“, odnosno jednačine prvog stepena. U ovoj lekciji ćemo pogledati ono što se zove kvadratna jednačina i kako to riješiti.
Šta je kvadratna jednačina?
Bitan!
Stepen jednačine je određen najvišim stepenom do kojeg stoji nepoznata.
Ako je maksimalna snaga u kojoj je nepoznata "2", onda imate kvadratnu jednačinu.
Primjeri kvadratnih jednadžbi
- 5x 2 − 14x + 17 = 0
- −x 2 + x +
= 01 3 - x 2 + 0,25x = 0
- x 2 − 8 = 0
Bitan! Opšti oblik kvadratne jednadžbe izgleda ovako:
A x 2 + b x + c = 0
“a”, “b” i “c” su dati brojevi.- “a” je prvi ili najviši koeficijent;
- “b” je drugi koeficijent;
- “c” je slobodan član.
Da biste pronašli “a”, “b” i “c” potrebno je da uporedite svoju jednačinu sa opštim oblikom kvadratne jednačine “ax 2 + bx + c = 0”.
Vježbajmo određivanje koeficijenata "a", "b" i "c" u kvadratnim jednačinama.
| Jednačina | Odds | |||
|---|---|---|---|---|
|
||||
|
||||
| 1 |
| 3 |
- a = −1
- b = 1
- c =
1 3
- a = 1
- b = 0,25
- c = 0
- a = 1
- b = 0
- c = −8
Kako riješiti kvadratne jednadžbe
Za razliku od linearnih jednadžbi za rješavanje kvadratne jednačine koristi se poseban formula za pronalaženje korijena.
Zapamtite!
Za rješavanje kvadratne jednadžbe potrebno je:
- dovesti kvadratnu jednačinu u opšti oblik “ax 2 + bx + c = 0”. To jest, samo “0” treba da ostane na desnoj strani;
- koristite formulu za korijenje:
Pogledajmo primjer kako koristiti formulu za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe. Rešimo kvadratnu jednačinu.
X 2 − 3x − 4 = 0
Jednačina “x 2 − 3x − 4 = 0” je već svedena na opći oblik “ax 2 + bx + c = 0” i ne zahtijeva dodatna pojednostavljenja. Da bismo to riješili, samo se trebamo prijaviti formula za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe.
Odredimo koeficijente “a”, “b” i “c” za ovu jednačinu.
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
Može se koristiti za rješavanje bilo koje kvadratne jednadžbe.
U formuli “x 1;2 =” radikalni izraz se često zamjenjuje
“b 2 − 4ac” za slovo “D” i naziva se diskriminantnim. Koncept diskriminanta je detaljnije obrađen u lekciji „Šta je diskriminant“.
Pogledajmo još jedan primjer kvadratne jednadžbe.
x 2 + 9 + x = 7x
U ovom obliku prilično je teško odrediti koeficijente “a”, “b” i “c”. Hajde da prvo svedemo jednačinu na opšti oblik “ax 2 + bx + c = 0”.
X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0
Sada možete koristiti formulu za korijene.
X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =
| 6 |
| 2 |
x = 3
Odgovor: x = 3
Postoje slučajevi kada kvadratne jednadžbe nemaju korijen. Ova situacija se događa kada formula sadrži negativan broj ispod korijena.
Nadam se da ćete nakon proučavanja ovog članka naučiti kako pronaći korijene potpune kvadratne jednadžbe.
Korištenjem diskriminanta rješavaju se samo potpune kvadratne jednadžbe; za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi koriste se druge metode koje ćete pronaći u članku “Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi”.
Koje se kvadratne jednačine nazivaju potpunim? Ovo jednadžbe oblika ax 2 + b x + c = 0, pri čemu koeficijenti a, b i c nisu jednaki nuli. Dakle, da bismo riješili potpunu kvadratnu jednačinu, moramo izračunati diskriminanta D.
D = b 2 – 4ac.
U zavisnosti od vrijednosti diskriminanta, zapisaćemo odgovor.
Ako je diskriminant negativan broj (D< 0),то корней нет.
Ako je diskriminant jednaka nuli, tada je x = (-b)/2a. Kada je diskriminant pozitivan broj (D > 0),
tada je x 1 = (-b - √D)/2a, i x 2 = (-b + √D)/2a.
Na primjer. Riješite jednačinu x 2– 4x + 4= 0.
D = 4 2 – 4 4 = 0
x = (- (-4))/2 = 2
Odgovor: 2.
Riješite jednačinu 2 x 2 + x + 3 = 0.
D = 1 2 – 4 2 3 = – 23
Odgovor: nema korijena.
Riješite jednačinu 2 x 2 + 5x – 7 = 0.
D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81
x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5
x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1
Odgovor: – 3,5; 1.
Dakle, zamislimo rješenje potpune kvadratne jednadžbe koristeći dijagram na slici 1.
Koristeći ove formule možete riješiti bilo koju potpunu kvadratnu jednadžbu. Samo treba biti oprezan jednačina je napisana kao polinom standardnog oblika
A x 2 + bx + c, inače možete pogriješiti. Na primjer, u pisanju jednačine x + 3 + 2x 2 = 0, možete pogrešno odlučiti da
a = 1, b = 3 i c = 2. Tada
D = 3 2 – 4 1 2 = 1 i tada jednačina ima dva korijena. A to nije istina. (Vidi rješenje za primjer 2 iznad).
Dakle, ako jednačina nije napisana kao polinom standardnog oblika, prvo se kompletna kvadratna jednačina mora napisati kao polinom standardnog oblika (monom sa najvećim eksponentom treba da bude prvi, tj. A x 2 , zatim sa manje – bx a zatim slobodan član With.
Prilikom rješavanja reducirane kvadratne jednadžbe i kvadratne jednadžbe s parnim koeficijentom u drugom članu, možete koristiti druge formule. Hajde da se upoznamo sa ovim formulama. Ako u potpunoj kvadratnoj jednadžbi drugi član ima paran koeficijent (b = 2k), onda možete riješiti jednačinu koristeći formule prikazane na dijagramu na slici 2.
Potpuna kvadratna jednadžba naziva se redukovanom ako je koeficijent at x 2 je jednako jedan i jednačina poprima oblik x 2 + px + q = 0. Takva jednadžba se može dati za rješenje, ili se može dobiti dijeljenjem svih koeficijenata jednačine sa koeficijentom A, stoji na x 2 .
Na slici 3 prikazan je dijagram za rješavanje redukovanog kvadrata 
jednačine. Pogledajmo primjer primjene formula o kojima se govori u ovom članku.
Primjer. Riješite jednačinu
3x 2 + 6x – 6 = 0.
Rešimo ovu jednačinu koristeći formule prikazane na dijagramu na slici 1.
D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108
√D = √108 = √(36 3) = 6√3
x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3
x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3
Odgovor: –1 – √3; –1 + √3
Možete primijetiti da je koeficijent od x u ovoj jednačini čak broj, odnosno b = 6 ili b = 2k, odakle je k = 3. Zatim pokušajmo da riješimo jednačinu koristeći formule date na dijagramu slike D 1 = 3 2 – 3 · (– 6) = 9 + 18 = 27
√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3
x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3
x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3
Odgovor: –1 – √3; –1 + √3. Uočivši da su svi koeficijenti u ovoj kvadratnoj jednadžbi djeljivi sa 3 i izvršivši podjelu, dobijamo redukovanu kvadratnu jednačinu x 2 + 2x – 2 = 0 Riješite ovu jednačinu koristeći formule za redukovanu kvadratnu jednačinu 
jednadžbe na slici 3.
D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12
√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3
x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3
x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3
Odgovor: –1 – √3; –1 + √3.
Kao što vidite, prilikom rješavanja ove jednačine koristeći različite formule, dobili smo isti odgovor. Stoga, nakon što ste temeljito savladali formule prikazane na dijagramu na slici 1, uvijek ćete moći riješiti bilo koju potpunu kvadratnu jednačinu.
web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.
Kopyevskaya ruralna srednja škola
10 načina za rješavanje kvadratnih jednačina
Rukovodilac: Patrikeeva Galina Anatolyevna,
nastavnik matematike
selo Kopevo, 2007
1. Istorija razvoja kvadratnih jednačina
1.1 Kvadratne jednadžbe u starom Babilonu
1.2 Kako je Diofant sastavio i riješio kvadratne jednačine
1.3 Kvadratne jednadžbe u Indiji
1.4 Kvadratne jednadžbe od al-Khorezmija
1.5 Kvadratne jednačine u Evropi XIII - XVII vijeka
1.6 O Vietinoj teoremi
2. Metode rješavanja kvadratnih jednačina
Zaključak
Književnost
1. Istorija razvoja kvadratnih jednačina
1.1 Kvadratne jednadžbe u starom Babilonu
Potreba za rješavanjem jednačina ne samo prvog, već i drugog stepena u antičko doba bila je uzrokovana potrebom rješavanja problema vezanih za pronalaženje područja zemljišne parcele i sa zemljanim radovima vojne prirode, kao i sa razvojem same astronomije i matematike. Kvadratne jednačine su se mogle riješiti oko 2000. godine prije Krista. e. Babilonci.
Koristeći modernu algebarsku notaciju, možemo reći da u njihovim klinastim tekstovima, osim nepotpunih, postoje i, na primjer, potpune kvadratne jednadžbe:
X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5
Pravilo za rješavanje ovih jednačina, postavljeno u babilonskim tekstovima, u suštini se poklapa sa savremenim, ali nije poznato kako su Babilonci došli do ovog pravila. Gotovo svi do sada pronađeni klinopisni tekstovi daju samo probleme s rješenjima izloženim u obliku recepata, bez naznaka kako su pronađeni.
Uprkos visoki nivo razvoj algebre u Babilonu, klinastim tekstovima nedostaje koncept negativnog broja i opšte metode rješavanje kvadratnih jednačina.
1.2 Kako je Diofant sastavio i riješio kvadratne jednačine.
Diofantova aritmetika ne sadrži sistematski prikaz algebre, ali sadrži sistematski niz zadataka, praćenih objašnjenjima i rešavanih konstruisanjem jednačina različitih stepena.
Prilikom sastavljanja jednačina, Diofant vješto bira nepoznanice kako bi pojednostavio rješenje.
Evo, na primjer, jednog od njegovih zadataka.
Problem 11.“Pronađi dva broja, znajući da je njihov zbir 20, a proizvod 96”
Diofant obrazlaže ovako: iz uslova zadatka proizilazi da traženi brojevi nisu jednaki, jer da su jednaki, onda njihov proizvod ne bi bio jednak 96, već 100. Dakle, jedan od njih će biti veći od polovina njihove sume, tj. 10 + x, drugi je manji, tj. 10's. Razlika između njih 2x .
Otuda jednačina:
(10 + x)(10 - x) = 96
100 - x 2 = 96
x 2 - 4 = 0 (1)
Odavde x = 2. Jedan od traženih brojeva je jednak 12 , ostalo 8 . Rješenje x = -2 jer Diofant ne postoji, pošto je grčka matematika poznavala samo pozitivne brojeve.
Ako ovaj problem riješimo odabirom jednog od traženih brojeva kao nepoznatog, doći ćemo do rješenja jednačine
y(20 - y) = 96,
y 2 - 20y + 96 = 0. (2)
Jasno je da biranjem polurazlike traženih brojeva kao nepoznate, Diofant pojednostavljuje rješenje; on uspijeva svesti problem na rješavanje nepotpune kvadratne jednadžbe (1).
1.3 Kvadratne jednadžbe u Indiji
Problemi o kvadratnim jednačinama nalaze se već u astronomskoj raspravi „Arijabhattiam“, koju je 499. godine sastavio indijski matematičar i astronom Aryabhatta. Još jedan indijski naučnik, Brahmagupta (7. vek), je izložio opšte pravilo rješenja kvadratnih jednadžbi svedena na jedan kanonski oblik:
ah 2+ b x = c, a > 0. (1)
U jednačini (1), koeficijenti, osim A, također može biti negativan. Brahmaguptino pravilo je u suštini isto kao i naše.
U staroj Indiji javna takmičenja u rješavanju teških problema bila su uobičajena. Jedna od starih indijskih knjiga govori o takvim takmičenjima: „Kao što sunce pomračuje zvijezde svojim sjajem, tako ucen covek pomračiti slavu drugog u narodnim skupštinama predlažući i rješavajući algebarske probleme.” Problemi su često predstavljani u poetskom obliku.
Ovo je jedan od problema poznatog indijskog matematičara iz 12. veka. Bhaskars.
Problem 13.
„Jato žustrih majmuna, i dvanaest duž vinove loze...
Vlasti su se, pojevši, zabavile. Počeli su skakati, vješati se...
Ima ih na trgu, dio 8. Koliko je majmuna bilo?
Zabavljao sam se na čistini. Reci mi, u ovom paketu?
Bhaskarino rješenje pokazuje da je znao da su korijeni kvadratnih jednadžbi dvovrijedni (slika 3).
Jednačina koja odgovara problemu 13 je:
( x /8) 2 + 12 = x
Bhaskara piše pod maskom:
x 2 - 64x = -768
i dopuniti lijeva strana ove jednadžbe na kvadrat, dodaje obje strane 32 2 , a zatim dobijate:
x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,
(x - 32) 2 = 256,
x - 32 = ± 16,
x 1 = 16, x 2 = 48.
1.4 Kvadratne jednadžbe u al - Khorezmi
U algebarskoj raspravi al-Khorezmija data je klasifikacija linearnih i kvadratnih jednadžbi. Autor broji 6 vrsta jednačina, izražavajući ih na sljedeći način:
1) „Kvadrati su jednaki korijenima“, tj. ax 2 + c = b X.
2) „Kvadrati su jednaki brojevima“, tj. sjekira 2 = c.
3) “Korijeni su jednaki broju”, tj. ah = s.
4) „Kvadrati i brojevi su jednaki korijenima“, tj. ax 2 + c = b X.
5) „Kvadrati i korijeni su jednaki brojevima“, tj. ah 2+ bx = s.
6) „Korijeni i brojevi su jednaki kvadratima“, tj. bx + c = ax 2 .
Za al-Khorezmija, koji je izbjegao upotrebu negativnih brojeva, članovi svake od ovih jednačina su sabirci, a ne oduzimajući. U ovom slučaju se očito ne uzimaju u obzir jednačine koje nemaju pozitivna rješenja. Autor postavlja metode za rješavanje ovih jednačina koristeći tehnike al-jabr i al-muqabala. Njegove odluke se, naravno, ne poklapaju u potpunosti s našim. Da ne spominjemo da je to čisto retoričko, treba napomenuti, na primjer, da prilikom rješavanja nepotpune kvadratne jednadžbe prvog tipa
al-Horezmi, kao i svi matematičari prije 17. stoljeća, ne uzima u obzir nulto rješenje, vjerovatno zato što u konkretnim praktičnim problemima ono nije bitno. Kada rješava potpune kvadratne jednadžbe, al-Khorezmi postavlja pravila za njihovo rješavanje koristeći određene numeričke primjere, a zatim i geometrijske dokaze.
Problem 14.“Kvadrat i broj 21 jednaki su 10 korijena. Pronađite korijen" (što podrazumijeva korijen jednačine x 2 + 21 = 10x).
Autorovo rješenje glasi otprilike ovako: podijelite broj korijena na pola, dobijete 5, pomnožite 5 sa sobom, oduzmete 21 od proizvoda, ostaje 4. Uzmite korijen iz 4, dobijete 2. Oduzmite 2 od 5 , dobijete 3, ovo će biti željeni korijen. Ili dodajte 2 do 5, što daje 7, ovo je također korijen.
Traktat al-Khorezmi je prva knjiga koja je došla do nas, a koja sistematski postavlja klasifikaciju kvadratnih jednadžbi i daje formule za njihovo rješavanje.
1.5 Kvadratne jednadžbe u Evropi XIII - XVII bb
Formule za rješavanje kvadratnih jednačina po uzoru na al-Khwarizmija u Evropi su prvi put izložene u Knjizi Abacus, koju je 1202. napisao italijanski matematičar Leonardo Fibonacci. Ovo obimno djelo, koje odražava utjecaj matematike, kako islamskih zemalja tako i Ancient Greece, odlikuje se potpunošću i jasnoćom prezentacije. Autor je samostalno razvio neke nove algebarske primjere rješavanja problema i prvi u Europi pristupio uvođenju negativnih brojeva. Njegova knjiga je doprinijela širenju algebarskog znanja ne samo u Italiji, već iu Njemačkoj, Francuskoj i drugim evropskim zemljama. Mnogi problemi iz knjige Abacus korišćeni su u gotovo svim evropskim udžbenicima 16. - 17. veka. i dijelom XVIII.
Opće pravilo za rješavanje kvadratnih jednadžbi svedeno na jedan kanonski oblik:
x 2 + bx = c,
za sve moguće kombinacije predznaka koeficijenta b , With je u Evropi formulisao M. Stiefel tek 1544. godine.
Izvođenje formule za rješavanje kvadratne jednadžbe u opšti pogled Viet ga ima, ali Viet je prepoznao samo pozitivne korijene. Italijanski matematičari Tartaglia, Cardano, Bombelli bili su među prvima u 16. veku. Osim pozitivnih, u obzir se uzimaju i negativni korijeni. Tek u 17. veku. Zahvaljujući radovima Girarda, Descartesa, Newtona i drugih naučnika, metoda rješavanja kvadratnih jednačina poprima moderan oblik.
1.6 O Vietinoj teoremi
Teoremu koja izražava odnos između koeficijenata kvadratne jednadžbe i njenih korijena, nazvanu po Vieti, on je prvi put formulirao 1591. na sljedeći način: „Ako B + D, pomnoženo sa A - A 2 , jednako BD, To A jednaki IN i jednaki D ».
Da bismo razumjeli Vietu, trebamo to zapamtiti A, kao i svako samoglasničko slovo, značilo je nepoznato (naše X), samoglasnici IN, D- koeficijenti za nepoznato. U jeziku moderne algebre, gornja Vieta formulacija znači: ako postoji
(a + b )x - x 2 = ab ,
x 2 - (a + b )x + a b = 0,
x 1 = a, x 2 = b .
Izražavajući odnos između korijena i koeficijenata jednačina općim formulama ispisanim pomoću simbola, Viète je uspostavio uniformnost u metodama rješavanja jednačina. Međutim, simbolika Vieta još je daleko od toga moderan izgled. Nije prepoznao negativne brojeve i stoga je prilikom rješavanja jednačina razmatrao samo slučajeve u kojima su svi korijeni bili pozitivni.
2. Metode rješavanja kvadratnih jednačina
Kvadratne jednadžbe su temelj na kojem počiva veličanstveno zdanje algebre. Kvadratne jednadžbe se široko koriste u rješavanju trigonometrijskih, eksponencijalnih, logaritamskih, iracionalnih i transcendentalnih jednadžbi i nejednačina. Svi znamo rješavati kvadratne jednačine od škole (8. razred) do mature.
Nastavljajući temu “Rješavanje jednadžbi”, materijal u ovom članku će vas upoznati s kvadratnim jednadžbama.
Pogledajmo sve detaljno: suštinu i notaciju kvadratne jednadžbe, definiramo prateće članove, analiziramo shemu za rješavanje nepotpunih i potpunih jednačina, upoznamo se s formulom korijena i diskriminanta, uspostavimo veze između korijena i koeficijenata, i naravno daćemo vizuelno rešenje praktičnim primerima.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Kvadratna jednadžba, njene vrste
Definicija 1Kvadratna jednadžba je jednačina napisana kao a x 2 + b x + c = 0, Gdje x– varijabla, a , b i c– neki brojevi, dok a nije nula.
Često se kvadratne jednačine nazivaju i jednačinama drugog stepena, jer je u suštini kvadratna jednačina algebarska jednačina drugi stepen.
Dajemo primjer koji ilustruje datu definiciju: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, itd. Ovo su kvadratne jednadžbe.
Definicija 2
Brojevi a, b i c su koeficijenti kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c = 0, dok je koeficijent a naziva se prvi, ili stariji, ili koeficijent na x 2, b - drugi koeficijent, ili koeficijent na x, A c naziva slobodnim članom.
Na primjer, u kvadratnoj jednadžbi 6 x 2 − 2 x − 11 = 0 vodeći koeficijent je 6, drugi koeficijent je − 2 , a slobodni termin je jednak − 11 . Obratimo pažnju na činjenicu da kada su koef b i/ili c su negativni, onda koristite kratke forme records like 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, ali ne 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.
Razjasnimo i ovaj aspekt: ako su koeficijenti a i/ili b jednaka 1 ili − 1 , onda možda neće eksplicitno učestvovati u pisanju kvadratne jednačine, što se objašnjava posebnostima pisanja navedenih numeričkih koeficijenata. Na primjer, u kvadratnoj jednadžbi y 2 − y + 7 = 0 vodeći koeficijent je 1, a drugi koeficijent je − 1 .
Reducirane i nereducirane kvadratne jednadžbe
Na osnovu vrijednosti prvog koeficijenta, kvadratne jednačine se dijele na reducirane i nereducirane.
Definicija 3
Redukovana kvadratna jednačina je kvadratna jednadžba u kojoj je vodeći koeficijent 1. Za ostale vrijednosti vodećeg koeficijenta, kvadratna jednadžba nije redukovana.
Navedimo primjere: redukovane su kvadratne jednadžbe x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0, od kojih je vodeći koeficijent 1.
9 x 2 − x − 2 = 0- neredukovana kvadratna jednačina, u kojoj se prvi koeficijent razlikuje od 1 .
Svaka neredukovana kvadratna jednačina može se pretvoriti u redukovanu jednačinu dijeljenjem obje strane s prvim koeficijentom (ekvivalentna transformacija). Transformirana jednačina će imati iste korijene kao i data nereducirana jednačina ili također neće imati korijena uopće.
Razmatranje konkretan primjerće nam omogućiti da jasno demonstriramo prijelaz sa nereducirane kvadratne jednadžbe na redukovanu.
Primjer 1
S obzirom na jednadžbu 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Neophodno je prevesti originalnu jednačinu u redukovani oblik.
Rješenje
Prema gornjoj shemi, obje strane originalne jednadžbe dijelimo vodećim koeficijentom 6. tada dobijamo: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0: 3, a ovo je isto kao: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 i dalje: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0. Odavde: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Tako se dobija jednačina ekvivalentna datoj.
odgovor: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .
Potpune i nepotpune kvadratne jednadžbe
Okrenimo se definiciji kvadratne jednadžbe. U njemu smo to precizirali a ≠ 0. Sličan uslov je neophodan za jednačinu a x 2 + b x + c = 0 bila upravo kvadratna, budući da je u a = 0 ona se u suštini transformiše u linearnu jednačinu b x + c = 0.
U slučaju kada su koef b I c su jednake nuli (što je moguće, kako pojedinačno tako i zajedno), kvadratna jednačina se naziva nepotpuna.
Definicija 4
Nepotpuna kvadratna jednadžba- takva kvadratna jednačina a x 2 + b x + c = 0, gdje je barem jedan od koeficijenata b I c(ili oboje) je nula.
Potpuna kvadratna jednadžba– kvadratna jednačina u kojoj svi numerički koeficijenti nisu jednaki nuli.
Hajde da raspravimo zašto se tipovima kvadratnih jednačina daju upravo ova imena.
Kada je b = 0, kvadratna jednadžba poprima oblik a x 2 + 0 x + c = 0, što je isto kao a x 2 + c = 0. At c = 0 kvadratna jednačina se piše kao a x 2 + b x + 0 = 0, što je ekvivalentno a x 2 + b x = 0. At b = 0 I c = 0 jednačina će poprimiti oblik a x 2 = 0. Jednačine koje smo dobili razlikuju se od potpune kvadratne jednadžbe po tome što njihove lijeve strane ne sadrže ni član s promjenljivom x, ni slobodni član, ni oboje. Zapravo, ova činjenica je dala naziv ovoj vrsti jednačine – nepotpuna.
Na primjer, x 2 + 3 x + 4 = 0 i − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 su potpune kvadratne jednadžbe; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – nepotpune kvadratne jednačine.
Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi
Gore navedena definicija omogućava razlikovanje sljedećih tipova nepotpunih kvadratnih jednadžbi:
- a x 2 = 0, ova jednačina odgovara koeficijentima b = 0 i c = 0 ;
- a · x 2 + c = 0 na b = 0;
- a · x 2 + b · x = 0 na c = 0.
Razmotrimo sekvencijalno rješenje svake vrste nepotpune kvadratne jednadžbe.
Rješenje jednačine a x 2 =0
Kao što je gore pomenuto, ova jednačina odgovara koeficijentima b I c, jednako nuli. Jednačina a x 2 = 0 može se pretvoriti u ekvivalentnu jednačinu x 2 = 0, koji dobijamo dijeljenjem obje strane originalne jednadžbe brojem a, nije jednako nuli. Očigledna činjenica je da je korijen jednačine x 2 = 0 ovo je nula jer 0 2 = 0 . Ova jednadžba nema druge korijene, što se može objasniti svojstvima stepena: za bilo koji broj p, nije jednako nuli, nejednakost je tačna p 2 > 0, iz čega proizlazi da kada p ≠ 0 jednakost p 2 = 0 nikada neće biti postignut.
Definicija 5
Dakle, za nepotpunu kvadratnu jednačinu a x 2 = 0 postoji jedinstveni korijen x = 0.
Primjer 2
Na primjer, riješimo nepotpunu kvadratnu jednačinu − 3 x 2 = 0. To je ekvivalentno jednačini x 2 = 0, njegov jedini korijen je x = 0, tada originalna jednadžba ima jedan korijen - nulu.
Ukratko, rješenje je napisano na sljedeći način:
− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.
Rješavanje jednačine a x 2 + c = 0
Sljedeće na redu je rješenje nepotpunih kvadratnih jednadžbi, gdje je b = 0, c ≠ 0, odnosno jednadžbe oblika a x 2 + c = 0. Hajde da transformišemo ovu jednačinu tako što ćemo pomeriti član s jedne strane jednačine na drugu, promeniti predznak u suprotan i podeliti obe strane jednačine brojem koji nije jednak nuli:
- transfer c V desna strana, što daje jednačinu a x 2 = − c;
- podijelite obje strane jednačine sa a, završavamo sa x = - c a .
Naše transformacije su ekvivalentne, shodno tome, rezultirajuća jednačina je također ekvivalentna izvornoj, a ta činjenica omogućava izvođenje zaključaka o korijenima jednačine. Od toga kakve su vrijednosti a I c vrijednost izraza - c a zavisi: može imati znak minus (na primjer, ako a = 1 I c = 2, zatim - c a = - 2 1 = - 2) ili znak plus (na primjer, ako a = − 2 I c = 6, tada - c a = - 6 - 2 = 3); nije nula jer c ≠ 0. Zaustavimo se detaljnije na situacijama kada - c a< 0 и - c a > 0 .
U slučaju kada - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа str jednakost p 2 = - c a ne može biti tačna.
Sve je drugačije kada je - c a > 0: zapamtite kvadratni korijen i postat će očito da će korijen jednačine x 2 = - c a biti broj - c a, jer - c a 2 = - c a. Nije teško shvatiti da je broj - - c a također korijen jednačine x 2 = - c a: zaista, - - c a 2 = - c a.
Jednačina neće imati druge korijene. To možemo demonstrirati koristeći metodu kontradikcije. Za početak, definirajmo oznake za korijene pronađene iznad kao x 1 I − x 1. Pretpostavimo da jednačina x 2 = - c a također ima korijen x 2, što se razlikuje od korijena x 1 I − x 1. To znamo zamjenom u jednačinu x njene korijene, transformiramo jednačinu u poštenu numeričku jednakost.
Za x 1 I − x 1 pišemo: x 1 2 = - c a , i za x 2- x 2 2 = - c a . Na osnovu svojstava numeričkih jednakosti, oduzimamo jedan tačan pojam jednakosti od drugog, što će nam dati: x 1 2 − x 2 2 = 0. Koristimo svojstva operacija s brojevima da prepišemo posljednju jednakost kao (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Poznato je da je proizvod dva broja nula ako i samo ako je barem jedan od brojeva nula. Iz navedenog proizilazi da x 1 − x 2 = 0 i/ili x 1 + x 2 = 0, što je isto x 2 = x 1 i/ili x 2 = − x 1. Nastala je očigledna kontradikcija, jer je u početku bilo dogovoreno da je korijen jednačine x 2 razlikuje se od x 1 I − x 1. Dakle, dokazali smo da jednačina nema korijene osim x = - c a i x = - - c a.
Hajde da sumiramo sve gore navedene argumente.
Definicija 6
Nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 + c = 0 je ekvivalentna jednadžbi x 2 = - c a, koja:
- neće imati korijene na - c a< 0 ;
- imaće dva korena x = - c a i x = - - c a za - c a > 0.
Navedimo primjere rješavanja jednačina a x 2 + c = 0.
Primjer 3
Zadana kvadratna jednačina 9 x 2 + 7 = 0. Potrebno je pronaći rješenje.
Rješenje
Pomerimo slobodni član na desnu stranu jednačine, tada će jednačina poprimiti oblik 9 x 2 = − 7.
Podijelimo obje strane rezultirajuće jednačine sa 9
, dolazimo do x 2 = - 7 9 . Na desnoj strani vidimo broj sa predznakom minus, što znači: data jednačina nema korijen. Zatim originalna nepotpuna kvadratna jednadžba 9 x 2 + 7 = 0 neće imati korena.
odgovor: jednačina 9 x 2 + 7 = 0 nema korena.
Primjer 4
Jednačinu treba riješiti − x 2 + 36 = 0.
Rješenje
Pomaknimo 36 na desnu stranu: − x 2 = − 36.
Podijelimo oba dijela sa − 1
, dobijamo x 2 = 36. Na desnoj strani nalazi se pozitivan broj, iz čega to možemo zaključiti
x = 36 ili
x = - 36 .
Izvadimo korijen i zapišemo konačni rezultat: nepotpuna kvadratna jednadžba − x 2 + 36 = 0 ima dva korena x = 6 ili x = − 6.
odgovor: x = 6 ili x = − 6.
Rješenje jednačine a x 2 +b x=0
Analizirajmo treću vrstu nepotpunih kvadratnih jednadžbi, kada c = 0. Pronaći rješenje nepotpune kvadratne jednadžbe a x 2 + b x = 0, koristićemo metod faktorizacije. Faktorizirajmo polinom koji se nalazi na lijevoj strani jednadžbe, vadeći ga iz zagrada zajednički množitelj x. Ovaj korak će omogućiti transformaciju originalne nepotpune kvadratne jednadžbe u njen ekvivalent x (a x + b) = 0. A ova jednadžba je, zauzvrat, ekvivalentna skupu jednačina x = 0 I a x + b = 0. Jednačina a x + b = 0 linearni, i njegov korijen: x = − b a.
Definicija 7
Dakle, nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 + b x = 0 imaće dva korena x = 0 I x = − b a.
Pojačajmo gradivo primjerom.
Primjer 5
Potrebno je pronaći rješenje jednačine 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.
Rješenje
Izvadićemo ga x izvan zagrada dobijamo jednačinu x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Ova jednačina je ekvivalentna jednačinama x = 0 i 2 3 x - 2 2 7 = 0. Sada biste trebali riješiti rezultirajuću linearnu jednačinu: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.
Ukratko napišite rješenje jednačine na sljedeći način:
2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0
x = 0 ili 2 3 x - 2 2 7 = 0
x = 0 ili x = 3 3 7
odgovor: x = 0, x = 3 3 7.
Diskriminant, formula za korijene kvadratne jednadžbe
Za pronalaženje rješenja kvadratnih jednadžbi postoji korijenska formula:
Definicija 8
x = - b ± D 2 · a, gdje je D = b 2 − 4 a c– takozvani diskriminant kvadratne jednačine.
Pisanje x = - b ± D 2 · a u suštini znači da je x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.
Bilo bi korisno razumjeti kako je ova formula izvedena i kako je primijeniti.
Izvođenje formule za korijene kvadratne jednadžbe
Suočimo se sa zadatkom rješavanja kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c = 0. Hajde da izvršimo nekoliko ekvivalentnih transformacija:
- podijelite obje strane jednačine brojem a, različito od nule, dobijamo sljedeću kvadratnu jednačinu: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
- Odaberimo cijeli kvadrat na lijevoj strani rezultirajuće jednadžbe:
x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a
Nakon toga, jednačina će dobiti oblik: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0; - Sada je moguće posljednja dva člana prenijeti na desnu stranu, mijenjajući predznak u suprotan, nakon čega dobijamo: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
- Konačno, transformiramo izraz napisan na desnoj strani posljednje jednakosti:
b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .
Dakle, dolazimo do jednačine x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , ekvivalentne originalnoj jednačini a x 2 + b x + c = 0.
Rješenje takvih jednadžbi smo ispitali u prethodnim paragrafima (rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi). Već stečeno iskustvo omogućava da se izvede zaključak o korijenima jednačine x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:
- sa b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
- kada je b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, jednačina je x + b 2 · a 2 = 0, tada je x + b 2 · a = 0.
Odavde je očigledan jedini korijen x = - b 2 · a;
- za b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0, vrijedit će sljedeće: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ili x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , što je isto kao x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ili x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , tj. jednadžba ima dva korijena.
Moguće je zaključiti da prisustvo ili odsustvo korena jednačine x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (a samim tim i originalne jednačine) zavisi od predznaka izraza b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 napisano na desnoj strani. A znak ovog izraza je dat znakom brojioca, (imenik 4 a 2 uvijek će biti pozitivan), odnosno znak izraza b 2 − 4 a c. Ovaj izraz b 2 − 4 a c daje se naziv - diskriminanta kvadratne jednačine i slovo D se definiše kao njena oznaka. Ovdje možete zapisati suštinu diskriminanta - na osnovu njegove vrijednosti i predznaka mogu zaključiti da li će kvadratna jednadžba imati realne korijene i, ako ima, koliki je broj korijena - jedan ili dva.
Vratimo se na jednačinu x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Prepišimo ga koristeći diskriminantnu notaciju: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .
Hajde da ponovo formulišemo naše zaključke:
Definicija 9
- at D< 0 jednadžba nema pravi korijen;
- at D=0 jednadžba ima jedan korijen x = - b 2 · a ;
- at D > 0 jednadžba ima dva korijena: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 ili x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Na osnovu svojstava radikala, ovi korijeni se mogu zapisati u obliku: x = - b 2 · a + D 2 · a ili - b 2 · a - D 2 · a. I, kada proširimo module i smanjimo razlomke na zajednički imenilac, dobijamo: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.
Dakle, rezultat našeg razmišljanja bio je izvođenje formule za korijene kvadratne jednadžbe:
x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, diskriminanta D izračunato po formuli D = b 2 − 4 a c.
Ove formule omogućavaju određivanje oba realna korijena kada je diskriminanta veća od nule. Kada je diskriminanta nula, primjena obje formule će dati isti korijen kao jedino rješenje kvadratne jednadžbe. U slučaju kada je diskriminanta negativna, ako pokušamo upotrijebiti formulu za korijen kvadratne jednadžbe, suočit ćemo se s potrebom da izvučemo Kvadratni korijen od negativnog broja, što će nas odvesti dalje od realnih brojeva. Sa negativnim diskriminantom, kvadratna jednadžba neće imati realne korijene, ali je moguć par kompleksnih konjugiranih korijena, određen istim formulama korijena koje smo dobili.
Algoritam za rješavanje kvadratnih jednadžbi korištenjem korijenskih formula
Kvadratnu jednačinu moguće je riješiti odmah koristeći formulu korijena, ali to se općenito radi kada je potrebno pronaći kompleksne korijene.
U većini slučajeva to obično znači traženje ne kompleksnih, već realnih korijena kvadratne jednadžbe. Tada je optimalno, prije upotrebe formula za korijene kvadratne jednadžbe, prvo odrediti diskriminanta i uvjeriti se da nije negativna (inače ćemo zaključiti da jednačina nema realnih korijena), a zatim pristupiti izračunavanju vrijednost korijena.
Gornje rezonovanje omogućava formulisanje algoritma za rješavanje kvadratne jednadžbe.
Definicija 10
Za rješavanje kvadratne jednačine a x 2 + b x + c = 0, potrebno:
- prema formuli D = b 2 − 4 a c pronaći diskriminantnu vrijednost;
- kod D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
- za D = 0, pronađite jedini koren jednačine koristeći formulu x = - b 2 · a ;
- za D > 0, odrediti dva realna korijena kvadratne jednadžbe koristeći formulu x = - b ± D 2 · a.
Imajte na umu da kada je diskriminanta nula, možete koristiti formulu x = - b ± D 2 · a, ona će dati isti rezultat kao i formula x = - b 2 · a.
Pogledajmo primjere.
Primjeri rješavanja kvadratnih jednačina
Dajemo rješenje na primjerima za različita značenja diskriminatorno.
Primjer 6
Moramo pronaći korijene jednačine x 2 + 2 x − 6 = 0.
Rješenje
Zapišimo numeričke koeficijente kvadratne jednadžbe: a = 1, b = 2 i c = − 6. Zatim nastavljamo prema algoritmu, tj. Počnimo s izračunavanjem diskriminanta, za koji ćemo zamijeniti koeficijente a, b I c u diskriminantnu formulu: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .
Tako dobijamo D > 0, što znači da će originalna jednadžba imati dva realna korijena.
Da bismo ih pronašli, koristimo formulu korijena x = - b ± D 2 · a i, zamjenom odgovarajućih vrijednosti, dobijamo: x = - 2 ± 28 2 · 1. Pojednostavimo rezultirajući izraz tako što ćemo uzeti faktor iz predznaka korijena, a zatim smanjiti razlomak:
x = - 2 ± 2 7 2
x = - 2 + 2 7 2 ili x = - 2 - 2 7 2
x = - 1 + 7 ili x = - 1 - 7
odgovor: x = - 1 + 7, x = - 1 - 7 .
Primjer 7
Potrebno je riješiti kvadratnu jednačinu − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.
Rješenje
Definirajmo diskriminanta: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Sa ovom vrijednošću diskriminanta, originalna jednačina će imati samo jedan korijen, određen formulom x = - b 2 · a.
x = - 28 2 (- 4) x = 3,5
odgovor: x = 3,5.
Primjer 8
Jednačinu treba riješiti 5 y 2 + 6 y + 2 = 0
Rješenje
Numerički koeficijenti ove jednačine će biti: a = 5, b = 6 i c = 2. Koristimo ove vrijednosti za pronalaženje diskriminanta: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Izračunati diskriminant je negativan, tako da originalna kvadratna jednadžba nema pravi korijen.
U slučaju kada je zadatak naznačiti kompleksne korijene, primjenjujemo formulu korijena, izvodeći radnje sa kompleksnim brojevima:
x = - 6 ± - 4 2 5,
x = - 6 + 2 i 10 ili x = - 6 - 2 i 10,
x = - 3 5 + 1 5 · i ili x = - 3 5 - 1 5 · i.
odgovor: nema pravih korena; kompleksni korijeni su sljedeći: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.
IN školski program Ne postoji standardni zahtjev za traženje kompleksnih korijena, stoga, ako se tokom rješavanja utvrdi da je diskriminanta negativna, odmah se zapisuje odgovor da nema pravih korijena.
Formula korijena za parne druge koeficijente
Korijenska formula x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) omogućava da se dobije još jedna formula, kompaktnija, koja omogućava pronalaženje rješenja kvadratnih jednadžbi s parnim koeficijentom za x ( ili sa koeficijentom oblika 2 · n, na primjer, 2 3 ili 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Hajde da pokažemo kako je ova formula izvedena.
Suočimo se sa zadatkom da pronađemo rješenje kvadratne jednačine a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Nastavljamo prema algoritmu: određujemo diskriminanta D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), a zatim koristimo formulu korijena:
x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .
Neka izraz n 2 − a · c bude označen kao D 1 (ponekad se označava kao D"). Tada će formula za korijene kvadratne jednadžbe koja se razmatra sa drugim koeficijentom 2 · n poprimiti oblik:
x = - n ± D 1 a, gdje je D 1 = n 2 − a · c.
Lako je vidjeti da je D = 4 · D 1, ili D 1 = D 4. Drugim riječima, D 1 je četvrtina diskriminanta. Očigledno je da je predznak D 1 isti kao i znak D, što znači da znak D 1 može poslužiti i kao indikator prisustva ili odsustva korijena kvadratne jednačine.
Definicija 11
Dakle, da bismo pronašli rješenje kvadratne jednadžbe sa drugim koeficijentom od 2 n, potrebno je:
- naći D 1 = n 2 − a · c ;
- na D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
- kada je D 1 = 0, odrediti jedini korijen jednadžbe koristeći formulu x = - n a;
- za D 1 > 0, odrediti dva realna korijena koristeći formulu x = - n ± D 1 a.
Primjer 9
Potrebno je riješiti kvadratnu jednačinu 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.
Rješenje
Drugi koeficijent date jednačine možemo predstaviti kao 2 · (− 3) . Zatim prepisujemo datu kvadratnu jednačinu kao 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, gdje je a = 5, n = − 3 i c = − 32.
Izračunajmo četvrti dio diskriminanta: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Rezultirajuća vrijednost je pozitivna, što znači da jednačina ima dva realna korijena. Odredimo ih pomoću odgovarajuće formule korijena:
x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,
x = 3 + 13 5 ili x = 3 - 13 5
x = 3 1 5 ili x = - 2
Bilo bi moguće izvršiti proračune koristeći uobičajenu formulu za korijene kvadratne jednadžbe, ali bi u ovom slučaju rješenje bilo glomaznije.
odgovor: x = 3 1 5 ili x = - 2 .
Pojednostavljivanje oblika kvadratnih jednačina
Ponekad je moguće optimizirati oblik originalne jednadžbe, što će pojednostaviti proces izračunavanja korijena.
Na primjer, kvadratnu jednadžbu 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 je očigledno pogodnije za rješavanje od 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.
Češće se pojednostavljivanje oblika kvadratne jednadžbe vrši množenjem ili dijeljenjem obje strane određenim brojem. Na primjer, gore smo prikazali pojednostavljeni prikaz jednačine 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0, dobivenu dijeljenjem obje strane sa 100.
Takva transformacija je moguća kada koeficijenti kvadratne jednadžbe nisu međusobno prosti brojevi. Tada obično dijelimo obje strane jednadžbe najvećim zajedničkim djeliteljem apsolutnih vrijednosti njenih koeficijenata.
Kao primjer koristimo kvadratnu jednačinu 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Odredimo GCD apsolutnih vrijednosti njegovih koeficijenata: GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Podijelimo obje strane originalne kvadratne jednadžbe sa 6 i dobijemo ekvivalentnu kvadratnu jednačinu 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.
Množenjem obje strane kvadratne jednadžbe obično se oslobađate razlomaka koeficijenata. U ovom slučaju, oni se množe sa najmanjim zajedničkim višekratnikom nazivnika njegovih koeficijenata. Na primjer, ako se svaki dio kvadratne jednadžbe 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 pomnoži sa LCM (6, 3, 1) = 6, tada će postati napisan u više u jednostavnom obliku x 2 + 4 x − 18 = 0 .
Konačno, napominjemo da se minusa na prvom koeficijentu kvadratne jednačine gotovo uvijek rješavamo promjenom predznaka svakog člana jednačine, što se postiže množenjem (ili dijeljenjem) obje strane sa −1. Na primjer, iz kvadratne jednadžbe − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0, možete preći na njenu pojednostavljenu verziju 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.
Odnos između korijena i koeficijenata
Formula za korijene kvadratnih jednadžbi, koja nam je već poznata, x = - b ± D 2 · a, izražava korijene jednadžbe kroz njene numeričke koeficijente. Na osnovu ove formule, imamo priliku da navedemo druge zavisnosti između korena i koeficijenata.
Najpoznatije i najprimenljivije formule su Vietin teorem:
x 1 + x 2 = - b a i x 2 = c a.
Konkretno, za datu kvadratnu jednačinu, zbir korijena je drugi koeficijent suprotnog predznaka, a proizvod korijena jednak je slobodnom članu. Na primjer, gledajući oblik kvadratne jednadžbe 3 x 2 − 7 x + 22 = 0, moguće je odmah utvrditi da je zbir njenih korijena 7 3, a proizvod korijena 22 3.
Također možete pronaći niz drugih veza između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe. Na primjer, zbir kvadrata korijena kvadratne jednadžbe može se izraziti u vidu koeficijenata:
x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Ova tema se u početku može činiti komplikovanom zbog mnogih ne tako jednostavnih formula. Ne samo da kvadratne jednadžbe imaju duge oznake, već se i korijeni nalaze preko diskriminanta. Ukupno su dobijene tri nove formule. Nije lako zapamtiti. To je moguće samo nakon čestog rješavanja ovakvih jednačina. Tada će se sve formule pamtiti same.
Opšti pogled na kvadratnu jednačinu
Ovdje predlažemo njihovo eksplicitno bilježenje, kada se prvo upiše najveći stepen, a zatim u opadajućem redoslijedu. Često postoje situacije kada su termini nedosljedni. Tada je bolje prepisati jednačinu u opadajućem redosledu stepena varijable.
Hajde da uvedemo neke oznake. Oni su predstavljeni u tabeli ispod.
Ako prihvatimo ove oznake, sve kvadratne jednadžbe se svode na sljedeću notaciju.
Štaviše, koeficijent a ≠ 0. Neka ova formula bude označena brojem jedan.
Kada je data jednadžba, nije jasno koliko će korijena biti u odgovoru. Jer jedna od tri opcije je uvijek moguća:
- rješenje će imati dva korijena;
- odgovor će biti jedan broj;
- jednadžba uopće neće imati korijene.
I dok se odluka ne donese, teško je razumjeti koja će se opcija pojaviti u konkretnom slučaju.
Vrste zapisa kvadratnih jednačina
Problemi ih mogu sadržavati različiti unosi. Neće uvek izgledati opšta formula kvadratna jednačina. Ponekad će mu nedostajati neki termini. Ono što je gore napisano jeste potpuna jednačina. Ako izbacite drugi ili treći termin u njemu, dobijate nešto drugo. Ovi zapisi se nazivaju i kvadratne jednačine, samo nepotpune.
Štaviše, samo članovi sa koeficijentima “b” i “c” mogu nestati. Broj "a" ne može biti jednak nuli ni pod kojim okolnostima. Jer se u ovom slučaju formula pretvara u linearnu jednačinu. Formule za nepotpuni oblik jednadžbi će biti sljedeće:
Dakle, postoje samo dvije vrste; osim potpunih, postoje i nepotpune kvadratne jednadžbe. Neka prva formula bude broj dva, a druga - tri.
Diskriminanta i zavisnost broja korijena od njegove vrijednosti
Morate znati ovaj broj da biste izračunali korijene jednadžbe. Uvijek se može izračunati, bez obzira koja je formula kvadratne jednačine. Da biste izračunali diskriminanta, trebate koristiti jednakost napisanu ispod, koja će imati broj četiri.
Nakon zamjene vrijednosti koeficijenta u ovu formulu, možete dobiti brojeve sa različiti znakovi. Ako je odgovor da, onda je odgovor na jednadžbu dva razni koreni. At negativan broj korijeni kvadratne jednadžbe će nedostajati. Ako je jednako nuli, biće samo jedan odgovor.
Kako riješiti kompletnu kvadratnu jednačinu?
Zapravo, razmatranje ovog pitanja je već počelo. Jer prvo morate pronaći diskriminanta. Nakon što se utvrdi da postoje korijeni kvadratne jednadžbe i njihov broj je poznat, potrebno je koristiti formule za varijable. Ako postoje dva korijena, onda morate primijeniti sljedeću formulu.
Pošto sadrži znak „±“, biće dve vrednosti. Izraz pod znakom kvadratnog korijena je diskriminanta. Stoga se formula može prepisati drugačije.
Formula broj pet. Iz istog zapisa je jasno da ako je diskriminanta jednaka nuli, tada će oba korijena imati iste vrijednosti.
Ako rješavanje kvadratnih jednadžbi još nije razrađeno, onda je bolje zapisati vrijednosti svih koeficijenata prije primjene diskriminantnih i varijabilnih formula. Kasnije ovaj trenutak neće uzrokovati poteškoće. Ali na samom početku dolazi do zabune.
Kako riješiti nepotpunu kvadratnu jednačinu?
Ovdje je sve mnogo jednostavnije. Nema čak ni potrebe za dodatne formule. A oni koji su već zapisani za diskriminatorno i nepoznato neće biti potrebni.
Hajde da prvo razmotrimo nepotpuna jednačina na broju dva. U ovoj jednakosti potrebno je nepoznatu količinu izvaditi iz zagrada i riješiti linearnu jednačinu koja će ostati u zagradama. Odgovor će imati dva korijena. Prvi je nužno jednak nuli, jer postoji množitelj koji se sastoji od same varijable. Drugi će se dobiti rješavanjem linearne jednadžbe.
Nepotpuna jednačina broj tri rješava se pomicanjem broja s lijeve strane jednakosti na desnu. Zatim trebate podijeliti sa koeficijentom okrenutim prema nepoznatom. Ostaje samo da izvučete kvadratni korijen i zapamtite da ga dvaput zapišete sa suprotnim predznacima.
Ispod su neki koraci koji će vam pomoći da naučite kako riješiti sve vrste jednakosti koje se pretvaraju u kvadratne jednadžbe. Oni će pomoći učeniku da izbjegne greške zbog nepažnje. Ovi nedostaci mogu uzrokovati slabe ocjene pri proučavanju opsežne teme „Kvadratne jednačine (8. razred).“ Nakon toga, ove radnje neće trebati stalno izvoditi. Jer će se pojaviti stabilna vještina.
- Prvo morate napisati jednačinu u standardnom obliku. Odnosno, prvo izraz sa najvećim stepenom varijable, a zatim - bez stepena, i poslednji - samo broj.
- Ako se ispred koeficijenta "a" pojavi minus, to može zakomplikovati posao početniku koji proučava kvadratne jednadžbe. Bolje je da ga se otarasimo. U tu svrhu, sve jednakosti se moraju pomnožiti sa “-1”. To znači da će svi pojmovi promijeniti predznak u suprotan.
- Preporučuje se da se na isti način riješite frakcija. Jednostavno pomnožite jednačinu odgovarajućim faktorom tako da se imenioci ponište.
Primjeri
Potrebno je riješiti sljedeće kvadratne jednadžbe:
x 2 − 7x = 0;
15 − 2x − x 2 = 0;
x 2 + 8 + 3x = 0;
12x + x 2 + 36 = 0;
(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).
Prva jednačina: x 2 − 7x = 0. Nepotpuna je, stoga se rješava kao što je opisano za formulu broj dva.
Nakon vađenja iz zagrada, ispada: x (x - 7) = 0.
Prvi korijen uzima vrijednost: x 1 = 0. Drugi će se naći iz linearna jednačina: x - 7 = 0. Lako je vidjeti da je x 2 = 7.
Druga jednadžba: 5x 2 + 30 = 0. Opet nepotpuna. Samo se to rješava kao što je opisano za treću formulu.
Nakon pomjeranja 30 na desnu stranu jednačine: 5x 2 = 30. Sada trebate podijeliti sa 5. Ispada: x 2 = 6. Odgovori će biti brojevi: x 1 = √6, x 2 = - √6.
Treća jednačina: 15 − 2h − x 2 = 0. Ovdje i dalje, rješavanje kvadratnih jednačina će početi njihovim prepisivanjem u standardni pogled: − x 2 − 2x + 15 = 0. Sada je vrijeme da iskoristimo drugi koristan savjet i pomnožite sve sa minus jedan. Ispada da je x 2 + 2x - 15 = 0. Koristeći četvrtu formulu, trebate izračunati diskriminanta: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. To je pozitivan broj. Iz onoga što je gore rečeno, ispada da jednačina ima dva korijena. Treba ih izračunati koristeći petu formulu. Ispada da je x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Tada je x 1 = 3, x 2 = - 5.
Četvrta jednačina x 2 + 8 + 3x = 0 pretvara se u ovu: x 2 + 3x + 8 = 0. Njen diskriminanta je jednaka ovoj vrijednosti: -23. Budući da je ovaj broj negativan, odgovor na ovaj zadatak bit će sljedeći unos: "Nema korijena."
Petu jednačinu 12x + x 2 + 36 = 0 treba prepisati na sljedeći način: x 2 + 12x + 36 = 0. Nakon primjene formule za diskriminanta, dobija se broj nula. To znači da će imati jedan korijen, odnosno: x = -12/ (2 * 1) = -6.
Šesta jednačina (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) zahtijeva transformacije, koje se sastoje u tome da treba donijeti slične članove, prvo otvarajući zagrade. Umjesto prvog bit će sljedeći izraz: x 2 + 2x + 1. Nakon jednakosti pojavit će se ovaj unos: x 2 + 3x + 2. Nakon što se prebroje slični članovi, jednačina će dobiti oblik: x 2 - x = 0. Postalo je nepotpuno. Nešto slično ovome je već bilo govora malo više. Korijeni ovoga će biti brojevi 0 i 1.