dragi prijatelji! Grupa zadataka vezanih za izvod uključuje zadatke - uslov daje graf funkcije, nekoliko tačaka na ovom grafu i pitanje je:
U kom trenutku je izvod najveći (najmanji)?
Da ukratko ponovimo:
Izvod u tački jednak je nagibu tangente koja prolaziovu tačku na grafikonu.
UGlobalni koeficijent tangente, zauzvrat, jednak je tangentu ugla nagiba ove tangente.
*Ovo se odnosi na ugao između tangente i x-ose.
1. Na intervalima rastuće funkcije derivacija ima pozitivna vrijednost.
2. U intervalima svog smanjenja, derivat ima negativnu vrijednost.
Razmotrite sljedeću skicu:
U tačkama 1,2,4, derivacija funkcije ima negativnu vrijednost, jer ove tačke pripadaju opadajućim intervalima.
U tačkama 3,5,6 derivacija funkcije ima pozitivnu vrijednost, jer ove tačke pripadaju rastućim intervalima.
Kao što vidite, sve je jasno sa značenjem derivacije, odnosno nije uopće teško odrediti koji predznak ima (pozitivan ili negativan) u određenoj tački grafa.
Štaviše, ako mentalno konstruišemo tangente u ovim tačkama, videćemo da prave koje prolaze kroz tačke 3, 5 i 6 formiraju uglove sa osom oX u rasponu od 0 do 90 o, a prave koje prolaze kroz tačke 1, 2 i 4 formiraju sa osom oX uglovi se kreću od 90 o do 180 o.
*Odnos je jasan: tangente koje prolaze kroz tačke koje pripadaju intervalima rastućih funkcija formiraju se sa osom oX oštri uglovi, tangente koje prolaze kroz tačke koje pripadaju intervalima opadajućih funkcija formiraju tupe uglove sa osom oX.
Sada važno pitanje!
Kako se mijenja vrijednost derivata? Na kraju krajeva, tangenta u različitim tačkama na grafu neprekidne funkcije formira različite uglove, u zavisnosti od toga kroz koju tačku na grafu prolazi.
*Ili, govoreći jednostavnim jezikom, tangenta se nalazi kao da je "horizontalno" ili "vertikalno". pogledajte:
Prave linije formiraju uglove sa osom oX u rasponu od 0 do 90 o
Prave linije formiraju uglove sa osom oX u rasponu od 90° do 180°
Stoga, ako imate pitanja:
— u kojoj od datih tačaka na grafu izvod ima najmanju vrijednost?
- u kojoj od datih tačaka na grafu izvod ima vrijednost najveća vrijednost?
tada je za odgovor potrebno razumjeti kako se vrijednost tangente kuta tangente mijenja u rasponu od 0 do 180 o.
*Kao što je već spomenuto, vrijednost derivacije funkcije u tački jednaka je tangentu ugla nagiba tangente na osu oX.
Vrijednost tangente se mijenja na sljedeći način:
Kada se ugao nagiba prave linije promeni od 0° do 90°, vrednost tangente, a samim tim i derivacije, se menja od 0 do +∞;
Kada se ugao nagiba prave linije promeni sa 90° na 180°, vrednost tangente, a samim tim i derivacije, menja se u skladu sa –∞ na 0.
To se može jasno vidjeti iz grafa tangentne funkcije:
Jednostavno rečeno:
Pod kutom nagiba tangente od 0° do 90°
Što je bliže 0 o, veća će vrijednost derivacije biti blizu nule (na pozitivnoj strani).
Što je ugao bliži 90°, to će se vrijednost derivacije više povećati prema +∞.
Sa tangentnim uglom nagiba od 90° do 180°
Što je bliže 90 o, to će se vrijednost derivacije više smanjivati prema –∞.
Što je ugao bliži 180°, veća će vrijednost derivacije biti blizu nule (na negativnoj strani).
317543. Slika prikazuje graf funkcije y = f(x) a tačke su označene–2, –1, 1, 2. U kojoj od ovih tačaka je izvod najveći? Molimo navedite ovu tačku u svom odgovoru.
Imamo četiri tačke: dvije pripadaju intervalima na kojima funkcija opada (to su tačke –1 i 1), a dvije intervalima na kojima funkcija raste (to su tačke –2 i 2).
Odmah možemo zaključiti da u tačkama –1 i 1 derivat ima negativnu vrijednost, a u tačkama –2 i 2 pozitivnu vrijednost. Stoga u u ovom slučaju potrebno je analizirati tačke –2 i 2 i odrediti koja će od njih imati najveću vrijednost. Konstruirajmo tangente koje prolaze kroz navedene tačke:
Vrijednost tangente ugla između prave a i ose apscise će biti veća vrijednost tangenta ugla između prave b i ove ose. To znači da će vrijednost derivacije u tački –2 biti najveća.
Mi ćemo odgovoriti sljedeće pitanje: U kojoj tački –2, –1, 1 ili 2 je izvod najnegativniji? Molimo navedite ovu tačku u svom odgovoru.
Derivat će imati negativnu vrijednost u tačkama koje pripadaju opadajućim intervalima, pa razmotrimo tačke –2 i 1. Konstruirajmo tangente koje prolaze kroz njih:
Vidimo to tupi ugao između prave linije b i ose oX je "bliže" 180 O , stoga će njegova tangenta biti veća od tangente ugla koji formiraju prava linija a i osa oX.
Dakle, u tački x = 1, vrijednost derivacije će biti najveća negativna.
317544. Slika prikazuje grafik funkcije y = f(x) a tačke su označene–2, –1, 1, 4. U kojoj je od ovih tačaka derivacija najmanja? Molimo navedite ovu tačku u svom odgovoru.
Imamo četiri tačke: dvije pripadaju intervalima u kojima funkcija opada (to su tačke –1 i 4), a dvije intervalima u kojima funkcija raste (to su tačke –2 i 1).
Odmah možemo zaključiti da u tačkama –1 i 4 derivat ima negativnu vrijednost, a u tačkama –2 i 1 pozitivnu vrijednost. Stoga je u ovom slučaju potrebno analizirati tačke –1 i 4 i odrediti koja će od njih imati najmanju vrijednost. Konstruirajmo tangente koje prolaze kroz navedene tačke:
Vrijednost tangenta ugla između prave a i apscisne ose bit će veća od vrijednosti tangente ugla između prave linije b i ove ose. To znači da će vrijednost derivacije u tački x = 4 biti najmanja.
Odgovor: 4
Nadam se da vas nisam "preopteretio" količinom pisanja. U stvari, sve je vrlo jednostavno, samo trebate razumjeti svojstva derivata, njegove geometrijsko značenje i kako se tangenta ugla menja od 0 do 180 o.
1. Prvo odredite predznake derivacije u tim tačkama (+ ili -) i odaberite potrebne tačke (u zavisnosti od postavljenog pitanja).
2. Konstruirajte tangente u ovim tačkama.
3. Koristeći tangesoidni graf, šematski označite uglove i prikažiteAlexander.
P.S: Bio bih vam zahvalan ako mi kažete nešto o stranici na društvenim mrežama.
Šta je ekstrem funkcije i koji je neophodan uslov za ekstrem?
Ekstremum funkcije je maksimum i minimum funkcije.
Neophodan uslov za maksimum i minimum (ekstremum) funkcije je sledeći: ako funkcija f(x) ima ekstrem u tački x = a, tada je u ovoj tački derivacija ili nula, ili beskonačna, ili ima ne postoji.
Ovaj uslov je neophodan, ali nije dovoljan. Izvod u tački x = a može ići na nulu, beskonačnost ili ne postojati bez da funkcija ima ekstrem u ovoj tački.
Kako to izgleda dovoljno stanje ekstremum funkcije (maksimum ili minimum)?
Prvi uslov:
Ako je, u dovoljnoj blizini tačke x = a, derivacija f?(x) pozitivna lijevo od a i negativna desno od a, tada u tački x = a funkcija f(x) ima maksimum
Ako je, u dovoljnoj blizini tačke x = a, derivacija f?(x) negativna lijevo od a i pozitivna desno od a, tada u tački x = a funkcija f(x) ima minimum pod uslovom da je funkcija f(x) ovdje kontinuirana.
Umjesto toga, možete koristiti drugi dovoljan uvjet za ekstremum funkcije:
Neka u tački x = a prvi izvod f?(x) nestane; ako je drugi izvod f??(a) negativan, tada funkcija f(x) ima maksimum u tački x = a, ako je pozitivna, onda ima minimum.
Koja je kritična tačka funkcije i kako je pronaći?
Ovo je vrijednost argumenta funkcije na kojoj funkcija ima ekstrem (tj. maksimum ili minimum). Da biste ga pronašli trebate pronađite izvod funkcija f?(x) i, izjednačavajući je sa nulom, riješi jednačinu f?(x) = 0. Korijeni ove jednadžbe, kao i one tačke u kojima ne postoji izvod ove funkcije, su kritične tačke, odnosno vrijednosti argumenta u kojima može postojati ekstrem. Lako se mogu prepoznati gledanjem derivirani graf: zanimaju nas one vrijednosti argumenta pri kojima graf funkcije siječe os apscise (Ox os) i one kod kojih graf trpi diskontinuitete.
Na primjer, hajde da pronađemo ekstremuma parabole.
Funkcija y(x) = 3x2 + 2x - 50.
Derivat funkcije: y?(x) = 6x + 2
Riješite jednačinu: y?(x) = 0
6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3
U ovom slučaju, kritična tačka je x0=-1/3. Funkcija ima ovu vrijednost argumenta ekstrem. Za njega nađi, zamijenite pronađeni broj u izrazu za funkciju umjesto "x":
y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.
Kako odrediti maksimum i minimum funkcije, tj. njegove najveće i najmanje vrijednosti?
Ako se predznak derivacije pri prolasku kroz kritičnu tačku x0 promijeni iz “plus” u “minus”, tada je x0 maksimalni poen; ako se predznak derivacije promijeni iz minusa u plus, tada je x0 minimalna tačka; ako se predznak ne mijenja, tada u tački x0 nema ni maksimuma ni minimuma.
Za razmatrani primjer:
Uzimamo proizvoljnu vrijednost argumenta lijevo od kritične tačke: x = -1
Kod x = -1, vrijednost izvoda će biti y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (tj. znak je “minus”).
Sada uzimamo proizvoljnu vrijednost argumenta desno od kritične tačke: x = 1
Kod x = 1, vrijednost izvoda će biti y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (tj. znak je “plus”).
Kao što vidite, derivacija je promijenila predznak iz minusa u plus kada je prošla kroz kritičnu tačku. To znači da na kritičnoj vrijednosti x0 imamo minimalnu tačku.
Najveći i najmanju vrijednost funkcije na intervalu(na segmentu) se pronalaze istim postupkom, samo uzimajući u obzir činjenicu da, možda, neće sve kritične tačke ležati unutar navedenog intervala. One kritične tačke koje su izvan intervala moraju biti isključene iz razmatranja. Ako postoji samo jedna kritična tačka unutar intervala, ona će imati ili maksimum ili minimum. U ovom slučaju, da bismo odredili najveću i najmanju vrijednost funkcije, uzimamo u obzir i vrijednosti funkcije na krajevima intervala.
Na primjer, pronađimo najveću i najmanju vrijednost funkcije
y(x) = 3sin(x) - 0,5x
u intervalima:
Dakle, derivacija funkcije je
y?(x) = 3cos(x) - 0,5
Rješavamo jednačinu 3cos(x) - 0,5 = 0
cos(x) = 0,5/3 = 0,16667
x = ±arccos(0,16667) + 2πk.
Nalazimo kritične tačke na intervalu [-9; 9]:
x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (nije uključeno u interval)
x = -arccos(0,16667) – 2π*1 = -7,687
x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88
x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403
x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403
x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88
x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687
x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (nije uključeno u interval)
Nalazimo vrijednosti funkcije na kritične vrijednosti argument:
y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885
y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398
y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256
y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256
y(4.88) = 3cos(4.88) - 0.5 = -5.398
y(7.687) = 3cos(7.687) - 0.5 = -0.885
Može se vidjeti da na intervalu [-9; 9] funkcija ima najveću vrijednost pri x = -4,88:
x = -4,88, y = 5,398,
a najmanji - na x = 4,88:
x = 4,88, y = -5,398.
Na intervalu [-6; -3] imamo samo jednu kritičnu tačku: x = -4,88. Vrijednost funkcije pri x = -4,88 jednaka je y = 5,398.
Pronađite vrijednost funkcije na krajevima intervala:
y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838
y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077
Na intervalu [-6; -3] imamo najveću vrijednost funkcije
y = 5,398 pri x = -4,88
najmanja vrijednost -
y = 1,077 pri x = -3
Kako pronaći točke pregiba grafa funkcije i odrediti konveksnu i konkavnu stranu?
Da biste pronašli sve tačke pregiba prave y = f(x), morate pronaći drugi izvod, izjednačiti ga sa nulom (riješiti jednačinu) i testirati sve one vrijednosti x za koje je drugi izvod nula, beskonačan ili ne postoji. Ako, pri prolasku kroz jednu od ovih vrijednosti, drugi izvod promijeni predznak, tada graf funkcije ima fleksiju u ovoj tački. Ako se ne promijeni, onda nema savijanja.
Korijeni jednačine f? (x) = 0, kao i moguće tačke diskontinuiteta funkcije i drugog izvoda, dijele područje definicije funkcije na više intervala. Konveksnost na svakom od njihovih intervala određena je predznakom druge derivacije. Ako je drugi izvod u tački na ispitivanom intervalu pozitivan, tada je prava y = f(x) konkavna prema gore, a ako je negativna, onda prema dolje.
Kako pronaći ekstreme funkcije dvije varijable?
Da biste pronašli ekstreme funkcije f(x,y), diferencibilne u domeni njene specifikacije, trebate:
1) pronaći kritične tačke, a za to - rešiti sistem jednačina
fh? (x,y) = 0, fu? (x,y) = 0
2) za svaku kritičnu tačku P0(a;b) istražiti da li predznak razlike ostaje nepromijenjen
za sve tačke (x;y) dovoljno blizu P0. Ako razlika ostane pozitivan znak, tada u tački P0 imamo minimum, ako je negativan, onda imamo maksimum. Ako razlika ne zadrži svoj predznak, onda nema ekstremuma u tački P0.
Ekstremi funkcije određuju se slično za više argumentima.
Neka funkcija y =f(X) je kontinuiran na intervalu [ a, b]. Kao što je poznato, takva funkcija dostiže svoje maksimalne i minimalne vrijednosti na ovom segmentu. Funkcija može uzeti ove vrijednosti ili na unutrašnjoj tački segmenta [ a, b], ili na granici segmenta.
Da biste pronašli najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu [ a, b] potrebno:
1) pronaći kritične tačke funkcije u intervalu ( a, b);
2) izračunati vrednosti funkcije u pronađenim kritičnim tačkama;
3) izračunati vrijednosti funkcije na krajevima segmenta, odnosno kada x=A i x = b;
4) od svih izračunatih vrijednosti funkcije odaberite najveću i najmanju.
Primjer. Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije
na segmentu.
Pronalaženje kritičnih tačaka:
Ove tačke leže unutar segmenta; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;
u tački x= 3 i u tački x= 0.
Proučavanje funkcije za konveksnost i pregibnu tačku.
Funkcija y = f (x) pozvao konveksnost između (a, b) , ako njegov graf leži ispod tangente povučene u bilo kojoj tački ovog intervala, i zove se konveksno prema dolje (konkavno), ako njegov graf leži iznad tangente.
Tačka kroz koju se konveksnost zamjenjuje konkavnošću ili obrnuto naziva se tačka pregiba.
Algoritam za ispitivanje konveksnosti i tačke savijanja:
1. Naći kritične tačke druge vrste, odnosno tačke u kojima je drugi izvod jednak nuli ili ne postoji.
2. Nacrtajte kritične tačke na brojevnoj pravoj, dijeleći je na intervale. Pronađite predznak drugog izvoda na svakom intervalu; ako , onda je funkcija konveksna prema gore, ako, onda je funkcija konveksna prema dolje.
3. Ako se pri prolasku kroz kritičnu tačku druge vrste promijeni predznak i u ovoj tački je druga derivacija jednaka nuli, tada je ova tačka apscisa tačke prevoja. Pronađite njegovu ordinatu.
Asimptote grafa funkcije. Proučavanje funkcije za asimptote.
Definicija. Poziva se asimptota grafa funkcije ravno, koji ima svojstvo da udaljenost od bilo koje tačke na grafu do ove prave teži nuli kako se tačka na grafu neograničeno pomera od početka.
Postoje tri vrste asimptota: vertikalni, horizontalni i nagnuti.
Definicija. Prava linija se zove vertikalna asimptota funkcionalna grafika y = f(x), ako je barem jedna od jednostranih granica funkcije u ovoj tački jednaka beskonačnosti, tj.
gdje je tačka diskontinuiteta funkcije, odnosno ne pripada domenu definicije.
Primjer.
D ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)
x= 2 – tačka prekida.
Definicija. Pravo y =A pozvao horizontalna asimptota funkcionalna grafika y = f(x) u , ako
Primjer.
|
x | |||
|
y |
Definicija. Pravo y =kx +b (k≠ 0) se poziva kosa asimptota funkcionalna grafika y = f(x) u , gdje
Opća shema za proučavanje funkcija i konstruiranje grafova.
Algoritam za istraživanje funkcijay = f(x) :
1. Pronađite domenu funkcije D (y).
2. Pronađite (ako je moguće) tačke preseka grafika sa koordinatnim osa (ako x= 0 i at y = 0).
3. Ispitati parnost i neparnost funkcije ( y (‒ x) = y (x) ‒ paritet; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ neparan).
4. Naći asimptote grafa funkcije.
5. Naći intervale monotonosti funkcije.
6. Pronađite ekstreme funkcije.
7. Naći intervale konveksnosti (konkavnosti) i pregibne tačke grafa funkcije.
8. Na osnovu sprovedenog istraživanja konstruisati graf funkcije.
Primjer. Istražite funkciju i konstruirajte njen graf.
1) D (y) =
x= 4 – tačka prekida.
2) Kada x = 0,
(0; ‒ 5) – tačka preseka sa oh.
At y = 0,
3)
y(‒
x)=
funkcija opšti pogled(ni par ni neparan).
4) Ispitujemo asimptote.
a) vertikalno
b) horizontalno
c) pronaći kose asimptote gdje
‒jednačina kosih asimptota
5) U ovoj jednačini nije potrebno pronaći intervale monotonosti funkcije.
6)
Ove kritične tačke dijele cijeli domen definicije funkcije na interval (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) i (10; +∞). Dobijene rezultate prikladno je prikazati u obliku sljedeće tabele.
Sitna i lepa jednostavan zadatak iz kategorije onih koji služe kao spas za plutajućeg studenta. U prirodi je sredina jula, pa je vrijeme da se smjestite uz laptop na plaži. Rano ujutru počeo je da svira sunčev zrak teorije, da bi se ubrzo usredsredio na praksu, koja, uprkos deklarisanoj lakoći, sadrži krhotine stakla u pesku. U tom smislu, preporučujem da savjesno razmotrite nekoliko primjera ove stranice. Da biste riješili praktične probleme, morate biti sposobni pronađite derivate i razumjeti materijal članka Intervali monotonosti i ekstremi funkcije.
Prvo, ukratko o glavnoj stvari. U lekciji o kontinuitet funkcije Dao sam definiciju kontinuiteta u jednoj tački i kontinuiteta u intervalu. Primer ponašanja funkcije na segmentu je formulisan na sličan način. Funkcija je kontinuirana u intervalu ako:
1) kontinuirano je na intervalu;
2) kontinuirano u tački desno i u tački lijevo.
U drugom pasusu govorili smo o tzv jednostrani kontinuitet funkcioniše u jednom trenutku. Postoji nekoliko pristupa definisanju, ali ću se držati linije koju sam ranije započeo:
Funkcija je kontinuirana u tački desno, ako je definirana u datoj tački i njena desna granica se poklapa s vrijednošću funkcije u datoj točki: 
. Kontinuirano je u tački lijevo, ako je definiran u datoj tački i njegova lijeva granica je jednaka vrijednosti u ovoj tački: 
Zamisli to zelene tačke- ovo su nokti na koje je pričvršćena čarobna elastična traka:
Mentalno uzmite crvenu liniju u svoje ruke. Očigledno, bez obzira koliko daleko rastežemo graf gore i dolje (duž ose), funkcija će i dalje ostati ograničeno– ograda na vrhu, ograda na dnu, a naš proizvod pase u ogradi. dakle, funkcija kontinuirana na intervalu je ograničena na njega. U toku matematičke analize ova naizgled jednostavna činjenica se konstatuje i striktno dokazuje. Weierstrassova prva teorema....Mnoge nervira što se elementarne tvrdnje zamorno potkrepljuju u matematici, ali to ima važno značenje. Pretpostavimo da je određeni stanovnik frotirnog srednjeg vijeka povukao graf u nebo izvan granica vidljivosti, ovo je umetnuto. Prije pronalaska teleskopa, ograničena funkcija u svemiru uopće nije bila očigledna! Zaista, kako znaš šta nas čeka na horizontu? Uostalom, Zemlja se nekada smatrala ravnom, tako da je danas i obična teleportacija zahtijeva dokaz =)
Prema Weierstrassova druga teorema, kontinuirano na segmentufunkcija dostiže svoje tačna gornja granica i tvoj tačna donja ivica .
Broj se također poziva maksimalna vrijednost funkcije na segmentu i označeni su sa , a broj je minimalna vrijednost funkcije na segmentu označeno .
u našem slučaju: 
Bilješka
: u teoriji, snimci su uobičajeni 
.
Grubo govoreći, najveća vrijednost je tamo gdje je najviše high point grafike, a najmanji je tamo gdje je najniža tačka.
Bitan! Kao što je već naglašeno u članku o ekstremi funkcije, najveća vrijednost funkcije I najmanja vrijednost funkcije – NIJE ISTO, Šta maksimalna funkcija I minimalna funkcija. Dakle, u primjeru koji se razmatra, broj je minimum funkcije, ali ne i minimalna vrijednost.
Usput, šta se dešava izvan segmenta? Da, čak i poplava, u kontekstu problema koji se razmatra, to nas uopšte ne zanima. Zadatak uključuje samo pronalaženje dva broja 
i to je to!
Štoviše, rješenje je stoga čisto analitičko nema potrebe za crtanjem!
Algoritam leži na površini i sugeriše se iz gornje slike:
1) Pronađite vrijednosti funkcije u kritične tačke, koji pripadaju ovom segmentu.
Uhvatite još jedan bonus: ovdje nema potrebe provjeravati dovoljan uslov za ekstrem, jer, kao što je upravo prikazano, prisustvo minimuma ili maksimuma još ne garantuje, koja je minimalna ili maksimalna vrijednost. Demonstracijska funkcija dostiže maksimum i voljom sudbine isti broj je najveća vrijednost funkcije na segmentu. Ali, naravno, takva koincidencija se ne dešava uvijek.
Dakle, u prvom koraku brže je i lakše izračunati vrijednosti funkcije u kritičnim tačkama koje pripadaju segmentu, ne zamarajući se da li u njima postoje ekstremi ili ne.
2) Izračunavamo vrijednosti funkcije na krajevima segmenta.
3) Među vrijednostima funkcije koje se nalaze u 1. i 2. paragrafu, odaberite najmanju i najviše veliki broj, zapišite odgovor.
Sjedamo na obalu sinjeg mora i petama udaramo u plitku vodu:
Primjer 1
Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu
Rješenje:
1) Izračunajmo vrijednosti funkcije u kritičnim tačkama koje pripadaju ovom segmentu:
Izračunajmo vrijednost funkcije u drugom kritična tačka:
2) Izračunajmo vrijednosti funkcije na krajevima segmenta: 
3) Dobijeni su “podebljani” rezultati sa eksponentima i logaritmima, što značajno otežava njihovo poređenje. Iz tog razloga, naoružajmo se kalkulatorom ili Excelom i izračunajmo približne vrijednosti, ne zaboravljajući da: 
Sada je sve jasno.
Odgovori:
Razlomno-racionalna instanca za nezavisno rješenje:
Primjer 6
Pronađite maksimum i minimalna vrijednost funkcije na intervalu
S praktične tačke gledišta, najveći interes je korištenje derivata za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije. Sa čime je ovo povezano? Maksimiziranje profita, minimiziranje troškova, određivanje optimalnog opterećenja opreme... Drugim riječima, u mnogim područjima života moramo rješavati probleme optimizacije nekih parametara. A to su zadaci pronalaženja najveće i najmanje vrijednosti funkcije.
Treba napomenuti da se najveća i najmanja vrijednost funkcije obično traže na određenom intervalu X, koji je ili cijela domena funkcije ili dio domene definicije. Sam interval X može biti segment, otvoreni interval 
, beskonačan interval.
U ovom članku ćemo govoriti o pronalaženju najveće i najmanje vrijednosti eksplicitno definirane funkcije jedne varijable y=f(x).
Navigacija po stranici.
Najveća i najmanja vrijednost funkcije - definicije, ilustracije.
Pogledajmo ukratko glavne definicije.
Najveća vrijednost funkcije 
to za bilo koga 
nejednakost je tačna.
Najmanja vrijednost funkcije y=f(x) na intervalu X naziva se takva vrijednost 
to za bilo koga nejednakost je tačna.
Ove definicije su intuitivne: najveća (najmanja) vrijednost funkcije je najveća (najmanja) prihvaćena vrijednost na intervalu koji se razmatra na apscisi.
Stacionarne tačke– to su vrijednosti argumenta pri kojima derivacija funkcije postaje nula.
Zašto su nam potrebne stacionarne tačke pri pronalaženju najvećih i najmanjih vrijednosti? Odgovor na ovo pitanje daje Fermatova teorema. Iz ove teoreme slijedi da ako diferencijabilna funkcija ima ekstrem (lokalni minimum ili lokalni maksimum) u nekoj tački, onda je ta tačka stacionarna. Dakle, funkcija često uzima svoju najveću (najmanju) vrijednost na intervalu X u jednoj od stacionarnih tačaka iz ovog intervala.
Također, funkcija često može poprimiti svoje najveće i najmanje vrijednosti u tačkama u kojima prvi izvod ove funkcije ne postoji, a sama funkcija je definirana.
Odgovorimo odmah na jedno od najčešćih pitanja na ovu temu: „Da li je uvijek moguće odrediti najveću (najmanju) vrijednost funkcije“? Ne, ne uvek. Ponekad se granice intervala X poklapaju sa granicama domene definicije funkcije, ili je interval X beskonačan. A neke funkcije u beskonačnosti i na granicama domene definicije mogu poprimiti i beskonačno velike i beskonačno male vrijednosti. U ovim slučajevima se ništa ne može reći o najvećoj i najmanjoj vrijednosti funkcije.
Radi jasnoće daćemo grafičku ilustraciju. Pogledajte slike i mnogo toga će vam biti jasnije.
Na segmentu
Na prvoj slici, funkcija uzima najveću (max y) i najmanju (min y) vrijednost u stacionarnim tačkama koje se nalaze unutar segmenta [-6;6].
Razmotrite slučaj prikazan na drugoj slici. Promijenimo segment u . U ovom primjeru, najmanja vrijednost funkcije postiže se u stacionarnoj tački, a najveća u tački sa apscisom koja odgovara desna granica interval.
Na slici 3, granične tačke segmenta [-3;2] su apscise tačaka koje odgovaraju najvećoj i najmanjoj vrednosti funkcije.
Na otvorenom intervalu
Na četvrtoj slici, funkcija uzima najveću (max y) i najmanju (min y) vrijednost u stacionarnim točkama koje se nalaze unutar otvorenog intervala (-6;6).
Na intervalu se ne mogu izvući zaključci o najvećoj vrijednosti.
U beskonačnosti
U primjeru prikazanom na sedmoj slici, funkcija uzima najveću vrijednost (max y) u stacionarnoj tački sa apscisom x=1, a najmanja vrijednost (min y) postiže se na desnoj granici intervala. Na minus beskonačnosti, vrijednosti funkcije asimptotski se približavaju y=3.
Tokom intervala, funkcija ne dostiže ni najmanju ni najveću vrijednost. Kako se x=2 približava s desne strane, vrijednosti funkcije teže minus beskonačnosti (prava x=2 je vertikalna asimptota), a kako apscisa teži plus beskonačnosti, vrijednosti funkcije asimptotski se približavaju y=3. Grafička ilustracija ovog primjera prikazana je na slici 8.
Algoritam za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti kontinuirane funkcije na segmentu.
Napišimo algoritam koji nam omogućava da pronađemo najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu.
- Pronalazimo domenu definicije funkcije i provjeravamo da li ona sadrži cijeli segment.
- Pronalazimo sve tačke u kojima prvi izvod ne postoji i koje su sadržane u segmentu (obično se takve tačke nalaze u funkcijama sa argumentom pod znakom modula i u funkcijama stepena sa razlomačno-racionalnim eksponentom). Ako takvih tačaka nema, prijeđite na sljedeću tačku.
- Određujemo sve stacionarne tačke koje spadaju u segment. Da bismo to učinili, izjednačavamo ga s nulom, rješavamo rezultirajuću jednadžbu i odabiremo odgovarajuće korijene. Ako nema stacionarnih tačaka ili nijedna od njih ne pada u segment, pređite na sledeću tačku.
- Izračunavamo vrijednosti funkcije u odabranim stacionarnim tačkama (ako ih ima), u tačkama u kojima prvi izvod ne postoji (ako postoji), kao i na x=a i x=b.
- Od dobivenih vrijednosti funkcije biramo najveću i najmanju - to će biti tražena najveća i najmanja vrijednost funkcije.
Analizirajmo algoritam za rješavanje primjera kako bismo pronašli najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu.
Primjer.
Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije
- na segmentu;
- na segmentu [-4;-1] .
Rješenje.
Područje definicije funkcije je cijeli skup realnih brojeva, sa izuzetkom nule, tj. Oba segmenta spadaju u domen definicije.
Pronađite izvod funkcije u odnosu na: 
Očigledno, derivacija funkcije postoji u svim tačkama segmenata i [-4;-1].
Stacionarne tačke određujemo iz jednačine. Jedini pravi korijen je x=2. Ova stacionarna tačka spada u prvi segment.
Za prvi slučaj izračunavamo vrijednosti funkcije na krajevima segmenta i u stacionarnoj tački, odnosno za x=1, x=2 i x=4: 
Dakle, najveća vrijednost funkcije 
se postiže pri x=1, a najmanja vrijednost 
– na x=2.
Za drugi slučaj izračunavamo vrijednosti funkcije samo na krajevima segmenta [-4;-1] (pošto ne sadrži ni jednu stacionarnu tačku): 