoritma. Neka imamo pravougaonik a 1 × a 2, čije su stranice povezane u zlatnom rezu. Odlaganje za veća strana manji, dobićemo kvadrat, a preostali pravougaonik će biti sličan originalnom pravougaoniku: Primjenjujući istu operaciju na njega, opet ćemo dobiti kvadrat i pravougaonik sličan originalu, itd. (Zanimljivo, prvi, treći , peti itd. pravougaonici imaju zajedničku dijagonalu, kao i druga, četvrta, šesta itd.; ove dvije dijagonale se sijeku pod pravim uglom u tački koja pripada svim pravokutnicima).
Pošto se ovaj algoritam nikada ne završava, segmenti a 1 i a 2 nemaju opšta mera. Kepler je rekao da se zlatni rez stalno reproducira. Često se nalazi u živoj prirodi u strukturi takvih organizama, čiji su dijelovi približno slični cjelini - na primjer, u školjkama, u rasporedu listova na izbojcima itd.
 |
|
Rice. 5. Sudoper |
Konačno, zlatni rez nam omogućava da konstruišemo pravilan pentagon. (Znate da gradite pravilne trigone i četvorouglove bez ikakve pomoći, zar ne? Crtanjem krugova oko njih i dijeljenjem stranica na pola, nije teško konstruisati pravilne mnogouglove sa 2 n i 3 ∙ 2 n vrhovima). Ako produžite stranice pravilnog petougla do tačaka sjecišta sa produžecima susjednih stranica, dobit ćete prekrasnu petokraku zvijezdu. Ovo je drevni mistični simbol, posebno popularan među pitagorejcima: naziva se "pentagram" ili "pentalpha", to jest, doslovno, "pet slova" ili "pet alfa" - smatralo se kao kombinacija pet slova “alfa” (A) . Pentagram se smatrao simbolom zdravlja - harmonije u osobi - i služio je među Pitagorejcima identifikaciona oznaka. (Na primjer, kada je jedan od Pitagorejaca bio na samrti u stranoj zemlji i nije imao novca da plati osobi koja se brinula o njemu do njegove smrti, naredio je da se nacrta pentagram na vratima njegovog doma. Nekoliko godine kasnije, drugi pitagorejac je ugledao ovaj znak i vlasnik je dobio velikodušnu nagradu). Ispostavilo se da se u pentagramu različite linije međusobno dijele u odnosu na zlatni rez. U stvari, trouglovi ACD i ABE su slični, AB : AC = AE : AD. Ali AD = BC i AE = AC, i prema tome AB: AC = AC: BC. Ispostavilo se da se bilo koji od 10 segmenata vanjske konture zvijezde odnosi u zlatnom omjeru na bilo koji od 5 segmenata koji tvore mali unutrašnji pentagon.
Inače, iz sličnosti istih trouglova ACD i ABE proizlazi da je trougao ACD jednakokračan i CD = AD. To znači da se dijagonala pravilnog pentagona odnosi na njegovu stranu, također u zlatnom omjeru. Svih pet dijagonala pravilnog pentagona formiraju još jedan pentagram, u kojem se svi odnosi ponovo ponavljaju.
Ako trebate izgraditi pravilan petougao sa stranom a 1, tada trebate podijeliti segment a 1 u zlatnom omjeru na segmente a 2 i a 3, a zatim konstruirati jednakokraki trougao sa stranicama a 1, a 1 i (a 1 + a 2). Dva segmenta dužine a 1 će činiti dvije stranice željenog petougla, a segment dužine a 1 + a 2 = a 1 /Φ je njegova dijagonala. Konstruisanjem drugih trouglova nije teško pronaći preostale vrhove petougla.
U srednjem vijeku pentagram je služio kao simbol Venere: ova planeta se približava Zemlji u pet tačaka formirajući pentagon.
Jednakokraki trokut čije su stranice povezane s osnovom u zlatnom omjeru - na primjer, trokut formiran od dvije dijagonale i stranice pravilnog petougla - ima drugu zanimljiva nekretnina: simetrale njegovih uglova u osnovi su jednake samoj osnovici.
Takav trokut se često nalazi u sastavu raznih Umjetnička djela– na primjer, u čuvenoj “La Gioconda” Leonarda da Vinčija.
Ozhegov objašnjavajući rječnik kaže da je petougao ograničen sa pet linija koje se sekuju koje formiraju pet unutrašnjih uglova, kao i bilo koji predmet sličnog oblika. Ako dati poligon ima sve iste stranice i uglove, onda se naziva pravilan (pentagon).
Šta je zanimljivo kod pravilnog pentagona?
U tom obliku je izgrađena poznata zgrada Ministarstva obrane Sjedinjenih Država. Od trodimenzionalnih pravilnih poliedara, samo dodekaedar ima lica u obliku petougla. A u prirodi apsolutno nema kristala čija bi lica ličila na pravilan pentagon. Štaviše, ova figura je poligon sa minimalna količina uglovima koji se ne mogu koristiti za popločavanje površine. Samo petougao ima isti broj dijagonala kao i broj stranica. Slažem se, ovo je zanimljivo!
Osnovna svojstva i formule
Koristeći formule za proizvoljan pravilan poligon, možete odrediti sve potrebne parametre koje ima pentagon.
- Centralni ugao α = 360 / n = 360/5 =72°.
- Unutrašnji ugao β = 180° * (n-2)/n = 180° * 3/5 = 108°. Prema tome, zbir unutrašnjih uglova je 540°.
- Odnos dijagonale prema strani je (1+√5)/2, odnosno (približno 1,618).
- Dužina stranice pravilnog pentagona može se izračunati pomoću jedne od tri formule, ovisno o tome koji je parametar već poznat:
- ako je krug opisan oko njega i njegov poluprečnik R je poznat, tada je a = 2*R*sin (α/2) = 2*R*sin(72°/2) ≈1,1756*R;
- u slučaju kada je kružnica poluprečnika r upisana u pravilan pentagon, a = 2*r*tg(α/2) = 2*r*tg(α/2) ≈ 1,453*r;
- dešava se da je umjesto radijusa poznata vrijednost dijagonale D, tada se stranica određuje na sljedeći način: a ≈ D/1,618.
- Površina pravilnog petougla određuje se, opet, ovisno o tome koji parametar znamo:
- ako postoji upisan ili opisan krug, tada se koristi jedna od dvije formule:
S = (n*a*r)/2 = 2,5*a*r ili S = (n*R 2 *sin α)/2 ≈ 2,3776*R 2 ;
- Površina se također može odrediti znajući samo dužinu bočne strane a:
S = (5*a 2 *tg54°)/4 ≈ 1,7205* a 2 .
Regularni pentagon: gradnja
Ova geometrijska figura može se konstruirati na različite načine. Na primjer, uklopiti ga u krug sa datim radijusom ili ga izgraditi na osnovu date stranice. Redoslijed radnji opisan je u Euklidovim elementima otprilike 300. godine prije Krista. U svakom slučaju, trebat će nam kompas i ravnalo. Razmotrimo metodu konstrukcije koristeći dati krug.
1. Odaberite proizvoljan polumjer i nacrtajte krug, označavajući njegovo središte točkom O.
2. Na liniji kružnice odaberite tačku koja će služiti kao jedan od vrhova našeg petougla. Neka je ovo tačka A. Povežite tačke O i A pravom linijom.
3. Nacrtajte pravu kroz tačku O okomito na pravu OA. Presek ove prave linije sa linijom kružnice označite kao tačku B.
4. Na pola puta između tačaka O i B konstruisati tačku C.
5. Sada nacrtajte kružnicu čiji će centar biti u tački C i koja će prolaziti kroz tačku A. Mjesto njenog sjecišta sa pravom OB (ona će biti unutar prve kružnice) bit će tačka D.
6. Konstruišite kružnicu koja prolazi kroz D, čiji će centar biti u tački A. Mesta njegovog preseka sa originalnom kružnicom treba označiti tačkama E i F.
7. Sada konstruirajte kružnicu čiji će centar biti u E. To se mora učiniti tako da prolazi kroz A. Njegov drugi presjek originalne kružnice mora biti označen
8. Konačno, konstruirajte kružnicu kroz A sa središtem u tački F. Označite drugi presjek originalne kružnice točkom H.
9. Sada ostaje samo da povežemo vrhove A, E, G, H, F. Naš pravilni pentagon će biti spreman!