Teorema je neophodan i dovoljan uslov za upisani četvorougao. Četvorouglovi upisani u krug

Konveksni četverougao A B C D (\displaystyle \displaystyle ABCD) je upisan ako i samo ako suprotni uglovi iznose 180°, to jest, .

A + C = B + D = π = 180 ∘ . (\displaystyle A+C=B+D=\pi =180^(\circ).)

Teorema je bila Prijedlog 22 u knjizi 3 Euklida Počeci. Ekvivalentno, konveksni četverokut je upisan ako i samo ako je susjedni ugao jednak suprotnom unutrašnjem kutu.

p q = a c + b d . (\displaystyle \displaystyle pq=ac+bd.)

Ako su dvije prave, od kojih jedna sadrži segment A.C., a drugi je segment BD, sijeku se u tački P, zatim četiri boda A, B, C, D leži na krugu ako i samo ako

A P ⋅ P C = B P ⋅ P D . (\displaystyle AP\cdot PC=BP\cdot PD.)

Tačka raskrsnice P može ležati i unutar i izvan kruga. U prvom slučaju to će biti upisani četverougao A B C D, au drugom - upisani četverougao ABDC. Ako sjecište leži unutra, jednakost znači da je proizvod odsječaka u koje je tačka P dijeli jednu dijagonalu i jednak je proizvodu segmenata druge dijagonale. Ova izjava je poznata kao teorema ukrštanja tetive, budući da su dijagonale upisanog četverokuta tetive opisane kružnice.

Konveksni četverougao A B C D je upisan ako i samo ako

tan ⁡ A 2 tan ⁡ C 2 = tan ⁡ B 2 tan ⁡ D 2 = 1. (\displaystyle \tan (\frac (A)(2))\tan (\frac (C)(2))=\tan (\frac (B)(2))\tan (\frac (D)(2))=1.)

Square

S = (p − a) (p − b) (p − c) (p − d) (\displaystyle S=(\sqrt ((p-a)(p-b)(p-c)(p-d))))

Ciklični četvorougao ima najveću površinu među svim četvorouglovima koji imaju isti niz dužina stranica. Ovo je još jedna posljedica Brettschneiderovog odnosa. Tvrdnja se može dokazati matematičkom analizom.

Četiri nejednake dužine, od kojih je svaka manja od zbira ostale tri, su strane od tri nekongruentni upisani četvorouglovi, a prema Brahmaguptinoj formuli, svi ovi trouglovi imaju istu površinu. Posebno za stranke a, b, c I d strana a može biti suprotno od bilo koje strane b, c ili d. Bilo koja dva od ova tri upisana četvorougla imaju istu dijagonalnu dužinu.

Površina cikličnog četverokuta sa uzastopnim stranicama a, b, c, d i ugao B između stranaka a I b može se izraziti formulom

S = 1 2 (a b + c d) sin ⁡ B (\displaystyle S=(\tfrac (1)(2))(ab+cd)\sin (B)) S = 1 2 (a c + b d) sin ⁡ θ (\displaystyle S=(\tfrac (1)(2))(ac+bd)\sin (\theta ))

Gdje θ - bilo koji ugao između dijagonala. Ako je ugao A nije ravna linija, površina se može izraziti formulom

S = 1 4 (a 2 − b 2 − c 2 + d 2) tan ⁡ A . (\displaystyle S=(\tfrac (1)(4))(a^(2)-b^(2)-c^(2)+d^(2))\tan (A).) S = 2 R 2 sin ⁡ A sin ⁡ B sin ⁡ θ (\displaystyle S=2R^(2)\sin (A)\sin (B)\sin (\theta )) S ≤ 2 R 2 (\displaystyle S\leq 2R^(2)),

a nejednakost se pretvara u jednakost ako i samo ako je četverokut kvadrat.

Dijagonale

Sa vrhovima A, B, C, D(tim redoslijedom) i strane a = AB, b = B.C., c = CD I d = D.A. dijagonalne dužine str = A.C. I q = BD može se izraziti kroz strane

p = (a c + b d) (a d + b c) a b + c d (\displaystyle p=(\sqrt (\frac ((ac+bd)(ad+bc))(ab+cd)))) q = (a c + b d) (a b + c d) a d + b c (\displaystyle q=(\sqrt (\frac ((ac+bd)(ab+cd))(ad+bc)))) p q = a c + b d . (\displaystyle pq=ac+bd.)

Prema Ptolomejeva druga teorema ,

p q = a d + b c a b + c d (\displaystyle (\frac (p)(q))=(\frac (ad+bc)(ab+cd)))

sa istom notacijom kao i ranije.

Za zbir dijagonala imamo nejednakost

p + q ≥ 2 a c + b d . (\displaystyle p+q\geq 2(\sqrt (ac+bd)).)

Nejednakost postaje jednakost ako i samo ako su dijagonale iste dužine, što se može prikazati korištenjem nejednakosti između aritmetičke sredine i geometrijske sredine.

(p + q) 2 ≤ (a + c) 2 + (b + d) 2 . (\displaystyle (p+q)^(2)\leq (a+c)^(2)+(b+d)^(2).)

U bilo kojem konveksnom četverokutu, dvije dijagonale dijele četverokut na četiri trougla. U cikličnom četverokutu, suprotni parovi ova četiri trokuta su slični.

Ako M I N su sredine dijagonala A.C. I BD, To

M N E F = 1 2 | A C B D − B D A C | (\displaystyle (\frac (MN)(EF))=(\frac (1)(2))\left|(\frac (AC)(BD))-(\frac (BD)(AC))\right |)

Gdje E I F- tačke preseka suprotnih strana.

Ako A B C D- upisani četvorougao i A.C. krstovi BD u tački P, To

A P C P = A B C B ⋅ A D C D . (\displaystyle (\frac (AP)(CP))=(\frac (AB)(CB))\cdot (\frac (AD)(CD)).)

Formule ugla

a, b, c, d, poluperimetar s i ugao A između stranaka a I d trigonometrijske funkcije ugla A jednaka

cos ⁡ A = a 2 + d 2 − b 2 − c 2 2 (a d + b c) , (\displaystyle \cos A=(\frac (a^(2)+d^(2)-b^(2)) -c^(2))(2(ad+bc))),) sin ⁡ A = 2 (s − a) (s − b) (s − c) (s − d) (a d + b c) , (\displaystyle \sin A=(\frac (2(\sqrt ((s-a)) (s-b)(s-c)(s-d))))((ad+bc))),) tan ⁡ A 2 = (s − a) (s − d) (s − b) (s − c) . (\displaystyle \tan (\frac (A)(2))=(\sqrt (\frac ((s-a)(s-d))((s-b)(s-c)))).)

Za ugao θ između dijagonala se vrši

tan ⁡ θ 2 = (s − b) (s − d) (s − a) (s − c) . (\displaystyle \tan (\frac (\theta )(2))=(\sqrt (\frac ((s-b)(s-d))((s-a)(s-c)))).)

Ako su nastavci suprotnih strana a I c seku pod uglom ϕ (\displaystyle \phi ) , To

cos ⁡ ϕ 2 = (s − b) (s − d) (b + d) 2 (a b + c d) (a d + b c) (\displaystyle \cos (\frac (\phi)(2))=(\ sqrt (\frac ((s-b)(s-d)(b+d)^(2))((ab+cd)(ad+bc)))))

Parameshwarova formula

Za ciklički četverougao sa stranicama a, b, c, d(u navedenom redoslijedu) i poluperimetar s radijus opisane kružnice) je dat formulom

R = 1 4 (a b + c d) (a c + b d) (a d + b c) (s − a) (s − b) (s − c) (s − d) . (\displaystyle R=(\frac (1)(4))(\sqrt (\frac ((ab+cd)(ac+bd)(ad+bc))((s-a)(s-b)(s-c)(s-d )))).)

Formulu je izveo indijski matematičar Vathassery Parameshwara u 15. veku.

Ako se dijagonale cikličnog četverokuta sijeku u tački P, a sredine dijagonala - V I W, tada je anticentar četvorougla ortocentar trougla VWP, a težište temena je u sredini segmenta koji povezuje sredine dijagonala.

U upisanom četvorouglu, "težište površine" G a, "temište vrha" Gv i raskrsnica P dijagonale leže na istoj pravoj liniji. Za udaljenosti između ovih tačaka jednakost

P G a = 4 3 P G v . (\displaystyle PG_(a)=(\tfrac (4)(3))PG_(v).)

Ostale nekretnine

• U cikličnom četvorouglu A B C D sa središtem opisane kružnice O neka P- tačka preseka dijagonala A.C. I BD. Zatim ugao APB je aritmetička sredina uglova AOB I C.O.D.. Ovo je direktna posljedica teoreme upisanog ugla i teoreme o vanjskom uglu trougla.

• Ako ciklički četvorougao ima dužine stranica koje formiraju aritmetičku progresiju, onda je i četvorougao spolja opisano.

Brahmagupta četvorouglovi

Brahmagupta četverokut je ciklički četvorougao sa celim dužinama stranica, celim dužinama dijagonala i celobrojnim površinama. Svi Brahmagupta četvorouglovi sa stranicama a b c d, dijagonale e, f, područje S i polumjer opisane kružnice R može se dobiti eliminacijom nazivnika u sljedećim izrazima (sa racionalnim parametrima t, u I v):

a = [ t (u + v) + (1 − u v) ] [ u + v − t (1 − u v) ] (\displaystyle a=) b = (1 + u 2) (v − t) (1 + t v) (\displaystyle b=(1+u^(2))(v-t)(1+tv)) c = t (1 + u 2) (1 + v 2) (\displaystyle c=t(1+u^(2))(1+v^(2))) d = (1 + v 2) (u − t) (1 + t u) (\displaystyle d=(1+v^(2))(u-t)(1+tu)) e = u (1 + t 2) (1 + v 2) (\displaystyle e=u(1+t^(2))(1+v^(2))) f = v (1 + t 2) (1 + u 2) (\displaystyle f=v(1+t^(2))(1+u^(2))) S = u v [ 2 t (1 − u v) − (u + v) (1 − t 2) ] [ 2 (u + v) t + (1 − u v) (1 − t 2) ] (\displaystyle S= uv) 4 R = (1 + u 2) (1 + v 2) (1 + t 2) . (\displaystyle 4R=(1+u^(2))(1+v^(2))(1+t^(2)).)

Svojstva ordijagonalnih cikličkih četverokuta

Površina i polumjer opisane kružnice

Neka za ciklički četverougao, koji je također ortodijagonan (tj. ima okomite dijagonale), presjek dijagonala dijeli jednu dijagonalu na segmente dužine str 1 i str 2, a drugu dijeli na segmente dužine q 1 i q 2. Tada (prva jednakost je Prijedlog 11 u Arhimedovoj knjizi "Leme")

D 2 = p 1 2 + p 2 2 + q 1 2 + q 2 2 = a 2 + c 2 = b 2 + d 2 (\displaystyle D^(2)=p_(1)^(2)+p_( 2)^(2)+q_(1)^(2)+q_(2)^(2)=a^(2)+c^(2)=b^(2)+d^(2)),

Gdje D -

ili kroz stranice četvorougla

R = 1 2 a 2 + c 2 = 1 2 b 2 + d 2. (\displaystyle R=(\tfrac (1)(2))(\sqrt (a^(2)+c^(2)))=(\tfrac (1)(2))(\sqrt (b^( 2)+d^(2))).)

Iz toga također slijedi

a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 8 R 2 . (\displaystyle a^(2)+b^(2)+c^(2)+d^(2)=8R^(2.)

Dakle, prema Ojlerovoj formuli, radijus se može izraziti dijagonalama str I q i udaljenost x između sredina dijagonala

R = p 2 + q 2 + 4 x 2 8 . (\displaystyle R=(\sqrt (\frac (p^(2)+q^(2)+4x^(2))(8))).)

Formula za područje K upisanog ortodijagonalnog četverokuta može se dobiti direktno kroz stranice kombiniranjem Ptolemejeve teoreme (vidi gore) i formule za površinu ortodijagonalnog četverokuta. Kao rezultat dobijamo

Književnost

• Claudi Alsina, Roger Nelsen. Kada je manje više: vizualizacija osnovnih nejednakosti, Poglavlje 4.3 Ciklični, tangencijalni i bicentrični četverouglovi. - Mathematical Association of America, 2009. - ISBN 978-0-88385-342-9.
• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen. O dijagonalama cikličkog četverokuta // Forum Geometricorum. - 2007. - T. 7.
• Nathan Altshiller-Court. Fakultetska geometrija: Uvod u modernu geometriju trougla i kruga. - 2. - Courier Dover, 2007. - ISBN 978-0-486-45805-2.(org. 1952)
• =Titu Andreescu, Bogdan Enescu. .
• Harold Scott MacDonald Coxeter, Samuel L. Greitzer. Geometry Revisited. 3.2 Ciklični četverouglovi; Brahmaguptina formula - Mathematical Association of America, 1967. - ISBN 978-0-88385-619-2. Prevod G. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer. Novi susreti sa geometrijom. 3.2 Upisani četvorouglovi; Brahmaguptina teorema. - Moskva: “Nauka”, 1978. – (Biblioteka matematičkog kruga).
• Crux Mathematicorum. Nejednakosti predložene u Crux Mathematicorum. - 2007.
• D. Fraivert. Teorija neopisivog četverokuta i kruga koji tvori Pascalove točke // Journal of Mathematical Sciences: Advances and Applications. - 2016. - T. 42. - str. 81–107. - DOI:10.18642/jmsaa_7100121742.
• C. V. Durell, A. Robson. Napredna trigonometrija. - Courier Dover, 2003. - ISBN 978-0-486-43229-8.(original 1930)
• Mowaffaq Hajja. Uvjet da opisivi četverokut bude cikličan // Forum Geometricorum. - 2008. - T. 8.
• Larry Hoehn. Polumjer kruga cikličkog četverokuta // Matematički glasnik. - 2000. - T. 84, br. 499. mart.
• Ross Honsberger. Epizode u Euklidskoj geometriji devetnaestog i dvadesetog veka. - Cambridge University Press, 1995. - T. 37. - (New Mathematical Library). - ISBN 978-0-88385-639-0.
• Roger A. Johnson. Napredna euklidska geometrija. - Dover Publ, 2007.(original 1929)
• Thomas Peter. Maksimiziranje površine četverokuta // The College Mathematics Journal. - 2003. - T. 34, br. 4. septembar.
• Alfred S. Posamentier, Charles T. Salkind. Izazovni problemi u geometriji. - 2. - Courier Dover, 1970. - ISBN 978-0-486-69154-1. Poglavlje: Rješenja: 4-23 Dokažite da je zbir kvadrata mjera odsječaka koje čine dvije okomite tetive jednak kvadratu mjere prečnika date kružnice.

• , Prevod sa ruskog izdanja V.V. Prasolov. Problemi u planimetriji. Tutorial. - 5. - Moskva: MTsNMO OAO "Moskovski udžbenici", 2006. - ISBN 5-94057-214-6

Materijal sa Wikipedije - slobodne enciklopedije

• U euklidskoj geometriji, upisan četvorougao je četverougao čiji vrhovi svi leže na istoj kružnici. Ovaj krug se zove opisan krugčetvorougao, a za vrhove se kaže da leže na istoj kružnici. Središte ove kružnice i njen poluprečnik nazivaju se respektivno centar I radijus opisan krug. Ostali pojmovi za ovaj četvorougao: četvorougao leži na jednoj kružnici, stranice posljednjeg četverokuta su tetive kružnice. Za konveksni četvorougao se obično pretpostavlja da je konveksan četvorougao. Formule i svojstva date u nastavku vrijede u konveksnom slučaju.
• Kažu da ako oko četvorougla se može nacrtati krug, To četvorougao je upisan u ovaj krug, i obrnuto.

Opšti kriterijumi za upisivanje četvorougla

• Oko konveksnog četvorougla $\backslash pi$ radijani), odnosno:

$\backslash ugao\; A+\backslash ugao\; C\; =\; \backslash ugao\; B\; +\; \backslash ugao\; D\; =\; 180^\backslash circ$

ili na slici:

$\backslash alpha\; +\; \backslash gamma\; =\; \backslash beta\; +\; \backslash delta\; =\; \backslash pi\; =\; 180^(\backslash circ).$

• Moguće je opisati kružnicu oko bilo kojeg četverougla u kojoj se četiri okomite simetrale njegovih stranica sijeku u jednoj tački (ili medijatrije njegovih stranica, odnosno okomite na stranice koje prolaze kroz njihove sredine).
• Možete opisati kružnicu oko bilo kojeg četverougla koji ima jedan vanjski ugao u susjedstvu dati unutrašnji ugao, tačno je jednak drugom unutrašnjem kutu nasuprot dati unutrašnji ugao. U suštini, ovaj uslov je uslov antiparalelnosti dve suprotne strane četvorougla. Na sl. Ispod su vanjski i susjedni unutrašnji uglovi zelenog pentagona.

$\backslash displaystyle\; AX\backslash cdot\; XC\; =\; BX\backslash cdot\; XD.$

• Raskrsnica X mogu biti unutrašnji ili eksterni u odnosu na krug. U prvom slučaju dobijamo ciklički četverokut is A B C D, a u potonjem slučaju dobijamo upisani četverougao ABDC. Kada se sijeku unutar kruga, jednakost kaže da je proizvod dužina segmenata u kojima je tačka X dijeli jednu dijagonalu, jednak je proizvodu dužina segmenata u kojima je tačka X dijeli drugu dijagonalu. Ovaj uslov je poznat kao "teorema ukrštanja tetiva". U našem slučaju, dijagonale upisanog četverokuta su tetive kružnice.
• Još jedan kriterijum za uključivanje. Konveksni četverougao A B C D krug je upisan ako i samo ako

$\backslash tan(\backslash frac(\backslash alpha)(2))\backslash tan(\backslash frac(\backslash gamma)(2))=\backslash tan(\backslash frac(\backslash beta)(2))\backslash tan(\backslash frac(\backslash delta)(\; 2))=1.$

Posebni kriteriji za upisivanje četverougla

Jednostavan upisan (bez samopresecanja) četvorougao je konveksan. Krug se može opisati oko konveksnog četverokuta ako i samo ako je zbir njegovih suprotnih uglova jednak 180° ( $\backslash pi$ radijan). Možete opisati krug oko:

• bilo koji antiparalelogram
• bilo koji pravougaonik ( poseban slučaj kvadrat)
• bilo koji jednakokraki trapez
• bilo koji četverougao koji ima dva suprotna prava ugla.

Svojstva

Formule sa dijagonalama

$ef=ac+bd$; $\backslash frac(e)(f)\; =\; \backslash frac(a\backslash cdot\; d+b\backslash cdot\; c)(a\backslash cdot\; b+c\backslash cdot\; d).$

U posljednjoj formuli para susjednih strana brojnika a I d, b I c osloniti svoje krajeve na dijagonalnu dužinu e. Slična izjava vrijedi i za nazivnik.

• Formule za dijagonalne dužine(posledice ):

$e\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac((ac+bd)(ad+bc))(ab+cd))$ I $f\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac((ac+bd)(ab+cd))(ad+bc))$

Formule sa uglovima

Za ciklički četverokut sa nizom stranica a , b , c , d, sa poluperimetrom str i ugao A između stranaka a I d, trigonometrijske funkcije ugla A date su formulama

$\backslash cos\; A\; =\; \backslash frac(a^2\; +\; d^2\; -\; b^2\; -\; c^2)(2(ad\; +\; bc)),$ $\backslash sin\; A\; =\; \backslash frac(2\backslash sqrt((p-a)(p-b)(p-c)(p-d)))((ad+bc)),$ $\backslash tan\; \backslash frac(A)(2)\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac((p-a)(p-d))((p-b)(p-c))).$

Ugao θ između dijagonala nalazi se: str.26

$\backslash tan\; \backslash frac(\backslash theta)(2)\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac((p-b)(p-d))((p-a)(p-c))).$

• Ako su suprotne strane a I c seku pod uglom φ , onda je jednako

$\backslash cos(\backslash frac(\backslash varphi)(2))=\backslash sqrt(\backslash frac((p-b)(p-d)(b+d)^2)((ab+cd)(ad+bc))),$

Gdje str postoji poluperimetar. :p.31

Poluprečnik kružnice opisane oko četvorougla

Parameshvara Formula

Ako je četverougao sa uzastopnim stranicama a , b , c , d i poluperimetar str upisan u krug, tada je njegov polumjer jednak Parameshwarova formula:p. 84

$R=\; \backslash frac(1)(4)\; \backslash sqrt(\backslash frac((ab+cd)(ad+bc)(ac+bd))((p-a)(p-b)(p-c)(p-d))).$

Izveo ga je indijski matematičar Paramešvar u 15. veku (oko 1380-1460)

• Konveksni četvorougao (vidi sliku desno) formiran od četiri podatka Mikelove ravne linije, je upisana u krug ako i samo ako je Mikel tačka Mčetvorougla leži na pravoj koja spaja dve od šest tačaka preseka pravih (one koje nisu vrh četvorougla). To jest, kada M leži na E.F..

Kriterijum da je četvorougao sastavljen od dva trougla upisan u određeni krug

$f^2\; =\; \backslash frac((ac+bd)(ad+bc))((ab+cd)).$

• Poslednji uslov daje izraz za dijagonalu fčetvorougao upisan u krug kroz dužine njegove četiri strane ( a, b, c, d). Ova formula odmah slijedi pri množenju i pri izjednačavanju lijevog i desnog dijela formule koji izražava suštinu Ptolomejeva prva i druga teorema(vidi gore).

Kriterijum da je četvorougao isečen pravom linijom iz trokuta upisan u određeni krug

• Prava linija, antiparalelna sa stranicom trougla i koja ga siječe, odsijeca od njega četverougao oko kojeg se uvijek može opisati kružnica.
• Posljedica. Oko antiparalelograma, u kojem su dvije suprotne strane antiparalelne, uvijek je moguće opisati kružnicu.

Površina četvorougla upisanog u krug

Varijacije Brahmaguptine formule

$S=\backslash sqrt((p-a)(p-b)(p-c)(p-d)),$ gdje je p poluperimetar četverokuta. $S=\; \backslash frac(1)(4)\; \backslash sqrt(-\; \backslash begin(vmatrix)$

a & b & c & -d \\ b & a & -d & c \\ c & -d & a & b \\ -d & c & b & a \end(vmatrix))

Druge formule površine

$S\; =\; \backslash tfrac(1)(2)(ab+cd)\backslash sin(B)$ $S\; =\; \backslash tfrac(1)(2)(ac+bd)\backslash sin(\backslash theta),$

Gdje θ bilo koji od uglova između dijagonala. Pod uslovom da je ugao A nije prava linija, površina se može izraziti i kao :str.26

$S\; =\; \backslash tfrac(1)(4)(a^2-b^2-c^2+d^2)\backslash tan(A).$ $\backslash displaystyle\; S=2R^2\backslash sin(A)\backslash sin(B)\backslash sin(\backslash theta),$

Gdje R je poluprečnik opisane kružnice. Kao direktnu posljedicu imamo nejednakost

$S\backslash le\; 2R^2,$

gdje je jednakost moguća ako i samo ako je ovaj četverokut kvadrat.

Brahmagupta četvorouglovi

Brahmagupta četverokut je četverougao upisan u krug s cijelim dužinama stranica, cijelim dijagonalama i cijelobrojnom površinom. Svi mogući Brahmagupta četvorouglovi sa stranicama a , b , c , d, sa dijagonalama e , f, sa površinom S, i polumjer opisane kružnice R može se dobiti uklanjanjem nazivnika sljedećih izraza koji uključuju racionalne parametre t , u, And v :

$a=$ $b=(1+u^2)(v-t)(1+tv)$ $c=t(1+u^2)(1+v^2)$ $d=(1+v^2)(u-t)(1+tu)$ $e=u(1+t^2)(1+v^2)$ $f=v(1+t^2)(1+u^2)$ $S=uv$ $4R=(1+u^2)(1+v^2)(1+t^2).$

Primjeri

• Konkretni četvorouglovi upisani u krug su: pravougaonik, kvadrat, jednakokraki ili jednakokraki trapez, antiparalelogram.

Četvorouglovi upisani u krug sa okomitim dijagonalama (upisani ortodijagonalni četvorouglovi)

Svojstva četverokuta upisanih u krug sa okomitim dijagonalama

Radijus i površina

Za četverougao upisan u krug sa okomitim dijagonalama, pretpostavimo da presjek dijagonala dijeli jednu dijagonalu na segmente dužine str 1 i str 2, a drugu dijagonalu dijeli na segmente dužine q 1 i q 2. Zatim (Prva jednakost je Arhimedov prijedlog 11.) Book of Lemmas)

$D^2=p\_1^2+p\_2^2+q\_1^2+q\_2^2=a^2+c^2=b^2+d^2,$

Gdje D- prečnik kruga. To je tačno jer su dijagonale okomite na tetivu kružnice. Iz ovih jednačina slijedi da je polumjer opisane kružnice R može se napisati kao

$R=\backslash tfrac(1)(2)\backslash sqrt(p\_1^2+p\_2^2+q\_1^2+q\_2^2)$

ili u smislu stranica četverougla u obliku

$R=\backslash tfrac(1)(2)\backslash sqrt(a^2+c^2)=\backslash tfrac(1)(2)\backslash sqrt(b^2+d^2).$

Iz toga također slijedi

$a^2+b^2+c^2+d^2=8R^2.$

• Za upisane ordijagonalne četverouglove vrijedi Brahmaguptina teorema:

Ako ciklički četverokut ima okomite dijagonale koje se sijeku u tački $M$, zatim dva para antimediatris proći kroz tačku $M$.

Komentar. U ovoj teoremi pod anti-mediatrix razumjeti segment $F.E.$četvorougao na slici desno (po analogiji sa simetralom (medijtricom) okomite na stranu trougla). Ona je okomita na jednu stranu i istovremeno prolazi sredinom suprotne strane četvorougla.

Napišite recenziju o članku "Četvorouglovi upisani u krug"

Bilješke

1. Bradley, Christopher J. (2007), Algebra geometrije: kartezijanske, arealne i projektivne koordinate,Visoka percepcija, str. 179, ISBN 1906338000, OCLC
2. . Upisani četvorouglovi.
3. Siddons, A. W. i Hughes, R. T. (1929.) Trigonometrija, Cambridge University Press, str. 202, O.C.L.C.
4. Durell, C. V. i Robson, A. (2003), , Courier Dover, ISBN 978-0-486-43229-8 ,
5. Alsina, Claudi & Nelsen, Roger B. (2007), "", Forum Geometricorum T. 7: 147–9 ,
6. Džonson, Rodžer A., Napredna euklidska geometrija, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).
7. Hoehn, Larry (mart 2000), "Polumjer kruga cikličkog četverokuta", Mathematical Gazette T. 84 (499): 69–70
8. .
9. Altshiller-Court, Nathan (2007), Fakultetska geometrija: Uvod u modernu geometriju trokuta i kruga(2. izdanje), Courier Dover, str. 131, 137–8, ISBN 978-0-486-45805-2, OCLC
10. Honsberger, Ross (1995), , Epizode u Euklidskoj geometriji devetnaestog i dvadesetog veka, vol. 37, New Mathematical Library, Cambridge University Press, str. 35–39, ISBN 978-0-88385-639-0
11. Weisstein, Eric W.(engleski) na web stranici Wolfram MathWorld.
12. Bradley, Christopher (2011), ,
13. .
14. Coxeter, Harold Scott MacDonald & Greitzer, Samuel L. (1967.), , Geometry Revisited, Mathematical Association of America, pp. 57, 60, ISBN 978-0-88385-619-2
15. .
16. Andreescu, Titu & Enescu, Bogdan (2004), , Blago matematičke olimpijade, Springer, str. 44–46, 50, ISBN 978-0-8176-4305-8
17. .
18. Buchholz, R. H. & MacDougall, J. A. (1999), "", Bilten Australijskog matematičkog društva T. 59 (2): 263–9 , DOI 10.1017/S0004972700032883
19. .
20. Džonson, Rodžer A., Napredna euklidska geometrija, Dover Publ. Co., 2007
21. , With. 74.
22. .
23. .
24. .
25. Peter, Thomas (septembar 2003), "Maksimiziranje površine četverougla", The College Mathematics Journal T. 34 (4): 315–6
26. Prasolov, Viktor, ,
27. Alsina, Claudi & Nelsen, Roger (2009), , , Mathematical Association of America, str. 64, ISBN 978-0-88385-342-9 ,
28. Sastry, K.R.S. (2002). "" (PDF). Forum Geometricorum 2 : 167–173.
29. Posamentier, Alfred S. & Salkind, Charles T. (1970), , Izazovni problemi u geometriji(2. izdanje), Courier Dover, str. 104–5, ISBN 978-0-486-69154-1
30. .
31. .
32. .

vidi takođe

Po broju strana Tačno Trouglovi Četvorouglovi vidi takođe

Članak sadrži kratke (“Harvard”) reference na publikacije koje nisu navedene ili netačno opisane u bibliografskom dijelu. Spisak prekinutih veza: , , , , , , , , , – Pa šta, moj kozače? (Marija Dmitrijevna je Natašu zvala kozakom) - rekla je, milujući rukom Natašu, koja joj je bez straha i veselo prišla ruci. – Znam da je napitak devojčica, ali ja je volim. Izvadila je kruškolike jahon minđuše iz svog ogromnog retikula i, poklonivši ih Nataši, koja je blistala i pocrvenela za rođendan, odmah se okrenula od nje i okrenula se Pjeru. - Eh, eh! ljubazni! „Dođi ovamo“, rekla je lažno tihim i tankim glasom. - Hajde draga moja... I prijeteći je još više zasukala rukave. Pjer je prišao, naivno je gledajući kroz naočare. - Hajde, dođi, draga moja! Ja sam jedini rekao tvom ocu istinu kad je imao priliku, ali ti to Bog zapovijeda. Zastala je. Svi su ćutali, čekajući šta će se desiti, i osećajući da postoji samo predgovor. - Dobro, nema šta da se kaže! dobar dečko!... Otac leži na svom krevetu i zabavlja se, stavljajući policajca na medveda. Sramota, oče, šteta! Bilo bi bolje da idemo u rat. Okrenula se i pružila ruku grofu, koji se jedva suzdržavao da se ne nasmeje. - Pa, dođi za sto, imam čaj, je li vreme? - rekla je Marija Dmitrijevna. Grof je išao naprijed s Marijom Dmitrijevnom; zatim grofica, koju je vodio husarski pukovnik, prava osoba s kojom je Nikolaj trebao sustići puk. Ana Mihajlovna - sa Šinšinom. Berg se rukovao s Verom. Nasmejana Julie Karagina je otišla sa Nikolajem do stola. Iza njih su išli drugi parovi, koji su se protezali po cijeloj dvorani, a iza njih, jedno po jedno, djeca, vaspitači i guvernante. Konobari su počeli da se mešaju, stolice su zveckale, muzika je počela da svira u horu, a gosti su seli na svoja mesta. Zvuke grofovske domaće muzike zamenili su zvuci noževa i viljuški, čavrljanje gostiju i tihi koraci konobara. Na jednom kraju stola grofica je sjedila na čelu. Desno je Marija Dmitrijevna, slijeva Ana Mihajlovna i drugi gosti. Na drugom kraju sjedio je grof, lijevo husarski pukovnik, desno Shinshin i drugi muški gosti. S jedne strane dugačkog stola su stariji mladi ljudi: Vera do Berga, Pjer do Borisa; s druge strane - djeca, vaspitači i guvernante. Iza kristala, flaša i vaza sa voćem, grof je gledao svoju ženu i njenu visoku kapu sa plavim trakama i marljivo točio vino za svoje komšije, ne zaboravljajući sebe. Grofica je, takođe, iza ananasa, ne zaboravljajući svoje obaveze kao domaćice, bacila značajne poglede na svog muža, čija se ćelava glava i lice, kako joj se činilo, po crvenilu oštrije razlikuju od njegove sede kose. Na strani dama čulo se stalno brbljanje; u muškom toaletu sve su se glasnije čuli glasovi, posebno husarskog pukovnika, koji je toliko jeo i pio, sve više crvenio, da ga je grof već stavljao za primjer ostalim gostima. Berg je, uz blagi osmeh, govorio Veri da ljubav nije zemaljsko, već nebesko osećanje. Boris je svog novog prijatelja Pjera nazvao gostima za stolom i razmijenio poglede sa Natašom koja je sjedila preko puta njega. Pjer je malo govorio, gledao nova lica i mnogo jeo. Počevši od dvije čorbe, od kojih je izabrao a la tortue, [kornjaču] i kulebjaki i do tetrijeba, nije propustio nijedno jelo i nijedno vino, koje je batler misteriozno gurnuo u flašu umotanu u salvetu. iza ramena svog komšije, govoreći ili "drey Madeira", ili "mađarski", ili "rajnsko vino". Stavio je prvu od četiri kristalne čaše sa grofovskim monogramom koje su stajale ispred svake sprave, i pio sa zadovoljstvom, gledajući goste sa sve prijatnijim izrazom lica. Nataša je, sedeći preko puta njega, gledala Borisa onako kako trinaestogodišnje devojčice gledaju dečaka sa kojim su se tek prvi put poljubile i u koga su zaljubljene. Taj isti njen pogled ponekad se okretao prema Pjeru, a pod pogledom ove duhovite, živahne devojke i sam je hteo da se nasmeje, ne znajući zašto. Nikolaj je sedeo daleko od Sonje, pored Džulije Karagine, i opet joj se obratio istim nevoljnim osmehom. Sonja se veličanstveno nasmešila, ali očigledno ju je mučila ljubomora: prebledela je, a onda pocrvenela i svom snagom slušala šta Nikolaj i Džuli govore jedno drugom. Guvernanta je nemirno gledala oko sebe, kao da se spremala uzvratiti ako neko odluči da uvrijedi djecu. Njemački učitelj je pokušao zapamtiti sve vrste jela, deserta i vina kako bi sve do detalja opisao u pismu svojoj porodici u Njemačkoj, i bio je veoma uvrijeđen činjenicom da je batler, sa flašom umotanom u salvetu, nosio njega okolo. Nemac se namrštio, pokušavao da pokaže da ne želi da primi ovo vino, ali se uvredio jer niko nije hteo da shvati da mu vino treba ne da bi utažio žeđ, ne iz pohlepe, već iz savesne radoznalosti. Na muškom kraju stola razgovor je postajao sve življi. Pukovnik je rekao da je manifest kojim se objavljuje rat već bio objavljen u Sankt Peterburgu i da je kopija koju je on sam vidio sada kurirskom dostavljena glavnokomandujućem. - A zašto nam je teško boriti se protiv Bonaparte? - rekao je Šinšin. – II a deja rabattu le caquet a l "Autriche. Je crins, que cette fois ce ne soit notre tour. [On je već srušio aroganciju Austrije. Bojim se da sada ne bi došao red na nas.] Pukovnik je bio zdepast, visok i zdravoljubiv Nijemac, očito sluga i patriota. Bio je uvrijeđen Šinšinovim riječima. “A onda, mi smo dobar suveren”, rekao je, izgovarajući e umjesto e i ʺ umjesto ʹ. "Onda da car to zna. On je u svom manifestu rekao da može ravnodušno gledati na opasnosti koje prijete Rusiji i da je sigurnost carstva, njegovo dostojanstvo i svetost njegovih saveza", rekao je iz nekog razloga posebno naglašavajući riječ "sindikati", kao da je to suština stvari. I sa svojim karakterističnim nepogrešivim, službenim pamćenjem, ponovio je uvodne reči manifest... “i želja, jedini i neizostavni cilj suverena: uspostavljanje mira u Evropi na čvrstim temeljima – odlučili su da sada pošalju dio vojske u inostranstvo i ulože nove napore da ostvare “ovu namjeru”. „Zato, mi smo dobar suveren“, zaključio je, poučno ispijajući čašu vina i osvrćući se na grofa za ohrabrenje. – Connaissez vous le proverbe: [Znate poslovicu:] „Erema, Erema, treba da sediš kod kuće, da naoštriš vretena“, rekao je Šinšin, lecnuvši se i smešeći se. – Cela nous convient a merveille. [Ovo nam dobro dođe.] Zašto Suvorov - isjekli su ga, tanjir od couture, [na glavi] i gdje su sada naši Suvorovi? Je vous demande un peu, [pitam te,] - stalno skače sa ruskog na francuski, on je rekao. "Moramo se boriti do posljednje kapi krvi", rekao je pukovnik, udarivši o sto, "i umrijeti za našeg cara, i tada će sve biti u redu." I da se što više svađam (naročito je izvukao glas na riječ „moguće“), što manje“, završio je, opet se okrenuvši ka grofu. "Tako mi sudimo o starim husarima, to je sve." Kako prosuđuješ, mladiću i mladi husaru? - dodao je, okrenuvši se Nikolaju, koji je, čuvši da se radi o ratu, napustio sagovornika i svim očima gledao i svim ušima slušao pukovnika. „Potpuno se slažem s tobom“, odgovorio je Nikolaj sav zajapuren, okrećući tanjir i preuređujući čaše tako odlučnim i očajničkim pogledom, kao da je u ovom trenutku bio izložen velikoj opasnosti, „uveren sam da Rusi moraju da poginu ili pobijediti”, rekao je, osjećajući se na isti način kao i drugi, nakon što je riječ već izrečena, da je previše entuzijastično i pompezno za sadašnju priliku i stoga nezgodno. "C"est bien beau ce que vous venez de dire, [Divno! To što si rekao je divno]", rekla je Džuli, koja je sedela pored njega, uzdišući. Sonja je zadrhtala i pocrvenela do ušiju, iza ušiju i do vrata i ramena, u Dok je Nikolaj govorio, Pjer je slušao pukovnikove govore i klimao glavom sa odobravanjem. „To je lepo“, rekao je. "Pravi husar, mladiću", viknuo je pukovnik i ponovo udario o sto. -Šta galamiš tamo? – bas-glas Marije Dmitrijevne odjednom se začuo preko stola. -Zašto kucaš po stolu? - obrati se husaru, - na koga se uzbuđuješ? dobro, mislite da su Francuzi ispred vas? „Istinu govorim“, reče husar smešeći se. "Sve o ratu", viknuo je grof preko stola. - Uostalom, dolazi moj sin, Marija Dmitrijevna, dolazi moj sin. - I imam četiri sina u vojsci, ali se ne trudim. Sve je Božja volja: umrijet ćeš ležeći na peći, a u borbi će se Bog smilovati“, zvučao je bez ikakvog napora gust glas Marije Dmitrijevne s drugog kraja stola. - Istina je. I razgovor se ponovo fokusirao - dame na njihovom kraju stola, muškarci na njegovom. „Ali nećeš pitati“, rekao je mlađi brat Nataši, „ali nećeš pitati!“ „Pitaću“, odgovorila je Nataša. Lice joj se odjednom zacrveni, izražavajući očajnu i veselu odlučnost. Ustala je pozivajući Pjera, koji je sjedio nasuprot nje, da sluša, i okrenula se majci: - Majko! – začuo se preko stola njen detinjasti, grudi glas. - Šta želiš? – upitala je grofica uplašeno, ali je, vidjevši po ćerkinom licu da se radi o šali, strogo odmahnula rukom, praveći prijeteći i negativan gest glavom. Razgovor je zamro. - Majko! kakva će to torta biti? – Natašin glas je zvučao još odlučnije, bez prekida. Grofica je htjela da se namršti, ali nije mogla. Marija Dmitrijevna je protresla debelim prstom. "Kozak", rekla je prijeteći. Većina gostiju je gledala u starije, ne znajući kako da izvedu ovaj trik. - Evo me! - rekla je grofica. - Majko! kakva će torta biti? - vikala je Nataša sada smelo i hirovito veselo, unapred uverena da će njena šala biti dobro primljena. Sonja i debela Petja su se skrivale od smeha. „Zato sam i pitala“, šapnula je Nataša svom mlađem bratu i Pjeru, koje je ponovo pogledala. „Sladoled, ali ti ga neće dati“, rekla je Marija Dmitrijevna. Nataša je vidjela da se nema čega bojati, pa se stoga nije plašila Marije Dmitrijevne. - Marija Dmitrijevna? kakav sladoled! Ne volim kremu. - Šargarepa. - Ne, koji? Marija Dmitrijevna, koja? – skoro je viknula. - Želim znati! Marija Dmitrijevna i grofica su se smejale, a svi gosti su krenuli za njima. Svi su se smejali ne odgovoru Marije Dmitrijevne, već neshvatljivoj hrabrosti i spretnosti ove devojke, koja je znala i smela da se tako ponaša prema Marji Dmitrijevnoj. Nataša je zaostala tek kada su joj rekli da će biti ananasa. Prije sladoleda poslužen je šampanjac. Muzika je ponovo zasvirala, grof je poljubio groficu, a gosti su ustali i čestitali grofici, zveckajući čašama po stolu sa grofom, decom i jedni s drugima. Ponovo su utrčali konobari, stolice su zveckale, i istim redom, ali sa crvenijim licima, gosti su se vratili u salon i grofov kabinet. Bostonski stolovi su razdvojeni, zabave su sastavljene, a grofovi gosti su se smjestili u dvije dnevne sobe, sobu na razvlačenje i biblioteku. Grof je, razvlačeći svoje karte, jedva odolio navici popodnevnog drijemanja i svemu se smijao. Omladina se, podstaknuta od strane grofice, okupila oko klavikorda i harfe. Džuli je prva, na zahtev svih, odsvirala komad sa varijacijama na harfi i, zajedno sa drugim devojkama, počela da traži od Nataše i Nikolaja, poznatih po muzikalnosti, da nešto otpevaju. Nataša, koju su oslovljavali kao velika devojčica, očigledno je bila veoma ponosna na ovo, ali je istovremeno bila i plašljiva. - Šta ćemo da pevamo? - ona je pitala. „Ključ“, odgovori Nikolaj. - Pa, požurimo. Borise, dođi ovamo”, rekla je Nataša. - Gde je Sonya? Osvrnula se oko sebe i, vidjevši da drugarice nema u sobi, potrčala za njom. Utrčavši u Sonjinu sobu i ne pronašavši tamo svoju prijateljicu, Natasha je otrčala u dječju sobu - a Sonje nije bilo. Nataša je shvatila da je Sonja u hodniku na grudima. Škrinja u hodniku bila je mjesto tuge mlađe ženske generacije kuće Rostov. Zaista, Sonja je u svojoj prozračnoj ružičastoj haljini, zgnječivši je, legla licem prema dole na dadinjin prljavi prugasti perjenik, na prsa i, pokrivši lice prstima, gorko je plakala, tresući golim ramenima. Natašino lice, animirano, sa rođendanom ceo dan, odjednom se promenilo: oči su joj se zaustavile, zatim joj je široki vrat zadrhtao, uglovi usana su joj se spustili. - Sonya! šta si ti?... Šta, šta ti je? Wow wow!… A Nataša je, otvorivši svoja velika usta i postala potpuno glupa, počela da urla kao dijete, ne znajući razlog i samo zato što je Sonja plakala. Sonya je htela da podigne glavu, htela je da odgovori, ali nije mogla i još više se sakrila. Nataša je plakala, sela na plavi krevet od perja i grleći prijateljicu. Sakupivši snagu, Sonja je ustala, počela da briše suze i priča. - Nikolenka odlazi za nedelju dana, izašao njegov... papir... on mi je sam rekao... Da, ja ipak ne bih plakala... (pokazala je papir koji je držala njena ruka: to je bila poezija koju je napisao Nikolaj) Ja i dalje ne bih plakao, ali ti ne možeš... niko ne razume... kakvu on dušu ima. I opet je počela da plače jer mu je duša bila tako dobra. „Osećaš se dobro... ne zavidim ti... volim te, a i Borisa“, rekla je skupljajući malo snage, „sladak je... za tebe nema prepreka“. A Nikolaj je moj rođak... Treba mi... sam mitropolit... a to je nemoguće. A onda, ako mama... (Sonya je smatrala groficu i zvala svoju majku), ona će reći da ja rušim Nikolajevu karijeru, nemam srca, da sam nezahvalan, ali stvarno... za ime Boga... (prekrstila se) I ja je jako volim, a vi svi, samo Vera... Zbog čega? Šta sam joj uradio? Toliko sam ti zahvalan da bih rado sve žrtvovao, ali nemam ništa... Sonya više nije mogla da govori i ponovo je sakrila glavu u ruke i perjanicu. Nataša je počela da se smiruje, ali se na njenom licu videlo da razume važnost tuge svoje prijateljice. - Sonya! - rekla je iznenada, kao da je pogodila pravi razlog tuga rođaka. – Tako je, Vera je razgovarala sa tobom posle ručka? Da? – Da, Nikolaj je sam pisao ove pesme, a ja sam prepisivao druge; Našla ih je na mom stolu i rekla da će ih pokazati mami, a takođe je rekla da sam nezahvalan, da mu mama nikada neće dozvoliti da se oženi sa mnom, a on će oženiti Julie. Vidiš kako je sa njom po ceo dan... Nataša! Za što?… I opet je plakala gorče nego prije. Nataša ju je podigla, zagrlila i, osmehujući se kroz suze, počela da je smiruje. - Sonja, ne veruj joj, draga, ne veruj joj. Da li se sećate kako smo sve troje razgovarale sa Nikolenkom u sobi sa sofama; sećaš se posle večere? Uostalom, mi smo odlučili sve kako će biti. Ne sećam se kako, ali sećate se kako je sve bilo dobro i sve je bilo moguće. Brat od strica Šinšina je oženjen rođakom, a mi smo drugi rođaci. I Boris je rekao da je to vrlo moguće. Znaš, rekao sam mu sve. A on je tako pametan i tako dobar", rekla je Nataša... "Ti, Sonja, ne plači, draga moja, Sonja." - I poljubila ju je, smijući se. - Vera je zla, Bog je blagoslovio! Ali sve će biti u redu, a ona neće reći mami; Nikolenka će to sama reći, a o Džuli nije ni razmišljao. I poljubila ju je u glavu. Sonja je ustala, a mače se oživelo, oči su mu zaiskrile, a on kao da je bio spreman da mahne repom, skoči na svoje mekane šape i ponovo se igra loptom, kako mu je priličilo. - Ti misliš? zar ne? Bogami? – rekla je brzo popravljajući haljinu i kosu. - Zaista, bogami! – odgovorila je Nataša, ispravljajući zalutali pramen grube kose ispod prijateljičine pletenice. I oboje su se smijali. - Pa, idemo da pevamo "Ključ." - Idemo na. „Znaš, ovaj debeli Pjer koji je sedeo preko puta mene je tako smešan!“ – iznenada je rekla Nataša, zastavši. - Baš se zabavljam! I Nataša je otrčala niz hodnik. Sonja, otresajući puh i sakrivajući pesme u njedra, do vrata sa isturenim grudima, laganim, veselim koracima, zajapurenog lica, potrčala je za Natašom hodnikom do sofe. Na zahtjev gostiju, mladi su otpjevali kvartet „Ključ“, koji se svima jako dopao; onda je Nikolaj ponovo otpevao pesmu koju je naučio. U prijatnoj noći, na mesečini, Zamislite sebe srećno da još uvek postoji neko na svetu, Ko misli i na tebe! Dok ona, svojom lepom rukom, Hodajući uz zlatnu harfu, Sa svojom strasnom harmonijom Zove sebi, zove tebe! Još dan-dva i raj će doći... Ali ah! tvoj prijatelj neće preživeti! I još nije otpevao poslednje reči kada su se mladi u sali spremali za ples, a muzičari u horu počeli da udaraju nogama i kašljaju. Pjer je sedeo u dnevnoj sobi, gde je Šinšin, kao sa posetiocem iz inostranstva, s njim započeo politički razgovor koji je Pjeru bio dosadan, kome su se pridružili i drugi. Kada je muzika zasvirala, Nataša je ušla u dnevnu sobu i, idući pravo do Pjera, smejući se i pocrvenela, rekla: - Mama mi je rekla da te pozovem na ples. „Bojim se da ne pobrkam brojke“, rekao je Pjer, „ali ako želiš da mi budeš učitelj...“ I on pruži svoju debelu ruku, spuštajući je nisko, mršavoj devojci. Dok su se parovi smjestili, a muzičari postrojili, Pjer je sjeo sa svojom damicom. Nataša je bila potpuno srećna; plesala je sa velikim, sa nekim ko je došao iz inostranstva. Sjela je ispred svih i razgovarala s njim kao s velikom djevojkom. U ruci je imala lepezu, koju joj je jedna mlada dama dala da drži. I, zauzevši najsvjetovniju pozu (Bog zna gdje i kada je to naučila), ona se, mašući se i osmehujući kroz lepezu, obratila svom gospodinu. - Šta je, šta je? Vidi, vidi”, rekla je stara grofica prolazeći kroz hodnik i pokazujući na Natašu. Nataša je pocrvenela i nasmijala se. - Pa, šta je sa tobom, mama? Pa, kakav lov tražite? Šta je tu iznenađujuće? Usred treće eko-sesije počele su da se pomeraju stolice u dnevnoj sobi, gde su se igrali grof i Marija Dmitrijevna, a večina uvaženi gosti i starci, protežući se nakon dugog sedenja i stavljajući novčanike i torbice u džepove, izašli su kroz vrata sale. Marija Dmitrijevna je išla naprijed s grofom - oboje veselih lica. Grof je s razigranom uljudnošću, poput baleta, pružio svoju zaobljenu ruku Mariji Dmitrijevni. Uspravio se, a lice mu je ozarilo posebno hrabar, lukav osmeh, a čim je otplesala poslednja figura ekozaza, pljesnuo je muzičarima i viknuo horu, obraćajući se prvoj violini: - Semjone! Da li poznajete Danila Kupora? Ovo je grofov omiljeni ples koji je plesao u mladosti. (Danilo Kupor je zapravo bio jedna figura uglova.) „Vidi tatu“, vikala je Nataša celoj sali (potpuno zaboravljajući da pleše sa velikim), savijajući kovrdžavu glavu do kolena i praskavši u svoj zvonki smeh po celoj dvorani. Zaista, svi u sali su sa osmehom radosti gledali veselog starca, koji je pored svoje dostojanstvene dame, Marije Dmitrijevne, koja je bila viša od njega, zaokružila njegove ruke, protresajući ih na vreme, ispravila ramena, izvrnula nogama, lagano udarajući nogama, i sa sve rascvjetanijim osmehom na svom okruglom licu, pripremao je publiku za ono što je trebalo da dođe. Čim su se začuli veseli, prkosni zvuci Danila Kupora, nalik na veselu brbljivu, sva vrata hodnika odjednom su se ispunila muškim licima s jedne strane i ženskim nasmijanim licima sluge s druge, koji su izašli u pogledaj veselog gospodara. - Otac je naš! Orao! – glasno je rekla dadilja sa jednih vrata. Grof je dobro plesao i znao je to, ali njegova dama nije znala i nije htela da dobro igra. Njeno ogromno tijelo stajalo je uspravno sa spuštenim rukama sa moćnim rukama(predala je retikul grofici); plesalo je samo njeno strogo ali lepo lice. Ono što se izražavalo u čitavoj grofovoj okrugloj figuri, kod Marije Dmitrijevne izražavalo se samo u sve više nasmijanom licu i grčećem nosu. Ali ako je grof, postajući sve nezadovoljniji, plijenio publiku iznenađenjem spretnih okreta i laganih skokova svojih mekih nogu, Marija Dmitrijevna, uz najmanju revnost u pomicanju ramena ili zaokruživanju ruku u zavojima i udaranju, nije učinila ništa. manje utisak o zaslugama, što su svi cenili njenu gojaznost i uvek prisutnu ozbiljnost. Ples je postajao sve živahniji. Kolege nisu mogle privući pažnju na sebe ni na minut, a nisu ni pokušale to učiniti. Sve su zauzeli grof i Marija Dmitrijevna. Nataša je povukla rukave i haljine svih prisutnih, koji su već držali pogled na plesačima, i zahtevala da pogledaju tatu. U pauzi plesa, grof je duboko udahnuo, mahnuo i povikao muzičarima da brzo sviraju. Brže, brže i brže, sve brže i brže i brže, grof se odvijao, čas na prstima, čas na štiklama, jureći oko Marije Dmitrijevne i, konačno, okrenuvši svoju damu na njeno mesto, načinio je poslednji korak, podižući meku nogu uvis. iza, savijajući znojavu glavu sa nasmejanim licem i okruglo mašući desna ruka uz gromoglasan aplauz i smeh, posebno od Nataše. Obje plesačice su zastale, teško dahćući i brišući se maramicama od kambrika. “Ovako su plesali u naše vrijeme, ma chere”, rekao je grof. - O da Danila Kupor! - rekla je Marija Dmitrijevna, ispuštajući jako i dugo duh, zasučući rukave. Dok su Rostovovi plesali šesti anglaise u dvorani uz zvuke umornih muzičara koji nisu bili u skladu, a umorni konobari i kuvari pripremali večeru, šesti udarac zadesio je grofa Bezuhija. Doktori su izjavili da nema nade za oporavak; pacijentu je data tiha ispovijed i pričest; Pripremali su se za pomazanje, a u kući je vladala užurbanost i strepnja iščekivanja, uobičajena u takvim trenucima. Ispred kuće, iza kapije, gomilali su se pogrebnici, skrivajući se od kočija koje su se približavale, čekajući bogatu narudžbu za grofovu sahranu. Glavnokomandujući Moskve, koji je neprestano slao ađutante da se raspitaju o grofovom položaju, te večeri je i sam došao da se oprosti od slavnog Katarininog plemića, grofa Bezuhima. Veličanstvena prijemna soba bila je puna. Svi su ustali s poštovanjem kada je glavnokomandujući, koji je bio sam sa pacijentom oko pola sata, izašao odatle, lagano uzvraćajući naklone i pokušavajući što brže da prođe pored pogleda doktora, sveštenstva i rodbine. fiksiran na njega. Knez Vasilij, koji je ovih dana smršavio i preblijedio, ispratio je glavnokomandujućeg i nekoliko puta mu tiho nešto ponovio. Isprativši glavnokomandujućeg, princ Vasilij je sam sjeo na stolicu u hodniku, visoko prekriživši noge, naslonio lakat na koleno i zatvorio oči rukom. Nakon što je tako sedeo neko vreme, ustao je i neobično brzim koracima, gledajući oko sebe uplašenim očima, otišao dugim hodnikom do zadnje polovine kuće, do najstarije princeze. Oni u slabo osvijetljenoj prostoriji razgovarali su neujednačenim šapatom jedni drugima i svaki put utihnuli i, očima punim pitanja i očekivanja, osvrnuli se na vrata koja su vodila u odaje umirućeg i učinila slab zvuk kada je neko izašao iz njega ili ušao u njega. „Ljudska granica“, rekao je starac, duhovnik, gospođi koja je sela pored njega i naivno ga slušala, „granica je postavljena, ali je ne možete preći“. „Pitam se da li je prekasno za pomazivanje?“ - dodajući duhovno zvanje, upitala je gospođa, kao da nema svoje mišljenje o tome.

"krug" Vidjeli smo da se krug može opisati oko bilo kojeg trougla. Odnosno, za svaki trougao postoji krug takav da sva tri vrha trougla "sjede" na njemu. Volim ovo:

Pitanje: da li se isto može reći i za četvorougao? Da li je tačno da će uvek postojati krug na kojem će sva četiri vrha četvorougla „sedeti“?

Ispostavilo se da to NIJE TAČNO! Četvorougao NE MOŽE UVEK biti upisan u krug. Postoji veoma važan uslov:

Na našoj slici:

.

Gledajte, uglovi i leže jedan naspram drugog, što znači da su suprotni. Šta je onda sa uglovima i? Čini se da su i oni suprotnosti? Da li je moguće uzeti uglove i umjesto uglova i?

Naravno da možete! Glavna stvar je da četvorougao ima neka dva suprotna ugla, čiji će zbir biti. Preostala dva ugla će se tada takođe sabrati sami. Ne vjerujem? Hajde da se uverimo. pogledajte:

Neka bude. Sjećate li se koliki je zbir sva četiri ugla bilo kojeg četverougla? Svakako, . To je - uvek! . Ali, → .

Magija upravo tamo!

Zato zapamtite ovo veoma čvrsto:

Ako je četverougao upisan u krug, tada je zbir bilo koja dva njegova suprotna ugla jednak

i obrnuto:

Ako četvorougao ima dva suprotna ugla čiji je zbir jednak, onda je četvorougao cikličan.

Nećemo sve ovo dokazivati ​​ovdje (ako ste zainteresovani, pogledajte sljedeće nivoe teorije). Ali hajde da vidimo čemu vodi ova izuzetna činjenica: da je u upisanom četvorouglu zbir suprotnih uglova jednak.

Na primjer, pada na pamet pitanje: da li je moguće opisati kružnicu oko paralelograma? Pokušajmo prvo s “metodom bockanja”.

Nekako ne ide.

A sada da primijenimo znanje:

Pretpostavimo da smo nekako uspjeli uklopiti krug na paralelogram. Onda svakako mora postojati: , tj.

Sada se prisjetimo svojstava paralelograma:

Svaki paralelogram ima jednake suprotne uglove.

Ispostavilo se da

Šta je sa uglovima i? Pa, ista stvar naravno.

Upisano → →

Paralelogram → →

Neverovatno, zar ne?

Ispada da ako je paralelogram upisan u krug, onda su svi njegovi uglovi jednaki, odnosno pravougaonik!

I u isto vreme - središte kružnice poklapa se sa presjekom dijagonala ovog pravokutnika. Ovo je uključeno kao bonus, da tako kažem.

Pa, to znači da smo otkrili da je paralelogram upisan u krug pravougaonik.

Hajde sada da pričamo o trapezu. Šta se dešava ako je trapez upisan u krug? Ali ispostavilo se da će biti jednakokraki trapez. Zašto?

Neka je trapez upisan u krug. Onda opet, ali zbog paralelizma pravih i.

To znači da imamo: → → jednakokraki trapez.

Čak i lakše nego sa pravougaonikom, zar ne? Ali morate čvrsto zapamtiti - dobro će vam doći:

Ponovo nabrojimo najvažnije glavne izjave tangenta na četvorougao upisan u krug:

1. Četvorokut je upisan u krug ako i samo ako je zbir njegova dva suprotna ugla jednak
2. Paralelogram upisan u krug - svakako pravougaonik a centar kruga se poklapa sa presječnom točkom dijagonala
3. Trapez upisan u krug je jednakostraničan.

Upisani četvorougao. Prosječan nivo

Poznato je da za svaki trougao postoji opisana kružnica (to smo dokazali u temi “Opisani krug”). Šta se može reći o četvorouglu? Ispostavilo se da NE MOŽE SE SVAKI četvorougao upisati u krug, i postoji takva teorema:

Četvorokut je upisan u krug ako i samo ako je zbir njegovih suprotnih uglova jednak.

Na našem crtežu -

Hajde da pokušamo da shvatimo zašto je to tako? Drugim riječima, sada ćemo dokazati ovu teoremu. Ali prije nego što to dokažete, morate razumjeti kako sama izjava funkcionira. Jeste li primijetili riječi “tada i samo tada” u izjavi? Takve riječi znače da su štetni matematičari ugurali dvije izjave u jednu.

Hajde da dešifrujemo:

1. “Onda” znači: Ako je četverougao upisan u krug, tada je zbir bilo koja dva njegova suprotna ugla jednak.
2. “Samo tada” znači: Ako četverougao ima dva suprotna ugla čiji je zbir jednak, onda se takav četverougao može upisati u krug.

Baš kao i Alisa: “Mislim šta kažem” i “Ja kažem ono što mislim.”

Hajde sada da shvatimo zašto su i 1 i 2 tačni?

Prvi 1.

Neka je četverougao upisan u krug. Označimo njegov centar i nacrtajmo poluprečnike i. Šta će se desiti? Sjećate li se da je upisani ugao upola manji od odgovarajućeg centralnog ugla? Ako se sjećate, sada ćemo ga koristiti, a ako ne, pogledajte temu „Krug. Upisani ugao".

Upisano

Upisano

Ali pogledajte: .

Dobijamo da ako je - upisano, onda

Pa, jasno je da se i to zbraja. (takođe moramo uzeti u obzir).

Sada "obrnuto", odnosno 2.

Neka se pokaže da je u četverokutu zbir neka dva suprotna ugla jednak. Recimo neka

Još ne znamo da li možemo da opišemo krug oko njega. Ali sigurno znamo da ćemo zajamčeno moći opisati krug oko trougla. Pa hajde da to uradimo.

Ako tačka ne "sjedne" na krug, onda neizbježno završava ili van ili unutra.

Razmotrimo oba slučaja.

Neka tačka bude prva izvana. Tada segment siječe kružnicu u nekoj tački. Hajde da se povežemo i. Rezultat je upisani (!) četverougao.

O tome već znamo da je zbir njegovih suprotnih uglova jednak, odnosno prema našem uslovu.

Ispada da bi tako trebalo biti.

Ali to nikako ne može biti slučaj jer - je vanjski ugao za i znači .

A unutra? Hajde da radimo slične stvari. Neka tačka bude unutra.

Tada nastavak segmenta siječe kružnicu u tački. Opet - upisan četvorougao, i prema uslovu mora biti zadovoljen, ali - spoljašnji ugao za i znači, odnosno opet to ne može biti to.

Odnosno, tačka ne može biti izvan ili unutar kruga - to znači da je na kružnici!

Cijela teorema je dokazana!

Sada da vidimo kakve dobre posljedice daje ova teorema.

Zaključak 1

Paralelogram upisan u krug može biti samo pravougaonik.

Hajde da shvatimo zašto je to tako. Neka je paralelogram upisan u krug. Onda to treba uraditi.

Ali to znamo iz svojstava paralelograma.

I isto, naravno, u pogledu uglova i.

Dakle, ispada da je pravougaonik - svi uglovi su duž.

Ali, pored toga, postoji još jedna prijatna činjenica: središte kružnice opisane oko pravougaonika poklapa se sa tačkom preseka dijagonala.

Hajde da razumemo zašto. Nadam se da se dobro sjećate da je ugao sastavljen od prečnika prava linija.

prečnik,

Prečnik

što znači da je centar. To je sve.

Zaključak 2

Trapez upisan u kružnicu je jednakokračan.

Neka je trapez upisan u krug. Onda.

I takođe.

Jesmo li o svemu razgovarali? Ne baš. U stvari, postoji još jedan, „tajni“ način prepoznavanja upisanog četvorougla. Ovu metodu nećemo formulisati veoma striktno (ali jasno), već ćemo je dokazati tek na poslednjem nivou teorije.

Ako se u četverokutu može promatrati slika kao ovdje na slici (ovdje uglovi koji "gledaju" na stranu tačaka i jednaki su), onda je takav četverokut upisan.

Ovo je vrlo važan crtež - u problemima ga je često lakše pronaći jednakih uglova, nego zbir uglova i.

Uprkos potpunom nedostatku strogosti u našoj formulaciji, ona je ispravna, štoviše, uvijek je prihvaćena od strane ispitivača Jedinstvenog državnog ispita. Trebalo bi da napišete nešto ovako:

“- upisano” - i sve će biti u redu!

Ne zaboravi ovaj važan znak- zapamtite sliku, a možda će vam na vrijeme zapeti za oko prilikom rješavanja problema.

Upisani četvorougao. Kratak opis i osnovne formule

Ako je četverougao upisan u krug, tada je zbir bilo koja dva njegova suprotna ugla jednak

i obrnuto:

Ako četvorougao ima dva suprotna ugla čiji je zbir jednak, onda je četvorougao cikličan.

Četvorougao je upisan u krug ako i samo ako je zbir njegova dva suprotna ugla jednak.

Paralelogram upisan u krug- svakako pravougaonik, a centar kruga se poklapa sa presjekom dijagonala.

Trapez upisan u kružnicu je jednakokračan.

Trebaće ti

• - četvorougao sa datim parametrima;
• - kompas;
• - vladar;
• - kutomjer;
• - kalkulator;
• - papir.

Instrukcije

Izmjerite sve uglove datog vam četverougla. Nađi zbir suprotnih uglova. Uklopi četverougao u krug moguće je samo ako su sume suprotnih uglova jednake 180°. Dakle, konstruirajte opisano krug Uvijek možete zaobići kvadrat ili trapez.

Draw krug poluprečnika R. Odredi njegovo središte. Označava se kao O. Nađite proizvoljnu tačku na samom krugu i nazovite je bilo kojim slovom. Recimo da će ovo biti tačka A. Vaša dalje radnje jer vam je dat četvorougao. Dijagonale kvadrata su okomite jedna na drugu i poluprečniki su opisane kružnice. Stoga konstruirajte dva prečnika, ugao između kojih je 90°. Tačke njihovog preseka sa krug Povežite ih u seriju ravnim linijama.

Da biste uklopili pravougaonik, morate znati ugao između dijagonala ili dimenzije stranica. U drugom slučaju, ugao se može koristiti pomoću Pitagorine teoreme, sinusa ili kosinusa. Nacrtajte jedan od prečnika. Označite ga, na primjer, tačkama A i C. Od tačke O, koja je ujedno i sredina dijagonale, odvojite ugao između dijagonala. Nacrtajte drugi prečnik kroz centar i novu tačku. Na isti način kao u slučaju kvadrata, spojite u seriju točke presjeka prečnika sa krug Yu.

Da biste konstruirali jednakokraki trapez, pronađite proizvoljnu tačku na kružnici. Od njega konstruirajte tetivu jednaku gornjoj ili donjoj bazi. Pronađite njegovu sredinu i nacrtajte kroz nju i središte kruga promjer okomito na . Odvojite na prečnik visine trapeza. Nacrtajte okomicu kroz ovu tačku u oba smjera dok se ne siječe sa krug Yu. Spojite krajeve u paru.

Koristan savjet

Kada konstruišete upisane poligone u AutoCAD-u, prvo pronađite padajući prozor "Draw" u glavnom meniju, a u njemu - funkciju "Polygon". Broj strana kvadrata se postavlja odmah. Kada se pojavi na ekranu, idite na funkciju "Upisani/opisani poligon". Potrebna formacija će se odmah pojaviti na ekranu.

Da biste konstruisali trapez ili pravougaonik u ovom programu, pronađite koordinate presečne tačke dijagonala. To će također biti centar opisane kružnice.

Trapez je ravna četvorougaona figura čije su dve strane (baze) paralelne, a druge dve (stranice) ne smeju biti paralelne. Ako sva četiri vrha trapeza leže na istoj kružnici, kaže se da je ovaj četverougao upisan u njega. Nije teško izgraditi takvu figuru.

Trebaće ti

• Papir, olovka, kvadrat, kompas.

Instrukcije

Ako ne postoje dodatni zahtjevi za upisani trapez, možete imati stranice bilo koje dužine. Stoga počnite graditi sa proizvoljnim, na primjer, u donjoj lijevoj četvrtini. Označite ga slovom A - ovdje će biti upisano jedan od vrhova krug trapezi.

Nacrtajte horizontalnu liniju koja počinje od A i završava na raskrsnici sa krug yu u donjem desnom uglu. Označite ovaj presek slovom B. Konstruisani segment AB je donja osnova trapeza.

Bilo koji na zgodan način nacrtajte segment paralelan s donjom bazom, iznad centra. Na primjer, ako ga imate na raspolaganju, možete to učiniti ovako: pričvrstite ga na bazu AB i nacrtajte pomoćnu okomitu liniju. Zatim postavite alat na pomoćnu liniju iznad središta kruga i nacrtajte okomite s obje strane, završavajući svaku na raskrižju sa krug Yu. Ove dvije okomice moraju ležati na jednoj i tada čine gornju osnovu trapeza. Označite lijevu krajnju tačku ove baze slovom D, a desnu krajnju tačku slovom C.

Ako nema kvadrata, ali postoji kompas, tada će izgradnja gornje baze biti još lakša. Stavite proizvoljnu tačku na gornju lijevu četvrtinu kruga. Jedini uvjet je da se ne smije nalaziti strogo okomito iznad tačke A, inače će konstruirana figura biti kvadrat. Označite tačku slovom D i na šestari označite rastojanje između tačaka A i D. Zatim postavite šestar u tačku B i označite tačku u gornjoj desnoj četvrtini kruga koja odgovara označenoj udaljenosti. Označite ga slovom C i nacrtajte gornju bazu spajajući tačke D i C.

Nacrtajte stranice upisanog trapeza crtajući segmente AD i BC.

Video na temu

Prema definiciji, opisano krug mora proći kroz sve vrhove uglova datog poligona. U ovom slučaju uopće nije važno o kakvom se poligonu radi - o trokutu, kvadratu, pravokutniku, trapezu ili nečem drugom. Takođe nije bitno da li je poligon pravilan ili nepravilan. Samo treba uzeti u obzir da postoje poligoni oko kojih krug ne može se opisati. Uvijek možete opisati krug oko trougla. Što se tiče četvorougla, onda krug može se opisati oko kvadrata ili pravokutnika ili jednakokračnog trapeza.

Trebaće ti

• Specificirani poligon
• Vladar
• Square
• Olovka
• Kompas
• Protractor
• Tablice sinusa i kosinusa
• Matematički koncepti i formule
• Pitagorina teorema
• Teorema sinusa
• Kosinus teorema
• Znakovi sličnosti trouglova

Instrukcije

Konstruisati poligon sa datim parametrima i da li je moguće opisati oko njega krug. Ako vam je dat četverougao, izračunajte zbir njegovih suprotnih uglova. Svaki od njih treba da bude jednak 180°.

Opisati krug, potrebno je izračunati njegov polumjer. Zapamtite gdje se nalazi središte kruga u različitim poligonima. U trouglu se nalazi u tački preseka svih visina datog trougla. U kvadratu i pravokutnicima - na mjestu presjeka dijagonala, za trapez - u točki presjeka osi simetrije s linijom koja povezuje sredine bočnih strana, a za bilo koji drugi konveksni poligon - u tački raskrsnice okomite simetrale na strane.

Izračunajte prečnik kruga opisanog oko kvadrata i pravougaonika koristeći Pitagorinu teoremu. Biće jednako kvadratni korijen iz zbira kvadrata stranica pravougaonika. Za kvadrat čiji su sve strane jednake, dijagonala je jednaka kvadratnom korijenu dvostrukog kvadrata stranice. Ako prečnik podelite sa 2, dobijate poluprečnik.

Izračunajte radijus opisanog trougla. Pošto su parametri trougla navedeni u uslovima, izračunajte poluprečnik koristeći formulu R = a/(2·sinA), gde je a jedna od stranica trougla, ? - ugao nasuprot njemu. Umjesto ove strane, možete uzeti stranu i ugao nasuprot njoj.

Izračunajte polumjer kružnice opisane oko trapeza. R = a*d*c / 4 v(p*(p-a)*(p-d)*(p-c)) U ovoj formuli, a i b su osnove trapeza poznate iz uslova, h je visina, d je dijagonala, p = 1/ 2*(a+d+c) . Izračunajte vrijednosti koje nedostaju. Visina se može izračunati pomoću teoreme sinusa ili kosinusa; dužine stranica trapeza i uglovi su dati u uslovima. Poznavajući visinu i uzimajući u obzir sličnosti trokuta, izračunajte dijagonalu. Nakon toga, ostaje izračunati radijus koristeći gornju formulu.

Video na temu

Koristan savjet

Da biste izračunali polumjer kružnice opisane oko drugog poligona, izvedite niz dodatnih konstrukcija. Dobijte jednostavnije brojke čije parametre znate.

Zadatak je uklopiti se krug poligončesto može zbuniti odraslu osobu. Njenu odluku treba objasniti školarcu, pa roditelji idu surfati po World Wide Webu u potrazi za rješenjem.

Instrukcije

Draw krug. Postavite iglu kompasa na stranu kruga, ali nemojte mijenjati polumjer. Nacrtajte dva luka koja se ukrštaju krug, okrećući kompas udesno i ulijevo.

Pomjerite iglu kompasa duž kružnice do točke gdje je siječe luk. Ponovo okrenite kompas i nacrtajte još dva luka, prelazeći konturu kruga. Ova procedura ponavljajte dok ne presječete prvu tačku.

Draw krug. Nacrtajte promjer kroz njegovo središte, linija treba biti vodoravna. Konstruirajte okomitu na kroz centar kruga, dobijete okomitu liniju (CB, na primjer).

Podijelite polumjer na pola. Označite ovu tačku na liniji prečnika (označite je A). Build krug sa centrom u tački A i poluprečnikom AC. Prilikom prelaska sa horizontalna linija dobićete još jedan bod (D, na primjer). Kao rezultat, segment CD će biti strana petougla koju treba upisati.

Postavite polukrugove, čiji je radijus jednak CD, duž konture kruga. Dakle, original krugće biti podijeljeno sa pet jednaki dijelovi. Povežite tačke pomoću ravnala. Problem upisivanja pentagona u krug takođe završeno.

Sljedeće je opisano uklapanjem u krug kvadrat. Nacrtajte liniju prečnika. Uzmi kutomjer. Postavite ga na tačku gdje prečnik siječe stranu kružnice. Otvorite kompas na dužinu radijusa.

Nacrtajte dva luka dok se ne ukrste sa krug yu, okrećući kompas u jednom ili drugom smjeru. Pomaknite nogu šestara u suprotnu tačku i nacrtajte još dva luka istim rješenjem. Povežite rezultirajuće tačke.

Kvadrirajte prečnik, podijelite sa dva i uzmite korijen. Kao rezultat, dobit ćete stranu kvadrata u koju će se lako uklopiti krug. Otvorite kompas do ove dužine. Stavi mu iglu krug i nacrtaj luk koji siječe jednu stranu kružnice. Pomaknite nogu kompasa do rezultirajuće tačke. Ponovo nacrtajte luk.

Ponovite postupak i nacrtajte još dvije tačke. Povežite sve četiri tačke. Ovo je lakši način za uklapanje kvadrata krug.

Razmotrite zadatak uklapanja krug. Draw krug. Uzmite proizvoljno tačku na kružnici - to će biti vrh trougla. Od ove tačke, držeći kompas, nacrtajte luk dok se ne ukrsti sa krug Yu. Ovo će biti drugi vrh. Iz njega konstruirajte treći vrh na sličan način. Povežite tačke pomoću ravnala. Rješenje je pronađeno.

Video na temu

Možete jednostavno uklopiti kvadrat u krug pomoću alata za crtanje. Ali ovaj problem se može riješiti čak iu njihovom potpunom odsustvu. Samo trebate zapamtiti neka svojstva kvadrata.

Trebaće ti

• -kompas
• -olovka
• -kvadrat
• -makaze

Instrukcije

Privucite problem. Očigledno, prečnik kruga je dijagonala upisanog u ovo. Zapamtite dobro poznato svojstvo kvadrata: njegove dijagonale su međusobno okomite. Koristite ovaj odnos dijagonala kada konstruišete dati kvadrat.

Nacrtajte prečnik u krug. Od centra, kvadratom nacrtajte drugi prečnik pod uglom od 90 stepeni u odnosu na prvi. Spojite točke presjeka okomitih prečnika s kružnicom i dobijete kvadrat upisan u ovu kružnicu.

Ako je jedini alat za crtanje kompas, nacrtajte krug. Označite proizvoljnu tačku na krugu i nacrtajte promjer kroz nju koristeći ravnu ivicu. Sada trebate koristiti šestar da podijelite pola kruga između krajeva promjera na dva jednaka dijela. Od tačaka preseka prečnika sa krugom napravite dva zareza, zadržavajući otvor šestara nepromenjenim. Nacrtajte drugi prečnik kroz točku preseka ovih zareza i središte kruga. Očigledno će biti okomito na prvu.

Ako nemate alate za crtanje, možete izrezati krug ograničen određenim obimom. Presavijte izrezani oblik tačno na pola. Ponovite operaciju. Morate poravnati krajeve linije preklopa, tada će se zakrivljeni dijelovi poklopiti bez dodatnog napora. Popravite linije pregiba. Sada okrenite krug. Linije pregiba su jasno vidljive. Presavijte segmente kruga između točaka presjeka linija presavijanja sa krugom i odrežite ove segmente. Linije rezanja su stranice željenog kvadrata. Postavite izrezani kvadrat u dati krug, poravnavajući njegovo središte sa točkom presjeka linija pregiba kruga. Čini se da vrhovi kvadrata leže na krugu, što je i bilo potrebno.

Za krug se kaže da je upisan u poligon ako je u potpunosti sadržan u poligonu. Svaka strana opisane figure ima zajedničku tačku sa kružnicom.

Četvorougao je upisan u krug ako svi njegovi vrhovi leže na kružnici. Takav krug je opisan oko četverougla.

Kao što se svaki četvorougao ne može opisati oko kruga, ne može se svaki četvorougao upisati u krug.

Konveksni četvorougao upisan u krug ima svojstvo da njegovi suprotni uglovi zajedno iznose 180°. Dakle, ako je dat četvorougao ABCD, u kojem je ugao A suprotan uglu C, a ugao B suprotan uglu D, onda je ∠A + ∠C = 180° i ∠B + ∠D = 180°.

Općenito, ako jedan par suprotnih uglova četvorougla daje 180°, onda će drugi par sabrati isti iznos. Ovo proizilazi iz činjenice da je u konveksnom četvorouglu zbir uglova uvek jednak 360°. Zauzvrat, ova činjenica proizlazi iz činjenice da je za konveksne poligone zbir uglova određen formulom 180° * (n – 2), gdje je n broj uglova (ili stranica).

Svojstvo cikličkog četverougla možete dokazati na sljedeći način. Neka je četvorougao ABCD upisan u krug O. Moramo dokazati da je ∠B + ∠D = 180°.

Ugao B je upisan u kružnicu. Kao što znate, takav ugao jednak je polovini luka na kojem počiva. U ovom slučaju, ugao B podržava ADC, što znači ∠B = ½◡ADC. (Budući da je luk jednak uglu između poluprečnika koji ga formiraju, možemo napisati da je ∠B = ½∠AOC, čije unutrašnje područje sadrži tačku D.)

Sa druge strane, ugao D četvorougla počiva na luku ABC, odnosno ∠D = ½◡ABC.

Pošto stranice uglova B i D sijeku kružnicu u istim tačkama (A i C), one dijele krug samo na dva luka - ◡ADC i ◡ABC. Pošto puni krug daje 360°, onda je ◡ADC + ◡ABC = 360°.

Tako su dobijene sljedeće jednakosti:

∠B = ½◡ADC
∠D = ½◡ABC
◡ADC + ◡ABC = 360°

Izrazimo zbir uglova:

∠B + ∠D = ½◡ADC + ½◡ABC

Stavimo ½ iz zagrada:

∠B + ∠D = ½(◡ADC + ◡ABC)

Zamijenimo zbir lukova njihovom numeričkom vrijednošću:

∠B + ∠D = ½ * 360° = 180°

Otkrili smo da je zbir suprotnih uglova upisanog četvorougla 180°. To je bilo ono što je trebalo dokazati.

Činjenica da upisani četvorougao ima ovo svojstvo (zbir suprotnih uglova je 180°) ne znači da bilo koji četvorougao čiji je zbir suprotnih uglova 180° može biti upisan u krug. Iako je u stvarnosti to istina. Ova činjenica pozvao test upisanog četvorougla i formulira se na sljedeći način: ako je zbir suprotnih uglova konveksnog četverokuta 180°, tada se oko njega može opisati kružnica (ili upisana u krug).

Test za upisani četvorougao možete dokazati kontradikcijom. Neka je zadan četvorougao ABCD čiji su suprotni uglovi B i D zbir 180°. U ovom slučaju ugao D ne leži na kružnici. Zatim uzmite tačku E na pravoj koja sadrži segment CD tako da leži na kružnici. Rezultat je ciklički četverougao ABCE. Ovaj četvorougao ima suprotne uglove B i E, što znači da njihov zbir iznosi 180°. Ovo proizilazi iz svojstva upisanog četverougla.

Ispada da je ∠B + ∠D = 180° i ∠B + ∠E = 180°. Međutim, ugao D četvorougla ABCD u odnosu na trougao AED je spoljašnji, i stoga više ugla E ovog trougla. Dakle, došli smo do kontradikcije. To znači da ako zbir suprotnih uglova četvorougla iznosi 180°, on se uvek može upisati u krug.