Ovo je naziv za jednadžbe oblika u kojima je nepoznata i u eksponentu iu bazi stepena.
Možete odrediti potpuno jasan algoritam za rješavanje jednadžbe oblika. Da biste to učinili, morate obratiti pažnju na činjenicu da kada Oh) Ne jednak nuli, jedan i minus jedan, jednakost stupnjeva sa istim bazama (bilo pozitivnim ili negativnim) moguća je samo ako su eksponenti jednaki. To jest, svi korijeni jednadžbe će biti korijeni jednačine f(x) = g(x) Obratna izjava nije tačna, kada Oh)< 0 i frakcijske vrijednosti f(x) I g(x) izrazi Oh) f(x) I
Oh) g(x) gube smisao. Odnosno, kada se krećete od do f(x) = g(x)(mogu se pojaviti i strani korijeni, koji se moraju isključiti provjerom u odnosu na originalnu jednadžbu. I slučajevi a = 0, a = 1, a = -1 treba razmotriti odvojeno.
Dakle za kompletno rješenje jednadžbe razmatramo slučajeve:
a(x) = O f(x) I g(x)će biti pozitivni brojevi, onda je ovo rješenje. Inače, ne
a(x) = 1. Korijeni ove jednačine su također korijeni originalne jednačine.
a(x) = -1. Ako za vrijednost x koja zadovoljava ovu jednačinu, f(x) I g(x) su cijeli brojevi iste parnosti (ili oba parna ili oba neparna), onda je ovo rješenje. Inače, ne
Kada i rješavamo jednačinu f(x)= g(x) i zamjenom dobijenih rezultata u originalnu jednačinu odsijecamo strane korijene.
Primjeri rješavanja jednadžbi eksponencijalne snage.
Primjer br. 1.
1) x - 3 = 0, x = 3. jer 3 > 0 i 3 2 > 0, tada je x 1 = 3 rješenje.
2) x - 3 = 1, x 2 = 4.
3) x - 3 = -1, x = 2. Oba indikatora su parna. Ovo rješenje je x 3 = 1.
4) x - 3 ? 0 i x? ± 1. x = x 2, x = 0 ili x = 1. Za x = 0, (-3) 0 = (-3) 0 - ovo rješenje je tačno: x 4 = 0. Za x = 1, (- 2) 1 = (-2) 1 - ovo rješenje je tačno x 5 = 1.
Odgovor: 0, 1, 2, 3, 4.
Primjer br. 2.
Po definiciji aritmetike kvadratni korijen: x - 1 ? 0, x ? 1.
1) x - 1 = 0 ili x = 1, = 0, 0 0 nije rješenje.
2) x - 1 = 1 x 1 = 2.
3) x - 1 = -1 x 2 = 0 se ne uklapa u ODZ.
D = (-2) - 4*1*5 = 4 - 20 = -16 - nema korijena.
Državni univerzitet u Belgorodu
ODELJENJE algebra, teorija brojeva i geometrija
Radna tema: Indikativno- jednačine snage i nejednakosti.
Diplomski rad student Fizičko-matematičkog fakulteta
naučni savjetnik:
______________________________
Recenzent: _______________________________
________________________
Belgorod. 2006
| Uvod | 3 | ||
| Predmet I. | Analiza literature na temu istraživanja. | ||
| Predmet II. | Funkcije i njihova svojstva koja se koriste u rješavanju eksponencijalnih jednadžbi i nejednačina. | ||
| I.1. | Funkcija snage i njena svojstva. | ||
| I.2. | Eksponencijalna funkcija i njena svojstva. | ||
| Predmet III. | Rješavanje jednadžbi eksponencijalne snage, algoritam i primjeri. | ||
| Predmet IV. | Rješavanje eksponencijalnih nejednačina, plan rješenja i primjeri. | ||
| Predmet V. | Iskustvo u vođenju nastave sa školarcima na temu: “Rješavanje eksponencijalnih jednačina i nejednačina.” | ||
| V. 1. | Edukativni materijal. | ||
| V. 2. | Problemi za samostalno rješavanje. | ||
| Zaključak. | Zaključci i ponude. | ||
| Bibliografija. | |||
| Prijave | |||
Uvod.
“...radost viđenja i razumijevanja...”
A. Einstein.
U ovom radu pokušao sam da prenesem svoje iskustvo kao nastavnik matematike, da bar donekle prenesem svoj stav prema njenom predavanju - ljudski uzrok, u kojem su matematička nauka, pedagogija, didaktika, psihologija, pa čak i filozofija iznenađujuće isprepletene.
Imao sam priliku da radim sa decom i maturantima, sa decom koja su stajala na stubovima intelektualni razvoj: oni koji su bili prijavljeni kod psihijatra i koji su se stvarno zanimali za matematiku
Imao sam priliku da riješim mnoge metodološke probleme. Pokušaću da pričam o onima koje sam uspeo da rešim. Ali još više neuspjelih, pa čak i u onima za koje se čini da su riješeni postavljaju se nova pitanja.
Ali još važnije od samog iskustva su učiteljeva razmišljanja i sumnje: zašto je baš ovako, ovo iskustvo?
I ljeto je sada drugačije, a razvoj obrazovanja je postao zanimljiviji. “Pod Jupiterima” danas nije potraga za mitskim optimalnim sistemom učenja “svakog i svega”, već za samo dijete. Ali onda - nužno - učitelj.
IN školski kurs algebra i početak analize, 10. - 11. razred, prilikom polaganja Jedinstvenog državnog ispita za predmet srednja škola a na prijemnim ispitima na univerzitetima postoje jednačine i nejednačine koje sadrže nepoznatu u osnovi i eksponente - to su eksponencijalne jednačine i nejednačine.
U školi im se posvećuje malo pažnje, praktično nema zadataka na ovu temu u udžbenicima. Međutim, savladavanje tehnike njihovog rješavanja, čini mi se, vrlo je korisno: povećava mentalno i Kreativne vještine studenti, pred nama se otvaraju potpuno novi horizonti. Prilikom rješavanja problema učenici stiču prve vještine istraživački rad, obogaćuje se njihova matematička kultura, njihove sposobnosti da logičko razmišljanje. Školarci razvijaju takve kvalitete ličnosti kao što su odlučnost, postavljanje ciljeva i nezavisnost, što će im biti od koristi u kasnijem životu. A tu je i ponavljanje, proširenje i duboka asimilacija obrazovnog materijala.
Počeo sam da radim na ovoj temi za svoju tezu pisanjem svog kursa. U toku kojeg sam duboko proučavao i analizirao matematičku literaturu o ovoj temi, identifikovao sam najviše odgovarajuća metoda rješavanje eksponencijalnih snaga i nejednačina.
Ona leži u činjenici da pored opšteprihvaćenog pristupa prilikom rešavanja eksponencijalnih jednačina (baza se uzima veća od 0) i kod rešavanja istih nejednačina (baza se uzima veća od 1 ili veća od 0, ali manja od 1) , razmatraju se i slučajevi kada su baze negativne, jednake 0 i 1.
Analiza pisanih ispitnih radova učenika pokazuje da nedostatak obrađenosti pitanja negativne vrijednosti argumenta eksponencijalne funkcije u školskim udžbenicima kod njih stvara niz poteškoća i dovodi do grešaka. A problemi imaju i u fazi sistematizacije dobijenih rezultata, gdje se, zbog prelaska na jednačinu - posljedica ili nejednakosti - posljedica, mogu pojaviti strani korijeni. Kako bismo eliminisali greške, koristimo test koristeći originalnu jednadžbu ili nejednakost i algoritam za rješavanje eksponencijalnih jednadžbi, odnosno plan za rješavanje eksponencijalnih nejednačina.
Da bi studenti uspješno položili završne i prijemne ispite, smatram da je potrebno više pažnje posvetiti rješavanju eksponencijalnih jednačina i nejednačina u trening sesije, ili dodatno u izbornim predmetima i klubovima.
Dakle predmet , moj teza definira se na sljedeći način: "Eksponencijalne jednadžbe i nejednakosti".
Ciljevi ovog rada su:
1. Analizirajte literaturu o ovoj temi.
2. Dajte potpuna analiza rješavanje eksponencijalnih snaga i nejednačina.
3. Navedite dovoljan broj primjera raznih vrsta na ovu temu.
4. Provjerite na razrednoj, izbornoj i klupskoj nastavi kako će se doživjeti predložene metode rješavanja eksponencijalnih jednačina i nejednačina. Dajte odgovarajuće preporuke za proučavanje ove teme.
Predmet Naše istraživanje je da razvijemo metodologiju za rješavanje eksponencijalnih jednačina i nejednačina.
Svrha i predmet studije zahtijevali su rješavanje sljedećih problema:
1. Proučite literaturu na temu: “Eksponencijalne jednadžbe i nejednakosti”.
2. Ovladati tehnikama za rješavanje eksponencijalnih jednačina i nejednačina.
3. Odaberite materijal za obuku i razvijte sistem vježbi različitim nivoima na temu: “Rješavanje eksponencijalnih jednačina i nejednačina.”
Tokom istraživanja teze, više od 20 radova posvećenih upotrebi razne metode rješavanje eksponencijalnih snaga i nejednačina. Odavde dobijamo.
Plan teze:
Uvod.
Poglavlje I. Analiza literature na temu istraživanja.
Poglavlje II. Funkcije i njihova svojstva koja se koriste u rješavanju eksponencijalnih jednadžbi i nejednačina.
II.1. Funkcija snage i njena svojstva.
II.2. Eksponencijalna funkcija i njena svojstva.
Poglavlje III. Rješavanje jednadžbi eksponencijalne snage, algoritam i primjeri.
Poglavlje IV. Rješavanje eksponencijalnih nejednačina, plan rješenja i primjeri.
Poglavlje V. Iskustvo izvođenja nastave sa školarcima na ovu temu.
1. Materijal za obuku.
2.Zadaci za samostalno rješavanje.
Zaključak. Zaključci i ponude.
Spisak korišćene literature.
Poglavlje I analizira literaturu
Idite na youtube kanal naše web stranice da budete u toku sa svim novim video lekcijama.
Prvo, prisjetimo se osnovnih formula snaga i njihovih svojstava.
Proizvod broja a javlja se na sebi n puta, ovaj izraz možemo zapisati kao a a … a=a n
1. a 0 = 1 (a ≠ 0)
3. a n a m = a n + m
4. (a n) m = a nm
5. a n b n = (ab) n
7. a n / a m = a n - m
Potencijske ili eksponencijalne jednadžbe– ovo su jednadžbe u kojima su varijable u stepenu (ili eksponentima), a baza je broj.
Primjeri eksponencijalnih jednadžbi:
U ovom primjeru, broj 6 je baza; uvijek je na dnu i varijabla x stepen ili indikator.
Navedimo više primjera eksponencijalnih jednačina.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0
Pogledajmo sada kako se rješavaju eksponencijalne jednadžbe?
Uzmimo jednostavnu jednačinu:
2 x = 2 3
Ovaj primjer se može riješiti čak i u vašoj glavi. Može se vidjeti da je x=3. Uostalom, da bi lijeva i desna strana bile jednake, trebate staviti broj 3 umjesto x.
Sada da vidimo kako formalizirati ovu odluku:
2 x = 2 3
x = 3
Da bismo riješili takvu jednačinu, uklonili smo se identične osnove(odnosno dvojke) i zapisao šta je ostalo, to su stepeni. Dobili smo odgovor koji smo tražili.
Sada da rezimiramo našu odluku.
Algoritam za rješavanje eksponencijalne jednadžbe:
1. Treba provjeriti isto da li jednadžba ima baze na desnoj i lijevoj strani. Ako razlozi nisu isti, tražimo opcije za rješavanje ovog primjera.
2. Nakon što baze postanu iste, izjednačiti stepena i riješi rezultirajuću novu jednačinu.
Pogledajmo sada nekoliko primjera:
Počnimo s nečim jednostavnim.
Osnove na lijevoj i desnoj strani jednake su broju 2, što znači da možemo odbaciti bazu i izjednačiti njihove stupnjeve.
x+2=4 Dobije se najjednostavnija jednačina.
x=4 – 2
x=2
Odgovor: x=2
U sljedećem primjeru možete vidjeti da su baze različite: 3 i 9.
3 3x - 9 x+8 = 0
Prvo, pomerimo devetku na desnu stranu, dobićemo:
Sada morate napraviti iste baze. Znamo da je 9=3 2. Koristimo formulu snage (a n) m = a nm.
3 3x = (3 2) x+8
Dobijamo 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16
3 3x = 3 2x+16 Sada je jasno da su na lijevoj i desnoj strani baze iste i jednake tri, što znači da ih možemo odbaciti i izjednačiti stepene.
3x=2x+16 dobijamo najjednostavniju jednačinu
3x - 2x=16
x=16
Odgovor: x=16.
Pogledajmo sljedeći primjer:
2 2x+4 - 10 4 x = 2 4
Prije svega, gledamo baze, baze dva i četiri. I trebamo da budu isti. Transformišemo četiri koristeći formulu (a n) m = a nm.
4 x = (2 2) x = 2 2x
A koristimo i jednu formulu a n a m = a n + m:
2 2x+4 = 2 2x 2 4
Dodajte u jednačinu:
2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24
Naveli smo primjer iz istih razloga. Ali smetaju nam drugi brojevi 10 i 24. Šta da radimo s njima? Ako bolje pogledate možete vidjeti da na lijevoj strani imamo 2 2x ponovljeno, evo odgovora - možemo staviti 2 2x izvan zagrada:
2 2x (2 4 - 10) = 24
Izračunajmo izraz u zagradama:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Cijelu jednačinu podijelimo sa 6:
Zamislimo 4=2 2:
2 2x = 2 2 baze su iste, odbacujemo ih i izjednačavamo stepene.
2x = 2 je najjednostavnija jednadžba. Podijelimo sa 2 i dobijemo
x = 1
Odgovor: x = 1.
Rešimo jednačinu:
9 x – 12*3 x +27= 0
transformirajmo:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Dobijamo jednačinu:
3 2x - 12 3 x +27 = 0
Naše baze su iste, jednake su 3. U ovom primjeru možete vidjeti da prva tri ima stepen dva puta (2x) od druge (samo x). U ovom slučaju, možete riješiti metoda zamjene. Broj zamjenjujemo najmanjim stepenom:
Tada je 3 2x = (3 x) 2 = t 2
Sve x potencije u jednadžbi zamjenjujemo sa t:
t 2 - 12t+27 = 0
Dobijamo kvadratnu jednačinu. Rješavajući preko diskriminanta, dobijamo:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3
Vraćanje na varijablu x.
Uzmi t 1:
t 1 = 9 = 3 x
To je,
3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2
Pronađen je jedan korijen. Tražimo drugog od t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Odgovor: x 1 = 2; x 2 = 1.
Na web stranici možete postaviti sva pitanja koja imate u odjeljku POMOĆ ODLUČITI, mi ćemo vam svakako odgovoriti.
Pridružite se grupi
Ova lekcija je namenjena onima koji tek počinju da uče eksponencijalne jednačine. Kao i uvijek, počnimo s definicijom i jednostavnim primjerima.
Ako čitate ovu lekciju, onda pretpostavljam da već imate barem minimalno razumijevanje najjednostavnijih jednačina - linearnih i kvadratnih: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$, itd. Sposobnost rješavanja ovakvih konstrukcija je apsolutno neophodna kako se ne bi „zaglavili“ u temi o kojoj će se sada raspravljati.
Dakle, eksponencijalne jednadžbe. Dozvolite mi da vam dam par primjera:
\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]
Neki od njih vam mogu izgledati složeniji, dok su drugi, naprotiv, previše jednostavni. Ali svi imaju jednu zajedničku stvar važan znak: njihova notacija sadrži eksponencijalnu funkciju $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Dakle, hajde da uvedemo definiciju:
Eksponencijalna jednačina je svaka jednačina koja sadrži eksponencijalnu funkciju, tj. izraz oblika $((a)^(x))$. Osim naznačene funkcije, takve jednadžbe mogu sadržavati bilo koje druge algebarske konstrukcije - polinome, korijene, trigonometriju, logaritme itd.
Uredu onda. Sredili smo definiciju. Sada se postavlja pitanje: kako riješiti svo ovo sranje? Odgovor je i jednostavan i složen.
Počnimo s dobrim vijestima: iz mog iskustva podučavanja mnogih učenika, mogu reći da većina njih mnogo lakše pronalazi eksponencijalne jednačine nego iste logaritme, a još više trigonometriju.
Ali postoji i loše vijesti: ponekad sastavljači zadataka za sve vrste udžbenika i ispita budu pogođeni "inspiracijom", a njihov mozak zapaljen drogom počne proizvoditi tako brutalne jednačine da njihovo rješavanje postaje problematično ne samo za studente - čak i mnogi nastavnici zaglave na takvim problemima .
Međutim, da ne pričamo o tužnim stvarima. I vratimo se na one tri jednačine koje su date na samom početku priče. Pokušajmo riješiti svaki od njih.
Prva jednadžba: $((2)^(x))=4$. Pa, na koji stepen morate podići broj 2 da biste dobili broj 4? Verovatno drugi? Uostalom, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - i dobili smo tačnu numeričku jednakost, tj. zaista $x=2$. Pa, hvala, Cap, ali ova jednačina je bila toliko jednostavna da je čak i moja mačka mogla da je riješi. :)
Pogledajmo sljedeću jednačinu:
\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]
Ali ovdje je sve malo komplikovanije. Mnogi učenici znaju da je $((5)^(2))=25$ tablica množenja. Neki također sumnjaju da je $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ u suštini definicija negativnih snaga (slično formuli $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).
Konačno, samo nekolicina odabranih shvata da se ove činjenice mogu kombinovati i daju sledeći rezultat:
\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]
Dakle, naša originalna jednačina će biti prepisana na sljedeći način:
\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Strelica desno ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]
Ali ovo je već potpuno rješivo! Lijevo u jednadžbi je eksponencijalna funkcija, desno u jednačini je eksponencijalna funkcija, nigdje osim njih nema ničega drugog. Stoga možemo "odbaciti" baze i glupo izjednačiti indikatore:
Dobili smo najjednostavniju linearnu jednačinu koju svaki učenik može riješiti u samo nekoliko redova. U redu, u četiri reda:
\[\početak(poravnati)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(poravnati)\]
Ako ne razumijete šta se dešavalo u zadnja četiri reda, svakako se vratite na temu “ linearne jednačine“i ponovi. Jer bez jasnog razumijevanja ove teme, prerano je da se bavite eksponencijalnim jednadžbama.
\[((9)^(x))=-3\]
Pa kako to možemo riješiti? Prva pomisao: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, tako da se originalna jednačina može prepisati na sljedeći način:
\[((\levo(((3)^(2)) \desno))^(x))=-3\]
Zatim se prisjetimo da se pri podizanju stepena na stepen eksponenti množe:
\[((\left((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Strelica desno ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]
\[\početak(poravnati)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(poravnati)\]
A za takvu odluku dobićemo pošteno zasluženu dvojku. Jer, sa smirenošću Pokemona, poslali smo znak minus ispred trojke na snagu ove trojice. Ali to ne možete učiniti. I zato. Pogledaj različitih stepeni trojke:
\[\begin(matrica) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrica)\]
Prilikom sastavljanja ove tablete nisam se izopačio koliko god je to bilo moguće: uzeo sam u obzir pozitivne stupnjeve, i negativne, pa čak i razlomke... pa, gdje postoji barem jedan negativan broj? Otišao je! A ne može biti, jer eksponencijalna funkcija $y=((a)^(x))$, prvo, uvijek uzima samo pozitivne vrijednosti (bez obzira koliko se jedna pomnoži ili podijeli sa dva, ona će i dalje biti pozitivan broj), i drugo, baza takve funkcije - broj $a$ - je po definiciji pozitivan broj!
Pa, kako onda riješiti jednačinu $((9)^(x))=-3$? Ali nema šanse: nema korijena. I u tom smislu, eksponencijalne jednadžbe su vrlo slične kvadratnim jednadžbama - možda i nema korijena. Ali ako je u kvadratnim jednadžbama broj korijena određen diskriminantom (pozitivan diskriminant - 2 korijena, negativan - bez korijena), onda u eksponencijalnim jednačinama sve ovisi o tome što je desno od znaka jednakosti.
Dakle, hajde da formulišemo ključni zaključak: najjednostavnija eksponencijalna jednačina oblika $((a)^(x))=b$ ima koren ako i samo ako je $b>0$. Znajući ovu jednostavnu činjenicu, lako možete odrediti da li jednadžba koja vam je predložena ima korijen ili ne. One. Vrijedi li to uopće rješavati ili odmah zapisati da nema korijena.
Ovo znanje će nam mnogo puta pomoći kada budemo morali odlučiti više složeni zadaci. Za sada dosta tekstova - vrijeme je da proučimo osnovni algoritam za rješavanje eksponencijalnih jednačina.
Kako riješiti eksponencijalne jednadžbe
Dakle, hajde da formulišemo problem. Potrebno je riješiti eksponencijalnu jednačinu:
\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]
Prema „naivnom“ algoritmu koji smo ranije koristili, potrebno je broj $b$ predstaviti kao potenciju broja $a$:
Osim toga, ako umjesto varijable $x$ postoji bilo koji izraz, dobićemo novu jednačinu koja se već može riješiti. Na primjer:
\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Strelica desno ((2)^(x))=((2)^(3))\Strelica desno x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Strelica desno ((3)^(-x))=((3)^(4))\Strelica desno -x=4\Strelica desno x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Strelica desno ((5)^(2x))=((5)^(3))\Strelica desno 2x=3\Strelica desno x=\frac(3)( 2). \\\end(poravnati)\]
I što je čudno, ova shema funkcionira u oko 90% slučajeva. Šta je onda sa preostalih 10%? Preostalih 10% su blago "šizofrene" eksponencijalne jednadžbe oblika:
\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]
Pa, na koji stepen trebate podići 2 da biste dobili 3? Prvi? Ali ne: $((2)^(1))=2$ nije dovoljno. Sekunda? Nijedno: $((2)^(2))=4$ je previše. Koji onda?
Upućeni učenici su vjerovatno već pogodili: u takvim slučajevima, kada se to ne može riješiti “lijepo”, u igru dolazi “teška artiljerija” – logaritmi. Da vas podsjetim da se korištenjem logaritma svaki pozitivan broj može predstaviti kao potencija bilo kojeg drugog pozitivnog broja (osim jednog):
Sjećate se ove formule? Kada svojim studentima govorim o logaritmima, uvijek upozoravam: ova formula (koja je ujedno i osnovni logaritamski identitet ili, ako želite, definicija logaritma) će vas dugo proganjati i „iskakati“ u većini slučajeva. neočekivana mjesta. Pa, isplivala je. Pogledajmo našu jednačinu i ovu formulu:
\[\begin(poravnaj)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(poravnaj) \]
Ako pretpostavimo da je $a=3$ naš originalni broj na desnoj strani, a $b=2$ je sama osnova eksponencijalne funkcije do koje tako želimo dovesti desna strana, tada dobijamo sljedeće:
\[\begin(align)& a=((b)^((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Strelica desno ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Strelica desno x=( (\log )_(2))3. \\\end(poravnati)\]
Dobili smo pomalo čudan odgovor: $x=((\log )_(2))3$. U nekom drugom zadatku mnogi bi imali nedoumice s takvim odgovorom i počeli bi još jednom provjeravati svoje rješenje: šta ako se negdje uvukla greška? Požurim da vas zadovoljim: tu nema greške, a logaritmi u korijenima eksponencijalnih jednačina su sasvim tipična situacija. Pa navikni se. :)
Sada analogno riješimo preostale dvije jednadžbe:
\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Strelica desno ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Strelica desno ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Strelica desno 2x=( (\log )_(4))11\Strelica desno x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(poravnati)\]
To je sve! Inače, zadnji odgovor se može napisati drugačije:
Uveli smo množitelj u argument logaritma. Ali niko nas ne brani da dodamo ovaj faktor bazi:
Štaviše, sve tri opcije su tačne - jednostavno je različitih oblika evidencije istog broja. Koje ćete odabrati i zapisati u ovo rješenje, na vama je da odlučite.
Dakle, naučili smo rješavati sve eksponencijalne jednadžbe oblika $((a)^(x))=b$, gdje su brojevi $a$ i $b$ striktno pozitivni. Međutim, surova realnost našeg svijeta je takva jednostavni zadaci sretaćete se veoma, veoma retko. Češće nego ne naići ćete na nešto poput ovoga:
\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09. \\\end(poravnati)\]
Pa kako to možemo riješiti? Može li se ovo uopće riješiti? I ako jeste, kako?
Ne paničite. Sve ove jednadžbe se brzo i lako svode na jednostavne formule koje smo već razmatrali. Samo treba da zapamtite nekoliko trikova iz kursa algebre. I naravno, ne postoje pravila za rad sa diplomama. Sad ću ti ispričati sve ovo. :)
Pretvaranje eksponencijalnih jednadžbi
Prva stvar koju treba zapamtiti: svaka eksponencijalna jednadžba, ma koliko složena bila, na ovaj ili onaj način mora se svesti na najjednostavnije jednadžbe - one koje smo već razmatrali i koje znamo riješiti. Drugim riječima, shema za rješavanje bilo koje eksponencijalne jednadžbe izgleda ovako:
- Zapišite originalnu jednačinu. Na primjer: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
- Uradi neka čudna sranja. Ili čak neko sranje zvano "pretvori jednačinu";
- Na izlazu dobijete najjednostavnije izraze oblika $((4)^(x))=4$ ili nešto slično. Štaviše, jedna početna jednačina može dati nekoliko takvih izraza odjednom.
Sve je jasno sa prvom tačkom - čak i moja mačka može da napiše jednačinu na komadu papira. Čini se da je i treća tačka manje-više jasna - već smo riješili čitavu gomilu takvih jednačina iznad.
Ali šta je sa drugom tačkom? Kakve transformacije? Pretvoriti šta u šta? I kako?
Pa, hajde da saznamo. Prije svega, želio bih napomenuti sljedeće. Sve eksponencijalne jednadžbe su podijeljene u dvije vrste:
- Jednačina je sastavljena od eksponencijalnih funkcija sa istom bazom. Primjer: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
- Formula sadrži eksponencijalne funkcije s različitim bazama. Primjeri: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ i $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09$.
Počnimo s jednadžbama prvog tipa - njih je najlakše riješiti. A u njihovom rješavanju pomoći će nam takva tehnika kao što je isticanje stabilnih izraza.
Izolacija stabilnog izraza
Pogledajmo ponovo ovu jednačinu:
\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]
šta vidimo? Četiri su podignuta na različite stepene. Ali sve ove potencije su jednostavne sume varijable $x$ sa drugim brojevima. Stoga je potrebno zapamtiti pravila za rad sa diplomama:
\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(y))). \\\end(poravnati)\]
Jednostavno rečeno, sabiranje se može pretvoriti u proizvod stepena, a oduzimanje se može lako pretvoriti u dijeljenje. Pokušajmo primijeniti ove formule na stupnjeve iz naše jednadžbe:
\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(poravnati)\]
Prepišimo originalnu jednačinu uzimajući u obzir ovu činjenicu, a zatim sakupimo sve članove s lijeve strane:
\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -jedanaest; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(poravnati)\]
Prva četiri pojma sadrže element $((4)^(x))$ - izvadimo ga iz zagrade:
\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(poravnati)\]
Ostaje podijeliti obje strane jednadžbe razlomkom $-\frac(11)(4)$, tj. u suštini pomnoži sa obrnutim razlomkom - $-\frac(4)(11)$. Dobijamo:
\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \lijevo(-\frac(4)(11) \desno); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\& x=1. \\\end(poravnati)\]
To je sve! Originalnu jednačinu smo sveli na njen najjednostavniji oblik i dobili konačni odgovor.
U isto vrijeme, u procesu rješavanja otkrili smo (pa čak i izvadili iz zagrade) zajednički množitelj$((4)^(x))$ je stabilan izraz. Može se označiti kao nova varijabla ili je jednostavno možete pažljivo izraziti i dobiti odgovor. U svakom slučaju, ključni princip rješenja je sljedeći:
Pronađite u originalnoj jednadžbi stabilan izraz koji sadrži varijablu koja se lako razlikuje od svih eksponencijalnih funkcija.
Dobra vest je da vam skoro svaka eksponencijalna jednačina omogućava da izolujete tako stabilan izraz.
Ali loša vijest je da ovi izrazi mogu biti prilično zeznuti i da ih je prilično teško identificirati. Pa pogledajmo još jedan problem:
\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]
Možda će neko sada imati pitanje: „Paša, jesi li kamenovan? Ovdje postoje različite baze – 5 i 0,2.” Ali hajde da pokušamo pretvoriti snagu u bazu 0,2. Na primjer, riješimo se decimalnog razlomka tako što ćemo ga svesti na običan:
\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10) ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]
Kao što vidite, broj 5 se ipak pojavio, iako u nazivniku. Istovremeno, indikator je prepisan kao negativan. A sada da se prisjetimo jednog od njih najvažnija pravila rad sa diplomama:
\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Strelica desno ((\left(\frac(1)(5) \desno))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]
Ovdje sam, naravno, malo lagao. Jer za potpuno razumijevanje, formula za otklanjanje negativnih pokazatelja morala je biti napisana ovako:
\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \desno))^(n ))\Strelica desno ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ desno))^(x+1))=((5)^(x+1))\]
S druge strane, ništa nas nije spriječilo da radimo samo sa razlomcima:
\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left((5)^(-1)) \ desno))^(-\left(x+1 \desno)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \desno) \desno) ))=((5)^(x+1))\]
Ali u ovom slučaju, morate biti u mogućnosti da povećate snagu na drugu snagu (da vas podsjetim: u ovom slučaju, indikatori se zbrajaju). Ali nisam morao da "preokrećem" razlomke - možda će nekome ovo biti lakše. :)
U svakom slučaju, originalna eksponencijalna jednačina će biti prepisana kao:
\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(poravnati)\]
Tako se ispostavilo da se originalna jednadžba može riješiti još jednostavnije od one koja je prethodno razmatrana: ovdje čak ni ne morate odabrati stabilan izraz - sve je smanjeno samo od sebe. Ostaje samo zapamtiti da je $1=((5)^(0))$, od čega dobijamo:
\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\& x=-2. \\\end(poravnati)\]
To je rešenje! Dobili smo konačni odgovor: $x=-2$. U isto vrijeme, želio bih napomenuti jednu tehniku koja nam je uvelike pojednostavila sve proračune:
U eksponencijalnim jednačinama, obavezno ih se riješite decimale, pretvorite ih u obične. To će vam omogućiti da vidite iste baze stupnjeva i uvelike pojednostavite rješenje.
Idemo sada na više složene jednačine, u kojem postoje različite baze koje uopće nisu svodive jedna na drugu korištenjem stupnjeva.
Korištenje svojstva stupnjeva
Da vas podsjetim da imamo dvije posebno oštre jednadžbe:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09. \\\end(poravnati)\]
Glavna poteškoća je u tome što nije jasno šta dati i na osnovu čega. Gdje postaviti izraze? Gdje su iste osnove? Nema ništa od ovoga.
Ali hajde da pokušamo da idemo drugim putem. Ako nema spremnih identične osnove, možete ih pokušati pronaći faktoringom postojećih baza.
Počnimo s prvom jednačinom:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Strelica desno ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \desno))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)). \\\end(poravnati)\]
Ali možete učiniti suprotno - napravite broj 21 od brojeva 7 i 3. Ovo je posebno lako učiniti na lijevoj strani, jer su indikatori oba stepena isti:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\end(poravnati)\]
To je sve! Uzeli ste eksponent izvan proizvoda i odmah dobili prekrasnu jednadžbu koja se može riješiti u nekoliko redaka.
Pogledajmo sada drugu jednačinu. Ovde je sve mnogo komplikovanije:
\[((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09\]
\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]
IN u ovom slučaju ispostavilo se da su razlomci nesvodivi, ali ako se nešto moglo smanjiti, svakako to smanji. Često će se pojaviti zanimljivi razlozi s kojima već možete raditi.
Nažalost, za nas se ništa posebno nije pojavilo. Ali vidimo da su eksponenti na lijevoj strani u proizvodu suprotni:
Da vas podsjetim: da biste se riješili znaka minus u indikatoru, samo trebate "okrenuti" razlomak. Pa, hajde da prepišemo originalnu jednačinu:
\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\lijevo(\frac(1000)(27) \desno))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(poravnati)\]
U drugom redu smo jednostavno izveli opšti indikator iz proizvoda van zagrada prema pravilu $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right))^(x)) $, a u potonjem je jednostavno pomnožio broj 100 s razlomkom.
Sada imajte na umu da su brojevi na lijevoj strani (u osnovi) i na desnoj strani donekle slični. Kako? Da, očigledno je: to su moći istog broja! Imamo:
\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \desno))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \desno))^(2)). \\\end(poravnati)\]
Dakle, naša jednačina će biti prepisana na sljedeći način:
\[((\left((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10)\desno))^(2))\]
\[((\left((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \desno))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]
U ovom slučaju, na desnoj strani također možete dobiti diplomu s istom bazom, za koju je dovoljno jednostavno "preokrenuti" razlomak:
\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]
Naša jednačina će konačno poprimiti oblik:
\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(poravnati)\]
To je rešenje. Njegova glavna ideja se svodi na činjenicu da čak i sa po različitim osnovama mi pokušavamo, na udicu ili na prevaru, svesti ove osnove na istu stvar. U tome nam pomažu elementarne transformacije jednadžbi i pravila za rad sa potencijama.
Ali koja pravila i kada koristiti? Kako shvatiti da u jednoj jednadžbi trebate obje strane podijeliti s nečim, a u drugoj morate rastaviti bazu eksponencijalne funkcije?
Odgovor na ovo pitanje doći će s iskustvom. Prvo se okušajte u jednostavnim jednadžbama, a zatim postepeno komplikujte probleme - i vrlo brzo će vaše vještine biti dovoljne da riješite bilo koju eksponencijalnu jednadžbu sa istog Jedinstvenog državnog ispita ili bilo koji samostalni/testni rad.
I da vam pomognem u ovom teškom zadatku, predlažem da preuzmete skup jednadžbi s moje web stranice kako biste ga sami riješili. Sve jednačine imaju odgovore, tako da se uvijek možete testirati.
Predavanje: “Metode rješavanja eksponencijalnih jednačina.”
1 . Eksponencijalne jednadžbe.
Jednačine koje sadrže nepoznanice u eksponentima nazivaju se eksponencijalne jednadžbe. Najjednostavnija od njih je jednačina ax = b, gdje je a > 0, a ≠ 1.
1) Na b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.
2) Za b > 0, koristeći monotonost funkcije i teoremu o korijenu, jednačina ima jedinstveni korijen. Da bismo ga pronašli, b mora biti predstavljeno u obliku b = as, ax = bs ó x = c ili x = logab.
Eksponencijalne jednadžbe algebarskim transformacijama dovode do standardnih jednadžbi, koje se rješavaju sljedećim metodama:
1) način svođenja na jednu osnovu;
2) način ocjenjivanja;
3) grafički metod;
4) način uvođenja novih varijabli;
5) metod faktorizacije;
6) eksponencijalne – jednačine stepena;
7) demonstrativna sa parametrom.
2 . Metoda redukcije na jednu bazu.
Metoda se zasniva na sljedećem svojstvu stupnjeva: ako su dva stepena jednaka i njihove baze jednake, onda su im eksponenti jednaki, tj. treba pokušati svesti jednačinu na oblik
Primjeri. Riješite jednačinu:
1 . 3x = 81;
Predstavimo desnu stranu jednačine u obliku 81 = 34 i napišimo jednačinu koja je ekvivalentna originalnom 3 x = 34; x = 4. Odgovor: 4.
2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">i prijeđimo na jednadžbu za eksponente 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4, x = 0,5 Odgovor: 0,5.
3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">
Imajte na umu da brojevi 0,2, 0,04, √5 i 25 predstavljaju potencije od 5. Iskoristimo ovo i transformiramo originalnu jednačinu na sljedeći način:
,
odakle je 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, iz čega nalazimo rješenje x = -1. Odgovor: -1.
5. 3x = 5. Po definiciji logaritma, x = log35. Odgovor: log35.
6. 62x+4 = 33x. 2x+8.
Prepišimo jednačinu u obliku 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, tj.png" width="181" height="49 src="> Dakle x – 4 =0, x = 4. Odgovor: 4.
7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Koristeći svojstva stepena, zapisujemo jednačinu u obliku 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9, zatim 3∙3x = 9, 3x+1 = 32, tj. x+1 = 2, x =1. Odgovor: 1.
Problemska banka br. 1.
Riješite jednačinu:
Test br. 1.
1) 0 2) 4 3) -2 4) -4 |
|
A2 32x-8 = √3. | 1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4 |
A3 | 1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) bez korijena |
1) 7;1 2) bez korijena 3) -7;1 4) -1;-7 |
|
A5 | 1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0 |
A6 | 1) -1 2) 0 3) 2 4) 1 |
Test br. 2
A1 | 1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1 |
A2 | 1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11 |
A3 | 1) 2;-1 2) nema korijena 3) 0 4) -2;1 |
A4 | 1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2 |
A5 | 1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3 |
3 Metoda evaluacije.
Teorema o korijenu: ako se funkcija f(x) povećava (smanjuje) na intervalu I, broj a je bilo koja vrijednost koju uzima f na ovom intervalu, tada jednačina f(x) = a ima jedan korijen na intervalu I.
Prilikom rješavanja jednadžbi metodom procjene koristi se ova teorema i svojstva monotonosti funkcije.
Primjeri. Riješite jednačine: 1. 4x = 5 – x.
Rješenje. Prepišimo jednačinu kao 4x +x = 5.
1. ako je x = 1, tada je 41+1 = 5, 5 = 5 tačno, što znači da je 1 korijen jednačine.
Funkcija f(x) = 4x – raste na R, a g(x) = x – raste na R => h(x)= f(x)+g(x) raste na R, kao zbir rastućih funkcija, tada je x = 1 jedini korijen jednačine 4x = 5 – x. Odgovor: 1.
2.
Rješenje. Prepišimo jednačinu u formu 
.
1. ako je x = -1, onda 
, 3 = 3 je tačno, što znači da je x = -1 korijen jednačine.
2. dokazati da je on jedini.
3. Funkcija f(x) = - opada na R, a g(x) = - x – opada na R=> h(x) = f(x)+g(x) – opada na R, kao zbir opadajuće funkcije. To znači, prema teoremi o korijenu, x = -1 je jedini korijen jednačine. Odgovor: -1.
Problemska banka br. 2. Riješite jednačinu
a) 4x + 1 =6 – x;
b) 
c) 2x – 2 =1 – x;
4. Način uvođenja novih varijabli.
Metoda je opisana u paragrafu 2.1. Uvođenje nove varijable (supstitucija) obično se vrši nakon transformacije (pojednostavljenja) članova jednačine. Pogledajmo primjere.
Primjeri.
R Riješite jednačinu: 1.
.
Hajde da prepišemo jednačinu drugačije: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> tj.png" width="210" height = "45">
Rješenje. Zapišimo jednačinu drugačije: 
Označimo https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - nije prikladno.
t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - iracionalna jednačina. Primećujemo to 
Rješenje jednadžbe je x = 2,5 ≤ 4, što znači da je 2,5 korijen jednačine. Odgovor: 2.5.
Rješenje. Prepišimo jednačinu u obliku i obje strane podijelimo sa 56x+6 ≠ 0. Dobijamo jednačinu
2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" width="118" height="56">
Korijeni kvadratne jednadžbe su t1 = 1 i t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.
Rješenje . Prepišimo jednačinu u formu
i primijetiti da je to homogena jednačina drugog stepena.
Podijelimo jednačinu sa 42x, dobijamo 
Zamijenimo https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .
Odgovor: 0; 0.5.
Problemska banka br. 3. Riješite jednačinu
b) 
G) 
Test br. 3 sa izborom odgovora. Minimalni nivo.
A1 | 1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2 |
A2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0. | 1) 2;1 2) -1;0 3) nema korijena 4) 0 |
1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5 |
|
A4 52x-5x - 600 = 0. | 1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2 |
1) nema korijena 2) 2;4 3) 3 4) -1;2 |
Test br. 4 sa izborom odgovora. Opšti nivo.
A1 | 1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0 |
A2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0 | 1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1 |
1) 64 2) -14 3) 3 4) 8 |
|
1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0 |
|
A5 | 1) 0 2) 1 3) 0;1 4) nema korijena |
5. Metoda faktorizacije.
1. Riješite jednačinu: 5x+1 - 5x-1 = 24.
Rješenje..png" width="169" height="69"> , odakle
2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.
Rješenje. Stavimo 6x iz zagrada na lijevu stranu jednačine, a 2x na desnu. Dobijamo jednačinu 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.
Pošto je 2x >0 za sve x, možemo podijeliti obje strane ove jednadžbe sa 2x bez straha od gubitka rješenja. Dobijamo 3x = 1— x = 0.
3. 
Rješenje. Rešimo jednačinu metodom faktorizacije.
Odaberimo kvadrat binoma 
4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">
x = -2 je korijen jednadžbe.
Jednadžba x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">
A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.
1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1
A2 3x+1 +3x-1 =270.
1) 2 2) -4 3) 0 4) 4
A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5
1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3
1) 1 2) -3 3) -1 4) 0
A5 2x -2x-4 = 15. x=4
1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2
Test br. 6 Opšti nivo.
A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7. | 1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0.2 |
A2 | 1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0 |
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2. | 1) 2 2) -1 3) 3 4) -3 |
A4 | 1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4 |
A5 | 1) 2 2) -2 3) 5 4) 0 |
6. Eksponencijalno – jednadžbe snaga.
Uz eksponencijalne jednačine su takozvane jednadžbe eksponencijalne snage, tj. jednačine oblika (f(x))g(x) = (f(x))h(x).
Ako je poznato da je f(x)>0 i f(x) ≠ 1, onda se jednačina, kao i eksponencijalna, rješava izjednačavanjem eksponenata g(x) = f(x).
Ako uvjet ne isključuje mogućnost f(x)=0 i f(x)=1, tada moramo uzeti u obzir ove slučajeve prilikom rješavanja eksponencijalne jednadžbe.
1..png" width="182" height="116 src=">
2. 
Rješenje. x2 +2x-8 – ima smisla za bilo koji x, jer je polinom, što znači da je jednačina ekvivalentna ukupnosti
https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">
b) 
7. Eksponencijalne jednadžbe s parametrima.
1. Za koje vrijednosti parametra p jednačina 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) ima jedinstveno rješenje?
Rješenje. Uvedemo zamjenu 2x = t, t > 0, tada će jednačina (1) poprimiti oblik t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)
Diskriminanta jednačine (2) D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.
Jednačina (1) ima jedinstveno rješenje ako jednačina (2) ima jedan pozitivan korijen. To je moguće u sljedećim slučajevima.
1. Ako je D = 0, odnosno p = 1, tada će jednačina (2) dobiti oblik t2 – 2t + 1 = 0, dakle t = 1, dakle, jednačina (1) ima jedinstveno rješenje x = 0.
2. Ako je p1, onda je 9(p – 1)2 > 0, tada jednačina (2) ima dva razni koreni t1 = p, t2 = 4p – 3. Uslovi problema su zadovoljeni skupom sistema
Zamjenom t1 i t2 u sisteme imamo
https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}
Rješenje. Neka 
tada će jednačina (3) dobiti oblik t2 – 6t – a = 0. (4)
Nađimo vrijednosti parametra a za koje barem jedan korijen jednadžbe (4) zadovoljava uvjet t > 0.
Uvedimo funkciju f(t) = t2 – 6t – a. Mogući su sljedeći slučajevi.
https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}
Slučaj 2. Jednačina (4) ima jedinstveno pozitivno rješenje ako
D = 0, ako je a = – 9, tada će jednačina (4) dobiti oblik (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.
Slučaj 3. Jednačina (4) ima dva korijena, ali jedan od njih ne zadovoljava nejednakost t > 0. To je moguće ako
https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}
Dakle, za a 0, jednadžba (4) ima jedan pozitivan korijen 
. Tada jednačina (3) ima jedinstveno rješenje 
Kada a< – 9 уравнение (3) корней не имеет.
ako a< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
ako je a = – 9, onda je x = – 1;
ako je a 0, onda
Uporedimo metode za rješavanje jednačina (1) i (3). Imajte na umu da je pri rješavanju jednadžbe (1) svedeno na kvadratna jednačina, čiji je diskriminanta savršen kvadrat; Dakle, korijeni jednadžbe (2) su odmah izračunati korištenjem formule za korijene kvadratne jednadžbe, a zatim su izvedeni zaključci u vezi s tim korijenima. Jednadžba (3) je svedena na kvadratnu jednačinu (4), čiji diskriminanta nije savršen kvadrat, stoga je pri rješavanju jednadžbe (3) preporučljivo koristiti teoreme o lokaciji korijena kvadratnog trinoma i grafički model. Imajte na umu da se jednadžba (4) može riješiti korištenjem Vietine teoreme.
Hajde da rešimo složenije jednačine.
Problem 3: Riješite jednačinu 
Rješenje. ODZ: x1, x2.
Hajde da predstavimo zamenu. Neka je 2x = t, t > 0, tada će kao rezultat transformacija jednadžba dobiti oblik t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Nađimo vrijednosti a za koje je barem jedan korijen od jednačina (*) zadovoljava uslov t > 0.
https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}
Odgovor: ako je a > – 13, a 11, a 5, onda ako je a – 13,
a = 11, a = 5, tada nema korijena.
Bibliografija.
1. Guzejev temelji obrazovne tehnologije.
2. Guzejevska tehnologija: od recepcije do filozofije.
M. “Direktor škole” br. 4, 1996
3. Guzeev i organizacione forme obuku.
4. Guzejev i praksa integralne obrazovne tehnologije.
M." Javno obrazovanje“, 2001
5. Guzeev iz oblika lekcije - seminar.
Matematika u školi br. 2, 1987. str. 9 – 11.
6. Seleuko obrazovne tehnologije.
M. “Narodno obrazovanje”, 1998
7. Episheva školarci da studiraju matematiku.
M. "Prosvjeta", 1990
8. Ivanova priprema nastavu - radionice.
Matematika u školi br. 6, 1990. str. 37 – 40.
9. Smirnovov model nastave matematike.
Matematika u školi br. 1, 1997. str. 32 – 36.
10. Tarasenko načini organizovanja praktičnog rada.
Matematika u školi br. 1, 1993. str. 27 – 28.
11. O jednoj od vrsta individualnog rada.
Matematika u školi br. 2, 1994, str. 63 – 64.
12. Khazankin kreativne sposobnosti školaraca.
Matematika u školi br. 2, 1989. str. 10.
13. Scanavi. Izdavač, 1997
14. i dr. Algebra i počeci analize. Didaktički materijali za
15. Krivonogov zadaci iz matematike.
M. “Prvi septembar”, 2002
16. Čerkasov. Priručnik za srednjoškolce i
upis na univerzitete. “A S T - press škola”, 2002
17. Zhevnyak za one koji ulaze na univerzitete.
Minsk i Ruska Federacija “Pregled”, 1996
18. Napisano D. Pripremamo se za ispit iz matematike. M. Rolf, 1999
19. itd. Učenje rješavanja jednačina i nejednačina.
M. "Intelekt - Centar", 2003
20. itd. Obrazovni materijali i materijali za obuku za pripremu za EGE.
M. "Inteligencija - Centar", 2003. i 2004.
21 i dr. CMM opcije. Centar za testiranje Ministarstva odbrane Ruske Federacije, 2002, 2003.
22. Goldbergove jednadžbe. "Kvant" br. 3, 1971
23. Volovich M. Kako uspješno predavati matematiku.
Matematika, 1997. br. 3.
24 Okunev za lekciju, djeco! M. Obrazovanje, 1988
25. Yakimanskaya - orijentirano učenje u školi.
26. Liimets rad u nastavi. M. Znanje, 1975