U građevinskim zadacima razmotrit ćemo konstrukciju geometrijske figure, koja se može izvesti pomoću ravnala i šestara.
Koristeći ravnalo možete:
proizvoljna prava linija;
proizvoljna prava linija koja prolazi kroz datu tačku;
prava linija koja prolazi kroz dvije date tačke.
Koristeći kompas, možete opisati krug određenog polumjera iz datog centra.
Koristeći kompas možete iscrtati segment na datoj liniji od date tačke.
Razmotrimo glavne građevinske zadatke.
Zadatak 1. Konstruisati trougao sa datim stranicama a, b, c (slika 1).
Rješenje. Koristeći lenjir, nacrtajte proizvoljnu pravu liniju i na njoj uzmite proizvoljnu tačku B. Koristeći otvor šestara koji je jednak a, opišemo kružnicu sa centrom B i poluprečnikom a. Neka je C tačka njenog preseka sa pravom. Sa otvorom kompasa jednakim c, opisujemo kružnicu iz centra B, a sa otvorom kompasa jednakim b, opisujemo kružnicu iz centra C. Neka je A tačka preseka ovih kružnica. Trougao ABC ima stranice jednake a, b, c.
Komentar. Da bi tri ravna segmenta služila kao stranice trokuta, potrebno je da najveći od njih bude manji od zbira druga dva (i< b + с).
Zadatak 2.
Rješenje. Ovaj ugao sa vrhom A i zrakom OM prikazani su na slici 2.
Nacrtajmo proizvoljan krug sa središtem u vrhu A dati ugao. Neka su B i C tačke preseka kružnice sa stranicama ugla (slika 3, a). Radijusom AB nacrtamo kružnicu sa centrom u tački O - početnoj tački ovog zraka (slika 3, b). Označimo tačku preseka ove kružnice sa ovom zrakom kao C 1 . Opišimo kružnicu sa centrom C 1 i poluprečnikom BC. Tačka B 1 presjeka dvije kružnice leži na strani željenog ugla. To proizilazi iz jednakosti Δ ABC = Δ OB 1 C 1 (treći znak jednakosti trouglova).
Zadatak 3. Konstruirajte simetralu ovog ugla (slika 4).
Rješenje. Iz vrha A datog ugla, kao iz centra, povlačimo kružnicu proizvoljnog poluprečnika. Neka su B i C tačke njegovog preseka sa stranama ugla. Iz tačaka B i C opisujemo kružnice istog polumjera. Neka je D njihova presječna tačka, različita od A. Zrak AD prepolovi ugao A. To proizilazi iz jednakosti Δ ABD = Δ ACD (treći kriterij za jednakost trouglova).
Zadatak 4. Na ovaj segment nacrtajte okomitu simetralu (slika 5).
Rješenje. Koristeći proizvoljan, ali identičan otvor kompasa (veći od 1/2 AB), opisujemo dva luka sa centrima u tačkama A i B, koji će se sijeći u nekim tačkama C i D. Prava linija CD će biti željena okomica. Zaista, kao što se može vidjeti iz konstrukcije, svaka od tačaka C i D je podjednako udaljena od A i B; prema tome, ove tačke moraju ležati na okomita simetrala na segment AB.
Zadatak 5. Podijelite ovaj segment na pola. Rešava se na isti način kao i problem 4 (vidi sliku 5).
Zadatak 6. Kroz datu tačku povucite pravu okomitu na datu pravu.
Rješenje. Postoje dva moguća slučaja:
1) data tačka O leži na datoj pravoj a (slika 6).
Iz tačke O povlačimo kružnicu proizvoljnog poluprečnika koja seče pravu a u tačkama A i B. Iz tačaka A i B crtamo kružnice istog poluprečnika. Neka je O 1 tačka njihovog preseka, različita od O. Dobijamo OO 1 ⊥ AB. U stvari, tačke O i O 1 jednako su udaljene od krajeva segmenta AB i, prema tome, leže na simetrali okomite na ovaj segment.
Često je potrebno nacrtati (“konstruirati”) ugao koji bi bio jednak zadatom kutu, a konstrukcija se mora izvesti bez pomoći kutomjera, već samo pomoću šestara i ravnala. Znajući kako konstruirati trokut na tri strane, možemo riješiti ovaj problem. Neka bude na pravoj liniji MN(sl. 60 i 61) potrebno je izgraditi na tački K kutak, jednaka uglu B. To znači da je to neophodno sa tačke gledišta K nacrtati pravu liniju sa komponentom MN ugao jednak B.
Da biste to učinili, označite tačku na svakoj strani datog ugla, na primjer A I WITH, i povežite se A I WITH duž. Dobijamo trougao ABC. Konstruirajmo sada na pravoj liniji MN ovaj trougao tako da je njegov vrh IN bio na mestu TO: tada će se u ovoj tački konstruirati ugao jednak kutu IN. Konstruirajte trokut koristeći tri stranice VS, VA I AC znamo kako: odlažemo (Sl. 62) sa tačke TO linijski segment KL, jednaka Ned; dobili smo poen L; okolo K, kao blizu centra, opisujemo krug sa poluprečnikom VA, i okolo L – radijus SA. Tačka R spajamo sjecišta kružnica sa TO i Z, dobijamo trougao KPL, jednako trouglu ABC; u njemu postoji ugao TO= ug. IN.
Ova konstrukcija se izvodi brže i praktičnije ako je odozgo IN položi jednake segmente (sa jednim rastvaranjem šestara) i, bez pomicanja nogu, opiše krug oko tačke istog polumjera DO, kao blizu centra.
Kako podijeliti ugao na pola
Pretpostavimo da trebamo podijeliti ugao A(Sl. 63) na dva jednaka dijela pomoću šestara i ravnala, bez korištenja kutomjera. Pokazat ćemo vam kako to učiniti.
Sa vrha A stavite jednake segmente na strane ugla AB I AC(Dijagram 64; to se radi jednostavnim otapanjem kompasa). Zatim postavljamo vrh kompasa na tačke IN I WITH i opisuju lukove jednakih radijusa koji se sijeku u tački D. Pravo povezivanje A a D dijeli ugao A na pola.
Hajde da objasnimo zašto je to tako. Ako je poenta D povezati se sa IN i C (sl. 65), onda dobijete dva trougla ADC I ADB, god koje imaju zajedničku stranu AD; strana AB jednaka strani AC, A VD jednak CD. Trokuti su jednaki na tri strane, što znači da su uglovi jednaki. LOŠE I DAC, ležeći na suprotnim jednakim stranama VD I CD. Stoga, pravo AD deli ugao TI na pola.
Prijave
12. Konstruirajte ugao od 45° bez kutomjera. Na 22°30’. Na 67°30'.
Rješenje: Podijelimo pravi ugao na pola, dobijamo ugao od 45°. Podijelimo ugao od 45° na pola, dobijemo ugao od 22°30’. Konstruisanjem zbira uglova 45° + 22°30’, dobijamo ugao od 67°30’.
Kako konstruirati trokut koristeći dvije stranice i ugao između njih
Pretpostavimo da na terenu trebate saznati udaljenost između dvije prekretnice A I IN(Đavo 66), odvojen neprohodnom močvarom.
Kako uraditi?
Možemo to učiniti: odabrati tačku udaljenu od močvare WITH, odakle su obje prekretnice vidljive i udaljenosti se mogu mjeriti AC I Ned. Ugao WITH mjerimo pomoću posebnog goniometrijskog uređaja (koji se zove str o l b i e). Prema ovim podacima, odnosno prema izmjerenim stranama A.C. I Ned i ugao WITH između njih, napravimo trougao ABC negde na pogodnom terenu na sledeći način. Izmjerivši jednu poznatu stranu u pravoj liniji (slika 67), na primjer AC, gradite s njim u tački WITH ugao WITH; s druge strane ovog ugla mjeri se poznata strana Ned. završava poznate stranke, tj. bodova A I IN povezane pravom linijom. Rezultat je trokut u kojem dvije stranice i ugao između njih imaju unaprijed određene dimenzije.
Iz načina konstrukcije jasno je da se samo jedan trokut može konstruirati koristeći dvije stranice i ugao između njih. dakle, ako su dvije strane jednog trougla jednake dvjema stranicama drugog i uglovi između ovih stranica isti, onda se takvi trouglovi mogu preklapati jedan s drugim po svim tačkama, odnosno njihove treće stranice i ostali uglovi također moraju biti jednaki. To znači da jednakost dviju stranica trokuta i ugla između njih može poslužiti kao znak potpune jednakosti ovih trokuta. Ukratko:
Trokuti su jednaki sa obe strane i pod uglom između njih.
Ovo - najstariji geometrijski problem.
Korak po korak instrukcije
1. metoda. - Korištenje "zlatnog" ili "egipatskog" trougla. Stranice ovog trougla imaju omjer širine i visine 3:4:5, a ugao je tačno 90 stepeni. Ovu kvalitetu su naširoko koristili stari Egipćani i druge drevne kulture.
Ill.1. Izgradnja Zlatnog, odn Egipatski trougao
- Mi proizvodimo tri mjerenja (ili šestar za užad - konopac na dva eksera ili klina) dužine 3; 4; 5 metara. Drevni ljudi su često koristili metodu vezivanja čvorova sa jednakim razmacima između njih kao mjerne jedinice. Jedinica dužine - " nodula».
- Zabijemo klin u tački O i na njega pričvrstimo mjeru "R3 - 3 čvora".
- Razvlačimo uže duž poznate granice - prema predloženoj tački A.
- U trenutku napetosti na graničnoj liniji - tačka A, zabijamo klin.
- Zatim - ponovo od tačke O, rastegnite mjeru R4 - duž druge granice. Još ne zabijamo klin.
- Nakon toga rastežemo mjeru R5 - od A do B.
- Zabijamo klin na raskrsnici mjerenja R2 i R3. – Ovo je željena tačka B – treći vrh zlatnog trougla, sa stranicama 3;4;5 i sa pravim uglom u tački O.
2. metoda. Korištenje kompasa.
Kompas može biti uže ili pedometar. Cm:
Naš kompas pedometar ima korak od 1 metar.
Ill.2. Kompas pedometar
Izgradnja - takođe prema Ill. 1.
- Iz referentne tačke - tačke O - susednog ugla, nacrtajte segment proizvoljne dužine - ali veći od poluprečnika šestara = 1m - u svakom smeru od centra (segment AB).
- Nog kompasa postavljamo u tačku O.
- Crtamo krug sa radijusom (korak kompasa) = 1 m. Dovoljno je nacrtati kratke lukove - 10-20 centimetara svaki, na raskrsnici sa označenim segmentom (kroz tačke A i B). Ovom akcijom smo pronašli tačke jednako udaljene od centra- A i B. Udaljenost od centra ovdje nije bitna. Ove tačke možete jednostavno označiti mjernom trakom.
- Zatim morate nacrtati lukove sa centrima u tačkama A i B, ali sa nešto (proizvoljno) većim radijusom od R=1m. Možete rekonfigurirati naš kompas na veći radijus ako ima podesivi nagib. Ali za tako mali trenutni zadatak, ne bih želio da ga "vučem". Ili kada nema podešavanja. Može se obaviti za pola minute konopac kompas.
- Prvi ekser (ili nogu šestara poluprečnika većeg od 1 m) postavljamo naizmjenično u tačke A i B. I nacrtamo dva luka sa drugim ekserom - u zategnutom stanju užeta - tako da se sijeku sa svakim ostalo. Moguće je u dvije tačke: C i D, ali jedna je dovoljna - C. I opet, kratki serifi na raskrsnici u tački C će biti dovoljni.
- Nacrtajte pravu liniju (segment) kroz tačke C i D.
- Sve! Rezultirajući segment ili prava linija je tačan pravac na sjeveru :). Izvini, - pod pravim uglom.
- Na slici su prikazana dva slučaja neslaganja granica preko susjednog imanja. Il. 3a prikazuje slučaj u kojem se susjedova ograda udaljava u pravom smjeru na sopstvenu štetu. Na 3b - popeo se na vašu stranicu. U situaciji 3a, moguće je konstruisati dvije „vodeće“ tačke: i C i D. U situaciji 3b, samo C.
- Postavite klin na ugao O, a privremeni klin u tačku C, i istegnite uže od C do zadnje granice lokacije. - Tako da gajtan jedva dodiruje klin O. Mjerenjem od tačke O - u pravcu D, dužine stranice prema generalnom planu, dobićete pouzdan zadnji desni ugao lokacije.
Ill.3. Izgradnja pravi ugao– iz komšijskog ugla, koristeći pedometar i kompas
Ako imate kompas-pedometar, onda možete i bez užeta. U prethodnom primjeru koristili smo uže za crtanje lukova većeg radijusa od onih na pedometru. Više zato što se ovi lukovi negdje moraju sjeći. Da bi se lukovi nacrtali pedometrom istog poluprečnika - 1m sa garancijom njihovog preseka, potrebno je da tačke A i B budu unutar kruga sa R = 1m.
- Zatim izmjerite ove jednako udaljene tačke rulet- V različite strane od centra, ali uvijek duž linije AB (linija susjedove ograde). Što su tačke A i B bliže centru, vodeće tačke C i D su udaljenije od njega i merenja su tačnija. Na slici se uzima da ova udaljenost iznosi oko četvrtinu polumjera pedometra = 260 mm.
Ill.4. Izrada pravog ugla pomoću pedometra i mjerne trake
- Ova shema djelovanja nije ništa manje relevantna pri izgradnji bilo kojeg pravokutnika, posebno konture pravokutnog temelja. Primit ćete ga savršeno. Njegove dijagonale, naravno, treba provjeriti, ali zar se napor ne smanjuje? – U poređenju sa onim kada se dijagonale, uglovi i strane konture temelja pomeraju napred-nazad dok se uglovi ne spoje.
Zapravo, riješili smo geometrijski problem na zemlji. Da biste učinili svoje radnje sigurnijim na web mjestu, vježbajte na papiru - koristeći obični kompas. Što se u osnovi ne razlikuje.
Za konstruiranje bilo kojeg crteža ili izvođenje ravnih oznaka radnog komada prije obrade potrebno je izvršiti niz grafičkih operacija - geometrijskih konstrukcija.
Na sl. Na slici 2.1 prikazan je ravan dio - ploča. Da biste nacrtali njegov crtež ili označili konturu na čeličnoj traci za naknadnu proizvodnju, morate to učiniti na konstrukcijskoj ravnini, glavni su numerirani brojevima napisanim na strelicama pokazivača. U brojevima 1 označava konstrukciju međusobno okomitih linija, koja se mora izvesti na više mjesta, sa brojem 2 – crtanje paralelnih linija, u brojevima 3 – uparivanje ovih paralelnih linija sa lukom određenog radijusa, brojem 4 – konjugacija luka i pravog luka datog poluprečnika, koji u u ovom slučaju jednak 10 mm, broj 5 – uparivanje dva luka sa lukom određenog radijusa.
Kao rezultat izvođenja ovih i drugih geometrijskih konstrukcija, nacrtat će se kontura dijela.
Geometrijska konstrukcija je metoda rješavanja problema u kojoj se odgovor dobija grafički bez ikakvih proračuna. Konstrukcije se izvode alatima za crtanje (ili označavanje) što je moguće pažljivije, jer o tome ovisi točnost rješenja.
Linije određene uslovima zadatka, kao i konstrukcije, izrađuju se čvrste tanke, a rezultati konstrukcije su čvrsti glavni.
Kada počnete da pravite crtež ili obeležavanje, prvo morate odrediti koje od geometrijskih konstrukcija treba primeniti u ovom slučaju, tj. analizira grafičku kompoziciju slike.
Rice. 2.1.
Analiza grafičke kompozicije slike naziva proces podjele izvođenja crteža u zasebne grafičke operacije.
Identifikacija operacija potrebnih za izradu crteža olakšava odabir načina na koji će se izvršiti. Ako trebate nacrtati, na primjer, ploču prikazanu na sl. 2.1, onda nas analiza konture njegove slike dovodi do zaključka da moramo primijeniti sljedeće geometrijske konstrukcije: u pet slučajeva nacrtati međusobno okomite središnje linije (slika 1 u krug), u četiri slučaja nacrtati paralelne linije(broj 2 ), nacrtati dva koncentrična kruga (0 50 i 70 mm), u šest slučajeva konstruisati parove od dve paralelne prave sa lukovima datog poluprečnika (slika 3 ), a u četiri - uparivanje luka i pravog luka polumjera 10 mm (slika 4 ), u četiri slučaja, konstruisati uparivanje dva luka sa lukom poluprečnika 5 mm (broj 5 u krugu).
Da biste izvršili ove konstrukcije, morate zapamtiti ili ponoviti pravila za njihovo crtanje iz udžbenika.
U ovom slučaju, preporučljivo je odabrati racionalan način za završetak crteža. Izbor racionalan način rješavanje problema smanjuje vrijeme provedeno na poslu. Na primjer, kada se konstruiše jednakostranični trokut upisan u krug, racionalnija metoda je da se on konstruiše koristeći prečku i kvadrat sa uglom od 60° bez prethodnog određivanja vrhova trokuta (vidi sliku 2.2, a, b). Manje racionalan način rješavanja istog problema je korištenje šestara i prečke sa preliminarnim određivanjem vrhova trougla (vidi sliku 2.2, V).
Podjela segmenata i konstruiranje uglova
Konstruisanje pravih uglova
Racionalno je konstruisati ugao od 90° koristeći prečku i kvadrat (slika 2.2). Da biste to učinili, dovoljno je nacrtati ravnu liniju i vratiti okomicu na nju pomoću kvadrata (slika 2.2, A). Racionalno je graditi okomitu na kosi segment pomeranjem (slika 2.2, b) ili okretanje (slika 2.2, V) kvadrat.
Rice. 2.2.
Konstrukcija tupih i oštrih uglova
Racionalne metode za konstruisanje uglova od 120, 30 i 150, 60 i 120, 15 i 165, 75 i 105,45 i 135° prikazane su na sl. 2.3, koja pokazuje položaje kvadrata za konstruisanje ovih uglova.
Rice. 2.3.
Podjela ugla na dva jednaka dijela
Iz vrha ugla opišite luk kružnice proizvoljnog radijusa (slika 2.4).
Rice. 2.4.
Od bodova ΜηΝ presek luka sa stranicama ugla sa rešenjem šestara većim od polovine luka ΜΝ, napraviti dva koja se ukrštaju u jednoj tački A serifi.
Kroz primljenu tačku A a vrh ugla povuče pravu liniju (simetralu ugla).
Deljenje pravog ugla na tri jednaka dela
Iz vrha pravog ugla opišite luk kružnice proizvoljnog poluprečnika (slika 2.5). Bez mijenjanja ugla kompasa, napravite zareze od tačaka presjeka luka sa stranama ugla. Kroz primljene bodove M I Ν i vrh ugla su nacrtani pravim linijama.
Rice. 2.5.
Na taj način se samo pravi uglovi mogu podijeliti na tri jednaka dijela.
Konstruisanje ugla jednakog datom. Sa vrha O zadati ugao, nacrtati luk proizvoljnog radijusa R, sijeku stranice ugla u tačkama M I N(Sl. 2.6, A). Zatim nacrtajte ravan segment, koji će služiti kao jedna od stranica novog ugla. Od tačke O 1 na ovoj pravoj liniji sa istim radijusom R nacrtati luk, dobiti poen Ν 1 (sl. 2.6, b). Od ove tačke opišite luk radijusa R 1, jednako tetivu MN. Presjek lukova daje tačku Μ 1, koji je povezan pravom linijom sa vrhom novog ugla (slika 2.6, b).
Rice. 2.6.
Dijeljenje segmenta na dva jednaka dijela. Lukovi se povlače sa krajeva datog segmenta sa otvorom kompasa većim od polovine njegove dužine (slika 2.7). Prava linija koja povezuje dobijene tačke M I Ν, dijeli segment na dva jednaka dijela i okomit je na njega.
Rice. 2.7.
Konstruisanje okomice na kraju pravolinijskog segmenta. Iz proizvoljne tačke O uzete iznad segmenta AB, opisati kružnicu koja prolazi kroz tačku A(kraj segmenta linije) i presecanje prave u tački M(Sl. 2.8).
Rice. 2.8.
Kroz primljenu tačku M i centar O krugovi povlače pravu liniju sve dok se ne sretnu sa suprotnom stranom kruga u jednoj tački N. Tačka N povežite pravu liniju sa tačkom A.
Dijeljenje segmenta bilo kojim brojem jednaki dijelovi. Sa bilo kojeg kraja segmenta, na primjer iz tačke A, nacrtajte ravnu liniju pod oštrim uglom prema njoj. Na njemu se pomoću mjernog kompasa polaže potreban broj jednakih segmenata proizvoljne veličine (slika 2.9). Poslednja tačka je povezana sa drugim krajem datog segmenta (sa tačkom IN). Iz svih tačaka podjele, pomoću ravnala i kvadrata, povucite ravne linije paralelne pravoj liniji 9V, koji će segment AB podijeliti na zadati broj jednakih dijelova.
Rice. 2.9.
Na sl. Slika 2.10 pokazuje kako primijeniti ovu konstrukciju za označavanje centara rupa ravnomjerno raspoređenih na pravoj liniji.
Sposobnost dijeljenja bilo kojeg ugla simetralom potrebna je ne samo za dobivanje "A" iz matematike. Ovo znanje će biti vrlo korisno za građevinare, dizajnere, geodete i krojače. U životu morate znati podijeliti mnoge stvari na pola. Svi u skoli...
Konjugacija je glatki prijelaz iz jedne linije u drugu. Da biste pronašli partnera, morate odrediti njegove tačke i centar, a zatim nacrtati odgovarajuću raskrsnicu. Da biste riješili takav problem, morate se naoružati ravnalom...
Konjugacija je glatki prijelaz iz jedne linije u drugu. Konjugati se vrlo često koriste u raznim crtežima kada se povezuju uglovi, krugovi i lukovi i prave linije. Izgradnja sekcije je prilično težak zadatak, za koji…
Prilikom izvođenja konstrukcija raznih geometrijski oblici ponekad je potrebno odrediti njihove karakteristike: dužinu, širinu, visinu i tako dalje. Ako mi pričamo o tome o krugu ili krugu, često morate odrediti njegov prečnik. Prečnik je...
Trokut se naziva pravouglim trokutom ako je ugao u jednom od njegovih vrhova 90°. Strana suprotna ovom kutu naziva se hipotenuza, a stranice nasuprot dva oštra ugla trokuta nazivaju se katete. Ako je poznata dužina hipotenuze...
Zadaci za konstruisanje pravilnih geometrijskih oblika treniraju prostornu percepciju i logiku. Postoji veliki broj vrlo jednostavni zadaci ove vrste. Njihovo rješenje se svodi na modificiranje ili kombiniranje već...
Simetrala ugla je zraka koja počinje od vrha ugla i dijeli ga na dva jednaka dijela. One. Da biste nacrtali simetralu, morate pronaći sredinu ugla. Najlakši način za to je kompas. U ovom slučaju ne trebate...
Prilikom izgradnje ili razvoja projekata dizajna kuće, često je potrebno izgraditi ugao jednak postojećem. Šabloni i školsko znanje iz geometrije dolaze u pomoć. Upute 1Ugao formiraju dvije prave linije koje izlaze iz jedne tačke. Ova tačka...
Medijan trougla je segment koji povezuje bilo koji vrh trougla sa sredinom Suprotna strana. Stoga se problem konstruisanja medijane pomoću šestara i ravnala svodi na problem pronalaženja sredine segmenta. Trebaće vam-…
Medijan je segment povučen iz određenog ugla poligona na jednu od njegovih stranica na takav način da je tačka presjeka medijane i stranice sredina te stranice. Trebat će vam - šestar - ravnalo - olovka Upute 1 Neka dato...
Ovaj članak će vam reći kako koristiti kompas da nacrtate okomitu na dati segment kroz određenu tačku koja leži na ovom segmentu. Koraci 1Pogledajte segment (prava linija) koji vam je dat i tačku (označena kao A) koja leži na njemu. 2Ugradite iglu...
Ovaj članak će vam reći kako nacrtati pravu paralelnu datoj liniji i koja prolazi kroz datu tačku. Koraci Metoda 1 od 3: Duž okomitih linija 1 Označite datu liniju kao “m” i datu tačku kao A. 2 Kroz tačku A nacrtajte...
Ovaj članak će vam reći kako konstruirati simetralu zadanog ugla (simetrala je zraka koja dijeli kut na pola). Koraci 1Pogledajte ugao koji vam je dat.2Nađite vrh ugla.3Postavite iglu kompasa na vrh ugla i nacrtajte luk koji siječe strane ugla...