Predavanje: “Metode rješavanja eksponencijalnih jednačina.”
1 . Eksponencijalne jednadžbe.
Jednačine koje sadrže nepoznanice u eksponentima nazivaju se eksponencijalne jednadžbe. Najjednostavnija od njih je jednačina ax = b, gdje je a > 0, a ≠ 1.
1) Na b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.
2) Za b > 0, koristeći monotonost funkcije i teoremu o korijenu, jednačina ima jedinstveni korijen. Da bismo ga pronašli, b mora biti predstavljeno u obliku b = as, ax = bs ó x = c ili x = logab.
Eksponencijalne jednadžbe algebarskim transformacijama dovode do standardnih jednadžbi, koje se rješavaju sljedećim metodama:
1) način svođenja na jednu osnovu;
2) način ocjenjivanja;
3) grafički metod;
4) način uvođenja novih varijabli;
5) metod faktorizacije;
6) indikativno – jednačine snage;
7) demonstrativna sa parametrom.
2 . Metoda redukcije na jednu bazu.
Metoda se zasniva na sljedećem svojstvu stupnjeva: ako su dva stepena jednaka i njihove baze jednake, onda su im eksponenti jednaki, tj. treba pokušati svesti jednačinu na oblik
Primjeri. Riješite jednačinu:
1 . 3x = 81;
Predstavimo desnu stranu jednačine u obliku 81 = 34 i napišimo jednačinu koja je ekvivalentna originalnom 3 x = 34; x = 4. Odgovor: 4.
2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">i prijeđimo na jednadžbu za eksponente 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4, x = 0,5 Odgovor: 0,5.
3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">
Imajte na umu da brojevi 0,2, 0,04, √5 i 25 predstavljaju potencije od 5. Iskoristimo ovo i transformiramo originalnu jednačinu na sljedeći način:
,
odakle je 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, iz čega nalazimo rješenje x = -1. Odgovor: -1.
5. 3x = 5. Po definiciji logaritma, x = log35. Odgovor: log35.
6. 62x+4 = 33x. 2x+8.
Prepišimo jednačinu u obliku 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, tj.png" width="181" height="49 src="> Dakle x – 4 =0, x = 4. Odgovor: 4.
7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Koristeći svojstva stepena, zapisujemo jednačinu u obliku 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9, zatim 3∙3x = 9, 3x+1 = 32, tj. x+1 = 2, x =1. Odgovor: 1.
Problemska banka br. 1.
Riješite jednačinu:
Test br. 1.
1) 0 2) 4 3) -2 4) -4 |
|
A2 32x-8 = √3. | 1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4 |
A3 | 1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) bez korijena |
1) 7;1 2) bez korijena 3) -7;1 4) -1;-7 |
|
A5 | 1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0 |
A6 | 1) -1 2) 0 3) 2 4) 1 |
Test br. 2
A1 | 1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1 |
A2 | 1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11 |
A3 | 1) 2;-1 2) nema korijena 3) 0 4) -2;1 |
A4 | 1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2 |
A5 | 1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3 |
3 Metoda evaluacije.
Teorema o korijenu: ako funkcija f(x) raste (opada) na intervalu I, broj a je bilo koja vrijednost koju uzima f na ovom intervalu, tada jednačina f(x) = a ima jedan korijen na intervalu I.
Prilikom rješavanja jednadžbi metodom procjene koristi se ova teorema i svojstva monotonosti funkcije.
Primjeri. Riješite jednačine: 1. 4x = 5 – x.
Rješenje. Prepišimo jednačinu kao 4x +x = 5.
1. ako je x = 1, tada je 41+1 = 5, 5 = 5 tačno, što znači da je 1 korijen jednačine.
Funkcija f(x) = 4x – raste na R, a g(x) = x – raste na R => h(x)= f(x)+g(x) raste na R, kao zbir rastućih funkcija, tada je x = 1 jedini korijen jednačine 4x = 5 – x. Odgovor: 1.
2.
Rješenje. Prepišimo jednačinu u formu 
.
1. ako je x = -1, onda 
, 3 = 3 je tačno, što znači da je x = -1 korijen jednačine.
2. dokazati da je on jedini.
3. Funkcija f(x) = - opada na R, a g(x) = - x – opada na R=> h(x) = f(x)+g(x) – opada na R, kao zbir opadajuće funkcije. To znači, prema teoremi o korijenu, x = -1 je jedini korijen jednačine. Odgovor: -1.
Problemska banka br. 2. Riješite jednačinu
a) 4x + 1 =6 – x;
b) 
c) 2x – 2 =1 – x;
4. Način uvođenja novih varijabli.
Metoda je opisana u paragrafu 2.1. Uvođenje nove varijable (supstitucija) obično se vrši nakon transformacije (pojednostavljenja) članova jednačine. Pogledajmo primjere.
Primjeri.
R Riješite jednačinu: 1.
.
Hajde da prepišemo jednačinu drugačije: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> tj.png" width="210" visina = "45">
Rješenje. Zapišimo jednačinu drugačije: 
Označimo https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - nije prikladno.
t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - iracionalna jednačina. Primećujemo to 
Rješenje jednadžbe je x = 2,5 ≤ 4, što znači da je 2,5 korijen jednačine. Odgovor: 2.5.
Rješenje. Prepišimo jednačinu u obliku i obje strane podijelimo sa 56x+6 ≠ 0. Dobijamo jednačinu
2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" width="118" height="56">
Korijeni kvadratne jednadžbe su t1 = 1 i t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.
Rješenje . Prepišimo jednačinu u formu
i primijetiti da je to homogena jednačina drugog stepena.
Podijelimo jednačinu sa 42x, dobijamo 
Zamijenimo https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .
Odgovor: 0; 0.5.
Problemska banka br. 3. Riješite jednačinu
b) 
G) 
Test br. 3 sa izborom odgovora. Minimalni nivo.
A1 | 1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2 |
A2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0. | 1) 2;1 2) -1;0 3) nema korijena 4) 0 |
1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5 |
|
A4 52x-5x - 600 = 0. | 1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2 |
1) nema korijena 2) 2;4 3) 3 4) -1;2 |
Test br. 4 sa izborom odgovora. Opšti nivo.
A1 | 1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0 |
A2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0 | 1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1 |
1) 64 2) -14 3) 3 4) 8 |
|
1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0 |
|
A5 | 1) 0 2) 1 3) 0;1 4) nema korijena |
5. Metoda faktorizacije.
1. Riješite jednačinu: 5x+1 - 5x-1 = 24.
Rješenje..png" width="169" height="69"> , odakle
2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.
Rješenje. Stavimo 6x iz zagrada na lijevu stranu jednačine, a 2x na desnu. Dobijamo jednačinu 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.
Pošto je 2x >0 za sve x, možemo podijeliti obje strane ove jednadžbe sa 2x bez straha od gubitka rješenja. Dobijamo 3x = 1— x = 0.
3. 
Rješenje. Rešimo jednačinu metodom faktorizacije.
Odaberimo kvadrat binoma 
4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">
x = -2 je korijen jednadžbe.
Jednadžba x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">
A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.
1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1
A2 3x+1 +3x-1 =270.
1) 2 2) -4 3) 0 4) 4
A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5
1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3
1) 1 2) -3 3) -1 4) 0
A5 2x -2x-4 = 15. x=4
1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2
Test br. 6 Opšti nivo.
A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7. | 1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0.2 |
A2 | 1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0 |
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2. | 1) 2 2) -1 3) 3 4) -3 |
A4 | 1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4 |
A5 | 1) 2 2) -2 3) 5 4) 0 |
6. Eksponencijalno – jednadžbe snage.
Uz eksponencijalne jednačine su takozvane jednadžbe eksponencijalne snage, odnosno jednačine oblika (f(x))g(x) = (f(x))h(x).
Ako je poznato da je f(x)>0 i f(x) ≠ 1, onda se jednačina, kao i eksponencijalna, rješava izjednačavanjem eksponenata g(x) = f(x).
Ako uvjet ne isključuje mogućnost f(x)=0 i f(x)=1, tada moramo uzeti u obzir ove slučajeve prilikom rješavanja eksponencijalne jednadžbe.
1..png" width="182" height="116 src=">
2. 
Rješenje. x2 +2x-8 – ima smisla za bilo koji x, jer je polinom, što znači da je jednačina ekvivalentna ukupnosti
https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">
b) 
7. Eksponencijalne jednadžbe s parametrima.
1. Za koje vrijednosti parametra p jednačina 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) ima jedinstveno rješenje?
Rješenje. Uvedemo zamjenu 2x = t, t > 0, tada će jednačina (1) poprimiti oblik t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)
Diskriminanta jednačine (2) D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.
Jednačina (1) ima jedinstveno rješenje ako jednačina (2) ima jedan pozitivan korijen. To je moguće u sljedećim slučajevima.
1. Ako je D = 0, odnosno p = 1, tada će jednačina (2) dobiti oblik t2 – 2t + 1 = 0, dakle t = 1, dakle, jednačina (1) ima jedinstveno rješenje x = 0.
2. Ako je p1, onda je 9(p – 1)2 > 0, tada jednačina (2) ima dva razni koreni t1 = p, t2 = 4p – 3. Uslovi problema su zadovoljeni skupom sistema
Zamjenom t1 i t2 u sisteme imamo
https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}
Rješenje. Neka 
tada će jednačina (3) dobiti oblik t2 – 6t – a = 0. (4)
Nađimo vrijednosti parametra a za koje barem jedan korijen jednadžbe (4) zadovoljava uvjet t > 0.
Uvedimo funkciju f(t) = t2 – 6t – a. Mogući su sljedeći slučajevi.
https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}
Slučaj 2. Jednačina (4) ima jedinstveno pozitivno rješenje ako
D = 0, ako je a = – 9, tada će jednačina (4) dobiti oblik (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.
Slučaj 3. Jednačina (4) ima dva korijena, ali jedan od njih ne zadovoljava nejednakost t > 0. To je moguće ako
https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}
Dakle, za a 0, jednadžba (4) ima jedan pozitivan korijen 
. Tada jednačina (3) ima jedinstveno rješenje 
Kada a< – 9 уравнение (3) корней не имеет.
ako a< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
ako je a = – 9, onda je x = – 1;
ako je a 0, onda
Uporedimo metode za rješavanje jednačina (1) i (3). Imajte na umu da je pri rješavanju jednadžbe (1) svedeno na kvadratnu jednačinu, čiji je diskriminanta savršen kvadrat; Dakle, korijeni jednadžbe (2) su odmah izračunati koristeći formulu za korijene kvadratne jednadžbe, a zatim su izvedeni zaključci o tim korijenima. Jednadžba (3) je svedena na kvadratnu jednačinu (4), čiji diskriminanta nije savršen kvadrat, stoga je pri rješavanju jednadžbe (3) preporučljivo koristiti teoreme o lokaciji korijena kvadratnog trinoma i grafički model. Imajte na umu da se jednadžba (4) može riješiti korištenjem Vietine teoreme.
Hajde da rešimo složenije jednačine.
Problem 3: Riješite jednačinu 
Rješenje. ODZ: x1, x2.
Hajde da predstavimo zamenu. Neka je 2x = t, t > 0, tada će kao rezultat transformacija jednadžba dobiti oblik t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Nađimo vrijednosti a za koje je barem jedan korijen od jednačina (*) zadovoljava uslov t > 0.
https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}
Odgovor: ako je a > – 13, a 11, a 5, onda ako je a – 13,
a = 11, a = 5, tada nema korijena.
Bibliografija.
1. Guzejev temelji obrazovne tehnologije.
2. Guzejevska tehnologija: od recepcije do filozofije.
M. “Direktor škole” br. 4, 1996
3. Guzeev i organizacione forme obuku.
4. Guzejev i praksa integralne obrazovne tehnologije.
M." Javno obrazovanje“, 2001
5. Guzeev iz oblika lekcije - seminar.
Matematika u školi br. 2, 1987. str. 9 – 11.
6. Seleuko obrazovne tehnologije.
M. “Narodno obrazovanje”, 1998
7. Episheva školarci da studiraju matematiku.
M. "Prosvjeta", 1990
8. Ivanova priprema nastavu - radionice.
Matematika u školi br. 6, 1990. str. 37 – 40.
9. Smirnovov model nastave matematike.
Matematika u školi br. 1, 1997. str. 32 – 36.
10. Tarasenko načini organizovanja praktičnog rada.
Matematika u školi br. 1, 1993. str. 27 – 28.
11. O jednoj od vrsta individualnog rada.
Matematika u školi br. 2, 1994, str. 63 – 64.
12. Khazankin Kreativne vještineškolska djeca.
Matematika u školi br. 2, 1989. str. 10.
13. Scanavi. Izdavač, 1997
14. i dr. Algebra i počeci analize. Didaktički materijali za
15. Krivonogov zadaci iz matematike.
M. “Prvi septembar”, 2002
16. Čerkasov. Priručnik za srednjoškolce i
upis na univerzitete. “A S T - press škola”, 2002
17. Zhevnyak za one koji ulaze na univerzitete.
Minsk i Ruska Federacija “Pregled”, 1996
18. Napisano D. Pripremamo se za ispit iz matematike. M. Rolf, 1999
19. itd. Učenje rješavanja jednačina i nejednačina.
M. "Intelekt - Centar", 2003
20. itd. Obrazovni materijali i materijali za obuku za pripremu za EGE.
M. "Inteligencija - Centar", 2003. i 2004.
21 i dr. CMM opcije. Centar za testiranje Ministarstva odbrane Ruske Federacije, 2002, 2003.
22. Goldbergove jednadžbe. "Kvant" br. 3, 1971
23. Volovich M. Kako uspješno predavati matematiku.
Matematika, 1997. br. 3.
24 Okunev za lekciju, djeco! M. Obrazovanje, 1988
25. Yakimanskaya - orijentirano učenje u školi.
26. Liimets rad u nastavi. M. Znanje, 1975
Idite na youtube kanal naše web stranice da budete u toku sa svim novim video lekcijama.
Prvo, prisjetimo se osnovnih formula snaga i njihovih svojstava.
Proizvod broja a javlja se na sebi n puta, ovaj izraz možemo zapisati kao a a … a=a n
1. a 0 = 1 (a ≠ 0)
3. a n a m = a n + m
4. (a n) m = a nm
5. a n b n = (ab) n
7. a n / a m = a n - m
Snaga ili eksponencijalne jednačine – to su jednadžbe u kojima su varijable u stepenu (ili eksponentima), a baza je broj.
Primjeri eksponencijalnih jednadžbi:
U ovom primjeru, broj 6 je baza; uvijek je na dnu i varijabla x stepen ili indikator.
Navedimo više primjera eksponencijalnih jednačina.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0
Pogledajmo sada kako se rješavaju eksponencijalne jednadžbe?
Uzmimo jednostavnu jednačinu:
2 x = 2 3
Ovaj primjer se može riješiti čak i u vašoj glavi. Može se vidjeti da je x=3. Uostalom, da bi lijeva i desna strana bile jednake, trebate staviti broj 3 umjesto x.
Sada da vidimo kako formalizirati ovu odluku:
2 x = 2 3
x = 3
Da bismo riješili takvu jednačinu, uklonili smo se identične osnove(odnosno dvojke) i zapisao šta je ostalo, to su stepeni. Dobili smo odgovor koji smo tražili.
Sada da rezimiramo našu odluku.
Algoritam za rješavanje eksponencijalne jednadžbe:
1. Treba provjeriti isto da li jednadžba ima baze na desnoj i lijevoj strani. Ako razlozi nisu isti, tražimo opcije za rješavanje ovog primjera.
2. Nakon što baze postanu iste, izjednačiti stepena i riješi rezultirajuću novu jednačinu.
Pogledajmo sada nekoliko primjera:
Počnimo s nečim jednostavnim.
Osnove na lijevoj i desnoj strani jednake su broju 2, što znači da bazu možemo odbaciti i izjednačiti njihove potencije.
x+2=4 Dobije se najjednostavnija jednačina.
x=4 – 2
x=2
Odgovor: x=2
U sljedećem primjeru možete vidjeti da su baze različite: 3 i 9.
3 3x - 9 x+8 = 0
Prvo, pomerimo devetku na desnu stranu, dobićemo:
Sada morate napraviti iste baze. Znamo da je 9=3 2. Koristimo formulu snage (a n) m = a nm.
3 3x = (3 2) x+8
Dobijamo 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16
3 3x = 3 2x+16 sada to možete vidjeti na lijevoj strani i desna strana baze su iste i jednake tri, što znači da ih možemo odbaciti i izjednačiti stepene.
3x=2x+16 dobijamo najjednostavniju jednačinu
3x - 2x=16
x=16
Odgovor: x=16.
Pogledajmo sljedeći primjer:
2 2x+4 - 10 4 x = 2 4
Prije svega, gledamo baze, baze dva i četiri. I trebamo da budu isti. Transformišemo četiri koristeći formulu (a n) m = a nm.
4 x = (2 2) x = 2 2x
A koristimo i jednu formulu a n a m = a n + m:
2 2x+4 = 2 2x 2 4
Dodajte u jednačinu:
2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24
Naveli smo primjer iz istih razloga. Ali smetaju nam drugi brojevi 10 i 24. Šta da radimo s njima? Ako bolje pogledate možete vidjeti da na lijevoj strani imamo 2 2x ponovljeno, evo odgovora - možemo staviti 2 2x izvan zagrada:
2 2x (2 4 - 10) = 24
Izračunajmo izraz u zagradama:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Cijelu jednačinu podijelimo sa 6:
Zamislimo 4=2 2:
2 2x = 2 2 baze su iste, odbacujemo ih i izjednačavamo stepene.
2x = 2 je najjednostavnija jednadžba. Podijelimo sa 2 i dobijemo
x = 1
Odgovor: x = 1.
Rešimo jednačinu:
9 x – 12*3 x +27= 0
transformirajmo:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Dobijamo jednačinu:
3 2x - 12 3 x +27 = 0
Naše baze su iste, jednake su 3. U ovom primjeru možete vidjeti da prva tri ima stepen dva puta (2x) od druge (samo x). U ovom slučaju, možete riješiti metoda zamjene. Broj zamjenjujemo najmanjim stepenom:
Tada je 3 2x = (3 x) 2 = t 2
Sve x potencije u jednadžbi zamjenjujemo sa t:
t 2 - 12t+27 = 0
Dobijamo kvadratna jednačina. Rješavajući preko diskriminanta, dobijamo:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3
Vraćanje na varijablu x.
Uzmi t 1:
t 1 = 9 = 3 x
To je,
3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2
Pronađen je jedan korijen. Tražimo drugog od t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Odgovor: x 1 = 2; x 2 = 1.
Na web stranici možete postaviti sva pitanja koja imate u odjeljku POMOĆ ODLUČITI, mi ćemo vam svakako odgovoriti.
Pridružite se grupi
Upotreba jednačina je široko rasprostranjena u našim životima. Koriste se u mnogim proračunima, izgradnji objekata, pa čak i u sportu. Čovjek je koristio jednačine u drevnim vremenima, a od tada se njihova upotreba samo povećava. Potencijske ili eksponencijalne jednadžbe su jednadžbe u kojima su varijable u stepenu, a baza je broj. Na primjer:
Rješavanje eksponencijalne jednadžbe svodi se na 2 prilično jednostavna koraka:
1. Treba provjeriti da li su osnove jednadžbe s desne i lijeve strane iste. Ako razlozi nisu isti, tražimo opcije za rješavanje ovog primjera.
2. Nakon što baze postanu iste, izjednačavamo stepene i rješavamo rezultirajuću novu jednačinu.
Pretpostavimo da nam je data eksponencijalna jednačina sljedećeg oblika:
Vrijedno je započeti rješavanje ove jednadžbe analizom osnove. Osnove su različite - 2 i 4, ali za rješavanje potrebno je da budu iste, pa transformiramo 4 koristeći sljedeću formulu -\[ (a^n)^m = a^(nm):\]
Originalnoj jednačini dodajemo:
Izvadimo to iz zagrada \
Izrazimo \
Pošto su stepeni isti, odbacujemo ih:
Odgovor: \
Gdje mogu riješiti eksponencijalnu jednačinu koristeći online rješavač?
Jednačinu možete riješiti na našoj web stranici https://site. Besplatni online rješavač će vam omogućiti da riješite jednačinu online bilo složenost u sekundama. Sve što trebate učiniti je jednostavno unijeti svoje podatke u rješavač. Također možete pogledati video upute i naučiti kako riješiti jednadžbu na našoj web stranici. A ako i dalje imate pitanja, možete ih postaviti u našoj VKontakte grupi http://vk.com/pocketteacher. Pridružite se našoj grupi, uvijek ćemo vam rado pomoći.
U fazi pripreme za završni test srednjoškolci treba da usavrše svoje znanje o temi „Eksponencijalne jednačine“. Iskustvo proteklih godina pokazuje da ovakvi zadaci kod školaraca izazivaju određene poteškoće. Dakle, srednjoškolci, bez obzira na stepen pripremljenosti, trebaju temeljito savladati teoriju, zapamtiti formule i razumjeti princip rješavanja ovakvih jednačina. Nakon što su naučili da se nose s ovom vrstom problema, maturanti mogu računati na visoke ocjene prilikom polaganja Jedinstvenog državnog ispita iz matematike.
Pripremite se za ispitno testiranje sa Shkolkovom!
Prilikom pregleda materijala koji su obradili, mnogi učenici se suočavaju s problemom pronalaženja formula potrebnih za rješavanje jednačina. Školski udžbenik nije uvijek pri ruci, a izbor potrebne informacije na temu na internetu traje dosta vremena.
Obrazovni portal Shkolkovo poziva studente da koriste našu bazu znanja. U potpunosti implementiramo nova metoda priprema za završni test. Učenjem na našoj web stranici moći ćete prepoznati nedostatke u znanju i obratiti pažnju na one zadatke koji izazivaju najveće poteškoće.
Nastavnici Školkova prikupili su, sistematizovali i prezentirali sve što je potrebno za uspješno polaganje Materijal za Jedinstveni državni ispit u najjednostavnijem i najpristupačnijem obliku.
Osnovne definicije i formule su predstavljene u odeljku „Teorijska pozadina“.
Kako biste bolje razumjeli gradivo, preporučujemo da vježbate ispunjavanje zadataka. Pažljivo pregledajte primjere eksponencijalnih jednačina s rješenjima predstavljenim na ovoj stranici da biste razumjeli algoritam proračuna. Nakon toga, nastavite sa izvršavanjem zadataka u odjeljku “Direktoriji”. Možete početi s najjednostavnijim zadacima ili ići direktno na rješavanje složenih eksponencijalnih jednadžbi s nekoliko nepoznanica ili . Baza vježbi na našoj web stranici se stalno dopunjuje i ažurira.
One primjere s indikatorima koji su vam izazvali poteškoće možete dodati u „Favorite“. Na ovaj način možete ih brzo pronaći i razgovarati o rješenju sa svojim učiteljem.
Da biste uspješno položili Jedinstveni državni ispit, učite na portalu Shkolkovo svaki dan!
Ovo je naziv za jednadžbe oblika u kojima je nepoznata i u eksponentu iu bazi stepena.
Možete odrediti potpuno jasan algoritam za rješavanje jednadžbe oblika. Da biste to učinili, morate obratiti pažnju na činjenicu da kada Oh) Ne jednak nuli, jedan i minus jedan su jednakost snaga c po istoj osnovi(bilo pozitivan ili negativan) moguće je samo ako su eksponenti jednaki. To jest, svi korijeni jednadžbe će biti korijeni jednačine f(x) = g(x) Obratna izjava nije tačna, kada Oh)< 0 i frakcijske vrijednosti f(x) I g(x) izrazi Oh) f(x) I
Oh) g(x) gube smisao. Odnosno, kada se krećete od do f(x) = g(x)(mogu se pojaviti i strani korijeni, koji se moraju isključiti provjerom u odnosu na originalnu jednadžbu. I slučajevi a = 0, a = 1, a = -1 treba razmotriti odvojeno.
Dakle za kompletno rješenje jednadžbe razmatramo slučajeve:
a(x) = O f(x) I g(x)će biti pozitivni brojevi, onda je ovo rješenje. Inače, ne
a(x) = 1. Korijeni ove jednačine su također korijeni originalne jednačine.
a(x) = -1. Ako za vrijednost x koja zadovoljava ovu jednačinu, f(x) I g(x) su cijeli brojevi iste parnosti (ili oba parna ili oba neparna), onda je ovo rješenje. Inače, ne
Kada i rješavamo jednačinu f(x)= g(x) i zamjenom dobijenih rezultata u originalnu jednačinu odsijecamo strane korijene.
Primjeri rješavanja jednadžbi eksponencijalne snage.
Primjer br. 1.
1) x - 3 = 0, x = 3. jer 3 > 0 i 3 2 > 0, tada je x 1 = 3 rješenje.
2) x - 3 = 1, x 2 = 4.
3) x - 3 = -1, x = 2. Oba indikatora su parna. Ovo rješenje je x 3 = 1.
4) x - 3 ? 0 i x? ± 1. x = x 2, x = 0 ili x = 1. Za x = 0, (-3) 0 = (-3) 0 - ovo rješenje je tačno: x 4 = 0. Za x = 1, (- 2) 1 = (-2) 1 - ovo rješenje je tačno x 5 = 1.
Odgovor: 0, 1, 2, 3, 4.
Primjer br. 2.
Po definiciji aritmetike kvadratni korijen: x - 1 ? 0, x ? 1.
1) x - 1 = 0 ili x = 1, = 0, 0 0 nije rješenje.
2) x - 1 = 1 x 1 = 2.
3) x - 1 = -1 x 2 = 0 se ne uklapa u ODZ.
D = (-2) - 4*1*5 = 4 - 20 = -16 - nema korijena.