\(a^(b)=c\) \(\Strelica ulevo\) \(\log_(a)(c)=b\)
Hajde da to jednostavnije objasnimo. Na primjer, \(\log_(2)(8)\) je jednako potenciji na koju se \(2\) mora podići da bi se dobilo \(8\). Iz ovoga je jasno da je \(\log_(2)(8)=3\).
|
primjeri: |
\(\log_(5)(25)=2\) |
jer \(5^(2)=25\) |
||
|
\(\log_(3)(81)=4\) |
jer \(3^(4)=81\) |
|||
|
\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\) |
jer \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\) |
Argument i baza logaritma
Svaki logaritam ima sljedeću "anatomiju":
Argument logaritma se obično piše na njegovom nivou, a baza se upisuje u indeksu bliže znaku logaritma. A ovaj unos glasi ovako: "logaritam od dvadeset pet do osnove pet."
Kako izračunati logaritam?
Da biste izračunali logaritam, morate odgovoriti na pitanje: na koji stepen treba podići bazu da biste dobili argument?
Na primjer, izračunajte logaritam: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)
a) Na koji stepen treba podići \(4\) da bi se dobilo \(16\)? Očigledno drugi. Zbog toga:
\(\log_(4)(16)=2\)
\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)
c) Na koji stepen treba podići \(\sqrt(5)\) da bi se dobilo \(1\)? Koja moć čini bilo kog broja jedan? Nula, naravno!
\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)
d) Na koji stepen treba podići \(\sqrt(7)\) da bi se dobio \(\sqrt(7)\)? Prvo, bilo koji broj na prvi stepen jednak je samom sebi.
\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)
e) Na koji stepen treba podići \(3\) da bi se dobio \(\sqrt(3)\)? Odatle znamo šta je to frakciona snaga, a to znači Kvadratni korijen je snaga \(\frac(1)(2)\) .
\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)
Primjer : Izračunajte logaritam \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)
Rješenje :
|
\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\) |
Trebamo pronaći vrijednost logaritma, označimo ga sa x. Sada koristimo definiciju logaritma: |
|
|
\((4\sqrt(2))^(x)=8\) |
Šta povezuje \(4\sqrt(2)\) i \(8\)? Dva, jer se oba broja mogu predstaviti dvojkama: |
|
|
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\) |
Na lijevoj strani koristimo svojstva stepena: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) i \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\) |
|
|
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\) |
Osnove su jednake, prelazimo na jednakost indikatora |
|
|
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\) |
|
Pomnožite obje strane jednadžbe sa \(\frac(2)(5)\) |
|
|
Dobiveni korijen je vrijednost logaritma |
Odgovori : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)
Zašto je izmišljen logaritam?
Da bismo ovo razumjeli, riješimo jednačinu: \(3^(x)=9\). Samo uparite \(x\) da bi jednačina funkcionirala. Naravno, \(x=2\).
Sada riješite jednačinu: \(3^(x)=8\). Koliko je x jednako? To je poenta.
Oni najpametniji će reći: "X je malo manje od dva." Kako tačno napisati ovaj broj? Da bi se odgovorilo na ovo pitanje, izmišljen je logaritam. Zahvaljujući njemu, odgovor se ovdje može napisati kao \(x=\log_(3)(8)\).
Želim da naglasim da \(\log_(3)(8)\), kao svaki logaritam je samo broj. Da, izgleda neobično, ali je kratak. Jer ako bismo to htjeli zapisati kao decimalu, to bi izgledalo ovako: \(1.892789260714.....\)
Primjer : Riješite jednačinu \(4^(5x-4)=10\)
Rješenje :
|
\(4^(5x-4)=10\) |
\(4^(5x-4)\) i \(10\) se ne mogu dovesti u istu bazu. To znači da ne možete bez logaritma. Koristimo definiciju logaritma: |
|
|
\(\log_(4)(10)=5x-4\) |
Okrenimo jednačinu tako da X bude na lijevoj strani |
|
|
\(5x-4=\log_(4)(10)\) |
Pred nama. Pomaknimo \(4\) udesno. I ne plašite se logaritma, tretirajte ga kao običan broj. |
|
|
\(5x=\log_(4)(10)+4\) |
Podijelite jednačinu sa 5 |
|
|
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\) |
|
Ovo je naš korijen. Da, izgleda neobično, ali ne biraju odgovor. |
Odgovori : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)
Decimalni i prirodni logaritmi
Kao što je navedeno u definiciji logaritma, njegova baza može biti bilo koji pozitivan broj osim jednog \((a>0, a\neq1)\). A među svim mogućim bazama, postoje dvije koje se tako često javljaju da je izmišljen poseban kratki zapis za logaritme s njima:
Prirodni logaritam: logaritam čija je osnova Ojlerov broj \(e\) (jednak približno \(2,7182818…\)), a logaritam je zapisan kao \(\ln(a)\).
To je, \(\ln(a)\) je isto što i \(\log_(e)(a)\)
Decimalni logaritam: Logaritam čija je baza 10 piše se \(\lg(a)\).
To je, \(\lg(a)\) je isto što i \(\log_(10)(a)\), gdje je \(a\) neki broj.
Osnovni logaritamski identitet
Logaritmi imaju mnoga svojstva. Jedan od njih se zove “Osnovni logaritamski identitet” i izgleda ovako:
| \(a^(\log_(a)(c))=c\) |
Ovo svojstvo slijedi direktno iz definicije. Pogledajmo kako je tačno nastala ova formula.
Prisjetimo se kratke notacije definicije logaritma:
ako je \(a^(b)=c\), onda \(\log_(a)(c)=b\)
To jest, \(b\) je isto što i \(\log_(a)(c)\). Tada možemo napisati \(\log_(a)(c)\) umjesto \(b\) u formuli \(a^(b)=c\). Ispostavilo se \(a^(\log_(a)(c))=c\) - glavni logaritamski identitet.
Možete pronaći i druga svojstva logaritama. Uz njihovu pomoć možete pojednostaviti i izračunati vrijednosti izraza logaritmima, koje je teško izravno izračunati.
Primjer : Pronađite vrijednost izraza \(36^(\log_(6)(5))\)
Rješenje :
Odgovori : \(25\)
Kako napisati broj kao logaritam?
Kao što je gore spomenuto, svaki logaritam je samo broj. I obrnuto: bilo koji broj se može napisati kao logaritam. Na primjer, znamo da je \(\log_(2)(4)\) jednako dva. Tada umjesto dva možete napisati \(\log_(2)(4)\).
Ali \(\log_(3)(9)\) je također jednako \(2\), što znači da možemo napisati i \(2=\log_(3)(9)\) . Isto tako sa \(\log_(5)(25)\), i sa \(\log_(9)(81)\), itd. Odnosno, ispostavilo se
\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)
Dakle, ako trebamo, možemo napisati dva kao logaritam sa bilo kojom bazom bilo gdje (bilo u jednadžbi, u izrazu ili u nejednadžbi) - jednostavno zapišemo bazu na kvadrat kao argument.
Isto je i sa trojkom – može se napisati kao \(\log_(2)(8)\), ili kao \(\log_(3)(27)\), ili kao \(\log_(4)( 64) \)... Ovdje upisujemo bazu u kocki kao argument:
\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)
I sa četiri:
\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)
I sa minus jedan:
\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)
I sa jednom trećinom:
\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)
Bilo koji broj \(a\) može se predstaviti kao logaritam sa bazom \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)
Primjer : Pronađite značenje izraza \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)
Rješenje :
Odgovori : \(1\)
Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.
Prikupljanje i korištenje ličnih podataka
Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.
Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.
U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.
Koje lične podatke prikupljamo:
- Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu Email itd.
Kako koristimo vaše lične podatke:
- Prikupljeno od nas lična informacija nam omogućava da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
- S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
- Također možemo koristiti lične podatke za interne svrhe kao što su revizija, analiza podataka i razne studije u cilju poboljšanja usluga koje pružamo i pružanja preporuka u vezi sa našim uslugama.
- Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.
Otkrivanje informacija trećim licima
Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.
Izuzeci:
- Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, pravnim postupkom, odnosno na osnovu javnog zahtjeva ili zahtjeva vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
- U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.
Zaštita ličnih podataka
Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.
Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije
Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.
Dakle, imamo moći dvojke. Ako uzmete broj iz donje linije, lako ćete pronaći stepen na koji ćete morati podići dva da biste dobili ovaj broj. Na primjer, da biste dobili 16, trebate podići dva na četvrti stepen. A da biste dobili 64, trebate podići dva na šesti stepen. To se vidi iz tabele.
A sada - zapravo, definicija logaritma:
Osnova logaritma od x je stepen na koji se a mora podići da bi se dobilo x.
Oznaka: log a x = b, gdje je a baza, x je argument, b je ono čemu je logaritam zapravo jednak.
Na primjer, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (osnovni 2 logaritam od 8 je tri jer je 2 3 = 8). Sa istim uspjehom log 2 64 = 6, budući da je 2 6 = 64.
Operacija pronalaženja logaritma broja na datu bazu naziva se logaritmizacija. Dakle, dodajmo novi red u našu tabelu:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| log 2 2 = 1 | log 2 4 = 2 | log 2 8 = 3 | log 2 16 = 4 | log 2 32 = 5 | log 2 64 = 6 |
Nažalost, nisu svi logaritmi izračunati tako lako. Na primjer, pokušajte pronaći dnevnik 2 5 . Broj 5 nije u tabeli, ali logika nalaže da će logaritam ležati negdje na segmentu. Jer 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Takvi brojevi se nazivaju iracionalni: brojevi iza decimalnog zareza mogu se pisati beskonačno i nikada se ne ponavljaju. Ako se ispostavi da je logaritam iracionalan, bolje je ostaviti ga tako: log 2 5, log 3 8, log 5 100.
Važno je shvatiti da je logaritam izraz sa dvije varijable (osnovom i argumentom). U početku, mnogi ljudi brkaju gdje je osnova, a gdje argument. Da biste izbjegli dosadne nesporazume, samo pogledajte sliku:
Pred nama nije ništa drugo do definicija logaritma. Zapamtite: logaritam je stepen, u koji se baza mora ugraditi da bi se dobio argument. To je baza koja je podignuta na snagu - na slici je istaknuta crvenom bojom. Ispostavilo se da je baza uvijek na dnu! Svojim učenicima govorim ovo divno pravilo već na prvoj lekciji - i ne nastaje zabuna.
Shvatili smo definiciju - preostaje samo da naučimo kako računati logaritme, tj. oslobodite se znaka "log". Za početak, napominjemo da iz definicije proizlaze dvije važne činjenice:
- Argument i baza uvijek moraju biti veći od nule. Ovo proizilazi iz definicije stepena racionalnim eksponentom, na koji se svodi definicija logaritma.
- Baza mora biti različita od jedinice, jer jedan u bilo kom stepenu i dalje ostaje jedan. Zbog toga je besmisleno pitanje „na koju snagu se mora podići da bi se dobilo dva“. Ne postoji takva diploma!
Takva ograničenja se nazivaju region prihvatljive vrijednosti (ODZ). Ispada da ODZ logaritma izgleda ovako: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.
Imajte na umu da nema ograničenja za broj b (vrijednost logaritma). Na primjer, logaritam može biti negativan: log 2 0,5 = −1, jer 0,5 = 2 −1.
Međutim, sada samo razmatramo numeričke izraze, pri čemu nije potrebno znati CVD logaritma. Autori problema su već uzeli u obzir sva ograničenja. Ali kada logaritamske jednačine i nejednakosti uđu u igru, DL zahtjevi će postati obavezni. Uostalom, osnova i argument mogu sadržavati vrlo jake konstrukcije koje nužno ne odgovaraju gornjim ograničenjima.
Sada razmotrimo opšta šema izračunavanje logaritama. Sastoji se od tri koraka:
- Izrazite bazu a i argument x kao stepen sa minimalnom mogućom bazom većom od jedan. Usput je bolje da se riješite decimala;
- Riješite jednačinu za varijablu b: x = a b ;
- Rezultirajući broj b će biti odgovor.
To je sve! Ako se pokaže da je logaritam iracionalan, to će biti vidljivo već u prvom koraku. Zahtjev da baza bude veća od jedan je vrlo važan: to smanjuje vjerovatnoću greške i uvelike pojednostavljuje proračune. Isto sa decimale: ako ih odmah pretvorite u obične, bit će mnogo manje grešaka.
Pogledajmo kako ova shema funkcionira na konkretnim primjerima:
Zadatak. Izračunajte logaritam: log 5 25
- Zamislimo bazu i argument kao stepen petice: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
- Dobili smo odgovor: 2.
Kreirajmo i riješimo jednačinu:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;
Zadatak. Izračunaj logaritam:
Zadatak. Izračunajte logaritam: log 4 64
- Zamislimo bazu i argument kao stepen dvojke: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
- Kreirajmo i riješimo jednačinu:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ; - Dobili smo odgovor: 3.
Zadatak. Izračunajte logaritam: log 16 1
- Zamislimo bazu i argument kao stepen dvojke: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
- Kreirajmo i riješimo jednačinu:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ; - Dobili smo odgovor: 0.
Zadatak. Izračunajte logaritam: log 7 14
- Zamislimo bazu i argument kao stepen od sedam: 7 = 7 1 ; 14 se ne može predstaviti kao stepen sedam, jer 7 1< 14 < 7 2 ;
- Iz prethodnog stava proizilazi da se logaritam ne računa;
- Odgovor je bez promjene: dnevnik 7 14.
Mala napomena o posljednjem primjeru. Kako možete biti sigurni da broj nije tačan stepen drugog broja? Vrlo je jednostavno - samo ga uračunajte u osnovne faktore. Ako ekspanzija ima najmanje dva različita faktora, broj nije točna snaga.
Zadatak. Saznajte da li su brojevi tačni potenci: 8; 48; 81; 35; 14 .
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - tačan stepen, jer postoji samo jedan množitelj;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - nije tačna snaga, jer postoje dva faktora: 3 i 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - tačan stepen;
35 = 7 · 5 - opet nije tačna snaga;
14 = 7 · 2 - opet nije tačan stepen;
Imajte na umu da su sami prosti brojevi uvijek tačni potenci sami za sebe.
Decimalni logaritam
Neki logaritmi su toliko uobičajeni da imaju poseban naziv i simbol.
Decimalni logaritam od x je logaritam na osnovu 10, tj. Potencija na koju se broj 10 mora podići da bi se dobio broj x. Oznaka: lg x.
Na primjer, log 10 = 1; LG 100 = 2; lg 1000 = 3 - itd.
Od sada, kada se u udžbeniku pojavi fraza poput „Pronađi lg 0,01“, znajte da ovo nije greška u kucanju. Ovo je decimalni logaritam. Međutim, ako niste upoznati s ovom notacijom, uvijek je možete prepisati:
log x = log 10 x
Sve što vrijedi za obične logaritme vrijedi i za decimalne logaritme.
Prirodni logaritam
Postoji još jedan logaritam koji ima svoju oznaku. Na neki način, to je čak i važnije od decimalnog. Radi se o o prirodnom logaritmu.
Prirodni logaritam od x je logaritam bazi e, tj. stepen na koji se broj e mora podići da bi se dobio broj x. Oznaka: ln x .
Mnogi će se zapitati: koji je broj e? Ovo je iracionalan broj, njegova tačna vrijednost se ne može pronaći i zapisati. Navest ću samo prve brojke:
e = 2,718281828459...
Nećemo ulaziti u detalje koji je to broj i zašto je potreban. Samo zapamtite da je e baza prirodnog logaritma:
ln x = log e x
Dakle, ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - itd. S druge strane, ln 2 je iracionalan broj. Općenito, prirodni logaritam bilo kojeg racionalnog broja je iracionalan. Osim, naravno, jednog: ln 1 = 0.
Za prirodne logaritme vrijede sva pravila koja vrijede za obične logaritme.
log a r b r =log a b ili log a b= log a r b r
Vrijednost logaritma se neće promijeniti ako se baza logaritma i broj pod predznakom logaritma podignu na isti stepen.
Pod znakom logaritma mogu biti samo pozitivni brojevi, a osnova logaritma nije jednaka jedinici.
Primjeri.
1) Uporedite log 3 9 i log 9 81.
log 3 9=2, pošto je 3 2 =9;
log 9 81=2, pošto je 9 2 =81.
Dakle, log 3 9=log 9 81.
Imajte na umu da je osnova drugog logaritma jednaka kvadratu osnove prvog logaritma: 9=3 2, a broj pod znakom drugog logaritma jednak je kvadratu broja pod znakom prvog logaritam: 81=9 2. Ispada da su i broj i baza prvog logaritma log 3 9 podignuti na drugi stepen, a vrijednost logaritma se nije promijenila iz ovoga:
Sljedeće, od vađenja korijena n stepena iz redova A je podizanje broja A do stepena ( 1/n), tada iz log 9 81 možete dobiti log 3 9 uzimajući kvadratni korijen broja i osnovicu logaritma:
2) Provjerite jednakost: log 4 25=log 0,5 0,2.
Pogledajmo prvi logaritam. Uzimanje kvadratnog korijena baze 4 i iz redova 25 ; dobijamo: log 4 25=log 2 5.
Pogledajmo drugi logaritam. Baza logaritma: 0,5= 1 / 2. Broj pod znakom ovog logaritma: 0,2= 1/5. Podignimo svaki od ovih brojeva na minus prvi stepen:
0,5 -1 =(1 / 2) -1 =2;
0,2 -1 =(1 / 5) -1 =5.
Dakle, log 0,5 0,2=log 2 5. Zaključak: ova jednakost je tačna.
Riješite jednačinu:
log 4 x 4 +log 16 81=log 2 (5x+2). Smanjimo logaritme s lijeve strane na bazu 2 .
log 2 x 2 +log 2 3=log 2 (5x+2). Uzmite kvadratni korijen broja i osnovicu prvog logaritma. Izvucite četvrti korijen broja i bazu drugog logaritma.
log 2 (3x 2)=log 2 (5x+2). Pretvorite zbir logaritama u logaritam proizvoda.
3x 2 =5x+2. Primljeno nakon potenciranja.
3x 2 -5x-2=0. Hajde da odlučimo kvadratna jednačina By opšta formula za kompletnu kvadratnu jednačinu:
a=3, b=-5, c=-2.
D=b 2 -4ac=(-5) 2 -4∙3∙(-2)=25+24=49=7 2 >0; 2 prava korena.
Ispitivanje.
x=2.
log 4 2 4 +log 16 81=log 2 (5∙2+2);
log 2 2 2 +log 2 3=log 2 12;
log 2 (4∙3)=log 2 12;
log 2 12=log 2 12;
log a n b=(1/
n)∙
log a b
Logaritam broja b na osnovu a n jednak proizvodu razlomka 1/ n na logaritam broja b na osnovu a.
Pronađite:1) 21log 8 3+40log 25 2; 2) 30log 32 3∙log 125 2 , ako se to zna log 2 3=b,log 5 2=c.
Rješenje.
Riješite jednačine:
1) log 2 x+log 4 x+log 16 x=5,25.
Rješenje.
Smanjimo ove logaritme na bazu 2. Primijenimo formulu: log a n b=(1/ n)∙ log a b
log 2 x+(½) log 2 x+(¼) log 2 x=5,25;
log 2 x+0,5log 2 x+0,25log 2 x=5,25. Evo sličnih pojmova:
(1+0,5+0,25) log 2 x=5,25;
1,75 log 2 x=5,25 |:1,75
log 2 x=3. Po definiciji logaritma:
2) 0,5log 4 (x-2)+log 16 (x-3)=0,25.
Rješenje. Pretvorimo logaritam na osnovu 16 u bazu 4.
0,5log 4 (x-2)+0,5log 4 (x-3)=0,25 |:0,5
log 4 (x-2)+log 4 (x-3)=0,5. Pretvorimo zbir logaritama u logaritam proizvoda.
log 4 ((x-2)(x-3))=0,5;
log 4 (x 2 -2x-3x+6)=0,5;
log 4 (x 2 -5x+6)=0,5. Po definiciji logaritma:
x 2 -5x+4=0. Prema Vietovoj teoremi:
x 1 =1; x 2 =4. Prva vrijednost x neće raditi, jer kod x = 1 logaritmi ove jednakosti ne postoje, jer Pod znakom logaritma mogu biti samo pozitivni brojevi.
Provjerimo ovu jednačinu na x=4.
Ispitivanje.
0,5log 4 (4-2)+log 16 (4-3)=0,25
0,5log 4 2+log 16 1=0,25
0,5∙0,5+0=0,25
log a b=log c b/log c a
Logaritam broja b na osnovu A jednak logaritmu broja b na novoj osnovi With, podijeljeno logaritmom stare baze A na novoj osnovi With.
primjeri:
1) log 2 3=lg3/lg2;
2) log 8 7=ln7/ln8.
Izračunati:
1) dnevnik 5 7, ako se to zna lg7≈0,8451; lg5≈0,6990.
c b / log c a.
log 5 7=log7/log5≈0,8451:0,6990≈1,2090.
odgovor: dnevnik 5 7≈1,209 0≈1,209 .
2) log 5 7 , ako se to zna ln7≈1,9459; ln5≈1,6094.
Rješenje. Primijenite formulu: log a b =log c b / log c a.
log 5 7=ln7/ln5≈1.9459:1.6094≈1.2091.
odgovor: dnevnik 5 7≈1,209 1≈1,209 .
Nađi x:
1) log 3 x=log 3 4+log 5 6/log 5 3+log 7 8/log 7 3.
Koristimo formulu: log c b / log c a = log a b . Dobijamo:
log 3 x=log 3 4+log 3 6+log 3 8;
log 3 x=log 3 (4∙6∙8);
log 3 x=log 3 192;
x=192 .
2) log 7 x=lg143-log 6 11/log 6 10-log 5 13/log 5 10.
Koristimo formulu: log c b / log c a = log a b . Dobijamo:
log 7 x=lg143-lg11-lg13;
log 7 x=lg143- (lg11+lg13);
log 7 x=lg143-lg (11∙13);
log 7 x=lg143-lg143;
x=1.
Stranica 1 od 1 1
Šta je logaritam?
Pažnja!
Postoje dodatni
materijali u Posebnom dijelu 555.
Za one koji su veoma "ne baš..."
I za one koji "jako...")
Šta je logaritam? Kako riješiti logaritme? Ova pitanja zbunjuju mnoge diplomce. Tradicionalno, tema logaritma se smatra složenom, nerazumljivom i zastrašujućom. Posebno jednadžbe sa logaritmima.
Ovo apsolutno nije istina. Apsolutno! Ne vjerujete mi? U redu. Sada, za samo 10 - 20 minuta vi:
1. Razumjet ćete šta je logaritam.
2. Naučite riješiti cijeli razred eksponencijalne jednačine. Čak i ako niste ništa čuli o njima.
3. Naučite izračunati jednostavne logaritme.
Štaviše, za ovo će vam biti potrebno samo znati tablicu množenja i kako podići broj na stepen...
Osećam kao da sumnjaš... Pa, dobro, označi vreme! Idi!
Prvo riješite ovu jednačinu u svojoj glavi:
Ako vam se sviđa ovaj sajt...
Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)
Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.