Pokazivanje veze između predznaka derivacije i prirode monotonosti funkcije.
Molimo vas da budete izuzetno oprezni u vezi sa sljedećim. Pogledajte, raspored ŠTA vam je dat! Funkcija ili njen derivat
Ako je dat graf derivacije, tada će nas zanimati samo predznaci funkcije i nule. Nas u principu ne zanimaju nikakva “brda” ili “duplje”!
Zadatak 1.
Slika prikazuje graf funkcije definirane na intervalu. Odrediti broj cjelobrojnih točaka u kojima je derivacija funkcije negativna.
Rješenje:
Na slici su područja opadajuće funkcije označena bojom:
Ove opadajuće regije funkcije sadrže 4 cjelobrojne vrijednosti.
Zadatak 2.
Slika prikazuje graf funkcije definirane na intervalu. Odrediti broj tačaka u kojima je tangenta na graf funkcije paralelna s pravom ili se poklapa s njom.
Rješenje:
Jednom kada je tangenta na graf funkcije paralelna (ili se poklapa) s pravom linijom (ili, što je ista stvar), ima nagib , jednak nuli, tada i tangenta ima ugaoni koeficijent.
To zauzvrat znači da je tangenta paralelna s osi, budući da je nagib tangenta ugla nagiba tangente prema osi.
Dakle, nalazimo tačke ekstrema (maksimalne i minimalne tačke) na grafu - upravo u tim tačkama funkcije tangente na graf će biti paralelne sa osom.
Postoje 4 takve tačke.
Zadatak 3.
Na slici je prikazan graf derivacije funkcije definirane na intervalu. Odrediti broj tačaka u kojima je tangenta na graf funkcije paralelna s pravom ili se poklapa s njom.
Rješenje:
Pošto je tangenta na graf funkcije paralelna (ili se poklapa) sa pravom koja ima nagib, onda i tangenta ima nagib.
To zauzvrat znači da na dodirnim tačkama.
Stoga, gledamo koliko točaka na grafu ima ordinatu jednaku .
Kao što vidite, postoje četiri takve tačke.
Zadatak 4.
Slika prikazuje graf funkcije definirane na intervalu. Pronađite broj tačaka u kojima je derivacija funkcije 0.
Rješenje:
Izvod je jednak nuli u tačkama ekstrema. Imamo ih 4:
Zadatak 5.
Slika prikazuje grafik funkcije i jedanaest tačaka na x-osi:. U koliko od ovih tačaka je derivacija funkcije negativna?
Rješenje:
Na intervalima opadajuće funkcije njen izvod poprima negativne vrijednosti. I funkcija se smanjuje u tačkama. Postoje 4 takve tačke.
Zadatak 6.
Slika prikazuje graf funkcije definirane na intervalu. Naći zbir točaka ekstrema funkcije.
Rješenje:
Ekstremne tačke– ovo su maksimalni poeni (-3, -1, 1) i minimalni poeni (-2, 0, 3).
Zbir bodova ekstrema: -3-1+1-2+0+3=-2.
Zadatak 7.
Na slici je prikazan graf derivacije funkcije definirane na intervalu. Naći intervale povećanja funkcije. U svom odgovoru navedite zbir cijelih bodova uključenih u ove intervale.
Rješenje:
Na slici su istaknuti intervali u kojima je derivacija funkcije nenegativna.
Na malom rastućem intervalu nema cijelih točaka; na rastućem intervalu postoje četiri cjelobrojne vrijednosti: , , i .
Njihov zbir:
Zadatak 8.
Na slici je prikazan graf derivacije funkcije definirane na intervalu. Naći intervale povećanja funkcije. U svom odgovoru navedite dužinu najvećeg od njih.
Rješenje:
Na slici su svi intervali na kojima je derivacija pozitivna istaknuti bojom, što znači da se sama funkcija povećava na tim intervalima.
Dužina najvećeg od njih je 6.
Zadatak 9.
Na slici je prikazan graf derivacije funkcije definirane na intervalu. U kojoj tački segmenta poprima najveću vrijednost?
Rješenje:
Da vidimo kako se graf ponaša na segmentu, što nas zanima samo znak derivacije .
Predznak derivacije na je minus, jer je graf na ovom segmentu ispod ose.
Operacija pronalaženja derivacije naziva se diferencijacija.
Kao rezultat rješavanja problema nalaženja izvoda najjednostavnijih (i ne baš jednostavnih) funkcija definiranjem derivacije kao granice omjera prirasta i inkrementa argumenta, pojavila se tabela derivacija i tačno određena pravila diferencijaciju. Prvi koji su radili na polju pronalaženja derivata bili su Isak Newton (1643-1727) i Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
Stoga, u naše vrijeme, da biste pronašli izvod bilo koje funkcije, ne morate izračunati gore spomenutu granicu omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, već samo trebate koristiti tablicu derivati i pravila diferencijacije. Sljedeći algoritam je pogodan za pronalaženje izvoda.
Da nađemo derivat, potreban vam je izraz pod predznakom rastaviti jednostavne funkcije na komponente i odredite koje akcije (proizvod, zbir, količnik) ove funkcije su povezane. Zatim pronalazimo izvode elementarnih funkcija u tabeli izvoda, a formule za izvode proizvoda, sume i količnika - u pravilima diferencijacije. Izvodna tablica i pravila diferencijacije dati su nakon prva dva primjera.
Primjer 1. Pronađite izvod funkcije
Rješenje. Iz pravila diferencijacije saznajemo da je derivacija zbira funkcija zbir izvoda funkcija, tj.
Iz tabele izvoda saznajemo da je izvod "x" jednak jedan, a izvod sinusa kosinus. Zamjenjujemo ove vrijednosti u zbir derivacija i pronalazimo derivaciju koju zahtijeva uvjet problema:
Primjer 2. Pronađite izvod funkcije
Rješenje. Razlikujemo kao derivaciju sume u kojoj drugi član ima konstantan faktor; može se izvaditi iz predznaka izvoda:
Ako se i dalje postavljaju pitanja o tome odakle nešto dolazi, obično se razjasne nakon što se upoznate s tablicom izvedenica i najjednostavnijim pravilima diferencijacije. Prelazimo na njih upravo sada.
Tablica izvoda jednostavnih funkcija
| 1. Derivat konstante (broja). Bilo koji broj (1, 2, 5, 200...) koji se nalazi u izrazu funkcije. Uvijek jednako nuli. Ovo je veoma važno zapamtiti, jer je to vrlo često potrebno | |
| 2. Derivat nezavisne varijable. Najčešće "X". Uvek jednako jedan. Ovo je takođe važno zapamtiti dugo vremena | |
| 3. Derivat stepena. Kada rješavate probleme, morate pretvoriti nekvadratne korijene u potencije. | |
| 4. Derivat varijable na stepen -1 | |
| 5. Derivat kvadratni korijen | |
| 6. Derivat sinusa | |
| 7. Derivat kosinusa |  |
| 8. Derivat tangente |  |
| 9. Derivat kotangensa |  |
| 10. Derivat od arcsinusa |  |
| 11. Derivat arkosinusa |  |
| 12. Derivat arktangensa |  |
| 13. Derivat arc kotangensa |  |
| 14. Derivat prirodnog logaritma | |
| 15. Derivat logaritamske funkcije |  |
| 16. Derivat eksponenta | |
| 17. Derivat eksponencijalne funkcije |
Pravila diferencijacije
| 1. Derivat zbira ili razlike |  |
| 2. Derivat proizvoda |  |
| 2a. Derivat izraza pomnožen konstantnim faktorom | |
| 3. Derivat količnika |  |
| 4. Derivat kompleksne funkcije |  |
Pravilo 1.Ako funkcije
su diferencibilne u nekoj tački, onda su funkcije diferencibilne u istoj tački
i
one. izvod algebarskog zbira funkcija jednak je algebarskom zbiru izvoda ovih funkcija.
Posljedica. Ako se dvije diferencijabilne funkcije razlikuju po konstantnom članu, onda su njihovi derivati jednaki, tj.
Pravilo 2.Ako funkcije
su diferencibilni u nekom trenutku, onda je njihov proizvod diferencibilan u istoj tački
i
one. Izvod proizvoda dvije funkcije jednak je zbroju proizvoda svake od ovih funkcija i derivacije druge.
Zaključak 1. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka derivacije:
Zaključak 2. Derivat proizvoda nekoliko diferencijabilnih funkcija jednak je zbroju proizvoda izvoda svakog faktora i svih ostalih.
Na primjer, za tri množitelja:
Pravilo 3.Ako funkcije
diferenciran u nekom trenutku I , onda je u ovom trenutku njihov količnik također diferenciranu/v , i
one. izvod količnika dvije funkcije jednak je razlomku čiji je brojnik razlika između proizvoda nazivnika i izvoda brojnika i brojnika i izvoda nazivnika, a nazivnik je kvadrat od bivši brojilac.
Gdje tražiti stvari na drugim stranicama
Prilikom pronalaženja derivacije proizvoda i količnika u stvarnim problemima uvijek je potrebno primijeniti nekoliko pravila diferencijacije odjednom, stoga više primjera za ove derivate - u članku"Derivat proizvoda i količnik funkcija".
Komentar. Ne treba brkati konstantu (tj. broj) kao pojam u zbiru i kao konstantni faktor! U slučaju nekog člana, njegov izvod je jednak nuli, a u slučaju konstantnog faktora uzet je iz predznaka izvoda. Ovo tipična greška, koji se javlja na početna faza proučavaju izvedenice, ali kako rješavaju nekoliko jednodijelnih i dvodijelnih primjera, prosječan student više ne pravi ovu grešku.
I ako, kada razlikujete proizvod ili količnik, imate pojam u"v, u kojem u- broj, na primjer, 2 ili 5, odnosno konstanta, tada će derivacija ovog broja biti jednaka nuli i, prema tome, cijeli član će biti jednak nuli (ovaj slučaj je razmatran u primjeru 10).
Druga uobičajena greška je mehanički rješavanje derivacije složene funkcije kao derivacije jednostavne funkcije. Zbog toga derivat kompleksne funkcije posvećen je poseban članak. Ali prvo ćemo naučiti pronaći derivate jednostavne funkcije.
Usput, ne možete bez transformacije izraza. Da biste to učinili, možda ćete morati otvoriti priručnik u novim prozorima. Akcije sa moćima i korijenima I Operacije sa razlomcima .
Ako tražite rješenja za izvode razlomaka sa potencijama i korijenima, odnosno kada funkcija izgleda kao 
, zatim slijedi lekcija "Izvod zbira razlomaka sa potencijama i korijenima."
Ako imate zadatak kao 
, onda ćete uzeti lekciju “Izvodi jednostavnih trigonometrijskih funkcija”.
Korak po korak primjeri - kako pronaći derivat
Primjer 3. Pronađite izvod funkcije
Rješenje. Definiramo dijelove izraza funkcije: cijeli izraz predstavlja proizvod, a njegovi faktori su zbroji, u drugom od kojih jedan od pojmova sadrži konstantni faktor. Primjenjujemo pravilo diferencijacije proizvoda: derivacija proizvoda dvije funkcije jednaka je zbroju proizvoda svake od ovih funkcija derivacijom druge:
Zatim primjenjujemo pravilo diferencijacije zbira: derivacija algebarskog zbira funkcija jednaka je algebarskom zbiru izvoda ovih funkcija. U našem slučaju, u svakom zbiru drugi član ima predznak minus. U svakom zbiru vidimo i nezavisnu varijablu, čiji je izvod jednak jedan, i konstantu (broj), čiji je izvod jednak nuli. Dakle, "X" se pretvara u jedan, a minus 5 u nulu. U drugom izrazu, "x" se množi sa 2, tako da množimo dva sa istom jedinicom kao izvod "x". Dobijamo sljedeće derivacijske vrijednosti:
Pronađene derivacije zamjenjujemo u zbir proizvoda i dobivamo derivaciju cijele funkcije koju zahtijeva uvjet zadatka:
Primjer 4. Pronađite izvod funkcije
Rješenje. Od nas se traži da pronađemo izvod količnika. Primjenjujemo formulu za diferenciranje količnika: izvod količnika dvije funkcije jednak je razlomku, čiji je brojnik razlika između proizvoda nazivnika i izvoda brojnika i brojnika i izvoda od nazivnik, a imenilac je kvadrat prethodnog brojnika. Dobijamo:
Već smo pronašli derivaciju faktora u brojiocu u primjeru 2. Ne zaboravimo također da je proizvod, koji je drugi faktor u brojniku u trenutnom primjeru, uzet sa predznakom minus:
Ako tražite rješenja za probleme u kojima trebate pronaći derivaciju funkcije, gdje postoji neprekidna gomila korijena i potencija, kao što je npr. 
, onda dobro došli na čas "Derivat zbira razlomaka sa potencijama i korijenima" .
Ako trebate naučiti više o derivatima sinusa, kosinusa, tangenta i drugih trigonometrijske funkcije, odnosno kada funkcija izgleda kao , onda lekcija za vas "Derivati jednostavnih trigonometrijskih funkcija" .
Primjer 5. Pronađite izvod funkcije
Rješenje. U ovoj funkciji vidimo proizvod čiji je jedan od faktora kvadratni korijen nezavisne varijable, čiji smo izvod upoznali u tabeli derivacija. Prema pravilu diferencijacije proizvoda i vrijednost tabele izvod kvadratnog korijena dobijamo:
Primjer 6. Pronađite izvod funkcije
Rješenje. U ovoj funkciji vidimo količnik čija je dividenda kvadratni korijen nezavisne varijable. Koristeći pravilo diferencijacije količnika, koje smo ponovili i primijenili u primjeru 4, i tabelarne vrijednosti derivacije kvadratnog korijena, dobijamo:
Da biste se riješili razlomka u brojniku, pomnožite brojilac i imenilac sa .
Prilikom rješavanja različitih problema geometrije, mehanike, fizike i drugih grana znanja pojavila se potreba da se iz ove funkcije koristi isti analitički proces. y=f(x) primiti nova funkcija koji se zove derivirajuća funkcija(ili jednostavno derivacija) date funkcije f(x) i označen je simbolom
Proces kojim iz date funkcije f(x) nabavite novu funkciju f" (x), zvao diferencijaciju a sastoji se od sljedeća tri koraka: 1) dati argument x prirast
x i odredite odgovarajući prirast funkcije
y = f(x+
x) -f(x); 2) uspostaviti vezu 
3) brojanje x konstantan i
x0, nalazimo 
, koje označavamo sa f" (x), kao da naglašava da rezultirajuća funkcija ovisi samo o vrijednosti x, na kojoj idemo do granice. Definicija:
Derivat y " =f " (x)
data funkcija y=f(x)
za dati x naziva se granica omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, pod uslovom da prirast argumenta teži nuli, ako, naravno, ova granica postoji, tj. konačan. dakle, 
, ili 
Imajte na umu da ako za neku vrijednost x, na primjer kada x=a, stav 
at
x0 ne teži konačnoj granici, onda u ovom slučaju kažu da je funkcija f(x) at x=a(ili u tački x=a) nema izvod ili nije diferencibilan u tački x=a.
2. Geometrijsko značenje izvedenice.
Razmotrimo graf funkcije y = f (x), diferencibilne u blizini tačke x 0
f(x)
Razmotrimo proizvoljnu pravu liniju koja prolazi kroz tačku na grafu funkcije - tačku A(x 0, f (x 0)) i seče graf u nekoj tački B(x;f(x)). Takva prava (AB) se naziva sekansa. Od ∆ABC: AC = ∆x; VS =∆u; tgβ=∆y/∆x.
Budući da AC || Ox, zatim ALO = BAC = β (kao što odgovara za paralelu). Ali ALO je ugao nagiba sekante AB prema pozitivnom smjeru ose Ox. To znači da je tanβ = k nagib prave AB.
Sada ćemo smanjiti ∆h, tj. ∆h→ 0. U ovom slučaju, tačka B će se približiti tački A prema grafu, a sekansa AB će se rotirati. Granični položaj sekante AB na ∆x→ 0 bit će prava linija (a), nazvana tangenta na graf funkcije y = f (x) u tački A.
Ako idemo na granicu kao ∆x → 0 u jednakosti tgβ =∆y/∆x, dobićemo 
ortg =f "(x 0), pošto 
-ugao nagiba tangente na pozitivan pravac ose Ox 
, po definiciji derivata. Ali tg = k je ugaoni koeficijent tangente, što znači k = tg = f "(x 0).
Dakle, geometrijsko značenje derivacije je sljedeće:
Derivat funkcije u tački x 0 jednak nagibu tangente na graf funkcije nacrtane u tački sa apscisom x 0 .
3. Fizičko značenje izvedenice.
Razmotrimo kretanje tačke duž prave linije. Neka je data koordinata tačke u bilo kom trenutku x(t). Poznato je (iz kursa fizike) da je prosječna brzina u određenom vremenskom periodu jednaka odnosu pređenog puta u tom vremenskom periodu i vremena, tj.
Vav = ∆x/∆t. Idemo do granice u posljednjoj jednakosti kao ∆t → 0.
lim Vav (t) = (t 0) - trenutna brzina u trenutku t 0, ∆t → 0.
i lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (po definiciji derivacije).
Dakle, (t) =x"(t).
Fizičko značenje izvoda je sljedeće: izvod funkcijey = f(x) u tačkix 0 je stopa promjene funkcijef(x) u tačkix 0
Izvod se koristi u fizici za pronalaženje brzine iz poznate funkcije koordinata u odnosu na vrijeme, ubrzanje iz poznate funkcije brzine u odnosu na vrijeme.
(t) = x"(t) - brzina,
a(f) = "(t) - ubrzanje, ili
Ako je poznat zakon kretanja materijalne tačke u krugu, onda se može pronaći ugaona brzina i ugaono ubrzanje tokom rotacionog kretanja:
φ = φ(t) - promjena ugla tokom vremena,
ω = φ"(t) - ugaona brzina,
ε = φ"(t) - kutno ubrzanje, ili ε = φ"(t).
Ako je poznat zakon raspodjele mase nehomogenog štapa, tada se može pronaći linearna gustina nehomogenog štapa:
m = m(x) - masa,
x , l - dužina štapa,
p = m"(x) - linearna gustina.
Koristeći derivaciju, rješavaju se problemi iz teorije elastičnosti i harmonijskih vibracija. Dakle, prema Hookeovom zakonu
F = -kx, x – varijabilna koordinata, k – koeficijent elastičnosti opruge. Stavljajući ω 2 =k/m, dobijamo diferencijalnu jednačinu opružnog klatna x"(t) + ω 2 x(t) = 0,
gdje je ω = √k/√m frekvencija oscilovanja (l/c), k - krutost opruge (H/m).
Jednačina oblika y" + ω 2 y = 0 naziva se jednadžba harmonijskih oscilacija (mehaničkih, električnih, elektromagnetskih). Rješenje takvih jednačina je funkcija
y = Asin(ωt + φ 0) ili y = Acos(ωt + φ 0), gdje je
A - amplituda oscilacija, ω - ciklična frekvencija,
φ 0 - početna faza.
Kontinuitet i diferencijabilnost funkcije.
Darbouxova teorema . Intervali monotonije.
Kritične tačke . Extremum (minimum, maksimum).
Dizajn studija funkcije.
Odnos između kontinuiteta i diferencijabilnosti funkcije. Ako je funkcija f(x)je diferencibilan u nekom trenutku, onda je u toj tački kontinuiran. Obrnuto nije tačno: kontinuirana funkcija možda nema derivat.
Ilustracija. Ako je funkcija u nekom trenutku diskontinuirana, onda nema izvod u ovom trenutku.
Dovoljni znaci monotonosti funkcije.
Ako je f’(x) > 0 u svakoj tački intervala (a, b), onda je funkcija f (x)povećava u ovom intervalu.
Ako je f’(x) < 0 u svakoj tački intervala (a, b) , tada funkcija f(x)smanjuje se na ovom intervalu.
Darbouxova teorema. Tačke u kojima je derivacija funkcije 0ili ne postoji, podijelite domenu definicije funkcije na intervale unutar kojih derivacija zadržava svoj predznak.
Koristeći ove intervale može se pronaći intervali monotonije funkcije, što je vrlo važno kada ih proučavate.
Posljedično, funkcija raste u intervalima (- , 0) i ( 1, + ) i opada na intervalu ( 0, 1). Dot x= 0 nije uključeno u domenu definicije funkcije, ali kako se približavamox k0 termin x - 2 raste neograničeno, pa se i funkcija neograničeno povećava. U tačkix= 1 vrijednost funkcije je 3. Prema ovoj analizi možemo objavitigrafikon funkcije ( Fig.4 b ) .
Kritične tačke. Unutrašnje tačke domene funkcije, u kojem derivacija je jednaka null ili ne postoji, su pozvani kritičan tačke ovu funkciju. Ove tačke su veoma važne pri analizi funkcije i crtanju njenog grafa, jer samo u tim tačkama funkcija može imati ekstrem (minimum ili maksimum , Fig.5 A,b).
U tačkama x 1 , x 2 (Sl.5 a) I x 3 (Sl.5 b) izvod je 0; u tačkama x 1 , x 2 (Sl.5 b) derivat ne postoji. Ali sve su to ekstremne tačke.
Neophodan uslov za ekstrem. Ako x 0 - tačka ekstrema funkcije f(x) i derivacija f’ postoji u ovoj tački, tada f’(x 0)= 0.
Ova teorema je neophodno ekstremno stanje. Ako je derivacija funkcije u nekom trenutku 0, to ne znači to funkcija u ovom trenutku ima ekstrem. Na primjer, derivacija funkcijef (x) = x 3 jednako 0 at x= 0, ali ova funkcija u ovoj tački nema ekstrem (slika 6).
S druge strane, funkcijay = | x| , prikazan na slici 3, ima minimum u tačkix= 0, ali u ovom trenutku izvod ne postoji.
Dovoljni uslovi za ekstrem.
Ako je izvod prilikom prolaska kroz tačku x 0 tada mijenja svoj predznak iz plusa u minus x 0 - maksimalni poen.
Ako je izvod prilikom prolaska kroz tačku x 0 mijenja svoj predznak iz minus u plus, zatim x 0 - minimalni bod.
Dizajn studija funkcije. Da nacrtate graf funkcije potrebno vam je:
1) pronaći domenu definicije i raspon vrijednosti funkcije,
2) odrediti da li je funkcija parna ili neparna,
3) utvrditi da li je funkcija periodična ili ne,
4) pronaći nule funkcije i njene vrijednosti nax = 0,
5) pronaći intervale konstantnog predznaka,
6) pronaći intervale monotonosti,
7) pronaći tačke ekstrema i vrijednosti funkcije u tim tačkama,
8) analizirati ponašanje funkcije u blizini “singularnih” tačaka
I kada velike vrijednosti modulx .
PRIMJER Istražite funkcijuf(x) = x 3 + 2 x 2 - x- 2 i nacrtajte graf.
Rješenje. Proučimo funkciju prema gornjoj shemi.
1) domenaxR (x– bilo koji pravi broj);
Raspon vrijednostiyR , jer f (x) – neparni polinom
stepeni;
2) funkcija f (x) nije ni paran ni neparan
(pojasni molim te);
3) f (x) je neperiodična funkcija (dokažite sami);
4) grafik funkcije siječe osuY u tački (0, – 2),
Jer f (0) = - 2 ; da pronađete nule funkcije koja vam je potrebna
Riješite jednačinu:x 3 + 2 x 2 - x - 2 = 0, jedan od korijena
Koji ( x= 1) je očigledno. Drugi korijeni su
(ako jesu! ) iz rješavanja kvadratne jednadžbe:
x 2 + 3 x+ 2 = 0, koji se dobija dijeljenjem polinoma
x 3 + 2 x 2 - x- 2 po binomu ( x- 1). Lako za provjeru
Koja su druga dva korijena:x 2 = - 2 i x 3 = - 1. Dakle,
Nule funkcije su: - 2, - 1 i 1.
5) To znači da je brojevna osa podijeljena ovim korijenima sa
Četiri intervala konstantnosti znaka, unutar kojih
Funkcija zadržava svoj predznak:
Ovaj rezultat se može dobiti proširenjem
polinom na faktore:
x 3 + 2 x 2 - x - 2 = (x + 2) (x + 1 (x – 1)
I procjena znaka djela .
6) Derivat f' (x) = 3 x 2 + 4 x- 1 nema tačaka u kojima
Ne postoji, pa je njegov domen definicijeR (Sve
Realni brojevi); nulef' (x) su korijeni jednadžbe:
3 x 2 + 4 x- 1 = 0 .
Dobijeni rezultati su sažeti u tabeli:
Zadatak.
Funkcija y=f(x) definirana je na intervalu (-5; 6). Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x). Pronađite među tačkama x 1, x 2, ..., x 7 one tačke u kojima je derivacija funkcije f(x) jednaka nuli. Kao odgovor, zapišite broj pronađenih bodova.
Rješenje:
Princip u rješavanju ovog problema je sljedeći: postoje tri moguće ponašanje funkcije na ovom intervalu:
1) kada se funkcija povećava (izvod je veći od nule)
2) kada se funkcija smanjuje (gdje je izvod manji od nule)
3) kada se funkcija ne povećava ili smanjuje (gdje je izvod ili nula ili ne postoji)
Nas zanima treća opcija.
Izvod je jednak nuli gdje je funkcija glatka i ne postoji na prijelomnim tačkama. Pogledajmo sve ove tačke.
x 1 - funkcija raste, što znači da je izvod f′(x) >0
x 2 - funkcija uzima minimum i glatka je, što znači da je izvod f ′(x) = 0
x 3 - funkcija uzima maksimum, ali u ovom trenutku dolazi do prekida, što znači derivat f ′(x) ne postoji
x 4 - funkcija uzima maksimum, ali u ovom trenutku dolazi do prekida, što znači derivat f ′(x) ne postoji
x 5 - izvod f ′(x) = 0
x 6 - funkcija raste, što znači derivaciju f′(x) >0
x 7 - funkcija uzima minimum i glatka je, što znači izvod f ′(x) = 0
Vidimo da je f ′(x) = 0 u tačkama x 2, x 5 i x 7, ukupno 3 boda.