Ovaj članak govori o paralelnim linijama i paralelnim linijama. Prvo se daje definicija paralelnih pravih na ravni i u prostoru, uvode se oznake, daju se primjeri i grafičke ilustracije paralelnih pravih. Zatim se razmatraju znaci i uslovi za paralelnost pravih. U zaključku su prikazana rješenja tipičnih problema dokazivanja paralelizma pravih, koja su data određenim jednačinama prave u pravokutnom koordinatnom sistemu na ravni i u trodimenzionalnom prostoru.
Navigacija po stranici.
Paralelne linije - osnovne informacije.
Definicija.
Zovu se dvije prave u ravni paralelno, ako nemaju zajedničke tačke.
Definicija.
Zovu se dvije linije u trodimenzionalnom prostoru paralelno, ako leže u istoj ravni i nemaju zajedničke tačke.
Imajte na umu da je klauzula „ako leže u istoj ravni“ u definiciji paralelnih pravih u prostoru veoma važna. Pojasnimo ovu tačku: dvije prave u trodimenzionalnom prostoru koje nemaju zajedničke tačke i ne leže u istoj ravni nisu paralelne, već seku.
Evo nekoliko primjera paralelnih linija. Suprotne ivice list sveske leže na paralelnim pravima. Prave linije duž kojih ravnina zida kuće siječe ravnine stropa i poda su paralelne. Željezničke šine na ravnom terenu također se mogu smatrati paralelnim prugama.
Za označavanje paralelnih linija koristite simbol “”. To jest, ako su prave a i b paralelne, onda možemo ukratko napisati a b.
Imajte na umu: ako su prave a i b paralelne, onda možemo reći da je prava a paralelna pravoj b, kao i da je prava b paralelna pravoj a.
Hajde da izgovorimo izjavu koja svira važnu ulogu kada se proučavaju paralelne prave na ravni: kroz tačku koja ne leži na datoj, prolazi jedna prava paralelna sa datom. Ova tvrdnja se prihvata kao činjenica (ne može se dokazati na osnovu poznatih aksioma planimetrije), a naziva se aksiomom paralelnih pravih.
Za slučaj u prostoru važi teorema: kroz bilo koju tačku u prostoru koja ne leži na datoj pravoj, prolazi jedna prava paralelna sa datom. Ova teorema se lako dokazuje korištenjem gornje aksiome paralelnih pravih (dokaz možete pronaći u udžbeniku geometrije za 10-11 razred, koji je naveden na kraju članka u popisu literature).
Za slučaj u prostoru važi teorema: kroz bilo koju tačku u prostoru koja ne leži na datoj pravoj, prolazi jedna prava paralelna sa datom. Ova teorema se može lako dokazati korištenjem gornjeg aksioma paralelne prave.
Paralelnost pravih - znaci i uslovi paralelizma.
Znak paralelizma pravih je dovoljno stanje paralelnost pravih, odnosno uslov čije ispunjenje garantuje paralelnost pravih. Drugim riječima, ispunjenje ovog uslova je dovoljno da se utvrdi činjenica da su prave paralelne.
Takođe postoje neophodni i dovoljni uslovi za paralelnost pravih na ravni iu trodimenzionalnom prostoru.
Objasnimo značenje izraza "neophodan i dovoljan uslov za paralelne prave".
Već smo se bavili dovoljnim uslovom za paralelne prave. Šta je "neophodan uslov za paralelne prave"? Iz naziva „neophodan“ jasno je da je ispunjenje ovog uslova neophodno za paralelne prave. Drugim riječima, ako nije ispunjen neophodan uvjet da prave budu paralelne, tada prave nisu paralelne. dakle, neophodan i dovoljan uslov za paralelne prave je uslov čije je ispunjenje neophodno i dovoljno za paralelne prave. Odnosno, s jedne strane, ovo je znak paralelizma pravih, a s druge strane, ovo je svojstvo koje imaju paralelne prave.
Prije nego što formulišemo neophodan i dovoljan uslov za paralelnost linija, preporučljivo je prisjetiti se nekoliko pomoćnih definicija.
Sekantna linija je prava koja siječe svaku od dvije date nepodudarne prave.
Kada se dvije prave linije seku sa transverzalom, nastaje osam nerazvijenih. U formulaciji neophodnog i dovoljnog uslova za paralelnost pravih, tzv ležeći poprečno, odgovarajući I jednostrani uglovi. Pokažimo ih na crtežu.
Teorema.
Ako se dvije prave u ravni sijeku transverzalom, tada je potrebno i dovoljno da su uglovi koji se seku jednaki, ili da su odgovarajući uglovi jednaki, ili je zbir jednostranih uglova jednak 180 da bi bile paralelne. stepeni.
Pokažimo grafičku ilustraciju ovog neophodnog i dovoljnog uslova za paralelnost pravih na ravni.
Dokaze za ove uslove za paralelnost pravih možete pronaći u udžbenicima geometrije za 7-9 razred.
Imajte na umu da se ovi uvjeti mogu koristiti i u trodimenzionalnom prostoru - glavna stvar je da dvije prave i sekansa leže u istoj ravni.
Evo još nekoliko teorema koje se često koriste za dokazivanje paralelizma pravih.
Teorema.
Ako su dvije prave u ravni paralelne s trećom pravom, onda su one paralelne. Dokaz ovog kriterija slijedi iz aksioma paralelnih pravih.
Sličan uslov postoji i za paralelne linije u trodimenzionalnom prostoru.
Teorema.
Ako su dvije prave u prostoru paralelne s trećom linijom, onda su paralelne. O dokazu ovog kriterija govori se na časovima geometrije u 10. razredu.
Ilustrujmo navedene teoreme.
Predstavimo još jednu teoremu koja nam omogućava da dokažemo paralelizam pravih na ravni.
Teorema.
Ako su dvije prave u ravni okomite na treću pravu, onda su paralelne.
Postoji slična teorema za linije u prostoru.
Teorema.
Ako su dvije prave u trodimenzionalnom prostoru okomite na istu ravan, onda su paralelne.
Nacrtajmo slike koje odgovaraju ovim teoremama.
Sve gore formulisane teoreme, kriterijumi i neophodni i dovoljni uslovi odlični su za dokazivanje paralelizma pravih metodama geometrije. Odnosno, da biste dokazali paralelizam dvije date prave, morate pokazati da su one paralelne s trećom linijom, ili pokazati jednakost poprečno ležećih uglova itd. Mnogi slični problemi rješavaju se na časovima geometrije u srednja škola. Međutim, treba napomenuti da je u mnogim slučajevima zgodno koristiti koordinatnu metodu za dokazivanje paralelnosti pravih na ravni ili u trodimenzionalnom prostoru. Hajde da formulišemo neophodne i dovoljne uslove za paralelnost pravih koje su određene u pravougaonom koordinatnom sistemu.
Paralelizam pravih u pravougaonom koordinatnom sistemu.
U ovom paragrafu članka ćemo formulisati neophodni i dovoljni uslovi za paralelne prave u pravougaonom koordinatnom sistemu, u zavisnosti od vrste jednadžbi koje definišu ove prave, a predstavljamo i detaljna rješenja karakteristični zadaci.
Počnimo sa uslovom paralelnosti dve prave na ravni u pravougaonom koordinatnom sistemu Oxy. Njegov dokaz se zasniva na definiciji vektora pravca prave i definicije vektora normale prave na ravni.
Teorema.
Da bi dvije nepodudarne prave bile paralelne u ravni, potrebno je i dovoljno da vektori smjera ovih pravih budu kolinearni, ili da su vektori normale ovih pravi kolinearni, ili da je vektor smjera jedne prave okomit na normalu vektor druge linije.
Očigledno, uvjet paralelizma dvije prave na ravni se svodi na (vektori pravca prava ili normalni vektori pravih) ili na (vektor smjera jedne prave i normalni vektor druge linije). Dakle, ako su i vektori smjera linija a i b, i 
I 
su normalni vektori pravih a i b, redom, tada će nužan i dovoljan uslov za paralelnost pravih a i b biti zapisan kao 
, ili 
, ili , gdje je t neki realni broj. Zauzvrat, koordinate vodilica i (ili) normalnih vektora linija a i b nalaze se pomoću poznatih jednačina linija.
Konkretno, ako prava linija a u pravougaonom koordinatnom sistemu Oxy na ravni definiše opštu pravolinijsku jednačinu oblika 
, i prava b - 
, tada normalni vektori ovih pravih imaju koordinate i, respektivno, a uslov paralelnosti pravih a i b biće zapisan kao .
Ako linija a odgovara jednadžbi prave sa ugaonim koeficijentom oblika , a prava b - , tada normalni vektori ovih pravih imaju koordinate i , a uslov za paralelnost ovih pravih ima oblik 
. Shodno tome, ako su linije na ravni u pravougaonom koordinatnom sistemu paralelne i mogu se specificirati jednačinama linija sa ugaonim koeficijentima, tada će ugaoni koeficijenti pravih biti jednaki. I obrnuto: ako se nepodudarne prave na ravni u pravougaonom koordinatnom sistemu mogu specificirati jednačinama prave sa jednakim ugaonim koeficijentima, onda su takve prave paralelne.
Ako su prava a i prava b u pravougaonom koordinatnom sistemu određene kanonskim jednačinama prave na ravni oblika 
I 
, ili parametarske jednadžbe prave linije na ravni oblika 
I 
u skladu s tim, vektori smjera ovih linija imaju koordinate i , a uvjet za paralelnost linija a i b zapisuje se kao .
Pogledajmo rješenja na nekoliko primjera.
Primjer.
Jesu li linije paralelne? 
i ?
Rješenje.
Prepišimo jednadžbu prave u segmentima u obliku opšte jednačine prave: 
. Sada možemo vidjeti da je to normalni vektor linije , a je normalni vektor prave. Ovi vektori nisu kolinearni, jer ne postoji pravi broj t za koji je jednakost ( 
). Shodno tome, nužan i dovoljan uslov za paralelnost pravih na ravni nije zadovoljen, pa date prave nisu paralelne.
odgovor:
Ne, prave nisu paralelne.
Primjer.
Da li su prave i paralelne?
Rješenje.
Svedimo kanonsku jednačinu prave na jednačinu prave sa ugaonim koeficijentom: . Očigledno je da jednačine pravih i nisu iste (u ovom slučaju date prave bi bile iste) i ugaoni koeficijenti pravih su jednaki, dakle, originalne prave su paralelne.
1. Ako su dvije prave paralelne s trećom linijom, onda su paralelne:
Ako a||c I b||c, To a||b.
2. Ako su dvije prave okomite na treću pravu, onda su paralelne:
Ako a⊥c I b⊥c, To a||b.
Preostali znaci paralelizma pravih zasnovani su na uglovima koji nastaju kada se dve prave seku sa trećom.
3. Ako je zbir unutrašnjih jednostranih uglova 180°, tada su prave paralelne:
Ako je ∠1 + ∠2 = 180°, onda a||b.
4. Ako su odgovarajući uglovi jednaki, tada su prave paralelne:
Ako je ∠2 = ∠4, onda a||b.
5. Ako su unutrašnji poprečni uglovi jednaki, tada su prave paralelne:
Ako je ∠1 = ∠3, onda a||b.
Svojstva paralelnih pravih
Izjave inverzne osobinama paralelnih pravih su njihova svojstva. Oni se zasnivaju na svojstvima uglova nastalih presekom dve paralelne prave sa trećom linijom.
1. Kada dvije paralelne prave sijeku treću pravu, zbir unutrašnjih jednostranih uglova koji su formirani njima jednak je 180°:
Ako a||b, tada ∠1 + ∠2 = 180°.
2. Kada dvije paralelne prave sijeku treću pravu, odgovarajući uglovi formirani od njih su jednaki:
Ako a||b, tada je ∠2 = ∠4.
3. Kada dvije paralelne prave sijeku treću pravu, poprečni uglovi koje formiraju su jednaki:
Ako a||b, tada je ∠1 = ∠3.
Sljedeće svojstvo je poseban slučaj za svako prethodno:
4. Ako je prava na ravni okomita na jednu od dvije paralelne prave, ona je također okomita na drugu:
Ako a||b I c⊥a, To c⊥b.
Peto svojstvo je aksiom paralelnih pravih:
5. Kroz tačku koja ne leži na datoj pravoj, može se povući samo jedna prava paralelna datoj pravoj.
Znakovi paralelizma dvije prave
Teorema 1. Ako, kada se dvije prave seku sa sekantom:
ukršteni uglovi su jednaki, ili
odgovarajući uglovi su jednaki, ili
tada je zbir jednostranih uglova 180°
prave su paralelne(Sl. 1).
Dokaz. Ograničavamo se na dokazivanje slučaja 1.
Neka su prave a i b ukrštene, a uglovi AB jednaki. Na primjer, ∠ 4 = ∠ 6. Dokažimo da je a || b.
Pretpostavimo da prave a i b nisu paralelne. Tada se sijeku u nekoj tački M i stoga će jedan od uglova 4 ili 6 biti vanjski ugao trougla ABM. Radi određenosti, neka je ∠ 4 vanjski ugao trougla ABM, a ∠ 6 unutrašnji. Iz teoreme o spoljašnjem uglu trougla sledi da je ∠ 4 veći od ∠ 6, a to je u suprotnosti sa uslovom, što znači da se prave a i 6 ne mogu seći, pa su paralelne.
Zaključak 1. Dvije različite prave u ravni okomitoj na istu pravu su paralelne(Sl. 2).
Komentar. Način na koji smo upravo dokazali slučaj 1 teoreme 1 nazivamo metodom dokaza kontradikcijom ili svođenjem na apsurd. Ova metoda je dobila svoje prvo ime jer se na početku argumentacije postavlja pretpostavka koja je suprotna (suprotna) onome što treba dokazati. To se naziva dovođenjem do apsurda zbog činjenice da, rezonujući na osnovu postavljene pretpostavke, dolazimo do apsurdnog zaključka (do apsurda). Primanje takvog zaključka tjera nas da odbacimo pretpostavku iznesenu na početku i prihvatimo onu koju je trebalo dokazati.
Zadatak 1. Konstruisati pravu koja prolazi kroz datu tačku M i paralelna sa datom pravom a, a ne prolazi kroz tačku M.
Rješenje. Provlačimo pravu p kroz tačku M okomitu na pravu a (slika 3).
Zatim povučemo pravu b kroz tačku M okomitu na pravu p. Prava b je paralelna pravoj a prema posljedici teoreme 1.
Iz razmatranog problema proizlazi važan zaključak:
kroz tačku koja ne leži na datoj pravoj uvek je moguće povući pravu paralelnu datoj.
Glavno svojstvo paralelnih linija je sljedeće.
Aksiom paralelnih pravih. Kroz datu tačku koja ne leži na datoj pravoj prolazi samo jedna prava paralelna sa datom.
Razmotrimo neka svojstva paralelnih pravih koja slijede iz ovog aksioma.
1) Ako prava seče jednu od dve paralelne prave, onda seče i drugu (slika 4).
2) Ako su dvije različite prave paralelne s trećom pravom, onda su one paralelne (slika 5).
Sljedeća teorema je također tačna.
Teorema 2. Ako se dvije paralelne prave sijeku transverzalom, onda:
poprečni uglovi su jednaki;
odgovarajući uglovi su jednaki;
zbir jednostranih uglova je 180°.
Zaključak 2. Ako je prava okomita na jednu od dvije paralelne prave, ona je također okomita na drugu(vidi sliku 2).
Komentar. Teorema 2 se naziva inverzna teorema 1. Zaključak teoreme 1 je uslov teoreme 2. A uslov teoreme 1 je zaključak teoreme 2. Nema svaka teorema inverz, tj. ako je ova teorema tačna, onda obrnuta teorema može biti netačno.
Objasnimo ovo na primjeru teoreme o vertikalnim uglovima. Ova teorema se može formulirati na sljedeći način: ako su dva ugla okomita, onda su jednaki. Obrnuti teorem bi bio: ako su dva ugla jednaka, onda su vertikalni. A ovo, naravno, nije tačno. Dva jednakih uglova uopšte ne moraju biti okomiti.
Primjer 1. Dvije paralelne prave se ukrštaju trećom. Poznato je da je razlika između dva unutrašnja jednostrana ugla 30°. Pronađite ove uglove.
Rješenje. Neka slika 6 ispuni uslov.
Koncept paralelnih linija
Definicija 1
Paralelne linije– prave koje leže u istoj ravni ne poklapaju se i nemaju zajedničke tačke.
Ako prave linije imaju zajedničku tačku, onda one presecati.
Ako su sve tačke ravne match, tada u suštini imamo jednu pravu liniju.
Ako prave leže u različitim ravnima, onda su uslovi za njihov paralelizam nešto veći.
Kada se razmatraju prave linije na istoj ravni, može se dati sljedeća definicija:
Definicija 2
Zovu se dvije prave u ravni paralelno, ako se ne sijeku.
U matematici se paralelne prave obično označavaju znakom paralelizma “$\parallel$”. Na primjer, činjenica da je linija $c$ paralelna sa linijom $d$ označava se na sljedeći način:
$c\paralelni d$.
Često se razmatra koncept paralelnih segmenata.
Definicija 3
Dva segmenta se zovu paralelno, ako leže na paralelnim linijama.
Na primjer, na slici su segmenti $AB$ i $CD$ paralelni, jer pripadaju paralelnim pravima:
$AB \paralelni CD$.
Istovremeno, segmenti $MN$ i $AB$ ili $MN$ i $CD$ nisu paralelni. Ova činjenica se može napisati pomoću simbola kako slijedi:
$MN ∦ AB$ i $MN ∦ CD$.
Na sličan način određuje se paralelizam prave i segmenta, prave i zraka, segmenta i zraka ili dvije zrake.
Istorijska referenca
WITH grčki jezik Koncept “parallelos” se prevodi kao “u blizini” ili “držani jedan pored drugog”. Ovaj termin je korišten u drevnoj Pitagorinoj školi čak i prije nego što su paralelne linije definirane. Prema istorijske činjenice Euklid u $III$ vijeku. BC. njegovi radovi su ipak otkrili značenje koncepta paralelnih linija.
U davna vremena, simbol za označavanje paralelnih pravih imao je drugačiji izgled od onoga što koristimo u modernoj matematici. Na primjer, starogrčki matematičar Papus u $III$ vijeku. AD paralelizam je označen znakom jednakosti. One. činjenica da je prava $l$ paralelna pravoj $m$ je prethodno bila označena sa “$l=m$”. Kasnije je poznati znak “$\parallel$” počeo da se koristi za označavanje paralelnosti pravih, a znak jednakosti počeo je da se koristi za označavanje jednakosti brojeva i izraza.
Paralelne linije u životu
Često to ne primjećujemo u običan život Okruženi smo ogromnim brojem paralelnih linija. Na primjer, u muzičkoj knjizi i zbirci pjesama sa notama, štap je napravljen pomoću paralelnih linija. Paralelne prave se takođe nalaze u muzički instrumenti(na primjer, žice za harfu, žice za gitaru, klavirske tipke, itd.).
Električne žice koje se nalaze duž ulica i puteva također idu paralelno. Tračnice linije metroa i željeznice nalaze se paralelno.
Osim u svakodnevnom životu, paralelne linije se mogu naći u slikarstvu, arhitekturi i gradnji zgrada.
Paralelne linije u arhitekturi
Na prikazanim slikama arhitektonske strukture sadrže paralelne linije. Upotreba paralelnih linija u građevinarstvu pomaže da se produži vijek trajanja takvih konstrukcija i daje im izvanrednu ljepotu, atraktivnost i veličinu. Dalekovodi se također namjerno polažu paralelno kako bi se izbjeglo njihovo ukrštanje ili dodirivanje, što bi dovelo do kratkih spojeva, prekida i gubitka električne energije. Da bi se voz mogao slobodno kretati, šine su takođe napravljene u paralelnim linijama.
U slikarstvu se paralelne linije prikazuju kao da se spajaju u jednu liniju ili blizu nje. Ova tehnika se zove perspektiva, što proizilazi iz iluzije vizije. Ako dugo gledate u daljinu, paralelne linije će izgledati kao dvije konvergentne linije.
Na pitanje 1. Dajte definiciju paralelnih pravih. Koja dva segmenta se nazivaju paralelna? dao autor Sasha Nizhevyasov najbolji odgovor je koji se nikada neće preseći na ravni
Odgovor od Adaptacija[guru]
Paralelne prave su prave koje leže u istoj ravni i ili se poklapaju ili se ne seku.
Odgovor od Naumenko[guru]
segmentima. koji pripadaju paralelnim pravima. su paralelne.
prave linije na ravni nazivaju se paralelno. ako se ne seku ili poklapaju.
Odgovor od neuropatolog[novak]
Dvije prave koje leže u istoj ravni i nemaju jednu zajedničku tačku nazivaju se paralelne
Odgovor od Dodati[majstor]
Odgovor od Varvara Lamekina[novak]
dvije prave u ravni nazivaju se paralelne ako se ne sijeku)
Odgovor od Maxim Ivanov[novak]
Koje se neće ukrštati na ravni.
Odgovor od Sem2805[aktivan]
dvije prave u ravni nazivaju se paralelnim ako se ne sijeku (7. ocjena)
Odgovor od Sasha Klyuchnikov[novak]
Paralelne prave u euklidskoj geometriji su prave koje leže u istoj ravni i ne seku se. U apsolutnoj geometriji, kroz tačku koja ne leži na datoj pravoj prolazi barem jedna prava koja ne siječe datu. U euklidskoj geometriji postoji samo jedna takva linija. Ova činjenica je ekvivalentna Euklidovom V postulatu (o paralelama). U geometriji Lobačevskog (vidi geometrija Lobačevskog) u ravni kroz tačku C (vidi sliku) izvan date prave linije AB prolazi beskonačan broj pravih linija koje ne seku AB. Od njih, samo dva se nazivaju paralelno sa AB. Prava CE naziva se paralelna pravoj AB u pravcu od A do B ako: 1) tačke B i E leže na istoj strani prave AC; 2) prava CE ne siječe pravu AB; svaki zrak koji prolazi unutar ugla ACE seče zraka AB Prava linija CF, paralelna sa AB u pravcu od B do A, definisana je slično.
Odgovor od Anatoly Mishin[novak]
Dvije prave u prostoru nazivaju se paralelnim ako leže u istoj ravni i ne sijeku se.
Odgovor od Oliya[aktivan]
Paralelne prave su prave koje se ne seku
Odgovor od Said Charakov[novak]
Paralelne prave su dvije prave koje leže u istoj ravni i nemaju zajedničke tačke.
Kroz tačku možete povući samo jednu pravu liniju paralelnu datoj ravni.
Odgovor od Oliya Nemtyreva[novak]
Paralelne prave su prave koje leže u istoj ravni i ili se poklapaju ili se ne seku. ..geometrija Lobačevskog) u ravni kroz tačku C (vidi sliku) izvan date prave AB prolazi beskonačan broj pravih koje ne seku AB. Od njih, samo dva se nazivaju paralelno sa AB
Odgovor od Oksana Tyshchenko[novak]
Paralelne prave su dvije prave u ravni koje se ne seku. Dva segmenta se nazivaju paralelna ako leže na paralelnim pravima.