Prvi nivo
Eksponencijalne jednadžbe. Sveobuhvatni vodič (2019)
Zdravo! Danas ćemo s vama razgovarati o tome kako riješiti jednadžbe koje mogu biti ili elementarne (i nadam se da će nakon čitanja ovog članka gotovo sve biti takve za vas), i one koje se obično daju „za popunjavanje“. Očigledno da konačno zaspim. Ali pokušat ću učiniti sve što je moguće da sada ne upadnete u nevolje kada se suočite s ovom vrstom jednačina. Neću više da lupetam po grmu, ali ću vam odmah odati malu tajnu: danas ćemo učiti eksponencijalne jednačine.
Prije nego što pređem na analizu načina za njihovo rješavanje, odmah ću vam iznijeti niz pitanja (prilično malih) koja biste trebali ponoviti prije nego što požurite da napadnete ovu temu. Dakle, dobiti najbolji rezultat, molim, ponoviti:
- Svojstva i
- Rješenje i jednačine
Ponovljeno? Nevjerovatno! Tada vam neće biti teško primijetiti da je korijen jednadžbe broj. Da li razumete tačno kako sam to uradio? Da li je istina? Onda nastavimo. Sada odgovorite na moje pitanje, šta je jednako trećem stepenu? Potpuno si u pravu: . Koji je stepen dvojke osam? Tako je – treći! Jer. Pa, hajde sada da pokušamo da rešimo sledeći problem: Dozvolite mi da jednom pomnožim broj sam po sebi i dobijem rezultat. Pitanje je koliko sam puta sam pomnožio? Naravno, ovo možete direktno provjeriti:
\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( poravnati)
Onda možete zaključiti da sam pomnožio sa sobom puta. Kako drugačije možete provjeriti ovo? Evo kako: direktno po definiciji stepena: . Ali, priznajte, kada bih vas pitao koliko puta dva treba pomnožiti samo sa sobom da dobijete, recimo, rekli biste mi: neću se zavaravati i množiti samo od sebe dok ne budem plav u licu. I bio bi potpuno u pravu. Jer kako možeš ukratko zapišite sve korake(a kratkoća je sestra talenta)
gde - to su isti "puta", kada množite samo po sebi.
Mislim da znate (a ako ne znate, hitno, vrlo hitno ponovite stepene!) da će onda moj problem biti napisan u obliku:
Kako možete razumno zaključiti da:
Tako sam, neprimjetno, zapisao najjednostavnije eksponencijalna jednačina:
I čak sam ga našao root. Ne mislite li da je sve potpuno trivijalno? Ja mislim potpuno isto. Evo još jednog primjera za vas:
Ali šta učiniti? Na kraju krajeva, ne može se napisati kao stepen (razumnog) broja. Ne očajavajmo i primijetimo da su oba ova broja savršeno izražena kroz snagu istog broja. Koji? Desno: . Tada se originalna jednadžba pretvara u oblik:
Gdje, kao što ste već shvatili, . Nemojmo više odlagati i zapisati definicija:
U našem slučaju: .
Ove jednadžbe se rješavaju svođenjem na oblik:
nakon čega slijedi rješavanje jednačine
Zapravo, u prethodnom primjeru smo uradili upravo to: dobili smo sljedeće: I riješili smo najjednostavniju jednačinu.
Čini se da ništa nije komplikovano, zar ne? Vježbajmo prvo na najjednostavnijim primjeri:
Opet vidimo da desnu i lijevu stranu jednačine treba predstaviti kao stepene jednog broja. Istina, lijevo je to već urađeno, ali desno je broj. Ali u redu je, jer će se moja jednačina čudesno transformirati u ovo:
Šta sam morao da koristim ovde? Koje pravilo? Pravilo "stepeni unutar stepeni" koji glasi:
Šta ako:
Prije nego odgovorimo na ovo pitanje, popunimo sljedeću tabelu:
Lako nam je primijetiti da što manje, to manje vrijednosti, ali svejedno su sve ove vrijednosti veće od nule. I UVIJEK ĆE BITI TAKO!!! Isto svojstvo vrijedi ZA BILO KOJU OSNOVU SA BILO KAKIM INDIKATOROM!! (za bilo koji i). Šta onda možemo zaključiti o jednačini? Evo šta je to: to nema korena! Kao i svaka jednadžba nema korijen. Sada vježbajmo i Hajde da riješimo jednostavne primjere:
hajde da proverimo:
1. Ovdje se od vas neće tražiti ništa osim poznavanje svojstava stupnjeva (što sam, usput rečeno, zamolio da ponovite!) Po pravilu, sve vodi do najmanje baze: , . Tada će originalna jednadžba biti ekvivalentna sljedećem: Sve što mi treba je da koristim svojstva potencija: Prilikom množenja brojeva sa istim osnovama, stupnjevi se sabiraju, a pri dijeljenju se oduzimaju. Onda ću dobiti: Pa, sada ću mirne savjesti preći sa eksponencijalne jednadžbe na linearnu: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(poravnaj)
2. U drugom primjeru, moramo biti oprezniji: problem je u tome što na lijevoj strani nikako ne možemo predstaviti isti broj kao stepen. U ovom slučaju ponekad je korisno predstavljaju brojeve kao proizvod potencija s različitim bazama, ali istim eksponentima:
Lijeva strana jednačine će izgledati ovako: Šta nam je ovo dalo? Evo šta: Mogu se množiti brojevi s različitim osnovama, ali istim eksponentima.U ovom slučaju, baze se množe, ali indikator se ne mijenja:
U mojoj situaciji ovo će dati:
\begin (poravnati)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400,\\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(poravnaj)
Nije loše, zar ne?
3. Ne volim kada, nepotrebno, imam dva člana na jednoj strani jednačine, a nijedan na drugoj (ponekad je, naravno, to opravdano, ali sada nije tako). Pomeriću minus član udesno:
Sada ću, kao i ranije, sve napisati u smislu stepena tri:
Dodajem stepene na lijevoj strani i dobijem ekvivalentnu jednačinu
Možete lako pronaći njegov korijen:
4. Kao u primjeru tri, minus član ima mjesto na desnoj strani!
Sa moje lijeve strane je skoro sve u redu, osim čega? Da, "pogrešan stepen" od njih dvojice me muči. Ali ovo mogu lako popraviti tako što ću napisati: . Eureka - na lijevoj strani su sve baze različite, ali su svi stepeni isti! Hajde da se množimo odmah!
Ovde je opet sve jasno: (ako ne razumete kako sam magičnim putem dobio poslednju jednakost, napravite pauzu na minut, udahnite i ponovo pažljivo pročitajte svojstva stepena. Ko je rekao da možete preskočiti stepen sa negativnim eksponentom? Pa evo ja sam otprilike ista stvar kao niko). Sada ću dobiti:
\begin (poravnati)
& ((2)^(4\levo((x) -9 \desno)))=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\end(poravnaj)
Evo nekoliko problema za uvježbavanje, na koje ću samo dati odgovore (ali u „mješovitom“ obliku). Riješite ih, provjerite, a vi i ja ćemo nastaviti naše istraživanje!
Spreman? Odgovori poput ovih:
- bilo koji broj
Ok, ok, šalio sam se! Evo nekoliko skica rješenja (neke vrlo kratke!)
Ne mislite li da nije slučajno da je jedan razlomak lijevo drugi "obrnut"? Bio bi greh ne iskoristiti ovo:
Ovo pravilo se vrlo često koristi prilikom rješavanja eksponencijalne jednačine, zapamtite to dobro!
Tada će originalna jednačina postati ovakva:
Rješavanjem ove kvadratne jednadžbe dobićete sljedeće korijene:
2. Još jedno rješenje: dijeljenje obje strane jednačine izrazom lijevo (ili desno). Podijelim sa onim što je desno, onda dobijem:
Gdje (zašto?!)
3. Ne želim ni da se ponavljam, sve je već toliko "sažvakano".
4. ekvivalentno kvadratnoj jednadžbi, korijeni
5. Trebate koristiti formulu datu u prvom zadatku, tada ćete dobiti sljedeće:
Jednačina se pretvorila u trivijalni identitet koji je istinit za sve. Tada je odgovor bilo koji realan broj.
Pa, sada ste vježbali rješavanje jednostavne eksponencijalne jednadžbe. Sada vam želim dati nekoliko životnih primjera koji će vam pomoći da shvatite zašto su u principu potrebni. Ovdje ću dati dva primjera. Jedna od njih je sasvim svakodnevna, ali je veća vjerovatnoća da će druga biti od naučnog, a ne praktičnog interesa.
Primjer 1 (merkantilno) Neka imate rubalja, ali želite da ih pretvorite u rublje. Banka vam nudi da uzmete ovaj novac od vas po godišnjoj stopi sa mjesečnom kapitalizacijom kamate (mjesečno obračunavanje). Postavlja se pitanje koliko mjeseci je potrebno da otvorite depozit da biste dostigli traženi konačni iznos? Prilično običan zadatak, zar ne? Ipak, njeno rešenje je povezano sa konstrukcijom odgovarajuće eksponencijalne jednačine: Neka - početni iznos, - konačni iznos, - kamatna stopa za period, - broj perioda. onda:
U našem slučaju (ako je stopa godišnja, onda se obračunava mjesečno). Zašto je podijeljeno po? Ako ne znate odgovor na ovo pitanje, sjetite se teme “”! Tada dobijamo ovu jednačinu:
Ova eksponencijalna jednadžba se može riješiti samo pomoću kalkulatora (njegova izgled nagovještava ovo, a za to je potrebno poznavanje logaritama, sa kojima ćemo se upoznati malo kasnije), što ću i učiniti: ... Dakle, da bismo dobili milion, morat ćemo uplatiti depozit na mjesec ( ne baš brzo, zar ne?).
Primjer 2 (prilično naučni). Uprkos izvesnoj „izolaciji“, preporučujem da obratite pažnju na njega: redovno „sklizne na Jedinstveni državni ispit!! (problem preuzet iz “prave” verzije) Tokom propadanja radioaktivni izotop njegova masa opada u skladu sa zakonom, gdje je (mg) početna masa izotopa, (min.) je vrijeme proteklo od početnog trenutka, (min.) je vrijeme poluraspada. U početnom trenutku vremena, masa izotopa je mg. Njegovo poluvrijeme je min. Nakon koliko minuta će masa izotopa biti jednaka mg? U redu je: samo uzimamo i zamjenjujemo sve podatke u formulu koja nam je predložena:
Podijelimo oba dijela sa, "u nadi" da ćemo s lijeve strane dobiti nešto svarljivo:
Pa, mi smo veoma srećni! Nalazi se na lijevoj strani, onda idemo na ekvivalentnu jednačinu:
Gdje je min.
Kao što vidite, eksponencijalne jednačine imaju vrlo stvarne primjene u praksi. Sada želim da vam pokažem još jedan (jednostavan) način rešavanja eksponencijalnih jednačina, koji se zasniva na zajednički množitelj izvan zagrada nakon čega slijedi grupisanje pojmova. Nemojte se plašiti mojih riječi, na ovu metodu ste se već susreli u 7. razredu kada ste učili polinome. Na primjer, ako ste trebali faktorisati izraz:
Grupirajmo: prvi i treći termin, kao i drugi i četvrti. Jasno je da su prvi i treći razlika kvadrata:
a drugi i četvrti imaju zajednički faktor tri:
Tada je originalni izraz ekvivalentan ovome:
Odakle izvući zajednički faktor više nije teško:
dakle,
Otprilike ovako ćemo raditi pri rješavanju eksponencijalnih jednačina: tražiti “zajedništvo” među pojmovima i izvlačiti to iz zagrada, a onda – šta bude, vjerujem da ćemo imati sreće =)) Na primjer:
Desno je daleko od stepena sedmice (provjerio sam!) A lijevo - malo je bolje, možete, naravno, "odsjeći" faktor a iz drugog iz prvog člana, pa onda dijeliti sa onim što imate, ali budimo oprezniji prema vama. Ne želim da se bavim razlomcima koji se neizbežno formiraju prilikom "selektiranja", pa zar ne bih trebao radije da ga izvadim? Onda neću imati razlomaka: kako kažu, vukovi su hranjeni i ovce su sigurne:
Izračunajte izraz u zagradama. Magično, magično, ispada da (iznenađujuće, mada šta drugo da očekujemo?).
Zatim smanjujemo obje strane jednadžbe za ovaj faktor. Dobijamo: , od.
Evo kompliciranijeg primjera (zaista pomalo):
Kakav problem! Ovde nemamo ni jednu zajedničku osnovu! Nije sasvim jasno šta sada učiniti. Hajde da uradimo šta možemo: prvo pomerimo „četvorke“ na jednu stranu, a „petice“ na drugu:
Sada izvadimo "general" s lijeve i desne strane:
Pa, šta sad? Koja je korist od tako glupe grupe? Na prvi pogled se uopšte ne vidi, ali pogledajmo dublje:
Pa, sada ćemo se pobrinuti da na lijevoj strani imamo samo izraz c, a na desnoj - sve ostalo. Kako da ovo uradimo? Evo kako: prvo podijelite obje strane jednačine sa (tako da se riješimo eksponenta na desnoj strani), a zatim obje strane podijelite sa (tako da se riješimo brojčanog faktora s lijeve strane). Konačno dobijamo:
Nevjerovatno! Na lijevoj strani imamo izraz, a na desnoj imamo jednostavan izraz. Onda to odmah zaključujemo
Evo još jednog primjera za pojačanje:
Ja ću ga dovesti kratko rešenje(a da se baš ne zamarate objašnjenjima), pokušajte sami da shvatite sve „suptilnosti“ rešenja.
Sada za konačnu konsolidaciju obrađenog materijala. Pokušajte sami riješiti sljedeće probleme. Dat ću samo kratke preporuke i savjete za njihovo rješavanje:
- Izvadimo zajednički faktor iz zagrada: Gdje:
- Predstavimo prvi izraz u obliku: , podijelimo obje strane sa i dobijemo to
- , onda se originalna jednadžba transformira u oblik: Pa, sad nagoveštaj - potražite gdje smo ti i ja već riješili ovu jednačinu!
- Zamislite kako, kako, ah, pa, onda podijelite obje strane sa, tako da dobijete najjednostavniju eksponencijalnu jednačinu.
- Izvadite ga iz zagrada.
- Izvadite ga iz zagrada.
EKSPONENTARNE JEDNAČINE. PROSJEČAN NIVO
Pretpostavljam da nakon čitanja prvog članka o kojem se govori šta su eksponencijalne jednadžbe i kako ih riješiti, savladali ste potreban minimum znanja potrebna za rješavanje jednostavnih primjera.
Sada ću pogledati drugu metodu za rješavanje eksponencijalnih jednačina, a to je
“metoda uvođenja nove varijable” (ili zamjene). On rješava većinu “teških” problema na temu eksponencijalnih jednačina (i ne samo jednačina). Ova metoda je jedna od najčešće korištenih u praksi. Prije svega, preporučujem da se upoznate s temom.
Kao što ste već shvatili iz naziva, suština ove metode je uvođenje takve promjene varijable da će se vaša eksponencijalna jednačina čudesno transformirati u onu koju možete lako riješiti. Sve što vam preostaje nakon rješavanja ove vrlo “pojednostavljene jednačine” je da napravite “obrnutu zamjenu”: odnosno da se vratite sa zamijenjenog na zamijenjeno. Ilustrirajmo ono što smo upravo rekli vrlo jednostavnim primjerom:
Primjer 1:
Ova jednačina je riješena korištenjem "jednostavne zamjene", kako je matematičari omalovažavajuće nazivaju. Zapravo, zamjena je ovdje najočitija. To treba samo vidjeti
Tada će se originalna jednačina pretvoriti u ovo:
Ako dodatno zamislimo kako, onda je potpuno jasno šta treba zamijeniti: naravno, . Šta onda postaje originalna jednačina? Evo šta:
Njegove korijene možete lako pronaći sami: . Šta da radimo sada? Vrijeme je da se vratimo na originalnu varijablu. Šta sam zaboravio da napomenem? Naime: prilikom zamjene određenog stepena novom varijablom (tj. prilikom zamjene tipa) zanimat će me samo pozitivni koreni! I sami možete lako odgovoriti zašto. Dakle, vi i ja nismo zainteresirani, ali drugi korijen je sasvim prikladan za nas:
Odakle onda.
odgovor:
Kao što možete vidjeti, u prethodnom primjeru, zamjena je samo tražila naše ruke. Nažalost, to nije uvijek slučaj. Međutim, ne idemo odmah na tužne stvari, već vježbajmo s još jednim primjerom s prilično jednostavnom zamjenom
Primjer 2.
Jasno je da ćemo najvjerovatnije morati napraviti zamjenu (ovo je najmanja od potencija uključenih u našu jednačinu), ali prije nego što uvedemo zamjenu, našu jednačinu treba „pripremiti“ za nju, i to: , . Tada možete zamijeniti, kao rezultat dobijam sljedeći izraz:
Oh, užas: kubična jednadžba sa apsolutno strašnim formulama za njeno rješavanje (pa, govoreći u opšti pogled). Ali nemojmo odmah očajavati, nego razmislimo šta da radimo. Predlažem varanje: znamo da da bismo dobili “lijep” odgovor, moramo ga dobiti u obliku nekog stepena trojke (zašto bi to bilo, a?). Pokušajmo pogoditi barem jedan korijen naše jednadžbe (počeću nagađati sa stepenom tri).
Prva pretpostavka. Ne korijen. jao i ah...
.
Lijeva strana je jednaka.
Desni dio: !
Jedi! Pogodio prvi korijen. Sada će stvari postati lakše!
Znate li za shemu podjele "ugao"? Naravno da imate, koristite ga kada dijelite jedan broj drugim. Ali malo ljudi zna da se isto može učiniti i s polinomima. Postoji jedna divna teorema:
Primjenjujući se na moju situaciju, ovo mi govori da je bez ostatka djeljivo sa. Kako se vrši podjela? Tako:
Gledam sa kojim monomom treba da pomnožim da dobijem Clearly, onda:
Oduzmem rezultirajući izraz od, dobijem:
Sada, sa čime trebam pomnožiti da bih dobio? Jasno je da na, onda ću dobiti:
i ponovo oduzmite rezultirajući izraz od preostalog:
Pa poslednji korak, pomnožite sa i oduzmite od preostalog izraza:
Ura, podjela je gotova! Šta smo privatno nakupili? Samo po sebi: .
Tada smo dobili sljedeću ekspanziju originalnog polinoma:
Rešimo drugu jednačinu:
Ima korijene:
Tada je originalna jednadžba:
ima tri korijena:
Mi ćemo, naravno, odbaciti posljednji korijen, budući da je manje od nule. A prva dva nakon obrnute zamjene dat će nam dva korijena:
Odgovor: ..
Uopšte nisam htio da vas uplašim ovim primjerom, već mi je cilj bio pokazati da iako smo imali prilično jednostavnu zamjenu, ona je ipak dovela do prilično složena jednačina, čije je rješenje od nas zahtijevalo neke posebne vještine. Pa, niko nije imun od ovoga. Ali zamena u u ovom slučaju bilo prilično očigledno.
Evo primjera s malo manje očitom zamjenom:
Uopće nije jasno što bismo trebali učiniti: problem je u tome što u našoj jednadžbi postoje dvije različite baze i jedna baza se ne može dobiti od druge podizanjem na bilo koju (razumnu, prirodnu) snagu. Međutim, šta vidimo? Obje baze se razlikuju samo po predznaku, a njihov proizvod je razlika kvadrata jednaka jedan:
definicija:
Dakle, brojevi koji su baze u našem primjeru su konjugirani.
U ovom slučaju, pametan korak bi bio pomnožite obje strane jednačine konjugiranim brojem.
Na primjer, na, tada će lijeva strana jednadžbe postati jednaka, a desna. Ako izvršimo zamjenu, onda će naša originalna jednadžba postati ovakva:
njegove korene, dakle, i sećajući se toga, dobijamo to.
Odgovor: , .
Po pravilu, metoda zamjene je dovoljna za rješavanje većine „školskih“ eksponencijalnih jednačina. Sljedeći zadaci preuzeti su sa Jedinstvenog državnog ispita C1 ( povećan nivo teškoće). Već ste dovoljno pismeni da sami riješite ove primjere. Dat ću samo potrebnu zamjenu.
- Riješite jednačinu:
- Pronađite korijene jednačine:
- Riješite jednačinu: . Pronađite sve korijene ove jednadžbe koji pripadaju segmentu:
A sada neka kratka objašnjenja i odgovori:
- Ovde je dovoljno da primetimo da... Tada će originalna jednačina biti ekvivalentna ovoj: Ova jednačina se može riješiti zamjenom Izvršite dalje proračune sami. Na kraju, vaš zadatak će se svesti na rješavanje jednostavnih trigonometrijskih problema (ovisno o sinusima ili kosinusima). Pogledat ćemo rješenja sličnih primjera u drugim odjeljcima.
- Ovdje možete čak i bez zamjene: samo pomaknite oduzetak udesno i predstavite obje baze kroz stepene dva: , a zatim idite pravo na kvadratnu jednačinu.
- Treća jednačina je također riješena sasvim standardno: zamislimo kako. Zatim, zamjenom, dobijamo kvadratnu jednačinu: tada,
Vi već znate šta je logaritam, zar ne? Ne? Onda hitno procitaj temu!
Prvi korijen očito ne pripada segmentu, ali drugi je nejasan! Ali saznaćemo vrlo brzo! Pošto je, dakle, (ovo je svojstvo logaritma!) uporedimo:
Oduzmite sa obe strane, onda dobijamo:
Lijeva strana može se predstaviti kao:
pomnožite obje strane sa:
onda se može pomnožiti sa
Zatim uporedi:
od tada:
Tada drugi korijen pripada traženom intervalu
odgovor:
Kao što vidiš, odabir korijena eksponencijalnih jednadžbi zahtijeva prilično duboko poznavanje svojstava logaritama, pa vam savjetujem da budete što je moguće pažljiviji pri rješavanju eksponencijalnih jednačina. Kao što razumijete, u matematici je sve međusobno povezano! Kao što je moj profesor matematike rekao: „Matematika, kao i istorija, ne može se čitati preko noći.
Po pravilu, sve Poteškoća u rješavanju zadataka C1 je upravo odabir korijena jednačine. Vježbajmo sa još jednim primjerom:
Jasno je da se sama jednačina rješava prilično jednostavno. Izvođenjem zamjene našu originalnu jednačinu svodimo na sljedeće:
Prvo pogledajmo prvi korijen. Uporedimo i: od tada. (imovina logaritamska funkcija, at). Tada je jasno da prvi korijen ne pripada našem intervalu. Sada drugi korijen: . Jasno je da (pošto funkcija at raste). Ostaje da uporedimo i...
od tada, u isto vreme. Na ovaj način mogu "zabiti klin" između i. Ovaj klin je broj. Prvi izraz je manji, a drugi veći. Tada je drugi izraz veći od prvog i korijen pripada intervalu.
Odgovor: .
Na kraju, pogledajmo još jedan primjer jednačine gdje je zamjena prilično nestandardna:
Počnimo odmah sa onim što se može učiniti i šta se - u principu može učiniti, ali bolje je ne raditi. Sve možete zamisliti kroz stepene tri, dva i šest. Gdje to vodi? To neće dovesti ni do čega: hrpu stepeni, od kojih će se nekih biti teško riješiti. Šta je onda potrebno? Zapazimo da a šta će nam ovo dati? I činjenica da rješenje ovog primjera možemo svesti na rješenje prilično jednostavne eksponencijalne jednadžbe! Prvo, prepišimo našu jednačinu kao:
Sada podijelimo obje strane rezultirajuće jednačine sa:
Eureka! Sada možemo zamijeniti, dobijamo:
E, sad je na vama red da rješavate demonstracione probleme, a ja ću ih samo kratko komentirati da se ne zbunite pravi put! Sretno!
1. Najteže! Tako je teško vidjeti zamjenu ovdje! Ali ipak, ovaj primjer se može u potpunosti riješiti korištenjem isticanje kompletnog kvadrata. Da biste ga riješili, dovoljno je napomenuti da:
Onda evo vaše zamjene:
(Imajte na umu da ovdje tokom naše zamjene ne možemo odbaciti negativni korijen!!! Što mislite zašto?)
Sada da biste riješili primjer morate riješiti samo dvije jednadžbe:
I jedno i drugo se može riješiti "standardnom zamjenom" (ali drugom u jednom primjeru!)
2. Primijetite to i napravite zamjenu.
3. Dekomponujte broj na koprime faktore i pojednostavite rezultujući izraz.
4. Podijelite brojilac i imenilac razlomka sa (ili, ako želite) i napravite zamjenu ili.
5. Obratite pažnju da su brojevi i konjugirani.
EKSPONENTARNE JEDNAČINE. NAPREDNI NIVO
Osim toga, pogledajmo na drugi način - rješavanje eksponencijalnih jednadžbi metodom logaritma. Ne mogu reći da je rješavanje eksponencijalnih jednadžbi ovom metodom jako popularno, ali samo u nekim slučajevima može nas dovesti do ispravna odluka naša jednačina. Posebno se često koristi za rješavanje tzv. mješovite jednačine": to jest one u kojima se javljaju funkcije različitih tipova.
Na primjer, jednadžba oblika:
u općem slučaju, može se riješiti samo uzimanjem logaritma obje strane (na primjer, na bazu), u kojem će se originalna jednadžba pretvoriti u sljedeće:
Pogledajmo sljedeći primjer:
Jasno je da nas prema ODZ-u logaritamske funkcije samo zanima. Međutim, to ne proizlazi samo iz ODZ logaritma, već iz još jednog razloga. Mislim da vam neće biti teško pogoditi koji je to.
Uzmimo logaritam obje strane naše jednadžbe na bazu:
Kao što vidite, uzimanje logaritma naše originalne jednadžbe brzo nas je dovelo do tačnog (i lijepog!) odgovora. Vježbajmo sa još jednim primjerom:
Ni tu nema ništa loše: uzmimo logaritam obje strane jednadžbe na bazu, onda ćemo dobiti:
Napravimo zamjenu:
Međutim, nešto smo propustili! Jeste li primijetili gdje sam napravio grešku? Uostalom, onda:
koji ne zadovoljava zahtjev (razmislite odakle je došao!)
odgovor:
Pokušajte zapisati rješenje eksponencijalnih jednačina u nastavku:
Sada uporedite svoju odluku sa ovim:
1. Logaritujmo obje strane baze, uzimajući u obzir da:
(drugi korijen nam nije prikladan zbog zamjene)
2. Logaritam na bazu:
Transformirajmo rezultirajući izraz u sljedeći oblik:
EKSPONENTARNE JEDNAČINE. KRATAK OPIS I OSNOVNE FORMULE
Eksponencijalna jednačina
Jednačina oblika:
pozvao najjednostavnija eksponencijalna jednadžba.
Svojstva stepeni
Pristupi rješenju
- Svođenje na istu osnovu
- Vodeći do isti indikator stepeni
- Varijabilna zamjena
- Pojednostavljivanje izraza i primjena jednog od gore navedenih.
1º. Eksponencijalne jednadžbe nazivaju se jednadžbe koje sadrže varijablu u eksponentu.
Rješavanje eksponencijalnih jednadžbi zasniva se na svojstvu potencija: dva stepena s istom bazom su jednaka ako i samo ako su im eksponenti jednaki.
2º. Osnovne metode za rješavanje eksponencijalnih jednačina:
1) najjednostavnija jednačina ima rješenje;
2) jednačina oblika logaritamska bazi a reducirati u formu;
3) jednačina oblika je ekvivalentna jednačini;
4) jednačina oblika 
je ekvivalentan jednačini.
5) jednačina oblika se redukuje zamjenom u jednačinu, a zatim se rješava skup jednostavnih eksponencijalnih jednačina;
6) jednačina sa recipročnim vrednostima 
zamjenom se svode na jednačinu, a zatim rješavaju skup jednačina;
7) jednačine homogene s obzirom na a g(x) I b g(x) s obzirom na to 
tip 
zamjenom se svode na jednačinu, a zatim se rješava skup jednačina.
Klasifikacija eksponencijalnih jednadžbi.
1. Jednačine se rješavaju odlaskom na jednu bazu.
Primjer 18. Riješite jednačinu 
.
Rješenje: Iskoristimo činjenicu da su sve baze potencija potenci broja 5: .
2. Jednačine se rješavaju prelaskom na jedan eksponent.
Ove jednadžbe se rješavaju transformacijom izvorne jednadžbe u oblik , koji se svede na najjednostavniji način koristeći svojstvo proporcije.
Primjer 19. Riješite jednačinu:
3. Jednačine se rješavaju vađenjem zajedničkog faktora iz zagrada.
Ako se svaki eksponent u jednadžbi razlikuje od drugog za određeni broj, tada se jednačine rješavaju tako što se iz zagrada stavlja eksponent s najmanjim eksponentom.
Primjer 20. Riješite jednačinu.
Rješenje: Uzmimo stepen s najmanjim eksponentom iz zagrada na lijevoj strani jednačine:
Primjer 21. Riješite jednačinu 
Rješenje: Grupirajmo odvojeno na lijevoj strani jednačine članove koji sadrže potencije sa osnovom 4, na desnoj strani - sa osnovom 3, a zatim iz zagrada stavimo stepene s najmanjim eksponentom:
4. Jednačine koje se svode na kvadratne (ili kubične) jednadžbe.
Sljedeće jednadžbe se svode na kvadratnu jednačinu za novu varijablu y:
a) vrstu zamjene, u ovom slučaju;
b) vrstu zamjene , i .
Primjer 22. Riješite jednačinu 
.
Rješenje: Napravimo promjenu varijable i riješimo kvadratnu jednačinu:
.
Odgovor: 0; 1.
5. Jednačine koje su homogene s obzirom na eksponencijalne funkcije.
Jednačina oblika je homogena jednačina drugog stepena u odnosu na nepoznate sjekira I b x. Takve jednadžbe se redukuju tako što se obje strane prvo podijele sa, a zatim se zamijene u kvadratne jednadžbe.
Primjer 23. Riješite jednačinu.
Rješenje: Podijelite obje strane jednačine sa:
Stavljajući , dobijamo kvadratnu jednadžbu s korijenima .
Sada se problem svodi na rješavanje skupa jednačina 
. Iz prve jednadžbe nalazimo da . Druga jednadžba nema korijen, jer za bilo koju vrijednost x.
Odgovor: -1/2.
6. Racionalne jednadžbe s obzirom na eksponencijalne funkcije.
Primjer 24. Riješite jednačinu.
Rješenje: Podijelite brojilac i imenilac razlomka sa 3 x i umjesto dvije dobijamo jednu eksponencijalnu funkciju:
7. Jednačine oblika 
.
Takve jednačine sa skupom prihvatljive vrijednosti(ODZ), određene uslovom, uzimanjem logaritma obe strane jednačine se svode na ekvivalentne jednačine, koje su zauzvrat ekvivalentne skupu od dve jednačine ili.
Primjer 25. Riješite jednačinu: .
.
Didaktički materijal.
Riješite jednačine:
1. ; 2. ; 3. 
;
4. 
; 5. ; 6. ;
9. 
; 10. 
; 11. 
;
14. 
; 15. ;
16. 
; 17. 
;
18. ; 19. 
;
20. ; 21. 
;
22. 
; 23. 
;
24. 
; 25. 
.
26. Pronađite proizvod korijena jednadžbe 
.
27. Nađite zbir korijena jednačine 
.
Pronađite značenje izraza:
28. , gdje x 0- korijen jednačine;
29. , gdje x 0– cijeli korijen jednačine 
.
Riješite jednačinu:
31. 
; 32. .
odgovori: 10; 2. -2/9; 3. 1/36; 4. 0, 0.5; 50; 6.0; 7. -2; 8.2; 9. 1, 3; 10. 8; 11.5; 12.1; 13. ¼; 14.2; 15. -2, -1; 16. -2, 1; 17.0; 18.1; 19.0; 20. -1, 0; 21. -2, 2; 22. -2, 2; 23.4; 24. -1, 2; 25. -2, -1, 3; 26. -0,3; 27.3; 28.11; 29.54; 30. -1, 0, 2, 3; 31. ; 32. .
Tema br. 8.
Eksponencijalne nejednakosti.
1º. Poziva se nejednakost koja sadrži varijablu u eksponentu eksponencijalna nejednakost.
2º. Rješenje eksponencijalnih nejednakosti oblika zasniva se na sljedećim tvrdnjama:
ako , tada je nejednakost ekvivalentna ;
ako , tada je nejednakost ekvivalentna .
Prilikom rješavanja eksponencijalnih nejednačina koriste se iste tehnike kao i kod rješavanja eksponencijalnih jednačina.
Primjer 26. Riješite nejednakost 
(način prelaska na jednu bazu).
Rešenje: Od 
, tada se data nejednakost može napisati kao: 
. Budući da je , tada je ova nejednakost ekvivalentna nejednakosti 
.
Rješavajući posljednju nejednakost, dobivamo .
Primjer 27. Riješite nejednačinu: ( vađenjem zajedničkog faktora iz zagrada).
Rješenje: Izvadimo iz zagrada na lijevoj strani nejednakosti , na desnoj strani nejednakosti i podijelimo obje strane nejednakosti sa (-2), mijenjajući predznak nejednakosti na suprotan:
Pošto , onda kada se pređe na nejednakost indikatora, predznak nejednakosti se opet mijenja u suprotan. Dobijamo. Dakle, skup svih rješenja ove nejednakosti je interval.
Primjer 28. Riješite nejednakost ( uvođenjem nove varijable).
Rješenje: Neka . Tada će ova nejednakost poprimiti oblik: 
ili 
, čije je rješenje interval .
Odavde. Budući da se funkcija povećava, onda .
Didaktički materijal.
Navedite skup rješenja nejednakosti:
1. ; 2. ; 3. ;
6. Na kojim vrijednostima x Leže li tačke na grafu funkcije ispod prave linije?
7. Na kojim vrijednostima x Leže li tačke na grafu funkcije barem tako nisko kao prava linija?
Riješite nejednačinu:
8. 
; 9. 
; 10. ;
13. Navedite najveće cjelobrojno rješenje nejednakosti 
.
14. Pronađite proizvod najvećeg cijelog broja i najmanjeg cjelobrojnog rješenja nejednačine 
.
Riješite nejednačinu:
15. ; 16. 
; 17. 
;
18. 
; 19. ; 20. ;
21. 
; 22. 
; 23. 
;
24. 
; 25. 
; 26. 
.
Pronađite domenu funkcije:
27. 
; 28. 
.
29. Pronađite skup vrijednosti argumenata za koje su vrijednosti svake od funkcija veće od 3:
I 
.
odgovori: 11.3; 12.3; 13. -3; 14.1; 15. (0; 0,5); 16. ; 17. (-1; 0)U(3; 4); 18. [-2; 2]; 19. (0; +∞); 20. (0; 1); 21. (3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0,5; +∞); 23. (0; 1); 24. (-1; 1); 25. (0; 2]; 26. (3; 3.5)U (4; +∞); 27. (-∞; 3)U(5); 28. )