Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.
Prikupljanje i korištenje ličnih podataka
Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.
Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.
U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.
Koje lične podatke prikupljamo:
- Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu Email itd.
Kako koristimo vaše lične podatke:
- Prikupljeno od nas lična informacija nam omogućava da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
- S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
- Također možemo koristiti lične podatke za interne svrhe kao što su revizija, analiza podataka i razne studije u cilju poboljšanja usluga koje pružamo i pružanja preporuka u vezi sa našim uslugama.
- Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.
Otkrivanje informacija trećim licima
Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.
Izuzeci:
- Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, pravnim postupkom, odnosno na osnovu javnog zahtjeva ili zahtjeva vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
- U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.
Zaštita ličnih podataka
Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.
Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije
Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.
Nastavljamo da proučavamo logaritme. U ovom članku ćemo govoriti o izračunavanje logaritama, ovaj proces se zove logaritam. Prvo ćemo razumjeti izračunavanje logaritama po definiciji. Dalje, pogledajmo kako se vrijednosti logaritama pronalaze pomoću njihovih svojstava. Nakon toga ćemo se fokusirati na izračunavanje logaritama kroz početno navedene vrijednosti drugih logaritama. Na kraju, hajde da naučimo kako koristiti logaritamske tablice. Cijela teorija je opskrbljena primjerima sa detaljnim rješenjima.
Navigacija po stranici.
Izračunavanje logaritama po definiciji
U najjednostavnijim slučajevima moguće je izvesti prilično brzo i lako nalaženje logaritma po definiciji. Pogledajmo bliže kako se ovaj proces odvija.
Njegova suština je da broj b predstavi u obliku a c, iz kojeg je, po definiciji logaritma, broj c vrijednost logaritma. To jest, po definiciji, sljedeći lanac jednakosti odgovara pronalaženju logaritma: log a b=log a a c =c.
Dakle, izračunavanje logaritma po definiciji se svodi na pronalaženje broja c takvog da je a c = b, a sam broj c je željena vrijednost logaritma.
Uzimajući u obzir informacije iz prethodnih paragrafa, kada je broj pod znakom logaritma zadan određenom snagom baze logaritma, možete odmah naznačiti čemu je logaritam jednak - jednak je eksponentu. Pokažimo rješenja na primjerima.
Primjer.
Naći log 2 2 −3 i izračunati prirodni logaritam broja e 5,3.
Rješenje.
Definicija logaritma nam omogućava da odmah kažemo da je log 2 2 −3 =−3. Zaista, broj pod predznakom logaritma jednak je bazi 2 na stepen −3.
Slično, nalazimo drugi logaritam: lne 5.3 =5.3.
odgovor:
log 2 2 −3 =−3 i lne 5,3 =5,3.
Ako broj b ispod znaka logaritma nije naveden kao stepen osnove logaritma, onda morate pažljivo pogledati da li je moguće doći do prikaza broja b u obliku a c. Često je ovaj prikaz prilično očigledan, posebno kada je broj pod znakom logaritma jednak bazi na stepen od 1, ili 2, ili 3, ...
Primjer.
Izračunajte logaritme log 5 25 , i .
Rješenje.
Lako je vidjeti da je 25=5 2, ovo vam omogućava da izračunate prvi logaritam: log 5 25=log 5 5 2 =2.
Pređimo na izračunavanje drugog logaritma. Broj se može predstaviti kao stepen 7: 
(pogledajte ako je potrebno). dakle, 
.
Prepišimo treći logaritam u sljedećem obliku. Sada to možete vidjeti 
, iz čega zaključujemo da 
. Dakle, po definiciji logaritma 
.
Ukratko, rješenje bi se moglo napisati na sljedeći način: .
odgovor:
log 5 25=2 , 
I .
Kada je pod znakom logaritma dovoljno veliki prirodni broj, onda ne bi škodilo da ga uračunate u osnovne faktore. Često pomaže da se takav broj predstavi kao neki stepen baze logaritma i da se stoga izračuna ovaj logaritam po definiciji.
Primjer.
Pronađite vrijednost logaritma.
Rješenje.
Neka svojstva logaritama vam omogućavaju da odmah odredite vrijednost logaritama. Ova svojstva uključuju svojstvo logaritma jedinice i svojstvo logaritma broja, jednaka bazi: log 1 1=log a a 0 =0 i log a a=log a a 1 =1. Odnosno, kada se pod znakom logaritma nalazi broj 1 ili broj a jednak osnovici logaritma, tada su u ovim slučajevima logaritmi jednaki 0 i 1, respektivno.
Primjer.
Čemu su jednaki logaritmi i log10?
Rješenje.
Budući da , onda iz definicije logaritma slijedi 
.
U drugom primjeru, broj 10 pod predznakom logaritma se poklapa sa njegovom bazom, pa je decimalni logaritam od deset jednak jedan, odnosno lg10=lg10 1 =1.
odgovor:
I lg10=1 .
Imajte na umu da izračunavanje logaritama po definiciji (o čemu smo govorili u prethodnom pasusu) podrazumijeva korištenje jednakosti log a a p =p, što je jedno od svojstava logaritama.
U praksi, kada se broj pod znakom logaritma i baza logaritma lako mogu predstaviti kao stepen određenog broja, vrlo je zgodno koristiti formulu 
, što odgovara jednom od svojstava logaritma. Pogledajmo primjer pronalaženja logaritma koji ilustruje upotrebu ove formule.
Primjer.
Izračunajte logaritam.
Rješenje.
odgovor:
.
Svojstva logaritama koja nisu pomenuta se takođe koriste u proračunima, ali ćemo o tome govoriti u narednim paragrafima.
Pronalaženje logaritama kroz druge poznate logaritme
Informacije u ovom odlomku nastavljaju na temu korištenja svojstava logaritama prilikom njihovog izračunavanja. Ali ovdje je glavna razlika u tome što se svojstva logaritma koriste za izražavanje originalnog logaritma u terminima drugog logaritma čija je vrijednost poznata. Dajemo primjer za pojašnjenje. Recimo da znamo da je log 2 3≈1,584963, onda možemo pronaći, na primjer, log 2 6 tako što ćemo napraviti malu transformaciju koristeći svojstva logaritma: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .
U gornjem primjeru bilo nam je dovoljno koristiti svojstvo logaritma proizvoda. Međutim, mnogo češće je potrebno koristiti širi arsenal svojstava logaritama da bi se kroz zadane izračunao originalni logaritam.
Primjer.
Izračunajte logaritam od 27 do baze 60 ako znate da je log 60 2=a i log 60 5=b.
Rješenje.
Dakle, moramo pronaći log 60 27 . Lako je vidjeti da je 27 = 3 3 , a originalni logaritam, zbog svojstva logaritma stepena, može se prepisati kao 3·log 60 3 .
Sada da vidimo kako izraziti log 60 3 u terminima poznatih logaritama. Svojstvo logaritma broja jednakog bazi omogućava nam da zapišemo log jednakosti 60 60=1. S druge strane, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . dakle, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. dakle, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.
Konačno, izračunavamo originalni logaritam: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
odgovor:
log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
Odvojeno, vrijedi spomenuti značenje formule za prijelaz na novu bazu logaritma oblika 
. Omogućuje vam prelazak s logaritma s bilo kojom bazom na logaritme s određenom bazom, čije su vrijednosti poznate ili ih je moguće pronaći. Obično se iz originalnog logaritma, koristeći prelaznu formulu, prelaze na logaritme u jednoj od baza 2, e ili 10, jer za ove baze postoje tablice logaritama koje omogućavaju da se njihove vrijednosti izračunaju s određenim stupnjem tačnost. U sljedećem paragrafu ćemo pokazati kako se to radi.
Logaritamske tablice i njihova upotreba
Za približno izračunavanje vrijednosti logaritma mogu se koristiti logaritamske tablice. Najčešće korištena logaritamska tablica baze 2, tablica prirodnog logaritma i tablica decimalnog logaritma. Kada radite u decimalnom brojevnom sistemu, zgodno je koristiti tablicu logaritama na bazi deset. Uz njegovu pomoć naučit ćemo pronaći vrijednosti logaritama.
Prikazana tablica vam omogućava da pronađete vrijednosti decimalnih logaritama brojeva od 1.000 do 9.999 (sa tri decimalna mjesta) s točnošću od jedne desetohiljaditinke. Analizirat ćemo princip nalaženja vrijednosti logaritma pomoću tablice decimalnih logaritama u konkretan primjer– tako je jasnije. Nađimo log1.256.
U lijevom stupcu tablice decimalnih logaritama nalazimo prve dvije cifre broja 1.256, odnosno nalazimo 1.2 (ovaj broj je zaokružen plavom bojom radi jasnoće). Treća znamenka broja 1.256 (cifra 5) nalazi se u prvom ili posljednjem redu lijevo od dvostrukog reda (ovaj broj je zaokružen crvenom bojom). Četvrta znamenka originalnog broja 1.256 (cifra 6) nalazi se u prvom ili posljednjem redu desno od dvostrukog reda (ovaj broj je zaokružen zelenom linijom). Sada nalazimo brojeve u ćelijama tabele logaritama na preseku označenog reda i označenih kolona (ovi brojevi su istaknuti narandžastom bojom). Zbir označenih brojeva daje željenu vrijednost decimalnog logaritma sa tačnošću do četvrte decimale, tj. log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.
Da li je moguće, koristeći gornju tabelu, pronaći vrijednosti decimalnih logaritama brojeva koji imaju više od tri znamenke iza decimalnog zareza, kao i onih koji izlaze iz raspona od 1 do 9,999? Da, možeš. Pokažimo kako se to radi na primjeru.
Izračunajmo lg102.76332. Prvo treba da zapišete broj u standardni obrazac : 102,76332=1,0276332·10 2. Nakon ovoga, mantisu treba zaokružiti na treću decimalu, imamo 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, dok je originalni decimalni logaritam približno jednak logaritmu rezultirajućeg broja, odnosno uzimamo log102.76332≈lg1.028·10 2. Sada primjenjujemo svojstva logaritma: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Konačno, vrijednost logaritma lg1.028 nalazimo iz tabele decimalnih logaritama lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Kao rezultat, cijeli proces izračunavanja logaritma izgleda ovako: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.
U zaključku, vrijedno je napomenuti da pomoću tablice decimalnih logaritama možete izračunati približnu vrijednost bilo kojeg logaritma. Da biste to učinili, dovoljno je koristiti formulu prijelaza za prelazak na decimalne logaritme, pronaći njihove vrijednosti u tablici i izvršiti preostale proračune.
Na primjer, izračunajmo log 2 3 . Prema formuli za prijelaz na novu bazu logaritma, imamo . Iz tabele decimalnih logaritama nalazimo log3≈0,4771 i log2≈0,3010. dakle, 
.
Bibliografija.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i dr. Algebra i počeci analize: Udžbenik za 10. - 11. razred opšteobrazovnih ustanova.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za one koji upisuju tehničke škole).
Šta je logaritam?
Pažnja!
Postoje dodatni
materijali u Posebnom dijelu 555.
Za one koji su veoma "ne baš..."
I za one koji "jako...")
Šta je logaritam? Kako riješiti logaritme? Ova pitanja zbunjuju mnoge diplomce. Tradicionalno, tema logaritama se smatra složenom, nerazumljivom i zastrašujućom. Posebno jednadžbe sa logaritmima.
Ovo apsolutno nije istina. Apsolutno! Ne veruješ mi? U redu. Sada, za samo 10 - 20 minuta vi:
1. Razumjet ćete šta je logaritam.
2. Naučite riješiti cijeli razred eksponencijalne jednačine. Čak i ako niste ništa čuli o njima.
3. Naučite izračunati jednostavne logaritme.
Štaviše, za ovo ćete morati samo znati tablicu množenja i kako podići broj na stepen...
Osećam kao da sumnjaš... Pa, dobro, označi vreme! Idi!
Prvo riješite ovu jednačinu u svojoj glavi:
Ako vam se sviđa ovaj sajt...
Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)
Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.
(od grčkog λόγος - "reč", "odnos" i ἀριθμός - "broj") brojevi b na osnovu a(log α b) se zove takav broj c, And b= a c, odnosno zapisi log α b=c I b=ac su ekvivalentni. Logaritam ima smisla ako je a > 0, a ≠ 1, b > 0.
Drugim riječima logaritam brojevi b na osnovu A formulisan kao eksponent na koji se broj mora podići a da dobijem broj b(logaritam postoji samo za pozitivne brojeve).
Iz ove formulacije slijedi da je proračun x= log α b, je ekvivalentno rješavanju jednačine a x =b.
Na primjer:
log 2 8 = 3 jer je 8 = 2 3 .
Naglasimo da navedena formulacija logaritma omogućava da se odmah odredi vrijednost logaritma, kada broj pod predznakom logaritma djeluje kao određena snaga baze. Zaista, formulacija logaritma omogućava da se opravda ako b=a c, zatim logaritam broja b na osnovu a jednaki With. Takođe je jasno da je tema logaritma usko povezana sa temom moći broja.
Izračunavanje logaritma se zove logaritam. Logaritam je matematička operacija uzimanja logaritma. Kada se uzimaju logaritmi, proizvodi faktora se pretvaraju u zbir članova.
Potenciranje je inverzna matematička operacija logaritma. Tokom potenciranja, data baza se podiže do stepena ekspresije nad kojim se vrši potenciranje. U ovom slučaju, sume termina se pretvaraju u proizvod faktora.
Vrlo često se koriste realni logaritmi sa bazama 2 (binarni), Eulerovim brojem e ≈ 2,718 (prirodni logaritam) i 10 (decimalno).
U ovoj fazi je preporučljivo razmotriti logaritamski uzorci dnevnik 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.
A unosi lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 nemaju smisla, jer je u prvom od njih negativan broj stavljen ispod znaka logaritma, u drugom - negativan broj u bazi, au trećem - i negativan broj pod znakom logaritma i jedinica u bazi.
Uslovi za određivanje logaritma.
Vrijedi posebno razmotriti uslove a > 0, a ≠ 1, b > 0. pod kojima dobijamo definicija logaritma. Razmotrimo zašto su uvedena ova ograničenja. Jednakost oblika x = log α će nam pomoći u tome b, nazvan osnovnim logaritamskim identitetom, što direktno proizilazi iz gore date definicije logaritma.
Uzmimo uslov a≠1. Pošto je jedan na bilo koji stepen jednak jedan, onda je jednakost x=log α b može postojati samo kada b=1, ali log 1 1 će biti bilo koji realan broj. Da bismo otklonili ovu dvosmislenost, uzimamo a≠1.
Hajde da dokažemo neophodnost uslova a>0. At a=0 prema formulaciji logaritma može postojati samo kada b=0. I shodno tome onda log 0 0 može biti bilo koji realni broj različit od nule, pošto je nula na bilo koji stepen različit od nule nula. Ova dvosmislenost se može eliminisati uslovom a≠0. I kada a<0 morali bismo odbaciti analizu racionalnih i iracionalnih vrijednosti logaritma, jer je stepen s racionalnim i iracionalnim eksponentom definiran samo za nenegativne baze. Iz tog razloga je uvjet propisan a>0.
I poslednji uslov b>0 proizlazi iz nejednakosti a>0, budući da je x=log α b, i vrijednost stepena sa pozitivnom bazom a uvek pozitivno.
Osobine logaritama.
Logaritmi karakteriše karakteristično karakteristike, što je dovelo do njihove široke upotrebe kako bi se značajno olakšala mukotrpna izračunavanja. Kada se krene “u svijet logaritama”, množenje se transformira u mnogo lakši sabiranje, dijeljenje se pretvara u oduzimanje, a stepenovanje i vađenje korijena se transformiraju u množenje i dijeljenje eksponentom.
Formulacija logaritama i tablica njihovih vrijednosti (za trigonometrijske funkcije) je prvi put objavio 1614. škotski matematičar John Napier. Logaritamske tabele, uvećane i detaljnije od strane drugih naučnika, bile su široko korišćene u naučnim i inženjerskim proračunima i ostale su relevantne sve dok nisu ušle u upotrebu. elektronski kalkulatori i kompjutere.
glavna svojstva.
- logax + logay = loga(x y);
- logax − logay = loga (x: y).
identične osnove
Log6 4 + log6 9.
Sada da malo zakomplikujemo zadatak.
Primjeri rješavanja logaritama
Šta ako je osnova ili argument logaritma potencija? Tada se eksponent ovog stepena može izvaditi iz predznaka logaritma prema sljedećim pravilima:
Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se posmatra ODZ logaritma: a > 0, a ≠ 1, x >
Zadatak. Pronađite značenje izraza:
Prelazak na novu osnovu
Neka je dat logaritam logax. Tada je za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 tačna jednakost:
Zadatak. Pronađite značenje izraza:
Vidi također:
Osnovna svojstva logaritma
1.
2.
3.
4.
5. 
6.
7.
8.
9.
10.
11. 
12.
13.
14. 
15.
Eksponent je 2,718281828…. Da biste zapamtili eksponent, možete proučiti pravilo: eksponent je jednak 2,7 i dva puta je godina rođenja Lava Nikolajeviča Tolstoja.
Osnovna svojstva logaritama
Znajući ovo pravilo, znat ćete i tačnu vrijednost eksponenta i datum rođenja Lava Tolstoja.
Primjeri za logaritme
Logaritamski izrazi
Primjer 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).
Koristeći svojstva 3.5 izračunavamo 
2.
3. 
4. 
Gdje 
.
Primjer 2. Pronađite x ako
Primjer 3. Neka je data vrijednost logaritama
Izračunajte log(x) ako
Osnovna svojstva logaritama
Logaritmi, kao i svi brojevi, mogu se sabirati, oduzimati i transformirati na sve načine. Ali pošto logaritmi nisu baš obični brojevi, ovdje postoje pravila koja se nazivaju glavna svojstva.
Svakako morate znati ova pravila - bez njih se ne može riješiti nijedan ozbiljan logaritamski problem. Osim toga, vrlo ih je malo - sve možete naučiti u jednom danu. Pa počnimo.
Sabiranje i oduzimanje logaritama
Razmotrimo dva logaritma sa istim osnovama: logax i logay. Tada se mogu sabirati i oduzimati i:
- logax + logay = loga(x y);
- logax − logay = loga (x: y).
Dakle, zbir logaritama je jednak logaritmu proizvoda, a razlika je jednaka logaritmu količnika. Imajte na umu: ključna stvar je ovdje identične osnove. Ako su razlozi drugačiji, ova pravila ne funkcionišu!
Ove formule će vam pomoći da izračunate logaritamski izraz čak i kada se njegovi pojedinačni dijelovi ne uzimaju u obzir (pogledajte lekciju “Šta je logaritam”). Pogledajte primjere i pogledajte:
Pošto logaritmi imaju iste baze, koristimo formulu sume:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log2 48 − log2 3.
Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log2 48 − log2 3 = log2 (48:3) = log2 16 = 4.
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log3 135 − log3 5.
Opet su baze iste, tako da imamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135:5) = log3 27 = 3.
Kao što vidite, originalni izrazi su sastavljeni od „loših“ logaritama, koji se ne računaju zasebno. Ali nakon transformacija dobijaju se sasvim normalni brojevi. Mnogi su izgrađeni na ovoj činjenici test papiri. Da, izrazi poput testa se nude u potpunosti (ponekad i bez ikakvih promjena) na Jedinstvenom državnom ispitu.
Izdvajanje eksponenta iz logaritma
Lako je vidjeti da posljednje pravilo slijedi prva dva. Ali ipak je bolje zapamtiti to - u nekim slučajevima to će značajno smanjiti količinu izračuna.
Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se poštuje ODZ logaritma: a > 0, a ≠ 1, x > 0. I još nešto: naučite primjenjivati sve formule ne samo s lijeva na desno, već i obrnuto , tj. Možete unijeti brojeve prije znaka logaritma u sam logaritam. To je ono što se najčešće traži.
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log7 496.
Oslobodimo se stepena u argumentu koristeći prvu formulu:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12
Zadatak. Pronađite značenje izraza:
Imajte na umu da imenilac sadrži logaritam, čija su osnova i argument tačni potenci: 16 = 24; 49 = 72. Imamo:
Mislim da posljednji primjer zahtijeva pojašnjenje. Gdje su nestali logaritmi? Do poslednjeg trenutka radimo samo sa imeniocem.
Logaritamske formule. Rješenja primjera logaritama.
Osnovu i argument logaritma koji tu stoji predstavili smo u obliku stepena i iznijeli eksponente - dobili smo razlomak od tri sprata.
Pogledajmo sada glavni razlomak. Brojilac i imenilac sadrže isti broj: log2 7. Pošto je log2 7 ≠ 0, možemo smanjiti razlomak - 2/4 će ostati u nazivniku. Prema pravilima aritmetike, četvorka se može prenijeti u brojilac, što je i učinjeno. Rezultat je bio odgovor: 2.
Prelazak na novu osnovu
Govoreći o pravilima za sabiranje i oduzimanje logaritama, posebno sam naglasio da oni rade samo sa istim osnovama. Šta ako su razlozi drugačiji? Šta ako nisu tačne snage istog broja?
Formule za prelazak na novu podlogu dolaze u pomoć. Formulirajmo ih u obliku teoreme:
Neka je dat logaritam logax. Tada je za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 tačna jednakost:
Konkretno, ako postavimo c = x, dobijamo:
Iz druge formule proizilazi da se baza i argument logaritma mogu zamijeniti, ali se u ovom slučaju cijeli izraz „obrće“, tj. logaritam se pojavljuje u nazivniku.
Ove formule se rijetko nalaze u konvencionalnim numeričke izraze. Koliko su zgodne moguće je procijeniti samo pri rješavanju logaritamskih jednačina i nejednačina.
Međutim, postoje problemi koji se nikako ne mogu riješiti osim preseljenjem u novu osnovu. Pogledajmo par ovih:
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log5 16 log2 25.
Imajte na umu da argumenti oba logaritma sadrže tačne potencije. Izvadimo indikatore: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;
Sada "obrnimo" drugi logaritam:
Kako se proizvod ne mijenja pri preraspodjelu faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim se pozabavili logaritmima.
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log9 100 lg 3.
Osnova i argument prvog logaritma su tačni potenci. Zapišimo ovo i riješimo se indikatora:
Sada se riješimo decimalnog logaritma pomicanjem na novu bazu:
Osnovni logaritamski identitet
Često je u procesu rješavanja potrebno predstaviti broj kao logaritam na datu bazu. U ovom slučaju pomoći će nam sljedeće formule:
U prvom slučaju, broj n postaje eksponent u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo koji, jer je samo logaritamska vrijednost.
Druga formula je zapravo parafrazirana definicija. Tako se to zove: .
U stvari, šta se dešava ako se broj b podigne na takav stepen da broj b na ovaj stepen daje broj a? Tako je: rezultat je isti broj a. Pažljivo pročitajte ovaj odlomak ponovo - mnogi ljudi zaglave u njemu.
Kao i formule za prelazak na novu bazu, osnovni logaritamski identitet je ponekad jedino moguće rješenje.
Zadatak. Pronađite značenje izraza:
Imajte na umu da je log25 64 = log5 8 - jednostavno uzeo kvadrat iz baze i argumenta logaritma. Uzimajući u obzir pravila za množenje potencija sa istu osnovu, dobijamo:
Ako neko ne zna, bilo je pravi izazov sa Jedinstvenog državnog ispita :)
Logaritamska jedinica i logaritamska nula
U zaključku ću dati dva identiteta koja se teško mogu nazvati svojstvima – radije su to posljedice definicije logaritma. Stalno se pojavljuju u problemima i, iznenađujuće, stvaraju probleme čak i „naprednim“ učenicima.
- logaa = 1 je. Zapamtite jednom za svagda: logaritam bilo koje baze a te baze jednak je jedan.
- loga 1 = 0 je. Baza a može biti bilo koja, ali ako argument sadrži jedan - logaritam jednaka nuli! Zato što je a0 = 1 direktna posljedica definicije.
To je sva imovina. Obavezno vježbajte u njihovoj primjeni! Preuzmite cheat sheet na početku lekcije, odštampajte ga i riješite probleme.
Vidi također:
Logaritam od b prema bazi a označava izraz. Izračunati logaritam znači pronaći stepen x () pri kojem je jednakost zadovoljena
Osnovna svojstva logaritma
Neophodno je poznavati navedena svojstva, jer se na njihovoj osnovi rješavaju gotovo svi problemi i primjeri vezani za logaritme. Ostatak egzotičnih svojstava može se izvesti kroz matematičke manipulacije sa ovim formulama
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Prilikom izračunavanja formule za zbir i razliku logaritama (3.4) nailazite prilično često. Ostali su donekle složeni, ali su u nizu zadataka neophodni za pojednostavljenje složenih izraza i izračunavanje njihovih vrijednosti.
Uobičajeni slučajevi logaritama
Neki od uobičajenih logaritama su oni kod kojih je baza čak deset, eksponencijalna ili dva.
Logaritam na osnovu deset obično se naziva decimalni logaritam i jednostavno se označava sa lg(x).
Iz snimka se jasno vidi da na snimku nije napisano osnovno. Na primjer
Prirodni logaritam je logaritam čija je osnova eksponent (označen sa ln(x)).
Eksponent je 2,718281828…. Da biste zapamtili eksponent, možete proučiti pravilo: eksponent je jednak 2,7 i dva puta je godina rođenja Lava Nikolajeviča Tolstoja. Znajući ovo pravilo, znat ćete i tačnu vrijednost eksponenta i datum rođenja Lava Tolstoja.
I još jedan važan logaritam za bazu dva je označen sa
Derivat logaritma funkcije jednak je jedinici podijeljenom promjenljivom
Integralni ili antiderivativni logaritam je određen odnosom
Dati materijal vam je dovoljan za rješavanje široke klase zadataka vezanih za logaritme i logaritme. Da biste lakše razumjeli materijal, navest ću samo nekoliko uobičajenih primjera školski program i univerzitete.
Primjeri za logaritme
Logaritamski izrazi
Primjer 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).
Koristeći svojstva 3.5 izračunavamo
2.
Po svojstvu razlike logaritama imamo
3.
Koristeći svojstva 3.5 nalazimo
4. Gdje .
Naizgled složen izraz se pojednostavljuje u obliku pomoću brojnih pravila
Pronalaženje vrijednosti logaritma
Primjer 2. Pronađite x ako
Rješenje. Za izračun se primjenjuje na posljednji pojam 5 i 13 svojstava
Stavljamo to u evidenciju i žalimo
Pošto su baze jednake, izjednačavamo izraze
Logaritmi. Prvi nivo.
Neka je data vrijednost logaritama
Izračunajte log(x) ako
Rješenje: Uzmimo logaritam varijable da zapišemo logaritam kroz zbir njegovih članova
Ovo je tek početak našeg upoznavanja sa logaritmima i njihovim svojstvima. Vježbajte proračune, obogatite svoje praktične vještine - uskoro će vam trebati znanje koje steknete za rješavanje logaritamskih jednačina. Nakon što smo proučili osnovne metode za rješavanje ovakvih jednačina, proširit ćemo vaše znanje na još jednu jednako važnu temu - logaritamske nejednačine...
Osnovna svojstva logaritama
Logaritmi, kao i svi brojevi, mogu se sabirati, oduzimati i transformirati na sve načine. Ali pošto logaritmi nisu baš obični brojevi, ovdje postoje pravila koja se nazivaju glavna svojstva.
Svakako morate znati ova pravila - bez njih se ne može riješiti nijedan ozbiljan logaritamski problem. Osim toga, vrlo ih je malo - sve možete naučiti u jednom danu. Pa počnimo.
Sabiranje i oduzimanje logaritama
Razmotrimo dva logaritma sa istim osnovama: logax i logay. Tada se mogu sabirati i oduzimati i:
- logax + logay = loga(x y);
- logax − logay = loga (x: y).
Dakle, zbir logaritama je jednak logaritmu proizvoda, a razlika je jednaka logaritmu količnika. Imajte na umu: ključna stvar je ovdje identične osnove. Ako su razlozi drugačiji, ova pravila ne funkcionišu!
Ove formule će vam pomoći da izračunate logaritamski izraz čak i kada se njegovi pojedinačni dijelovi ne uzimaju u obzir (pogledajte lekciju “Šta je logaritam”). Pogledajte primjere i pogledajte:
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log6 4 + log6 9.
Pošto logaritmi imaju iste baze, koristimo formulu sume:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log2 48 − log2 3.
Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log2 48 − log2 3 = log2 (48:3) = log2 16 = 4.
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log3 135 − log3 5.
Opet su baze iste, tako da imamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135:5) = log3 27 = 3.
Kao što vidite, originalni izrazi su sastavljeni od „loših“ logaritama, koji se ne računaju zasebno. Ali nakon transformacija dobijaju se sasvim normalni brojevi. Mnogi testovi su zasnovani na ovoj činjenici. Da, izrazi poput testa se nude u potpunosti (ponekad i bez ikakvih promjena) na Jedinstvenom državnom ispitu.
Izdvajanje eksponenta iz logaritma
Sada da malo zakomplikujemo zadatak. Šta ako je osnova ili argument logaritma potencija? Tada se eksponent ovog stepena može izvaditi iz predznaka logaritma prema sljedećim pravilima:
Lako je vidjeti da posljednje pravilo slijedi prva dva. Ali ipak je bolje zapamtiti to - u nekim slučajevima to će značajno smanjiti količinu izračuna.
Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se poštuje ODZ logaritma: a > 0, a ≠ 1, x > 0. I još nešto: naučite primjenjivati sve formule ne samo s lijeva na desno, već i obrnuto , tj. Možete unijeti brojeve prije znaka logaritma u sam logaritam.
Kako riješiti logaritme
To je ono što se najčešće traži.
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log7 496.
Oslobodimo se stepena u argumentu koristeći prvu formulu:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12
Zadatak. Pronađite značenje izraza:
Imajte na umu da imenilac sadrži logaritam, čija su osnova i argument tačni potenci: 16 = 24; 49 = 72. Imamo:
Mislim da posljednji primjer zahtijeva pojašnjenje. Gdje su nestali logaritmi? Do poslednjeg trenutka radimo samo sa imeniocem. Osnovu i argument logaritma koji tu stoji predstavili smo u obliku stepena i iznijeli eksponente - dobili smo razlomak od tri sprata.
Pogledajmo sada glavni razlomak. Brojilac i imenilac sadrže isti broj: log2 7. Pošto je log2 7 ≠ 0, možemo smanjiti razlomak - 2/4 će ostati u nazivniku. Prema pravilima aritmetike, četvorka se može prenijeti u brojilac, što je i učinjeno. Rezultat je bio odgovor: 2.
Prelazak na novu osnovu
Govoreći o pravilima za sabiranje i oduzimanje logaritama, posebno sam naglasio da oni rade samo sa istim osnovama. Šta ako su razlozi drugačiji? Šta ako nisu tačne snage istog broja?
Formule za prelazak na novu podlogu dolaze u pomoć. Formulirajmo ih u obliku teoreme:
Neka je dat logaritam logax. Tada je za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 tačna jednakost:
Konkretno, ako postavimo c = x, dobijamo:
Iz druge formule proizilazi da se baza i argument logaritma mogu zamijeniti, ali se u ovom slučaju cijeli izraz „obrće“, tj. logaritam se pojavljuje u nazivniku.
Ove formule se rijetko nalaze u običnim numeričkim izrazima. Koliko su zgodne moguće je procijeniti samo pri rješavanju logaritamskih jednačina i nejednačina.
Međutim, postoje problemi koji se nikako ne mogu riješiti osim preseljenjem u novu osnovu. Pogledajmo par ovih:
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log5 16 log2 25.
Imajte na umu da argumenti oba logaritma sadrže tačne potencije. Izvadimo indikatore: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;
Sada "obrnimo" drugi logaritam:
Kako se proizvod ne mijenja pri preraspodjelu faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim se pozabavili logaritmima.
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log9 100 lg 3.
Osnova i argument prvog logaritma su tačni potenci. Zapišimo ovo i riješimo se indikatora:
Sada se riješimo decimalnog logaritma pomicanjem na novu bazu:
Osnovni logaritamski identitet
Često je u procesu rješavanja potrebno predstaviti broj kao logaritam na datu bazu. U ovom slučaju pomoći će nam sljedeće formule:
U prvom slučaju, broj n postaje eksponent u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo koji, jer je samo logaritamska vrijednost.
Druga formula je zapravo parafrazirana definicija. Tako se to zove: .
U stvari, šta se dešava ako se broj b podigne na takav stepen da broj b na ovaj stepen daje broj a? Tako je: rezultat je isti broj a. Pažljivo pročitajte ovaj odlomak ponovo - mnogi ljudi zaglave u njemu.
Kao i formule za prelazak na novu bazu, osnovni logaritamski identitet je ponekad jedino moguće rješenje.
Zadatak. Pronađite značenje izraza:
Imajte na umu da je log25 64 = log5 8 - jednostavno uzeo kvadrat iz baze i argumenta logaritma. Uzimajući u obzir pravila za množenje potencija sa istom osnovom, dobijamo:
Ako neko ne zna, ovo je bio pravi zadatak sa Jedinstvenog državnog ispita :)
Logaritamska jedinica i logaritamska nula
U zaključku ću dati dva identiteta koja se teško mogu nazvati svojstvima – radije su to posljedice definicije logaritma. Stalno se pojavljuju u problemima i, iznenađujuće, stvaraju probleme čak i „naprednim“ učenicima.
- logaa = 1 je. Zapamtite jednom za svagda: logaritam bilo koje baze a te baze jednak je jedan.
- loga 1 = 0 je. Baza a može biti bilo koja, ali ako argument sadrži jedan, logaritam je jednak nuli! Zato što je a0 = 1 direktna posljedica definicije.
To je sva imovina. Obavezno vježbajte u njihovoj primjeni! Preuzmite cheat sheet na početku lekcije, odštampajte ga i riješite probleme.