Kako uzeti korijen od 15. Uzimanje kvadratnog korijena brojeva

Šta je kvadratni korijen?

Pažnja!
Postoje dodatni
materijali u Posebnom dijelu 555.
Za one koji su veoma "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Ovaj koncept je vrlo jednostavan. Prirodno, rekao bih. Matematičari pokušavaju pronaći reakciju za svaku akciju. Postoji sabiranje - postoji i oduzimanje. Postoji množenje - postoji i dijeljenje. Postoji kvadratura... Tako da postoji i ekstrakcija kvadratni korijen! To je sve. Ova akcija ( kvadratni korijen) u matematici je označeno ovom ikonicom:

Sama ikona se zove prelepa reč "radikalan".

Kako izvaditi korijen? Bolje je pogledati primjeri.

Koliki je kvadratni korijen od 9? Koji broj na kvadrat će nam dati 9? 3 na kvadrat nam daje 9! oni:

Ali koliko je kvadratni korijen od nule? Nema problema! Koji broj na kvadrat čini nula? Da, daje nulu! znači:

shvaćam, šta je kvadratni korijen? Onda razmatramo primjeri:

Odgovori (u neredu): 6; 1; 4; 9; 5.

Odlučili? Zaista, koliko je to lakše?!

Ali... Šta čovek radi kada vidi neki zadatak sa korenima?

Čovek počinje da se oseća tužno... Ne veruje u jednostavnost i lakoću svojih korena. Iako se čini da zna šta je kvadratni korijen...

To je zato što je osoba zanemarila nekoliko važnih tačaka prilikom proučavanja korijena. Onda se ovi modri okrutno osvećuju na testovima i ispitima...

Tačka jedan. Morate prepoznati korijene iz vida!

Koliki je kvadratni korijen od 49? Sedam? Tačno! Kako ste znali da je sedam? Na kvadrat sedam i dobijete 49? Tačno! Imajte na umu da izvadite koren od 49 morali smo da uradimo obrnutu operaciju - kvadrat 7! I pobrinite se da ne promašimo. Ili su mogli promašiti...

Ovo je poteškoća vađenje korena. Square bilo koji broj bez posebne probleme. Pomnožite broj sam po sebi sa kolonom - to je sve. Ali za vađenje korena Ne postoji tako jednostavna i sigurna tehnologija. Moramo pokupiti odgovorite i provjerite da li je tačno tako što ćete ga kvadrirati.

Ovaj složeni kreativni proces - odabir odgovora - je uvelike pojednostavljen ako ste zapamti kvadrati popularnih brojeva. Kao tablica množenja. Ako, recimo, treba da pomnožite 4 sa 6, ne dodajete četiri 6 puta, zar ne? Odmah dolazi do odgovora 24. Mada, ne shvataju svi, da...

Besplatno i uspješan rad sa korijenima dovoljno je znati kvadrate brojeva od 1 do 20. Štaviše tamo I nazad. One. trebali biste biti u mogućnosti lako recitirati i, recimo, 11 na kvadrat i kvadratni korijen od 121. Da biste postigli ovo pamćenje, postoje dva načina. Prvi je naučiti tablicu kvadrata. Ovo će biti od velike pomoći u rješavanju primjera. Drugi je riješiti više primjera. Ovo će vam uvelike pomoći da zapamtite tablicu kvadrata.

I bez kalkulatora! Samo za potrebe testiranja. U suprotnom ćete nemilosrdno usporavati tokom ispita...

dakle, šta je kvadratni korijen I kako ekstrahovati korenje- Mislim da je jasno. Sada hajde da saznamo IZ ČEGA ih možemo izdvojiti.

Tačka dva. Root, ne poznajem te!

Iz kojih brojeva možete uzeti kvadratni korijen? Da, skoro svaki od njih. Lakše je shvatiti od čega je zabranjeno je izvuci ih.

Pokušajmo izračunati ovaj korijen:

Da bismo to učinili, moramo odabrati broj koji će nam na kvadrat dati -4. Mi biramo.

Šta, ne odgovara? 2 2 daje +4. (-2) 2 opet daje +4! To je to... Ne postoje brojevi koji će nam, kada se kvadriraju, dati negativan broj! Iako znam ove brojke. Ali neću vam reći). Idi na koledž i sam ćeš saznati.

Ista priča će se dogoditi sa bilo kojim negativnim brojem. Otuda zaključak:

Izraz u kojem se ispod predznaka kvadratnog korijena nalazi negativan broj - nema smisla! Ovo je zabranjena operacija. Zabranjeno je kao dijeljenje sa nulom. Zapamtite ovu činjenicu čvrsto! Ili drugim riječima:

Kvadratni korijeni od negativni brojevi ne može se ukloniti!

Ali od svih ostalih, moguće je. Na primjer, sasvim je moguće izračunati

Na prvi pogled, ovo je veoma teško. Odabir razlomaka i kvadriranje... Ne brini. Kada shvatimo svojstva korijena, takvi primjeri će se svesti na istu tablicu kvadrata. Život će postati lakši!

U redu, razlomci. Ali i dalje nailazimo na izraze poput:

Uredu je. Sve isto. Kvadratni korijen od dva je broj koji nam, kada se kvadrira, daje dva. Samo je ovaj broj potpuno neparan... Evo ga:

Ono što je zanimljivo je da se ovaj razlomak nikada ne završava... Takvi brojevi se nazivaju iracionalnim. U kvadratnim korijenima ovo je najčešća stvar. Usput, zato se i zovu izrazi s korijenima iracionalno. Jasno je da je pisati tako beskonačan razlomak sve vrijeme nezgodno. Stoga, umjesto beskonačnog razlomka, ostavljaju ga ovako:

Ako, prilikom rješavanja primjera, završite s nečim što se ne može izdvojiti, na primjer:

onda to ostavljamo tako. Ovo će biti odgovor.

Morate jasno razumjeti šta znače ikone

Naravno, ako se uzme korijen broja glatko, morate ovo uraditi. Odgovor na zadatak je u formi, na primjer

Sasvim potpun odgovor.

I, naravno, morate znati približne vrijednosti iz memorije:

Ovo znanje uvelike pomaže u procjeni situacije u složenim zadacima.

Tačka tri. Najlukaviji.

Glavna zbrka u radu s korijenima je uzrokovana ovom točkom. On je taj koji daje poverenje u sopstvene sposobnosti... Hajde da se pozabavimo ovom tačkom kako treba!

Prvo, uzmimo kvadratni korijen od četiri od njih ponovo. Jesam li vas već zamarao ovim korijenom?) Nema veze, sad će biti zanimljivo!

Koji broj kvadrira 4? Pa dva, dva - čujem nezadovoljne odgovore...

U redu. Dva. Ali takođe minus dvaće dati 4 na kvadrat... U međuvremenu, odgovor

tacno i odgovor

gruba greška. Volim ovo.

U čemu je stvar?

Zaista, (-2) 2 = 4. I pod definicijom kvadratnog korijena od četiri minus dva sasvim prikladno... Ovo je također kvadratni korijen od četiri.

Ali! IN školski kurs Matematičari obično uzimaju u obzir kvadratne korijene samo nenegativni brojevi! To jest, nula i svi su pozitivni. Čak je izmišljen i poseban termin: od broja A- Ovo nenegativan broj čiji je kvadrat A. Negativni rezultati prilikom vađenja aritmetičkog kvadratnog korijena jednostavno se odbacuju. U školi je sve kvadratni korijen - aritmetika. Iako se to posebno ne spominje.

U redu, to je razumljivo. Još bolje je ne zamarati se negativnim rezultatima... Ovo još nije zabuna.

Zabuna počinje pri rješavanju kvadratnih jednadžbi. Na primjer, trebate riješiti sljedeću jednačinu.

Jednačina je jednostavna, pišemo odgovor (kako se uči):

Ovaj odgovor (usput rečeno apsolutno tačan) je samo skraćena verzija dva odgovori:

Stani, stani! Malo iznad sam napisao da je kvadratni korijen broj Uvijek nenegativan! A evo jednog od odgovora - negativan! Poremećaj. Ovo je prvi (ali ne i posljednji) problem koji izaziva nepovjerenje u korijene... Hajde da riješimo ovaj problem. Zapišimo odgovore (samo radi razumijevanja!) ovako:

Zagrade ne mijenjaju suštinu odgovora. Samo sam ga odvojio zagradama znakovi od root. Sada možete jasno vidjeti da je sam korijen (u zagradama) još uvijek nenegativan broj! A znakovi su rezultat rješavanja jednadžbe. Na kraju krajeva, prilikom rješavanja bilo koje jednačine moramo pisati Sve Xs koji će, kada se zamijene u originalnu jednadžbu, dati ispravan rezultat. Koren od pet (pozitivan!) i sa plusom i sa minusom uklapa se u našu jednačinu.

Volim ovo. Ako ti samo uzmi kvadratni korijen od bilo čega, tebe Uvijek dobijaš jedan nenegativan rezultat. Na primjer:

Jer - aritmetički kvadratni korijen.

Ali ako nešto odlučiš kvadratna jednačina, tip:

To Uvijek ispostavilo se dva odgovor (sa plusom i minusom):

Jer ovo je rješenje jednadžbe.

nada, šta je kvadratni korijen Poente su vam jasne. Sada ostaje da saznamo šta se može učiniti s korijenima, koja su njihova svojstva. A koji su poeni i zamke... pardon, kamenje!)

Sve ovo je u narednim lekcijama.

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)

Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

Izračunavanje (ili izdvajanje) kvadratnog korijena može se obaviti na nekoliko načina, ali svi nisu baš jednostavni. Lakše je, naravno, koristiti kalkulator. Ali ako to nije moguće (ili želite razumjeti suštinu kvadratnog korijena), mogu vam savjetovati da idete na sljedeći način, njegov algoritam je sljedeći:

Ako nemate snage, želje ili strpljenja za tako dugačke proračune, možete pribjeći grubom odabiru, njegova prednost je što je nevjerovatno brz i, uz odgovarajuću domišljatost, precizan. primjer:

Kad sam bio u školi (početke 60-ih), učili su nas da uzimamo kvadratni korijen bilo kojeg broja. Tehnika je jednostavna, spolja slična dugoj podjeli, ali za njeno predstavljanje ovdje će biti potrebno pola sata vremena i 4-5 hiljada znakova teksta. Ali zašto ti ovo treba? Imate telefon ili neki drugi gedžet, nm ima kalkulator. Na svakom računaru postoji kalkulator. Lično, više volim da ove vrste proračuna radim u Excelu.

Često u školi morate pronaći kvadratne korijene različiti brojevi. Ali ako smo navikli stalno koristiti kalkulator za to, onda na ispitima to neće biti moguće, pa moramo naučiti tražiti korijen bez pomoći kalkulatora. A to je, u principu, moguće učiniti.

Algoritam je sljedeći:

Prvo pogledajte zadnju cifru svog broja:

Na primjer,

Sada moramo približno odrediti vrijednost za korijen krajnje lijeve grupe

U slučaju kada broj ima više od dvije grupe, tada morate pronaći korijen ovako:

Ali sljedeći broj bi trebao biti najveći, morate ga odabrati ovako:

Sada treba da formiramo novi broj A dodavanjem sledeće grupe ostatku koji je gore dobijen.

U našim primjerima:

Kolona je viša, a kada je potrebno više od petnaest karaktera, tada najčešće miruju računari i telefoni sa kalkulatorima. Ostaje provjeriti hoće li opis tehnike trajati 4-5 hiljada znakova.

Berm bilo koji broj, od decimalnog zareza brojimo parove cifara desno i lijevo

Na primjer, 1234567890.098765432100

Par cifara je kao dvocifreni broj. Korijen dvocifrene vrijednosti je jednocifren. Odabiremo jednu cifru čiji je kvadrat manji od prvog para cifara. U našem slučaju to je 3.

Kao i kod dijeljenja kolonom, ovaj kvadrat ispisujemo ispod prvog para i oduzimamo ga od prvog para. Rezultat je podvučen. 12 - 9 = 3. Dodajte drugi par brojeva ovoj razlici (bit će 334). Lijevo od broja berma, dvostruka vrijednost tog dijela rezultata koji je već pronađen dopunjena je brojem (imamo 2 * 6 = 6), tako da kada se pomnoži sa nedobijenim brojem, dobije se ne prelazi broj sa drugim parom cifara. Dobijamo da je pronađena cifra pet. Ponovo pronađemo razliku (9), dodamo sljedeći par cifara da dobijemo 956, ponovo ispišemo udvostručeni dio rezultata (70), ponovo ga dopunimo željenom cifrom, i tako sve dok se ne zaustavi. Ili na potrebnu tačnost proračuna.

Prvo, da biste izračunali kvadratni korijen, morate dobro poznavati tablicu množenja. Najjednostavniji primjeri su 25 (5 sa 5 = 25) i tako dalje. Ako uzmete složenije brojeve, možete koristiti ovu tablicu, gdje je horizontalna linija jedinice, a vertikalna desetice.

Jedi dobar način kako pronaći korijen broja bez pomoći kalkulatora. Da biste to učinili, trebat će vam ravnalo i kompas. Poenta je da na lenjiru pronađete vrijednost koja je ispod vašeg korijena. Na primjer, stavite oznaku pored 9. Vaš zadatak je da ovaj broj podijelite na jednak broj segmenata, odnosno na dva reda od po 4,5 cm i na paran segment. Lako je pretpostaviti da ćete na kraju dobiti 3 segmenta od po 3 centimetra.

Metoda nije laka veliki brojevi neće raditi, ali se može izračunati bez kalkulatora.

bez pomoći kalkulatora učila se metoda vađenja kvadratnog korijena Sovjetska vremena u školi u 8.razredu.

Da biste to uradili, morate prekinuti višecifreni broj s desna na lijevo na rubu se nalaze 2 cifre :

Prva znamenka korijena je cijeli korijen lijeve strane, in u ovom slučaju, 5.

Oduzmemo 5 na kvadrat od 31, 31-25 = 6 i dodamo sljedeću stranu šestici, imamo 678.

Sljedeća znamenka x odgovara dvostrukoj petici tako da

10x*x je bio maksimum, ali manje od 678.

x=6, budući da je 106*6 = 636,

Sada izračunamo 678 - 636 = 42 i dodamo sljedeću ivicu 92, imamo 4292.

Opet tražimo maksimum x takav da je 112x*x lt; 4292.

Odgovor: korijen je 563

Na ovaj način možete nastaviti koliko god je potrebno.

U nekim slučajevima možete pokušati rastaviti radikalni broj na dva ili više kvadratnih faktora.

Također je korisno zapamtiti tablicu (ili barem neki njen dio) - kvadrate prirodnih brojeva od 10 do 99.

Predlažem verziju koju sam izmislio za vađenje kvadratnog korijena stupca. Razlikuje se od općepoznatog, s izuzetkom odabira brojeva. Ali kako sam kasnije saznao, ovu metodu već postojao mnogo godina pre mog rođenja. Veliki Isak Njutn to je opisao u svojoj knjizi Opšta aritmetika ili knjizi o aritmetičkoj sintezi i analizi. Stoga ovdje predstavljam svoju viziju i obrazloženje za algoritam Newtonove metode. Nema potrebe za pamćenjem algoritma. Možete jednostavno koristiti dijagram na slici kao vizualnu pomoć ako je potrebno.

Uz pomoć tablica ne možete izračunati, već pronaći kvadratne korijene brojeva koji se nalaze u tablicama. Najlakši način za izračunavanje ne samo kvadratnih korijena, već i drugih stupnjeva je metodom uzastopnih aproksimacija. Na primjer, izračunamo kvadratni korijen od 10739, zamijenimo posljednje tri cifre nulama i izvučemo korijen od 10000, dobijemo 100 sa nedostatkom, pa uzmemo broj 102, kvadriramo, dobijemo 10404, što je također manje od zadatog, uzimamo 103*103=10609 opet sa nedostatkom, uzimamo 103.5*103.5=10712.25, uzimamo još više 103.6*103.6=10732, uzimamo 103.7*103.7=10753, što je već višak.69. Možete uzeti korijen od 10739 da bude približno jednak 103,6. Tačnije 10739=103.629... . . Slično izračunavamo kubni korijen, prvo od 10000 dobijemo otprilike 25*25*25=15625, što je višak, uzimamo 22*22*22=10.648, uzimamo nešto više od 22.06*22.06*22.06=10735 , što je veoma blisko datom.

Po mogućnosti inženjerski - onaj koji ima dugme sa osnovnim znakom: “√”. Obično, da biste izdvojili korijen, dovoljno je upisati sam broj, a zatim pritisnuti dugme: “√”.

U najmodernijim mobilni telefoni Postoji aplikacija "kalkulator" sa funkcijom ekstrakcije korijena. Procedura za pronalaženje korijena broja pomoću telefonskog kalkulatora je slična gore navedenoj.
Primjer.
Pronađite od 2.
Uključite kalkulator (ako je isključen) i uzastopno pritisnite dugmad sa slikom dva i korijena (“2” “√”). U pravilu, ne morate pritisnuti tipku “=”. Kao rezultat, dobijamo broj poput 1.4142 (broj cifara i „zaokruženost“ zavisi od dubine bita i podešavanja kalkulatora).
Napomena: Kada pokušavate pronaći korijen, kalkulator obično daje grešku.

Ako imate pristup računaru, pronalaženje korijena broja je vrlo lako.
1. Možete koristiti aplikaciju Kalkulator, dostupnu na skoro svakom računaru. Za Windows XP, ovaj program se može pokrenuti na sljedeći način:
“Start” - “Svi programi” - “Dodatna oprema” - “Kalkulator”.
Bolje je postaviti prikaz na “normalan”. Inače, za razliku od pravog kalkulatora, dugme za vađenje korena ima oznaku „sqrt“, a ne „√“.

Ako ne možete doći do kalkulatora pomoću naznačene metode, možete pokrenuti standardni kalkulator "ručno":
“Start” - “Run” - “calc”.
2. Da biste pronašli korijen broja, možete koristiti i neke programe instalirane na vašem računaru. Osim toga, program ima svoj ugrađeni kalkulator.

Na primjer, za aplikaciju MS Excel možete izvršiti sljedeći niz radnji:
Pokrenite MS Excel.

U bilo koju ćeliju zapisujemo broj iz kojeg trebamo izdvojiti korijen.

Premjestite pokazivač ćelije na drugu lokaciju

Pritisnite dugme za odabir funkcije (fx)

Odaberite funkciju “ROOT”.

Navodimo ćeliju s brojem kao argument funkciji

Kliknite “OK” ili “Enter”
Prednost ovu metodu je da je sada dovoljno unijeti bilo koju vrijednost u ćeliju s brojem, kao u funkciji, .
Bilješka.
Postoji nekoliko drugih, egzotičnijih načina za pronalaženje korijena broja. Na primjer, u "ćošku", koristeći klizač ili Bradisove tablice. Međutim, ove metode nisu obrađene u ovom članku zbog njihove složenosti i praktične beskorisnosti.

Video na temu

Izvori:

kako pronaći korijen broja

Ponekad se javljaju situacije kada morate izvesti neku vrstu matematičkih proračuna, uključujući vađenje kvadratnog korijena i većeg korijena broja. Koren "n" od "a" je broj n-ti stepenšto je broj "a".

Instrukcije

Da biste pronašli korijen "n" od , uradite sljedeće.

Na računaru kliknite na "Start" - "Svi programi" - "Dodatna oprema". Zatim idite na pododjeljak "Usluga" i odaberite "Kalkulator". Ovo možete učiniti ručno: Kliknite na Start, ukucajte "calk" u polje Run i pritisnite Enter. Otvoriće se. Da biste izvukli kvadratni korijen iz broja, unesite ga u kalkulator i pritisnite dugme s oznakom "sqrt". Kalkulator će izdvojiti korijen drugog stepena, koji se zove kvadratni korijen, iz unesenog broja.

Da biste izvukli korijen čiji je stepen veći od drugog, trebate koristiti drugu vrstu kalkulatora. Da biste to uradili, u interfejsu kalkulatora kliknite na dugme „Prikaz” i izaberite liniju „Inženjering” ili „Naučno” iz menija. Ovaj tip kalkulatora ima neophodno za izračunavanje n-ti korijen stepen funkcije.

Da biste izdvojili korijen trećeg stepena (), na "inženjerskom" kalkulatoru unesite željeni broj i pritisnite dugme "3√". Da biste dobili koren čiji je stepen veći od 3, unesite željeni broj, pritisnite dugme sa ikonicom “y√x” i zatim unesite broj – eksponent. Nakon toga pritisnite znak jednakosti (dugme “=”) i dobit ćete željeni korijen.

Ako vaš kalkulator nema funkciju "y√x", slijedite sljedeće.

Da biste izdvojili korijen kocke, unesite radikalni izraz, a zatim stavite kvačicu u potvrdni okvir koji se nalazi pored natpisa „Inv“. Ovom akcijom ćete obrnuti funkcije dugmadi kalkulatora, tj. klikom na dugme kocke izvući ćete korijen kocke. Na dugme koje ste

Prilikom rješavanja različitih zadataka iz predmeta matematike i fizike, učenici i studenti se često susreću sa potrebom izvlačenja korijena drugog, trećeg ili n-tog stepena. Naravno, u veku informacione tehnologije Neće biti teško riješiti ovaj problem pomoću kalkulatora. Međutim, nastaju situacije kada je nemoguće koristiti elektronskog pomoćnika.

Na primjer, mnogi ispiti vam ne dozvoljavaju da ponesete elektroniku. Osim toga, možda nećete imati kalkulator pri ruci. U takvim slučajevima, korisno je znati barem neke metode za ručno izračunavanje radikala.

Jedan od najjednostavnijih načina za izračunavanje korijena je da koristeći posebnu tabelu. Šta je to i kako ga pravilno koristiti?

Koristeći tablicu, možete pronaći kvadrat bilo kojeg broja od 10 do 99. Redovi tablice sadrže vrijednosti desetica, a stupci sadrže vrijednosti jedinica. Ćelija na raskrsnici reda i kolone sadrži kvadrat dvocifrenog broja. Da biste izračunali kvadrat od 63, potrebno je pronaći red vrijednosti 6 i stupac vrijednosti 3. Na raskrsnici ćemo pronaći ćeliju sa brojem 3969.

Budući da je vađenje korijena inverzna operacija kvadriranja, da biste izvršili ovu radnju morate učiniti suprotno: prvo pronaći ćeliju s brojem čiji radikal želite izračunati, a zatim upotrijebite vrijednosti stupca i retka da odredite odgovor . Kao primjer, razmotrite izračunavanje kvadratnog korijena od 169.

U tabeli nalazimo ćeliju sa ovim brojem, horizontalno određujemo desetice - 1, vertikalno nalazimo jedinice - 3. Odgovor: √169 = 13.

Slično, možete izračunati kocke i n-te korijene koristeći odgovarajuće tablice.

Prednost metode je njena jednostavnost i odsustvo dodatnih proračuna. Nedostaci su očigledni: metoda se može koristiti samo za ograničen raspon brojeva (broj za koji se nalazi korijen mora biti u rasponu od 100 do 9801). Osim toga, neće raditi ako dati broj nije u tabeli.

Prime faktorizacija

Ako tablica kvadrata nije pri ruci ili se ispostavilo da je nemoguće pronaći korijen uz njegovu pomoć, možete pokušati rastavite broj ispod korijena u proste faktore. Primarni faktori su oni koji mogu biti potpuno (bez ostatka) djeljivi samo sa sobom ili s jednim. Primjeri mogu biti 2, 3, 5, 7, 11, 13, itd.

Pogledajmo izračunavanje korijena koristeći √576 kao primjer. Hajde da to podelimo na osnovne faktore. Dobijamo sljedeći rezultat: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². Koristeći osnovno svojstvo korijena √a² = a, riješit ćemo se korijena i kvadrata, a zatim izračunati odgovor: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24.

Šta učiniti ako bilo koji od množitelja nema svoj par? Na primjer, razmotrite izračun √54. Nakon faktorizacije, dobijamo rezultat u sljedećem obliku: √54 = √(2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. Dio koji se ne može ukloniti može se ostaviti ispod korijena. Za većinu zadataka iz geometrije i algebre, ovaj odgovor će se računati kao konačni odgovor. Ali ako postoji potreba za izračunavanjem približnih vrijednosti, možete koristiti metode o kojima će biti riječi u nastavku.

Heronova metoda

Šta učiniti kada trebate barem približno znati čemu je izvučeni korijen jednak (ako je nemoguće dobiti cjelobrojnu vrijednost)? Brz i prilično precizan rezultat postiže se korištenjem Heron metode. Njegova suština je korištenje približne formule:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

gdje je R broj čiji korijen treba izračunati, a je najbliži broj čija je vrijednost korijena poznata.

Pogledajmo kako metoda funkcionira u praksi i procijenimo koliko je tačna. Izračunajmo koliko je √111 jednako. Broj najbliži 111, čiji je korijen poznat, je 121. Dakle, R = 111, a = 121. Zamijenite vrijednosti u formulu:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

Sada provjerimo tačnost metode:

10,55² = 111,3025.

Greška metode je bila približno 0,3. Ako je potrebno poboljšati preciznost metode, možete ponoviti prethodno opisane korake:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Provjerimo tačnost proračuna:

10,536² = 111,0073.

Nakon ponovne primjene formule, greška je postala potpuno beznačajna.

Izračunavanje korijena dugim dijeljenjem

Ova metoda pronalaženja vrijednosti kvadratnog korijena je malo složenija od prethodnih. Međutim, on je najprecizniji među ostalim metodama proračuna bez kalkulatora.

Recimo da trebate pronaći kvadratni korijen s točnošću od 4 decimale. Analizirajmo algoritam proračuna na primjeru proizvoljnog broja 1308.1912.

Podijelite list papira na 2 dijela okomitom linijom, a zatim povucite još jednu liniju od njega udesno, malo ispod gornje ivice. Napišimo broj na lijevoj strani, dijeleći ga u grupe od 2 cifre, pomičući se udesno i lijeva strana od zareza. Prva cifra na lijevoj strani može biti bez para. Ako znak nedostaje na desnoj strani broja, onda treba dodati 0. U našem slučaju, rezultat će biti 13 08,19 12.
Hajde da izaberemo najbolje veliki broj, čiji će kvadrat biti manji ili jednak prvoj grupi znamenki. U našem slučaju to je 3. Napišimo to gore desno; 3 je prva znamenka rezultata. U donjem desnom uglu označavamo 3×3 = 9; ovo će biti potrebno za naknadne proračune. Od 13 u koloni oduzimamo 9, dobijamo ostatak od 4.
Dodijelimo sljedeći par brojeva ostatku 4; dobijamo 408.
Pomnožite broj u gornjem desnom uglu sa 2 i zapišite ga u donjem desnom uglu, dodajući mu _ x _ =. Dobijamo 6_ x _ =.
Umjesto crtica, trebate zamijeniti isti broj, manji ili jednak 408. Dobijamo 66 × 6 = 396. Pišemo 6 odozgo desno, jer je ovo druga znamenka rezultata. Oduzmite 396 od 408, dobijamo 12.
Ponovimo korake 3-6. S obzirom da su cifre pomjerene naniže u razlomku broja, potrebno je staviti decimalni zarez u gornjem desnom uglu nakon 6. Zapišimo dvostruki rezultat crticama: 72_ x _ =. Pogodan broj bi bio 1: 721×1 = 721. Zapišimo ga kao odgovor. Oduzmimo 1219 - 721 = 498.
Izvršimo niz radnji dat u prethodnom pasusu još tri puta da dobijemo potreban broj decimalnih mjesta. Ako nema dovoljno znakova za daljnja izračunavanja, potrebno je dodati dvije nule trenutnom broju na lijevoj strani.

Kao rezultat, dobijamo odgovor: √1308.1912 ≈ 36.1689. Ako provjerite radnju pomoću kalkulatora, možete se uvjeriti da su svi znakovi ispravno identificirani.

Izračun kvadratnog korijena po bitu

Metoda je vrlo precizna. Osim toga, sasvim je razumljivo i ne zahtijeva pamćenje formula ili složeni algoritam radnji, jer je suština metode odabir ispravnog rezultata.

Izdvojimo korijen broja 781. Pogledajmo redoslijed radnji detaljno.

Hajde da saznamo koja će znamenka kvadratnog korijena biti najznačajnija. Da bismo to učinili, kvadriramo 0, 10, 100, 1000, itd. i saznamo između kojih se od njih nalazi radikalni broj. Dobijamo tih 10²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
Odaberimo vrijednost desetica. Da bismo to učinili, naizmjenično ćemo dizati na stepen 10, 20, ..., 90 dok ne dobijemo broj veći od 781. Za naš slučaj, dobijamo 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. vrijednost rezultata n će biti unutar 20< n <30.
Slično kao u prethodnom koraku, odabire se vrijednost cifre jedinica. Kvadirajmo 21,22, ..., 29 jedan po jedan: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 247² Dobijamo 788².< n < 28.
Svaka sljedeća znamenka (desetine, stotinke, itd.) izračunava se na isti način kao što je prikazano gore. Proračuni se vrše sve dok se ne postigne potrebna tačnost.

Činjenica 1.
\(\bullet\) Uzmimo neki nenegativan broj \(a\) (to jest, \(a\geqslant 0\) ). Zatim (aritmetika) kvadratni korijen iz broja \(a\) se zove takav nenegativan broj \(b\) , kada se kvadrira dobijamo broj \(a\): \[\sqrt a=b\quad \text(isto kao )\quad a=b^2\] Iz definicije proizilazi da \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Ova ograničenja su važan uvjet za postojanje kvadratnog korijena i treba ih zapamtiti!
Zapamtite da bilo koji broj kada se kvadrira daje nenegativan rezultat. To jest, \(100^2=10000\geqslant 0\) i \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Koliko je \(\sqrt(25)\) jednako? Znamo da je \(5^2=25\) i \((-5)^2=25\) . Pošto po definiciji moramo pronaći nenegativan broj, onda \(-5\) nije prikladan, dakle, \(\sqrt(25)=5\) (pošto \(25=5^2\) ).
Pronalaženje vrijednosti \(\sqrt a\) naziva se uzimanje kvadratnog korijena broja \(a\) , a broj \(a\) naziva se radikalni izraz.
\(\bullet\) Na osnovu definicije, izraza \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\), itd. nema smisla.

Činjenica 2.
Za brza izračunavanja bit će korisno naučiti tablicu kvadrata prirodnih brojeva od \(1\) do \(20\): \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

Činjenica 3.
Koje operacije možete raditi s kvadratnim korijenima?
\(\metak\) Zbir ili razlika kvadratnih korijena NIJE JEDNAKA kvadratnom korijenu zbira ili razlike, tj. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Dakle, ako trebate izračunati, na primjer, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , tada prvo morate pronaći vrijednosti \(\sqrt(25)\) i \(\ sqrt(49)\ ), a zatim ih presavijte. dakle, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Ako se vrijednosti \(\sqrt a\) ili \(\sqrt b\) ne mogu pronaći pri sabiranju \(\sqrt a+\sqrt b\), onda se takav izraz ne transformira dalje i ostaje takav kakav jeste. Na primjer, u zbiru \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) možemo pronaći \(\sqrt(49)\) je \(7\) , ali \(\sqrt 2\) se ne može transformirati u u svakom slučaju, zato \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Nažalost, ovaj izraz se ne može dalje pojednostaviti\(\bullet\) Proizvod/količnik kvadratnog korijena jednak je kvadratnom korijenu proizvoda/količnika, tj. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (pod uslovom da obe strane jednakosti imaju smisla)
primjer: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Koristeći ova svojstva, zgodno je pronaći kvadratne korijene velikih brojeva rastavljanjem na faktore.
Pogledajmo primjer. Nađimo \(\sqrt(44100)\) . Budući da \(44100:100=441\) , onda \(44100=100\cdot 441\) . Prema kriteriju djeljivosti, broj \(441\) je djeljiv sa \(9\) (pošto je zbir njegovih znamenki 9 i djeljiv je sa 9), dakle, \(441:9=49\), odnosno \(441=9\ cdot 49\) .
Tako smo dobili: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Pogledajmo još jedan primjer: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Pokažimo kako unositi brojeve ispod predznaka kvadratnog korijena na primjeru izraza \(5\sqrt2\) (kratka oznaka za izraz \(5\cdot \sqrt2\)). Budući da je \(5=\sqrt(25)\) , onda \ Imajte na umu da npr.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Žašto je to? Hajde da objasnimo koristeći primer 1). Kao što već razumijete, ne možemo nekako transformirati broj \(\sqrt2\). Zamislimo da je \(\sqrt2\) neki broj \(a\) . Prema tome, izraz \(\sqrt2+3\sqrt2\) nije ništa više od \(a+3a\) (jedan broj \(a\) plus još tri ista broja \(a\)). A znamo da je ovo jednako četiri takva broja \(a\) , odnosno \(4\sqrt2\) .

Činjenica 4.
\(\bullet\) Često kažu "ne možete izdvojiti korijen" kada se ne možete riješiti znaka \(\sqrt () \ \) korijena (radikala) prilikom pronalaženja vrijednosti broja . Na primjer, možete uzeti korijen broja \(16\) jer \(16=4^2\) , dakle \(\sqrt(16)=4\) . Ali nemoguće je izdvojiti korijen broja \(3\), odnosno pronaći \(\sqrt3\), jer ne postoji broj koji bi na kvadrat dao \(3\) .
Takvi brojevi (ili izrazi s takvim brojevima) su iracionalni. Na primjer, brojevi \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) i tako dalje. su iracionalni.
Iracionalni su i brojevi \(\pi\) (broj "pi", približno jednak \(3,14\)), \(e\) (ovaj broj se zove Eulerov broj, približno je jednak \(2,7\) \)) itd.
\(\bullet\) Imajte na umu da će bilo koji broj biti racionalan ili iracionalan. I zajedno svi racionalni i svi iracionalni brojevi čine skup tzv skup realnih brojeva. Ovaj skup je označen slovom \(\mathbb(R)\) .
To znači da se svi brojevi koje trenutno poznajemo nazivaju realnim brojevima.

Činjenica 5.
\(\bullet\) Modul realnog broja \(a\) je nenegativan broj \(|a|\) jednak udaljenosti od tačke \(a\) do \(0\) na prava linija. Na primjer, \(|3|\) i \(|-3|\) su jednaki 3, jer su udaljenosti od tačaka \(3\) i \(-3\) do \(0\) jednake isto i jednako \(3 \) .
\(\bullet\) Ako je \(a\) nenegativan broj, onda \(|a|=a\) .
Primjer: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Ako je \(a\) negativan broj, onda \(|a|=-a\) .
Primjer: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Kažu da za negativne brojeve modul „jede“ minus, dok pozitivni brojevi, kao i broj \(0\), ostaju nepromijenjeni modulom.
ALI Ovo pravilo vrijedi samo za brojeve. Ako se ispod vašeg predznaka modula nalazi nepoznato \(x\) (ili neka druga nepoznata), na primjer, \(|x|\) , za koju ne znamo da li je pozitivan, nula ili negativan, onda se riješite modula ne možemo. U ovom slučaju, ovaj izraz ostaje isti: \(|x|\) . \(\bullet\) Važe sljedeće formule: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( osiguran) a\geqslant 0\] Vrlo često se pravi sljedeća greška: kažu da su \(\sqrt(a^2)\) i \((\sqrt a)^2\) jedno te isto. Ovo je tačno samo ako je \(a\) pozitivan broj ili nula. Ali ako je \(a\) negativan broj, onda je ovo netačno. Dovoljno je razmotriti ovaj primjer. Uzmimo umjesto \(a\) broj \(-1\) . Tada \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , ali izraz \((\sqrt (-1))^2\) uopće ne postoji (na kraju krajeva, nemoguće je koristiti korijenski znak stavite negativne brojeve!).
Stoga vam skrećemo pažnju na činjenicu da \(\sqrt(a^2)\) nije jednako \((\sqrt a)^2\) ! Primjer: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), jer \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Pošto je \(\sqrt(a^2)=|a|\) , onda je \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (izraz \(2n\) označava paran broj)
To jest, kada se uzme korijen broja koji je do nekog stepena, ovaj stepen se prepolovi.
primjer:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (imajte na umu da ako modul nije isporučen, ispada da je korijen broja jednak \(-25\ ) ; ali sjećamo se da se po definiciji korijena to ne može dogoditi: kada izvlačimo korijen, uvijek bismo trebali dobiti pozitivan broj ili nulu)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (pošto bilo koji broj na paran stepen nije negativan)

Činjenica 6.
Kako uporediti dva kvadratna korijena?
\(\bullet\) Za kvadratne korijene vrijedi: if \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aprimjer:
1) uporedi \(\sqrt(50)\) i \(6\sqrt2\) . Prvo, transformirajmo drugi izraz u \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Dakle, pošto \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Između kojih cijelih brojeva se nalazi \(\sqrt(50)\)?
Budući da \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) i \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Uporedimo \(\sqrt 2-1\) i \(0.5\) . Pretpostavimo da je \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\početi(poravnano) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((dodaj jedan na obje strane))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((kvadriranje obje strane))\\ &2>1.5^2\\ &2>2.25 \end(poravnano)\] Vidimo da smo dobili netačnu nejednakost. Stoga je naša pretpostavka bila netačna i \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Imajte na umu da dodavanje određenog broja na obje strane nejednakosti ne utječe na njen predznak. Množenje/dijeljenje obje strane nejednakosti pozitivnim brojem također ne utiče na njen predznak, ali množenje/dijeljenje negativnim brojem obrće predznak nejednakosti!
Možete kvadrirati obje strane jednačine/nejednačine SAMO AKO obje strane nisu negativne. Na primjer, u nejednakosti iz prethodnog primjera možete kvadrirati obje strane, u nejednakosti \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Treba to zapamtiti \[\početak(poravnano) &\sqrt 2\približno 1,4\\ &\sqrt 3\približno 1,7 \end(poravnano)\] Poznavanje približnog značenja ovih brojeva pomoći će vam kada upoređujete brojeve! \(\bullet\) Da biste izdvojili korijen (ako se može izvući) iz nekog velikog broja kojeg nema u tabeli kvadrata, prvo morate odrediti između kojih se „stotina“ nalazi, zatim – između kojih „ desetice”, a zatim odredite posljednju cifru ovog broja. Pokažimo kako to funkcionira na primjeru.
Uzmimo \(\sqrt(28224)\) . Znamo da \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\), itd. Imajte na umu da je \(28224\) između \(10\,000\) i \(40\,000\) . Stoga je \(\sqrt(28224)\) između \(100\) i \(200\) .
Sada odredimo između kojih se "desetica" nalazi naš broj (to je, na primjer, između \(120\) i \(130\)). Također iz tabele kvadrata znamo da \(11^2=121\) , \(12^2=144\) itd., zatim \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . Dakle, vidimo da je \(28224\) između \(160^2\) i \(170^2\) . Dakle, broj \(\sqrt(28224)\) je između \(160\) i \(170\) .
Pokušajmo odrediti posljednju cifru. Prisjetimo se koji jednocifreni brojevi, kada se kvadriraju, daju \(4\) na kraju? To su \(2^2\) i \(8^2\) . Prema tome, \(\sqrt(28224)\) će se završiti sa 2 ili 8. Provjerimo ovo. Nađimo \(162^2\) i \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Prema tome, \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Da biste adekvatno riješili Jedinstveni državni ispit iz matematike, prvo morate proučiti teorijski materijal koji vas upoznaje sa brojnim teoremama, formulama, algoritmima itd. Na prvi pogled može izgledati da je to prilično jednostavno. Međutim, pronalaženje izvora u kojem je teorija za Jedinstveni državni ispit iz matematike predstavljena na jednostavan i razumljiv način za studente bilo kojeg nivoa obuke je zapravo prilično težak zadatak. Školski udžbenici ne mogu uvijek biti pri ruci. A pronalaženje osnovnih formula za Jedinstveni državni ispit iz matematike može biti teško čak i na internetu.

Zašto je toliko važno proučavati teoriju u matematici ne samo za one koji polažu Jedinstveni državni ispit?

Zato što vam proširuje vidike. Proučavanje teorijskog gradiva iz matematike korisno je za sve koji žele da dobiju odgovore na širok spektar pitanja vezanih za poznavanje svijeta oko sebe. Sve je u prirodi uređeno i ima jasnu logiku. To je upravo ono što se ogleda u nauci, kroz koju je moguće razumjeti svijet.
Zato što razvija inteligenciju. Proučavajući referentni materijal za Jedinstveni državni ispit iz matematike, kao i rješavanjem raznih zadataka, osoba uči logično razmišljati i zaključivati, kompetentno i jasno formulirati misli. Razvija sposobnost analize, generalizacije i izvođenja zaključaka.

Pozivamo Vas da lično ocijenite sve prednosti našeg pristupa sistematizaciji i prezentaciji edukativnog materijala.