Lekcija na temu: "Pravila množenja i dijeljenja potencija sa istim i različitim eksponentima. Primjeri"
Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, recenzije, želje. Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.
Nastavna sredstva i simulatori u internet prodavnici Integral za 7. razred
Priručnik za udžbenik Yu.N. Makarycheva Priručnik za udžbenik A.G. Mordkovich
Svrha lekcije: naučiti izvoditi operacije s potencijama brojeva.
Prvo, prisjetimo se koncepta "moći broja". Izraz oblika $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ može se predstaviti kao $a^n$.
I obrnuto: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.
Ova jednakost se naziva „zapisivanje stepena kao proizvoda“. To će nam pomoći da odredimo kako da množimo i dijelimo moći.
Zapamtite:
a– osnova diplome.
n– eksponent.
Ako n=1, što znači broj A uzeo jednom i prema tome: $a^n= 1$.
Ako n= 0, tada $a^0= 1$.
Zašto se to dešava, možemo saznati kada se upoznamo sa pravilima množenja i podjele potencija.
Pravila množenja
a) Ako se snage pomnože sa istu osnovu.Da bismo dobili $a^n * a^m$, zapisujemo stepene kao proizvod: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a ) _(m )$.
Slika pokazuje da je broj A su uzeli n+m puta, onda je $a^n * a^m = a^(n + m)$.
Primjer.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.
Ovo svojstvo je zgodno koristiti za pojednostavljenje rada pri podizanju broja na veći stepen.
Primjer.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.
b) Ako se množe stepeni sa različitim bazama, ali istim eksponentom.
Da bismo dobili $a^n * b^n$, zapisujemo stupnjeve kao proizvod: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b ) _(m )$.
Ako zamijenimo faktore i prebrojimo rezultirajuće parove, dobićemo: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.
Dakle, $a^n * b^n= (a * b)^n$.
Primjer.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.
Pravila podjele
a) Osnova stepena je ista, indikatori su različiti.Razmislite o dijeljenju stepena s većim eksponentom dijeljenjem stepena s manjim eksponentom.
Dakle, trebamo $\frac(a^n)(a^m)$, Gdje n>m.
Zapišimo stepene kao razlomak:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.
Radi praktičnosti, dijeljenje pišemo kao prosti razlomak.Sada smanjimo razlomak.
Ispada: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
znači, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.
Ovo svojstvo će vam pomoći da objasnite situaciju s podizanjem broja na nulti stepen. Pretpostavimo to n=m, tada je $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.
Primjeri.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.
$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.
b) Osnove stepena su različite, indikatori su isti.
Recimo da je neophodan $\frac(a^n)(b^n)$. Zapišimo stepene brojeva kao razlomke:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.
Radi praktičnosti, zamislimo.
Koristeći svojstvo razlomaka, dijelimo veliki razlomak na proizvod malih, dobivamo.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
Prema tome: $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$.
Primjer.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.
Kako množiti moći? Koje snage se mogu množiti, a koje ne? Kako pomnožiti broj sa stepenom?
U algebri možete pronaći proizvod potencija u dva slučaja:
1) ako stepeni imaju iste osnove;
2) ako stepeni imaju iste pokazatelje.
Prilikom množenja stepena sa istim bazama, baza se mora ostaviti ista, a eksponenti moraju biti dodati:
Prilikom množenja potencija sa isti pokazatelji opšti indikator može se izvaditi iz zagrada:
Pogledajmo kako množiti potencije na konkretnim primjerima.
Jedinica se ne upisuje u eksponent, ali pri množenju stepena uzimaju u obzir:
Prilikom množenja može postojati bilo koji broj potencija. Treba imati na umu da ne morate pisati znak množenja prije slova:
U izrazima se prvo vrši eksponencijacija.
Ako trebate pomnožiti broj sa stepenom, prvo morate izvesti eksponencijaciju, a tek onda množenje:
www.algebraclass.ru
Zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje potencija
Sabiranje i oduzimanje potencija
Očigledno je da se brojevi sa stepenom mogu sabirati kao i druge veličine , dodajući ih jedan za drugim sa njihovim znakovima.
Dakle, zbir a 3 i b 2 je a 3 + b 2.
Zbir a 3 - b n i h 5 -d 4 je a 3 - b n + h 5 - d 4.
Odds jednake snage identičnih varijabli može se dodati ili oduzeti.
Dakle, zbir 2a 2 i 3a 2 jednak je 5a 2.
Takođe je očigledno da ako uzmete dva kvadrata a, ili tri kvadrata a, ili pet kvadrata a.
Ali stepeni razne varijable I raznih stepeni identične varijable, moraju biti sastavljene dodavanjem njihovih znakova.
Dakle, zbir 2 i 3 je zbir 2 + a 3.
Očigledno je da kvadrat a i kocka od a nisu jednaki dvostrukom kvadratu od a, već dvostrukoj kocki od a.
Zbir a 3 b n i 3a 5 b 6 je a 3 b n + 3a 5 b 6.
Oduzimanje ovlasti se sprovode na isti način kao i sabiranje, osim što se predznaci oduzimanja moraju shodno tome promijeniti.
Ili:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
Umnožavanje moći
Brojevi sa stepenom mogu se množiti, kao i druge veličine, tako što će se pisati jedan za drugim, sa ili bez znaka množenja između njih.
Dakle, rezultat množenja a 3 sa b 2 je a 3 b 2 ili aaabb.
Ili:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Rezultat u posljednjem primjeru može se urediti dodavanjem identičnih varijabli.
Izraz će imati oblik: a 5 b 5 y 3.
Uspoređujući nekoliko brojeva (varijabli) sa potencijama, možemo vidjeti da ako se bilo koja dva od njih pomnože, onda je rezultat broj (varijabla) sa stepenom jednakim iznos stepeni pojmova.
Dakle, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Ovdje je 5 snaga rezultata množenja, koja je jednaka 2 + 3, zbiru potencija članova.
Dakle, a n .a m = a m+n .
Za a n, a se uzima kao faktor onoliko puta koliko je stepen n;
A m se uzima kao faktor onoliko puta koliko je stepen m jednak;
Zbog toga, Potencije sa istim bazama mogu se pomnožiti dodavanjem eksponenata potencija.
Dakle, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . I x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Ili:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Pomnožite (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odgovor: x 4 - y 4.
Pomnožite (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Ovo pravilo vrijedi i za brojeve čiji su eksponenti negativan.
1. Dakle, a -2 .a -3 = a -5 . Ovo se može napisati kao (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y -n .y -m = y -n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Ako se a + b pomnože sa a - b, rezultat će biti a 2 - b 2: tj
Rezultat množenja zbira ili razlike dva broja jednak je zbroju ili razlici njihovih kvadrata.
Ako pomnožite zbir i razliku dva broja podignuta na kvadrat, rezultat će biti jednak zbroju ili razlici ovih brojeva u četvrto stepeni.
Dakle, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.
Podjela stepena
Brojevi sa stepenom mogu se podijeliti kao i drugi brojevi, oduzimanjem od dividende ili stavljanjem u oblik razlomaka.
Dakle, a 3 b 2 podijeljeno sa b 2 jednako je a 3.
Pisanje 5 podijeljeno sa 3 izgleda kao $\frac $. Ali ovo je jednako 2. U nizu brojeva
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
bilo koji broj se može podijeliti s drugim, a eksponent će biti jednak razlika indikatori djeljivih brojeva.
Kada se dijele stepeni sa istom osnovom, njihovi eksponenti se oduzimaju..
Dakle, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. To jest, $\frac = y$.
I a n+1:a = a n+1-1 = a n . To jest, $\frac = a^n$.
Ili:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3
Pravilo važi i za brojeve sa negativan vrijednosti stepeni.
Rezultat dijeljenja -5 sa -3 je -2.
Također, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ili $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
Neophodno je veoma dobro ovladati množenjem i deljenjem stepena, jer se takve operacije veoma široko koriste u algebri.
Primjeri rješavanja primjera sa razlomcima koji sadrže brojeve sa stepenom
1. Smanjite eksponente za $\frac $ Odgovor: $\frac $.
2. Smanjite eksponente za $\frac$. Odgovor: $\frac$ ili 2x.
3. Smanjite eksponente a 2 /a 3 i a -3 /a -4 i dovedite do zajednički imenilac.
a 2 .a -4 je a -2 prvi brojilac.
a 3 .a -3 je a 0 = 1, drugi brojilac.
a 3 .a -4 je -1, zajednički brojnik.
Nakon pojednostavljenja: a -2 /a -1 i 1/a -1 .
4. Smanjiti eksponente 2a 4 /5a 3 i 2 /a 4 i dovesti do zajedničkog imenioca.
Odgovor: 2a 3 /5a 7 i 5a 5 /5a 7 ili 2a 3 /5a 2 i 5/5a 2.
5. Pomnožite (a 3 + b)/b 4 sa (a - b)/3.
6. Pomnožite (a 5 + 1)/x 2 sa (b 2 - 1)/(x + a).
7. Pomnožite b 4 /a -2 sa h -3 /x i a n /y -3 .
8. Podijelite a 4 /y 3 sa 3 /y 2 . Odgovor: a/y.
Svojstva stepena
Podsjećamo vas da ćemo u ovoj lekciji razumjeti svojstva stepeni sa prirodnim pokazateljima i nulom. Potencijama sa racionalnim eksponentima i njihovim svojstvima biće reči u lekcijama za 8. razred.
Potencija s prirodnim eksponentom ima nekoliko važnih svojstava koja nam omogućavaju da pojednostavimo proračune u primjerima sa potencijama.
Nekretnina br. 1
Proizvod moći
Prilikom množenja potencija sa istim bazama, baza ostaje nepromijenjena, a eksponenti potencija se zbrajaju.
a m · a n = a m + n, gdje je “a” bilo koji broj, a “m”, “n” su bilo koji prirodni brojevi.
Ovo svojstvo moći također se primjenjuje na proizvod tri ili više potencija.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
(0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
Napominjemo da se u navedenom svojstvu radilo samo o množenju potencija sa istim bazama. To se ne odnosi na njihovo dodavanje.
Ne možete zamijeniti zbir (3 3 + 3 2) sa 3 5. Ovo je razumljivo ako
izračunaj (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 i 3 5 = 243
Nekretnina br. 2
Djelomične diplome
Prilikom dijeljenja potencija sa istim bazama, baza ostaje nepromijenjena, a eksponent djelitelja se oduzima od eksponenta dividende.
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
Primjer. Riješite jednačinu. Koristimo svojstvo količnika.
3 8: t = 3 4
Odgovor: t = 3 4 = 81
Koristeći svojstva br. 1 i br. 2, lako možete pojednostaviti izraze i izvršiti proračune.
- Primjer. Pojednostavite izraz.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
Primjer. Pronađite vrijednost izraza koristeći svojstva eksponenata.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
Napominjemo da smo u svojstvu 2 govorili samo o podjeli ovlasti sa istim osnovama.
Ne možete zamijeniti razliku (4 3 −4 2) sa 4 1. To je razumljivo ako izračunate (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 i 4 1 = 4
Nekretnina br. 3
Podizanje stepena na stepen
Prilikom podizanja stepena na stepen, baza stepena ostaje nepromijenjena, a eksponenti se množe.
(a n) m = a n · m, gdje je “a” bilo koji broj, a “m”, “n” su bilo koji prirodni brojevi.
Imajte na umu da se svojstvo br. 4, kao i druga svojstva stupnjeva, također primjenjuje obrnutim redoslijedom.
(a n · b n)= (a · b) n
To jest, da biste pomnožili stepene sa istim eksponentima, možete pomnožiti baze, ali ostavite eksponent nepromijenjen.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1
U više složeni primjeri Mogu postojati slučajevi kada se množenje i dijeljenje moraju izvršiti preko potencija sa iz različitih razloga I različiti indikatori. U tom slučaju savjetujemo vam da učinite sljedeće.
Na primjer, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
Primjer podizanja decimale na stepen.
4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4
Svojstva 5
Moć količnika (razlomka)
Da biste podigli količnik na stepen, možete podići dividendu i djelitelj odvojeno na ovaj stepen, a prvi rezultat podijeliti s drugim.
(a: b) n = a n: b n, gdje su “a”, “b” bilo koji racionalni brojevi, b ≠ 0, n - bilo koji prirodan broj.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
Podsjećamo vas da se količnik može predstaviti kao razlomak. Stoga ćemo se na sljedećoj stranici detaljnije zadržati na temi dizanja razlomka na stepen.
Moći i korijeni
Operacije sa moćima i korijenima. Stepen sa negativnim ,
nula i razlomak indikator. O izrazima koji nemaju značenje.
Operacije sa stepenom.
1. Prilikom množenja stepena sa istom osnovom, njihovi eksponenti se sabiraju:
a m · a n = a m + n .
2. Prilikom dijeljenja stupnjeva sa istom osnovom, njihovi eksponenti se odbijaju .
3. Stepen proizvoda dva ili više faktora jednak je proizvodu stepena ovih faktora.
4. Stepen omjera (razlomka) jednak je omjeru stupnjeva dividende (brojnik) i djelitelja (imenik):
(a/b) n = a n / b n .
5. Kada se stepen diže na stepen, njihovi eksponenti se množe:
Sve gore navedene formule se čitaju i izvršavaju u oba smjera s lijeva na desno i obrnuto.
PRIMJER (2 3 5 / 15)² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .
Operacije s korijenima. U svim formulama ispod, simbol znači aritmetički korijen(radikalni izraz je pozitivan).
1. Korijen proizvoda nekoliko faktora jednak je proizvodu korijena ovih faktora:
2. Korijen omjera jednak je omjeru korijena dividende i djelitelja:
3. Prilikom podizanja korijena na stepen, dovoljno je podići na ovaj stepen radikalni broj:
4. Ako povećate stepen korijena za m puta i istovremeno podignete radikalni broj na m-tu potenciju, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:
5. Ako smanjite stepen korijena za m puta i istovremeno izvučete m-ti korijen radikalnog broja, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:
Proširivanje koncepta stepena. Do sada smo razmatrali stepene samo sa prirodnim eksponentima; ali operacije sa moćima i korijenima također mogu dovesti do negativan, nula I razlomak indikatori. Svi ovi eksponenti zahtijevaju dodatnu definiciju.
Stepen sa negativnim eksponentom. Potencija određenog broja s negativnim (cjelobrojnim) eksponentom definira se kao jedinica podijeljena potencijom istog broja s eksponentom jednakim apsolutnoj vrijednosti negativnog eksponenta:
Sada formula a m : a n = a m - n može se koristiti ne samo za m, više nego n, ali i sa m, manje od n .
PRIMJER a 4: a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .
Ako želimo formulu a m : a n = a m — n bilo pošteno kada m = n, potrebna nam je definicija nulti stepen.
Diploma sa nultim indeksom. Potencija bilo kojeg broja različitog od nule s eksponentom nula je 1.
PRIMJERI. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.
Stepen sa razlomkom eksponenta. Da biste podignuli realni broj a na stepen m / n, morate izdvojiti n-ti korijen m-tog stepena ovog broja a:
O izrazima koji nemaju značenje. Postoji nekoliko takvih izraza.
Gdje a ≠ 0 , ne postoji.
U stvari, ako to pretpostavimo x je određeni broj, onda u skladu sa definicijom operacije dijeljenja imamo: a = 0· x, tj. a= 0, što je u suprotnosti sa uslovom: a ≠ 0
— bilo koji broj.
U stvari, ako pretpostavimo da je ovaj izraz jednak nekom broju x, tada prema definiciji operacije dijeljenja imamo: 0 = 0 · x. Ali ova jednakost se javlja kada bilo koji broj x, što je trebalo dokazati.
0 0 — bilo koji broj.
Rješenje. Razmotrimo tri glavna slučaja:
1) x = 0 – ova vrijednost ne zadovoljava ovu jednačinu
2) kada x> 0 dobijamo: x/x= 1, tj. 1 = 1, što znači
Šta x– bilo koji broj; ali uzimajući u obzir to u
u našem slučaju x> 0, odgovor je x > 0 ;
Pravila za množenje stepena sa različitim osnovama
STEPEN SA RACIONALNIM INDIKATOROM,
FUNKCIJA NAPAJANJA IV
§ 69. Množenje i podjela potencija sa istim osnovama
Teorema 1. Za množenje stepena sa istim osnovama, dovoljno je sabrati eksponente i ostaviti bazu istu, tj.
Dokaz. Po definiciji stepena
2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.
Posmatrali smo proizvod dvije moći. U stvari, dokazano svojstvo vrijedi za bilo koji broj potencija sa istim osnovama.
Teorema 2. Za podelu stepena sa istim osnovama, kada je indeks dividende veći od indeksa delioca, dovoljno je da se od indeksa dividende oduzme indeks delioca, a baza ostane ista, tj. at t > str
(a =/= 0)
Dokaz. Podsjetimo da je količnik dijeljenja jednog broja drugim broj koji, kada se pomnoži s djeliteljem, daje dividendu. Stoga, dokažite formulu gdje a =/= 0, to je isto kao i dokazivanje formule
Ako t > str , zatim broj t - str biće prirodno; dakle, prema teoremi 1
Teorema 2 je dokazana.
Treba napomenuti da je formula
dokazali smo to samo pod pretpostavkom da t > str . Dakle, iz dokazanog još nije moguće izvesti npr. sljedeće zaključke:
Osim toga, još nismo razmatrali stepene sa negativnim eksponentima i još ne znamo koje značenje se može dati izrazu 3 - 2 .
Teorema 3. Da biste stepen podigli na stepen, dovoljno je pomnožiti eksponente, ostavljajući bazu stepena istom, to je
Dokaz. Koristeći definiciju stepena i teoremu 1 ovog odjeljka, dobijamo:
Q.E.D.
Na primjer, (2 3) 2 = 2 6 = 64;
518 (Usmeno) Odredi X iz jednačina:
1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;
2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .
519. (Set br.) Pojednostavite:
520. (Set br.) Pojednostavite:
521. Predstavite ove izraze u obliku stepeni sa istim osnovama:
1) 32 i 64; 3) 8 5 i 16 3; 5) 4 100 i 32 50;
2) -1000 i 100; 4) -27 i -243; 6) 81 75 8 200 i 3 600 4 150.
Očigledno je da se brojevi sa stepenom mogu sabirati kao i druge veličine , dodajući ih jedan za drugim sa njihovim znakovima.
Dakle, zbir a 3 i b 2 je a 3 + b 2.
Zbir a 3 - b n i h 5 -d 4 je a 3 - b n + h 5 - d 4.
Odds jednake snage identičnih varijabli može se dodati ili oduzeti.
Dakle, zbir 2a 2 i 3a 2 jednak je 5a 2.
Takođe je očigledno da ako uzmete dva kvadrata a, ili tri kvadrata a, ili pet kvadrata a.
Ali stepeni razne varijable I raznih stepeni identične varijable, moraju biti sastavljene dodavanjem njihovih znakova.
Dakle, zbir 2 i 3 je zbir 2 + a 3.
Očigledno je da kvadrat a i kocka od a nisu jednaki dvostrukom kvadratu od a, već dvostrukoj kocki od a.
Zbir a 3 b n i 3a 5 b 6 je a 3 b n + 3a 5 b 6.
Oduzimanje ovlasti se sprovode na isti način kao i sabiranje, osim što se predznaci oduzimanja moraju shodno tome promijeniti.
Ili:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
Umnožavanje moći
Brojevi sa stepenom mogu se množiti, kao i druge veličine, tako što će se pisati jedan za drugim, sa ili bez znaka množenja između njih.
Dakle, rezultat množenja a 3 sa b 2 je a 3 b 2 ili aaabb.
Ili:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Rezultat u posljednjem primjeru može se urediti dodavanjem identičnih varijabli.
Izraz će imati oblik: a 5 b 5 y 3.
Uspoređujući nekoliko brojeva (varijabli) sa potencijama, možemo vidjeti da ako se bilo koja dva od njih pomnože, onda je rezultat broj (varijabla) sa stepenom jednakim iznos stepeni pojmova.
Dakle, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Ovdje je 5 snaga rezultata množenja, jednaka 2 + 3, zbir potencija članova.
Dakle, a n .a m = a m+n .
Za a n, a se uzima kao faktor onoliko puta koliko je stepen n;
A m se uzima kao faktor onoliko puta koliko je stepen m jednak;
Zbog toga, Potencije sa istim bazama mogu se pomnožiti dodavanjem eksponenata potencija.
Dakle, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . I x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Ili:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Pomnožite (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odgovor: x 4 - y 4.
Pomnožite (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Ovo pravilo vrijedi i za brojeve čiji su eksponenti negativan.
1. Dakle, a -2 .a -3 = a -5 . Ovo se može napisati kao (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y -n .y -m = y -n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Ako se a + b pomnože sa a - b, rezultat će biti a 2 - b 2: tj
Rezultat množenja zbira ili razlike dva broja jednak je zbroju ili razlici njihovih kvadrata.
Ako pomnožite zbir i razliku dva broja podignuta na kvadrat, rezultat će biti jednak zbroju ili razlici ovih brojeva u četvrto stepeni.
Dakle, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.
Podjela stepena
Brojevi sa stepenom mogu se podijeliti kao i drugi brojevi, oduzimanjem od dividende ili stavljanjem u oblik razlomaka.
Dakle, a 3 b 2 podijeljeno sa b 2 jednako je a 3.
Ili:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$
Pisanje 5 podijeljeno sa 3 izgleda kao $\frac(a^5)(a^3)$. Ali ovo je jednako 2. U nizu brojeva
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
bilo koji broj se može podijeliti s drugim, a eksponent će biti jednak razlika indikatori djeljivih brojeva.
Kada se dijele stepeni sa istom osnovom, njihovi eksponenti se oduzimaju..
Dakle, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. To jest, $\frac(yyy)(yy) = y$.
I a n+1:a = a n+1-1 = a n . To jest, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.
Ili:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3
Pravilo važi i za brojeve sa negativan vrijednosti stepeni.
Rezultat dijeljenja -5 sa -3 je -2.
Također, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ili $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$
Neophodno je veoma dobro ovladati množenjem i deljenjem stepena, jer se takve operacije veoma široko koriste u algebri.
Primjeri rješavanja primjera sa razlomcima koji sadrže brojeve sa stepenom
1. Smanjite eksponente za $\frac(5a^4)(3a^2)$ Odgovor: $\frac(5a^2)(3)$.
2. Smanjite eksponente za $\frac(6x^6)(3x^5)$. Odgovor: $\frac(2x)(1)$ ili 2x.
3. Smanjite eksponente a 2 /a 3 i a -3 /a -4 i dovedite do zajedničkog nazivnika.
a 2 .a -4 je a -2 prvi brojilac.
a 3 .a -3 je a 0 = 1, drugi brojnik.
a 3 .a -4 je -1, zajednički brojnik.
Nakon pojednostavljenja: a -2 /a -1 i 1/a -1 .
4. Smanjiti eksponente 2a 4 /5a 3 i 2 /a 4 i dovesti do zajedničkog imenioca.
Odgovor: 2a 3 /5a 7 i 5a 5 /5a 7 ili 2a 3 /5a 2 i 5/5a 2.
5. Pomnožite (a 3 + b)/b 4 sa (a - b)/3.
6. Pomnožite (a 5 + 1)/x 2 sa (b 2 - 1)/(x + a).
7. Pomnožite b 4 /a -2 sa h -3 /x i a n /y -3 .
8. Podijelite a 4 /y 3 sa 3 /y 2 . Odgovor: a/y.
9. Podijelite (h 3 - 1)/d 4 sa (d n + 1)/h.
Svaka aritmetička operacija ponekad postane preglomazna za pisanje i pokušavaju je pojednostaviti. To je nekada bio slučaj sa operacijom sabiranja. Ljudi su trebali izvršiti ponovljeno dodavanje iste vrste, na primjer, kako bi izračunali cijenu sto perzijskih tepiha, čija je cijena 3 zlatnika za svaki. 3+3+3+…+3 = 300. Zbog njegove glomazne prirode, odlučeno je da se notacija skrati na 3 * 100 = 300. U stvari, oznaka "tri puta sto" znači da morate uzeti jedan sto tri i saberi ih. Množenje se uhvatilo i steklo opću popularnost. Ali svijet ne stoji mirno, a u srednjem vijeku pojavila se potreba za ponovnim umnožavanjem iste vrste. Sjećam se stare indijske zagonetke o mudracu koji je tražio nagradu za obavljeni posao. zrna pšenice u sljedećoj količini: za prvo polje šahovske ploče tražio je jedno zrno, za drugo - dva, za treće - četiri, za peto - osam i tako dalje. Tako se pojavilo prvo množenje stepena, jer je broj zrnaca bio jednak dva sa stepenom broja ćelije. Na primjer, u posljednjoj ćeliji bi bilo 2*2*2*...*2 = 2^63 zrna, što je jednako broju od 18 znakova, što je, u stvari, značenje zagonetke.
Operacija eksponencijalnosti je prilično brzo uhvaćena, a brzo se javila i potreba za sabiranjem, oduzimanjem, dijeljenjem i množenjem potencija. Ovo posljednje vrijedi detaljnije razmotriti. Formule za dodavanje moći su jednostavne i lako se pamte. Osim toga, vrlo je lako razumjeti odakle dolaze ako se operacija snage zamijeni množenjem. Ali prvo morate razumjeti osnovnu terminologiju. Izraz a^b (čitaj “a na stepen od b”) znači da broj a treba pomnožiti sam sa sobom b puta, pri čemu se “a” naziva osnovom stepena, a “b” eksponentom stepena. Ako su baze stupnjeva iste, onda se formule izvode prilično jednostavno. Konkretan primjer: pronađite vrijednost izraza 2^3 * 2^4. Da biste znali šta bi trebalo da se desi, trebalo bi da saznate odgovor na računaru pre nego što počnete da rešavate. Unošenjem ovog izraza u bilo koji onlajn kalkulator, pretraživač, upisivanjem “množenje potencija sa različitim bazama i istim” ili matematičkim paketom, rezultat će biti 128. Hajde sada da napišemo ovaj izraz: 2^3 = 2*2*2, i 2^4 = 2 *2*2*2. Ispada da je 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . Ispada da je proizvod stepena sa istom bazom jednak bazi podignutoj na stepen, jednak iznosu dva prethodna stepena.
Možda mislite da je ovo nesreća, ali ne: svaki drugi primjer može samo potvrditi ovo pravilo. Dakle, u opšti pogled formula je sljedeća: a^n * a^m = a^(n+m) . Također postoji pravilo da je bilo koji broj na nulti stepen jednak jedan. Ovdje treba zapamtiti pravilo negativnih snaga: a^(-n) = 1 / a^n. To jest, ako je 2^3 = 8, onda je 2^(-3) = 1/8. Koristeći ovo pravilo, možete dokazati valjanost jednakosti a^0 = 1: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^( n) , a^ (n) se može smanjiti i jedan ostaje. Odavde je izvedeno pravilo da je količnik stepena sa istim bazama jednak ovoj bazi u stepenu koji je jednak količniku dividende i delioca: a^n: a^m = a^(n-m) . Primjer: pojednostavite izraz 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) . Množenje je komutativna operacija, stoga prvo morate dodati eksponente množenja: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 =2. Zatim se morate pozabaviti podjelom po negativan stepen. Od eksponenta dividende potrebno je oduzeti eksponent djelitelja: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. Ispada da je operacija dijeljenja negativnim stepenom identična operaciji množenja sa sličnim pozitivnim eksponentom. Dakle, konačni odgovor je 8.
Postoje primjeri gdje se dešava nekanonsko množenje snaga. Množenje snaga s različitim bazama je često mnogo teže, a ponekad čak i nemoguće. Postoji nekoliko primjera različitih moguće tehnike. Primer: pojednostavite izraz 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729. Očigledno, postoji množenje stepena sa različitim bazama. Ali treba napomenuti da su svi razlozi raznih stepeni trojke. 9 = 3^2.1 = 3^4.3 = 3^5.9 = 3^6. Koristeći pravilo (a^n) ^m = a^(n*m) , trebali biste prepisati izraz u pogodnijem obliku: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * ( 3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7 -4+12 -10+6) = 3^(11) . Odgovor: 3^11. U slučajevima kada postoje različite baze, pravilo a^n * b^n = (a*b) ^n radi za jednake indikatore. Na primjer, 3^3 * 7^3 = 21^3. U suprotnom, kada su baze i eksponenti različite, potpuno množenje se ne može izvršiti. Ponekad možete djelomično pojednostaviti ili pribjeći pomoći kompjuterske tehnologije.