Po pravilu, ova vrijednost je direktna. Linearna funkcija. Direktna proporcionalnost. Inverzna proporcionalnost

Primjer

1,6 / 2 = 0,8; 4 / 5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8, itd.

Faktor proporcionalnosti

Konstantni odnos proporcionalnih veličina se naziva faktor proporcionalnosti. Koeficijent proporcionalnosti pokazuje koliko je jedinica jedne veličine po jedinici druge.

Direktna proporcionalnost

Direktna proporcionalnost- funkcionalna zavisnost, u kojoj određena veličina zavisi od druge veličine na način da njihov odnos ostaje konstantan. Drugim riječima, ove varijable se mijenjaju proporcionalno, u jednakim udjelima, to jest, ako se argument dvaput promijeni u bilo kojem smjeru, tada se i funkcija mijenja dvaput u istom smjeru.

Matematički, direktna proporcionalnost se piše kao formula:

f(x) = ax,a = const

Inverzna proporcionalnost

Inverzna proporcionalnost- ovo je funkcionalna ovisnost, u kojoj povećanje nezavisne vrijednosti (argumenta) uzrokuje proporcionalno smanjenje zavisne vrijednosti (funkcije).

Matematički, inverzna proporcionalnost se piše kao formula:

Svojstva funkcije:

Izvori

Wikimedia fondacija. 2010.

Njutnov drugi zakon
Kulonova barijera

Pogledajte šta je “Direktna proporcionalnost” u drugim rječnicima:

direktnu proporcionalnost- - [A.S. Goldberg. Englesko-ruski energetski rječnik. 2006] Energetske teme u opštem EN direktnom omjeru ... Vodič za tehnički prevodilac

direktnu proporcionalnost- tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. direktna proporcionalnost vok. direkte Proportionalität, f rus. direktna proporcionalnost, f pranc. proportionnalité directe, f … Fizikos terminų žodynas

PROPOCIONALNOST- (od latinskog proportionalis proporcionalan, proporcionalan). Proporcionalnost. Rječnik strane reči, uključeno u ruski jezik. Čudinov A.N., 1910. PROPORCIONALNOST lat. proporcionalis, proporcionalan. Proporcionalnost. Objašnjenje 25000 ... ... Rečnik stranih reči ruskog jezika

PROPOCIONALNOST- PROPOCIONALNOST, proporcionalnost, množina. ne, žensko (knjiga). 1. apstraktno imenica do proporcionalnog. Proporcionalnost delova. Proporcionalnost tijela. 2. Takav odnos između količina kada su proporcionalne (vidi proporcionalno ... Rječnik Ushakova

Proporcionalnost- Dvije međusobno zavisne veličine nazivaju se proporcionalnim ako odnos njihovih vrijednosti ostane nepromijenjen Sadržaj 1 Primjer 2 Koeficijent proporcionalnosti ... Wikipedia

PROPOCIONALNOST- PROPORCIONALNOST, i, žensko. 1. vidi proporcionalno. 2. U matematici: takav odnos između veličina u kojem povećanje jedne od njih povlači promjenu druge za isti iznos. Prava linija (sa rezom sa povećanjem za jednu vrijednost ... ... Ozhegov's Explantatory Dictionary

proporcionalnost- I; i. 1. do Proporcionalno (1 vrijednost); proporcionalnost. P. dijelovi. P. fizika. P. zastupljenost u parlamentu. 2. Math. Zavisnost između proporcionalno promjenjivih veličina. Faktor proporcionalnosti. Direktna linija (u kojoj sa...... enciklopedijski rječnik

Danas ćemo pogledati koje se količine nazivaju obrnuto proporcionalnim, kako izgleda graf inverzne proporcionalnosti i kako vam sve to može biti korisno ne samo na časovima matematike, već i van škole.

Tako različite proporcije

Proporcionalnost navedite dvije veličine koje su međusobno zavisne jedna od druge.

Zavisnost može biti direktna i inverzna. Prema tome, odnosi između veličina su opisani direktnom i obrnutom proporcionalnošću.

Direktna proporcionalnost– to je takav odnos između dvije veličine u kojem povećanje ili smanjenje jedne od njih dovodi do povećanja ili smanjenja druge. One. njihov stav se ne menja.

Na primjer, što više truda uložite u učenje za ispite, to su više ocjene. Ili što više stvari ponesete sa sobom na planinarenje, to će vaš ranac biti teži za nošenje. One. Količina truda uloženog u pripremu ispita direktno je proporcionalna dobijenim ocjenama. A broj stvari spakovanih u ranac je direktno proporcionalan njegovoj težini.

Inverzna proporcionalnost – ovo je funkcionalna ovisnost u kojoj smanjenje ili povećanje zavisne vrijednosti za nekoliko puta (naziva se argument) uzrokuje proporcionalno (tj. isti broj puta) povećanje ili smanjenje zavisne vrijednosti (naziva se funkcija).

Ilustrirajmo jednostavnim primjerom. Želite kupiti jabuke na pijaci. Jabuke na tezgi i količina novca u vašem novčaniku su u obrnutoj proporciji. One. što više jabuka kupite, to manje novca imat ćeš malo viška.

Funkcija i njen graf

Funkcija inverzne proporcionalnosti može se opisati kao y = k/x. U kojem x≠ 0 i k≠ 0.

Ova funkcija ima sljedeća svojstva:

Njegov domen definicije je skup svih realnih brojeva osim x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
Opseg su svi realni brojevi osim y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
Nema maksimalne ili minimalne vrijednosti.
Neparan je i njegov graf je simetričan u odnosu na ishodište.
Neperiodično.
Njegov graf ne siječe koordinatne ose.
Nema nule.
Ako k> 0 (tj. argument raste), funkcija se proporcionalno smanjuje na svakom od svojih intervala. Ako k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
Kako se argument povećava ( k> 0) negativne vrijednosti funkcije su u intervalu (-∞; 0), a pozitivne vrijednosti su u intervalu (0; +∞). Kada se argument smanji ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Graf funkcije inverzne proporcionalnosti naziva se hiperbola. Prikazano kako slijedi:

Problemi inverzne proporcionalnosti

Da bi bilo jasnije, pogledajmo nekoliko zadataka. Oni nisu previše komplikovani, a njihovo rješavanje pomoći će vam da vizualizirate što je inverzna proporcionalnost i kako to znanje može biti korisno u vašem svakodnevnom životu.

Zadatak br. 1. Automobil se kreće brzinom od 60 km/h. Trebalo mu je 6 sati da stigne do odredišta. Koliko će mu trebati da pređe istu udaljenost ako se kreće dvostruko većom brzinom?

Možemo početi tako što ćemo zapisati formulu koja opisuje odnos između vremena, udaljenosti i brzine: t = S/V. Slažem se, to nas uvelike podsjeća na funkciju inverzne proporcionalnosti. I ukazuje da su vrijeme koje automobil provede na putu i brzina kojom se kreće u obrnutoj proporciji.

Da bismo to potvrdili, pronađimo V 2, koji je, prema uslovu, 2 puta veći: V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. Zatim izračunavamo udaljenost koristeći formulu S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Sada nije teško saznati vrijeme t 2 koje je potrebno od nas prema uslovima problema: t 2 = 360/120 = 3 sata.

Kao što vidite, vrijeme putovanja i brzina su zaista obrnuto proporcionalni: pri brzini 2 puta većoj od prvobitne, automobil će provesti 2 puta manje vremena na putu.

Rješenje ovog problema se također može napisati kao proporcija. Dakle, prvo napravimo ovaj dijagram:

↓ 60 km/h – 6 h

↓120 km/h – x h

Strelice pokazuju obrnuto proporcionalni odnos. To također predlažu prilikom sastavljanja proporcija desna strana zapisi se moraju preokrenuti: 60/120 = x/6. Gdje dobijamo x = 60 * 6/120 = 3 sata.

Zadatak br. 2. Radionica zapošljava 6 radnika koji zadatu količinu posla mogu obaviti za 4 sata. Ako se broj radnika prepolovi, koliko će vremena trebati preostalim radnicima da završe istu količinu posla?

Zapišimo uslove problema u obliku vizuelnog dijagrama:

↓ 6 radnika – 4 sata

↓ 3 radnika – x h

Zapišimo ovo kao proporciju: 6/3 = x/4. I dobijemo x = 6 * 4/3 = 8 sati.Ako ima 2 puta manje radnika, preostali će potrošiti 2 puta više vremena na sav posao.

Zadatak br. 3. U bazen vode dvije cijevi. Kroz jednu cijev voda teče brzinom od 2 l/s i napuni bazen za 45 minuta. Kroz drugu cijev, bazen će se napuniti za 75 minuta. Kojom brzinom voda ulazi u bazen kroz ovu cijev?

Za početak, smanjimo sve količine koje su nam date prema uslovima problema na iste mjerne jedinice. Da bismo to učinili, izražavamo brzinu punjenja bazena u litrama u minuti: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.

Budući da uvjet podrazumijeva da se bazen puni sporije kroz drugu cijev, to znači da je brzina protoka vode manja. Proporcionalnost je inverzna. Izrazimo nepoznatu brzinu kroz x i nacrtajmo sljedeći dijagram:

↓ 120 l/min – 45 min

↓ x l/min – 75 min

A onda pravimo proporciju: 120/x = 75/45, odakle je x = 120 * 45/75 = 72 l/min.

U zadatku je brzina punjenja bazena izražena u litrima u sekundi, a odgovor koji smo dobili svedemo na isti oblik: 72/60 = 1,2 l/s.

Zadatak br. 4. Mala privatna štamparija štampa vizit karte. Zaposleni u štampariji radi brzinom od 42 vizit karte na sat i radi ceo dan - 8 sati. Ako je radio brže i odštampao 48 vizitkarti za sat vremena, koliko bi ranije mogao otići kući?

Pratimo dokazani put i pravimo dijagram prema uslovima problema, označavajući željenu vrijednost kao x:

↓ 42 vizit karte/sat – 8 sati

↓ 48 vizitkarti/h – x h

Imamo obrnuto proporcionalan odnos: koliko puta više vizitkarti odštampa zaposleni u štampariji po satu, isto toliko puta manje vremena će mu trebati da završi isti posao. Znajući ovo, napravimo proporciju:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 sati.

Dakle, pošto je posao završio za 7 sati, radnik štamparije je mogao da ide kući sat ranije.

Zaključak

Čini nam se da su ovi problemi inverzne proporcionalnosti zaista jednostavni. Nadamo se da sada i vi o njima razmišljate na taj način. A najvažnije je da vam znanje o obrnuto proporcionalnoj zavisnosti količina zaista može biti korisno više puta.

Ne samo na časovima matematike i ispitima. Ali čak i tada, kada se spremite za put, u kupovinu, odlučite da zaradite malo više novca tokom praznika itd.

Recite nam u komentarima koje primjere inverznih i direktno proporcionalnih odnosa primjećujete oko sebe. Neka bude takva igra. Vidjet ćete kako je uzbudljivo. Ne zaboravite podijeliti ovaj članak na na društvenim mrežama tako da i vaši prijatelji i drugovi iz razreda mogu da se igraju.

blog.site, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelimično, potrebna je veza do originalnog izvora.

>>Matematika: Direktna proporcionalnost i njen graf

Direktna proporcionalnost i njen graf

Među linearnim funkcijama y = kx + m posebno se izdvaja slučaj kada je m = 0; u ovom slučaju ima oblik y = kx i naziva se direktna proporcionalnost. Ovaj naziv se objašnjava činjenicom da se dvije veličine y i x nazivaju direktno proporcionalnim ako je njihov omjer jednak određenom
broj koji nije nula. Ovdje se ovaj broj k naziva koeficijent proporcionalnosti.

Mnogi stvarne situacije modeliraju se korištenjem direktne proporcionalnosti.

Na primjer, put s i vrijeme t pri konstantnoj brzini od 20 km/h povezani su ovisnošću s = 20t; ovo je direktna proporcionalnost, sa k = 20.

Drugi primjer:

trošak y i broj h hljebova po cijeni od 5 rubalja. za veknu su povezane zavisnošću y = 5x; ovo je direktna proporcionalnost, gdje je k = 5.

Dokaz. Mi ćemo to implementirati u dvije faze.
1. y = kx - poseban slučaj linearna funkcija, a graf linearne funkcije je prava linija; označimo ga sa I.
2. Par x = 0, y = 0 zadovoljava jednačinu y - kx, pa prema tome tačka (0; 0) pripada grafu jednačine y = kx, odnosno pravoj liniji I.

Prema tome, prava linija I prolazi kroz ishodište. Teorema je dokazana.

Morate moći da pređete ne samo sa analitičkog modela y = kx na geometrijski (graf direktne proporcionalnosti), već i sa geometrijskog modeli do analitičkog. Razmotrimo, na primjer, pravu liniju na koordinatnoj ravni xOy prikazanu na slici 50. To je grafik direktne proporcionalnosti, samo treba pronaći vrijednost koeficijenta k. Pošto je y, dovoljno je uzeti bilo koju tačku na pravoj i pronaći omjer ordinate ove tačke i njene apscise. Prava prolazi kroz tačku P(3; 6), a za ovu tačku imamo: To znači k = 2, pa stoga data prava linija služi kao grafik direktne proporcionalnosti y = 2x.

Kao rezultat toga, koeficijent k u zapisu linearne funkcije y = kx + m naziva se i koeficijent nagiba. Ako je k>0, tada se formira prava linija y = kx + m sa pozitivnim smjerom ose x oštri ugao(Sl. 49, a), a ako je k< О, - tupi ugao(Sl. 49, b).

Kalendarsko-tematsko planiranje u matematici, video u matematici online, matematika u školi preuzimanje

A. V. Pogorelov, Geometrija za 7-11 razred, Udžbenik za obrazovne institucije

Sadržaj lekcije beleške sa lekcija podrška okvirnoj prezentaciji lekcija metode ubrzanja interaktivne tehnologije Vježbajte zadaci i vježbe radionice za samotestiranje, obuke, slučajevi, potrage domaća zadaća diskusija pitanja retorička pitanja učenika Ilustracije audio, video i multimedija fotografije, slike, grafike, tabele, dijagrami, humor, anegdote, vicevi, stripovi, parabole, izreke, ukrštene reči, citati Dodaci sažetakačlanci trikovi za radoznale jaslice udžbenici osnovni i dodatni rječnik pojmova ostalo Poboljšanje udžbenika i lekcijaispravljanje grešaka u udžbeniku ažuriranje fragmenta u udžbeniku, elementi inovacije u lekciji, zamjena zastarjelog znanja novim Samo za nastavnike savršene lekcije kalendarski plan za godinu smjernice diskusioni programi Integrisane lekcije

Koncept direktne proporcionalnosti

Zamislite da planirate da kupite svoje omiljene bombone (ili bilo šta što zaista volite). Slatkiši u radnji imaju svoju cijenu. Recimo 300 rubalja po kilogramu. Što više bombona kupite, više novca plaćate. Odnosno, ako želite 2 kilograma, platite 600 rubalja, a ako želite 3 kilograma, platite 900 rubalja. Čini se da je sve jasno, zar ne?

Ako da, onda vam je sada jasno šta je direktna proporcionalnost - ovo je koncept koji opisuje odnos dve veličine koje su zavisne jedna o drugoj. A omjer ovih veličina ostaje nepromijenjen i konstantan: za koliko se dijelova jedna od njih povećava ili smanjuje, za isti broj dijelova druga se proporcionalno povećava ili smanjuje.

Direktna proporcionalnost se može opisati sljedećom formulom: f(x) = a*x, a a u ovoj formuli je konstantna vrijednost (a = const). U našem primjeru bombona, cijena je konstantna vrijednost, konstanta. Ne povećava se niti smanjuje, bez obzira na to koliko bombona odlučite da kupite. Nezavisna varijabla (argument)x je koliko kilograma slatkiša ćete kupiti. A zavisna varijabla f(x) (funkcija) je koliko novca ćete na kraju platiti za svoju kupovinu. Dakle, možemo zamijeniti brojeve u formulu i dobiti: 600 rubalja. = 300 rub. * 2 kg.

Srednji zaključak je sljedeći: ako se argument povećava, funkcija također raste, ako se argument smanjuje, funkcija također opada

Funkcija i njena svojstva

Direktno proporcionalna funkcija je poseban slučaj linearne funkcije. Ako je linearna funkcija y = k*x + b, onda za direktnu proporcionalnost to izgleda ovako: y = k*x, gdje se k naziva koeficijent proporcionalnosti i uvijek je broj različit od nule. Lako je izračunati k - nalazi se kao količnik funkcije i argumenta: k = y/x.

Da bude jasnije, uzmimo još jedan primjer. Zamislite da se automobil kreće od tačke A do tačke B. Brzina mu je 60 km/h. Ako pretpostavimo da brzina kretanja ostaje konstantna, onda se može uzeti kao konstanta. A onda zapisujemo uslove u obliku: S = 60*t, a ova formula je slična funkciji direktne proporcionalnosti y = k *x. Povučemo paralelu dalje: ako je k = y/x, tada se brzina automobila može izračunati znajući udaljenost između A i B i vrijeme provedeno na putu: V = S /t.

A sada, iz primijenjene primjene znanja o direktnoj proporcionalnosti, vratimo se njenoj funkciji. Svojstva koja uključuju:

njegov domen definicije je skup svih realnih brojeva (kao i njegovih podskupova);

funkcija je neparna;

promjena varijabli je direktno proporcionalna duž cijele dužine brojevne prave.

Direktna proporcionalnost i njen graf

Grafikon funkcije direktne proporcionalnosti je prava linija koja siječe ishodište. Da biste ga izgradili, dovoljno je označiti još samo jednu tačku. I povežite ga i ishodište koordinata pravom linijom.

U slučaju grafa, k je nagib. Ako je nagib manje od nule(k< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0), grafik i x-osa formiraju oštar ugao, a funkcija raste.

I još jedno svojstvo grafa funkcije direktne proporcionalnosti direktno je povezano sa nagibom k. Pretpostavimo da imamo dvije neidentične funkcije i, shodno tome, dva grafa. Dakle, ako su koeficijenti k ovih funkcija jednaki, njihovi grafovi se nalaze paralelno sa koordinatnom osom. A ako koeficijenti k nisu međusobno jednaki, grafovi se sijeku.

Problemi sa uzorcima

Sada da riješimo par problemi direktne proporcionalnosti

Počnimo s nečim jednostavnim.

Problem 1: Zamislite da 5 kokošaka snese 5 jaja za 5 dana. A ako ima 20 kokošaka, koliko će jaja sneti za 20 dana?

Rješenje: Označimo nepoznatu sa kx. A mi ćemo rezonovati na sljedeći način: koliko je puta više pilića postalo? Podijelite 20 sa 5 i saznajte da je to 4 puta. Koliko puta više jaja će sneti 20 kokoši za istih 5 dana? Takođe 4 puta više. Dakle, naše nalazimo ovako: 5*4*4 = 80 jaja će snijeti 20 kokoši za 20 dana.

Sada je primjer malo složeniji, hajde da parafraziramo problem iz Newtonove "Opće aritmetike". Problem 2: Pisac može napisati 14 stranica nove knjige za 8 dana. Da ima pomoćnike, koliko bi ljudi bilo potrebno da napiše 420 stranica za 12 dana?

Rješenje: Smatramo da se broj ljudi (pisci + asistenti) povećava sa obimom posla ako se mora obaviti za isto vrijeme. Ali koliko puta? Ako podijelimo 420 sa 14, saznajemo da se povećava 30 puta. Ali pošto se, prema uslovima zadatka, daje više vremena za rad, broj asistenata se povećava ne za 30 puta, već na ovaj način: x = 1 (pisac) * 30 (puta): 12/8 ( dana). Hajde da transformišemo i saznamo da će x = 20 ljudi napisati 420 stranica za 12 dana.

Hajde da riješimo još jedan problem sličan onima u našim primjerima.

Problem 3: Dva automobila krenula su na isti put. Jedan se kretao brzinom od 70 km/h i prešao istu udaljenost za 2 sata dok je drugom trebalo 7 sati. Pronađite brzinu drugog automobila.

Rješenje: Kao što se sjećate, putanja je određena brzinom i vremenom - S = V *t. Pošto su oba automobila prešla istu udaljenost, možemo izjednačiti dva izraza: 70*2 = V*7. Kako nalazimo da je brzina drugog automobila V = 70*2/7 = 20 km/h.

I još par primjera zadataka s funkcijama direktne proporcionalnosti. Ponekad problemi zahtijevaju pronalaženje koeficijenta k.

Zadatak 4: Za funkcije y = - x/16 i y = 5x/2 odrediti njihove koeficijente proporcionalnosti.

Rješenje: Kao što se sjećate, k = y/x. To znači da je za prvu funkciju koeficijent jednak -1/16, a za drugu k = 5/2.

Također možete naići na zadatak kao što je zadatak 5: Zapišite direktnu proporcionalnost pomoću formule. Njegov graf i graf funkcije y = -5x + 3 nalaze se paralelno.

Rješenje: Funkcija koja nam je data u uvjetu je linearna. Znamo da je direktna proporcionalnost poseban slučaj linearne funkcije. Takođe znamo da ako su koeficijenti k funkcija jednaki, njihovi grafovi su paralelni. To znači da je sve što je potrebno je izračunati koeficijent poznate funkcije i postaviti direktnu proporcionalnost koristeći nam poznatu formulu: y = k *x. Koeficijent k = -5, direktna proporcionalnost: y = -5*x.