Jednakost f(x; y) = 0 predstavlja jednačinu sa dvije varijable. Rješenje takve jednadžbe je par vrijednosti varijabli koje jednadžbu s dvije varijable pretvara u pravu jednakost.
Ako imamo jednačinu sa dvije varijable, onda, po tradiciji, moramo staviti x na prvo, a y na drugo mjesto.
Razmotrimo jednačinu x – 3y = 10. Parovi (10; 0), (16; 2), (-2; -4) su rješenja razmatrane jednačine, dok par (1; 5) nije rješenje.
Da biste pronašli druge parove rješenja ove jednačine, potrebno je izraziti jednu varijablu u terminima druge - na primjer, x u terminima y. Kao rezultat, dobijamo jednačinu
x = 10 + 3y. Izračunajmo vrijednosti x odabirom proizvoljnih vrijednosti y.
Ako je y = 7, onda je x = 10 + 3 ∙ 7 = 10 + 21 = 31.
Ako je y = -2, tada je x = 10 + 3 ∙ (-2) = 10 – 6 = 4.
Dakle, parovi (31; 7), (4; -2) su također rješenja date jednačine.
Ako jednadžbe s dvije varijable imaju isti korijen, onda se takve jednačine nazivaju ekvivalentne.
Za jednačine s dvije varijable vrijede teoreme o ekvivalentnim transformacijama jednačina.
Razmotrimo graf jednadžbe s dvije varijable.
Neka je data jednačina sa dvije varijable f(x; y) = 0. Sva njena rješenja mogu biti predstavljena tačkama na koordinatnoj ravni, čime se dobija određeni skup tačaka na ravni. Ovaj skup tačaka na ravni naziva se grafik jednačine f(x; y) = 0.
Dakle, grafik jednačine y – x 2 = 0 je parabola y = x 2; grafik jednačine y – x = 0 je prava linija; grafik jednačine y – 3 = 0 je prava linija paralelna sa x osom, itd.
Jednačina oblika ax + by = c, gdje su x i y varijable, a a, b i c brojevi, naziva se linearna; brojevi a, b se nazivaju koeficijenti varijabli, c je slobodni pojam.
Raspored linearna jednačina ax + by = c je:
Nacrtajmo jednačinu 2x – 3y = -6.
1. Jer nijedan od koeficijenata varijabli jednaka nuli, tada će graf ove jednačine biti prava linija.
2. Da bismo konstruirali pravu liniju, moramo znati barem dvije njene tačke. Zamijenite x vrijednosti u jednadžbe i dobijete y vrijednosti i obrnuto:
ako je x = 0, onda je y = 2; (0 ∙ x – 3y = -6);
ako je y = 0, onda je x = -3; (2x – 3 ∙ 0 = -6). 
Dakle, dobili smo dvije tačke na grafikonu: (0; 2) i (-3; 0).
3. Povučemo pravu liniju kroz dobijene tačke i dobijemo grafik jednačine
2x – 3y = -6.
Ako linearna jednadžba ax + by = c ima oblik 0 ∙ x + 0 ∙ y = c, onda moramo razmotriti dva slučaja:
1. c = 0. U ovom slučaju, bilo koji par (x; y) zadovoljava jednačinu, pa je stoga graf jednačine cijela koordinatna ravan;
2. c ≠ 0. U ovom slučaju jednačina nema rješenja, što znači da njen graf ne sadrži ni jednu tačku.
blog.site, prilikom kopiranja materijala u cijelosti ili djelimično, potrebna je veza do originalnog izvora.
Autorov pristup ovoj temi nije slučajan. Jednačine sa dvije varijable prvi put se susrećemo u 7. razredu. Jedna jednadžba sa dvije varijable ima beskonačan broj rješenja. Ovo je jasno prikazano grafikom linearne funkcije, date kao ax + by=c. IN školski kurs Studenti izučavaju sisteme dvije jednačine u dvije varijable. Kao rezultat toga, čitav niz problema sa ograničenim uslovima na koeficijent jednačine, kao i metode za njihovo rešavanje, ispada iz vidnog polja nastavnika, a samim tim i učenika.
Govorimo o rješavanju jednadžbe sa dvije nepoznanice u cijelim brojevima ili prirodni brojevi X.
U školi se prirodni brojevi i cijeli brojevi izučavaju od 4. do 6. razreda. Dok završe školu, ne sjećaju se svi učenici razlike između skupova ovih brojeva.
Međutim, problem kao što je „riješi jednačinu oblika ax + by=c u cijelim brojevima” sve se češće nalazi na prijemnim ispitima na univerzitetima i u materijalima za Jedinstveni državni ispit.
Rješavanje nesigurnih jednačina razvija logičko razmišljanje, inteligenciju i pažnju na analizu.
Predlažem razvoj nekoliko lekcija na ovu temu. Nemam jasne preporuke o vremenu održavanja ovih lekcija. Neki elementi se mogu koristiti iu 7. razredu (za jak razred). Ove lekcije se mogu uzeti kao osnova i razviti mali izborni predmet o predstručnom osposobljavanju u 9. razredu. I, naravno, ovaj materijal se može koristiti u 10-11 razredima za pripremu ispita.
Svrha lekcije:
- ponavljanje i uopštavanje znanja na temu “Jednačina prvog i drugog reda”
- negovanje kognitivnog interesa za predmet
- razvijanje sposobnosti analize, generalizacije, prenošenja znanja u novu situaciju
Lekcija 1.
Tokom nastave.
1) Org. momenat.
2) Ažuriranje osnovnih znanja.
Definicija. Linearna jednadžba u dvije varijable je jednačina oblika
mx + ny = k, gdje su m, n, k brojevi, x, y su varijable.
Primjer: 5x+2y=10
Definicija. Rješenje jednadžbe s dvije varijable je par vrijednosti varijabli koje jednačinu pretvara u pravu jednakost.
Jednačine sa dvije varijable koje imaju ista rješenja nazivaju se ekvivalentne.
1. 5x+2y=12 (2)y = -2,5x+6
Ova jednačina može imati bilo koji broj rješenja. Da biste to učinili, dovoljno je uzeti bilo koju vrijednost x i pronaći odgovarajuću vrijednost y.
Neka je x = 2, y = -2,5 2+6 = 1
x = 4, y = -2,5 4+6 =- 4
Parovi brojeva (2;1); (4;-4) – rješenja jednačine (1).
Ova jednadžba ima beskonačno mnogo rješenja.
3) Istorijska pozadina
Neodređene (Diofantove) jednadžbe su jednadžbe koje sadrže više od jedne varijable.
U 3. vijeku. AD – Diofant Aleksandrijski napisao je “Aritmetiku” u kojoj je proširio skup brojeva na racionalne i uveo algebarski simbolizam.
Diofant je takođe razmatrao probleme rešavanja neodređenih jednačina i dao metode za rešavanje neodređenih jednačina drugog i trećeg stepena.
4) Proučavanje novog gradiva.
Definicija: Nehomogena Diofantova jednačina prvog reda sa dvije nepoznate x, y je jednačina oblika mx + ny = k, gdje je m, n, k, x, y Z k0
Izjava 1.
Ako slobodni član k u jednačini (1) nije djeljiv najvećim zajedničkim djeliteljem (GCD) brojeva m i n, tada jednačina (1) nema cjelobrojna rješenja.
Primjer: 34x – 17y = 3.
GCD (34; 17) = 17, 3 nije jednako djeljiv sa 17, nema rješenja u cijelim brojevima.
Neka je k podijeljeno sa gcd (m, n). Dijeljenjem svih koeficijenata možemo osigurati da m i n postanu relativno prosti.
Izjava 2.
Ako su m i n jednadžbe (1) relativno prosti brojevi, onda ova jednačina ima barem jedno rješenje.
Izjava 3.
Ako su koeficijenti m i n jednadžbe (1) međusobno prosti brojevi, onda ova jednadžba ima beskonačno mnogo rješenja:
Gdje je (; ) bilo koje rješenje jednačine (1), t Z
Definicija. Homogena Diofantova jednadžba prvog reda sa dvije nepoznate x, y je jednadžba oblika mx + ny = 0, gdje je (2)
Izjava 4.
Ako su m i n međusobno prosti brojevi, tada svako rješenje jednadžbe (2) ima oblik 
5) Domaći. Riješite jednačinu cijelim brojevima:
- 9x – 18y = 5
- x + y= xy
- Nekoliko djece je bralo jabuke. Svaki dječak je sakupio 21 kg, a djevojčica 15 kg. Ukupno su sakupili 174 kg. Koliko je dječaka, a koliko djevojčica bralo jabuke?
Komentar. Ova lekcija ne daje primjere rješavanja jednačina u cijelim brojevima. Zbog toga zadaća djeca odlučuju na osnovu izjave 1 i selekcije.
Lekcija 2.
1) Organizacioni momenat
2) Provjera domaćeg zadatka
1) 9x – 18y = 5
5 nije deljivo sa 9; nema rešenja u celim brojevima.
Koristeći metodu odabira možete pronaći rješenje
Odgovor: (0;0), (2;2)
3) Napravimo jednačinu:
Neka su dječaci x, x Z, a djevojčice y, y Z, tada možemo stvoriti jednačinu 21x + 15y = 174
Mnogi učenici, nakon što su napisali jednačinu, neće je moći riješiti.
Odgovor: 4 dječaka, 6 djevojčica.
3) Učenje novog materijala
Nailazeći na poteškoće u izradi domaćih zadataka, učenici su se uvjerili u potrebu da nauče svoje metode za rješavanje nesigurnih jednačina. Pogledajmo neke od njih.
I. Metoda razmatranja ostataka dijeljenja.
Primjer. Riješite jednačinu cijelim brojevima 3x – 4y = 1.
Lijeva strana jednačine je djeljiva sa 3, stoga desna strana mora biti djeljiva. Razmotrimo tri slučaja.
Odgovor: gdje je m Z.
Opisani metod je pogodan za korištenje ako brojevi m i n nisu mali, ali se mogu rastaviti na jednostavne faktore.
Primjer: Riješite jednačine cijelim brojevima.
Neka je y = 4n, tada je 16 - 7y = 16 – 7 4n = 16 – 28n = 4*(4-7n) podijeljeno sa 4.
y = 4n+1, tada 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n nije deljivo sa 4.
y = 4n+2, tada 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n nije deljivo sa 4.
y = 4n+3, tada 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n nije deljivo sa 4.
Stoga je y = 4n, dakle
4x = 16 – 7 4n = 16 – 28n, x = 4 – 7n
Odgovor: , gdje je n Z.
II. Nesigurne jednačine 2. stepena
Danas ćemo se u lekciji dotaknuti samo rješenja Diofantovih jednačina drugog reda.
A od svih vrsta jednadžbi, razmotrit ćemo slučaj kada možemo primijeniti formulu razlike kvadrata ili neku drugu metodu faktorizacije.
Primjer: Riješite jednačinu cijelim brojevima.
13 je prost broj, tako da se može rastaviti samo na četiri načina: 13 = 13 1 = 1 13 = (-1)(-13) = (-13)(-1)
Hajde da razmotrimo ove slučajeve
Odgovor: (7;-3), (7;3), (-7;3), (-7;-3).
4) Domaći.
Primjeri. Riješite jednačinu cijelim brojevima:
(x - y)(x + y)=4
| 2x = 4 | 2x = 5 | 2x = 5 |
| x = 2 | x = 5/2 | x = 5/2 |
| y = 0 | ne odgovara | ne odgovara |
| 2x = -4 | ne odgovara | ne odgovara |
| x = -2 | ||
| y = 0 |
Odgovor: (-2;0), (2;0).
Odgovori: (-10;9), (-5;3), (-2;-3), (-1;-9), (1;9), (2;3), (5;-3) , (10;-9).
V) 
Odgovor: (2;-3), (-1;-1), (-4;0), (2;2), (-1;3), (-4;5).
Rezultati. Šta znači riješiti jednačinu cijelim brojevima?
Koje metode za rješavanje nesigurnih jednačina poznajete?
primjena:
Vježbe za trening.
1) Rešiti celim brojevima.
| a) 8x + 12y = 32 | x = 1 + 3n, y = 2 - 2n, n Z |
| b) 7x + 5y = 29 | x = 2 + 5n, y = 3 – 7n, n Z |
| c) 4x + 7y = 75 | x = 3 + 7n, y = 9 – 4n, n Z |
| d) 9x – 2y = 1 | x = 1 – 2m, y = 4 + 9m, m Z |
| e) 9x – 11y = 36 | x = 4 + 11n, y = 9n, n Z |
| e) 7x – 4y = 29 | x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, n Z |
| g) 19x – 5y = 119 | x = 1 + 5p, y = -20 + 19p, p Z |
| h) 28x – 40y = 60 | x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, t Z |
2) Naći cjelobrojna nenegativna rješenja jednačine.
Instrukcije
Metoda zamjene Izrazite jednu varijablu i zamijenite je drugom jednačinom. Možete izraziti bilo koju varijablu po svom nahođenju. Na primjer, izrazite y iz druge jednačine:
x-y=2 => y=x-2 Zatim sve zamijenite u prvu jednačinu:
2x+(x-2)=10 Premjestiti sve bez “x” na desna strana i izračunaj:
2x+x=10+2
3x=12 Zatim, da dobijete x, podijelite obje strane jednadžbe sa 3:
x=4 Dakle, pronašli ste “x. Pronađite "y. Da biste to učinili, zamijenite "x" u jednačinu iz koje ste izrazili "y":
y=x-2=4-2=2
y=2.
Proveri. Da biste to učinili, zamijenite rezultirajuće vrijednosti u jednadžbe:
2*4+2=10
4-2=2
Nepoznate su tačno pronađene!
Način sabiranja ili oduzimanja jednačina Odmah se riješite bilo koje varijable. U našem slučaju, to je lakše uraditi sa „y.
Pošto se u "y" nalazi znak "+", a u drugom "-", onda možete izvršiti operaciju sabiranja, tj. lijeva strana dodajte ga lijevo i desno na desno:
2x+y+(x-y)=10+2Pretvori:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4Zamijenite “x” u bilo koju jednačinu i pronađite “y”:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=2Prvom metodom možete vidjeti da su pronađeni ispravno.
Ako nema jasno definisanih varijabli, onda je potrebno malo transformisati jednačine.
U prvoj jednačini imamo „2x“, au drugoj jednostavno „x“. Da bi se x smanjio tokom sabiranja, pomnožite drugu jednačinu sa 2:
x-y=2
2x-2y=4 Zatim oduzmite drugu od prve jednačine:
2x+y-(2x-2y)=10-4 Imajte na umu da ako postoji minus ispred zagrade, onda ga nakon otvaranja promijenite u suprotno:
2x+y-2x+2y=6
3u=6
naći y=2x izražavanjem iz bilo koje jednačine, tj.
x=4
Video na temu
Savjet 2: Kako riješiti linearnu jednačinu u dvije varijable
Jednačina, napisan u opštem obliku ax+bu+c=0, naziva se linearna jednačina sa dva varijable. Takva jednačina sama po sebi sadrži beskonačan broj rješenja, pa se u zadacima uvijek dopunjava nečim - drugom jednačinom ili graničnim uvjetima. U zavisnosti od uslova koje daje zadatak, rešiti linearnu jednačinu sa dva varijable trebalo bi Različiti putevi.
Trebaće ti
- - linearna jednačina sa dvije varijable;
- - druga jednačina ili dodatni uslovi.
Instrukcije
Dat sistem od dvije linearne jednačine, riješite ga na sljedeći način. Odaberite jednu od jednačina u kojima su koeficijenti varijable manji i izraziti jednu od varijabli, na primjer, x. Zatim ovu vrijednost koja sadrži y zamijenite drugom jednačinom. U rezultirajućoj jednačini postojat će samo jedna varijabla y, pomjeriti sve dijelove sa y na lijevu stranu, a slobodne na desnu. Nađite y i zamijenite bilo koju od originalnih jednačina da biste pronašli x.
Postoji još jedan način da se reši sistem od dve jednačine. Pomnožite jednu od jednadžbi brojem tako da koeficijent jedne od varijabli, kao što je x, bude isti u obje jednačine. Zatim oduzmite jednu od jednadžbi od druge (ako desna strana nije jednaka 0, ne zaboravite da oduzmete desnu stranu na isti način). Vidjet ćete da je varijabla x nestala i da je ostala samo jedna varijabla y. Riješite rezultirajuću jednačinu i zamijenite pronađenu vrijednost y u bilo koju od originalnih jednakosti. Pronađite x.
Treći način rješavanja sistema od dvije linearne jednačine je grafički. Nacrtajte koordinatni sistem i nacrtajte dvije prave linije čije su jednačine date u vašem sistemu. Da biste to učinili, zamijenite bilo koje dvije vrijednosti x u jednadžbu i pronađite odgovarajući y - to će biti koordinate tačaka koje pripadaju pravoj. Najprikladniji način da pronađete sjecište s koordinatnim osa je jednostavno zamijeniti vrijednosti x=0 i y=0. Koordinate tačke preseka ove dve linije biće zadaci.
Ako postoji samo jedna linearna jednačina u uslovima problema, onda su vam dati dodatni uslovi kroz koje možete pronaći rješenje. Pažljivo pročitajte problem da pronađete ove uslove. Ako varijable x i y označavaju udaljenost, brzinu, težinu - slobodno postavite granicu x≥0 i y≥0. Sasvim je moguće da x ili y skrivaju broj jabuka itd. – tada vrijednosti mogu biti samo . Ako je x godina sina, jasno je da on ne može biti stariji od oca, pa to navedite u uslovima zadatka.
Izvori:
- kako riješiti jednačinu sa jednom promjenljivom
Samo po sebi jednačina sa tri nepoznato ima mnogo rješenja, pa se najčešće dopunjava sa još dvije jednadžbe ili uvjeta. Ovisno o tome koji su početni podaci, uvelike će zavisiti i tok odluke.
Trebaće ti
- - sistem od tri jednačine sa tri nepoznate.
Instrukcije
Ako dva od tri sistema imaju samo dvije od tri nepoznate, pokušajte izraziti neke varijable u terminima ostalih i zamijeniti ih u jednačina sa tri nepoznato. Vaš cilj u ovom slučaju je da ga pretvorite u normalu jednačina sa nepoznatom osobom. Ako je ovo , dalje rješenje je prilično jednostavno - zamijenite pronađenu vrijednost u druge jednačine i pronađite sve ostale nepoznanice.
Neki sistemi jednačina mogu se oduzeti od jedne jednačine drugom. Pogledajte da li je moguće pomnožiti jednu od ili varijablu tako da se dvije nepoznate ponište odjednom. Ako postoji takva prilika, najvjerovatnije je iskoristite, naknadno rješenje neće biti teško. Zapamtite da kada množite brojem, morate pomnožiti i lijevu i desnu stranu. Isto tako, kada oduzimate jednačine, morate zapamtiti da se desna strana također mora oduzeti.
Ako prethodne metode nisu pomogle, koristite na opšti način rješenja bilo koje jednačine sa tri nepoznato. Da biste to učinili, prepišite jednačine u obliku a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Sada kreirajte matricu koeficijenata za x (A), matricu nepoznatih (X) i matricu slobodnih (B). Imajte na umu da množenjem matrice koeficijenata sa matricom nepoznatih, dobit ćete matricu slobodnih termina, odnosno A*X=B.
Pronađite matricu A na stepen (-1) tako što ćete prvo pronaći , imajte na umu da ona ne bi trebala biti jednaka nuli. Nakon toga, pomnožite rezultirajuću matricu sa matricom B, kao rezultat ćete dobiti željenu matricu X, koja označava sve vrijednosti.
Također možete pronaći rješenje za sistem od tri jednačine koristeći Cramerovu metodu. Da biste to učinili, pronađite determinantu trećeg reda ∆ koja odgovara sistemskoj matrici. Zatim sukcesivno pronađite još tri determinante ∆1, ∆2 i ∆3, zamjenjujući vrijednosti slobodnih pojmova umjesto vrijednosti odgovarajućih stupaca. Sada pronađite x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.
Izvori:
- rješenja jednadžbi sa tri nepoznanice
Rješavanje sistema jednačina je izazovno i uzbudljivo. Kako složeniji sistem, interesantnije je to riješiti. Najčešće u matematici srednja škola Postoje sistemi jednadžbi sa dve nepoznanice, ali u višoj matematici može biti više varijabli. Sistemi se mogu riješiti korištenjem nekoliko metoda.
Instrukcije
Najčešća metoda za rješavanje sistema jednačina je supstitucija. Da biste to učinili, trebate izraziti jednu varijablu u terminima druge i zamijeniti je drugom jednačina sistema, čime se vodi jednačina na jednu varijablu. Na primjer, date su sljedeće jednačine: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.
Iz drugog izraza zgodno je izraziti jednu od varijabli, pomjerajući sve ostalo na desnu stranu izraza, ne zaboravljajući promijeniti predznak koeficijenta: x = 3-y.
Otvorite zagrade: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1 Dobivenu vrijednost y zamjenjujemo u izraz: x=3-y;x=3-1;x=2. .
U prvom izrazu, svi članovi su 2, možete uzeti 2 iz zagrade na distributivno svojstvo množenja: 2*(2x-y-3)=0. Sada se oba dijela izraza mogu smanjiti za ovaj broj, a zatim izraziti kao y, pošto je koeficijent modula za njega jednak jedan: -y = 3-2x ili y = 2x-3.
Kao iu prvom slučaju, ovaj izraz zamjenjujemo drugim jednačina i dobijamo: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2 Zamenimo rezultujuću vrednost u izraz: y=2x -3;y=4-3=1.
Vidimo da je koeficijent za y isti po vrijednosti, ali različit po predznaku, stoga, ako dodamo ove jednačine, potpuno ćemo se riješiti y: 4x+3x-2y+2y-6-8=0; 14=0; x=2 Zameniti vrednost x u bilo koju od dve jednačine sistema i dobiti y=1.
Video na temu
Bikvadratično jednačina predstavlja jednačinačetvrti stepen, opšti oblik koji je predstavljen izrazom ax^4 + bx^2 + c = 0. Njegovo rješenje se zasniva na korištenju metode zamjene nepoznatih. IN u ovom slučaju x^2 je zamijenjen drugom varijablom. Dakle, rezultat je običan kvadrat jednačina, što treba riješiti.
Instrukcije
Riješite kvadrat jednačina, koji je rezultat zamjene. Da biste to učinili, prvo izračunajte vrijednost u skladu sa formulom: D = b^2? 4ac. U ovom slučaju, varijable a, b, c su koeficijenti naše jednačine.
Pronađite korijene bikvadratne jednadžbe. Da biste to učinili, uzmite kvadratni korijen dobivenih rješenja. Ako je bilo jedno rješenje, onda će biti dva - pozitivna i negativna vrijednost kvadratnog korijena. Ako postoje dva rješenja, bikvadratna jednačina će imati četiri korijena.
Video na temu
Jedan od klasične metode rješavanje sistema linearnih jednačina je Gaussova metoda. Sastoji se u sekvencijalnoj eliminaciji varijabli kada se koristi sistem jednačina jednostavne transformacije se prevodi u postupni sistem, iz kojeg se sve varijable nalaze sekvencijalno, počevši od posljednjih.
Instrukcije
Prvo, dovedite sistem jednačina u oblik u kojem su sve nepoznanice u strogo definisanom redosledu. Na primjer, svi nepoznati X će se pojaviti prvi u svakoj liniji, svi Y će doći nakon X, svi Z će doći nakon Y, itd. Na desnoj strani svake jednačine ne bi trebalo biti nepoznanica. Mentalno odredite koeficijente ispred svake nepoznate, kao i koeficijente na desnoj strani svake jednačine.
Rješavanje jednadžbi u cijelim brojevima jedno je od najstarijih matematički problemi. Već početkom 2. milenijuma pr. e. Babilonci su znali da reše sisteme takvih jednačina sa dve varijable. Ovo područje matematike je svoj najveći procvat doživjelo u Ancient Greece. Glavni izvor za nas je Diofantova aritmetika, koja sadrži Razne vrste jednačine. U njemu Diofant (po njegovom imenu naziv jednačina je Diofantove jednačine) predviđa niz metoda za proučavanje jednačina 2. i 3. stepena, koje su se razvile tek u 19. veku.
Najjednostavnije Diofantove jednadžbe su ax + y = 1 (jednačina sa dvije varijable, prvi stepen) x2 + y2 = z2 (jednačina sa tri varijable, drugi stepen)
Najpotpunije proučavan algebarske jednačine, njihova odluka je bila jedna od najvažniji zadaci algebra u 16-17 veku.
Do početka 19. vijeka radovi P. Fermata, L. Eulera, K. Gausa istraživali su Diofantovu jednačinu oblika: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, gdje je a, b, c , d, e, f su brojevi; x, y nepoznate varijable.
Ovo je jednačina 2. stepena sa dvije nepoznate.
K. Gauss izgrađen opšta teorija kvadratne forme, što je osnova za rješavanje određenih vrsta jednačina sa dvije varijable (Diofantove jednačine). Postoji veliki broj specifične Diofantove jednadžbe riješene elementarnim metodama. /p>
Teorijski materijal.
U ovom delu rada biće opisani osnovni matematički pojmovi, definisani pojmovi i formulisana teorema ekspanzije metodom neodređenih koeficijenata, koji su proučavani i razmatrani pri rešavanju jednačina sa dve varijable.
Definicija 1: Jednačina oblika ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, gdje su a, b, c, d, e, f brojevi; x, y nepoznate varijable naziva se jednačina drugog stepena sa dvije varijable.
U školskom predmetu matematike proučava se kvadratna jednačina ax2+inx+c=0, gdje a, b, c brojevi x promenljiva, sa jednom promenljivom. Postoji mnogo načina za rješavanje ove jednačine:
1. Pronalaženje korijena pomoću diskriminanta;
2. Pronalaženje korijena za paran koeficijent u (prema D1=);
3. Pronalaženje korijena pomoću Vietine teoreme;
4. Pronalaženje korijena izolacijom savršenog kvadrata binoma.
Rješavanje jednadžbe znači pronaći sve njene korijene ili dokazati da oni ne postoje.
Definicija 2: Koren jednačine je broj koji, kada se zameni u jednačinu, formira pravu jednakost.
Definicija 3: Rješenje jednačine sa dvije varijable naziva se par brojeva (x, y) kada se zameni u jednačinu, pretvara se u pravu jednakost.
Proces pronalaženja rješenja jednadžbe vrlo često se obično sastoji od zamjene jednačine ekvivalentnom jednačinom, ali onom koja je jednostavnija za rješavanje. Takve jednačine se nazivaju ekvivalentne.
Definicija 4: Za dvije jednačine se kaže da su ekvivalentne ako je svako rješenje jedne jednačine rješenje druge jednačine, i obrnuto, i obje jednačine se razmatraju u istom domenu.
Za rješavanje jednadžbi s dvije varijable koristite teoremu o dekompoziciji jednadžbe na zbir potpunih kvadrata (metodom neodređenih koeficijenata).
Za jednačinu drugog reda ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (1), odvija se proširenje a(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h (2)
Hajde da formulišemo uslove pod kojima se odvija ekspanzija (2) za jednačinu (1) dve varijable.
Teorema: Ako koeficijenti a, b, c jednačine (1) zadovoljavaju uslove a0 i 4ab – c20, tada se ekspanzija (2) određuje na jedinstven način.
Drugim riječima, jednačina (1) sa dvije varijable može se svesti na oblik (2) korištenjem metode neodređenih koeficijenata ako su ispunjeni uslovi teoreme.
Pogledajmo primjer kako se implementira metoda neodređenih koeficijenata.
METODA br. 1. Riješite jednadžbu metodom neodređenih koeficijenata
2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.
1. Provjerimo ispunjenost uslova teoreme, a=2, b=1, c=2, što znači a=2.4av – c2= 4∙2∙1- 22= 40.
2. Uslovi teoreme su ispunjeni, mogu se proširiti prema formuli (2).
3. 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + py + q)2 + r(y + s)2 +h, na osnovu uslova teoreme, oba dijela identiteta su ekvivalentna. Pojednostavimo desnu stranu identiteta.
4. 2(x + py + q)2 + r(y +s)2 +h =
2(x2+ p2y2 + q2 + 2pxy + 2pqy + 2qx) + r(y2 + 2sy + s2) + h =
2x2+ 2p2y2 + 2q2 + 4pxy + 4pqy + 4qx + ry2 + 2rsy + rs2 + h =
X2(2) + y2(2p2 + r) + xy(4p) + x(4q) + y(4pq + 2rs) + (2q2 + rs2 + h).
5. Izjednačavamo koeficijente za identične varijable sa njihovim stepenima.
x2 2 = 2 y21 = 2p2 + r) xy2 = 4p x2 = 4q y0 = 4pq + 2rs x01 = 2q2 + rs2 + h
6. Uzmimo sistem jednačina, riješimo ga i nađemo vrijednosti koeficijenata.
7. Zamijenite koeficijente u (2), tada će jednačina poprimiti oblik
2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + 0,5y + 0,5)2 + 0,5(y -1)2 +0
Dakle, originalna jednačina je ekvivalentna jednačini
2(x + 0,5y + 0,5)2 + 0,5(y -1)2 = 0 (3), ova jednačina je ekvivalentna sistemu od dvije linearne jednačine.
Odgovor: (-1; 1).
Ako obratite pažnju na vrstu proširenja (3), primijetit ćete da je po formi identična izolaciji kompletnog kvadrata iz kvadratne jednadžbe sa jednom promjenljivom: ax2 + inx + c = a(x +)2 +.
Primijenimo ovu tehniku prilikom rješavanja jednadžbe sa dvije varijable. Rešimo, odabirom punog kvadrata, kvadratnu jednadžbu s dvije varijable koja je već riješena pomoću teoreme.
METODA br. 2: Riješite jednačinu 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.
Rješenje: 1. Zamislimo 2x2 kao zbir dva člana x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.
2. Grupirajmo pojmove na takav način da ih možemo presavijati koristeći formulu punog kvadrata.
(x2 + y2 + 2xy) + (x2 + 2x +1) = 0.
3. Odaberite potpune kvadrate iz izraza u zagradama.
(x + y)2 + (x + 1)2 = 0.
4. Ova jednačina je ekvivalentna sistemu linearnih jednačina.
Odgovor: (-1;1).
Ako uporedite rezultate, možete vidjeti da jednadžba riješena metodom br. 1 korištenjem teoreme i metode neodređenih koeficijenata i jednadžba riješena metodom br. 2 ekstrakcijom potpunog kvadrata imaju iste korijene.
Zaključak: Kvadratna jednačina s dvije varijable može se proširiti u zbir kvadrata na dva načina:
➢ Prva metoda je metoda neodređenih koeficijenata, koja se zasniva na teoremi i proširenju (2).
➢ Drugi način je korištenje transformacija identiteta koje vam omogućavaju da odaberete sekvencijalno kompletne kvadrate.
Naravno, kod rješavanja problema je poželjnija druga metoda, jer ne zahtijeva memorisanje proširenja (2) i uslova.
Ova metoda se također može koristiti za kvadratne jednadžbe sa tri varijable. Izolacija savršenog kvadrata u takvim jednačinama je intenzivnija. Sljedeće godine ću napraviti ovu vrstu transformacije.
Zanimljivo je napomenuti da se funkcija koja ima oblik: f(x,y) = ax2 + vxy + cy2 + dx + ey + f naziva kvadratna funkcija dvije varijable. Kvadratne funkcije igraju važnu ulogu u različitim granama matematike:
U matematičkom programiranju (kvadratično programiranje)
U linearnoj algebri i geometriji (kvadratni oblici)
U teoriji diferencijalnih jednadžbi (svođenje linearne jednadžbe drugog reda na kanonski oblik).
Prilikom rješavanja ovih različitih problema, suštinski se mora primijeniti postupak izolacije potpunog kvadrata iz kvadratne jednadžbe (jedna, dvije ili više varijabli).
Prave čije su jednačine opisane kvadratna jednačina dvije varijable se nazivaju krive drugog reda.
To su krug, elipsa, hiperbola.
Prilikom konstruisanja grafova ovih krivulja koristi se i metoda sekvencijalnog izolovanja kompletnog kvadrata.
Pogledajmo kako funkcionira metoda sekvencijalnog odabira cijelog kvadrata koristeći konkretne primjere.
Praktični dio.
Riješite jednadžbe koristeći metodu sekvencijalnog izolovanja potpunog kvadrata.
1. 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0; x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0;
(x +1)2 + (x + y)2 = 0;
Odgovor:(-1;1).
2. x2 + 5y2 + 2xy + 4y + 1 = 0; x2 + 4y2 + y2 + 2xy + 4y + 1 = 0;
(x + y)2 + (2y + 1)2 = 0;
Odgovor: (0,5; - 0,5).
3. 3x2 + 4y2 - 6xy - 2y + 1 = 0;
3x2 + 3y2 + y2 – 6xy – 2y +1 = 0;
3x2 +3y2 – 6xy + y2 –2y +1 = 0;
3(x2 - 2xy + y2) + y2 - 2y + 1 = 0;
3(x2 - 2xy + y2)+(y2 - 2y + 1)=0;
3(x-y)2 + (y-1)2 = 0;
Odgovor:(-1;1).
Riješite jednačine:
1. 2x2 + 3y2 – 4xy + 6y +9 =0
(svesti na oblik: 2(x-y)2 + (y +3)2 = 0)
Odgovor: (-3; -3)
2. – 3x2 – 2y2 – 6xy –2y + 1=0
(svesti na oblik: -3(x+y)2 + (y –1)2= 0)
Odgovor: (-1; 1)
3. x2 + 3y2+2xy + 28y +98 =0
(svesti na oblik: (x+y)2 +2(y+7)2 =0)
Odgovor: (7; -7)
Zaključak.
U ovom naučni rad proučavane su jednačine sa dve varijable drugog stepena i razmatrane su metode za njihovo rešavanje. Zadatak je završen, formuliran i detaljnije opisan. kratki put rješenja zasnovana na izolovanju potpunog kvadrata i zamjeni jednadžbe ekvivalentnim sistemom jednačina, što rezultira pojednostavljenom procedurom za pronalaženje korijena jednačine sa dvije varijable.
Važna stvar u radu je da se tehnika koja se razmatra koristi prilikom rješavanja različitih matematičkih problema vezanih za kvadratnu funkciju, konstruiranja krivulja drugog reda i pronalaženja najveće (najmanje) vrijednosti izraza.
Dakle, tehnika dekomponovanja jednadžbe drugog reda sa dvije varijable u zbir kvadrata ima najbrojniju primjenu u matematici.
§ 1 Odabir korijena jednačina u realnim situacijama
Pogledajmo ovu stvarnu situaciju:
Majstor i šegrt zajedno su izradili 400 dijelova po narudžbi. Štaviše, majstor je radio 3 dana, a student 2 dana. Koliko dijelova je svaka osoba napravila?
Hajde da napravimo algebarski model ove situacije. Neka majstor izradi dijelove za 1 dan. A student je u detaljima. Tada će majstor napraviti 3 dijela za 3 dana, a učenik će napraviti 2 dijela za 2 dana. Zajedno će proizvesti 3 + 2 dijela. Pošto je prema uslovu proizvedeno ukupno 400 delova, dobijamo jednačinu:
Rezultirajuća jednačina naziva se linearna jednačina u dvije varijable. Ovdje trebamo pronaći par brojeva x i y za koje će jednadžba dobiti oblik prave numeričke jednakosti. Imajte na umu da ako je x = 90, y = 65, onda dobijamo jednakost:
3 ∙ 90 + 65 ∙ 2 = 400
Pošto je dobijena tačna brojčana jednakost, par brojeva 90 i 65 će biti rješenje ove jednačine. Ali pronađeno rješenje nije jedino. Ako je x = 96 i y = 56, onda dobijamo jednakost:
96 ∙ 3 + 56 ∙ 2 = 400
Ovo je također prava brojčana jednakost, što znači da je par brojeva 96 i 56 također rješenje ove jednačine. Ali par brojeva x = 73 i y = 23 neće biti rješenje ove jednačine. U stvari, 3 ∙ 73 + 2 ∙ 23 = 400 dat će nam netačnu numeričku jednakost 265 = 400. Treba napomenuti da ako uzmemo u obzir jednačinu u vezi s ovim realna situacija, tada će postojati parovi brojeva koji, iako su rješenje ove jednačine, neće biti rješenje problema. Na primjer, par brojeva:
x = 200 i y = -100
je rješenje jednačine, ali učenik ne može napraviti -100 dijelova, pa stoga takav par brojeva ne može biti odgovor na pitanje zadatka. Dakle, u svakoj konkretnoj realnoj situaciji potrebno je razumno pristupiti izboru korijena jednačine.
Sumiramo prve rezultate:
Jednačina oblika ax + bu + c = 0, gdje su a, b, c bilo koji brojevi, naziva se linearna jednačina sa dvije varijable.
Rješenje linearne jednadžbe u dvije varijable je par brojeva koji odgovaraju x i y, za koje se jednačina pretvara u pravu numeričku jednakost.
§ 2 Grafikon linearne jednačine
Sam zapis para (x;y) navodi nas na razmišljanje o mogućnosti da ga prikažemo kao tačku sa koordinatama xy y na ravni. To znači da možemo dobiti geometrijski model konkretnu situaciju. Na primjer, razmotrite jednačinu:
2x + y - 4 = 0
Odaberimo nekoliko parova brojeva koji će biti rješenja ove jednačine i konstruirati tačke sa pronađenim koordinatama. Neka ovo budu tačke:
A(0; 4), B(2; 0), C(1; 2), D(-2; 8), E(- 1; 6).
Imajte na umu da sve tačke leže na istoj pravoj. Ova linija se naziva grafikom linearne jednadžbe u dvije varijable. To je grafički (ili geometrijski) model date jednačine.
Ako je par brojeva (x;y) rješenje jednadžbe
ax + vy + c = 0, tada tačka M(x;y) pripada grafu jednačine. Možemo reći i obrnuto: ako tačka M(x;y) pripada grafu jednačine ax + y + c = 0, tada je par brojeva (x;y) rješenje ove jednačine.
Iz kursa geometrije znamo:
Da biste konstruisali pravu liniju, potrebne su vam 2 tačke, pa je za iscrtavanje grafika linearne jednadžbe sa dve varijable dovoljno poznavati samo 2 para rešenja. Ali pogađanje korijena nije uvijek prikladan ili racionalan postupak. Možete postupati po drugom pravilu. Budući da je apscisa tačke (varijable x) nezavisna varijabla, možete joj dati bilo koju prikladnu vrijednost. Zamjenom ovog broja u jednačinu nalazimo vrijednost varijable y.
Na primjer, neka je data jednadžba:
Neka je x = 0, onda dobijamo 0 - y + 1 = 0 ili y = 1. To znači da ako je x = 0, onda je y = 1. Par brojeva (0;1) je rješenje ove jednačine. Postavimo drugu vrijednost za varijablu x: x = 2. Tada dobijamo 2 - y + 1 = 0 ili y = 3. Par brojeva (2;3) je također rješenje ove jednačine. Koristeći dvije pronađene tačke, već je moguće konstruirati graf jednačine x - y + 1 = 0.
Ovo možete učiniti: prvo dodijelite određenu vrijednost varijabli y, a tek onda izračunajte vrijednost x.
§ 3 Sistem jednačina
Pronađite dva prirodna broja čiji je zbir 11, a razlika 1.
Da bismo riješili ovaj problem, prvo kreiramo matematički model (naime, algebarski). Neka je prvi broj x, a drugi broj y. Tada je zbir brojeva x + y = 11 i razlika brojeva x - y = 1. Pošto se obje jednačine bave istim brojevima, ovi uvjeti moraju biti ispunjeni istovremeno. Obično se u takvim slučajevima koristi poseban zapis. Jednačine su napisane jedna ispod druge i kombinovane sa vitičastom zagradom.
Takav zapis naziva se sistem jednačina.
Sada konstruirajmo skupove rješenja svake jednadžbe, tj. grafike svake od jednadžbi. Uzmimo prvu jednačinu:
Ako je x = 4, onda je y = 7. Ako je x = 9, onda je y = 2.
Povucimo pravu liniju kroz tačke (4;7) i (9;2).
Uzmimo drugu jednačinu x - y = 1. Ako je x = 5, onda je y = 4. Ako je x = 7, onda je y = 6. Također povlačimo pravu liniju kroz tačke (5;4) i (7;6 ). Dobili smo geometrijski model problema. Par brojeva koji nas zanima (x;y) mora biti rješenje obje jednačine. Na slici vidimo jednu tačku koja leži na obe prave;
Njegove koordinate su (6;5). Stoga će rješenje problema biti: prvi traženi broj je 6, drugi je 5.
Spisak korišćene literature:
- Mordkovich A.G., Algebra 7. razred u 2 dela, 1. deo, Udžbenik za obrazovne institucije/ A.G. Mordkovich. – 10. izd., revidirano – Moskva, “Mnemosyne”, 2007
- Mordkovich A.G., Algebra 7. razred u 2 dijela, 2. dio, Knjiga zadataka za obrazovne ustanove / [A.G. Mordkovich i drugi]; uredio A.G. Mordkovich - 10. izdanje, revidirano - Moskva, “Mnemosyne”, 2007.
- ONA. Tulčinskaja, Algebra 7. razred. Blitz anketa: priručnik za učenike opšteobrazovnih ustanova, 4. izdanje, revidirano i prošireno, Moskva, „Mnemosyne“, 2008.
- Aleksandrova L.A., algebra 7. razred. Tematski testni rad V nova forma za učenike opšteobrazovnih ustanova, urednik A.G. Mordkovich, Moskva, “Mnemosyne”, 2011
- Aleksandrova L.A. Algebra 7. razred. Samostalan rad za učenike opšteobrazovnih ustanova, urednik A.G. Mordkovich - 6. izdanje, stereotipno, Moskva, “Mnemosyne”, 2010.