Prilikom rješavanja jednačina i nejednačina često je potrebno faktorizirati polinom čiji je stepen tri ili veći. U ovom članku ćemo pogledati najlakši način da to učinite.
Kao i obično, okrenimo se teoriji za pomoć.
Bezoutova teorema navodi da je ostatak pri dijeljenju polinoma binomom .
Ali ono što nam je važno nije sama teorema, već zaključak iz toga:
Ako je broj korijen polinoma, tada je polinom djeljiv binomom bez ostatka.
Suočeni smo sa zadatkom da nekako pronađemo barem jedan korijen polinoma, a zatim podijelimo polinom sa , gdje je korijen polinoma. Kao rezultat, dobijamo polinom čiji je stepen za jedan manji od stepena prvobitnog. A onda, ako je potrebno, možete ponoviti postupak.
Ovaj zadatak se dijeli na dva: kako pronaći korijen polinoma i kako podijeliti polinom binomom.
Pogledajmo bliže ove tačke.
1. Kako pronaći korijen polinoma.
Prvo provjeravamo da li su brojevi 1 i -1 korijeni polinoma.
Ovdje će nam pomoći sljedeće činjenice:
Ako je zbir svih koeficijenata polinoma nula, tada je broj korijen polinoma.
Na primjer, u polinomu zbroj koeficijenata je nula: . Lako je provjeriti koji je korijen polinoma.
Ako je zbir koeficijenata polinoma na parnim stepenima jednak zbiru koeficijenata na neparnim stepenima, tada je broj korijen polinoma. Slobodni termin se smatra koeficijentom za paran stepen, jer je , a paran broj.
Na primjer, u polinomu zbir koeficijenata za parne stepene je: , a zbir koeficijenata za neparne stepene je: . Lako je provjeriti koji je korijen polinoma.
Ako ni 1 ni -1 nisu korijeni polinoma, idemo dalje.
Za redukovani polinom stepena (tj. polinom u kojem je vodeći koeficijent - koeficijent at - jednak jedinici), vrijedi Vieta formula:
Gdje su korijeni polinoma.
Postoje i Vietine formule za preostale koeficijente polinoma, ali nas zanima ova.
Iz ove Vieta formule slijedi da ako su korijeni polinoma cijeli brojevi, onda su oni djelitelji njegovog slobodnog člana, koji je također cijeli broj.
Na osnovu ovoga, trebamo rastaviti slobodni član polinoma na faktore, i uzastopno, od najmanjeg do najvećeg, provjeriti koji od faktora je korijen polinoma.
Razmotrimo, na primjer, polinom
Dijelitelji slobodnog pojma: ; ; ;
Zbir svih koeficijenata polinoma je jednak , dakle, broj 1 nije korijen polinoma.
Zbir koeficijenata za parne stepene:
Zbir koeficijenata za neparne stepene:
Dakle, broj -1 također nije korijen polinoma.
Provjerimo da li je broj 2 korijen polinoma: dakle, broj 2 je korijen polinoma. To znači, prema Bezoutovoj teoremi, polinom je djeljiv binomom bez ostatka.
2. Kako podijeliti polinom na binom.
Polinom se može podijeliti na binom pomoću stupca.
Podijelite polinom binomom koristeći stupac:
Postoji još jedan način da se polinom podijeli binomom - Hornerova shema.
Pogledajte ovaj video da shvatite kako podijeliti polinom binomom sa stupcem i korištenjem Hornerove sheme.
Napominjem da ako, prilikom dijeljenja kolonom, nedostaje neki stepen nepoznate u originalnom polinomu, na njegovo mjesto upisujemo 0 - na isti način kao kada sastavljamo tablicu za Hornerovu shemu.
Dakle, ako trebamo podijeliti polinom binomom i kao rezultat dijeljenja dobijemo polinom, tada možemo pronaći koeficijente polinoma koristeći Hornerovu shemu:
Možemo i koristiti Horner shema kako bismo provjerili je li dati broj korijen polinoma: ako je broj korijen polinoma, tada je ostatak pri dijeljenju polinoma jednak nuli, odnosno u posljednjoj koloni drugog reda Hornerov dijagram dobijamo 0.
Koristeći Hornerovu shemu, "ubijamo dvije muhe jednim udarcem": istovremeno provjeravamo da li je broj korijen polinoma i dijelimo ovaj polinom binomom.
Primjer. Riješite jednačinu:
1. Zapišimo djelitelje slobodnog člana i potražimo korijene polinoma među djeliteljima slobodnog člana.
Delitelji 24:
2. Provjerimo da li je broj 1 korijen polinoma.
Zbir koeficijenata polinoma, dakle, broj 1 je korijen polinoma.
3. Podijelite originalni polinom na binom koristeći Hornerovu shemu.
A) Zapišimo koeficijente originalnog polinoma u prvom redu tabele.
Budući da nedostaje termin koji sadrži, u kolonu tabele u koju treba upisati koeficijent upisujemo 0. Na lijevoj strani upisujemo pronađeni korijen: broj 1.
B) Popunite prvi red tabele.
U posljednjoj koloni, očekivano, dobili smo nulu; originalni polinom podijelili smo binomom bez ostatka. Koeficijenti polinoma koji nastaju dijeljenjem prikazani su plavom bojom u drugom redu tabele:
Lako je provjeriti da brojevi 1 i -1 nisu korijeni polinoma
B) Nastavimo sa tabelom. Provjerimo da li je broj 2 korijen polinoma:
Dakle, stepen polinoma, koji se dobija kao rezultat dijeljenja sa jedan, manji je od stepena originalnog polinoma, dakle, broj koeficijenata i broj kolona su za jedan manji.
U posljednjoj koloni dobili smo -40 - broj koji nije jednak nuli, dakle, polinom je djeljiv binomom s ostatkom, a broj 2 nije korijen polinoma.
C) Provjerimo da li je broj -2 korijen polinoma. Budući da prethodni pokušaj nije uspio, da izbjegnem zabunu s koeficijentima, obrisati ću red koji odgovara ovom pokušaju:
Odlično! Dobili smo nulu kao ostatak, dakle, polinom je podijeljen na binom bez ostatka, dakle, broj -2 je korijen polinoma. Koeficijenti polinoma koji se dobijaju dijeljenjem polinoma binomom prikazani su zelenom bojom u tabeli.
Kao rezultat dijeljenja dobijamo kvadratni trinom 
, čiji se korijeni lako mogu pronaći pomoću Vietine teoreme:
Dakle, korijeni originalne jednadžbe su:
{
}
Odgovor: ( 
}
Dato je 8 primjera faktoring polinoma. Oni uključuju primjere rješavanja kvadratnih i bikvadratnih jednadžbi, primjere recipročnih polinoma i primjere pronalaženja cjelobrojnih korijena polinoma trećeg i četvrtog stepena.
1. Primjeri rješavanja kvadratne jednadžbe
Primjer 1.1
x 4 + x 3 - 6 x 2.
Rješenje
Izvlačimo x 2
izvan zagrada:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Korijeni jednadžbe:
, .
.
Odgovori
Primjer 1.2
Faktor polinoma trećeg stepena:
x 3 + 6 x 2 + 9 x.
Rješenje
Izvadimo x iz zagrada:
.
Hajde da odlučimo kvadratna jednačina x 2 + 6 x + 9 = 0:
Njegov diskriminant: .
Pošto je diskriminanta nula, korijeni jednadžbe su višekratnici: ;
.
Iz ovoga dobijamo faktorizaciju polinoma:
.
Odgovori
Primjer 1.3
Faktor polinoma petog stepena:
x 5 - 2 x 4 + 10 x 3.
Rješenje
Izvlačimo x 3
izvan zagrada:
.
Rješavanje kvadratne jednadžbe x 2 - 2 x + 10 = 0.
Njegov diskriminant: .
Pošto je diskriminant manje od nule, tada su korijeni jednadžbe složeni: ;
, .
Faktorizacija polinoma ima oblik:
.
Ako nas zanima faktorizacija sa realnim koeficijentima, onda:
.
Odgovori
Primjeri faktoringa polinoma korištenjem formula
Primjeri sa bikvadratnim polinomima
Primjer 2.1
Faktor bikvadratni polinom:
x 4 + x 2 - 20.
Rješenje
Primijenimo formule:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b).
;
.
Odgovori
Primjer 2.2
Faktori polinom koji se svodi na bikvadratni:
x 8 + x 4 + 1.
Rješenje
Primijenimo formule:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b):
;
;
.
Odgovori
Primjer 2.3 sa rekurentnim polinomom
Faktor recipročnog polinoma:
.
Rješenje
Recipročni polinom ima neparan stepen. Stoga ima korijen x = - 1
. Podijelite polinom sa x - (-1) = x + 1. Kao rezultat dobijamo:
.
Napravimo zamjenu:
, ;
;
;
.
Odgovori
Primjeri faktoringa polinoma sa cjelobrojnim korijenima
Primjer 3.1
Faktor polinoma:
.
Rješenje
Pretpostavimo da je jednačina
6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6
.
(-6) 3 - 6·(-6) 2 + 11·(-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6·(-3) 2 + 11·(-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6·(-2) 2 + 11·(-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6·(-1) 2 + 11·(-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.
Dakle, pronašli smo tri korijena:
x 1 = 1
, x 2 = 2
, x 3 = 3
.
Pošto je originalni polinom trećeg stepena, on nema više od tri korena. Pošto smo pronašli tri korijena, oni su jednostavni. Onda
.
Odgovori
Primjer 3.2
Faktor polinoma:
.
Rješenje
Pretpostavimo da je jednačina
ima barem jedan cijeli korijen. Tada je to djelitelj broja 2
(član bez x). To jest, cijeli korijen može biti jedan od brojeva:
-2, -1, 1, 2
.
Ove vrijednosti zamjenjujemo jednu po jednu:
(-2) 4 + 2·(-2) 3 + 3·(-2) 3 + 4·(-2) + 2 = 6
;
(-1) 4 + 2·(-1) 3 + 3·(-1) 3 + 4·(-1) + 2 = 0
;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54
.
Ako pretpostavimo da ova jednadžba ima cjelobrojni korijen, onda je ona djelitelj broja 2
(član bez x). To jest, cijeli korijen može biti jedan od brojeva:
1, 2, -1, -2
.
Zamenimo x = -1
:
.
Dakle, pronašli smo još jedan korijen x 2
= -1
. Bilo bi moguće, kao iu prethodnom slučaju, polinom podijeliti sa , ali ćemo grupisati pojmove:
.
Budući da je jednačina x 2 + 2 = 0 nema pravih korijena, tada faktorizacija polinoma ima oblik.
Šta se desilo faktorizacija? Ovo je način da se nezgodan i složen primjer pretvori u jednostavan i sladak.) Vrlo moćna tehnika! Nalazi se na svakom koraku kako u osnovnoj tako i u višoj matematici.
Takve transformacije u matematičkom jeziku nazivaju se identičnim transformacijama izraza. Za one koji nisu upoznati, pogledajte link. Tu je vrlo malo, jednostavno i korisno.) Značenje svake transformacije identiteta je snimanje izraza u drugom obliku zadržavajući svoju suštinu.
Značenje faktorizacija krajnje jednostavno i jasno. Odmah iz samog imena. Možda ćete zaboraviti (ili ne znate) šta je množitelj, ali možete shvatiti da ova riječ dolazi od riječi "množiti"?) Faktoring znači: predstavljaju izraz u obliku množenja nečega nečim. Neka mi oproste matematika i ruski jezik...) To je sve.
Na primjer, trebate proširiti broj 12. Možete sigurno napisati:
Dakle, predstavili smo broj 12 kao množenje 3 sa 4. Imajte na umu da su brojevi na desnoj strani (3 i 4) potpuno drugačiji nego na lijevoj (1 i 2). Ali mi savršeno dobro razumijemo da su 12 i 3 4 isto. Suština broja 12 iz transformacije nije se promijenilo.
Da li je moguće razložiti 12 drugačije? Lako!
12=3·4=2·6=3·2·2=0,5·24=........
Opcije dekompozicije su beskrajne.
Faktoring brojeva je korisna stvar. Mnogo pomaže, na primjer, kada radite s korijenima. Ali faktoriranje algebarskih izraza nije samo korisno, nego jeste neophodno! Samo na primjer:
Pojednostavite:
Oni koji ne znaju kako da faktorizuju izraz ostaju po strani. Oni koji znaju kako - pojednostavite i dobiju:
Efekat je nevjerovatan, zar ne?) Inače, rješenje je prilično jednostavno. Uvjerićete se u nastavku. Ili, na primjer, ovaj zadatak:
Riješite jednačinu:
x 5 - x 4 = 0
Usput, odlučuje se u mislima. Korištenje faktorizacije. U nastavku ćemo riješiti ovaj primjer. odgovor: x 1 = 0; x 2 = 1.
Ili, ista stvar, ali za starije):
Riješite jednačinu:
U ovim primjerima sam pokazao glavna svrha faktorizacija: pojednostavljivanje frakcijskih izraza i rješavanje nekih vrsta jednačina. Evo osnovnog pravila koje treba zapamtiti:
Ako pred sobom imamo strašni frakcijski izraz, možemo pokušati rastaviti brojnik i nazivnik. Vrlo često se razlomak smanjuje i pojednostavljuje.
Ako imamo jednačinu ispred sebe, gdje je na desnoj strani nula, a na lijevoj - ne razumijem šta, možemo pokušati rastaviti lijevu stranu. Ponekad pomaže).
Osnovne metode faktorizacije.
Evo ih, najpopularnijih metoda:
4. Proširivanje kvadratnog trinoma.
Ove metode se moraju zapamtiti. Tačno tim redosledom. Provjeravaju se složeni primjeri za sve mogući načini raspadanje. I bolje je provjeravati redom kako se ne bi zbunili... Pa krenimo redom.)
1. Izuzimanje zajedničkog faktora iz zagrada.
Jednostavan i pouzdan način. Ništa loše ne dolazi od njega! Desi se ili dobro ili nikako.) Zato je on na prvom mjestu. Hajde da to shvatimo.
Svi znaju (vjerujem!) pravilo:
a(b+c) = ab+ac
Ili više opšti pogled:
a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+....
Sve jednakosti rade i s lijeva na desno i obrnuto, s desna na lijevo. Možete napisati:
ab+ac = a(b+c)
ab+ac+ad+.... = a(b+c+d+.....)
To je cela poenta vađenja zajednički množitelj van zagrada.
Na lijevoj strani A - zajednički množitelj za sve termine. Pomnoženo sa svime što postoji). Na desnoj strani je najviše A se već nalazi izvan zagrada.
Praktična upotreba Pogledajmo metodu koristeći primjere. U početku je opcija jednostavna, čak primitivna.) Ali na ovoj opciji ću napomenuti ( zeleno) Vrlo važne tačke za bilo koju faktorizaciju.
Faktoriziraj:
ah+9x
Koji general da li se množitelj pojavljuje u oba izraza? X, naravno! Izbacićemo to iz zagrada. Uradimo ovo. Odmah pišemo X izvan zagrada:
ax+9x=x(
A u zagradi pišemo rezultat dijeljenja svaki termin baš na ovom X. U redu:
To je sve. Naravno, nema potrebe to tako detaljno opisivati, to se radi u mislima. Ali preporučljivo je razumjeti šta je šta). Zapisujemo u memoriju:
Zajednički faktor pišemo izvan zagrada. U zagradama pišemo rezultate dijeljenja svih pojmova ovim zajedničkim faktorom. U redu.
Dakle, proširili smo izraz ah+9x po množiteljima. Pretvorio ga u množenje x sa (a+9). Napominjem da je u originalnom izrazu bilo i množenje, čak dva: a·x i 9·x. Ali to nije faktorizovano! Jer pored množenja, ovaj izraz je sadržavao i zbrajanje, znak “+”! I u izrazu x(a+9) Ne postoji ništa osim množenja!
Kako to!? - čujem ogorčeni glas naroda - I u zagradi!?)
Da, postoji zbrajanje unutar zagrada. Ali trik je u tome što dok zagrade nisu otvorene, mi ih razmatramo kao jedno slovo. I sve radnje radimo sa zagradama u potpunosti, kao sa jednim slovom. U tom smislu, u izrazu x(a+9) Ne postoji ništa osim množenja. Ovo je cela poenta faktorizacije.
Usput, da li je moguće nekako provjeriti da li smo sve uradili kako treba? Lako! Dovoljno je da pomnožite ono što ste izbacili (x) zagradama i vidite da li radi original izraz? Ako radi, sve je super!)
x(a+9)=ax+9x
Desilo se.)
U ovom primitivnom primjeru nema problema. Ali ako postoji nekoliko pojmova, pa čak i sa različiti znakovi... Ukratko, svaki treći učenik zabrlja). dakle:
Ako je potrebno, provjerite faktorizaciju inverznim množenjem.
Faktoriziraj:
3ax+9x
Tražimo zajednički faktor. Pa sa X je sve jasno, može se izvaditi. Ima li još general faktor? Da! Ovo je trojka. Izraz možete napisati ovako:
3x+3 3x
Ovdje je odmah jasno da će zajednički faktor biti 3x. Evo ga izvadimo:
3x+3 3x=3x(a+3)
Raširiti.
Šta će se dogoditi ako ga izvadite samo x? Ništa posebno:
3ax+9x=x(3a+9)
Ovo će također biti faktorizacija. Ali u ovom fascinantnom procesu, uobičajeno je da se sve izloži do krajnjih granica dok postoji prilika. Ovdje u zagradama postoji prilika za izbacivanje trojke. Ispostaviće se:
3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)
Ista stvar, samo sa jednom dodatnom radnjom.) Zapamtite:
Prilikom uzimanja zajedničkog faktora iz zagrada, pokušavamo da izvadimo maksimum zajednički faktor.
Hoćemo li nastaviti zabavu?)
Faktorirajte izraz:
3akh+9h-8a-24
Šta ćemo oduzeti? Tri, X? Ne... Ne možeš. Podsjećam vas da možete samo izvaditi general multiplikator tj u svemu termini izraza. Zato je on general. Ovdje nema tog množitelja... Šta, ne morate ga širiti!? Pa da, bili smo presrećni... Upoznajte:
2. Grupisanje.
Zapravo, teško je imenovati grupu na nezavisan način faktorizacija. To je više način da se izađe složen primjer.) Moramo grupisati pojmove tako da sve funkcionira. To se može pokazati samo primjerom. Dakle, imamo izraz:
3akh+9h-8a-24
Vidi se da postoje neka uobičajena slova i brojevi. ali... Generale ne postoji multiplikator koji bi bio u svim terminima. Nemojmo klonuti duhom i razbiti izraz na komade. Grupisanje. Tako da svaki komad ima zajednički faktor, ima se šta oduzeti. Kako da ga razbijemo? Da, samo smo stavili zagrade.
Da vas podsjetim da se zagrade mogu staviti bilo gdje i kako god želite. Samo suština primjera nije se promijenilo. Na primjer, možete učiniti ovo:
3akh+9h-8a-24=(3ah+9h)-(8a+24)
Obratite pažnju na druge zagrade! Prethodi im znak minus i 8a I 24 postalo pozitivno! Ako, radi provjere, otvorimo zagrade natrag, znakovi će se promijeniti, i dobićemo original izraz. One. suština izraza iz zagrada se nije promijenila.
Ali ako ste upravo umetnuli zagrade bez uzimanja u obzir promjene predznaka, na primjer, ovako:
3akh+9h-8a-24=(3x+9x) -(8a-24 )
to bi bila greška. Desno - već ostalo izraz. Otvorite zagrade i sve će postati vidljivo. Ne morate dalje da odlučujete, da...)
No, vratimo se faktorizaciji. Pogledajmo prve zagrade (3x+9x) i mislimo, postoji li nešto što možemo izvaditi? Pa, riješili smo ovaj primjer iznad, možemo ga uzeti 3x:
(3x+9x)=3x(a+3)
Proučimo druge zagrade, tamo možemo dodati osmicu:
(8a+24)=8(a+3)
Naš ceo izraz će biti:
(3ax+9x)-(8a+24)=3x(a+3)-8(a+3)
Faktorisano? br. Rezultat razgradnje bi trebao biti samo množenje ali kod nas znak minus sve pokvari. Ali... Oba pojma imaju zajednički faktor! Ovo (a+3). Nisam uzalud rekao da su čitave zagrade takoreći jedno slovo. To znači da se ove zagrade mogu izvaditi iz zagrada. Da, upravo tako zvuči.)
Radimo kako je gore opisano. Pišemo zajednički faktor (a+3), u drugoj zagradi upisujemo rezultate dijeljenja pojmova sa (a+3):
3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)
Sve! Na desnoj strani nema ništa osim množenja! To znači da je faktorizacija uspješno završena!) Evo ga:
3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)
Da ukratko ponovimo suštinu grupe.
Ako izraz nije general multiplikator za svima termine, rastavljamo izraz u zagrade tako da se unutar zagrada nalazi zajednički faktor bio. Izvadimo ga i vidimo šta će biti. Ako imate sreće i u zagradama su ostali apsolutno identični izrazi, pomeramo ove zagrade iz zagrada.
Dodaću da je grupisanje kreativan proces). Ne uspije uvijek prvi put. Uredu je. Ponekad morate zamijeniti uslove i razmisliti različite varijante grupe dok se ne pronađe uspješan. Ovdje je glavna stvar ne klonuti duhom!)
Primjeri.
Sada, obogativši se znanjem, možete riješiti škakljive primjere.) Na početku lekcije bila su tri ovakva...
Pojednostavite:
U suštini, ovaj primjer smo već riješili. Mi sami ne znamo.) Podsjećam vas: ako nam je dat užasan razlomak, pokušavamo rastaviti brojilac i imenilac. Druge opcije pojednostavljenja jednostavno ne.
Pa, imenilac ovde nije proširen, već brojilac... Već smo proširili brojilac tokom lekcije! Volim ovo:
3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)
Rezultat proširenja zapisujemo u brojnik razlomka:
Prema pravilu redukcije razlomaka (glavno svojstvo razlomka), možemo podijeliti (istovremeno!) brojilac i imenilac istim brojem, odnosno izrazom. Dio iz ovoga se ne mijenja. Dakle, podijelimo brojilac i imenilac izrazom (3x-8). I tu i tamo ćemo ih dobiti. Konačni rezultat pojednostavljenja:
Želio bih posebno naglasiti: smanjenje razlomka je moguće ako i samo ako u brojniku i nazivniku, pored množenja izraza nema ničega. Zato je transformacija zbira (razlike) u množenje toliko važno za pojednostavljenje. Naravno, ako su izrazi drugačiji, onda se ništa neće smanjiti. Desiće se. Ali faktorizacija daje šansu. Ova šansa bez dekompozicije jednostavno ne postoji.
Primjer sa jednadžbom:
Riješite jednačinu:
x 5 - x 4 = 0
Izbacujemo zajednički faktor x 4 van zagrada. Dobijamo:
x 4 (x-1)=0
Shvatili smo da je proizvod faktora jednak nuli tada i samo tada, kada je bilo koji od njih nula. Ako ste u nedoumici, pronađite mi nekoliko brojeva koji nisu nula koji će, kada se pomnože, dati nulu.) Dakle, pišemo, prvo prvi faktor:
Uz takvu jednakost, drugi faktor nas se ne tiče. Bilo ko može, ali na kraju će i dalje biti nula. Koji broj na četvrti stepen daje nula? Samo nula! I ništa drugo... Stoga:
Otkrili smo prvi faktor i pronašli jedan korijen. Pogledajmo drugi faktor. Sada nas više ne zanima prvi faktor.):
Ovdje smo pronašli rješenje: x 1 = 0; x 2 = 1. Bilo koji od ovih korijena odgovara našoj jednadžbi.
Veoma važna napomena. Napominjemo da smo riješili jednačinu komad po komad! Svaki faktor je bio jednak nuli, bez obzira na druge faktore. Inače, ako u takvoj jednačini ne postoje dva faktora, kao što je naš, već tri, pet, koliko hoćete, riješićemo slično. Komad po komad. Na primjer:
(x-1)(x+5)(x-3)(x+2)=0
Svako ko otvori zagrade i sve pomnoži, zaglaviće se u ovoj jednačini zauvek.) Ispravan učenik će odmah videti da na levoj strani nema ništa osim množenja, a na desnoj nula. I on će početi (u svom umu!) da izjednačava sve zagrade u nulu. I on će dobiti (za 10 sekundi!) tačno rješenje: x 1 = 1; x 2 = -5; x 3 = 3; x 4 = -2.
Odlično, zar ne?) Ovako elegantno rješenje moguće je ako lijeva strana jednačine faktorizirano. Imate nagoveštaj?)
Pa, posljednji primjer, za starije):
Riješite jednačinu:
Donekle je sličan prethodnom, zar ne?) Naravno. Vrijeme je da se prisjetimo da se u algebri sedmog razreda ispod slova mogu sakriti sinusi, logaritmi i sve ostalo! Faktoring djeluje u cijeloj matematici.
Izbacujemo zajednički faktor LG 4 x van zagrada. Dobijamo:
log 4 x=0
Ovo je jedan korijen. Pogledajmo drugi faktor.
Evo konačnog odgovora: x 1 = 1; x 2 = 10.
Nadam se da ste shvatili moć faktoringa u pojednostavljivanju razlomaka i rješavanju jednačina.)
U ovoj lekciji naučili smo o uobičajenom faktoringu i grupisanju. Ostaje razumjeti formule za skraćeno množenje i kvadratni trinom.
Ako vam se sviđa ovaj sajt...
Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)
Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.
Generalno, ovaj zadatak uključuje kreativnost, jer ne postoji univerzalna metoda za njegovo rješavanje. Ali pokušajmo dati nekoliko savjeta.
U ogromnoj većini slučajeva faktorizacija polinoma zasniva se na posljedicama Bezoutove teoreme, to jest, korijen je pronađen ili odabran i stepen polinoma se smanjuje za jedan dijeljenjem sa . Traži se korijen rezultujućeg polinoma i postupak se ponavlja do potpunog proširenja.
Ako se korijen ne može pronaći, koriste se specifične metode proširenja: od grupiranja do uvođenja dodatnih međusobno isključivih pojmova.
Dalje izlaganje se zasniva na vještinama rješavanja jednačina višim stepenima sa cjelobrojnim koeficijentima.
Izdvajanje zajedničkog faktora.
Počnimo s najjednostavnijim slučajem, kada je slobodni član jednak nuli, odnosno, polinom ima oblik .
Očigledno, korijen takvog polinoma je , To jest, možemo predstaviti polinom u obliku .
Ova metoda nije ništa drugo do stavljanje zajedničkog faktora iz zagrada.
Primjer.
Faktor polinoma trećeg stepena.
Rješenje.
Očigledno, šta je korijen polinoma, tj X može se izvaditi iz zagrada:
Nađimo korijene kvadratnog trinoma 
dakle, 
Vrh stranice
Faktoriranje polinoma s racionalnim korijenima.
Prvo, razmotrimo metodu za proširenje polinoma sa cjelobrojnim koeficijentima oblika , koeficijent najvišeg stepena jednak je jedan.
U ovom slučaju, ako polinom ima cjelobrojne korijene, onda su oni djelitelji slobodnog člana.
Primjer.
Rješenje.
Provjerimo da li ima netaknutih korijena. Da biste to učinili, zapišite djelitelje broja -18
: . To jest, ako polinom ima cjelobrojne korijene, onda su oni među napisanim brojevima. Provjerimo ove brojeve uzastopno koristeći Hornerovu šemu. Njegova pogodnost je i u činjenici da na kraju dobijemo koeficijente ekspanzije polinoma: 
To je, x=2 I x=-3 su korijeni originalnog polinoma i možemo ga predstaviti kao proizvod:
Ostaje proširiti kvadratni trinom.
Diskriminant ovog trinoma je negativan, stoga nema pravi korijen.
odgovor:
komentar:
Umjesto Hornerove sheme, mogao bi se koristiti odabir korijena i naknadno dijeljenje polinoma polinomom.
Sada razmotrimo proširenje polinoma sa cijelim koeficijentima oblika , a koeficijent najvišeg stepena nije jednak jedinici.
U ovom slučaju, polinom može imati frakciono racionalne korijene.
Primjer.
Faktor izraza.
Rješenje.
Izvođenjem promjene varijable y=2x, pređimo na polinom sa koeficijentom jednakim jedan na najvišem stepenu. Da biste to učinili, prvo pomnožite izraz sa 4
.
Ako rezultirajuća funkcija ima cjelobrojne korijene, onda su oni među djeliteljima slobodnog člana. Hajde da ih zapišemo:
Izračunajmo sekvencijalno vrijednosti funkcije g(y) u ovim tačkama dok se ne postigne nula. 
Šta učiniti ako ste u procesu rješavanja zadatka sa Jedinstvenog državnog ispita ili prijemnog ispita iz matematike dobili polinom koji se ne može faktorizirati standardne metode koje ste naučili u školi? U ovom članku učitelj matematike će vam reći o jednoj efikasnoj metodi, čije proučavanje je izvan okvira školski program, ali uz čiju pomoć neće biti teško faktorizirati polinom. Pročitajte ovaj članak do kraja i pogledajte priloženi video vodič. Znanje koje steknete pomoći će vam na ispitu.
Faktoriranje polinoma metodom dijeljenja
U slučaju da ste dobili polinom veći od drugog stepena i mogli ste pogoditi vrijednost varijable na kojoj ovaj polinom postaje jednaka nuli(na primjer, ova vrijednost je jednaka ), znaj! Ovaj polinom se može podijeliti sa .
Na primjer, lako je vidjeti da polinom četvrtog stepena nestaje na . To znači da se može podijeliti bez ostatka sa , čime se dobija polinom trećeg stepena (manje za jedan). Odnosno, predstavite ga u obliku:
Gdje A, B, C I D- neki brojevi. Proširimo zagrade:
Budući da su koeficijenti pri jednaki stepeni mora biti isti, dobijamo:
Dakle, dobili smo:
Nastavi. Dovoljno je proći kroz nekoliko malih cijelih brojeva da vidimo da je polinom trećeg stepena opet djeljiv sa . Ovo rezultira polinomom drugog stepena (manje za jedan). Zatim prijeđite na novi unos:
Gdje E, F I G- neki brojevi. Ponovo otvaramo zagrade i dolazimo do sljedećeg izraza:
Opet, iz uslova jednakosti koeficijenata za iste stepene dobijamo:
Tada dobijamo:
To jest, originalni polinom se može faktorizirati na sljedeći način:
U principu, ako želite, koristeći formulu razlike kvadrata, rezultat se može predstaviti i u sljedećem obliku:
Tako jednostavno i efikasan metod faktoring polinoma. Zapamtite to, može vam biti od koristi na ispitu ili takmičenju iz matematike. Provjerite jeste li naučili koristiti ovu metodu. Pokušajte sami riješiti sljedeći zadatak.
Faktor polinoma:
Napišite svoje odgovore u komentarima.
Materijal pripremio Sergej Valerijevič