Video lekcija “Teorema o odnosima između stranica i uglova trougla” predstavlja ovu teoremu, kao i njene posljedice. Poznavanje teoreme i njenih posljedica je neophodno za rješavanje praktičnih problema iz geometrije, u kojima se različiti omjeri njegovih stranica i uglova koriste za pronalaženje parametara trougla. Svrha video lekcije je olakšati razumijevanje materijala i promovirati pamćenje teoreme i njenih posljedica.
Video tutorijal koristi efekte animacije koji pomažu da se istakne važne detalje geometrijski oblici prilikom savladavanja gradiva. Isticanje bojom se također koristi za isticanje izjave teoreme i njenih posljedica. Glasovno objašnjenje u potpunosti zamjenjuje nastavnika pri standardnom prezentovanju novog materijala učenicima.
Na početku video lekcije, nakon izlaganja teme, na ekranu se prikazuje tekst teoreme u kojoj se navodi da se veći ugao nalazi nasuprot veće stranice u proizvoljnom trokutu, ali nasuprot većeg ugla uvek postoji veća strana. Ova izjava je prikazana na trouglu ΔABC, koji je prikazan na slici ispod teksta teoreme. Dokaz teoreme usmeno objašnjava govornik.
Da bismo dokazali tvrdnju, trebalo bi razmotriti stranice AB, AC i uglove koji se nalaze nasuprot njima - ∠C i ∠B. Pretpostavlja se da će za stranice AB>AC suprotni uglovi biti ∠C>∠B. Na strani AB položen je segment AD koji je po veličini jednak segmentu AC. Kako je stranica AC manja od stranice AB, kraj tačke segmenta D leži između vrhova trougla A i B. Iz toga slijedi da je ugao ∠1 koji nastaje tokom konstrukcije manji od ugla ∠C, a ugao ∠2 kao spoljašnji ugao ∠BDC jednak je zbiru uglova ∠DBC i ∠DCB. To znači da je ∠2 veći od ugla ∠DBC=∠B. Prema tome, ugao ∠C je veći od ugla ∠B.
Dokaz obrnutog iskaza svodi se na razmatranje omjera AB, AC ako je ugao ∠C veći od ugla ∠B. Provodi se dokaz kontradikcijom. Da bismo to učinili, pretpostavlja se da je za ∠C>∠B strana AB jednaka ili manja od stranice AC. Međutim, uzimajući u obzir jednakost stranica AB=AC, znajući svojstva jednakokračnog trougla, može se tvrditi da će u ovom slučaju i uglovi ∠C=∠B biti jednaki. Ako je AB
Sljedeći video tutorijal govori o posljedicama ove teoreme. Navodi se da je, na osnovu ove teoreme, hipotenuza pravouglog trougla uvijek veća od kraka. Zaista, budući da hipotenuza leži nasuprot pravog ugla, krakovi se nalaze nasuprot oštrih uglova. Pošto su oštri uglovi uvek manji od pravih uglova, suprotne strane su uvek manje od hipotenuze.
Drugi zaključak teoreme je znak jednakokračnog trougla. Ovaj zaključak kaže da jednakost dva ugla trokuta znači da je jednakokračan. Na primjeru trougla ΔABC, razmatramo dva ugla ∠C i ∠B, te suprotne stranice AB i AC. Pretpostavlja se da jednakosti uglova ∠C=∠B odgovara jednakost stranica AB=AC. Zaista, da stranice nisu jednake, tada bi, prema teoremi, veći ugao ležao nasuprot većoj strani, a manji ugao bi ležao nasuprot manjoj strani. Dakle, pretpostavka o nejednakosti strana nije tačna. Ovaj trougao je jednakokraki. Istraga je dokazana.
TROUGLI.
§ 30. ODNOSI IZMEĐU STRANA I UGLOVA TROUGLA.
Teorema 1. Veći ugao u trokutu je nasuprot veće stranice .
Pusti unutra /\ ABC stranica AB je veća od stranice BC. Dokažimo da je ugao C koji leži naspram veće stranice AB veći od ugla A koji leži nasuprot manje stranice BC (slika 164).
Odložimo na strani AB od tačke B odsječak BD jednak strani BC i spojimo tačke D i C segmentom.
Trougao DBC je jednakokračan. Ugao BDC jednak je kutu BCD, jer leže nasuprot jednakih strana u trouglu.
Ugao BDC je vanjski ugao trougla ADC, pa je veći od ugla A.
Jer / VSD = / BDC, tada je ugao BCD veći od ugla A: / VSD > / A. Ali ugao BCD je samo deo celog ugla C, tako da će ugao C biti još značajniji od ugla A.
Dokažite sami isti teorem koristeći crtež 165, kada je BD = AB.
U § 18 smo dokazali da su u jednakokrakom trouglu uglovi pri osnovici jednaki, odnosno da u trouglu postoje jednaki uglovi naspram jednakih stranica. Dokažimo sada obrnute teoreme.
Teorema 2. Jednake stranice u trouglu su naspram jednakih uglova.
Pusti unutra /\ ABC / A= / C (crtež 166). Dokažimo da je AB = BC, tj. trougao ABC jednakokrak.
Između strana AB i BC može postojati samo jedan od sljedeća tri odnosa:
1) AB > BC;
2) AB< ВС;
3) AB = BC.
Ako je stranica AB veća od BC, onda bi ugao C bio veći od ugla A, ali to je u suprotnosti sa uslovom teoreme, stoga AB ne može biti veći od BC.
Na isti način, AB ne može biti manji od BC, jer bi u ovom slučaju ugao C bio manji od ugla A.
Shodno tome, moguć je samo treći slučaj, tj.
Dakle, dokazali smo: naspram jednakih uglova u trouglu postoje jednake stranice.
Teorema 3. Veća stranica trokuta je nasuprot većeg ugla.
Neka u trouglu ABC (sl. 167) / C> / B
Dokažimo da je AB > AC.
Takođe može postojati jedan od sljedeća tri odnosa:
1) AB = AC;
2) AB< АС;
3) AB > AC.
Ako je stranica AB jednaka strani AC, onda / C bi bio jednak / B. Ali ovo je u suprotnosti sa uslovima teoreme. To znači da AB ne može biti jednako AC
Na isti način, AB ne može biti manji od AC, jer bi u ovom slučaju ugao C bio manji od ugla B, što je takođe u suprotnosti sa ovim uslovom.
Stoga je moguć samo jedan slučaj, i to:
Dokazali smo da je veća stranica trougla nasuprot većeg ugla.
Posljedica. U pravouglu. hipotenuza je veća od bilo kojeg njenog kraka.
Ciljevi lekcije:
edukativni:
- Unaprijediti vještine rješavanja problema na temu “Teorema o odnosima između stranica i uglova trougla.”
- Sažeti i sistematizovati teorijski materijal:
– vrste trouglova;
– zbir uglova trougla;
– odnosi između stranica i uglova trougla;
– znak jednakokračnog trougla.
edukativni:
- Razvijte mentalne vještine brojanja.
- Razvijati logičko mišljenje učenika.
- Razvijte sposobnost da jasno i jasno izražavate svoje misli.
- Razvijati matematički govor učenika u procesu izvođenja usmenog rada za reprodukciju teorijskog gradiva.
edukativni:
- Razviti sposobnost rada sa dostupnim informacijama.
- Negovati poštovanje prema predmetu, sposobnost sagledavanja matematičkih problema u svetu oko nas.
- Razvijte sposobnost slušanja prijatelja, osjećaj za uzajamnu pomoć i međusobnu podršku.
Tip časa: čas uopštavanja i sistematizacije znanja korišćenjem računarske tehnologije.
Oprema i vizuelna pomagala: kompjuter, projektor, prezentacija časa, bojice .
Dizajn ploče: na zatvorenom dijelu ploče urađen je crtež za br. 246.
Struktura lekcije.
| Vrsta aktivnosti. | Slajd br. | min. |
| 1. Organizacioni momenat. | 1 | |
| 2. Prenesite temu i ciljeve lekcije. | 2 | |
| 3. Ažuriranje osnovnih znanja. | 6 | |
| 4. Praktični rad. | 2–4 | 8 |
| 5. Fizički minut. | 2 | |
| 6. Objedinjavanje proučenog gradiva: br. 241, 239, 246 - u svesci. U pisanoj formi. | 23 | |
| 7. Sumiranje lekcije. Ocjenjivanje. | 2 | |
| 8. Domaći zadatak: ponoviti stav 30 - stav 32 udžbenika, br. 337, 338. | 1 |
Tokom nastave
I. Organizacioni momenat.
II. Prenesite temu i ciljeve lekcije.
Provjera spremnosti učenika za čas. Prenošenje ciljeva i plana časa učenicima.
Svrha današnje lekcije je generalizacija i sistematizacija teorijskog materijala, unapređenje vještina rješavanja problema na temu “Teorema o odnosima stranica i uglova trougla”.
Danas će glavna figura u našoj lekciji biti trokut.
III. Ažuriranje osnovnih znanja.
Frontalni rad.
- Šta je trougao?
- Koje vrste trouglova postoje?
- Koji se trougao naziva oštar?
- Koji trougao se naziva pravougli trougao? Kako se zovu njegove strane?
- Koji se trougao naziva tupougao?
- Navedite teoremu o zbiru uglova trougla.
- Koji ugao se naziva vanjski ugao trougla? Koliki je vanjski ugao trougla?
- Koji se trougao naziva jednakokraki? Navedite njegova svojstva.
- Formulirajte znak jednakokračnog trougla.
- Formulirajte teoremu o odnosima između stranica i uglova trokuta.
- Koje posljedice slijede iz teoreme o odnosima između stranica i uglova trougla?
IV. Praktičan rad. Usmeni rad na gotovim crtežima . <Презентация>.
U trouglu ABC nalazimo manji ugao.
Manja stranica AC znači manji ugao B.
U trouglu NRQ nalazimo najkraću stranicu.
1) Manji ugao Q, jer 180 0 – (74 0 + 64 0) = 42 0
2) Manja strana NR.
V. Fizički minut.
VI. Jačanje edukativnog materijala
Rješenje problema br. 241.
Učenici zapisuju datum i temu časa u svoje sveske. Nastavnik poziva učenika na ploču da riješi zadatak br. 241.
Rješenje: ∆ABC je jednakokračan, što znači<В = <С. MN||BC, откуда Shvatio sam Nastavnik poziva učenika na ploču da riješi zadatak br. 239. Rješenje: 1. Razmislite o ∆BMH – pravokutnom, jer BH – visina. Posljedica 1 BM>BH. 2. BM=BH ako je ∆ABC jednakokračan (AB = BC) ili jednakostraničan. Nastavnik poziva učenika na ploču da riješi zadatak br. 246 (crtež je nacrtan na tabli). Rješenje: Pošto je VO simetrala, onda OE||AB, dakle, OD||AC, dakle, P∆EDO = OE + ED + DO, ali OE = BE, OD = DC, zatim P∆EDO = BE + ED + DC = BC. VII. Sumiranje lekcije. Ocjenjivanje. VIII. Domaći zadatak: ponoviti 30. stav - 32. stav udžbenika, br. 337, 338. Književnost.
