Identične transformacije izraza su jedna od smislenih linija školski kurs matematike. Identične transformacije se široko koriste u rješavanju jednačina, nejednačina, sistema jednačina i nejednačina. Osim toga, identične transformacije izraza doprinose razvoju inteligencije, fleksibilnosti i racionalnosti mišljenja.
Predloženi materijali namijenjeni su učenicima 8. razreda i uključuju teorijske osnove identičnih transformacija racionalnih i iracionalnih izraza, vrste zadataka za transformaciju takvih izraza i tekst testa.
1. Teorijska osnova transformacije identiteta
Izrazi u algebri su zapisi koji se sastoje od brojeva i slova povezanih znakovima akcije.
https://pandia.ru/text/80/197/images/image002_92.gif" width="77" height="21 src=">.gif" width="20" height="21 src="> – algebarski izrazi.
U zavisnosti od operacija razlikuju se racionalni i iracionalni izrazi.
Algebarski izrazi se nazivaju racionalnim ako su u odnosu na slova uključena u njih A, b, With, ... ne izvode se nikakve druge operacije osim zbrajanja, množenja, oduzimanja, dijeljenja i stepenovanja.
Algebarski izrazi koji sadrže operacije vađenja korijena varijable ili podizanja varijable na racionalni stepen koji nije cijeli broj nazivaju se iracionalnim u odnosu na ovu varijablu.
Transformacija identiteta datog izraza je zamjena jednog izraza drugim koji mu je identično jednak na određenom skupu.
Sljedeće teorijske činjenice leže u osnovi identičnih transformacija racionalnih i iracionalnih izraza.
1. Svojstva stupnjeva s cijelim eksponentom:
, n ON; A 1=A;
, n UKLJUČENO, A¹0; A 0=1, A¹0;
, A¹0;
, A¹0;
, A¹0;
, A¹0, b¹0;
, A¹0, b¹0.
2. Skraćene formule za množenje:
Gdje A, b, With– bilo koje realne brojeve;
Gdje A¹0, X 1 i X 2 – korijeni jednačine 
.
3. Glavno svojstvo razlomaka i radnje na razlomke:
, Gdje b¹0, With¹0;
; 
;
4. Definicija aritmetičkog korijena i njegovih svojstava:
; , b#0; https://pandia.ru/text/80/197/images/image026_24.gif" width="84" height="32">; ; 
,
Gdje A, b– nenegativni brojevi, n UKLJUČENO, n³2, m UKLJUČENO, m³2.
1. Vrste vježbi konverzije izraza
Postoji Razne vrste vježbe na identičnim transformacijama izraza. Prvi tip: Konverzija koja se mora izvršiti je eksplicitno specificirana.
Na primjer.
1. Predstavite ga kao polinom.
Pri izvođenju ove transformacije koristili smo pravila množenja i oduzimanja polinoma, formulu za skraćeno množenje i redukciju sličnih članova.
2. Uzmite u obzir: 
.
Prilikom izvođenja transformacije koristili smo pravilo uklanjanja zajednički množitelj iza zagrade i 2 skraćene formule za množenje.
3. Smanjite razlomak:
.
Prilikom izvođenja transformacije koristili smo uklanjanje zajedničkog faktora iz zagrada, komutativne i kontraktilne zakone, 2 skraćene formule množenja i operacije nad potencijama.
4. Uklonite faktor ispod znaka korijena ako A³0, b³0, With³0: https://pandia.ru/text/80/197/images/image036_17.gif" width="432" height="27">
Koristili smo pravila za radnje nad korijenima i definiciju modula broja.
5. Ukloniti iracionalnost u nazivniku razlomka. 
.
Drugi tip vježbe su vježbe u kojima je jasno naznačena glavna transformacija koju treba izvesti. U takvim vježbama, zahtjev se obično formuliše u jednom od sljedećih oblika: pojednostaviti izraz, izračunati. Prilikom izvođenja ovakvih vježbi potrebno je prije svega utvrditi koje i kojim redoslijedom transformacije treba izvršiti kako bi izraz poprimio kompaktniji oblik od zadanog ili bi se dobio numerički rezultat.
Na primjer
6. Pojednostavite izraz:
Rješenje:
.
Korištena pravila za rad algebarskih razlomaka i skraćene formule množenja.
7. Pojednostavite izraz:
.
Ako A³0, b³0, A¹ b.
Koristili smo skraćene formule za množenje, pravila za sabiranje razlomaka i množenje iracionalnih izraza, identitet https://pandia.ru/text/80/197/images/image049_15.gif" width="203" height="29">.
Koristili smo operaciju odabira cijelog kvadrata, identitet https://pandia.ru/text/80/197/images/image053_11.gif" width="132 height=21" height="21">, ako .
dokaz:
Budući da , tada i ili ili ili , tj.
Koristili smo uslov i formulu za zbir kocki.
Treba imati na umu da se uslovi povezivanja varijabli mogu specificirati i u vježbama prve dvije vrste.
Na primjer.
10. Pronađite ako .
Svojstva korijena leže u osnovi sljedeće dvije transformacije, koje se nazivaju dovođenje pod znak korijena i njihovo vađenje ispod korijenskog znaka, čemu se sada okrećemo.
Unos množitelja pod znakom korijena
Uvođenje množitelja pod znakom podrazumijeva zamjenu izraza , gdje su B i C neki brojevi ili izrazi, a n je prirodni broj, veće od jedan, identično je jednako izrazu oblika ili .
Na primjer, iracionalno izražavanje nakon uvođenja faktora 2 pod znakom korijena, poprima oblik .
Teorijske osnove ove transformacije, pravila za njenu implementaciju, kao i rješenja za različite tipične primjere dati su u članku u kojem se uvodi množitelj pod znakom korijena.
Uklanjanje množitelja ispod znaka korijena
Transformacija, u određenom smislu suprotna uvođenju faktora ispod predznaka korijena, je uklanjanje faktora ispod korijenskog znaka. Sastoji se od predstavljanja korijena kao proizvoda za neparno n ili kao proizvoda za parno n, gdje su B i C neki brojevi ili izrazi.
Za primjer, vratimo se na prethodni pasus: iracionalni izraz, nakon uklanjanja faktora ispod predznaka korijena, poprima oblik . Drugi primjer: uklanjanje faktora ispod znaka korijena u izrazu daje proizvod koji se može prepisati kao .
Na čemu se zasniva ova transformacija i po kojim pravilima se provodi, u posebnom članku ćemo ispitati uklanjanje množitelja ispod znaka korijena. Tamo ćemo također dati rješenja za primjere i navesti načine da se radikalni izraz svede na oblik pogodan za množenje.
Pretvaranje razlomaka koji sadrže korijene
Iracionalni izrazi mogu sadržavati razlomke koji imaju korijen u brojniku i nazivniku. S takvim frakcijama možete izvršiti bilo koji od osnovnih transformacije identiteta razlomaka.
Prvo, ništa vas ne sprječava da radite s izrazima u brojniku i nazivniku. Kao primjer, razmotrite razlomak. Iracionalni izraz u brojiocu je očito identično jednak , i okretanjem svojstava korijena, izraz u nazivniku može se zamijeniti korijenom . Kao rezultat toga, originalni razlomak se pretvara u oblik .
Drugo, možete promijeniti predznak ispred razlomka promjenom predznaka brojnika ili nazivnika. Na primjer, dešavaju se sljedeće transformacije iracionalnog izraza: 
.
Treće, ponekad je moguće i preporučljivo smanjiti razlomak. Na primjer, kako sebi uskratiti zadovoljstvo smanjivanja razlomka 
na iracionalni izraz, kao rezultat dobijamo 
.
Jasno je da se u mnogim slučajevima, prije smanjivanja razlomka, moraju razložiti izrazi u brojniku i nazivniku, što se u jednostavnim slučajevima može postići skraćenim formulama za množenje. A ponekad pomaže smanjiti razlomak zamjenom varijable, što vam omogućava da prijeđete s originalnog razlomka s iracionalnošću na racionalni razlomak, koji je ugodniji i poznatiji za rad.
Na primjer, uzmimo izraz . Hajde da uvedemo nove varijable i , u tim varijablama originalni izraz ima oblik . Nakon izvođenja u brojiocu
Iracionalni izrazi i njihove transformacije
Prošli put smo se sjetili (ili naučili, ovisno o kome) šta je to , naučio kako da izvuče takve korijene, shvatio osnovna svojstva korijena dio po dio i odlučio da ne složeni primjeri sa korenima.
Ova lekcija će biti nastavak prethodne i bit će posvećena transformacijama širokog spektra izraza koji sadrže sve vrste korijena. Takvi izrazi se nazivaju iracionalno. Ovdje će se pojaviti izrazi sa slovima, dodatni uvjeti, oslobađanje od iracionalnosti u razlomcima i neke napredne tehnike rada s korijenima. Tehnike o kojima će biti riječi u ovoj lekciji postaće dobra osnova za rješavanje Problemi na objedinjenom državnom ispitu(i ne samo) gotovo bilo kojeg nivoa složenosti. Pa počnimo.
Prije svega, ovdje ću duplicirati osnovne formule i svojstva korijena. Da ne bi skakao s teme na temu. Evo ih:
at
Morate znati ove formule i znati ih primijeniti. I to u oba smjera - i slijeva na desno i s desna na lijevo. Na njima se zasniva rješenje većine zadataka s korijenima bilo kojeg stepena složenosti. Počnimo od najjednostavnije stvari za sada - sa direktnu primjenu formule ili njihove kombinacije.
Jednostavna primjena formula
U ovom dijelu će se razmatrati jednostavni i bezazleni primjeri - bez slova, dodatnih uslova i drugih trikova. Međutim, čak iu njima, u pravilu, postoje opcije. I što je primjer sofisticiraniji, to je više takvih opcija. A neiskusni student ima glavni problem– odakle početi? Odgovor je ovde jednostavan - Ako ne znate šta vam treba, uradite ono što možete. Sve dok su vaši postupci u miru i skladu s pravilima matematike i ne protivreče im.) Na primjer, ovaj zadatak:
Izračunati:
Čak iu ovako jednostavnom primjeru postoji nekoliko mogućih puteva do odgovora.
Prvi je jednostavno pomnožiti korijene s prvim svojstvom i izdvojiti korijen iz rezultata:
Druga opcija je ova: ne diramo je, radimo sa . Množitelj izvadimo ispod znaka korijena, a zatim - prema prvom svojstvu. Volim ovo:
Možete odlučiti koliko god želite. U bilo kojoj od opcija, odgovor je jedan - osam. Na primjer, lakše mi je pomnožiti 4 i 128 i dobiti 512, a iz ovog broja se lako može izvući kubni korijen. Ako se neko ne sjeća da je 512 8 kubnih, onda nema veze: možete napisati 512 kao 2 9 (prvih 10 potencija od dva, nadam se da se sjećate?) i koristeći formulu za korijen stepena. :
Još jedan primjer.
Izračunati: .
Ako radite prema prvom svojstvu (stavljajući sve pod jedan korijen), dobit ćete pozamašan broj iz kojeg se potom može izvući korijen - također ne šećer. I nije činjenica da će se tačno izdvojiti.) Stoga je ovdje korisno ukloniti faktore ispod korijena u broju. I maksimalno iskoristite:
I sad je sve u redu:
Ostaje samo da se upiše osam i dva pod jedan korijen (prema prvom svojstvu) i posao je gotov. :)
Sada dodajmo neke razlomke.
Izračunati:
Primjer je prilično primitivan, ali ima i opcije. Možete koristiti množitelj da transformišete brojilac i smanjite ga sa nazivnikom:
Ili možete odmah koristiti formulu za podjelu korijena:
Kao što vidimo, ovako i onako – sve je tačno.) Ako se ne spotaknete na pola puta i ne pogriješite. Mada gde da pogrešim ovde...
Pogledajmo sada najnoviji primjer iz zadaća zadnja lekcija:
Pojednostavite:
Potpuno nezamisliv skup korijena, pa čak i ugniježđenih. Sta da radim? Glavna stvar je da se ne plašite! Ovdje prvo uočavamo ispod korijena brojeve 2, 4 i 32 - stepen dvojke. Prvo što treba učiniti je sve brojeve svesti na dvojke: na kraju krajeva, što više identični brojevi u primjeru, što manje različitih, to je jednostavnije.) Počnimo odvojeno s prvim faktorom:
Broj se može pojednostaviti smanjenjem dva ispod korijena s četiri u korijenskom eksponentu:
Sada, prema korijenu rada:
.
U broju vadimo dva kao osnovni znak:
I bavimo se izrazom koristeći korijen formule korijena:
Dakle, prvi faktor će biti napisan ovako:
Ugniježđeni korijeni su nestali, brojevi su postali manji, što je već drago. Samo što su korijeni drugačiji, ali za sada ćemo to ostaviti tako. Po potrebi ćemo ih pretvoriti u iste. Uzmimo drugi faktor.)
Drugi faktor transformiramo na sličan način, koristeći formulu korijena proizvoda i korijena korijena. Gdje je potrebno, smanjujemo pokazatelje koristeći petu formulu:
Sve zalijepimo u originalni primjer i dobijemo:
Dobio sam proizvod cijele gomile apsolutno različiti koreni. Bilo bi lijepo sve ih dovesti na jedan indikator, pa ćemo vidjeti. Pa, sasvim je moguće. Najveći od eksponenata korijena je 12, a svi ostali - 2, 3, 4, 6 - su djelitelji broja 12. Stoga ćemo sve korijene prema petom svojstvu svesti na jedan eksponent - 12:
Računamo i dobijamo:
Nismo dobili dobar broj, ali to je u redu. Pitali su nas pojednostaviti izraz, ne count. Pojednostavljeno? Svakako! A tip odgovora (cijeli ili ne) ovdje više ne igra nikakvu ulogu.
Neke formule za sabiranje/oduzimanje i skraćeno množenje
nažalost, opšte formule Za sabiranje i oduzimanje korijena ne u matematici. Međutim, u zadacima se često nalaze ove akcije s korijenima. Ovdje je potrebno razumjeti da su svi korijeni potpuno isti matematički simboli kao slova u algebri.) I za korijene vrijede iste tehnike i pravila kao i za slova - otvaranje zagrada, dovođenje sličnih, skraćene formule za množenje, itd. P.
Na primjer, svima je jasno da . Slično isto Korijeni se mogu lako dodati/oduzeti jedan drugom:
Ako su korijeni različiti, onda tražimo način da ih učinimo istim - dodavanjem/oduzimanjem množitelja ili korištenjem petog svojstva. Ako nije ni na koji način pojednostavljeno, onda su možda transformacije lukavije.
Pogledajmo prvi primjer.
Pronađite značenje izraza: .
Sva tri korijena, iako kubična, potiču iz drugačije brojevi. Oni se ne izdvajaju čisto i međusobno se dodaju/oduzimaju. Stoga ovdje ne funkcionira korištenje općih formula. Sta da radim? Izdvojimo faktore u svakom korijenu. U svakom slučaju, neće biti gore.) Štaviše, nema drugih opcija:
To je, .
To je rešenje. Ovdje smo uz pomoć prešli iz različitih korijena u iste uklanjanje množitelja ispod korijena. A onda su jednostavno donijeli slične.) Odlučujemo dalje.
Pronađite vrijednost izraza:
Definitivno ne možete ništa učiniti s korijenom od sedamnaest. Radimo prema prvom svojstvu - pravimo jedan korijen od proizvoda dva korijena:
Sada pogledajmo izbliza. Šta je ispod našeg velikog kubičnog korijena? Razlika je kva... Pa, naravno! Razlika kvadrata:
Sada ostaje samo da izdvojite korijen: .
Izračunati:
Ovdje ćete morati pokazati matematičku domišljatost.) Mislimo otprilike ovako: “Dakle, u primjeru, proizvod korijena. Ispod jednog korijena je razlika, a ispod drugog je zbir. Vrlo slično formuli razlike kvadrata. Ali... Koreni su drugačiji! Prva je kvadratna, a druga je četvrtog stepena... Bilo bi lepo da budu iste. Prema petom svojstvu, može se lako kvadratni korijen napravi četvrti korijen. Da bi se to postiglo, dovoljno je kvadrirati radikalni izraz.”
Ako ste razmišljali o istom, onda ste na pola puta do uspjeha. Apsolutno u pravu! Pretvorimo prvi faktor u četvrti korijen. Volim ovo:
Sada se ništa ne može učiniti, ali ćete morati zapamtiti formulu za kvadrat razlike. Samo kada se nanese na korijenje. Pa šta? Zašto su korijeni gori od drugih brojeva ili izraza?! Gradimo:
„Hm, pa, oni su to podigli, pa šta? Hren nije slađi od rotkvice. Stani! A ako izvadiš četiri ispod korijena? Tada će se pojaviti isti izraz kao pod drugim korijenom, samo sa minusom, a to je upravo ono što pokušavamo postići!”
Tačno! Uzmimo četiri:
.
A sada - stvar tehnologije:
Ovako se raspliću složeni primjeri.) Sada je vrijeme za vježbanje s razlomcima.
Izračunati:
Jasno je da se brojilac mora pretvoriti. Kako? Koristeći formulu kvadrata zbira, naravno. Imamo li druge opcije? :) Kvadriramo, vadimo faktore, smanjujemo indikatore (gdje je potrebno):
Vau! Dobili smo tačno nazivnik našeg razlomka.) To znači da je cijeli razlomak očito jednak jedan:
Još jedan primjer. Tek sada na drugoj formuli za skraćeno množenje.)
Izračunati:
Jasno je da se kvadrat razlike mora koristiti u praksi. Imenilac ispisujemo posebno i - idemo!
Čimbenike vadimo ispod korijena:
dakle,
Sada je sve loše super smanjeno i ispada:
Pa, idemo na viši nivo. :)
Pisma i dodatni uslovi
Doslovni izrazi s korijenima su lukavija stvar numeričke izraze, i nepresušan je izvor dosadnih i vrlo ozbiljnih grešaka. Hajde da zatvorimo ovaj izvor.) Greške nastaju zbog činjenice da takvi zadaci često uključuju negativne brojeve i izraze. Oni su nam ili dati direktno u zadatku, ili skriveni u njima pisma i dodatni uslovi. A u procesu rada s korijenima, stalno moramo to zapamtiti u korijenima čak stepen kako ispod samog korijena tako i kao rezultat vađenja korijena trebalo bi biti nenegativni izraz. Ključna formula u zadacima ovog paragrafa bit će četvrta formula:
Nema pitanja s korijenima neparnih stupnjeva - uvijek se izvlači sve, i pozitivno i negativno. A minus, ako ništa drugo, iznosi se naprijed. Hajdemo direktno do korena čak stepeni.) Na primjer, tako kratak zadatak.
Pojednostavite: , Ako .
Čini se da je sve jednostavno. Ispostaviće se da je to X.) Ali zašto onda dodatni uslov ? U takvim slučajevima, korisno je procijeniti brojevima. Čisto za sebe.) Ako, tada je x očito negativan broj. Minus tri, na primjer. Ili minus četrdeset. Neka . Možete li podići minus tri na četvrti stepen? Svakako! Rezultat je 81. Da li je moguće izdvojiti četvrti korijen od 81? Zašto ne? Može! Dobijate tri. Sada analizirajmo cijeli naš lanac:
šta vidimo? Ulaz je bio negativan broj, a izlaz je već bio pozitivan. Bilo je minus tri, sada je plus tri.) Vratimo se slovima. Bez sumnje, po modulu će biti tačno X, ali samo X je minus (po uslovu!), a rezultat ekstrakcije (zbog aritmetičkog korena!) mora biti plus. Kako dobiti plus? Veoma jednostavno! Da biste to učinili, dovoljno je znati negativan broj stavi minus.) I ispravno rješenje izgleda ovako:
Usput, ako bismo koristili formulu, onda bismo, sjetivši se definicije modula, odmah dobili tačan odgovor. Zbog
|x| = -x na x<0.
Izvadite faktor iz korijenskog znaka: , Gdje .
Prvi pogled je na radikalan izraz. Ovde je sve u redu. U svakom slučaju, neće biti negativno. Počnimo sa ekstrakcijom. Koristeći formulu za korijen proizvoda, izdvajamo korijen svakog faktora:
Mislim da nema potrebe objašnjavati odakle su moduli došli.) Sada analizirajmo svaki od modula.
Multiplikator | a | ostavljamo nepromenjeno: nemamo nikakav uslov za pismoa. Ne znamo da li je to pozitivno ili negativno. Sljedeći modul |b 2 | može se sigurno izostaviti: u svakom slučaju, izrazb 2 nenegativan. Ali o |c 3 | - ovdje već postoji problem.) Ako, onda c 3 <0. Стало быть, модуль надо раскрыть sa minusom: | c 3 | = - c 3 . Ukupno, ispravno rješenje bi bilo:
A sada - obrnuti problem. Nije najlakše, odmah vas upozoravam!
Unesite množitelj pod znakom korijena: .
Ako odmah zapišete rješenje ovako
onda ti upao u zamku. Ovo pogrešna odluka! Sta je bilo?
Pogledajmo pobliže izraz ispod korijena. Pod korenom četvrtog stepena, kao što znamo, trebalo bi da postoji nenegativan izraz. Inače, korijen nema značenje.) Stoga A ovo, zauzvrat, znači to i, prema tome, samo po sebi je također nepozitivno: .
A greška je što uvodimo u korijenu nepozitivna broj: četvrti stepen ga pretvara u nenegativan i dobije se pogrešan rezultat - na lijevoj strani je namjerni minus, a na desnoj je već plus. I nanesite na korijen čak stepen imamo samo pravo nenegativan brojevima ili izrazima. I ostavite minus, ako postoji, ispred korijena.) Kako možemo identificirati nenegativan faktor u broju, znajući da je sama po sebi potpuno negativna? Da, potpuno isto! Stavite minus.) I da se ništa ne promijeni, nadoknadite ga još jednim minusom. Volim ovo:
A sada već nenegativan Mirno unosimo broj (-b) ispod korijena prema svim pravilima:
Ovaj primjer jasno pokazuje da, za razliku od drugih grana matematike, u korijenima tačan odgovor ne slijedi uvijek automatski iz formula. Morate razmisliti i lično donijeti pravu odluku.) Posebno treba biti oprezniji sa prijavama iracionalne jednačine i nejednačine.
Pogledajmo sljedeću važnu tehniku pri radu s korijenima - oslobađanje od iracionalnosti.
Otklanjanje iracionalnosti u razlomcima
Ako izraz sadrži korijene, onda, da vas podsjetim, takav izraz se zove izraz sa iracionalnošću. U nekim slučajevima može biti korisno da se riješite ove same iracionalnosti (tj. korijena). Kako možete ukloniti korijen? Naš korijen nestaje kada se... podigne na moć. Sa indikatorom jednakim osnovnom indikatoru ili višestrukim. Ali, ako podignemo korijen na stepen (tj. pomnožimo korijen sam sa sobom potreban broj puta), onda će se izraz promijeniti. Nije dobro.) Međutim, u matematici postoje teme u kojima je množenje prilično bezbolno. U razlomcima, na primjer. Prema osnovnom svojstvu razlomka, ako se brojilac i imenilac pomnože (podijele) istim brojem, vrijednost razlomka se neće promijeniti.
Recimo da nam je dat ovaj razlomak:
Da li je moguće riješiti se korijena u nazivniku? Može! Da biste to učinili, korijen mora biti narezan na kocke. Šta nam nedostaje u nazivniku za punu kocku? Nedostaje nam množitelj, tj.. Dakle, pomnožimo brojilac i imenilac razlomka sa
Korijen u nazivniku je nestao. Ali... pojavio se u brojiocu. Ništa se ne može učiniti, takva je sudbina.) Ovo nam više nije važno: od nas se tražilo da oslobodimo imenilac iz korijena. Oslobođen? Bez sumnje.)
Inače, oni kojima je trigonometrija već dobra, možda su obratili pažnju na to da u nekim udžbenicima i tablicama, na primjer, označavaju drugačije: negdje, a negdje. Pitanje je - šta je ispravno? Odgovor: sve je tačno!) Ako pogodite– ovo je jednostavno rezultat oslobađanja od iracionalnosti u nazivniku razlomka. :)
Zašto bismo se trebali osloboditi iracionalnosti u razlomcima? Kakva je razlika - korijen je u brojniku ili u nazivniku? Kalkulator će ionako sve izračunati.) Pa, za one koji se ne odvajaju od kalkulatora, zaista praktički nema razlike... Ali čak i računajući na kalkulator, možete obratiti pažnju na to da podijeliti on cijeli broj je uvijek praktičniji i brži od uključenog iracionalno. A o podjeli na kolonu ću prećutati.)
Sljedeći primjer će samo potvrditi moje riječi.
Kako ovdje možemo eliminirati kvadratni korijen nazivnika? Ako se brojnik i imenilac pomnože sa izrazom, tada će imenilac biti kvadrat zbira. Zbir kvadrata prvog i drugog broja dat će nam samo brojeve bez korijena, što je vrlo ugodno. Međutim... pojaviće se dvostruki proizvod od prvog broja do drugog, pri čemu će i dalje ostati korijen od tri. Ne kanališe se. Sta da radim? Zapamtite još jednu divnu formulu za skraćeno množenje! Gdje nema dvostrukih proizvoda, već samo kvadrata:
Izraz koji, kada se pomnoži sa određenim zbrojem (ili razlikom), proizvodi razlika kvadrata, također se zove konjugirani izraz. U našem primjeru, konjugirani izraz će biti razlika. Dakle, pomnožimo brojilac i imenilac ovom razlikom:
Šta da kažem? Kao rezultat naših manipulacija, ne samo da je korijen nazivnika nestao, već je i razlomak potpuno nestao! :) Čak i uz kalkulator, lakše je oduzimanje korijena od tri od trojke nego računati razlomak sa korijenom u nazivniku. Još jedan primjer.
Oslobodite se iracionalnosti u nazivniku razlomka:
Kako izaći iz ovoga? Formule za skraćeno množenje s kvadratima ne rade odmah - neće biti moguće potpuno eliminirati korijene zbog činjenice da ovaj put naš korijen nije kvadrat, već kubni. Potrebno je da se korijen nekako podigne u kocku. Stoga se mora koristiti jedna od formula sa kockama. Koji? Hajde da razmislimo o tome. Imenilac je zbir. Kako možemo postići kocku korijena? Pomnoži sa parcijalna kvadratna razlika! Dakle, primenićemo formulu zbir kocki. Ovaj:
As a imamo tri, i to kao kvalitet b– kubni korijen od pet:
I opet je razlomak nestao.) Takve situacije, kada, kada se oslobodi iracionalnosti u nazivniku razlomka, sam razlomak potpuno nestane zajedno s korijenima, događaju se vrlo često. Kako vam se sviđa ovaj primjer!
Izračunati:
Samo pokušajte da saberete ova tri razlomka! Nema grešaka! :) Jedan zajednički imenitelj je vredan toga. Šta ako pokušamo da se oslobodimo iracionalnosti u nazivniku svakog razlomka? Pa, hajde da probamo:
Vau, kako zanimljivo! Svi razlomci su nestali! Potpuno. A sada se primjer može riješiti na dva načina:
Jednostavno i elegantno. I to bez dugih i zamornih kalkulacija. :)
Zato se mora biti u stanju izvršiti operaciju oslobađanja od iracionalnosti u razlomcima. U tako sofisticiranim primjerima, to je jedino što spašava, da.) Naravno, niko nije otkazao pažnju. Postoje zadaci u kojima se od vas traži da se riješite iracionalnosti brojilac. Ovi zadaci se ne razlikuju od razmatranih, samo je brojilac očišćen iz korijena.)
Složeniji primjeri
Ostaje razmotriti neke posebne tehnike za rad s korijenima i vježbati raspetljavanje ne najjednostavnijih primjera. I tada će primljene informacije biti dovoljne za rješavanje zadataka s korijenima bilo kojeg nivoa složenosti. Dakle - samo naprijed.) Prvo, hajde da shvatimo šta da radimo sa ugniježđenim korijenima kada korijen iz korijenske formule ne radi. Na primjer, evo primjera.
Izračunati:
Koren je ispod korena... Štaviše, ispod korena je zbir ili razlika. Dakle, formula za korijen korijena (sa množenjem eksponenata) je ovdje Ne radi. Dakle, nešto treba poduzeti radikalni izrazi: Jednostavno nemamo druge opcije. U takvim primjerima najčešće je šifriran veliki korijen savršen kvadrat neki iznos. Ili razlike. A korijen kvadrata je već savršeno izvučen! A sada je naš zadatak da ga dešifrujemo.) Takvo dešifrovanje je lepo izvedeno sistem jednačina. Sada ćete sve sami vidjeti.)
Dakle, ispod prvog korijena imamo ovaj izraz:
Šta ako niste pogodili? Hajde da proverimo! Kvadriramo ga koristeći formulu za kvadrat sume:
Tako je.) Ali... Odakle mi ovaj izraz? Sa neba?
Ne.) Iskreno ćemo dobiti malo niže. Jednostavno koristeći ovaj izraz, pokazujem tačno kako pisci zadataka šifriraju takve kvadrate. :) Šta je 54? Ovo zbir kvadrata prvog i drugog broja. I, obratite pažnju, već bez korijena! I korijen ostaje unutra dvostruki proizvod, što je u našem slučaju jednako . Stoga, otkrivanje takvih primjera počinje traženjem dvostrukog proizvoda. Ako se raspetljate sa uobičajenim odabirom. I, usput, o znakovima. Ovdje je sve jednostavno. Ako je plus ispred duplog, onda je kvadrat zbira. Ako je minus, onda razlike.) Imamo plus - to znači kvadrat zbira.) A sada - obećana analitička metoda dekodiranja. Kroz sistem.)
Dakle, ispod našeg korena jasno visi izraz (a+b) 2, a naš zadatak je pronaći a I b. U našem slučaju, zbir kvadrata daje 54. Dakle, pišemo:
Sada udvostručite proizvod. Imamo ga. Pa zapisujemo:
Imamo ovaj sistem:
Rješavamo uobičajenim metodom zamjene. Izražavamo iz druge jednačine, na primjer, i zamjenjujemo je u prvu:
Rešimo prvu jednačinu:
Imam biquadratic relativna jednačinaa . Izračunavamo diskriminanta:
znači,
Dobili smo čak četiri moguće vrijednostia. Ne bojimo se. Sada ćemo ukloniti sve nepotrebne stvari.) Ako sada izračunamo odgovarajuće vrijednosti za svaku od četiri pronađene vrijednosti, dobićemo četiri rješenja za naš sistem. Evo ih:
I tu je pitanje – koje je rješenje pravo za nas? Hajde da razmislimo o tome. Negativna rješenja mogu se odmah odbaciti: pri kvadriranju minusi će "izgorjeti", a cijeli radikalni izraz u cjelini neće se promijeniti.) Ostaju prve dvije opcije. Možete ih odabrati potpuno proizvoljno: preuređivanje pojmova i dalje ne mijenja zbroj.) Neka je, na primjer, , a .
Ukupno, dobili smo kvadrat sljedećeg zbira ispod korijena:
Sve je jasno.)
Nije uzalud što ovako detaljno opisujem proces odlučivanja. Da bude jasno kako dolazi do dešifriranja.) Ali postoji jedan problem. Analitička metoda dekodiranja, iako je pouzdana, vrlo je duga i glomazna: morate riješiti bikvadratnu jednačinu, dobiti četiri rješenja sistema i onda još razmisliti koja da odaberete... Problem? Slažem se, problematično je. Ova metoda radi besprijekorno u većini ovih primjera. Međutim, vrlo često možete uštedjeti mnogo posla i kreativno pronaći oba broja. Po izboru.) Da, da! Sada ću, koristeći primjer drugog člana (drugi korijen), pokazati lakši i brži način izolacije cijelog kvadrata ispod korijena.
Dakle, sada imamo ovaj root: 
.
Razmišljajmo ovako: “Ispod korijena je najvjerovatnije šifrirani kompletan kvadrat. Jednom kada je minus ispred duplog, to znači kvadrat razlike. Zbir kvadrata prvog i drugog broja daje nam broj 54. Ali kakvi su ovo kvadrati? 1 i 53? 49 i 5 ? Previše je opcija... Ne, bolje je početi raspetljavanje sa duplim proizvodom. Našmože se napisati kao . Jednom proizvod udvostručeno, onda odmah odbacujemo to dvoje. Zatim kandidati za tu ulogu a i b ostaju 7 i . Šta ako je 14 i/2 ? To je moguće. Ali uvijek počinjemo s nečim jednostavnim!” Dakle, neka , a . Provjerimo ih za zbir kvadrata:
Desilo se! To znači da je naš radikalni izraz zapravo kvadrat razlike:
Evo laganog načina da izbjegnete petljanje sa sistemom. Ne radi uvijek, ali je u mnogim od ovih primjera sasvim dovoljno. Dakle, ispod korijena postoje potpuni kvadrati. Ostaje samo da ispravno izdvojite korijene i izračunate primjer:
Sada pogledajmo još nestandardniji zadatak na roots.)
Dokazati da je broj A– cijeli broj, ako .
Ništa se direktno ne vadi, korenje je ugrađeno, pa čak i različitog stepena... Noćna mora! Međutim, zadatak ima smisla.) Dakle, postoji ključ za njegovo rješavanje.) A ključ je ovdje. Uzmite u obzir našu jednakost
Kako relativna jednačina A. Da da! Bilo bi lijepo riješiti se korijena. Naši korijeni su kubni, pa hajde da stavimo obje strane jednadžbe u kocku. Prema formuli kocka zbira:
Kocke i kubni korijeni se međusobno poništavaju, a ispod svakog velikog korijena uzimamo jednu zagradu iz kvadrata i skupljamo proizvod razlike i zbroja u razliku kvadrata:
Zasebno izračunavamo razliku kvadrata ispod korijena:
Članak otkriva značenje iracionalnih izraza i transformacija s njima. Razmotrimo sam koncept iracionalnih izraza, transformacije i karakterističnih izraza.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Šta su iracionalni izrazi?
Prilikom uvođenja korijena u školu, proučavamo koncept iracionalnih izraza. Takvi izrazi su usko povezani s korijenima.
Definicija 1
Iracionalni izrazi su izrazi koji imaju korijen. Odnosno, to su izrazi koji imaju radikale.
Na osnovu ove definicije, imamo da je x - 1, 8 3 3 6 - 1 2 3, 7 - 4 3 (2 + 3) , 4 a 2 d 5: d 9 2 a 3 5 - ovo su svi izrazi iracionalnog tipa.
Kada razmatramo izraz x · x - 7 · x + 7 x + 3 2 · x - 8 3 nalazimo da je izraz racionalan. Racionalni izrazi uključuju polinome i algebarske razlomke. Iracionalni uključuju rad sa logaritamskim izrazima ili radikalnim izrazima.
Glavne vrste transformacija iracionalnih izraza
Prilikom izračunavanja takvih izraza potrebno je obratiti pažnju na DZ. Često zahtijevaju dodatne transformacije u obliku otvaranja zagrada, dovođenja sličnih članova, grupisanja i tako dalje. Osnova takvih transformacija su operacije s brojevima. Transformacije iracionalnih izraza pridržavaju se strogog reda.
Primjer 1
Transformirajte izraz 9 + 3 3 - 2 + 4 · 3 3 + 1 - 2 · 3 3 .
Rješenje
Potrebno je zamijeniti broj 9 izrazom koji sadrži korijen. Onda to shvatamo
81 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = = 9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3
Dobijeni izraz ima slične termine, pa hajde da izvršimo redukciju i grupisanje. Dobijamo
9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = = 9 - 2 + 1 + 3 3 + 4 3 3 - 2 3 3 = = 8 + 3 3 3
odgovor: 9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = 8 + 3 3 3
Primjer 2
Izraz x + 3 5 2 - 2 · x + 3 5 + 1 - 9 predstaviti kao proizvod dva iracionalna broja koristeći skraćene formule za množenje.
Rješenja
x + 3 5 2 - 2 x + 3 5 + 1 - 9 = = x + 3 5 - 1 2 - 9
Predstavljamo 9 u obliku 3 2 i primjenjujemo formulu za razliku kvadrata:
x + 3 5 - 1 2 - 9 = x + 3 5 - 1 2 - 3 2 = = x + 3 5 - 1 - 3 x + 3 5 - 1 + 3 = = x + 3 5 - 4 x + 3 5 + 2
Rezultat identičnih transformacija doveo je do proizvoda dva racionalna izraza koja je trebalo pronaći.
odgovor:
x + 3 5 2 - 2 x + 3 5 + 1 - 9 = = x + 3 5 - 4 x + 3 5 + 2
Možete izvesti niz drugih transformacija koje se odnose na iracionalne izraze.
Pretvaranje radikalnog izraza
Važno je da se izraz pod znakom korijena može zamijeniti onim koji mu je identično jednak. Ova izjava omogućava rad sa radikalnim izrazom. Na primjer, 1 + 6 se može zamijeniti sa 7 ili 2 · a 5 4 - 6 sa 2 · a 4 · a 4 - 6 . Oni su identično jednaki, tako da zamjena ima smisla.
Kada ne postoji 1 različit od a, gdje vrijedi nejednakost oblika a n = a 1 n, tada je takva jednakost moguća samo za a = a 1. Vrijednosti takvih izraza jednake su bilo kojoj vrijednosti varijabli.
Korištenje korijenskih svojstava
Svojstva korijena koriste se za pojednostavljenje izraza. Da primijenimo svojstvo a · b = a · b, gdje je a ≥ 0, b ≥ 0, onda iz iracionalnog oblika 1 + 3 · 12 može postati identično jednako 1 + 3 · 12. Nekretnina. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 · , . . . , · n k , pri čemu a ≥ 0 znači da se x 2 + 4 4 3 može zapisati u obliku x 2 + 4 24 .
Postoje neke nijanse prilikom pretvaranja radikalnih izraza. Ako postoji izraz, onda ga - 7 - 81 4 = - 7 4 - 81 4 ne možemo zapisati, jer formula a b n = a n b n služi samo za nenegativno a i pozitivno b. Ako je svojstvo ispravno primijenjeno, tada će rezultat biti izraz oblika 7 4 81 4 .
Za ispravnu transformaciju koriste se transformacije iracionalnih izraza koristeći svojstva korijena.
Unos množitelja pod znakom korijena
Definicija 3Stavite ispod znaka korena- znači zamijeniti izraz B · C n, a B i C su neki brojevi ili izrazi, gdje je n prirodan broj veći od 1, sa jednakim izrazom koji izgleda kao B n · C n ili - B n · C n.
Ako pojednostavimo izraz oblika 2 x 3, onda nakon što ga dodamo korijenu, dobijemo da je 2 3 x 3. Takve transformacije su moguće tek nakon detaljnog proučavanja pravila za uvođenje množitelja pod znakom korijena.
Uklanjanje množitelja ispod znaka korijena
Ako postoji izraz oblika B n · C n , onda se on svodi na oblik B · C n , gdje postoje neparni n , koji poprimaju oblik B · C n s parnim n , B i C su neki brojevi i izrazi.
Odnosno, ako uzmemo iracionalan izraz oblika 2 3 x 3, uklonimo faktor ispod korijena, onda ćemo dobiti izraz 2 x 3. Ili će x + 1 2 · 7 rezultirati izrazom oblika x + 1 · 7, koji ima drugu notaciju oblika x + 1 · 7.
Uklanjanje množitelja ispod korijena je neophodno da bi se izraz pojednostavio i brzo pretvorio.
Pretvaranje razlomaka koji sadrže korijene
Iracionalni izraz može biti ili prirodan broj ili razlomak. Da biste pretvorili frakcijske izraze, obratite veliku pažnju na njegov nazivnik. Ako uzmemo razlomak oblika (2 + 3) x 4 x 2 + 5 3, tada će brojilac dobiti oblik 5 x 4, a koristeći svojstva korijena, nalazimo da će imenilac postati x 2 + 5 6. Originalni razlomak se može napisati kao 5 x 4 x 2 + 5 6.
Potrebno je obratiti pažnju na činjenicu da je potrebno promijeniti predznak samo brojioca ili samo imenioca. Shvatili smo to
X + 2 x - 3 x 2 + 7 4 = x + 2 x - (- 3 x 2 + 7 4) = x + 2 x 3 x 2 - 7 4
Smanjenje razlomka najčešće se koristi kod pojednostavljivanja. Shvatili smo to
3 · x + 4 3 - 1 · x x + 4 3 - 1 3 smanjiti za x + 4 3 - 1 . Dobijamo izraz 3 x x + 4 3 - 1 2.
Prije redukcije potrebno je izvršiti transformacije koje pojednostavljuju izraz i omogućavaju faktorizaciju složenog izraza. Najčešće se koriste skraćene formule za množenje.
Ako uzmemo razlomak oblika 2 · x - y x + y, tada je potrebno uvesti nove varijable u = x i v = x, tada će dati izraz promijeniti oblik i postati 2 · u 2 - v 2 u + v. Brojilac treba razložiti na polinome prema formuli, onda to dobijemo
2 · u 2 - v 2 u + v = 2 · (u - v) · u + v u + v = 2 · u - v . Nakon izvršenja obrnute zamjene, dolazimo do oblika 2 x - y, koji je jednak originalnom.
Dozvoljeno je svođenje na novi imenilac, tada je potrebno brojilac pomnožiti dodatnim faktorom. Ako uzmemo razlomak oblika x 3 - 1 0, 5 · x, onda ga svedemo na nazivnik x. da biste to uradili, potrebno je da pomnožite brojilac i imenilac sa izrazom 2 x, tada dobijamo izraz x 3 - 1 0, 5 x = 2 x x x 3 - 1 0, 5 x 2 x = 2 x x 3 - 1 x .
Smanjenje razlomaka ili dovođenje sličnih potrebno je samo na ODZ-u navedenog razlomka. Kada pomnožimo brojilac i imenilac iracionalnim izrazom, otkrićemo da se oslobađamo iracionalnosti u nazivniku.
Oslobađanje od iracionalnosti u nazivniku
Kada se izraz transformacijom oslobodi korijena u nazivniku, to se zove oslobađanje od iracionalnosti. Pogledajmo primjer razlomka oblika x 3 3. Nakon što se riješimo iracionalnosti, dobijamo novi razlomak oblika 9 3 x 3.
Tranzicija od korijena do moći
Prijelazi s korijena na stepene su neophodni za brzu transformaciju iracionalnih izraza. Ako uzmemo u obzir jednakost a m n = a m n, možemo vidjeti da je njena upotreba moguća kada je a pozitivan broj, m cijeli broj, a n prirodan broj. Ako uzmemo u obzir izraz 5 - 2 3, u suprotnom imamo pravo da ga zapišemo kao 5 - 2 3. Ovi izrazi su ekvivalentni.
Kada korijen ima negativan broj ili broj sa varijablama, tada formula a m n = a m n nije uvijek primjenjiva. Ako takve korijene (- 8) 3 5 i (- 16) 2 4 trebate zamijeniti potencijama, onda dobijamo da - 8 3 5 i - 16 2 4 po formuli a m n = a m n ne radimo s negativnim a. Da bismo detaljnije analizirali temu radikalnih izraza i njihovih simplifikacija, potrebno je proučiti članak o prijelazu s korijena na stepen i nazad. Treba imati na umu da formula a m n = a m n nije primjenjiva na sve izraze ovog tipa. Oslobađanje od iracionalnosti doprinosi daljem pojednostavljenju izraza, njegovoj transformaciji i rješenju.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter