Kako riješiti linearne jednadžbe s korijenima. Metode rješavanja iracionalnih jednačina

Kvadratne jednačine se izučavaju u 8. razredu, tako da ovdje nema ništa komplikovano. Sposobnost njihovog rješavanja je apsolutno neophodna.

Kvadratna jednačina je jednačina oblika ax 2 + bx + c = 0, gdje su koeficijenti a, b i c proizvoljni brojevi, a a ≠ 0.

Prije proučavanja specifičnih metoda rješenja, imajte na umu da se sve kvadratne jednadžbe mogu podijeliti u tri klase:

Nemaju korijene;
Imati tačno jedan korijen;
Uzmi dva razni koreni.

Ovo je bitna razlika kvadratne jednadžbe od linearnih, gdje korijen uvijek postoji i jedinstven je. Kako odrediti koliko korijena ima jednačina? Postoji divna stvar za ovo - diskriminatorno.

Diskriminantno

Neka se da kvadratna jednačina ax 2 + bx + c = 0. Tada je diskriminanta jednostavno broj D = b 2 − 4ac.

Ovu formulu morate znati napamet. Odakle dolazi sada nije važno. Još jedna stvar je važna: po znaku diskriminanta možete odrediti koliko korijena ima kvadratna jednadžba. naime:

Ako je D< 0, корней нет;
Ako je D = 0, postoji tačno jedan korijen;
Ako je D > 0, postojaće dva korena.

Imajte na umu: diskriminant označava broj korijena, a ne njihove znakove, kako iz nekog razloga mnogi vjeruju. Pogledajte primjere i sve ćete sami razumjeti:

Zadatak. Koliko korijena imaju kvadratne jednadžbe:

x 2 − 8x + 12 = 0;

5x 2 + 3x + 7 = 0;

x 2 − 6x + 9 = 0.

Napišimo koeficijente za prvu jednačinu i pronađemo diskriminanta:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Dakle, diskriminant je pozitivan, tako da jednačina ima dva različita korijena. Analiziramo drugu jednačinu na sličan način:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Diskriminant je negativan, nema korijena. Zadnja preostala jednačina je:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminantno jednaka nuli- biće jedan koren.

Imajte na umu da su koeficijenti zapisani za svaku jednačinu. Da, dugo je, da, zamorno je, ali nećete miješati šanse i praviti glupe greške. Odaberite za sebe: brzinu ili kvalitet.

Usput, ako se snađete, nakon nekog vremena nećete morati zapisivati sve koeficijente. Takve operacije ćete izvoditi u svojoj glavi. Većina ljudi to počne raditi negdje nakon 50-70 riješenih jednačina - općenito, ne toliko.

Korijeni kvadratne jednadžbe

Sada pređimo na samo rješenje. Ako je diskriminanta D > 0, korijeni se mogu pronaći pomoću formula:

Osnovna formula za korijene kvadratne jednadžbe

Kada je D = 0, možete koristiti bilo koju od ovih formula - dobit ćete isti broj, što će biti odgovor. Konačno, ako D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 − 2x − 3 = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 12x + 36 = 0.

Prva jednadžba:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ jednadžba ima dva korijena. Hajde da ih pronađemo:

Druga jednadžba:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ jednadžba opet ima dva korijena. Hajde da ih nađemo

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(poravnati)\]

Konačno, treća jednačina:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ jednačina ima jedan korijen. Može se koristiti bilo koja formula. Na primjer, prvi:

Kao što možete vidjeti iz primjera, sve je vrlo jednostavno. Ako znate formule i znate računati, neće biti problema. Najčešće se greške javljaju prilikom zamjene negativnih koeficijenata u formulu. Ovdje će opet pomoći gore opisana tehnika: pogledajte formulu doslovno, zapišite svaki korak - i vrlo brzo ćete se riješiti grešaka.

Nepotpune kvadratne jednadžbe

Dešava se da se kvadratna jednačina malo razlikuje od onoga što je dato u definiciji. Na primjer:

x 2 + 9x = 0;
x 2 − 16 = 0.

Lako je primijetiti da ovim jednačinama nedostaje jedan od pojmova. Takve kvadratne jednadžbe još je lakše riješiti od standardnih: ne zahtijevaju čak ni izračunavanje diskriminanta. Dakle, hajde da predstavimo novi koncept:

Jednačina ax 2 + bx + c = 0 naziva se nepotpuna kvadratna jednačina ako je b = 0 ili c = 0, tj. koeficijent varijable x ili slobodnog elementa jednak je nuli.

Naravno, moguć je vrlo težak slučaj kada su oba ova koeficijenta jednaka nuli: b = c = 0. U ovom slučaju, jednačina ima oblik ax 2 = 0. Očigledno, takva jednačina ima jedan korijen: x = 0.

Razmotrimo preostale slučajeve. Neka je b = 0, onda ćemo dobiti nepotpunu kvadratnu jednačinu oblika ax 2 + c = 0. Transformirajmo je malo:

Budući da aritmetički kvadratni korijen postoji samo od nenegativnog broja, posljednja jednakost ima smisla samo za (−c /a) ≥ 0. Zaključak:

Ako je u nepotpunoj kvadratnoj jednadžbi oblika ax 2 + c = 0 nejednakost (−c /a) ≥ 0 zadovoljena, postojaće dva korena. Formula je data gore;
Ako (−c /a)< 0, корней нет.

Kao što vidite, diskriminant nije bio potreban – u nepotpunim kvadratnim jednačinama uopšte nema složenih proračuna. Zapravo, nije potrebno čak ni zapamtiti nejednakost (−c /a) ≥ 0. Dovoljno je izraziti vrijednost x 2 i vidjeti šta se nalazi na drugoj strani znaka jednakosti. Ako postoji pozitivan broj, bit će dva korijena. Ako je negativan, korijena uopće neće biti.

Pogledajmo sada jednačine oblika ax 2 + bx = 0, u kojima je slobodni element jednak nuli. Ovdje je sve jednostavno: uvijek će postojati dva korijena. Dovoljno je faktorisati polinom:

Odstranjivanje zajednički množitelj van zagrade

Proizvod je nula kada je barem jedan od faktora nula. Odatle potiču korijeni. U zaključku, pogledajmo nekoliko od ovih jednačina:

Zadatak. Riješite kvadratne jednadžbe:

x 2 − 7x = 0;

5x 2 + 30 = 0;

4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Nema korijena, jer kvadrat ne može biti jednak negativnom broju.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

Opštinska obrazovna ustanova

"Srednja škola Kuedino br. 2"

Rješenja iracionalne jednačine

Završila: Olga Egorova,

Supervizor:

Učitelju

matematika,

Najveca kvalifikacija

Uvod....……………………………………………………………………………………… 3

Odjeljak 1. Metode rješavanja iracionalnih jednačina…………………………………6

1.1 Rješavanje iracionalnih jednačina dijela C……….….….…………21

Odjeljak 2. Individualni zadaci…………………………………………….....………...24

Odgovori………………………………………………………………………………………….25

Bibliografija…….…………………………………………………………………….26

Uvod

Matematičko obrazovanje stekao u srednja škola, je bitna komponenta opšteg obrazovanja i opšte kulture savremeni čovek. Gotovo sve što okružuje modernog čovjeka nekako je povezano s matematikom. A najnovija dostignuća u fizici, inženjerstvu i informacionim tehnologijama nema sumnje da će i ubuduće stanje ostati isto. Stoga se rješavanje mnogih praktičnih problema svodi na rješavanje razne vrste jednadžbe koje morate naučiti rješavati. Jedna od ovih vrsta su iracionalne jednačine.

Iracionalne jednadžbe

Jednačina koja sadrži nepoznatu (ili racionalni algebarski izraz za nepoznatu) pod predznakom radikala naziva se iracionalna jednačina. U elementarnoj matematici rješenja iracionalnih jednačina nalaze se u skupu realnih brojeva.

Bilo koja iracionalna jednačina se može svesti na racionalnu algebarsku jednačinu koristeći elementarne algebarske operacije (množenje, dijeljenje, podizanje obje strane jednačine na cjelobrojni stepen). Treba imati na umu da se rezultirajuća racionalna algebarska jednadžba može pokazati kao neekvivalentna originalnoj iracionalnoj jednadžbi, naime, može sadržavati “dodatne” korijene koji neće biti korijeni originalne iracionalne jednačine. Stoga, nakon što smo pronašli korijene rezultirajućeg racionalnog algebarska jednačina, potrebno je provjeriti da li su svi korijeni racionalne jednadžbe korijeni iracionalne jednačine.

U općem slučaju, teško je naznačiti bilo kakvu univerzalnu metodu za rješavanje bilo koje iracionalne jednadžbe, jer je poželjno da, kao rezultat transformacije izvorne iracionalne jednadžbe, rezultat ne bude samo neka racionalna algebarska jednadžba, među korijenima koji će biti koreni date iracionalne jednačine, ali racionalna algebarska jednačina formirana od polinoma najmanjeg mogućeg stepena. Želja da se dobije ta racionalna algebarska jednadžba formirana od polinoma što manjeg stepena je sasvim prirodna, budući da se pronalaženje svih korijena racionalne algebarske jednadžbe samo po sebi može pokazati prilično teškim zadatkom, koji možemo u potpunosti riješiti samo u veoma ograničenom broju slučajeva.

Vrste iracionalnih jednačina

Rješavanje iracionalnih jednačina parnog stepena uvijek uzrokuje više problema nego rješavanje iracionalnih jednačina neparnog stepena. Prilikom rješavanja iracionalnih jednačina neparnog stepena, OD se ne mijenja. Stoga ćemo u nastavku razmatrati iracionalne jednačine čiji je stepen paran. Postoje dvije vrste iracionalnih jednačina:

2..

Razmotrimo prvu od njih.

ODZ jednadžbe: f(x)≥ 0. U ODZ lijeva strana jednadžba je uvijek nenegativna - stoga rješenje može postojati samo kada g(x)≥ 0. U ovom slučaju, obje strane jednačine nisu negativne, a eksponencijacija 2 n daje ekvivalentnu jednačinu. Shvatili smo to

Obratimo pažnju na činjenicu da u ovom slučaju ODZ se izvodi automatski, i ne morate ga napisati, već uslovg(x) ≥ 0 mora se provjeriti.

Bilješka: Ovo je veoma važan uslov ekvivalencija. Prvo, to studenta oslobađa potrebe da istražuje, a nakon pronalaženja rješenja provjeri uvjet f(x) ≥ 0 – nenegativnost radikalnog izraza. Drugo, fokusira se na provjeru stanjag(x) ≥ 0 – nenegativnost desne strane. Na kraju krajeva, nakon kvadriranja, jednadžba je riješena odnosno dvije jednadžbe se rješavaju odjednom (ali na različitim intervalima numeričke ose!):

1. - gdje g(x)≥ 0 i

2. - gdje je g(x) ≤ 0.

U međuvremenu, mnogi, iz školske navike da pronalaze ODZ, postupaju upravo suprotno kada rješavaju takve jednačine:

a) nakon pronalaženja rješenja provjeravaju uslov f(x) ≥ 0 (koji je automatski zadovoljen), pri čemu prave aritmetičke greške i dobijaju netačan rezultat;

b) zanemariti uslovg(x) ≥ 0 - i opet se odgovor može pokazati netačnim.

Bilješka: Uvjet ekvivalencije je posebno koristan pri rješavanju trigonometrijskih jednačina, u kojima pronalaženje ODZ uključuje rješavanje trigonometrijskih nejednačina, što je mnogo teže od rješavanja trigonometrijskih jednačina. Provjeri trigonometrijske jednačinečak i uslove g(x)≥ 0 nije uvijek lako izvesti.

Razmotrimo drugu vrstu iracionalnih jednačina.

. Neka je data jednadžba . Njegov ODZ:

U ODZ-u obje strane nisu negativne, a kvadriranje daje ekvivalentnu jednačinu f(x) =g(x). Dakle, u ODZ-u odn

Ovom metodom rješenja dovoljno je provjeriti nenegativnost jedne od funkcija - možete odabrati jednostavniju.

Odjeljak 1. Metode rješavanja iracionalnih jednačina

1 metoda. Riješiti se radikala uzastopnim podizanjem obje strane jednadžbe na odgovarajuću prirodnu snagu

Metoda koja se najčešće koristi za rješavanje iracionalnih jednačina je metoda eliminacije radikala sukcesivnim podizanjem obje strane jednadžbe na odgovarajuću prirodnu snagu. Treba imati na umu da kada se obje strane jednačine podignu na neparni stepen, rezultirajuća jednačina je ekvivalentna izvornoj, a kada se obje strane jednačine podignu na paran stepen, rezultirajuća jednačina će, općenito, govoreći, biti neekvivalentni originalnoj jednadžbi. Ovo se lako može provjeriti podizanjem obje strane jednadžbe na bilo koju parnu potenciju. Rezultat ove operacije je jednadžba , čiji je skup rješenja unija skupova rješenja: https://pandia.ru/text/78/021/images/image013_50.gif" width="95" height="21 src=">. Međutim , uprkos ovom nedostatku, to je postupak podizanja obje strane jednačine na neki (često čak) stepen koji je najčešći postupak za svođenje iracionalne jednačine na racionalnu jednačinu.

Riješite jednačinu:

Gdje - neki polinomi. Zbog definicije operacije vađenja korijena u skupu realnih brojeva, dozvoljene vrijednosti nepoznatog su https://pandia.ru/text/78/021/images/image017_32.gif" width="123 visina =21" height="21">..gif " width="243" height="28 src=">.

Budući da su obje strane jednadžbe 1 stavljene na kvadrat, može se ispostaviti da neće svi korijeni jednadžbe 2 biti rješenja originalne jednadžbe; potrebno je provjeriti korijene.

Riješite jednačinu:

https://pandia.ru/text/78/021/images/image021_21.gif" width="137" height="25">

Dobijamo kocke na obje strane jednačine

S obzirom da https://pandia.ru/text/78/021/images/image024_19.gif" width="195" height="27">(Posljednja jednadžba može imati korijene koji, općenito govoreći, nisu korijeni jednačina ).

Kockamo obje strane ove jednadžbe: . Prepisujemo jednačinu u obliku x3 – x2 = 0 ↔ x1 = 0, x2 = 1. Provjerom utvrđujemo da je x1 = 0 vanjski korijen jednadžbe (-2 ≠ 1), a x2 = 1 zadovoljava prvobitni jednačina.

odgovor: x = 1.

Metoda 2. Zamena susednog sistema uslova

Prilikom rješavanja iracionalnih jednačina koje sadrže radikale parnog reda, u odgovorima se mogu pojaviti strani korijeni, koje nije uvijek lako identificirati. Da bi se lakše identifikovali i odbacili strani koreni, prilikom rešavanja iracionalnih jednačina odmah se zamenjuje susednim sistemom uslova. Dodatne nejednakosti u sistemu zapravo uzimaju u obzir ODZ jednačine koja se rješava. ODZ možete pronaći zasebno i kasnije ga uzeti u obzir, ali je bolje koristiti mješovite sisteme uslova: manja je opasnost da se nešto zaboravi ili ne uzme u obzir u procesu rješavanja jednačine. Stoga je u nekim slučajevima racionalnije koristiti metodu prijelaza na mješovite sisteme.

Riješite jednačinu:

odgovor: https://pandia.ru/text/78/021/images/image029_13.gif" width="109 height=27" height="27">

Ova jednačina je ekvivalentna sistemu

odgovor: jednačina nema rješenja.

Metoda 3. Korištenje svojstava n-tog korijena

Prilikom rješavanja iracionalnih jednačina koriste se svojstva n-tog korijena. Aritmetički korijen n- th stepeni iz među A pozovite nenegativan broj n- i čija je snaga jednaka A. Ako n –čak ( 2n), tada a ≥ 0, inače korijen ne postoji. Ako n – neparan( 2 n+1), tada je a bilo koji i = - ..gif" width="45" height="19"> Zatim:

Prilikom primjene bilo koje od ovih formula, formalno (bez uzimanja u obzir navedenih ograničenja), treba imati na umu da VA lijevog i desnog dijela svake od njih može biti različita. Na primjer, izraz je definiran sa f ≥ 0 I g ≥ 0, a izraz je kao da f ≥ 0 I g ≥ 0, i sa f ≤ 0 I g ≤ 0.

Za svaku od formula 1-5 (bez uzimanja u obzir navedenih ograničenja), ODZ njegove desne strane može biti širi od ODZ lijeve. Iz toga slijedi da transformacije jednadžbe uz formalnu upotrebu formula 1-5 “slijeva na desno” (kako su napisane) dovode do jednačine koja je posljedica izvorne. U ovom slučaju mogu se pojaviti strani korijeni originalne jednadžbe, pa je provjera obavezan korak u rješavanju izvorne jednačine.

Transformacije jednadžbi uz formalnu upotrebu formula 1-5 “s desna na lijevo” su neprihvatljive, jer je moguće procijeniti OD izvorne jednadžbe, a samim tim i gubitak korijena.

https://pandia.ru/text/78/021/images/image041_8.gif" width="247" height="61 src=">,

što je posledica originalnog. Rješavanje ove jednadžbe svodi se na rješavanje skupa jednadžbi .

Iz prve jednadžbe ovog skupa nalazimo https://pandia.ru/text/78/021/images/image044_7.gif" width="89" height="27"> odakle nalazimo. Dakle, korijeni ova jednadžba mogu biti samo brojevi (-1) i (-2). Provjera pokazuje da oba pronađena korijena zadovoljavaju ovu jednačinu.

odgovor: -1,-2.

Riješite jednačinu: .

Rješenje: na osnovu identiteta, zamijenite prvi pojam sa . Imajte na umu da kao zbir dva nenegativna broja na lijevoj strani. “Uklonite” modul i, nakon što dovedete slične članove, riješite jednačinu. Pošto , dobijamo jednačinu . Pošto , zatim https://pandia.ru/text/78/021/images/image055_6.gif" width="89" height="27 src=">.gif" width="39" height="19 src= " >.gif" width="145" height="21 src=">

odgovor: x = 4,25.

Metoda 4 Uvođenje novih varijabli

Drugi primjer rješavanja iracionalnih jednačina je metoda uvođenja novih varijabli, u odnosu na koju se dobija ili jednostavnija iracionalna jednačina ili racionalna jednačina.

Rješavanje iracionalnih jednadžbi zamjenom jednadžbe njenom posljedicom (slijedom toga provjera korijena) može se obaviti na sljedeći način:

1. Pronađite ODZ izvorne jednadžbe.

2. Idite od jednadžbe do njene posljedice.

3. Pronađite korijene rezultirajuće jednačine.

4. Provjerite jesu li pronađeni korijeni korijeni originalne jednadžbe.

Provjera je sljedeća:

A) provjerava se pripadnost svakog pronađenog korijena izvornoj jednadžbi. Oni korijeni koji ne pripadaju ODZ-u su strani originalnoj jednadžbi.

B) za svaki korijen koji je uključen u ODZ izvorne jednačine, provjerava se da li lijeva i desna strana svake od jednadžbi nastale u procesu rješavanja izvorne jednačine i podignute na paran stepen imaju iste predznake. Oni korijeni za koje imaju dijelovi bilo koje jednadžbe podignuti na paran stepen različiti znakovi, su strani originalnoj jednadžbi.

C) samo oni korijeni koji pripadaju ODZ-u izvorne jednadžbe i za koje obje strane svake od jednadžbi koje nastaju u procesu rješavanja izvorne jednačine i podignute na paran stepen imaju iste predznake provjeravaju se direktnom zamjenom u originalna jednadžba.

Ova metoda rješenja sa navedenom metodom verifikacije omogućava izbjegavanje glomaznih proračuna u slučaju direktne zamjene svakog od pronađenih korijena posljednje jednačine u originalni.

Riješite iracionalnu jednačinu:

Gomila prihvatljive vrijednosti ova jednačina:

Stavljajući , nakon zamjene dobijamo jednačinu

ili ekvivalentna jednačina

koja se može smatrati kvadratnom jednačinom u odnosu na. Rješavajući ovu jednačinu, dobijamo

Dakle, skup rješenja originalne iracionalne jednadžbe je unija skupova rješenja sljedeće dvije jednadžbe:

, .

Podižući obje strane svake od ovih jednačina na kocku, dobivamo dvije racionalne algebarske jednadžbe:

, .

Rješavajući ove jednačine, nalazimo da ova iracionalna jednačina ima jedan korijen x = 2 (nije potrebna provjera, jer su sve transformacije ekvivalentne).

odgovor: x = 2.

Riješite iracionalnu jednačinu:

Označimo 2x2 + 5x – 2 = t. Tada će originalna jednačina poprimiti oblik . Kvadriranjem obe strane rezultirajuće jednačine i dovođenjem sličnih članova, dobijamo jednačinu koja je posledica prethodne. Iz toga nalazimo t=16.

Vraćajući se na nepoznato x, dobijamo jednačinu 2x2 + 5x – 2 = 16, koja je posljedica prvobitne. Provjerom smo uvjereni da su njeni korijeni x1 = 2 i x2 = - 9/2 korijeni izvorne jednadžbe.

odgovor: x1 = 2, x2 = -9/2.

5 metoda. Identična transformacija jednačine

Kada rješavate iracionalne jednadžbe, ne biste trebali započeti rješavanje jednadžbe podizanjem obje strane jednadžbe na prirodni stepen, pokušavajući svesti rješenje iracionalne jednadžbe na rješenje racionalne algebarske jednadžbe. Prvo moramo vidjeti da li je moguće napraviti neku identičnu transformaciju jednačine koja može značajno pojednostaviti njeno rješenje.

Riješite jednačinu:

Skup prihvatljivih vrijednosti za ovu jednačinu: https://pandia.ru/text/78/021/images/image074_1.gif" width="292" height="45"> Podijelimo ovu jednačinu sa .

Dobijamo:

Kada je a = 0, jednadžba neće imati rješenja; kada se jednačina može napisati kao

jer ova jednačina nema rješenja, jer za bilo koje X, koji pripada skupu dozvoljenih vrijednosti jednadžbe, izraz na lijevoj strani jednačine je pozitivan;

kada jednačina ima rješenje

Uzimajući u obzir da je skup dopuštenih rješenja jednadžbe određen uvjetom , konačno dobivamo:

Prilikom rješavanja ove iracionalne jednadžbe https://pandia.ru/text/78/021/images/image084_2.gif" width="60" height="19"> rješenje jednadžbe će biti. Za sve ostale vrijednosti X jednačina nema rješenja.

PRIMJER 10:

Riješite iracionalnu jednačinu: https://pandia.ru/text/78/021/images/image086_2.gif" width="381" height="51">

Rešavanjem kvadratne jednačine sistema dobijaju se dva korena: x1 = 1 i x2 = 4. Prvi od rezultujućih korena ne zadovoljava nejednakost sistema, dakle x = 4.

Bilješke

1) Izvođenje identičnih transformacija omogućava vam da to učinite bez provjere.

2) Nejednakost x – 3 ≥0 se odnosi na transformacije identiteta, a ne na domen definicije jednačine.

3) Na lijevoj strani jednačine je opadajuća funkcija, a na desnoj strani ove jednačine je rastuća. Grafovi opadajućih i rastućih funkcija na preseku njihovih domena definicije ne mogu imati više od jedne zajedničke tačke. Očigledno, u našem slučaju x = 4 je apscisa tačke preseka grafova.

odgovor: x = 4.

6 metoda. Korištenje domene funkcija za rješavanje jednačina

Ova metoda je najefikasnija pri rješavanju jednačina koje uključuju funkcije https://pandia.ru/text/78/021/images/image088_2.gif" width="36" height="21 src="> i pronalaženju definicija njegovih površina (f)..gif" width="53" height="21"> .gif" width="88" height="21 src=">, onda je potrebno provjeriti da li je jednadžba tačna na krajevima intervala, te da li je< 0, а b >0, tada je potrebno provjeravati u intervalima (a;0) I . Najmanji cijeli broj u E(y) je 3.

Odgovori: x = 3.

8 metoda. Primjena derivacije u rješavanju iracionalnih jednačina

Najčešća metoda koja se koristi za rješavanje jednadžbi metodom derivacije je metoda procjene.

PRIMJER 15:

Riješite jednačinu: (1)

Rješenje: Pošto https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29">, ili (2). Razmotrite funkciju ..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> uopće i samim tim se povećava. Stoga jednačina je ekvivalentan jednadžbi koja ima korijen koji je korijen originalne jednačine.

odgovor:

PRIMJER 16:

Riješite iracionalnu jednačinu:

Domen funkcije je segment. Hajde da pronađemo najveće i najmanju vrijednost vrijednosti ove funkcije na intervalu. Da bismo to učinili, nalazimo derivaciju funkcije f(x): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19">. Nađimo vrijednosti funkcije f(x) na krajevima segmenta i u tački: Dakle, Ali i, stoga, jednakost je moguća samo ako https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" height= "19 src=" >. Provjera pokazuje da je broj 3 korijen ove jednadžbe.

odgovor: x = 3.

9 metoda. Funkcionalni

Na ispitima ponekad traže da riješite jednadžbe koje se mogu napisati u obliku , gdje je funkcija.

Na primjer, neke jednadžbe: 1) 2) . Zaista, u prvom slučaju , u drugom slučaju . Stoga, riješite iracionalne jednadžbe koristeći sljedeću izjavu: ako je funkcija striktno rastuća na skupu X i za bilo koji , tada su jednadžbe, itd. ekvivalentne na skupu X .

Riješite iracionalnu jednačinu: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> striktno se povećava na setu R, i https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src=" > koji ima jedan korijen. Dakle, jednakost (1) koja joj je ekvivalentna također ima jedan korijen

odgovor: x = 3.

PRIMJER 18:

Riješite iracionalnu jednačinu: (1)

Po definiciji kvadratni korijen nalazimo da ako jednačina (1) ima korijene, onda oni pripadaju skupu https://pandia.ru/text/78/021/images/image159_0.gif" width="163" height="47">. ( 2)

Uzmite u obzir da se funkcija https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21"> striktno povećava na ovom skupu za bilo koji ..gif" width="100" visina ="41"> koji ima jedan korijen Dakle, i njegov ekvivalent na skupu X jednačina (1) ima jedan korijen

odgovor: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">

Rješenje: Ova jednačina je ekvivalentna mješovitom sistemu

Neki školarci zaista ne vole jednadžbe i probleme u kojima se pojavljuje korijenski znak. Ali rješavanje primjera iz korijena nije tako teško, važno je znati s koje strane pristupiti problemu. Sama ikona, koja označava vađenje korijena, naziva se radikalom. Kako riješiti korijene? Izdvojiti kvadratni korijen broja znači odabrati broj koji će, kada se kvadrira, dati istu vrijednost pod predznakom radikala.

Dakle, kako riješiti kvadratne korijene

Rješavanje kvadratnih korijena je jednostavno. Na primjer, trebate shvatiti koliki je korijen od 16. Da biste riješili ovaj jednostavan primjer, morate zapamtiti koliko je 2 na kvadrat - 2 2, zatim 3 2 i na kraju 4 2. Tek sada ćemo vidjeti da rezultat (16) odgovara zahtjevu. To jest, da bismo izdvojili korijen, morali smo odabrati moguće vrijednosti. Pokazalo se da ne postoji tačan i dokazan algoritam za rješavanje korijena. Kako bi olakšali rad "rješavača", matematičari preporučuju pamćenje (precizno napamet, poput tablice množenja) vrijednosti kvadrata brojeva do dvadeset. Tada će biti moguće lako izdvojiti korijen brojeva koji su veći od sto. I, naprotiv, odmah možete vidjeti da se korijen ne može izdvojiti iz ovog broja, odnosno odgovor neće biti cijeli broj.

Shvatili smo kako riješiti kvadratne korijene. Sada da shvatimo koji kvadratni korijeni nemaju rješenja. Na primjer, negativni brojevi. Ovdje je jasno da ako dva negativni brojevi množi - odgovor će biti sa znakom plus. Evo šta biste trebali znati: Korijen se može izdvojiti iz bilo kojeg broja (osim negativnog, kao što je gore spomenuto). Samo bi se odgovor mogao okrenuti decimalni. Odnosno, sadrže određeni broj cifara iza decimalnog zareza. Na primjer, korijen od dva ima vrijednost 1,41421 i to nisu svi brojevi nakon decimalnog zareza. Takve vrijednosti su zaokružene radi lakšeg izračunavanja, ponekad na drugu decimalu, ponekad na treću ili četvrtu. Osim toga, često se prakticira da se broj ostavi ispod korijena kao odgovor ako izgleda dobro i kompaktno. Uostalom, već je jasno šta to znači.

Kako riješiti jednadžbe s korijenima?

Da biste riješili jednadžbe s korijenima, trebate koristiti jednu od metoda koje nismo izmislili. Na primjer, kvadrirajte obje strane takve jednadžbe. Na primjer:

Korijen od X+3=5

Kvadratirajmo lijevu i desnu stranu jednadžbe:

Sada možete vidjeti kako riješiti ovu jednačinu. Prvo, hajde da saznamo čemu je X 2 jednako (i jednako je 16), a zatim uzmimo njegov korijen. Odgovor: 4. Međutim, ovdje vrijedi reći da ova jednačina zapravo ima dva rješenja, dva korijena: 4 i -4. Uostalom, -4 na kvadrat također daje 16.

Osim ove metode, ponekad je privlačnije i zgodnije zamijeniti varijablu koja se nalazi ispod korijena drugom promjenljivom kako biste se riješili ovog korijena.

Y = korijen od X.

Nakon toga, nakon rješavanja jednačine, vraćamo se na zamjenu i završavamo proračune s korijenom.

Odnosno, dobijamo X = Y 2. I ovo će biti rješenje.

Treba reći da postoji još nekoliko tehnika za rješavanje jednačina s korijenima.

Kako riješiti korijene u moćima?

Radikal, koji nema snagu u svojoj osnovi, znači da trebate uzeti kvadratni korijen izraza ili broja, odnosno kvadratnu snagu obrnuto. To je jednostavno i jasno. Na primjer: korijen od 9 = 3, (i 3 2 = 9), korijen od 16 = 4 (4 2 = 16) i sve u istom duhu. Ali šta to znači ako korijen ima diplomu? To znači da je potrebno, opet, izvršiti radnju suprotnu od podizanja istog na ovu moć. Na primjer, trebate saznati vrijednost kubnog korijena od 27.
Da biste to uradili, potrebno je da izaberete broj koji će, kada se kocka, dati 27. Ovo je 3 (3*3*3=27).

korijen 3 od 27 = 3

Slične radnje potrebno je izvršiti ako je stepen korijena 4, 5. Samo u ovom slučaju potrebno je odabrati broj koji se podiže na stepen nće dati vrijednost ispod korijena n-th stepen.

Ovdje se mora reći da se stupnjevi korijena i stepeni radikalnih izraza mogu smanjiti. Međutim, prema pravilima. Ako broj ili varijabla ispod korijena ima stepen koji je višestruki od korijena, mogu se smanjiti. Na primjer:

korijen 3 od X 6 = X 2

Ova pravila za postupanje s korijenima i moćima su jednostavna; morate ih jasno znati i tada će izračun biti jednostavan. Shvatili smo kako riješiti korijene do određenog stepena, sada idemo dalje.

Kako riješiti korijen ispod korijena?

Ovaj strašni izraz je korijen po korijen i na prvi pogled se ne može riješiti. Ali da biste ispravno izračunali vrijednost takvog izraza, morate znati svojstva korijena. U ovom slučaju, trebate samo zamijeniti dva korijena jednim. Da biste to učinili, stepene ovih radikala treba jednostavno pomnožiti. Na primjer:

korijen 3 od korijena 729 = (korijen 3 * korijen 2) od 729

To jest, ovdje smo pomnožili kubni korijen kvadratnim korijenom. Kao rezultat, dobili smo šesti korijen:

korijen 6 od 729 = 3

Drugim sličnim korijenima ispod korijena treba se adresirati na isti način.

Uzimajući u obzir sve predložene primjere, lako se složiti da rješavanje korijena nije tako težak zadatak. Naravno, kada je u pitanju jednostavna, banalna aritmetika, ponekad je lakše koristiti poznati kalkulator. Međutim, prije izračunavanja, morate učiniti sve što je moguće da sebi pojednostavite zadatak, smanjujući broj i složenost aritmetičkih izračuna što je više moguće. Tada će rješenje postati jednostavno i, što je najvažnije, zanimljivo.

Svaka nova radnja u matematici momentalno generiše svoju suprotnost. Nekada davno, stari Grci su otkrili da će kvadratni komad zemlje dužine 2 metra i širine 2 metra imati površinu 2*2 = 4 kvadratna metra (u daljem tekstu će se označavati m^2). Sada, naprotiv, ako bi Grk znao da je njegova parcela kvadratna i da ima površinu od 4 m^2, kako bi znao koja je dužina i širina njegove parcele? Uvedena je operacija koja je bila inverzna operaciji kvadriranja i postala je poznata kao ekstrakcija kvadratnog korijena. Ljudi su počeli da shvataju da je 2 na kvadrat (2^2) jednako 4. Obrnuto, kvadratni koren od 4 (u daljem tekstu √(4)) će biti jednak dva. Modeli su postali složeniji, a zapisi koji opisuju procese s korijenima također su postali složeniji. Mnogo puta se postavljalo pitanje: kako riješiti jednačinu s korijenom.

Neka određena vrijednost x, kada se pomnoži sam sa sobom jednom, daje 9. Ovo se može napisati kao x*x=9. Ili kroz stepen: x^2=9. Da biste pronašli x, morate uzeti korijen od 9, što je u određenoj mjeri već jednačina s radikalom: x=√(9) . Korijen se može ekstrahirati oralno ili pomoću kalkulatora. Zatim bismo trebali razmotriti inverzni problem. Određena veličina, kada se iz nje uzme kvadratni korijen, daje vrijednost 7. Ako to zapišemo u obliku iracionalne jednadžbe, dobijamo: √(x) = 7. Za rješavanje ovog problema potrebno je kvadrirati obe strane izraza. S obzirom da je √(x) *√(x) =x, ispada da je x = 49. Korijen je odmah spreman u svom čistom obliku. Zatim moramo pogledati više složeni primjeri jednadžbe sa korijenima.

Oduzmimo 5 od određene količine, a zatim povisimo izraz na stepen 1/2. Kao rezultat, dobijen je broj 3. Sada ovo stanje mora biti zapisano kao jednačina: √(x-5) =3. Zatim treba svaki dio jednačine pomnožiti sam za sebe: x-5 = 3. Nakon podizanja na drugi stepen, izraz je oslobođen radikala. Sada vrijedi riješiti najjednostavniju linearnu jednačinu pomicanjem pet na desna strana i menja svoj predznak. x = 5+3. x = 8. Nažalost, ne mogu se svi životni procesi opisati tako jednostavnim jednačinama. Vrlo često možete pronaći izraze s nekoliko radikala; ponekad stepen korijena može biti veći od drugog. Ne postoji jedinstveni algoritam rješenja za takve identitete. Vrijedno je tražiti poseban pristup svakoj jednadžbi. Naveden je primjer u kojem jednačina sa korijenom ima treći stepen.

Kubni korijen će biti označen sa 3√. Pronađite zapreminu posude u obliku kocke sa stranom od 5 metara. Neka je volumen x m^3. Tada će kubni korijen volumena biti jednak strani kocke i jednak pet metara. Rezultirajuća jednačina je: 3√(x) =5. Da biste to riješili, trebate oba dijela podići na treći stepen, x = 125. Odgovor: 125 kubnih metara. Ispod je primjer jednadžbe sa zbirom korijena. √(x) +√(x-1) =5. Prvo morate kvadrirati oba dijela. Da biste to učinili, vrijedi zapamtiti skraćenu formulu množenja za kvadrat zbira: (a+b) ^2=a^2+2*ab+b^2. Primjenjujući ovo na jednačinu, dobijamo: x + 2*√(x) *√(x-1) + x-1 = 25. Zatim se korijeni ostavljaju na lijevoj strani, a sve ostalo se prenosi na desnu : 2*√(x) *√ (x-1) = 26 - 2x. Pogodno je podijeliti obje strane izraza sa 2: √((x) (x-1)) = 13 - x. Dobija se jednostavnija iracionalna jednačina.

Zatim, obje strane treba ponovo kvadrirati: x*(x-1) = 169 - 26x + x^2. Potrebno je otvoriti zagrade i donijeti slične pojmove: x^2 - x = 169 - 26x + x^2. Drugi stepen nestaje, dakle 25x = 169. x = 169/25 = 6,6. Provjerom, zamjenom rezultirajućeg korijena u originalnu jednačinu: √(6.6) +√(6.6-1) = 2.6 + √(5.6) = 2.6 + 2.4 = 5, možete dobiti zadovoljavajući odgovor. Takođe je veoma važno shvatiti da izraz sa korenom parnog stepena ne može biti negativan. Zaista, množenjem bilo kojeg broja sam po sebi paran broj puta, nemoguće je dobiti vrijednost manje od nule. Prema tome, jednadžbe kao što je √(x^2+7x-11) = -3 mogu se sigurno ne rješavati, već se mogu napisati da jednačina nema korijena. Kao što je gore spomenuto, rješavanje jednačina s radikalima može imati različite oblike.

Jednostavan primjer jednačine gdje je potrebno mijenjati varijable. √(y) - 5*4√(y) +6 = 0, gdje je 4√(y) četvrti korijen od y. Predložena zamjena izgleda ovako: x = 4√(y) . Nakon što ovo uradimo, dobijamo: x^2 - 5x + 6 = 0. Dobije se rezultujuća kvadratna jednačina. Njegova diskriminanta: 25 - 4*6 = 25 - 24 = 1. Prvi korijen x1 bit će jednak (5 + √1) /2 = 6/2 = 3. Drugi korijen x2 = (5 - √1) / 2 = 4/ 2 = 2. Korijene možete pronaći i korištenjem posljedica Vietine teoreme. Korijeni su pronađeni, potrebno je izvršiti obrnutu zamjenu. 4√(y) = 3, dakle y1 = 1.6. Takođe 4√(y) = 2, uzimajući 4. korijen ispada da je y2 = 1,9. Vrijednosti izračunate pomoću kalkulatora. Ali ne morate ih raditi, ostavljajući odgovor u obliku radikala.

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.
Koje lične podatke prikupljamo:
Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu Email itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:
Prikupljeno od nas lična informacija nam omogućava da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.

S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
Također možemo koristiti lične podatke za interne svrhe kao što su revizija, analiza podataka i razne studije u cilju poboljšanja usluga koje pružamo i pružanja preporuka u vezi sa našim uslugama.

Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, pravnim postupkom, odnosno na osnovu javnog zahtjeva ili zahtjeva vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.

U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.