Poznato je da je predznak korijena kvadratni korijen određenog broja. Međutim, korijenski znak ne znači samo algebarsku akciju, već se koristi i u industriji obrade drveta - u izračunavanju relativnih veličina.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Ako želite naučiti kako množiti korijene sa ili bez faktora, onda je ovaj članak za vas. U njemu ćemo pogledati metode množenja korijena:
- nema množitelja;
- sa multiplikatorima;
- sa različitim indikatorima.
Metoda množenja korijena bez faktora
Algoritam akcija:
Uvjerite se da korijen ima iste indikatore (stepene). Podsjetimo da je stepen napisan lijevo iznad predznaka korijena. Ako nema oznake stepena, to znači da je korijen kvadratan, tj. sa potencijom 2, a može se pomnožiti drugim korijenima sa potencijom 2.
Primjer
Primjer 1: 18 × 2 = ?
Primjer 2: 10 × 5 = ?
Primjer
Primjer 1: 18 × 2 = 36
Primjer 2: 10 × 5 = 50
Primjer 3: 3 3 × 9 3 = 27 3
Pojednostavite radikalne izraze. Kada množimo korijene jedni s drugima, možemo pojednostaviti rezultirajući radikalni izraz na proizvod broja (ili izraza) s punim kvadratom ili kockom:
Primjer
Primjer 1: 36 = 6. 36 je kvadratni korijen od šest (6 × 6 = 36).
Primjer 2: 50 = (25 × 2) = (5 × 5) × 2 = 5 2. Razlažemo broj 50 na proizvod 25 i 2. Korijen od 25 je 5, pa uzimamo 5 ispod znaka korijena i pojednostavljujemo izraz.
Primjer 3: 27 3 = 3. Kubni korijen od 27 je 3: 3 × 3 × 3 = 27.
Metoda množenja indikatora sa faktorima
Algoritam akcija:
Umnožite faktore. Množilac je broj koji dolazi ispred predznaka korijena. Ako nema množitelja, po defaultu se smatra jednim. Zatim morate pomnožiti faktore:
Primjer
Primjer 1: 3 2 × 10 = 3 ? 3 × 1 = 3
Primjer 2: 4 3 × 3 6 = 12? 4 × 3 = 12
Pomnožite brojeve ispod predznaka korijena. Kada pomnožite faktore, slobodno pomnožite brojeve ispod predznaka:
Primjer
Primjer 1: 3 2 × 10 = 3 (2 × 10) = 3 20
Primjer 2: 4 3 × 3 6 = 12 (3 × 6) = 12 18
Pojednostavite radikalni izraz. Zatim biste trebali pojednostaviti vrijednosti koje se nalaze ispod korijenskog znaka - trebate pomaknuti odgovarajuće brojeve izvan znaka korijena. Nakon toga, trebate pomnožiti brojeve i faktore koji se pojavljuju prije korijenskog znaka:
Primjer
Primjer 1: 3 20 = 3 (4 × 5) = 3 (2 × 2) × 5 = (3 × 2) 5 = 6 5
Primjer 2: 12 18 = 12 (9 × 2) = 12 (3 × 3) × 2 = (12 × 3) 2 = 36 2
Metoda množenja korijena s različitim eksponentima
Algoritam akcija:
Pronađite najmanji zajednički višekratnik (LCM) indikatora. Najmanji zajednički višekratnik je najmanji broj djeljiv sa oba eksponenta.
Primjer
Potrebno je pronaći LCM indikatora za sljedeći izraz:
Indikatori su 3 i 2. Za ova dva broja najmanji zajednički višekratnik je broj 6 (djeljiv je sa 3 i 2 bez ostatka). Za množenje korijena potreban je eksponent 6.
Napišite svaki izraz s novim eksponentom:
Pronađite brojeve s kojima trebate pomnožiti indikatore da biste dobili LOC.
U izrazu 5 3 trebate pomnožiti 3 sa 2 da dobijete 6. A u izrazu 2 2 - naprotiv, potrebno je pomnožiti sa 3 da biste dobili 6.
Podignite broj ispod predznaka korijena na stepen jednak broju koji je pronađen u prethodnom koraku. Za prvi izraz, 5 se mora podići na stepen 2, a za drugi, 2 mora biti podignut na stepen 3:
2 → 5 6 = 5 2 6 3 → 2 6 = 2 3 6
Podignite izraz na stepen i zapišite rezultat pod znakom korijena:
5 2 6 = (5 × 5) 6 = 25 6 2 3 6 = (2 × 2 × 2) 6 = 8 6
Pomnožite brojeve ispod korijena:
(8 × 25) 6
Zabilježite rezultat:
(8 × 25) 6 = 200 6
Ako je moguće, potrebno je pojednostaviti izraz, ali u u ovom slučaju nije pojednostavljeno.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.
Prikupljanje i korištenje ličnih podataka
Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.
Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.
U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.
Koje lične podatke prikupljamo:
- Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu Email itd.
Kako koristimo vaše lične podatke:
- Prikupljeno od nas lična informacija nam omogućava da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
- S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
- Također možemo koristiti lične podatke za interne svrhe kao što su revizija, analiza podataka i razne studije u cilju poboljšanja usluga koje pružamo i pružanja preporuka u vezi sa našim uslugama.
- Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.
Otkrivanje informacija trećim licima
Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.
Izuzeci:
- Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, pravnim postupkom, odnosno na osnovu javnog zahtjeva ili zahtjeva vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
- U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.
Zaštita ličnih podataka
Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.
Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije
Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.
Dostupnost kvadratni korijeni u izrazu komplicira proces dijeljenja, ali postoje pravila koja znatno olakšavaju rad sa razlomcima.
Jedina stvar koju trebate imati na umu cijelo vrijeme- radikalni izrazi se dijele na radikalne izraze, a faktori na faktore. U procesu dijeljenja kvadratnih korijena, pojednostavljujemo razlomak. Također, podsjetimo da korijen može biti u nazivniku.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Metoda 1. Podjela radikalnih izraza
Algoritam akcija:
Napiši razlomak
Ako izraz nije predstavljen kao razlomak, potrebno ga je tako napisati, jer je lakše slijediti princip dijeljenja kvadratnih korijena.
Primjer 1
144 ÷ 36, ovaj izraz treba prepisati na sljedeći način: 144 36
Koristite jedan korijenski znak
Ako i brojnik i nazivnik sadrže kvadratne korijene, potrebno je njihove radikalne izraze napisati pod istim predznakom korijena kako bi se olakšao proces rješavanja.
Podsjećamo vas da je radikalni izraz (ili broj) izraz pod znakom korijena.
Primjer 2
144 36. Ovaj izraz treba napisati na sljedeći način: 144 36
Odvojite radikalne izraze
Samo podijelite jedan izraz drugim, a rezultat upišite pod znakom korijena.
Primjer 3
144 36 = 4, zapišimo ovaj izraz ovako: 144 36 = 4
Pojednostavite radikalni izraz (ako je potrebno)
Ako je radikalni izraz ili jedan od faktora savršen kvadrat, pojednostavite izraz.
Podsjetimo da je savršen kvadrat broj koji je kvadrat nekog cijelog broja.
Primjer 4
4 je savršen kvadrat jer je 2 × 2 = 4. dakle:
4 = 2 × 2 = 2. Prema tome 144 36 = 4 = 2.
Metoda 2. Faktorovanje radikalnog izraza
Algoritam akcija:
Napiši razlomak
Prepišite izraz kao razlomak (ako je tako predstavljen). Ovo čini dijeljenje izraza s kvadratnim korijenima mnogo lakšim, posebno kada se čini faktorima.
Primjer 5
8 ÷ 36, prepiši ovako 8 36
Faktorite svaki od radikalnih izraza
Faktori broj ispod korijena kao i svaki drugi cijeli broj, samo upišite faktore ispod predznaka korijena.
Primjer 6
8 36 = 2 × 2 × 2 6 × 6
Pojednostavite brojnik i imenilac razlomka
Da biste to učinili, izvadite faktore koji predstavljaju savršene kvadrate ispod znaka korijena. Tako će faktor radikalnog izraza postati faktor ispred znaka korijena.
Primjer 7
2 2 6 6 × 6 2 × 2 × 2, slijedi: 8 36 = 2 2 6
Racionalizirajte imenilac (oslobodite se korijena)
U matematici postoje pravila prema kojima je ostavljanje korijena u nazivniku znak lošeg oblika, tj. zabranjeno je. Ako u nazivniku postoji kvadratni korijen, riješite ga se.
Pomnožite brojilac i nazivnik kvadratnim korijenom koji želite ukloniti.
Primjer 8
U izrazu 6 2 3, trebate pomnožiti brojilac i nazivnik sa 3 da biste ih se riješili u nazivniku:
6 2 3 × 3 3 = 6 2 × 3 3 × 3 = 6 6 9 = 6 6 3
Pojednostavite rezultirajući izraz (ako je potrebno)
Ako brojnik i nazivnik sadrže brojeve koji se mogu i trebaju smanjiti. Pojednostavite takve izraze kao bilo koji razlomak.
Primjer 9
2 6 pojednostavljuje na 1 3 ; tako se 2 2 6 pojednostavljuje na 1 2 3 = 2 3
Metoda 3: Dijeljenje kvadratnih korijena sa faktorima
Algoritam akcija:
Pojednostavite faktore
Podsjetimo da su faktori brojevi koji prethode znaku korijena. Da biste pojednostavili faktore, morat ćete ih podijeliti ili smanjiti. Ne dirajte radikalne izraze!
Primjer 10
4 32 6 16 . Prvo, smanjimo 4 6: podijelimo i brojnik i imenilac sa 2: 4 6 = 2 3.
Pojednostavite kvadratne korijene
Ako je brojilac jednako djeljiv sa nazivnikom, onda podijelite. Ako ne, onda pojednostavite radikalne izraze kao i svaki drugi.
Primjer 11
32 je djeljivo sa 16, dakle: 32 16 = 2
Pomnožite pojednostavljene faktore sa pojednostavljenim korijenima
Zapamtite pravilo: ne ostavljajte korijene u nazivniku. Stoga jednostavno pomnožimo brojilac i imenilac ovim korijenom.
Primjer 12
2 3 × 2 = 2 2 3
Racionalizirajte nazivnik (oslobodite se korijena u nazivniku)
Primjer 13
4 3 2 7 . Trebali biste pomnožiti brojilac i nazivnik sa 7 da biste se riješili korijena u nazivniku.
4 3 7 × 7 7 = 4 3 × 7 7 × 7 = 4 21 49 = 4 21 7
Metoda 4: Podjela binomom s kvadratnim korijenom
Algoritam akcija:
Odredite da li je binom u nazivniku
Podsjetimo da je binom izraz koji uključuje 2 monoma. Ova metoda radi samo u slučajevima kada nazivnik ima binom s kvadratnim korijenom.
Primjer 14
1 5 + 2 - postoji binom u nazivniku, pošto postoje dva monoma.
Pronađite konjugirani izraz binoma
Podsjetimo da je konjugirani binom binom sa istim monomima, ali suprotnim predznacima. Da biste pojednostavili izraz i riješili se korijena u nazivniku, trebali biste pomnožiti konjugirane binome.
Primjer 15
5 + 2 i 5 - 2 su konjugirani binomi.
Pomnožite brojilac i nazivnik binomom koji je konjugat binoma u nazivniku
Ova opcija će vam pomoći da se riješite korijena u nazivniku, jer je proizvod konjugiranih binoma jednak razlici kvadrata svakog člana binoma: (a - b) (a + b) = a 2 - b 2
Primjer 16
1 5 + 2 = 1 (5 - 2) (5 - 2) (5 + 2) = 5 - 2 (5 2 - (2) 2 = 5 - 2 25 - 2 = 5 - 2 23 .
Iz ovoga slijedi: 1 5 + 2 = 5 - 2 23.
savjet:
- Ako radite s kvadratnim korijenima mješovitih brojeva, pretvorite ih u nepravilne razlomke.
- Razlika između sabiranja i oduzimanja od dijeljenja je u tome što se radikalne izraze u slučaju dijeljenja ne preporučuje pojednostavljivanje (na račun potpunih kvadrata).
- Nikada (!) ne ostavljajte korijen u nazivniku.
- Nema decimalnih ili mješovitih razlomaka prije korijena - trebate ih pretvoriti u običan razlomak, a zatim pojednostaviti.
- Da li je imenilac zbir ili razlika dva monoma? Pomnožite takav binom njegovim konjugiranim binomom i riješite se korijena u nazivniku.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Pozdrav, mačke! Prošli put smo detaljno raspravljali o tome šta su korijeni (ako se ne sjećate, preporučujem da pročitate). Glavni zaključak iz te lekcije: postoji samo jedna univerzalna definicija korijena, a to je ono što trebate znati. Ostalo su gluposti i gubljenje vremena.
Danas idemo dalje. Naučit ćemo množiti korijene, proučavat ćemo neke probleme vezane za množenje (ako se ti problemi ne riješe, mogu postati kobni na ispitu) i pravilno ćemo vježbati. Zato nabavite kokice, udobno se smjestite i krenimo. :)
Nisi ga još popušio, zar ne?
Ispostavilo se da je lekcija prilično duga, pa sam je podijelio na dva dijela:
- Prvo ćemo pogledati pravila množenja. Čini se da Cap nagoveštava: ovo je kada postoje dva korena, između njih je znak „množenje“ - i želimo nešto da uradimo s njim.
- Onda pogledajmo suprotnu situaciju: postoji jedan veliki korijen, ali smo bili željni da ga predstavimo kao proizvod dva jednostavnija korijena. Zašto je to potrebno, posebno je pitanje. Mi ćemo samo analizirati algoritam.
Za one koji jedva čekaju da odmah pređu na drugi dio, dobrodošli. Počnimo sa ostalim redom.
Osnovno pravilo množenja
Počnimo s najjednostavnijim - klasičnim kvadratnim korijenima. Isti oni koji su označeni sa $\sqrt(a)$ i $\sqrt(b)$. Njima je sve očigledno:
Pravilo množenja. Da pomnožite jedan kvadratni korijen drugim, jednostavno pomnožite njihove radikalne izraze i rezultat zapišete pod zajedničkim radikalom:
\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]
Nema dodatnih ograničenja za brojeve s desne ili lijeve strane: ako postoje korijenski faktori, postoji i proizvod.
Primjeri. Pogledajmo četiri primjera s brojevima odjednom:
\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(poravnati)\]
Kao što vidite, glavno značenje ovog pravila je pojednostavljenje iracionalnih izraza. A ako bismo u prvom primjeru sami izvukli korijene 25 i 4 bez ikakvih novih pravila, onda stvari postaju teške: $\sqrt(32)$ i $\sqrt(2)$ se ne razmatraju sami po sebi, već njihov proizvod se ispostavlja kao savršen kvadrat, pa je njegov korijen jednak racionalnom broju.
Posebno bih istakao zadnji red. Tamo su oba radikalna izraza razlomci. Zahvaljujući proizvodu mnogi faktori se poništavaju, a cijeli izraz se pretvara u adekvatan broj.
Naravno, stvari neće uvijek biti tako lijepe. Ponekad će ispod korijena biti potpuno sranje - nije jasno što učiniti s njim i kako ga transformirati nakon množenja. Nešto kasnije, kada počneš da učiš iracionalne jednačine i nejednakosti, generalno će postojati sve vrste varijabli i funkcija. I vrlo često, pisci problema računaju na to da ćete otkriti neke termine ili faktore koji poništavaju, nakon čega će se problem višestruko pojednostaviti.
Osim toga, uopće nije potrebno množiti tačno dva korijena. Možete pomnožiti tri, četiri ili čak deset odjednom! Ovo neće promijeniti pravilo. Pogledaj:
\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(poravnati)\]
I opet mala napomena o drugom primjeru. Kao što vidite, u trećem faktoru ispod korijena nalazi se decimalni razlomak - u procesu izračunavanja zamjenjujemo ga običnim, nakon čega se sve lako smanjuje. Dakle: toplo preporučujem da se riješite decimalnih razlomaka u bilo kojem iracionalni izrazi(tj. sadrži najmanje jedan radikalni simbol). Ovo će vam uštedjeti mnogo vremena i živaca u budućnosti.
Ali bilo je lirska digresija. Sada razmotrimo opštiji slučaj - kada korijenski eksponent sadrži proizvoljan broj $n$, a ne samo "klasična" dva.
Slučaj proizvoljnog indikatora
Dakle, sredili smo kvadratne korijene. Šta raditi sa kubičnim? Ili čak sa korijenima proizvoljnog stepena $n$? Da, sve je isto. Pravilo ostaje isto:
Da biste pomnožili dva korijena stepena $n$, dovoljno je pomnožiti njihove radikalne izraze, a zatim rezultat zapisati pod jednim radikalom.
Općenito, ništa komplikovano. Osim što količina proračuna može biti veća. Pogledajmo nekoliko primjera:
Primjeri. Izračunajte proizvode:
\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0.16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 )) ))=\sqrt(((\levo(\frac(4)(25) \desno))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(poravnati)\]
I opet, pažnja na drugi izraz. Množimo kubne korijene, riješimo ih se decimalni i kao rezultat dobijamo proizvod brojeva 625 i 25 u nazivniku. veliki broj- Lično, ne mogu odmah da izračunam koliko je to jednako.
Stoga smo jednostavno izolovali tačnu kocku u brojiocu i nazivniku, a zatim koristili jedno od ključnih svojstava (ili, ako želite, definiciju) $n$-tog korijena:
\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\lijevo| a\desno|. \\ \end(poravnati)\]
Takve “mahinacije” vam mogu uštedjeti dosta vremena na ispitu ili testni rad, pa zapamti:
Nemojte žuriti da množite brojeve koristeći radikalne izraze. Prvo provjerite: šta ako je tačan stepen bilo kog izraza tamo „šifrovan“?
Uprkos očiglednosti ove opaske, moram priznati da većina nepripremljenih studenata ne vidi tačne diplome iz blizine. Umjesto toga, oni sve umnožavaju, a onda se pitaju: zašto su dobili tako brutalne brojke? :)
Međutim, sve je ovo priča o bebama u poređenju sa onim što ćemo sada proučavati.
Množenje korijena s različitim eksponentima
U redu, sada možemo množiti korijene sa isti pokazatelji. Šta ako se indikatori razlikuju? Recimo, kako pomnožiti običan $\sqrt(2)$ sa nekim sranjem kao što je $\sqrt(23)$? Da li je to uopšte moguće uraditi?
Da, naravno da možete. Sve se radi po ovoj formuli:
Pravilo za množenje korijena. Da pomnožite $\sqrt[n](a)$ sa $\sqrt[p](b)$, dovoljno je izvršiti sljedeću transformaciju:
\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]
Međutim, ova formula funkcionira samo ako radikalni izrazi su nenegativni. Ovo je veoma važna napomena na koju ćemo se vratiti malo kasnije.
Za sada, pogledajmo nekoliko primjera:
\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(poravnati)\]
Kao što vidite, ništa komplikovano. Sada hajde da shvatimo odakle dolazi uslov nenegativnosti i šta će se desiti ako ga prekršimo. :)
Množenje korijena je jednostavno Zašto radikalni izrazi moraju biti nenegativni?
Naravno, možete biti poput školskih nastavnika i pametno citirati udžbenik:
Zahtjev nenegativnosti se odnosi na različite definicije korijeni parnih i neparnih stupnjeva (prema tome, i njihovi domeni definicije su različiti).
Pa, je li postalo jasnije? Lično, kada sam čitao ovu glupost u 8. razredu, shvatio sam nešto poput sledećeg: „Zahtev nenegativnosti je povezan sa *#&^@(*#@^#)~%“ - ukratko, nisam Ne razumem ništa u tom trenutku. :)
Pa ću sada sve objasniti na normalan način.
Prvo, hajde da saznamo odakle dolazi gornja formula za množenje. Da biste to učinili, podsjetit ću vas na jedno važno svojstvo korijena:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
Drugim riječima, možemo lako podići radikalni izraz na bilo koji prirodni stepen $k$ - u ovom slučaju, eksponent korijena će se morati pomnožiti sa istom potencijom. Stoga možemo lako sveti bilo koje korijene na ukupni indikator, zatim pomnožite. Odatle dolazi formula za množenje:
\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]
Ali postoji jedan problem koji oštro ograničava upotrebu svih ovih formula. Uzmite u obzir ovaj broj:
Prema upravo datoj formuli, možemo dodati bilo koji stepen. Pokušajmo dodati $k=2$:
\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\levo(-5 \desno))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]
Uklonili smo minus upravo zato što kvadrat spaljuje minus (kao i svaki drugi paran stepen). Sada izvršimo obrnutu transformaciju: "smanjimo" dva u eksponentu i stepenu. Uostalom, svaka jednakost se može čitati i slijeva na desno i s desna na lijevo:
\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](a); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(poravnati)\]
Ali onda se ispostavi da je to neka vrsta sranja:
\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]
Ovo se ne može dogoditi, jer $\sqrt(-5) \lt 0$, a $\sqrt(5) \gt 0$. To znači da za jednake moći i negativni brojevi naša formula više ne radi. Nakon toga imamo dvije opcije:
- Udariti o zid i konstatovati da je matematika glupa nauka, u kojoj „postoje neka pravila, ali ova su neprecizna“;
- Enter dodatna ograničenja, pri čemu će formula raditi 100%.
U prvoj opciji, morat ćemo stalno hvatati "neradne" slučajeve - to je teško, dugotrajno i općenito uh. Stoga su matematičari preferirali drugu opciju. :)
Ali ne brini! U praksi, ovo ograničenje ni na koji način ne utiče na proračune, jer se svi opisani problemi odnose samo na korijene neparnog stepena, a od njih se mogu uzeti minusi.
Stoga, formulirajmo još jedno pravilo, koje se općenito primjenjuje na sve radnje s korijenima:
Prije množenja korijena, uvjerite se da radikalni izrazi nisu negativni.
Primjer. U broju $\sqrt(-5)$ možete ukloniti minus ispod znaka korijena - tada će sve biti normalno:
\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]
Osjećate li razliku? Ako ostavite minus ispod korijena, onda kada se radikalni izraz kvadrira, on će nestati i počet će sranje. A ako prvo izvadite minus, onda možete kvadrirati/skidati dok ne budete plavi u licu - broj će ostati negativan. :)
Dakle, najispravniji i najpouzdaniji način množenja korijena je sljedeći:
- Uklonite sve negativne strane radikala. Minusi postoje samo u korijenima neparne višestrukosti - mogu se staviti ispred korijena i, ako je potrebno, smanjiti (na primjer, ako postoje dva od ovih minusa).
- Izvršite množenje prema pravilima o kojima smo raspravljali u današnjoj lekciji. Ako su indikatori korijena isti, radikalne izraze jednostavno množimo. A ako se razlikuju, koristimo zlu formulu \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
- 3. Uživajte u rezultatu i dobrim ocjenama. :)
Pa? Hoćemo li vježbati?
Primjer 1: Pojednostavite izraz:
\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) ) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \ sqrt(64)=-4; \end(poravnati)\]
Ovo je najjednostavnija opcija: korijeni su isti i neparni, jedini problem je što je drugi faktor negativan. Ovaj minus izvlačimo sa slike, nakon čega se sve lako izračunava.
Primjer 2: Pojednostavite izraz:
\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left((2)^(5)) \desno))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( poravnati)\]
Ovdje bi mnogi bili zbunjeni činjenicom da se rezultat pokazao kao iracionalan broj. Da, dešava se: nismo se mogli potpuno riješiti korijena, ali smo barem značajno pojednostavili izraz.
Primjer 3: Pojednostavite izraz:
\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \desno))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]
Želio bih da vam skrenem pažnju na ovaj zadatak. Ovdje postoje dvije tačke:
- Koren nije određeni broj ili stepen, već varijabla $a$. Na prvi pogled, ovo je malo neobično, ali u stvarnosti, kada se rješava matematički problemi Najčešće ćete morati da se nosite sa varijablama.
- Na kraju smo uspjeli “smanjiti” indikator radikalnosti i stepen radikalne ekspresije. Ovo se dešava prilično često. A to znači da je bilo moguće značajno pojednostaviti proračune ako niste koristili osnovnu formulu.
Na primjer, možete učiniti ovo:
\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^( 4)) \desno))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\end(poravnati)\]
Zapravo, sve transformacije su izvedene samo sa drugim radikalom. A ako ne opišete detaljno sve međukorake, na kraju će se količina izračuna značajno smanjiti.
U stvari, već smo se susreli sa sličnim zadatkom iznad kada smo rješavali primjer $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Sada se može napisati mnogo jednostavnije:
\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(poravnati)\]
Pa, riješili smo množenje korijena. Sada razmotrimo obrnutu operaciju: što učiniti kada postoji proizvod pod korijenom?