Pogledajmo primjere dijeljenja decimala u ovom svjetlu.
Primjer.
Podijelite decimalni razlomak 1,2 sa decimalni 0,48 .
Rješenje.
odgovor:
1,2:0,48=2,5 .
Primjer.
Podijelite periodični decimalni razlomak 0.(504) sa decimalnim razlomkom 0.56.
Rješenje.
Pretvorimo periodični decimalni razlomak u običan razlomak: . Također pretvaramo konačni decimalni razlomak 0,56 u običan razlomak, imamo 0,56 = 56/100. Sada možemo prijeći s dijeljenja originalnih decimalnih razlomaka na dijeljenje običnih razlomaka i završiti proračune: .
Pretvorimo rezultujući obični razlomak u decimalni razlomak tako što podijelimo brojnik sa nazivnikom sa stupcem:
odgovor:
0,(504):0,56=0,(900) .
Princip dijeljenja beskonačnih neperiodičnih decimalnih razlomaka razlikuje se od principa dijeljenja konačnih i periodičnih decimalnih razlomaka, jer se neperiodični decimalni razlomci ne mogu pretvoriti u obične razlomke. Podjela beskonačnih neperiodičnih decimalnih razlomaka svodi se na dijeljenje konačnih decimalnih razlomaka, za koje provodimo zaokruživanje brojeva do određenog nivoa. Štaviše, ako je jedan od brojeva s kojima se vrši dijeljenje konačan ili periodični decimalni razlomak, tada se također zaokružuje na istu znamenku kao i neperiodični decimalni razlomak.
Primjer.
Podijelite beskonačnu neperiodičnu decimalu 0,779... sa konačnom decimalom 1,5602.
Rješenje.
Prvo morate zaokružiti decimale tako da možete prijeći s dijeljenja beskonačnih neperiodičnih decimala na dijeljenje konačnih decimala. Možemo zaokružiti na najbližu stotinu: 0,779…≈0,78 i 1,5602≈1,56. Dakle, 0,779…:1,5602≈0,78:1,56= 78/100:156/100=78/100·100/156= 78/156=1/2=0,5 .
odgovor:
0,779…:1,5602≈0,5 .
Dijeljenje prirodnog broja decimalnim razlomkom i obrnuto
Suština pristupa dijeljenju prirodnog broja decimalnim razlomkom i dijeljenju decimalnog razlomka sa prirodni broj ne razlikuje se od suštine dijeljenja decimalnih razlomaka. To jest, konačni i periodični razlomci se zamjenjuju običnim razlomcima, a beskonačni neperiodični razlomci se zaokružuju.
Za ilustraciju, razmotrite primjer dijeljenja decimalnog razlomka prirodnim brojem.
Primjer.
Podijelite decimalni razlomak 25,5 prirodnim brojem 45.
Rješenje.
Zamjenom decimalnog razlomka 25,5 običnim razlomkom 255/10=51/2, dijeljenje se svodi na dijeljenje običnog razlomka prirodnim brojem:. Rezultirajući razlomak u decimalnom zapisu ima oblik 0,5(6) .
odgovor:
25,5:45=0,5(6) .
Dijeljenje decimalnog razlomka prirodnim brojem sa stupcem
Pogodno je podijeliti konačne decimalne razlomke na prirodne brojeve kolonom, po analogiji s dijeljenjem kolonom prirodnih brojeva. Hajde da predstavimo pravilo dijeljenja.
To podijeliti decimalni razlomak prirodnim brojem koristeći kolonu, potrebno:
- dodajte nekoliko cifara 0 desno od decimalnog razlomka koji se dijeli (u toku procesa dijeljenja, ako je potrebno, možete dodati bilo koji broj nula, ali ove nule možda neće biti potrebne);
- izvrši dijeljenje stupcem decimalnog razlomka prirodnim brojem prema svim pravilima dijeljenja stupcem prirodnih brojeva, ali kada se završi dijeljenje cijelog dijela decimalnog razlomka, tada u količnik treba staviti zarez i nastavite dijeljenje.
Recimo odmah da kao rezultat dijeljenja konačnog decimalnog razlomka prirodnim brojem, možete dobiti ili konačni decimalni razlomak ili beskonačan periodični decimalni razlomak. Zaista, nakon što se završi dijeljenje svih decimalnih mjesta razlomka koji se dijeli, ostatak može biti 0 i dobićemo konačni decimalni razlomak, ili će se ostaci početi periodično ponavljati i dobićemo periodični decimalni razlomak.
Hajde da shvatimo sve zamršenosti dijeljenja decimalnih razlomaka prirodnim brojevima u stupcu prilikom rješavanja primjera.
Primjer.
Podijelite decimalni razlomak 65,14 sa 4.
Rješenje.
Podijelimo decimalni razlomak prirodnim brojem koristeći kolonu. Dodajmo nekoliko nula desno u zapisu razlomka 65,14 i dobićemo jednak decimalni razlomak 65,1400 (vidi jednake i nejednake decimalne razlomke). Sada možete početi dijeliti kolonom cijeli broj decimalnog razlomka 65,1400 prirodnim brojem 4: 
Time se završava dijeljenje cijelog broja decimalnog razlomka. Ovdje u količniku trebate staviti decimalni zarez i nastaviti dijeljenje: 
Došli smo do ostatka od 0, u ovoj fazi se podjela po koloni završava. Kao rezultat, imamo 65,14:4=16,285.
odgovor:
65,14:4=16,285 .
Primjer.
Podijelite 164,5 sa 27.
Rješenje.
Podijelimo decimalni razlomak prirodnim brojem koristeći kolonu. Nakon podjele cijelog dijela dobijamo sljedeću sliku: 
Sada stavljamo zarez u količnik i nastavljamo dijeljenje sa stupcem: 
Sada je jasno vidljivo da su se ostaci 25, 7 i 16 počeli ponavljati, dok se u količniku ponavljaju brojevi 9, 2 i 5. Dakle, dijeljenje decimale 164,5 sa 27 daje nam periodičnu decimalu 6,0(925) .
odgovor:
164,5:27=6,0(925) .
Dijeljenje decimalnih razlomaka po stupcima
Podjela decimalnog razlomka decimalnim razlomkom može se svesti na dijeljenje decimalnog razlomka prirodnim brojem sa stupcem. Da biste to učinili, dividenda i djelitelj moraju se pomnožiti s brojem kao što je 10, ili 100, ili 1000, itd., Tako da djelitelj postane prirodan broj, a zatim podijeliti prirodnim brojem sa stupcem. To možemo učiniti zahvaljujući svojstvima dijeljenja i množenja, budući da a:b=(a·10):(b·10) , a:b=(a·100):(b·100) i tako dalje.
Drugim riječima, podijeliti zadnju decimalu sa krajnjom decimalom, potrebno je:
- u deljeniku i djelitelju pomaknite zarez udesno za onoliko mjesta koliko ima nakon decimalne zareze u djelitelju; ako u dividendi nema dovoljno znakova za pomicanje zareza, tada morate dodati potreban broj nule desno;
- Nakon toga podijelite decimalnim stupcem prirodnim brojem.
Prilikom rješavanja primjera razmotrite primjenu ovog pravila dijeljenja decimalnim razlomkom.
Primjer.
Podijelite kolonom 7,287 sa 2,1.
Rješenje.
Pomerimo zarez u ovim decimalnim razlomcima za jednu cifru udesno, to će nam omogućiti da pređemo sa dijeljenja decimalnog razlomka 7,287 sa decimalnim razlomkom 2,1 na dijeljenje decimalnog razlomka 72,87 prirodnim brojem 21. Uradimo podjelu po koloni: 
odgovor:
7,287:2,1=3,47 .
Primjer.
Podijelite decimalu 16,3 sa decimalom 0,021.
Rješenje.
Pomerite zarez u deljeniku i delilac na desna tri mesta. Očigledno, djelitelj nema dovoljno cifara da pomjeri decimalni zarez, pa ćemo sa desne strane dodati potreban broj nula. Sada podijelimo razlomak 16300,0 sa stupcem prirodnim brojem 21: 
Od ovog trenutka počinju da se ponavljaju ostaci 4, 19, 1, 10, 16 i 13, što znači da će se ponavljati i brojevi 1, 9, 0, 4, 7 i 6 u količniku. Kao rezultat, dobijamo periodični decimalni razlomak 776,(190476) .
odgovor:
16,3:0,021=776,(190476) .
Imajte na umu da vam najavljeno pravilo omogućava da prirodni broj podijelite po stupcu u konačni decimalni razlomak.
Primjer.
Podijelite prirodni broj 3 decimalnim razlomkom 5.4.
Rješenje.
Nakon pomjeranja decimalnog zareza za jednu cifru udesno, dolazimo do dijeljenja broja 30,0 sa 54. Uradimo podjelu po koloni: 
.
Ovo pravilo se može primijeniti i kod dijeljenja beskonačnih decimalnih razlomaka sa 10, 100, .... Na primjer, 3,(56):1,000=0,003(56) i 593,374…:100=5,93374… .
Dijeljenje decimala sa 0,1, 0,01, 0,001, itd.
Pošto je 0,1 = 1/10, 0,01 = 1/100, itd., onda iz pravila dijeljenja običnim razlomkom slijedi da se decimalni razlomak podijeli sa 0,1, 0,01, 0,001 itd. to je isto kao množenje date decimale sa 10, 100, 1.000, itd. respektivno.
Drugim riječima, da biste podijelili decimalni razlomak sa 0,1, 0,01, ... potrebno je pomjeriti decimalni zarez udesno za 1, 2, 3, ... znamenke, a ako cifre u decimalnom razlomku nisu dovoljne da biste pomaknuli decimalni zarez, tada trebate dodati traženi broj desnim nulama.
Na primjer, 5.739:0.1=57.39 i 0.21:0.00001=21.000.
Isto pravilo se može primijeniti kada se beskonačni decimalni razlomci dijele sa 0,1, 0,01, 0,001 itd. U ovom slučaju treba biti vrlo oprezan prilikom dijeljenja periodičnih razlomaka kako ne biste pogriješili s periodom razlomka koji se dobije kao rezultat dijeljenja. Na primjer, 7,5(716):0,01=757,(167), pošto nakon pomjeranja decimalnog zareza u decimalni razlomak 7,5716716716... dva mjesta udesno, imamo unos 757,167167.... Uz beskonačne neperiodične decimalne razlomke sve je jednostavnije: 394,38283…:0,001=394382,83… .
Dijeljenje razlomka ili mješovitog broja decimalom i obrnuto
Dijeljenje običnog razlomka ili mješovitog broja konačnim ili periodičnim decimalnim razlomkom, kao i dijeljenje konačnog ili periodičnog decimalnog razlomka običnim razlomkom ili mješovitim brojem, svodi se na dijeljenje običnih razlomaka. Da biste to učinili, decimalni razlomci se zamjenjuju odgovarajućim običnim razlomcima, a mješoviti broj je predstavljen kao nepravilan razlomak.
Kada dijelite beskonačan neperiodični decimalni razlomak običnim razlomkom ili mješovitim brojem i obrnuto, trebali biste nastaviti s dijeljenjem decimalnih razlomaka, zamjenjujući obični razlomak ili mješoviti broj odgovarajućim decimalnim razlomkom.
Bibliografija.
- Matematika: udžbenik za 5. razred. opšte obrazovanje institucije / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. izdanje, izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 str.: ilustr. ISBN 5-346-00699-0.
- Matematika. 6. razred: vaspitni. za opšte obrazovanje institucije / [N. Ya. Vilenkin i drugi]. - 22. izdanje, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-00897-2.
- algebra: udžbenik za 8. razred. opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uređeno od S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M.: Obrazovanje, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola): Proc. dodatak.- M.; Više škola, 1984.-351 str., ilustr.
Pronađite prvu znamenku količnika (rezultat dijeljenja). Da biste to učinili, podijelite prvu cifru dividende s djeliteljem. Rezultat upiši ispod djelitelja.
- U našem primjeru, prva znamenka dividende je 3. Podijelite 3 sa 12. Pošto je 3 manje od 12, rezultat dijeljenja će biti 0. Upišite 0 ispod djelitelja - ovo je prva znamenka količnika.
Pomnožite rezultat sa djeliteljem. Rezultat množenja upišite ispod prve cifre dividende, jer je to znamenka koju ste upravo podijelili djelikom.
- U našem primjeru, 0 × 12 = 0, pa upišite 0 ispod 3.
Oduzmite rezultat množenja od prve cifre dividende. Napišite svoj odgovor na novom redu.
- U našem primjeru: 3 - 0 = 3. Napišite 3 direktno ispod 0.
Pomjerite drugu cifru dividende naniže. Da biste to učinili, zapišite sljedeću znamenku dividende pored rezultata oduzimanja.
- U našem primjeru, dividenda je 30. Druga znamenka dividende je 0. Pomjerite je nadolje tako što ćete napisati 0 pored 3 (rezultat oduzimanja). Dobićete broj 30.
Podijelite rezultat djeliteljem. Naći ćete drugu cifru količnika. Da biste to učinili, podijelite broj koji se nalazi u donjem redu s djeliteljem.
- U našem primjeru, podijelite 30 sa 12. 30 ÷ 12 = 2 plus neki ostatak (jer je 12 x 2 = 24). Upišite 2 iza 0 ispod djelitelja - ovo je druga znamenka količnika.
- Ako ne možete pronaći odgovarajuću cifru, prođite kroz cifre sve dok rezultat množenja cifre djeliteljem ne bude manji i najbliži broju koji se nalazi posljednjem u koloni. U našem primjeru, razmotrite broj 3. Pomnožite ga s djeliteljem: 12 x 3 = 36. Pošto je 36 veće od 30, broj 3 nije prikladan. Sada razmotrite broj 2. 12 x 2 = 24. 24 je manje od 30, tako da je broj 2 ispravno rješenje.
Ponovite gore navedene korake da pronađete sljedeći broj. Opisani algoritam se koristi u bilo kojem problemu duge podjele.
- Pomnožite drugu znamenku količnika sa djeliteljem: 2 x 12 = 24.
- Rezultat množenja (24) upišite ispod posljednjeg broja u koloni (30).
- Oduzmite manji broj od većeg. U našem primjeru: 30 - 24 = 6. Rezultat (6) upišite u novi red.
Ako u dividendi još ima cifara koje se mogu pomjeriti naniže, nastavite s procesom obračuna. U suprotnom, nastavite na sljedeći korak.
- U našem primjeru, pomjerili ste dolje posljednju cifru dividende (0). Dakle, prijeđite na sljedeći korak.
Ako je potrebno, koristite decimalni zarez za proširenje dividende. Ako je dividenda djeljiva sa djeliteljem, tada ćete u zadnjem redu dobiti broj 0. To znači da je problem riješen, a odgovor (u obliku cijelog broja) je upisan ispod djelitelja. Ali ako se na samom dnu kolone nalazi bilo koja cifra osim 0, potrebno je dividendu proširiti dodavanjem decimalnog zareza i 0. Podsjetimo da se time ne mijenja vrijednost dividende.
- U našem primjeru zadnji red sadrži broj 6. Dakle, desno od 30 (dividenda) upišite decimalni zarez, a zatim upišite 0. Također, stavite decimalni zarez iza pronađenih cifara količnika koji ste upiši ispod djelitelja (ne piši još ništa iza ovog zareza!) .
Ponovite gore opisane korake da pronađete sljedeći broj. Glavna stvar je da ne zaboravite staviti decimalni zarez i nakon dividende i nakon pronađenih znamenki količnika. Ostatak procesa je sličan gore opisanom procesu.
- U našem primjeru, pomaknite se na 0 (koju ste napisali nakon decimalnog zareza). Dobićete broj 60. Sada podijelite ovaj broj s djeliteljem: 60 ÷ 12 = 5. Upišite 5 iza 2 (i nakon decimalnog zareza) ispod djelitelja. Ovo je treća znamenka količnika. Dakle, konačni odgovor je 2,5 (nula prije 2 se može zanemariti).
Ako se čini da vaše dijete ne može shvatiti kako podijeliti decimale, to nije razlog da mislite da nije sposobno za matematiku.
Najvjerovatnije mu jednostavno nisu jasno objasnili kako se to radi. Trebamo pomoći djetetu i pričati mu o razlomcima i operacijama s njima na najjednostavniji, gotovo razigran mogući način. A za ovo moramo i sami da se setimo nečega.
Razlomci se koriste kada mi pričamo o tome o necijelim brojevima. Ako je razlomak manji od jedan, onda opisuje dio nečega; ako je više, opisuje nekoliko cijelih dijelova i još jedan komad. Razlomci su opisani sa 2 vrijednosti: nazivnik koji objašnjava koliko jednaki dijelovi Broj se dijeli brojicom, koji nam govori koliko takvih dijelova imamo na umu.
Recimo da ste isjekli pitu na 4 jednaka dijela i jedan od njih dali komšijama. Imenilac će biti jednak 4. A brojilac zavisi od onoga što želimo da opišemo. Ako govorimo o tome koliko je dato komšijama, onda je brojilac 1, a ako govorimo o tome koliko je ostalo, onda je 3.
U primjeru s pitom, imenilac je 4, au izrazu „1 dan je 1/7 sedmice“ je 7. Izraz razlomka sa bilo kojim nazivnikom je običan razlomak.
Matematičari, kao i svi drugi, pokušavaju da sebi olakšaju život. I zato su izmišljeni decimalni razlomci. U njima je imenilac jednak 10 ili brojevima koji su višestruki od 10 (100, 1000, 10 000 itd.), a pišu se na sljedeći način: cjelobrojna komponenta broja je odvojena zarezom od razlomke. Na primjer, 5,1 je 5 cijelih i 1 deseti dio, a 7,86 je 7 cijelih i 86 stotih.
Mali odmor nije za vašu djecu, već za vas. Kod nas je uobičajeno da se razlomak odvaja zarezom. U inostranstvu, prema ustaljenoj tradiciji, uobičajeno je da se odvaja tačkom. Stoga, ako naiđete na slične oznake u stranom tekstu, nemojte se iznenaditi.
Podjela razlomaka
Svaki aritmetička operacija sa sličnim brojevima ima svoje karakteristike, ali sada ćemo pokušati naučiti kako podijeliti decimalne razlomke. Moguće je podijeliti razlomak prirodnim brojem ili drugim razlomkom.
Da biste lakše savladali ovu aritmetičku operaciju, važno je zapamtiti jednu jednostavnu stvar.
Kada naučite kako koristiti zareze, možete koristiti ista pravila dijeljenja kao i za cijele brojeve.
Razmislite o dijeljenju razlomka prirodnim brojem. Tehnologija podjele na stup bi vam već trebala biti poznata iz prethodno obrađenog materijala. Procedura je slična. Dividenda se dijeli znak po znak pomoću djelitelja. Čim red dođe do posljednjeg znaka ispred zareza, u količnik se stavlja zarez, a zatim se podjela nastavlja na uobičajen način.
Odnosno, osim uklanjanja zareza, ovo je najčešća podjela, a zarez nije baš težak.
Deljenje razlomka sa razlomkom
Primjeri u kojima trebate podijeliti jednu frakcijsku vrijednost drugom izgledaju vrlo složeni. Ali u stvari, s njima nije teže nositi se. Dijeljenje jednog decimalnog razlomka drugim bit će mnogo lakše ako se riješite zareza u djelitelju.
Kako uraditi? Ako treba da stavite 90 olovaka u 10 kutija, koliko će olovaka biti u svakoj kutiji? 9. Pomnožimo oba broja sa 10 - 900 olovaka i 100 kutija. Koliko u svakom? 9. Isti princip se primjenjuje kada trebate podijeliti decimalni razlomak.
Delitelj se potpuno oslobađa zareza, a zarez dividende se pomiče udesno za onoliko mjesta koliko ih je ranije bilo u djelitelju. A onda se vrši uobičajena podjela u kolonu, o kojoj smo gore govorili. Na primjer:
25,6/6,4 = 256/64 = 4;
10,24/1,6 = 102,4/16 =6,4;
100,725/1,25 =10072,5/125 =80,58.
Dividenda se mora množiti i množiti sa 10 dok djelitelj ne postane cijeli broj. Stoga može imati dodatne nule na desnoj strani.
40,6/0,58 =4060/58=70.
Ništa loše u tome. Zapamtite primjer s olovkama - odgovor se neće promijeniti ako oba broja povećate za isti iznos. Teže je podijeliti običan razlomak, posebno u odsustvu zajednički faktori u brojniku i nazivniku.
Podjela decimale je mnogo pogodnija u tom pogledu. Najteži trik ovdje je trik sa prelamanjem zareza, ali kao što smo vidjeli, njime je lako rukovati. Ako to možete prenijeti svom djetetu, naučit ćete ga kako dijeli decimale.
Nakon što savladate ovo jednostavno pravilo, vaš sin ili kćerka će se osjećati mnogo sigurnije na časovima matematike i, ko zna, možda će se zainteresirati za ovaj predmet. Matematički način razmišljanja rijetko se manifestira od ranog djetinjstva; ponekad je potreban poticaj i interesovanje.
Pomažući svom djetetu u izradi domaćih zadataka, ne samo da ćete poboljšati njegov akademski uspjeh, već ćete proširiti i spektar njegovih interesovanja, na čemu će vam s vremenom biti zahvalno.
U ovom članku ćemo pogledati tako važnu operaciju s decimalnim razlomcima kao što je podjela. Prvo da formulišemo opšti principi, zatim ćemo pogledati kako pravilno podijeliti decimalne razlomke po stupcima i drugim razlomcima i prirodnim brojevima. Zatim ćemo analizirati podjelu običnih razlomaka na decimale i obrnuto, a na kraju ćemo pogledati kako pravilno podijeliti razlomke koji završavaju na 0, 1, 0, 01, 100, 10 itd.
Ovdje ćemo uzeti samo slučajeve s pozitivnim razlomcima. Ako ispred razlomka postoji minus, onda da biste radili s njim, morate proučiti materijal o podjeli racionalnih i realnih brojeva.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Svi decimalni razlomci, i konačni i periodični, su pravedni poseban obrazac pisanje običnih razlomaka. Stoga, oni podliježu istim principima kao i njihovi odgovarajući obični razlomci. Dakle, cijeli proces dijeljenja decimalnih razlomaka svodimo na njihovu zamjenu običnim, nakon čega slijedi računanje pomoću metoda koje su nam već poznate. Uzmimo konkretan primjer.
Primjer 1
Podijelite 1,2 sa 0,48.
Rješenje
Zapišimo decimalne razlomke kao obične razlomke. dobićemo:
1 , 2 = 12 10 = 6 5
0 , 48 = 48 100 = 12 25 .
Dakle, trebamo podijeliti 6 5 sa 12 25. računamo:
1, 2: 0, 48 = 6 2: 12 25 = 6 5 25 12 = 6 25 5 12 = 5 2
Iz rezultirajućeg nepravilnog razlomka možete odabrati cijeli dio i dobiti mješoviti broj 2 1 2, ili ga možete predstaviti kao decimalni razlomak tako da odgovara originalnim brojevima: 5 2 = 2, 5. O tome kako to učiniti, već smo pisali ranije.
odgovor: 1 , 2: 0 , 48 = 2 , 5 .
Primjer 2
Izračunajte koliko će biti 0 , (504) 0 , 56.
Rješenje
Prvo, trebamo pretvoriti periodični decimalni razlomak u običan razlomak.
0 , (504) = 0 , 504 1 - 0 , 001 = 0 , 504 0 , 999 = 504 999 = 56 111
Nakon ovoga, konvertovaćemo i konačni decimalni razlomak u drugi oblik: 0, 56 = 56,100. Sada imamo dva broja s kojima će nam biti lako izvršiti potrebne proračune:
0 , (504) : 1 , 11 = 56 111: 56 100 = 56 111 100 56 = 100 111
Imamo rezultat koji također možemo pretvoriti u decimalni oblik. Da biste to učinili, podijelite brojilac sa nazivnikom koristeći metodu stupca:
odgovor: 0 , (504) : 0 , 56 = 0 , (900) .
Ako smo u primjeru dijeljenja naišli na neperiodične decimalne razlomke, onda ćemo postupiti malo drugačije. Ne možemo ih svesti na uobičajene obične razlomke, pa ih prilikom dijeljenja prvo moramo zaokružiti na određenu znamenku. Ova radnja se mora izvesti i sa dividendom i sa djeliteljem: mi ćemo također zaokružiti postojeći konačni ili periodični razlomak u interesu tačnosti.
Primjer 3
Pronađite koliko je 0,779... / 1,5602.
Rješenje
Prvo zaokružujemo oba razlomka na najbližu stotinu. Ovako prelazimo s beskonačnih neperiodičnih razlomaka na konačne decimalne:
0 , 779 … ≈ 0 , 78
1 , 5602 ≈ 1 , 56
Možemo nastaviti proračune i dobiti približan rezultat: 0, 779 ...: 1, 5602 ≈ 0, 78: 1, 56 = 78.100: 156.100 = 78.100 100.156 = 78.156 = 1 2.
Preciznost rezultata zavisiće od stepena zaokruživanja.
odgovor: 0 , 779 … : 1 , 5602 ≈ 0 , 5 .
Kako podijeliti prirodni broj decimalom i obrnuto
Pristup podjeli u ovom slučaju je gotovo isti: konačne i periodične razlomke zamjenjujemo običnim, a beskonačne neperiodične zaokružujemo. Počnimo s primjerom dijeljenja prirodnim brojem i decimalnim razlomkom.
Primjer 4
Podijelite 2,5 sa 45.
Rješenje
Smanjimo 2,5 u oblik običnog razlomka: 255 10 = 51 2. Zatim ga samo trebamo podijeliti prirodnim brojem. Već znamo kako to učiniti:
25, 5: 45 = 51 2: 45 = 51 2 1 45 = 17 30
Ako rezultat pretvorimo u decimalni zapis, dobićemo 0,5 (6).
odgovor: 25 , 5: 45 = 0 , 5 (6) .
Metoda dugog dijeljenja nije dobra samo za prirodne brojeve. Po analogiji, možemo ga koristiti za razlomke. U nastavku navodimo redoslijed radnji koje je potrebno izvršiti za to.
Definicija 1
Da biste kolonu decimalnih razlomaka podijelili prirodnim brojevima potrebno vam je:
1. Dodajte nekoliko nula decimalnom razlomku na desnoj strani (za dijeljenje možemo dodati bilo koji broj njih koji nam je potreban).
2. Podijelite decimalni razlomak prirodnim brojem koristeći algoritam. Kada se dijeljenje cijelog dijela razlomka završi, u dobiveni količnik stavljamo zarez i dalje brojimo.
Rezultat takvog dijeljenja može biti ili konačan ili beskonačan periodični decimalni razlomak. Zavisi od ostatka: ako je nula, tada će rezultat biti konačan, a ako se ostaci počnu ponavljati, onda će odgovor biti periodični razlomak.
Uzmimo nekoliko problema kao primjer i pokušajmo izvršiti ove korake s određenim brojevima.
Primjer 5
Izračunajte koliko će biti 65, 14 4.
Rješenje
Koristimo metod kolone. Da biste to učinili, dodajte dvije nule razlomku i dobijete decimalni razlomak 65, 1400, koji će biti jednak originalnom. Sada pišemo kolonu za dijeljenje sa 4:
Rezultirajući broj će biti rezultat koji nam je potreban od dijeljenja cijelog broja. Stavljamo zarez, odvajamo ga i nastavljamo:
Došli smo do nula ostatka, stoga je proces dijeljenja završen.
odgovor: 65 , 14: 4 = 16 , 285 .
Primjer 6
Podijelite 164,5 sa 27.
Rješenje
Prvo podijelimo razlomak i dobijemo:
Dobijeni broj odvojite zarezom i nastavite s dijeljenjem:
Vidimo da su se ostaci počeli periodično ponavljati, a u količniku su se brojevi devet, dva i pet počeli izmjenjivati. Ovdje ćemo se zaustaviti i napisati odgovor u obliku periodičnog razlomka 6, 0 (925).
odgovor: 164 , 5: 27 = 6 , 0 (925) .
Ova podjela se može svesti na gore opisani proces pronalaženja količnika decimalnog razlomka i prirodnog broja. Da bismo to učinili, trebamo pomnožiti dividendu i djelitelj sa 10, 100 itd. tako da se djelitelj pretvori u prirodan broj. Zatim provodimo gore opisani slijed radnji. Ovaj pristup je moguć zbog svojstava dijeljenja i množenja. Zapisali smo ih ovako:
a: b = (a · 10) : (b · 10) , a: b = (a · 100) : (b · 100) i tako dalje.
Hajde da formulišemo pravilo:
Definicija 2
Da podijelite jedan konačni decimalni razlomak drugim:
1. Pomaknite zarez u dividendi i djelitelju udesno za broj cifara potrebnih da se djelitelj pretvori u prirodan broj. Ako u dividendi nema dovoljno znakova, dodajemo joj nule na desnoj strani.
2. Nakon toga podijelite razlomak kolonom sa rezultirajućim prirodnim brojem.
Pogledajmo konkretan problem.
Primjer 7
Podijelite 7,287 sa 2,1.
Rješenje: Da bi djelitelj postao prirodan broj, trebamo pomjeriti decimalno mjesto za jedno mjesto udesno. Tako smo prešli na dijeljenje decimalnog razlomka 72, 87 sa 21. Zapišimo rezultirajuće brojeve u kolonu i izračunajmo
odgovor: 7 , 287: 2 , 1 = 3 , 47
Primjer 8
Izračunaj 30.16.021.
Rješenje
Moraćemo da pomerimo zarez za tri mesta. Za ovo nema dovoljno cifara u djelitelju, što znači da morate koristiti dodatne nule. Mislimo da će rezultat biti:
Vidimo periodično ponavljanje ostataka 4, 19, 1, 10, 16, 13. U količniku se ponavljaju 1, 9, 0, 4, 7 i 5. Tada je naš rezultat periodični decimalni razlomak 776, (190476).
odgovor: 16 , 3: 0 , 021 = 776 , (190476)
Metoda koju smo opisali omogućava vam da učinite suprotno, odnosno podijelite prirodni broj konačnim decimalnim razlomkom. Da vidimo kako se to radi.
Primjer 9
Izračunaj koliko je 3 5, 4.
Rješenje
Očigledno je da ćemo morati da pomerimo zarez na jedno pravo mesto. Nakon toga možemo nastaviti s dijeljenjem 30, 0 sa 54. Zapišimo podatke u kolonu i izračunajmo rezultat:
Ponavljanje ostatka daje nam konačni broj 0, (5), koji je periodični decimalni razlomak.
odgovor: 3: 5 , 4 = 0 , (5) .
Kako podijeliti decimale sa 1000, 100, 10 itd.
Prema već proučenim pravilima za dijeljenje običnih razlomaka, dijeljenje razlomka sa deseticama, stotinama, hiljadama je slično množenju sa 1/1000, 1/100, 1/10, itd. Ispada da bi se izvršilo dijeljenje , u ovom slučaju samo pomerite zarez na potrebna količina brojevi Ako u broju nema dovoljno vrijednosti za prijenos, potrebno je dodati potreban broj nula.
Primjer 10
Dakle, 56, 21: 10 = 5, 621 i 0, 32: 100 000 = 0, 0000032.
U slučaju beskonačnih decimalnih razlomaka, radimo isto.
Primjer 11
Na primjer, 3, (56): 1,000 = 0, 003 (56) i 593, 374...: 100 = 5, 93374....
Kako podijeliti decimale sa 0,001, 0,01, 0,1 itd.
Koristeći isto pravilo, također možemo podijeliti razlomke na naznačene vrijednosti. Ova radnja će biti slična množenju sa 1000, 100, 10, respektivno. Da bismo to učinili, pomjerimo zarez na jednu, dvije ili tri znamenke, ovisno o uvjetima problema, i dodamo nule ako u broju nema dovoljno cifara.
Primjer 12
Na primjer, 5.739: 0.1 = 57.39 i 0.21: 0.00001 = 21.000.
Ovo pravilo vrijedi i za beskonačne decimalne razlomke. Savjetujemo vam samo da budete oprezni s periodom razlomka koji se pojavljuje u odgovoru.
Dakle, 7, 5 (716) : 0, 01 = 757, (167) jer nakon što smo pomerili zarez u decimalnom razlomku 7, 5716716716... dva mesta udesno, dobili smo 757, 167167....
Ako u primjeru imamo neperiodične razlomke, onda je sve jednostavnije: 394, 38283...: 0, 001 = 394382, 83....
Kako podijeliti mješoviti broj ili razlomak decimalom i obrnuto
Ovu radnju također svodimo na operacije s običnim razlomcima. Da biste to učinili, morate zamijeniti decimalni brojevi odgovarajuće obične razlomke, a mješoviti broj zapišite kao nepravilan razlomak.
Ako neperiodični razlomak podijelimo običnim ili mješovitim brojem, trebamo učiniti suprotno, zamijenivši obični razlomak ili mješoviti broj odgovarajućim decimalnim razlomkom.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
U prošloj lekciji naučili smo kako sabirati i oduzimati decimale (pogledajte lekciju “Dodavanje i oduzimanje decimala”). Istovremeno smo procijenili koliko su proračuni pojednostavljeni u odnosu na obične „dvokatne“ razlomke.
Nažalost, ovaj efekat se ne javlja kod množenja i dijeljenja decimala. U nekim slučajevima, decimalni zapis čak komplikuje ove operacije.
Prvo, uvedemo novu definiciju. Često ćemo ga viđati, i to ne samo na ovoj lekciji.
Značajan dio broja je sve između prve i posljednje cifre različite od nule, uključujući krajeve. Radi se o samo za brojeve, decimalni zarez se ne uzima u obzir.
Cifre uključene u značajan dio broja nazivaju se značajne cifre. Mogu se ponavljati i čak biti jednake nuli.
Na primjer, razmotrite nekoliko decimalnih razlomaka i napišite odgovarajuće značajne dijelove:
- 91,25 → 9125 (značajne brojke: 9; 1; 2; 5);
- 0,008241 → 8241 (značajne brojke: 8; 2; 4; 1);
- 15.0075 → 150075 (značajne brojke: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
- 0,0304 → 304 (značajne brojke: 3; 0; 4);
- 3000 → 3 (značajna figura samo jedan: 3).
Imajte na umu: nule unutar značajnog dijela broja ne idu nikuda. Već smo se susreli sa nečim sličnim kada smo naučili pretvarati decimalne razlomke u obične (pogledajte lekciju “Decimale”).
Ovo je toliko važno, a greške se ovdje često prave da ću u bliskoj budućnosti objaviti test na ovu temu. Obavezno vježbajte! A mi, naoružani konceptom značajnog dijela, preći ćemo, zapravo, na temu lekcije.
Množenje decimala
Operacija množenja sastoji se od tri uzastopna koraka:
- Za svaki razlomak zapišite značajan dio. Dobićete dva obična cijela broja - bez nazivnika i decimalnih zareza;
- Pomnožite ove brojeve bilo kojim na zgodan način. Direktno, ako su brojevi mali, ili u koloni. Dobijamo značajan dio željene frakcije;
- Saznajte gdje i za koliko cifara se pomiče decimalna točka u originalnim razlomcima da biste dobili odgovarajući značajan dio. Izvršite obrnute pomake za značajan dio dobiven u prethodnom koraku.
Da vas još jednom podsjetim da se nule na stranama značajnog dijela nikada ne uzimaju u obzir. Zanemarivanje ovog pravila dovodi do grešaka.
- 0,28 12,5;
- 6,3 · 1,08;
- 132,5 · 0,0034;
- 0,0108 1600,5;
- 5,25 · 10.000.
Radimo s prvim izrazom: 0,28 · 12,5.
- Napišimo bitne dijelove za brojeve iz ovog izraza: 28 i 125;
- Njihov proizvod: 28 · 125 = 3500;
- U prvom faktoru decimalna tačka se pomera za 2 znamenke udesno (0,28 → 28), a u drugom se pomera za još 1 cifru. Ukupno vam je potreban pomak ulijevo za tri cifre: 3500 → 3500 = 3,5.
Pogledajmo sada izraz 6.3 · 1.08.
- Zapišimo bitne dijelove: 63 i 108;
- Njihov proizvod: 63 · 108 = 6804;
- Opet, dva pomaka udesno: za 2 i 1 cifru, respektivno. Ukupno - opet 3 cifre udesno, tako da će pomak unazad biti 3 cifre ulijevo: 6804 → 6.804. Ovog puta nema nule na kraju.
Došli smo do trećeg izraza: 132,5 · 0,0034.
- Značajni dijelovi: 1325 i 34;
- Njihov proizvod: 1325 · 34 = 45,050;
- U prvom razlomku decimalni zarez se pomiče udesno za 1 cifru, a u drugom - za čak 4. Ukupno: 5 udesno. Pomjeramo za 5 ulijevo: 45,050 → .45050 = 0,4505. Nula je uklonjena na kraju, a dodata na prednjoj strani kako ne bi ostala "gola" decimalna točka.
Sljedeći izraz je: 0,0108 · 1600,5.
- Zapisujemo značajne dijelove: 108 i 16 005;
- Množimo ih: 108 · 16,005 = 1,728,540;
- Brojimo brojeve iza decimalnog zareza: u prvom broju ima 4, u drugom je 1. Ukupno je opet 5. Imamo: 1,728,540 → 17,28540 = 17,2854. Na kraju je uklonjena “dodatna” nula.
Konačno, posljednji izraz: 5.25 10.000.
- Značajni dijelovi: 525 i 1;
- Množimo ih: 525 · 1 = 525;
- Prvi razlomak je pomaknut za 2 znamenke udesno, a drugi razlomak je pomaknut za 4 znamenke ulijevo (10.000 → 1.0000 = 1). Ukupno 4 − 2 = 2 znamenke lijevo. Izvodimo obrnuti pomak za 2 cifre udesno: 525, → 52,500 (morali smo dodati nule).
Napomena u posljednjem primjeru: budući da se decimalna točka kreće u različitim smjerovima, ukupni pomak se nalazi kroz razliku. Ovo je veoma važna tačka! Evo još jednog primjera:
Razmotrimo brojeve 1,5 i 12 500. Imamo: 1,5 → 15 (pomak za 1 udesno); 12.500 → 125 (pomak 2 ulijevo). “Koramo” 1 cifru udesno, a zatim 2 ulijevo. Kao rezultat toga, zakoračili smo 2 − 1 = 1 znamenku ulijevo.
Decimalna podjela
Divizija je možda najteža operacija. Naravno, ovdje možete postupiti po analogiji s množenjem: podijeliti značajne dijelove, a zatim "pomjeriti" decimalni zarez. Ali u ovom slučaju postoje mnoge suptilnosti koje negiraju potencijalnu uštedu.
Stoga, pogledajmo univerzalni algoritam, koji je malo duži, ali mnogo pouzdaniji:
- Pretvorite sve decimalne razlomke u obične razlomke. Uz malo vježbe, ovaj korak će vam oduzeti nekoliko sekundi;
- Podijelite dobivene razlomke na klasičan način. Drugim riječima, pomnožite prvi razlomak sa “obrnutim” drugim (pogledajte lekciju “Množenje i dijeljenje brojčanih razlomaka”);
- Ako je moguće, ponovno predstavite rezultat kao decimalni razlomak. Ovaj korak je takođe brz, pošto je imenilac često već stepen desetice.
Zadatak. Pronađite značenje izraza:
- 3,51: 3,9;
- 1,47: 2,1;
- 6,4: 25,6:
- 0,0425: 2,5;
- 0,25: 0,002.
Razmotrimo prvi izraz. Prvo, pretvorimo razlomke u decimale:
Uradimo isto sa drugim izrazom. Brojilac prvog razlomka će se ponovo razložiti na faktore:
Važna je stvar u trećem i četvrtom primjeru: nakon što se riješimo decimalnog zapisa, pojavljuju se razlomci koji se mogu smanjiti. Međutim, nećemo izvršiti ovo smanjenje.
Zadnji primjer je zanimljiv jer brojnik drugog razlomka sadrži prost broj. Ovdje jednostavno nema ništa za faktoriziranje, tako da to razmatramo odmah:
Ponekad dijeljenje rezultira cijelim brojem (govorim o posljednjem primjeru). U ovom slučaju, treći korak se uopće ne izvodi.
Osim toga, prilikom dijeljenja često nastaju "ružni" razlomci koji se ne mogu pretvoriti u decimale. Ovo razlikuje dijeljenje od množenja, gdje su rezultati uvijek predstavljeni u decimalnom obliku. Naravno, u ovom slučaju poslednji korak opet nije ispunjeno.
Obratite pažnju i na 3. i 4. primjer. U njima namjerno ne reduciramo obične razlomke dobivene iz decimala. U suprotnom, ovo će zakomplikovati inverzni zadatak - predstavljanje konačnog odgovora ponovo u decimalnom obliku.
Zapamtite: osnovno svojstvo razlomka (kao i bilo koje drugo pravilo u matematici) samo po sebi ne znači da se mora primjenjivati svuda i uvijek, u svakoj prilici.