Među čitavom raznolikošću logaritamskih nejednakosti posebno se proučavaju nejednakosti sa promjenjivom bazom. Oni se rješavaju pomoću posebne formule, koja se iz nekog razloga rijetko uči u školi:
log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0
Umjesto “∨” polja za potvrdu možete staviti bilo koji znak nejednakosti: više ili manje. Glavna stvar je da su u obje nejednakosti predznaci isti.
Na ovaj način se oslobađamo logaritama i problem svodimo na racionalnu nejednakost. Potonje je mnogo lakše riješiti, ali pri odbacivanju logaritma mogu se pojaviti dodatni korijeni. Da biste ih odsjekli, dovoljno je pronaći područje prihvatljive vrijednosti. Ako ste zaboravili ODZ logaritma, toplo preporučujem da ga ponovite - pogledajte “Šta je logaritam”.
Sve što se odnosi na raspon prihvatljivih vrijednosti mora se posebno napisati i riješiti:
f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.
Ove četiri nejednakosti čine sistem i moraju biti zadovoljene istovremeno. Kada je raspon prihvatljivih vrijednosti pronađen, ostaje samo da ga presječemo rješenjem racionalne nejednakosti - i odgovor je spreman.
Zadatak. Riješite nejednačinu:
Prvo, napišimo ODZ logaritma:
Prve dvije nejednakosti su zadovoljene automatski, ali će posljednja morati biti ispisana. Pošto je kvadrat broja jednaka nuli ako i samo ako je sam broj nula, imamo:
x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.
Ispada da su ODZ logaritma svi brojevi osim nule: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Sada rješavamo glavnu nejednačinu:
Vršimo prijelaz sa logaritamske nejednakosti na racionalnu. Originalna nejednakost ima predznak “manje od”, što znači da rezultirajuća nejednakost također mora imati predznak “manje od”. Imamo:
(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x) · (3 + x) · x 2< 0.
Nule ovog izraza su: x = 3; x = −3; x = 0. Štaviše, x = 0 je korijen drugog višestrukosti, što znači da se pri prolasku kroz njega predznak funkcije ne mijenja. Imamo:
Dobijamo x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Ovaj skup je u potpunosti sadržan u ODZ-u logaritma, što znači da je ovo odgovor.
Pretvaranje logaritamskih nejednakosti
Često je originalna nejednakost drugačija od gornje. Ovo se lako može ispraviti korištenjem standardnih pravila za rad s logaritmima - pogledajte “Osnovna svojstva logaritama”. naime:
- Bilo koji broj se može predstaviti kao logaritam sa datom bazom;
- Zbir i razlika logaritama sa istim bazama mogu se zamijeniti jednim logaritmom.
Zasebno, želio bih da vas podsjetim na raspon prihvatljivih vrijednosti. Budući da u izvornoj nejednakosti može biti nekoliko logaritama, potrebno je pronaći VA svakog od njih. dakle, opšta šema rješenja logaritamskih nejednakosti su sljedeća:
- Pronađite VA svakog logaritma uključenog u nejednakost;
- Nejednakost svesti na standardnu koristeći formule za sabiranje i oduzimanje logaritama;
- Riješi rezultirajuću nejednačinu koristeći gornju shemu.
Zadatak. Riješite nejednačinu:
Nađimo domenu definicije (DO) prvog logaritma:
Rješavamo metodom intervala. Pronalaženje nula brojilaca:
3x − 2 = 0;
x = 2/3.
Zatim - nule imenioca:
x − 1 = 0;
x = 1.
Na koordinatnoj strelici označavamo nule i znakove:
Dobijamo x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Drugi logaritam će imati isti VA. Ako ne vjerujete, možete provjeriti. Sada transformiramo drugi logaritam tako da je baza dva:
Kao što vidite, trojke u osnovi i ispred logaritma su smanjene. Imamo dva logaritma sa istu osnovu. Hajde da ih zbrojimo:
log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .
Dobili smo standardnu logaritamsku nejednakost. Riješimo se logaritama pomoću formule. Budući da izvorna nejednakost sadrži znak “manje od”, rezultirajuća racionalno izražavanje takođe bi trebalo da bude manje od nule. Imamo:
(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2) (2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).
Imamo dva seta:
- ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
- Odgovor kandidata: x ∈ (−1; 3).
Ostaje presijecati ove skupove - dobijamo pravi odgovor:
Zanima nas presjek skupova, pa biramo intervale koji su zasjenjeni na obje strelice. Dobijamo x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - sve tačke su izbušene.
Mislite li da ima još vremena do Jedinstvenog državnog ispita i da ćete imati vremena da se pripremite? Možda je to tako. Ali u svakom slučaju, što ranije student počne sa pripremama, to će uspješnije polagati ispite. Danas smo odlučili posvetiti članak logaritamskim nejednačinama. Ovo je jedan od zadataka, što znači mogućnost da dobijete dodatni kredit.
Da li već znate šta je logaritam? Zaista se nadamo. Ali čak i ako nemate odgovor na ovo pitanje, to nije problem. Razumijevanje šta je logaritam je vrlo jednostavno.
Zašto 4? Morate podići broj 3 na ovaj stepen da dobijete 81. Kada shvatite princip, možete nastaviti sa složenijim proračunima.
Prošli ste kroz nejednakosti prije nekoliko godina. I od tada se stalno susrećete s njima u matematici. Ako imate problema s rješavanjem nejednakosti, pogledajte odgovarajući odjeljak.
Sada kada smo se upoznali sa konceptima pojedinačno, pređimo na njihovo razmatranje općenito.
Najjednostavnija logaritamska nejednakost.
Najjednostavnije logaritamske nejednakosti nisu ograničene na ovaj primjer, postoje još tri, samo s različitim predznacima. Zašto je to potrebno? Da bolje razumijemo kako riješiti nejednakosti logaritmima. Sada dajmo primjer koji je još uvijek prilično jednostavan; kompleksne logaritamske nejednakosti ćemo ostaviti za kasnije.
Kako to riješiti? Sve počinje od ODZ-a. Vrijedi znati više o tome ako želite uvijek lako riješiti bilo koju nejednakost.
Šta je ODZ? ODZ za logaritamske nejednakosti
Skraćenica označava raspon prihvatljivih vrijednosti. Ova formulacija se često pojavljuje u zadacima za Jedinstveni državni ispit. ODZ će vam biti od koristi ne samo u slučaju logaritamskih nejednakosti.
Pogledajte ponovo gornji primjer. Na osnovu njega ćemo razmotriti ODZ, kako biste razumjeli princip, a rješavanje logaritamskih nejednačina ne postavlja pitanja. Iz definicije logaritma slijedi da 2x+4 mora biti veće od nule. U našem slučaju to znači sljedeće.
Ovaj broj, po definiciji, mora biti pozitivan. Riješite gore prikazanu nejednakost. To se može učiniti čak i usmeno, ovdje je jasno da X ne može biti manji od 2. Rješenje nejednakosti će biti definicija raspona prihvatljivih vrijednosti.
Sada pređimo na rješavanje najjednostavnije logaritamske nejednakosti.
Odbacujemo same logaritme sa obe strane nejednakosti. Šta nam ostaje kao rezultat? Jednostavna nejednakost.
Nije teško riješiti. X mora biti veći od -0,5. Sada kombinujemo dve dobijene vrednosti u sistem. dakle,
Ovo će biti raspon prihvatljivih vrijednosti za logaritamsku nejednakost koja se razmatra.
Zašto nam je uopšte potreban ODZ? Ovo je prilika da se iskorijene netačni i nemogući odgovori. Ako odgovor nije u rasponu prihvatljivih vrijednosti, onda odgovor jednostavno nema smisla. Ovo je vrijedno pamćenja dugo vremena, jer na Jedinstvenom državnom ispitu često postoji potreba za traženjem ODZ-a, a ne tiče se samo logaritamskih nejednakosti.
Algoritam za rješavanje logaritamske nejednakosti
Rješenje se sastoji od nekoliko faza. Prvo morate pronaći raspon prihvatljivih vrijednosti. U ODZ-u će biti dva značenja, o tome smo raspravljali gore. Zatim morate riješiti samu nejednakost. Metode rješenja su sljedeće:
- metoda zamjene množitelja;
- raspadanje;
- metoda racionalizacije.
Ovisno o situaciji, vrijedi koristiti jednu od gore navedenih metoda. Pređimo direktno na rješenje. Otkrijmo najpopularniju metodu, koja je pogodna za rješavanje zadataka Jedinstvenog državnog ispita u gotovo svim slučajevima. Zatim ćemo pogledati metodu dekompozicije. Može vam pomoći ako naiđete na posebno nezgodnu nejednakost. Dakle, algoritam za rješavanje logaritamske nejednakosti.
Primjeri rješenja :
Nije uzalud uzeli upravo ovu nejednakost! Obratite pažnju na bazu. Zapamtite: ako je veći od jedan, predznak ostaje isti prilikom pronalaženja raspona prihvatljivih vrijednosti; u suprotnom, morate promijeniti predznak nejednakosti.
Kao rezultat, dobijamo nejednakost:
Sada predstavljamo lijeva strana na oblik jednačine jednak nuli. Umjesto znaka “manje od” stavljamo “jednako” i rješavamo jednačinu. Tako ćemo pronaći ODZ. Nadamo se da nećete imati problema s rješavanjem ovako jednostavne jednačine. Odgovori su -4 i -2. To nije sve. Ove tačke morate prikazati na grafikonu, stavljajući “+” i “-”. Šta treba učiniti za ovo? Zamijenite brojeve iz intervala u izraz. Gdje su vrijednosti pozitivne, stavljamo "+".
Odgovori: x ne može biti veći od -4 i manji od -2.
Pronašli smo raspon prihvatljivih vrijednosti samo za lijevu stranu; sada moramo pronaći raspon prihvatljivih vrijednosti za desnu stranu. Ovo je mnogo lakše. Odgovor: -2. Presijecamo oba rezultujuća područja.
I tek sada počinjemo da se bavimo samom nejednakošću.
Pojednostavimo ga što je više moguće kako bismo ga lakše riješili.
Ponovo koristimo metodu intervala u rješenju. Preskočimo proračune, s njim je sve jasno iz prethodnog primjera. Odgovori.
Ali ova metoda je prikladna ako logaritamska nejednakost ima iste baze.
Rješavanje logaritamskih jednačina i nejednačina sa različitim bazama zahtijeva početnu redukciju na istu bazu. Zatim koristite metodu opisanu gore. Ali ima još toga težak slučaj. Razmotrimo jednu od najbrojnijih složene vrste logaritamske nejednakosti.
Logaritamske nejednakosti s promjenjivom bazom
Kako riješiti nejednakosti sa takvim karakteristikama? Da, i takvi se ljudi mogu naći na Jedinstvenom državnom ispitu. Rješavanje nejednakosti na sljedeći način također će imati blagotvoran učinak na vaš obrazovni proces. Hajde da razumemo problem detaljno. Odbacimo teoriju i pređimo odmah na praksu. Za rješavanje logaritamskih nejednakosti dovoljno je jednom se upoznati s primjerom.
Za rješavanje logaritamske nejednakosti prikazanog oblika potrebno je dati desna strana na logaritam sa istom bazom. Princip liči na ekvivalentne prelaze. Kao rezultat, nejednakost će izgledati ovako.
Zapravo, ostaje samo da se napravi sistem nejednakosti bez logaritama. Koristeći metodu racionalizacije, prelazimo na ekvivalentan sistem nejednakosti. Shvatit ćete samo pravilo kada zamijenite odgovarajuće vrijednosti i pratite njihove promjene. Sistem će imati sljedeće nejednakosti.
Kada koristite metodu racionalizacije pri rješavanju nejednačina, morate zapamtiti sljedeće: jedan se mora oduzeti od baze, x, po definiciji logaritma, oduzima se od obje strane nejednakosti (desno slijeva), dva izraza se množe i postavljen pod originalnim predznakom u odnosu na nulu.
Dalje rješenje se provodi metodom intervala, ovdje je sve jednostavno. Važno je da shvatite razlike u metodama rješenja, tada će sve početi lako funkcionirati.
Postoje mnoge nijanse u logaritamskim nejednačinama. Najjednostavnije od njih je prilično lako riješiti. Kako možete riješiti svaki od njih bez problema? Već ste dobili sve odgovore u ovom članku. Sada je pred vama duga praksa. Konstantno vježbajte rješavanje raznih zadataka na ispitu i moći ćete dobiti najviši rezultat. Sretno u Vašem teškom zadatku!
Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.
Prikupljanje i korištenje ličnih podataka
Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.
Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.
U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.
Koje lične podatke prikupljamo:
- Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu Email itd.
Kako koristimo vaše lične podatke:
- Prikupljeno od nas lična informacija nam omogućava da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
- S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
- Također možemo koristiti lične podatke za interne svrhe kao što su revizija, analiza podataka i razne studije u cilju poboljšanja usluga koje pružamo i pružanja preporuka u vezi sa našim uslugama.
- Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.
Otkrivanje informacija trećim licima
Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.
Izuzeci:
- Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, pravnim postupkom, odnosno na osnovu javnog zahtjeva ili zahtjeva vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
- U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.
Zaštita ličnih podataka
Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.
Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije
Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.
Nejednakost se naziva logaritamskom ako sadrži logaritamska funkcija.
Metode za rješavanje logaritamskih nejednačina se ne razlikuju, osim po dvije stvari.
Prvo, kada se prelazi sa logaritamske nejednakosti na nejednakost podlogaritamskih funkcija, treba prati znak rezultirajuće nejednakosti. Poštuje sljedeće pravilo.
Ako je osnova logaritamske funkcije veća od $1$, tada se pri prelasku sa logaritamske nejednadžbe na nejednakost podlogaritamskih funkcija čuva znak nejednakosti, ali ako je manji od $1$, onda se mijenja u suprotno .
Drugo, rješenje bilo koje nejednakosti je interval, pa je stoga na kraju rješavanja nejednakosti podlogaritamskih funkcija potrebno kreirati sistem od dvije nejednakosti: prva nejednakost ovog sistema će biti nejednakost podlogaritamskih funkcija, a drugi će biti interval domene definicije logaritamskih funkcija uključenih u logaritamsku nejednakost.
Vježbajte.
Rešimo nejednačine:
1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$
$D(y): \x+3>0.$
$x \in (-3;+\infty)$
Osnova logaritma je $2>1$, tako da se predznak ne mijenja. Koristeći definiciju logaritma, dobijamo:
$x+3 \geq 2^(3),$
$x \in )