U praksi je prilično uobičajeno koristiti derivaciju za izračunavanje najveće i najmanje vrijednosti funkcije. Ovu radnju izvodimo kada shvatimo kako da minimiziramo troškove, povećamo profit, izračunamo optimalno opterećenje proizvodnje itd., odnosno u slučajevima kada trebamo odrediti optimalnu vrijednost nekog parametra. Da biste ispravno riješili takve probleme, morate dobro razumjeti koje su najveće i najmanje vrijednosti funkcije.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Obično ove vrijednosti definiramo unutar određenog intervala x, koji zauzvrat može odgovarati cijeloj domeni funkcije ili njenom dijelu. Može biti kao segment [a; b ] , i otvoreni interval (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), beskonačan interval (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) ili beskonačan interval - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .
U ovom materijalu ćemo vam reći kako izračunati najveću i najmanju vrijednost eksplicitno definirane funkcije s jednom varijablom y=f(x) y = f (x) .
Osnovne definicije
Počnimo, kao i uvijek, sa formulacijom osnovnih definicija.
Definicija 1
Najveća vrijednost funkcije y = f (x) na određenom intervalu x je vrijednost m a x y = f (x 0) x ∈ X, što za bilo koju vrijednost x x ∈ X, x ≠ x 0 čini nejednakost f (x) ≤ f (x) vrijedi 0) .
Definicija 2
Najmanja vrijednost funkcije y = f (x) na određenom intervalu x je vrijednost m i n x ∈ X y = f (x 0) , koja za bilo koju vrijednost x ∈ X, x ≠ x 0 čini nejednakost f(X f (x) ≥ f (x 0) .
Ove definicije su sasvim očigledne. Još jednostavnije, možete reći ovo: najveća vrijednost funkcije su njegove najviše veliki značaj na poznatom intervalu na apscisi x 0, a najmanja je najmanja prihvaćena vrijednost na istom intervalu na x 0.
Definicija 3
Stacionarne točke su one vrijednosti argumenta funkcije u kojima njena derivacija postaje 0.
Zašto moramo znati šta su stacionarne tačke? Da bismo odgovorili na ovo pitanje, moramo se sjetiti Fermatove teoreme. Iz toga slijedi da je stacionarna tačka tačka u kojoj se nalazi ekstrem diferencijabilne funkcije (tj. njen lokalni minimum ili maksimum). Posljedično, funkcija će uzeti najmanju ili najveću vrijednost na određenom intervalu upravo u jednoj od stacionarnih tačaka.
Funkcija također može poprimiti najveću ili najmanju vrijednost u onim točkama u kojima je sama funkcija definirana i njen prvi izvod ne postoji.
Prvo pitanje koje se nameće prilikom proučavanja ove teme: možemo li u svim slučajevima odrediti najveću ili najmanju vrijednost funkcije na datom intervalu? Ne, to ne možemo učiniti kada se granice datog intervala poklapaju sa granicama područja definicije, ili ako imamo posla sa beskonačnim intervalom. Takođe se dešava da će funkcija u datom segmentu ili u beskonačnosti uzeti beskonačno male ili beskonačno velike vrednosti. U tim slučajevima nije moguće odrediti najveću i/ili najmanju vrijednost.
Ove tačke će postati jasnije nakon što budu prikazane na grafikonima:
Prva slika nam prikazuje funkciju koja uzima najveće i najmanju vrijednost(m a x y i m i n y) u stacionarnim tačkama koje se nalaze na segmentu [ - 6 ; 6].
Hajde da detaljno ispitamo slučaj prikazan u drugom grafikonu. Promijenimo vrijednost segmenta u [ 1 ; 6 ] i nalazimo da će maksimalna vrijednost funkcije biti postignuta u tački sa apscisom u desna granica interval, a najmanji u stacionarnoj tački.
Na trećoj slici, apscise tačaka predstavljaju granične tačke segmenta [ - 3 ; 2]. Oni odgovaraju najvećoj i najmanjoj vrijednosti date funkcije.
Pogledajmo sada četvrtu sliku. U njemu funkcija uzima m a x y (najveća vrijednost) i m i n y (najmanja vrijednost) u stacionarnim tačkama na otvorenom intervalu (- 6; 6).
Ako uzmemo interval [ 1 ; 6), tada možemo reći da će se najmanja vrijednost funkcije na njemu postići u stacionarnoj tački. Najveća vrijednost će nam biti nepoznata. Funkcija bi mogla poprimiti svoju maksimalnu vrijednost na x jednaku 6 ako x = 6 pripada intervalu. Upravo je to slučaj prikazan na grafikonu 5.
Na grafikonu 6 najniža vrijednost ovu funkciju stiče na desnoj granici intervala (- 3; 2 ], a ne možemo izvući definitivne zaključke o najvećoj vrijednosti.
Na slici 7 vidimo da će funkcija imati m a x y u stacionarnoj tački koja ima apscisu jednaku 1. Funkcija će dostići svoju minimalnu vrijednost na granici intervala c desna strana. Na minus beskonačnosti, vrijednosti funkcije će se asimptotski približiti y = 3.
Ako uzmemo interval x ∈ 2 ; + ∞ , tada ćemo vidjeti da data funkcija neće uzeti ni najmanju ni najveću vrijednost na njoj. Ako x teži 2, tada će vrijednosti funkcije težiti minus beskonačnosti, jer je prava linija x = 2 vertikalna asimptota. Ako apscisa teži plus beskonačnosti, tada će se vrijednosti funkcije asimptotski približiti y = 3. Upravo je to slučaj prikazan na slici 8.
U ovom odlomku predstavićemo redosled radnji koje je potrebno izvršiti da bi se pronašla najveća ili najmanja vrednost funkcije na određenom segmentu.
- Prvo, pronađimo domenu definicije funkcije. Provjerimo da li je segment naveden u uvjetu uključen u njega.
- Sada izračunajmo tačke sadržane u ovom segmentu u kojima prvi izvod ne postoji. Najčešće se mogu naći u funkcijama čiji je argument napisan pod znakom modula, ili u funkcijama stepena čiji je eksponent razlomački racionalan broj.
- Zatim ćemo saznati koje će stacionarne tačke pasti u dati segment. Da biste to učinili, morate izračunati derivaciju funkcije, zatim je izjednačiti sa 0 i riješiti rezultirajuću jednadžbu, a zatim odabrati odgovarajuće korijene. Ako ne dobijemo ni jednu stacionarnu tačku ili ne spadaju u dati segment, prelazimo na sljedeći korak.
- Određujemo koje će vrijednosti funkcija imati u datim stacionarnim točkama (ako ih ima), ili u onim tačkama u kojima prvi izvod ne postoji (ako ih ima), ili izračunavamo vrijednosti za x = a i x = b.
- 5. Imamo niz vrijednosti funkcije, od kojih sada trebamo odabrati najveću i najmanju. To će biti najveće i najmanje vrijednosti funkcije koje trebamo pronaći.
Pogledajmo kako pravilno primijeniti ovaj algoritam prilikom rješavanja problema.
Primjer 1
Stanje: data je funkcija y = x 3 + 4 x 2. Odrediti njegovu najveću i najmanju vrijednost na segmentima [ 1 ; 4 ] i [ - 4 ; - 1 ] .
Rješenje:
Počnimo od pronalaženja domene definicije date funkcije. U ovom slučaju, to će biti skup svih realnih brojeva osim 0. Drugim riječima, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . Oba segmenta navedena u uvjetu bit će unutar područja definicije.
Sada izračunavamo derivaciju funkcije prema pravilu diferencijacije razlomaka:
y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3
Naučili smo da će izvod funkcije postojati u svim tačkama segmenata [1; 4 ] i [ - 4 ; - 1 ] .
Sada moramo odrediti stacionarne tačke funkcije. Uradimo to pomoću jednačine x 3 - 8 x 3 = 0. Ima samo jedan pravi korijen, a to je 2. To će biti stacionarna tačka funkcije i pasti u prvi segment [1; 4 ] .
Izračunajmo vrijednosti funkcije na krajevima prvog segmenta iu ovoj tački, tj. za x = 1, x = 2 i x = 4:
y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4
Otkrili smo da je najveća vrijednost funkcije m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 će se postići pri x = 1, a najmanji m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – pri x = 2.
Drugi segment ne uključuje niti jednu stacionarnu tačku, tako da moramo izračunati vrijednosti funkcije samo na krajevima datog segmenta:
y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3
To znači m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .
odgovor: Za segment [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , za segment [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .
pogledajte sliku:
Prije nego učite ovu metodu, savjetujemo vam da pregledate kako pravilno izračunati jednostranu granicu i granicu u beskonačnosti, kao i da naučite osnovne metode za njihovo pronalaženje. Da biste pronašli najveću i/ili najmanju vrijednost funkcije na otvorenom ili beskonačnom intervalu, izvršite sljedeće korake uzastopno.
- Prvo morate provjeriti da li će dati interval biti podskup domene date funkcije.
- Odredimo sve tačke koje se nalaze u traženom intervalu i u kojima prvi izvod ne postoji. Obično se javljaju za funkcije kod kojih je argument zatvoren u znaku modula i za funkcije stepena s razlomno racionalnim eksponentom. Ako ove tačke nedostaju, možete preći na sljedeći korak.
- Sada odredimo koje će stacionarne tačke pasti unutar zadanog intervala. Prvo izjednačavamo derivaciju sa 0, rješavamo jednačinu i odabiremo odgovarajuće korijene. Ako nemamo ni jednu stacionarnu tačku ili one ne spadaju u zadati interval, odmah idemo na dalje radnje. Oni su određeni tipom intervala.
- Ako je interval u obliku [ a ; b) , tada trebamo izračunati vrijednost funkcije u tački x = a i jednostranoj granici lim x → b - 0 f (x) .
- Ako interval ima oblik (a; b ], onda trebamo izračunati vrijednost funkcije u tački x = b i jednostranoj granici lim x → a + 0 f (x).
- Ako interval ima oblik (a; b), onda moramo izračunati jednostrane granice lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x).
- Ako je interval u obliku [ a ; + ∞), tada trebamo izračunati vrijednost u tački x = a i granicu na plus beskonačno lim x → + ∞ f (x) .
- Ako interval izgleda kao (- ∞ ; b ] , izračunavamo vrijednost u tački x = b i granicu u minus beskonačnosti lim x → - ∞ f (x) .
- Ako je - ∞ ; b , tada razmatramo jednostranu granicu lim x → b - 0 f (x) i granicu na minus beskonačnost lim x → - ∞ f (x)
- Ako je - ∞; + ∞ , tada razmatramo granice na minus i plus beskonačnost lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .
- Na kraju morate izvući zaključak na osnovu dobijenih vrijednosti funkcije i ograničenja. Ovdje su dostupne mnoge opcije. Dakle, ako je jednostrana granica jednaka minus beskonačnosti ili plus beskonačnosti, onda je odmah jasno da se ništa ne može reći o najmanjoj i najvećoj vrijednosti funkcije. U nastavku ćemo pogledati jedan tipičan primjer. Detaljni opisi pomoći će vam da shvatite šta je šta. Ako je potrebno, možete se vratiti na slike 4 - 8 u prvom dijelu materijala.
Uslov: data funkcija y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Izračunajte njegovu najveću i najmanju vrijednost u intervalima - ∞ ; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; + ∞) .
Rješenje
Prije svega, nalazimo domenu definicije funkcije. Imenilac razlomka sadrži kvadratni trinom, koji se ne bi trebao pretvoriti u 0:
x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)
Dobili smo domenu definicije funkcije kojoj pripadaju svi intervali navedeni u uvjetu.
Sada ćemo razlikovati funkciju i dobiti:
y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6 " (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2
Prema tome, derivati funkcije postoje u cijelom njenom domenu definicije.
Pređimo na pronalaženje stacionarnih tačaka. Derivat funkcije postaje 0 na x = - 1 2 . Ovo je stacionarna tačka koja leži u intervalima (- 3 ; 1 ] i (- 3 ; 2) .
Izračunajmo vrijednost funkcije na x = - 4 za interval (- ∞ ; - 4 ], kao i granicu na minus beskonačnost:
y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1
Pošto je 3 e 1 6 - 4 > - 1, to znači da je m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. To nam ne dozvoljava da jedinstveno odredimo najmanju vrijednost Možemo samo zaključiti da postoji ograničenje ispod - 1, budući da se ovoj vrijednosti funkcija približava asimptotski na minus beskonačnosti.
Posebnost drugog intervala je u tome što u njemu ne postoji niti jedna stacionarna tačka, niti jedna stroga granica. Posljedično, nećemo moći izračunati ni najveću ni najmanju vrijednost funkcije. Nakon što smo definirali granicu na minus beskonačnost i kako argument teži - 3 na lijevoj strani, dobijamo samo interval vrijednosti:
lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1
To znači da će se vrijednosti funkcije nalaziti u intervalu - 1; +∞
Da bismo pronašli najveću vrijednost funkcije u trećem intervalu, odredimo njenu vrijednost u stacionarnoj tački x = - 1 2 ako je x = 1. Također ćemo morati znati jednostrano ograničenje za slučaj kada argument teži - 3 na desnoj strani:
y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4
Pokazalo se da će funkcija poprimiti najveću vrijednost u stacionarnoj tački m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Što se tiče najmanje vrijednosti, ne možemo je odrediti. Sve što znamo , je prisustvo donje granice na -4.
Za interval (- 3 ; 2) uzmite rezultate prethodnog proračuna i još jednom izračunajte čemu je jednaka jednostrana granica kada težite 2 na lijevoj strani:
y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4
To znači da je m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4, a najmanja vrijednost se ne može odrediti, a vrijednosti funkcije su ograničene odozdo brojem - 4 .
Na osnovu onoga što smo dobili u prethodna dva proračuna, možemo reći da na intervalu [ 1 ; 2) funkcija će uzeti najveću vrijednost pri x = 1, ali je nemoguće pronaći najmanju.
Na intervalu (2 ; + ∞) funkcija neće dostići ni najveću ni najmanju vrijednost, tj. uzimat će vrijednosti iz intervala - 1; + ∞ .
lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1
Izračunavši koliko će biti jednaka vrijednost funkcije pri x = 4, saznajemo da je m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , a data funkcija na plus beskonačno će se asimptotski približiti pravoj liniji y = - 1 .
Uporedimo ono što smo dobili u svakom proračunu sa grafikom date funkcije. Na slici su asimptote prikazane isprekidanim linijama.
To je sve što smo vam htjeli reći o pronalaženju najveće i najmanje vrijednosti funkcije. Slijedovi radnji koje smo dali pomoći će vam da izvršite potrebne proračune što je brže i jednostavnije moguće. Ali zapamtite da je često korisno prvo otkriti u kojim intervalima će se funkcija smanjivati, a u kojim će se povećavati, nakon čega možete izvući daljnje zaključke. Na taj način možete preciznije odrediti najveću i najmanju vrijednost funkcije i opravdati dobivene rezultate.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Ponekad u problemima B14 postoje “loše” funkcije za koje je teško naći izvod. Ranije se to događalo samo na oglednim testovima, ali sada su ovi zadaci toliko uobičajeni da se više ne mogu zanemariti prilikom pripreme za pravi Jedinstveni državni ispit. U ovom slučaju rade druge tehnike, od kojih je jedna monotonija. Definicija Za funkciju f (x) se kaže da je monotono rastuća na segmentu ako za bilo koje tačke x 1 i x 2 ovog segmenta vrijedi: x 1
Definicija. Za funkciju f (x) se kaže da je monotono opadajuća na segmentu ako za bilo koje tačke x 1 i x 2 ovog segmenta vrijedi: x 1 f (x 2). Drugim riječima, za rastuću funkciju, što je veći x, veći je f(x). Za opadajuću funkciju vrijedi suprotno: što je veći x, to je manji f(x).
Primjeri. Logaritam se monotono povećava ako je baza a > 1, a monotono opada ako je 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0) 1, i monotono opada ako je 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> 1, i monotono opada ako je 0 0. f (x) = log a x (a > 0 ; a 1; x > 0)"> 1, i monotono se smanjuje ako je 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)" title="Primjeri Logaritam se povećava monotono ako je baza a > 1, i monotono opada ako je 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> title="Primjeri. Logaritam se monotono povećava ako je baza a > 1, a monotono opada ako je 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> !}
Primjeri. Eksponencijalna funkcija se ponaša slično logaritmu: povećava se za a > 1 i smanjuje se za 0 0: 1 i smanjuje se na 0 0:"> 1 i smanjuje se na 0 0:"> 1 i smanjuje se na 0 0:" title="Primjeri. Eksponencijalna funkcija se ponaša slično logaritmu: povećava se za a > 1 i smanjuje se za 0 0:"> title="Primjeri. Eksponencijalna funkcija se ponaša slično logaritmu: povećava se za a > 1 i smanjuje se za 0 0:"> !}
0) ili dole (a 0) ili dole (a 9 Koordinate vrha parabole Najčešće se argument funkcije zamjenjuje kvadratnim trinomom oblika. Njegov graf je standardna parabola, u kojoj nas zanimaju grane: Grane parabole mogu ići gore (za a > 0) ili dolje (a 0) ili najveći (a 0) ili dolje (a 0) ili dolje (a 0) ili najveći (a 0) ili dolje (a 0) ili dolje (a title="(! LANG:Koordinate vrha parabole Najčešće se argument funkcije zamjenjuje kvadratnim trinomom oblika. Njegov graf je standardna parabola, u kojoj nas zanimaju grane: Grane parabole mogu ići gore (za a > 0) ili dolje (a
Ne postoji segment u iskazu problema. Stoga, nema potrebe za izračunavanjem f(a) i f(b). Ostaje da razmotrimo samo tačke ekstrema; Ali postoji samo jedna takva tačka - vrh parabole x 0, čije se koordinate izračunavaju doslovno usmeno i bez ikakvih izvoda.
Dakle, rješavanje problema je uvelike pojednostavljeno i svodi se na samo dva koraka: Napišite jednadžbu parabole i pronađite njen vrh koristeći formulu: Pronađite vrijednost originalne funkcije u ovoj tački: f (x 0). Ako ne dodatni uslovi ne, to će biti odgovor.
0. Vrh parabole: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title=" Pronađite najmanju vrijednost funkcije: Rješenje: Ispod korijena je kvadratna funkcija Graf ove funkcije parabole ima grane prema gore, budući da je koeficijent a = 1 > 0. Vrh parabole: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" class="link_thumb" "> 18 Naći najmanju vrijednost funkcije: Rješenje: Ispod korijena se nalazi kvadratna funkcija.Graf ove funkcije je parabola sa granama prema gore, budući da je koeficijent a = 1 > 0. Vrh parabole: x 0 = b/ (2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3 0. Vrh parabole: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. Vrh parabole: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. Vrh parabole: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title=" Pronađite najmanju vrijednost funkcije: Rješenje: Ispod korijena se nalazi kvadratna funkcija.Graf ove funkcije je parabola sa granama prema gore, jer je koeficijent a = 1 > 0. Vrh parabole: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> title="Naći najmanju vrijednost funkcije: Rješenje: Ispod korijena se nalazi kvadratna funkcija.Graf ove funkcije je parabola sa granama prema gore, budući da je koeficijent a = 1 > 0. Vrh parabole: x 0 = b/ (2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> !}
Pronađite najmanju vrijednost funkcije: Rješenje Pod logaritmom, kvadratna funkcija je opet.Graf parabole ima grane prema gore, jer a = 1 > 0. Vrh parabole: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1 0. Vrh parabole: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> 0. Vrh parabole: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> 0. Vrh parabole: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1" title=" Pronađite najmanju vrijednost funkcije: Rješenje Pod logaritmom je opet kvadratna funkcija.Graf parabole ima grane prema gore, jer je a = 1 > 0. Vrh parabole: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1 ) = 2/2 = 1"> title="Pronađite najmanju vrijednost funkcije: Rješenje Pod logaritmom, kvadratna funkcija je opet.Graf parabole ima grane prema gore, jer a = 1 > 0. Vrh parabole: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> !}
Pronađite najveću vrijednost funkcije: Rješenje: Eksponent sadrži kvadratnu funkciju. Zapišemo je u normalna forma: Očigledno je da je graf ove funkcije parabola, grana se prema dolje (a = 1 
Posljedice iz domene funkcije Ponekad za rješavanje problema B14 nije dovoljno jednostavno pronaći vrh parabole. Željena vrijednost može ležati na kraju segmenta, a nikako na tački ekstrema. Ako problem uopće ne navodi segment, pogledajte područje prihvatljive vrijednosti originalna funkcija. naime:
0 2. Aritmetika Kvadratni korijen postoji samo od nenegativnih brojeva: 3. Imenilac razlomka ne smije biti nula:" title="1. Argument logaritma mora biti pozitivan: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Aritmetički kvadratni korijen postoji samo od nenegativnih brojeva: 3. Imenilac razlomka ne smije biti jednak nuli:" class="link_thumb"> 26 !} 1. Argument logaritma mora biti pozitivan: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Aritmetički kvadratni korijen postoji samo od nenegativnih brojeva: 3. Nazivnik razlomka ne smije biti nula: 0 2. Aritmetički kvadratni korijen postoji samo od nenegativnih brojeva: 3. Imenilac razlomka ne smije biti jednak nuli: "> 0 2. Aritmetički kvadratni korijen postoji samo od nenegativnih brojeva: 3. Imenilac razlomka ne smije biti jednak nuli: "> 0 2. Aritmetika kvadratni korijen postoji samo od nenegativnih brojeva: 3. Imenitelj razlomka ne smije biti nula:" title="1. argument logaritma mora biti pozitivan: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Aritmetički kvadrat korijen postoji samo od nenegativnih brojeva: 3. Imenilac razlomka ne smije biti jednak nuli:"> title="1. Argument logaritma mora biti pozitivan: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Aritmetički kvadratni korijen postoji samo od nenegativnih brojeva: 3. Nazivnik razlomka ne smije biti nula:"> !}
Rješenje Pod korijenom je opet kvadratna funkcija. Njegov graf je paraboličan, ali su grane usmjerene naniže, budući da je a = 1 
Sada pronađimo vrh parabole: x 0 = b/(2a) = (2)/(2 · (1)) = 2/(2) = 1 Tačka x 0 = 1 pripada segmentu ODZ i ovo je dobro. Sada izračunavamo vrijednost funkcije u tački x 0, kao i na krajevima ODZ-a: y(3) = y(1) = 0 Dakle, dobili smo brojeve 2 i 0. Od nas se traži da pronađemo najveći broj 2. Odgovor: 2
Imajte na umu: nejednakost je stroga, tako da krajevi ne pripadaju ODZ-u. Ovo razlikuje logaritam od korijena, gdje nam krajevi segmenta dosta odgovaraju. Tražimo vrh parabole: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · (1)) = 6/(2) = 3 Tem parabole odgovara ODZ: x 0 = 3 ( 1; 5). Ali pošto nas ne zanimaju krajevi segmenta, izračunavamo vrijednost funkcije samo u tački x 0:
Y min = y(3) = log 0,5 (6 ) = = log 0,5 (18 9 5) = log 0,5 4 = 2 Odgovor: -2
Kako pronaći najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu?
Za ovo pratimo dobro poznati algoritam:
1 . Pronalaženje ODZ funkcija.
2 . Pronalaženje derivacije funkcije
3 . Izjednačavanje derivacije sa nulom
4 . Pronalazimo intervale u kojima derivacija zadržava predznak i iz njih određujemo intervale povećanja i smanjenja funkcije:
Ako je na intervalu I derivacija funkcije 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} povećava u ovom intervalu.
Ako je na intervalu I derivacija funkcije , tada funkcija opada u ovom intervalu.
5 . Mi nalazimo maksimalne i minimalne tačke funkcije.
IN na maksimalnoj tački funkcije, derivacija mijenja predznak iz “+” u “-”.
IN minimalna tačka funkcijederivat mijenja znak iz "-" u "+".
6 . Pronalazimo vrijednost funkcije na krajevima segmenta,
- zatim uspoređujemo vrijednost funkcije na krajevima segmenta i na maksimalnim tačkama, i odaberite najveći od njih ako trebate pronaći najveću vrijednost funkcije
- ili usporedite vrijednost funkcije na krajevima segmenta i na minimalnim tačkama, i odaberite najmanji od njih ako trebate pronaći najmanju vrijednost funkcije
Međutim, ovisno o tome kako se funkcija ponaša na segmentu, ovaj algoritam se može značajno smanjiti.
Razmotrite funkciju 
. Grafikon ove funkcije izgleda ovako:
Pogledajmo nekoliko primjera rješavanja problema iz Otvorene banke zadataka za
1 . Zadatak B15 (br. 26695)
Na segmentu.
1. Funkcija je definirana za sve realne vrijednosti x
Očigledno, ova jednadžba nema rješenja, a izvod je pozitivan za sve vrijednosti x. Posljedično, funkcija raste i poprima najveću vrijednost na desnom kraju intervala, odnosno na x=0.
Odgovor: 5.
2 . Zadatak B15 (br. 26702)
Pronađite najveću vrijednost funkcije 
na segmentu.
1. ODZ funkcije title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}
Izvod je jednak nuli na , međutim, u ovim točkama ne mijenja predznak:
Stoga, title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} raste i uzima najveću vrijednost na desnom kraju intervala, na .
Da bi bilo jasno zašto derivacija ne mijenja predznak, transformiramo izraz za izvod na sljedeći način:
Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}
Odgovor: 5.
3. Zadatak B15 (br. 26708)
Pronađite najmanju vrijednost funkcije na segmentu.
1. ODZ funkcije: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}
Postavimo korijene ove jednadžbe na trigonometrijski krug.
Interval sadrži dva broja: i
Postavimo znakove. Da bismo to učinili, određujemo predznak derivacije u tački x=0: 
. Prilikom prolaska kroz tačke i, derivacija mijenja predznak.
Opišimo promjenu predznaka derivacije funkcije na koordinatnoj liniji:
Očigledno, tačka je minimalna tačka (u kojoj derivacija mijenja predznak iz “-” u “+”), a da biste pronašli najmanju vrijednost funkcije na segmentu, trebate uporediti vrijednosti funkcije na minimalnoj tački i na lijevom kraju segmenta, .
Na času na temu „Upotreba izvoda za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti kontinuirana funkcija na intervalu" razmotrit ćemo relativno jednostavne probleme pronalaženja najveće i najmanje vrijednosti funkcije na datom intervalu pomoću izvoda.
Tema: Derivat
Lekcija: Korištenje derivacije za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti neprekidne funkcije u intervalu
U ovoj lekciji ćemo pogledati više jednostavan zadatak, naime, dat će se interval, dat će se kontinuirana funkcija na ovom intervalu. Moramo pronaći najveću i najmanju vrijednost date funkcije na dato između.
br. 32.1 (b). Dato: , . Nacrtajmo graf funkcije (vidi sliku 1).
Rice. 1. Grafikon funkcije.
Poznato je da se ova funkcija povećava na intervalu, što znači da se i povećava na intervalu. To znači da ako pronađete vrijednost funkcije u tačkama i , tada će biti poznate granice promjene ove funkcije, njene najveće i najmanje vrijednosti.
Kada se argument poveća od do 8, funkcija raste od do .
odgovor: 
; 
.
Br. 32.2 (a) Zadato: Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije na datom intervalu.
Nacrtajmo ovu funkciju (vidi sliku 2).
Ako se argument promijeni u intervalu , tada se funkcija povećava sa -2 na 2. Ako se argument povećava od , tada se funkcija smanjuje sa 2 na 0.
Rice. 2. Grafikon funkcija.
Nađimo derivat.
, 
. Ako je , tada i ova vrijednost pripada datom segmentu. Ako onda. Lako je provjeriti da li poprima druge vrijednosti i da li odgovarajuće stacionarne tačke padaju izvan datog segmenta. Uporedimo vrijednosti funkcije na krajevima segmenta i u odabranim tačkama u kojima je derivacija jednaka nuli. Naći ćemo
;
odgovor: 
;
.
Dakle, odgovor je primljen. Derivat in u ovom slučaju Možete ga koristiti, ne možete ga koristiti, možete primijeniti svojstva funkcije koja smo ranije proučavali. To se ne događa uvijek; ponekad je upotreba derivata jedina metoda koja vam omogućava da riješite takve probleme.
Dato: , . Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije na datom segmentu.
Ako je u prethodnom slučaju bilo moguće bez derivacije - znali smo kako se funkcija ponaša, onda je u ovom slučaju funkcija prilično složena. Stoga je metodologija koju smo spomenuli u prethodnom zadatku u potpunosti primjenjiva.
1. Nađimo derivat. Naći ćemo kritične tačke, dakle, su kritične tačke. Od njih biramo one koji pripadaju ovom segmentu: . Usporedimo vrijednost funkcije u tačkama , , . Za ovo ćemo naći
Ilustrujmo rezultat na slici (vidi sliku 3).
Rice. 3. Granice promjena vrijednosti funkcije
Vidimo da ako se argument promijeni od 0 do 2, funkcija se mijenja u rasponu od -3 do 4. Funkcija se ne mijenja monotono: ona se ili povećava ili smanjuje.
odgovor: 
;.
Dakle, koristeći tri primjera, demonstrirana je opća tehnika za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije na intervalu, u ovom slučaju na segmentu.
Algoritam za rješavanje problema pronalaženja najveće i najmanje vrijednosti funkcije:
1. Pronađite izvod funkcije.
2. Pronađite kritične tačke funkcije i odaberite one tačke koje se nalaze na datom segmentu.
3. Pronađite vrijednosti funkcije na krajevima segmenta iu odabranim tačkama.
4. Uporedite ove vrijednosti i odaberite najveću i najmanju.
Pogledajmo još jedan primjer.
Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije , .
Prethodno je razmatran graf ove funkcije (vidi sliku 4).
Rice. 4. Grafikon funkcija.
Na intervalu, raspon vrijednosti ove funkcije 
. Point - maksimalni poen. Kada - funkcija se povećava, kada - funkcija se smanjuje. Iz crteža je jasno da , - ne postoji.
Dakle, u lekciji smo se bavili problemom najveće i najmanje vrijednosti funkcije kada je dati interval segment; formulisao algoritam za rešavanje takvih problema.
1. Algebra i početak analize, 10. ocjena (iz dva dijela). Tutorial za obrazovne institucije(nivo profila) ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.
2. Algebra i početak analize, 10. ocjena (iz dva dijela). Problematika za obrazovne ustanove (profilni nivo), ur. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.
3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra i računica za 10. razred ( tutorial za učenike škola i odeljenja sa dubinska studija matematika).-M.: Obrazovanje, 1996.
4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Dubinski studij algebre i matematičke analize.-M.: Obrazovanje, 1997.
5. Zbirka zadataka iz matematike za kandidate za visokoškolske ustanove (priredio M.I. Skanavi) - M.: Viša škola, 1992.
6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebarski simulator.-K.: A.S.K., 1997.
7. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina algebra i počeci analize. 8-11 razred: Priručnik za škole i odeljenja sa detaljnim proučavanjem matematike (didaktički materijali) - M.: Drfa, 2002.
8. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Problemi iz algebre i principi analize (priručnik za učenike 10-11 razreda opšteobrazovnih ustanova) - M.: Prosveščenie, 2003.
9. Karp A.P. Zbirka zadataka iz algebre i principi analize: udžbenik. dodatak za 10-11 razred. sa dubinom studirao Matematika.-M.: Obrazovanje, 2006.
10. Glazer G.I. Istorija matematike u školi. 9-10 razred (priručnik za nastavnike).-M.: Prosveta, 1983
Dodatni web resursi
2. Portal prirodnih nauka ().
Napravite ga kod kuće
br. 46.16, 46.17 (c) (Algebra i počeci analize, 10. razred (iz dva dijela). Zadatak za opšteobrazovne ustanove (profilni nivo) priredio A. G. Mordkovich. - M.: Mnemozina, 2007.)
Dragi prijatelji! Grupa zadataka vezanih za izvod uključuje zadatke - uslov daje graf funkcije, nekoliko tačaka na ovom grafu i pitanje je:
U kom trenutku je izvod najveći (najmanji)?
Da ukratko ponovimo:
Izvod u tački jednak je nagibu tangente koja prolaziovu tačku na grafikonu.
UGlobalni koeficijent tangente, zauzvrat, jednak je tangentu ugla nagiba ove tangente.
*Ovo se odnosi na ugao između tangente i x-ose.
1. Na intervalima rastuće funkcije derivacija ima pozitivna vrijednost.
2. U intervalima svog smanjenja, derivat ima negativnu vrijednost.
Razmotrite sljedeću skicu:
U tačkama 1,2,4, derivacija funkcije ima negativnu vrijednost, jer ove tačke pripadaju opadajućim intervalima.
U tačkama 3,5,6 derivacija funkcije ima pozitivnu vrijednost, jer ove tačke pripadaju rastućim intervalima.
Kao što vidite, sve je jasno sa značenjem derivacije, odnosno nije uopće teško odrediti koji predznak ima (pozitivan ili negativan) u određenoj tački grafa.
Štaviše, ako mentalno konstruišemo tangente u ovim tačkama, videćemo da prave koje prolaze kroz tačke 3, 5 i 6 formiraju uglove sa osom oX u rasponu od 0 do 90 o, a prave koje prolaze kroz tačke 1, 2 i 4 formiraju sa osom oX uglovi se kreću od 90 o do 180 o.
*Odnos je jasan: tangente koje prolaze kroz tačke koje pripadaju intervalima rastućih funkcija formiraju se sa osom oX oštri uglovi, tangente koje prolaze kroz tačke koje pripadaju intervalima opadajućih funkcija formiraju tupe uglove sa osom oX.
Sada važno pitanje!
Kako se mijenja vrijednost derivata? Na kraju krajeva, tangenta u različitim tačkama na grafu kontinuirane funkcije formira različite uglove, u zavisnosti od toga kroz koju tačku na grafu prolazi.
*Ili, govoreći jednostavnim jezikom, tangenta se nalazi kao da je "horizontalno" ili "vertikalno". pogledajte:
Prave linije formiraju uglove sa osom oX u rasponu od 0 do 90 o
Prave linije formiraju uglove sa osom oX u rasponu od 90° do 180°
Stoga, ako imate pitanja:
— u kojoj od datih tačaka na grafu izvod ima najmanju vrijednost?
- u kojoj od datih tačaka na grafu izvod ima najveću vrijednost?
tada je za odgovor potrebno razumjeti kako se vrijednost tangente kuta tangente mijenja u rasponu od 0 do 180 o.
*Kao što je već spomenuto, vrijednost derivacije funkcije u tački jednaka je tangentu ugla nagiba tangente na osu oX.
Vrijednost tangente se mijenja na sljedeći način:
Kada se ugao nagiba prave linije promeni od 0° do 90°, vrednost tangente, a samim tim i derivacije, se menja od 0 do +∞;
Kada se ugao nagiba prave linije promeni sa 90° na 180°, vrednost tangente, a samim tim i derivacije, menja se u skladu sa –∞ na 0.
To se može jasno vidjeti iz grafa tangentne funkcije:
Jednostavno rečeno:
Pod kutom nagiba tangente od 0° do 90°
Što je bliže 0 o, veća će vrijednost derivacije biti blizu nule (na pozitivnoj strani).
Što je ugao bliži 90°, to će se vrijednost derivacije više povećati prema +∞.
Sa tangentnim uglom nagiba od 90° do 180°
Što je bliže 90 o, to će se vrijednost derivacije više smanjivati prema –∞.
Što je ugao bliži 180°, veća će vrijednost derivacije biti blizu nule (na negativnoj strani).
317543. Slika prikazuje graf funkcije y = f(x) a tačke su označene–2, –1, 1, 2. U kojoj od ovih tačaka je izvod najveći? Molimo navedite ovu tačku u svom odgovoru.
Imamo četiri tačke: dvije pripadaju intervalima na kojima funkcija opada (to su tačke –1 i 1), a dvije intervalima na kojima funkcija raste (to su tačke –2 i 2).
Odmah možemo zaključiti da u tačkama –1 i 1 derivat ima negativnu vrijednost, a u tačkama –2 i 2 pozitivnu vrijednost. Stoga je u ovom slučaju potrebno analizirati tačke –2 i 2 i odrediti koja će od njih imati najveću vrijednost. Konstruirajmo tangente koje prolaze kroz navedene tačke:
Vrijednost tangente ugla između prave a i ose apscise će biti veća vrijednost tangenta ugla između prave b i ove ose. To znači da će vrijednost derivacije u tački –2 biti najveća.
Mi ćemo odgovoriti sljedeće pitanje: U kojoj tački –2, –1, 1 ili 2 je izvod najnegativniji? Molimo navedite ovu tačku u svom odgovoru.
Derivat će imati negativnu vrijednost u tačkama koje pripadaju opadajućim intervalima, pa razmotrimo tačke –2 i 1. Konstruirajmo tangente koje prolaze kroz njih:
Vidimo to tupi ugao između prave linije b i ose oX je "bliže" 180 O , stoga će njegova tangenta biti veća od tangente ugla koji formiraju prava linija a i osa oX.
Dakle, u tački x = 1, vrijednost derivacije će biti najveća negativna.
317544. Slika prikazuje grafik funkcije y = f(x) a tačke su označene–2, –1, 1, 4. U kojoj je od ovih tačaka derivacija najmanja? Molimo navedite ovu tačku u svom odgovoru.
Imamo četiri tačke: dvije pripadaju intervalima u kojima funkcija opada (to su tačke –1 i 4), a dvije intervalima u kojima funkcija raste (to su tačke –2 i 1).
Odmah možemo zaključiti da u tačkama –1 i 4 derivat ima negativnu vrijednost, a u tačkama –2 i 1 pozitivnu vrijednost. Stoga je u ovom slučaju potrebno analizirati tačke –1 i 4 i odrediti koja će od njih imati najmanju vrijednost. Konstruirajmo tangente koje prolaze kroz navedene tačke:
Vrijednost tangenta ugla između prave a i apscisne ose bit će veća od vrijednosti tangente ugla između prave linije b i ove ose. To znači da će vrijednost derivacije u tački x = 4 biti najmanja.
Odgovor: 4
Nadam se da vas nisam "preopteretio" količinom pisanja. U stvari, sve je vrlo jednostavno, samo trebate razumjeti svojstva derivata, njegove geometrijsko značenje i kako se tangenta ugla menja od 0 do 180 o.
1. Prvo odredite predznake derivacije u tim tačkama (+ ili -) i odaberite potrebne tačke (u zavisnosti od postavljenog pitanja).
2. Konstruirajte tangente u ovim tačkama.
3. Koristeći tangesoidni graf, šematski označite uglove i prikažiteAlexander.
P.S: Bio bih vam zahvalan ako mi kažete nešto o stranici na društvenim mrežama.