Razmotrimo proizvoljnu pravu liniju koja prolazi kroz tačku na grafu funkcije - tačku A(x 0, f (x 0)) i sijeku graf u nekoj tački B(x; f(x )). Takva prava (AB) se naziva sekansa. Od ∆ABC: ​​AC = ∆ x ; VS =∆u; tgβ =∆ y /∆ x .

Budući da AC || Ox, onda Ð ALO = Ð BAC = β (kao što odgovara kada je paralelno). AliÐ ALO je ugao nagiba sekante AB prema pozitivnom smjeru ose Ox. znači, tgβ = k - ugaoni koeficijent prave AB.

Sada ćemo smanjiti ∆h, tj. ∆h→ 0. U ovom slučaju, tačka B će se približiti tački A prema grafu, a sekansa AB će se rotirati. Granični položaj sekante AB na ∆h→ 0 će biti prava linija ( a ), naziva se tangenta na graf funkcije y = f (x) u tački A.

Ako idemo na granicu kao ∆x → 0 u jednakosti tg β =∆ y /∆ x , onda dobijamo

ili tg a = f "(x 0 ), pošto
a - ugao nagiba tangente na pozitivan smjer ose Ox

, po definiciji derivata. Ali tg a = k je ugaoni koeficijent tangente, što znači k = tg a = f "(x 0 ).

Dakle, geometrijsko značenje derivacije je sljedeće:

Derivat funkcije u tački x 0 jednak je nagibu tangenta na graf funkcije nacrtane u tački sa apscisom x 0.

Fizičko značenje izvedenice.

Razmotrimo kretanje tačke duž prave linije. Neka koordinata tačke bude data u bilo kom trenutku x(t ). Poznato je (iz kursa fizike) da je prosječna brzina u određenom vremenskom periodu [ t 0 ; t 0 + ∆ t ] je jednak omjeru pređenog puta u ovom vremenskom periodu i vremena, tj.

V av = ∆ x /∆ t . Prijeđimo na granicu u posljednjoj jednakosti na ∆ t → 0.

lim V av (t) = n (t 0 ) - trenutna brzina u trenutku t 0 , ∆ t → 0.

i lim = ∆ x /∆ t = x "(t 0 ) (po definiciji derivata).

Dakle, n(t) = x"(t).

Fizičko značenje izvoda je sljedeće: izvod funkcije y = f( x) u tačkix 0 je stopa promjene funkcije f(x) u tačkix 0

Izvod se koristi u fizici za pronalaženje brzine iz poznate funkcije koordinata u odnosu na vrijeme, ubrzanje iz poznate funkcije brzine u odnosu na vrijeme.

u (t) = x "(t) - brzina,

a(f) = n"(t ) - ubrzanje, ili

a(t) = x"(t).

Ako je poznat zakon kretanja materijalna tačka duž kružnice, tada možete pronaći ugaonu brzinu i ugaono ubrzanje tokom rotacionog kretanja:

φ = φ (t ) - promjena ugla s vremenom,

ω = φ "(t ) - ugaona brzina,

ε = φ "(t ) - kutno ubrzanje, iliε = φ "(t).

Ako je poznat zakon raspodjele mase nehomogenog štapa, tada se može pronaći linearna gustina nehomogenog štapa:

m = m (x) - masa,

x O , l - dužina štapa,

p = m "(x) - linearna gustina.

Koristeći derivaciju, rješavaju se problemi iz teorije elastičnosti i harmonijskih vibracija. Dakle, prema Hookeovom zakonu

F = - kx, x – promjenjiva koordinata, k - koeficijent elastičnosti opruge. Stavljanjeω2 = k/m , dobijamo diferencijalnu jednačinu opružnog klatna x"( t ) + ω 2 x(t ) = 0,

gdje je ω = √ k /√ m frekvencija oscilovanja ( l/c ), k - krutost opruge ( h/m).

Jednačina oblika y" +ω2y = 0 naziva se jednadžba harmonijskih oscilacija (mehaničkih, električnih, elektromagnetnih). Rješenje takvih jednačina je funkcija

y = Asin (ωt + φ 0) ili y = Acos (ωt + φ 0), gdje je

A je amplituda oscilacija,ω - ciklička frekvencija,

φ 0 - početna faza.

Ciljevi lekcije:

edukativni:

• Stvoriti uslove da učenici smisleno asimiliraju fizičko značenje izvedenice.
• Promovirati formiranje vještina i sposobnosti praktična upotreba derivat za rješavanje raznih fizičkih problema.

edukativni:

• Promovisati razvoj matematičkog pogleda i kognitivnog interesovanja kod učenika kroz otkrivanje praktične neophodnosti i teorijskog značaja teme.
• Osigurati uslove za poboljšanje sposobnosti mišljenja učenika: upoređivati, analizirati, generalizovati.

edukativni:

• Promovišite interesovanje za matematiku.

Vrsta lekcije: Lekcija o savladavanju novih znanja.

Oblici rada: frontalni, individualni, grupni.

Oprema: Računar, interaktivna tabla, prezentacija, udžbenik.

Struktura lekcije:

1. Organiziranje vremena, postavljanje cilja lekcije
2. Učenje novog gradiva
3. Primarna konsolidacija novog materijala
4. Samostalan rad
5. Sažetak lekcije. Refleksija.

Tokom nastave

I. Organizacioni trenutak, postavljanje cilja časa (2 min.)

II. Učenje novog gradiva (10 min.)

Učitelj: U prethodnim lekcijama smo se upoznali sa pravilima za računanje derivacija, naučili da nađemo izvode linearnih, stepena, trigonometrijske funkcije. Naučili smo koje je geometrijsko značenje derivacije. Danas ćemo na času naučiti gdje se ovaj koncept koristi u fizici.

Da biste to učinili, prisjetite se definicije derivata (Slajd 2)

Sada se okrenimo kursu fizike (Slajd 3)

Učenici pričaju i pamte fizički koncepti i formule.

Neka se tijelo kreće prema zakonu S(t)= f(t) Razmotrimo putanju koju je tijelo prešlo za vrijeme od t 0 do t 0 + Δ t, gdje je Δt prirast argumenta. U trenutku t 0 tijelo je prešlo put S(t 0), u trenutku t 0 +Δt - put S(t 0 +Δt). Dakle, za vrijeme Δt tijelo je prošlo put S(t 0 +Δt) – S(t 0), tj. dobili smo prirast funkcije. prosječna brzina kretanja tela tokom ovog vremenskog perioda υ==

Što je kraći vremenski interval t, to preciznije možemo saznati kojom se brzinom tijelo kreće u trenutku t. Usmjeravajući t →0, dobijamo trenutnu brzinu - numeričku vrijednost brzine u trenutku t ovog kretanja.

υ= , na Δt→0 brzina je derivacija putanje u odnosu na vrijeme.

Slajd 4

Prisjetimo se definicije ubrzanja.

Koristeći materijal predstavljen gore, možemo zaključiti da je pri t a(t)= υ’(t) ubrzanje je derivat brzine.

Zatim se na interaktivnoj ploči pojavljuju formule za jačinu struje, ugaonu brzinu, emf, itd. Učenici dodaju trenutne vrijednosti podataka fizičke veličine kroz koncept derivata. (Ako nemate interaktivnu tablu, koristite prezentaciju)

Slajdovi 5-8

Učenici formulišu zaključak.

zaključak:(Slajd 9) Izvod je stopa promjene funkcije. (Funkcije putanje, koordinate, brzina, magnetni tok, itd.)

υ (x)=f ’(x)

Učitelj: Vidimo da je veza između kvantitativnih karakteristika najrazličitijih procesa koje proučavaju fizika, tehničke nauke i hemija slična vezi između putanje i brzine. Možete dati mnoge probleme, za čije je rješenje također potrebno pronaći brzinu promjene određene funkcije, na primjer: pronalaženje koncentracije otopine u određenom trenutku, pronalaženje brzine protoka tekućine, kutna brzina rotacije tijela, linearna gustina u tački itd. Sada ćemo riješiti neke od ovih problema.

III. Učvršćivanje stečenog znanja (rad u grupama) (15 min.)

Nakon toga slijedi rasprava na odboru

Prije rješavanja zadataka razjasniti mjerne jedinice fizičkih veličina.

Brzina – [m/s]
Ubrzanje – [m/s 2 ]
Snaga – [N]
Energija – [J]

Zadatak 1 grupa

Tačka se kreće po zakonu s(t)=2t³-3t (s je put u metrima, t je vrijeme u sekundama). Izračunajte brzinu tačke i njeno ubrzanje u vremenu 2s

Zadatak 2 grupa

Zamajac se rotira oko ose prema zakonu φ(t)= t 4 -5t. Pronađite njegovu ugaonu brzinu ω u trenutku 2s (φ je ugao rotacije u radijanima, ω je ugaona brzina rad/s)

Zadatak 3 grupa

Telo mase 2 kg kreće se pravolinijski po zakonu x(t)=2-3t+2t²

Pronađite brzinu tijela i njegovu kinetičku energiju 3 s nakon početka kretanja. Koja sila deluje na telo u ovom trenutku? (t se mjeri u sekundama, x se mjeri u metrima)

Zadatak 4

Tačka se obavezuje oscilatorna kretanja prema zakonu x(t)=2sin3t. Dokažite da je ubrzanje proporcionalno x koordinati.

IV. Samostalno rješavanje zadataka br. 272, 274, 275, 277

[A.N. Kolmogorov, A.M. Abramov i dr. “Algebra i počeci analize, razredi 10-11”] 12 min

Dato:	Rješenje:
x(t)=- ______________ t=? υ(t)=?	υ(t)=h’(t); υ(t)= (-)’=·3t²+6t= +6t; a(t)=υ’(t) a(t)=( +6t)’=·2t+6=-t+6; a(t)=0; -t+6=0; t=6; υ(6)=+6·6=-18+36=18m/s Odgovor: t=6c; υ(6)= 18m/s

Derivat funkcije f (x) u tački x0 je granica (ako postoji) omjera prirasta funkcije u tački x0 i prirasta argumenta Δx, ako prirast argumenta teži ka nula i označava se sa f '(x0). Čin pronalaženja derivacije funkcije naziva se diferencijacija.
Izvod funkcije ima ovo fizičko značenje: derivacija funkcije u datoj tački - stopa promjene funkcije u datoj tački.

Geometrijsko značenje derivacije. Izvod u tački x0 jednak je nagibu tangente na graf funkcije y=f(x) u ovoj tački.

Fizičko značenje izvedenice. Ako se tačka kreće duž x ose i njena koordinata se menja prema zakonu x(t), tada je trenutna brzina tačke:

Pojam diferencijala, njegova svojstva. Pravila diferencijacije. Primjeri.

Definicija. Diferencijal funkcije u nekoj tački x je glavni, linearni dio prirasta funkcije.Diferencijal funkcije y = f(x) jednak je umnošku njene derivacije i priraštaja nezavisne varijable x ( argument).

Napisano je ovako:

ili

Or


Diferencijalna svojstva
Diferencijal ima svojstva slična onim derivacije:





TO osnovna pravila diferencijacije uključuju:
1) stavljanje konstantnog faktora izvan predznaka izvoda
2) derivat zbira, derivat razlike
3) izvod proizvoda funkcija
4) izvod količnika dvije funkcije (derivat razlomka)

Primjeri.
Dokažimo formulu: Po definiciji derivacije imamo:

Proizvoljni faktor se može uzeti izvan znaka prijelaza do granice (ovo je poznato iz svojstava granice), stoga

Na primjer: Pronađite izvod funkcije
Rješenje: Koristimo pravilo postavljanja množitelja izvan predznaka izvoda :

Često je potrebno prvo pojednostaviti oblik diferencijabilne funkcije da bi se koristila tabela izvoda i pravila za pronalaženje izvoda. Sljedeći primjeri to jasno potvrđuju.

Formule diferencijacije. Primjena diferencijala u aproksimativnim proračunima. Primjeri.

Korištenje diferencijala u približnim proračunima omogućava vam korištenje diferencijala za aproksimaciju vrijednosti funkcije.
Primjeri.
Koristeći diferencijal, izračunajte približno
Da izračunam datu vrijednost primijenimo formulu iz teorije
Uvedemo funkciju u razmatranje i predstavimo datu vrijednost u obliku
onda izračunajmo

Zamenivši sve u formulu, konačno dobijamo
odgovor:

16. L'Hopitalovo pravilo za otkrivanje nesigurnosti oblika 0/0 ili ∞/∞. Primjeri.
Granica omjera dvije beskonačno male ili dvije beskonačno velike veličine jednaka je granici odnosa njihovih derivata.

1)

17. Povećajuća i opadajuća funkcija. Ekstremum funkcije. Algoritam za proučavanje funkcije za monotonost i ekstrem. Primjeri.

Funkcija povećava na intervalu ako je za bilo koje dvije točke ovog intervala povezane relacijom , nejednakost je istinita. To je, veća vrijednost argument odgovara većoj vrijednosti funkcije, a njen graf ide „odozdo prema vrhu“. Funkcija demonstracije se povećava tokom intervala

Isto tako, funkcija smanjuje se na intervalu ako za bilo koje dvije točke datog intervala takve da , nejednakost je istinita. Odnosno, veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije, a njen graf ide „od vrha do dna“. Naš se smanjuje u intervalima smanjuje se u intervalima .

Ekstremi Tačka se naziva maksimalnom tačkom funkcije y=f(x) ako je nejednakost tačna za sve x u njenoj blizini. Poziva se vrijednost funkcije u tački maksimuma maksimum funkcije i označiti .
Tačka se naziva minimalnom tačkom funkcije y=f(x) ako je nejednakost tačna za sve x u njenoj blizini. Poziva se vrijednost funkcije u minimalnoj tački minimalna funkcija i označiti .
Okruženje tačke se shvata kao interval , gdje je dovoljno mali pozitivan broj.
Minimalne i maksimalne tačke se nazivaju tačke ekstrema, a vrednosti funkcije koje odgovaraju tačkama ekstrema nazivaju se ekstremi funkcije.

Za istraživanje funkcije do monotonije, koristite sljedeću shemu:
- Pronađite domen definicije funkcije;
- Naći izvod funkcije i domen definicije izvoda;
- Pronađite nule izvoda, tj. vrijednost argumenta pri kojoj je derivacija jednaka nuli;
- Označi na brojčanim zracima zajednički dio domen definicije funkcije i domen definicije njenog izvoda, a na njemu - nule izvoda;
- Odrediti predznake izvoda na svakom od rezultujućih intervala;
- Pomoću predznaka izvoda odrediti na kojim intervalima funkcija raste, a na kojima opada;
- Napišite odgovarajuće intervale odvojene tačkom i zarezom.

Algoritam istraživanja kontinuirana funkcija y = f(x) za monotonost i ekstreme:
1) Pronađite izvod f ′(x).
2) Pronađite stacionarne (f ′(x) = 0) i kritične (f ′(x) ne postoji) tačke funkcije y = f(x).
3) Označite nepokretno i kritične tačke na brojevnoj pravoj i odredi predznake izvoda na rezultujućim intervalima.
4) Izvući zaključke o monotonosti funkcije i njenih ekstremnih tačaka.

18. Konveksnost funkcije. Pregibne tačke. Algoritam za proučavanje funkcije za konveksnost (konkavnost) Primjeri.

konveksno nadole na X intervalu ako njegov graf nije niže od tangente na njega u bilo kojoj tački X intervala.

Poziva se funkcija koju treba razlikovati konveksno gore na X intervalu ako se njegov graf ne nalazi više od tangente na njega u bilo kojoj tački u X intervalu.

Formula tačke se zove tačka pregiba grafika funkcija y=f(x), ako u datoj tački postoji tangenta na graf funkcije (može biti paralelna sa Oy osi) i postoji takva okolina tačke formule unutar koje se lijevo i desno tačke M graf funkcije ima različite smjerove konveksnosti.

Pronalaženje intervala za konveksnost:

Ako funkcija y=f(x) ima konačan drugi izvod na intervalu X i ako vrijedi nejednakost (), tada graf funkcije ima konveksnost usmjerenu prema dolje (gore) na X.
Ova teorema vam omogućava da pronađete intervale konkavnosti i konveksnosti funkcije; trebate samo riješiti nejednakosti i, respektivno, na domenu definicije originalne funkcije.

Primjer: Saznaj intervale na kojima je graf funkcije Saznaj intervale na kojima je graf funkcije ima konveksnost usmjerenu prema gore i konveksnost usmjerenu prema dolje. ima konveksnost usmjerenu prema gore i konveksnost usmjerenu prema dolje.
Rješenje: Područje definicije ove funkcije je cijeli skup realnih brojeva.
Nađimo drugi izvod.

Područje definicije druge derivacije poklapa se sa domenom definicije izvorne funkcije, pa je za pronalaženje intervala konkavnosti i konveksnosti dovoljno riješiti i prema tome. Stoga je funkcija konveksna prema dolje na formuli intervala i konveksna prema gore na formuli intervala.

19) Asimptote funkcije. Primjeri.

Prava linija se zove vertikalna asimptota graf funkcije ako je barem jedan od granične vrijednosti ili jednako ili .

Komentar. Prava linija ne može biti vertikalna asimptota ako je funkcija kontinuirana u tački. Prema tome, vertikalne asimptote treba tražiti u tačkama diskontinuiteta funkcije.

Prava linija se zove horizontalna asimptota graf funkcije ako je barem jedna od graničnih vrijednosti ili jednaka .

Komentar. Graf funkcije može imati samo desnu horizontalnu asimptotu ili samo lijevu.

Prava linija se zove kosa asimptota graf funkcije if

PRIMJER:

Vježbajte. Naći asimptote grafa funkcije

Rješenje. Opseg funkcije:

a) vertikalne asimptote: prava linija - vertikalna asimptota, pošto

b) horizontalne asimptote: nalazimo granicu funkcije u beskonačnosti:

odnosno ne postoje horizontalne asimptote.

c) kose asimptote:

Dakle, kosa asimptota je: .

Odgovori. Vertikalna asimptota je ravna.

Kosa asimptota je ravna.

20) Opća shema istraživanje funkcije i crtanje grafa. Primjer.

a.
Pronađite ODZ i točke diskontinuiteta funkcije.

b. Pronađite točke presjeka grafa funkcije sa koordinatnim osa.

2. Provesti studiju funkcije koristeći prvi izvod, odnosno pronaći tačke ekstrema funkcije i intervale povećanja i smanjenja.

3. Istražiti funkciju pomoću izvoda drugog reda, odnosno pronaći točke pregiba grafa funkcije i intervale njegove konveksnosti i konkavnosti.

4. Naći asimptote grafa funkcije: a) vertikalne, b) kose.

5. Na osnovu istraživanja konstruisati graf funkcije.

Imajte na umu da je prije konstruiranja grafa korisno ustanoviti da li ovu funkciju paran ili neparan.

Podsjetimo da se funkcija poziva čak i ako promjena predznaka argumenta ne mijenja vrijednost funkcije: f(-x) = f(x) a funkcija se naziva odd if f(-x) = -f(x).

U ovom slučaju, dovoljno je proučiti funkciju i konstruirati njen graf za pozitivne vrijednosti argumenta koji pripada ODZ-u. Za negativne vrijednosti argumenta, graf se završava na osnovu za ravnomjerna funkcija simetričan je u odnosu na os Oy, i za neparne u odnosu na ishodište.

Primjeri. Istražite funkcije i izgradite njihove grafove.

Funkcija domena D(y)= (–∞; +∞). Nema prelomnih tačaka.

Raskrsnica sa osom Ox: x = 0,y= 0.

Funkcija je neparna, stoga se može proučavati samo na intervalu )