Diskriminanta, kao i kvadratne jednadžbe, počinje se izučavati u predmetu algebre u 8. razredu. Kvadratnu jednačinu možete riješiti pomoću diskriminanta i korištenjem Vietine teoreme. Metodologija studija kvadratne jednačine, kao i diskriminantne formule, prilično se neuspješno usađuju školarcima, kao i mnoge stvari u stvarnom obrazovanju. Stoga prolaze školske godine, obrazovanje u 9-11 razredima zamjenjuje " više obrazovanje"i svi ponovo gledaju - "Kako riješiti kvadratnu jednačinu?", "Kako pronaći korijene jednačine?", "Kako pronaći diskriminanta?" i...

Diskriminantna formula

Diskriminanta D kvadratne jednačine a*x^2+bx+c=0 je jednaka D=b^2–4*a*c.
Korijeni (rješenja) kvadratne jednadžbe zavise od predznaka diskriminanta (D):
D>0 – jednačina ima 2 različita realna korijena;
D=0 - jednadžba ima 1 korijen (2 podudarna korijena):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Formula za izračunavanje diskriminanta je prilično jednostavna, tako da mnoge web stranice nude online diskriminantni kalkulator. Ovakvu vrstu skripti još nismo smislili, pa ako neko zna kako to implementirati neka nam piše na e-mail Ova adresa el. pošte je zaštićena od spambotova. Morate imati omogućen JavaScript da biste ga vidjeli. .

Opća formula za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe:

Korijene jednadžbe pronalazimo pomoću formule
Ako je koeficijent kvadratne varijable uparen, onda je preporučljivo izračunati ne diskriminanta, već njegov četvrti dio
U takvim slučajevima, korijeni jednadžbe se nalaze pomoću formule

Drugi način pronalaženja korijena je Vietina teorema.

Teorema je formulirana ne samo za kvadratne jednadžbe, već i za polinome. Ovo možete pročitati na Wikipediji ili drugim elektronskim izvorima. Međutim, da pojednostavimo stvari, razmotrimo dio koji se odnosi na gornje kvadratne jednadžbe, odnosno jednadžbe oblika (a=1)
Suština Vietinih formula je da je zbir korijena jednadžbe jednak koeficijentu varijable, uzetoj sa suprotnim predznakom. Proizvod korijena jednadžbe jednak je slobodnom članu. Vietin teorem se može napisati u formulama.
Izvođenje Vietine formule je prilično jednostavno. Napišimo kvadratnu jednačinu kroz jednostavne faktore
Kao što vidite, sve genijalno je u isto vrijeme jednostavno. Efikasno je koristiti Vietinu formulu kada je razlika u modulu korijena ili razlika u modulima korijena 1, 2. Na primjer, sljedeće jednačine, prema Vietinoj teoremi, imaju korijen




Do jednačine 4, analiza bi trebala izgledati ovako. Umnožak korijena jednadžbe je 6, stoga korijeni mogu biti vrijednosti (1, 6) i (2, 3) ili parovi sa suprotnim predznakom. Zbir korijena je 7 (koeficijent varijable sa suprotnim predznakom). Odavde zaključujemo da su rješenja kvadratne jednadžbe x=2; x=3.
Lakše je odabrati korijene jednadžbe među djeliteljima slobodnog člana, prilagođavajući njihov predznak kako bi se ispunile Vietine formule. U početku se to čini teško izvodljivim, ali uz praksu na brojnim kvadratnim jednačinama, ova tehnika će biti efikasnija od izračunavanja diskriminanta i pronalaženja korijena kvadratne jednačine na klasičan način.
Kao što vidite, školska teorija proučavanja diskriminanta i metoda pronalaženja rješenja jednačine je lišena praktičnog značenja - "Zašto je školarcima potrebna kvadratna jednačina?", "Koje je fizičko značenje diskriminanta?"

Pokušajmo to shvatiti Šta diskriminant opisuje?

Na predmetu algebra izučavaju funkcije, šeme za proučavanje funkcija i konstruisanje grafa funkcija. Od svih funkcija važno mjesto zauzima parabola, čija se jednadžba može napisati u obliku
Dakle, fizičko značenje kvadratne jednadžbe su nule parabole, odnosno točke presjeka grafa funkcije sa apscisnom osom Ox
Molim vas da zapamtite svojstva parabola koja su opisana u nastavku. Doći će vrijeme za polaganje ispita, testova ili prijemnih ispita i bit ćete zahvalni na referentnom materijalu. Predznak kvadratne varijable odgovara tome da li će grane parabole na grafu ići gore (a>0),

ili parabola sa granama nadole (a<0) .

Vrh parabole leži na sredini između korijena

Fizičko značenje diskriminanta:

Ako je diskriminanta veća od nule (D>0) parabola ima dvije točke sjecišta sa Ox osom.
Ako je diskriminant jednaka nuli(D=0) tada parabola na vrhu dodiruje x-osu.
I posljednji slučaj, kada je diskriminator manje od nule(D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Nepotpune kvadratne jednadžbe

Kvadratne jednačine se izučavaju u 8. razredu, tako da ovdje nema ništa komplikovano. Sposobnost njihovog rješavanja je apsolutno neophodna.

Kvadratna jednačina je jednačina oblika ax 2 + bx + c = 0, gdje su koeficijenti a, b i c proizvoljni brojevi, a a ≠ 0.

Prije proučavanja specifičnih metoda rješenja, imajte na umu da se sve kvadratne jednadžbe mogu podijeliti u tri klase:

1. Nemaju korijene;
2. Imati tačno jedan korijen;
3. Uzmi dva razni koreni.

Ovo je bitna razlika između kvadratnih jednačina i linearnih, gdje korijen uvijek postoji i jedinstven je. Kako odrediti koliko korijena ima jednačina? Postoji divna stvar za ovo - diskriminatorno.

Diskriminantno

Neka je data kvadratna jednačina ax 2 + bx + c = 0. Tada je diskriminanta jednostavno broj D = b 2 − 4ac.

Ovu formulu morate znati napamet. Sada nije važno odakle dolazi. Još jedna stvar je važna: po znaku diskriminanta možete odrediti koliko korijena ima kvadratna jednadžba. naime:

1. Ako je D< 0, корней нет;
2. Ako je D = 0, postoji tačno jedan korijen;
3. Ako je D > 0, postojaće dva korena.

Imajte na umu: diskriminant označava broj korijena, a ne njihove znakove, kako iz nekog razloga mnogi vjeruju. Pogledajte primjere i sve ćete sami razumjeti:

Zadatak. Koliko korijena imaju kvadratne jednadžbe:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Napišimo koeficijente za prvu jednačinu i nađemo diskriminanta:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Dakle, diskriminant je pozitivan, tako da jednačina ima dva različita korijena. Drugu jednačinu analiziramo na sličan način:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Diskriminant je negativan, nema korijena. Zadnja preostala jednačina je:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminanta je nula - korijen će biti jedan.

Imajte na umu da su koeficijenti zapisani za svaku jednačinu. Da, dugo je, da, zamorno je, ali nećete miješati šanse i praviti glupe greške. Odaberite za sebe: brzinu ili kvalitet.

Usput, ako se snađete, nakon nekog vremena nećete morati zapisivati ​​sve koeficijente. Takve operacije ćete izvoditi u svojoj glavi. Većina ljudi to počne raditi negdje nakon 50-70 riješenih jednačina - općenito, ne toliko.

Korijeni kvadratne jednadžbe

Sada pređimo na samo rješenje. Ako je diskriminanta D > 0, korijeni se mogu pronaći pomoću formula:

Osnovna formula za korijene kvadratne jednadžbe

Kada je D = 0, možete koristiti bilo koju od ovih formula - dobit ćete isti broj, što će biti odgovor. Konačno, ako D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Prva jednadžba:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ jednadžba ima dva korijena. Hajde da ih pronađemo:

Druga jednačina:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ jednadžba opet ima dva korijena. Hajde da ih nađemo

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(poravnati)\]

Konačno, treća jednačina:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ jednačina ima jedan korijen. Može se koristiti bilo koja formula. Na primjer, prvi:

Kao što možete vidjeti iz primjera, sve je vrlo jednostavno. Ako znate formule i znate računati, neće biti problema. Najčešće se greške javljaju prilikom zamjene negativnih koeficijenata u formulu. Ovdje će opet pomoći gore opisana tehnika: pogledajte formulu doslovno, zapišite svaki korak - i vrlo brzo ćete se riješiti grešaka.

Nepotpune kvadratne jednadžbe

Dešava se da se kvadratna jednačina malo razlikuje od onoga što je dato u definiciji. Na primjer:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Lako je primijetiti da ovim jednačinama nedostaje jedan od pojmova. Takve kvadratne jednadžbe još je lakše riješiti od standardnih: ne zahtijevaju čak ni izračunavanje diskriminanta. Dakle, hajde da predstavimo novi koncept:

Jednačina ax 2 + bx + c = 0 naziva se nepotpuna kvadratna jednačina ako je b = 0 ili c = 0, tj. koeficijent varijable x ili slobodnog elementa jednak je nuli.

Naravno, moguć je vrlo težak slučaj kada su oba ova koeficijenta jednaka nuli: b = c = 0. U ovom slučaju, jednačina ima oblik ax 2 = 0. Očigledno, takva jednačina ima jedan korijen: x = 0.

Razmotrimo preostale slučajeve. Neka je b = 0, onda ćemo dobiti nepotpunu kvadratnu jednačinu oblika ax 2 + c = 0. Transformirajmo je malo:

Od aritmetike Kvadratni korijen postoji samo od nenegativnog broja, zadnja jednakost ima smisla samo za (−c /a) ≥ 0. Zaključak:

1. Ako je u nepotpunoj kvadratnoj jednadžbi oblika ax 2 + c = 0 nejednakost (−c /a) ≥ 0 zadovoljena, postojaće dva korena. Formula je data gore;
2. Ako (−c /a)< 0, корней нет.

Kao što vidite, diskriminant nije bio potreban – u nepotpunim kvadratnim jednačinama uopšte nema složenih proračuna. Zapravo, nije potrebno čak ni zapamtiti nejednakost (−c /a) ≥ 0. Dovoljno je izraziti vrijednost x 2 i vidjeti šta se nalazi na drugoj strani znaka jednakosti. Ako postoji pozitivan broj, bit će dva korijena. Ako je negativan, korijena uopće neće biti.

Pogledajmo sada jednačine oblika ax 2 + bx = 0, u kojima je slobodni element jednak nuli. Ovdje je sve jednostavno: uvijek će postojati dva korijena. Dovoljno je faktorisati polinom:

Izuzimanje zajedničkog faktora iz zagrada

Proizvod je nula kada je barem jedan od faktora nula. Odatle potiču korijeni. U zaključku, pogledajmo nekoliko od ovih jednačina:

Zadatak. Riješite kvadratne jednadžbe:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Nema korijena, jer kvadrat ne može biti jednak negativnom broju.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

Neki problemi iz matematike zahtijevaju sposobnost izračunavanja vrijednosti kvadratnog korijena. Takvi problemi uključuju rješavanje jednačina drugog reda. U ovom članku ćemo predstaviti efikasan metod kalkulacije kvadratni korijeni i koristite ga kada radite sa formulama za korijene kvadratne jednadžbe.

Šta je kvadratni korijen?

U matematici, ovaj koncept odgovara simbolu √. Istorijski podaci govore da je prvi put korišćen oko prve polovine 16. veka u Nemačkoj (prvo nemačko delo o algebri Christopha Rudolfa). Naučnici vjeruju da je navedeni simbol transformirani latinično pismo r (radix znači "korijen" na latinskom).

Korijen bilo kojeg broja jednak je vrijednosti čiji kvadrat odgovara radikalnom izrazu. U jeziku matematike, ova definicija će izgledati ovako: √x = y, ako je y 2 = x.

Korijen pozitivnog broja (x > 0) je također pozitivan broj (y > 0), ali ako uzmete korijen negativnog broja (x< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.

Evo dva jednostavna primjera:

√9 = 3, jer je 3 2 = 9; √(-9) = 3i, pošto je i 2 = -1.

Heronova iterativna formula za pronalaženje vrijednosti kvadratnih korijena

Gore navedeni primjeri su vrlo jednostavni, a izračunavanje korijena u njima nije teško. Poteškoće se počinju pojavljivati ​​pri pronalaženju korijenskih vrijednosti za bilo koju vrijednost koja se ne može predstaviti kao kvadrat prirodni broj, na primjer √10, √11, √12, √13, a da ne spominjemo činjenicu da je u praksi potrebno pronaći korijene za necijele brojeve: na primjer √(12,15), √(8,5) i tako dalje.

U svim gore navedenim slučajevima, trebali biste koristiti posebna metoda kalkulacije kvadratnog korijena. Trenutno je poznato nekoliko takvih metoda: na primjer, proširenje Taylorovog niza, podjela stupaca i neke druge. Od svih poznatih metoda, možda je najjednostavnija i najefikasnija upotreba Heronove iterativne formule, koja je poznata i kao babilonska metoda određivanja kvadratnih korijena (postoje dokazi da su je stari Babilonci koristili u svojim praktičnim proračunima).

Neka je potrebno odrediti vrijednost √x. Formula za pronalaženje kvadratnog korijena je sljedeća:

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), gdje je lim n->∞ (a n) => x.

Hajde da dešifrujemo ovu matematičku notaciju. Da biste izračunali √x, trebate uzeti određeni broj a 0 (može biti proizvoljan, ali da biste brzo dobili rezultat, trebali biste ga odabrati tako da (a 0) 2 bude što bliže x. Zatim ga zamijenite u navedenu formulu za izračunavanje kvadratnog korijena i dobijanje novog broja a 1, koji će već biti bliži željenoj vrijednosti, potrebno je u izraz zamijeniti 1 i dobiti 2. Ovu proceduru treba ponavljati dok se ne dogodi. postiže se potrebna tačnost.

Primjer korištenja Heronove iterativne formule

Gore opisani algoritam za dobivanje kvadratnog korijena datog broja može mnogima zvučati prilično komplicirano i zbunjujuće, ali u stvarnosti se sve ispostavilo da je mnogo jednostavnije, jer se ova formula vrlo brzo konvergira (pogotovo ako odaberete sretan broj a 0).

Dajemo jednostavan primjer: potrebno je izračunati √11. Odaberimo 0 = 3, pošto je 3 2 = 9, što je bliže 11 nego 4 2 = 16. Zamjenom u formulu dobijamo:

a 1 = 1/2(3 + 11/3) = 3,333333;

a 2 = 1/2(3,33333 + 11/3,33333) = 3,316668;

a 3 = 1/2(3,316668 + 11/3,316668) = 3,31662.

Nema smisla nastavljati proračune, jer smo otkrili da 2 i 3 počinju da se razlikuju tek na 5. decimalu. Dakle, bilo je dovoljno primijeniti formulu samo 2 puta da se izračuna √11 s tačnošću od 0,0001.

Danas se kalkulatori i računari široko koriste za izračunavanje korijena, međutim, korisno je zapamtiti označenu formulu kako biste mogli ručno izračunati njihovu tačnu vrijednost.

Jednačine drugog reda

Razumijevanje šta je kvadratni korijen i sposobnost njegovog izračunavanja koristi se u rješavanju kvadratnih jednačina. Ove jednačine se nazivaju jednakosti s jednom nepoznatom, čiji je opći oblik prikazan na donjoj slici.

Ovdje c, b i a predstavljaju neke brojeve, a a ne smije biti jednak nuli, a vrijednosti c i b mogu biti potpuno proizvoljne, uključujući jednake nuli.

Sve vrijednosti x koje zadovoljavaju jednakost prikazanu na slici nazivaju se njegovim korijenima (ovaj koncept ne treba brkati s kvadratnim korijenom √). Kako je jednadžba koja se razmatra 2. reda (x 2), onda za nju ne može postojati više od dva korijena. Pogledajmo dalje u članku kako pronaći ove korijene.

Pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe (formula)

Ova metoda rješavanja razmatrane vrste jednakosti naziva se i univerzalna metoda ili diskriminantna metoda. Može se koristiti za bilo koje kvadratne jednadžbe. Formula za diskriminanta i korijene kvadratne jednadžbe je sljedeća:

Pokazuje da korijeni zavise od vrijednosti svakog od tri koeficijenta jednadžbe. Štaviše, izračunavanje x 1 razlikuje se od izračunavanja x 2 samo po znaku ispred kvadratnog korijena. Radikalni izraz, koji je jednak b 2 - 4ac, nije ništa drugo do diskriminanta dotične jednakosti. Diskriminant u formuli za korijene kvadratne jednadžbe igra važnu ulogu, jer određuje broj i vrstu rješenja. Dakle, ako je jednako nuli, tada će postojati samo jedno rješenje, ako je pozitivno, onda jednačina ima dva realna korijena, i konačno, negativan diskriminant vodi do dva kompleksna korijena x 1 i x 2.

Vietin teorem ili neka svojstva korijena jednadžbi drugog reda

Krajem 16. veka, jedan od osnivača moderne algebre, Francuz, proučavajući jednačine drugog reda, uspeo je da dobije svojstva njenih korena. Matematički se mogu napisati ovako:

x 1 + x 2 = -b / a i x 1 * x 2 = c / a.

Obje jednakosti može lako dobiti bilo tko, da biste to učinili, samo trebate izvršiti odgovarajuće matematičke operacije s korijenima dobivenim kroz formulu s diskriminantom.

Kombinacija ova dva izraza s pravom se može nazvati drugom formulom za korijene kvadratne jednadžbe, koja omogućava pogađanje njenih rješenja bez upotrebe diskriminanta. Ovdje treba napomenuti da iako su oba izraza uvijek važeća, zgodno ih je koristiti za rješavanje jednačine samo ako se može faktorizirati.

Zadatak konsolidacije stečenog znanja

Hajde da odlučimo matematički problem, u kojem ćemo demonstrirati sve tehnike o kojima se govori u članku. Uslovi zadatka su sljedeći: potrebno je pronaći dva broja čiji je proizvod -13, a zbir 4.

Ovaj uslov nas odmah podsjeća na Vietin teorem koristeći formule za zbroj kvadratnih korijena i njihov proizvod, pišemo:

x 1 + x 2 = -b / a = 4;

x 1 * x 2 = c / a = -13.

Ako pretpostavimo da je a = 1, onda je b = -4 i c = -13. Ovi koeficijenti nam omogućavaju da napravimo jednačinu drugog reda:

x 2 - 4x - 13 = 0.

Upotrijebimo formulu s diskriminantom i dobijemo sljedeće korijene:

x 1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

Odnosno, problem se sveo na pronalaženje broja √68. Imajte na umu da je 68 = 4 * 17, a zatim, koristeći svojstvo kvadratnog korijena, dobijamo: √68 = 2√17.

Sada koristimo razmatranu formulu kvadratnog korijena: a 0 = 4, zatim:

a 1 = 1/2(4 + 17/4) = 4,125;

a 2 = 1/2 (4,125 + 17/4,125) = 4,1231.

Nema potrebe za izračunavanjem 3 jer se pronađene vrijednosti razlikuju samo za 0,02. Dakle, √68 = 8,246. Zamijenivši ga u formulu za x 1,2, dobijamo:

x 1 = (4 + 8,246)/2 = 6,123 i x 2 = (4 - 8,246)/2 = -2,123.

Kao što vidimo, zbir pronađenih brojeva je zaista jednak 4, ali ako pronađemo njihov proizvod, onda će biti jednak -12,999, što zadovoljava uslove zadatka sa tačnošću od 0,001.

Kvadratne jednadžbe. Diskriminantno. Rješenje, primjeri.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijala u Posebnom dijelu 555.
Za one koji su veoma "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Vrste kvadratnih jednadžbi

Šta je kvadratna jednačina? Kako izgleda? U terminu kvadratna jednačina ključna riječ je "kvadrat". To znači da u jednačini Nužno mora postojati x na kvadrat. Pored toga, jednadžba može (ili ne mora!) sadržavati samo X (na prvi stepen) i samo broj (besplatan član). I ne bi trebalo biti X na stepenu dva.

U matematičkom smislu, kvadratna jednačina je jednačina oblika:

Evo a, b i c- neki brojevi. b i c- apsolutno bilo koje, ali A– bilo šta osim nule. Na primjer:

Evo A =1; b = 3; c = -4

Evo A =2; b = -0,5; c = 2,2

Evo A =-3; b = 6; c = -18

Pa razumes...

U ovim kvadratnim jednadžbama na lijevoj strani postoji full setčlanovi. X na kvadrat sa koeficijentom A, x na prvi stepen sa koeficijentom b I besplatni član s.

Takve kvadratne jednačine se nazivaju pun.

I ako b= 0, šta dobijamo? Imamo X će nestati do prvog stepena. To se događa kada se pomnoži sa nulom.) Ispada, na primjer:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

I tako dalje. A ako oba koeficijenta b I c jednaki su nuli, onda je još jednostavnije:

2x 2 =0,

-0,3x 2 =0

Takve jednačine u kojima nešto nedostaje nazivaju se nepotpune kvadratne jednadžbe.Što je sasvim logično.) Imajte na umu da je x na kvadrat prisutan u svim jednadžbama.

Usput, zašto A ne može biti jednako nuli? I umjesto toga zamijenite A nula.) Naš X na kvadrat će nestati! Jednačina će postati linearna. A rješenje je potpuno drugačije...

To su sve glavne vrste kvadratnih jednačina. Potpuna i nepotpuna.

Rješavanje kvadratnih jednadžbi.

Rješavanje potpunih kvadratnih jednadžbi.

Kvadratne jednačine je lako riješiti. Prema formulama i jasnim, jednostavnim pravilima. U prvoj fazi potrebno je datu jednačinu svesti na standardni pogled, tj. na obrazac:

Ako vam je jednadžba već data u ovom obliku, ne morate raditi prvu fazu.) Glavna stvar je ispravno odrediti sve koeficijente, A, b I c.

Formula za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe izgleda ovako:

Izraz pod znakom korijena se zove diskriminatorno. Ali više o njemu u nastavku. Kao što vidite, da bismo pronašli X, koristimo se samo a, b i c. One. koeficijenti iz kvadratne jednadžbe. Samo pažljivo zamijenite vrijednosti a, b i c Računamo u ovoj formuli. Zamenimo sa sopstvenim znakovima! Na primjer, u jednadžbi:

A =1; b = 3; c= -4. Evo mi to zapisujemo:

Primjer je skoro riješen:

Ovo je odgovor.

Sve je vrlo jednostavno. I šta, mislite da je nemoguće pogrešiti? Pa da, kako...

Najčešće greške su zabuna sa vrijednostima znakova a, b i c. Ili bolje rečeno, ne njihovim znakovima (gdje se zbuniti?), već zamjenom negativnih vrijednosti u formulu za izračunavanje korijena. Ono što ovdje pomaže je detaljno snimanje formule s određenim brojevima. Ako postoje problemi sa proračunima, uradi to!

Pretpostavimo da trebamo riješiti sljedeći primjer:

Evo a = -6; b = -5; c = -1

Recimo da znate da retko dobijate odgovore prvi put.

Pa, nemoj biti lijen. Trebat će oko 30 sekundi da se napiše dodatni red i broj grešaka će se naglo smanjiti. Zato pišemo detaljno, sa svim zagradama i znakovima:

Čini se da je neverovatno teško pisati tako pažljivo. Ali tako se samo čini. Pokušati. Pa, ili biraj. Šta je bolje, brzo ili ispravno? Osim toga, usrećit ću te. Nakon nekog vremena neće biti potrebe da sve tako pažljivo zapisujete. To će se riješiti samo od sebe. Pogotovo ako koristite praktične tehnike koje su opisane u nastavku. Ovaj zao primjer sa gomilom minusa se može riješiti lako i bez grešaka!

Ali, često kvadratne jednadžbe izgledaju malo drugačije. Na primjer, ovako:

Da li ste ga prepoznali?) Da! Ovo nepotpune kvadratne jednadžbe.

Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi.

Oni se također mogu riješiti korištenjem opće formule. Samo treba ispravno shvatiti čemu su oni ovdje jednaki. a, b i c.

Jeste li shvatili? U prvom primjeru a = 1; b = -4; A c? Uopšte ga nema! Pa da, tako je. U matematici to znači da c = 0 ! To je sve. Umjesto toga u formulu zamijenite nulu c, i uspjet ćemo. Isto je i sa drugim primjerom. Samo što mi ovdje nemamo nulu With, A b !

Ali nepotpune kvadratne jednadžbe mogu se riješiti mnogo jednostavnije. Bez ikakvih formula. Razmotrimo prvo nepotpuna jednačina. Šta možete učiniti na lijevoj strani? Možete izvaditi X iz zagrada! Hajde da ga izvadimo.

I šta od ovoga? I činjenica da je proizvod jednak nuli ako i samo ako je bilo koji od faktora jednak nuli! Ne vjerujete mi? U redu, onda smislite dva broja različita od nule koji će, kada se pomnože, dati nulu!
Ne radi? To je to...
Stoga sa sigurnošću možemo napisati: x 1 = 0, x 2 = 4.

Sve. Ovo će biti korijeni naše jednadžbe. Oba su pogodna. Prilikom zamjene bilo koje od njih u originalnu jednačinu, dobijamo ispravan identitet 0 = 0. Kao što vidite, rješenje je mnogo jednostavnije od korištenja opće formule. Dozvolite mi da primetim, uzgred, koji će X biti prvi, a koji drugi - apsolutno je svejedno. Zgodno je pisati redom, x 1- šta je manje i x 2- ono što je veće.

Druga jednačina se također može jednostavno riješiti. Pomeri 9 na desna strana. Dobijamo:

Ostaje samo izvući korijen iz 9, i to je to. Ispostaviće se:

Takođe dva korena . x 1 = -3, x 2 = 3.

Ovako se rješavaju sve nepotpune kvadratne jednadžbe. Ili stavljanjem X izvan zagrada, ili jednostavnim pomicanjem broja udesno i zatim izdvajanjem korijena.
Izuzetno je teško zbuniti ove tehnike. Jednostavno zato što ćete u prvom slučaju morati izvući korijen X, što je nekako neshvatljivo, a u drugom slučaju nema šta vaditi iz zagrada...

Diskriminantno. Diskriminantna formula.

Čarobna riječ diskriminatorno ! Rijetko koji srednjoškolac nije čuo ovu riječ! Izraz “rješavamo putem diskriminatora” ulijeva povjerenje i sigurnost. Jer nema potrebe očekivati ​​trikove od diskriminatora! Jednostavan je i bez problema za korištenje.) Podsjećam vas na najviše opšta formula za rješenja bilo koji kvadratne jednadžbe:

Izraz pod znakom korijena naziva se diskriminant. Diskriminant se obično označava slovom D. Diskriminantna formula:

D = b 2 - 4ac

I šta je tako izvanredno u ovom izrazu? Zašto je zaslužio poseban naziv? Šta značenje diskriminanta? Nakon svega -b, ili 2a u ovoj formuli to ne zovu posebno... Slova i slova.

Evo u čemu je stvar. Prilikom rješavanja kvadratne jednadžbe pomoću ove formule, to je moguće samo tri slučaja.

1. Diskriminant je pozitivan. To znači da se korijen može izvući iz njega. Drugo je pitanje da li je korijen dobro ili loše izvađen. Bitno je šta se izvlači u principu. Tada vaša kvadratna jednadžba ima dva korijena. Dva različita rješenja.

2. Diskriminant je nula. Tada ćete imati jedno rješenje. Pošto dodavanje ili oduzimanje nule u brojiocu ne mijenja ništa. Strogo govoreći, ovo nije jedan korijen, već dva identična. Ali, u pojednostavljenoj verziji, uobičajeno je govoriti o tome jedno rešenje.

3. Diskriminant je negativan. Ne može se uzeti kvadratni korijen negativnog broja. Pa, ok. To znači da nema rješenja.

Iskreno govoreći, kada jednostavno rješenje kvadratne jednačine, koncept diskriminanta nije posebno potreban. Zamjenjujemo vrijednosti koeficijenata u formulu i brojimo. Sve se tu dešava samo od sebe, dva korena, jedan i nijedan. Međutim, kod rješavanja složenijih zadataka, bez znanja značenje i formula diskriminanta nije dovoljno. Posebno u jednadžbama s parametrima. Takve jednadžbe su akrobatika za Državni ispit i Jedinstveni državni ispit!)

dakle, kako se rješavaju kvadratne jednadžbe kroz diskriminant kojeg si zapamtio. Ili ste naučili, što takođe nije loše.) Znate kako pravilno odrediti a, b i c. Znate li kako? pažljivo zamijenite ih u korijen formulu i pažljivo prebrojati rezultat. Da li ste razumeli to? ključna riječ ovdje - pažljivo?

Sada uzmite u obzir praktične tehnike koje dramatično smanjuju broj grešaka. Isti oni koji su zbog nepažnje... za koje kasnije postaje bolno i uvredljivo...

Prvi sastanak . Nemojte biti lijeni prije rješavanja kvadratne jednadžbe i dovedite je u standardni oblik. Šta to znači?
Recimo da nakon svih transformacija dobijete sljedeću jednačinu:

Nemojte žuriti s pisanjem korijenske formule! Gotovo sigurno ćete pomiješati šanse a, b i c. Konstruirajte primjer ispravno. Prvo, X na kvadrat, zatim bez kvadrata, zatim slobodni član. Volim ovo:

I opet, ne žurite! Minus ispred X na kvadrat može vas zaista uznemiriti. Lako je zaboraviti... Riješite se minusa. Kako? Da, kao što smo učili u prethodnoj temi! Moramo pomnožiti cijelu jednačinu sa -1. Dobijamo:

Ali sada možete sigurno zapisati formulu za korijene, izračunati diskriminanta i završiti rješavanje primjera. Odlučite sami. Sada bi trebali imati korijene 2 i -1.

Drugi prijem. Provjerite korijene! Prema Vietinoj teoremi. Ne boj se, sve ću ti objasniti! Provjeravam poslednja stvar jednačina. One. onaj koji smo koristili da zapišemo formulu korijena. Ako (kao u ovom primjeru) koeficijent a = 1, provjera korijena je laka. Dovoljno ih je umnožiti. Rezultat bi trebao biti slobodan član, tj. u našem slučaju -2. Imajte na umu, ne 2, već -2! Besplatan član sa tvojim znakom . Ako ne uspije, to znači da ste već negdje zeznuli. Potražite grešku.

Ako radi, morate dodati korijene. Poslednja i konačna provera. Koeficijent bi trebao biti b With suprotno poznat. U našem slučaju -1+2 = +1. Koeficijent b, koji je ispred X, jednako je -1. Dakle, sve je tačno!
Šteta što je to tako jednostavno samo za primjere gdje je x na kvadrat čist, s koeficijentom a = 1. Ali barem provjerite takve jednadžbe! Biće sve manje i manje grešaka.

Prijem treći . Ako vaša jednadžba ima koeficijente razlomaka, riješite se razlomaka! Pomnožite jednačinu sa zajednički imenilac, kao što je opisano u lekciji "Kako riješiti jednadžbe? Identične transformacije". Kada radite sa razlomcima, greške se iz nekog razloga stalno uvlače...

Inače, obećao sam da ću pojednostaviti zao primjer s gomilom minusa. Molim te! Evo ga.

Da vas ne bi zbunili minusi, pomnožimo jednačinu sa -1. Dobijamo:

To je sve! Rešavanje je zadovoljstvo!

Dakle, da rezimiramo temu.

Praktični savjeti:

1. Prije rješavanja, dovodimo kvadratnu jednačinu u standardni oblik i gradimo je U redu.

2. Ako postoji negativan koeficijent ispred X na kvadrat, eliminiramo ga množenjem cijele jednačine sa -1.

3. Ako su koeficijenti razlomci, eliminiramo razlomke množenjem cijele jednačine odgovarajućim faktorom.

4. Ako je x na kvadrat čist, njegov koeficijent je jednak jedan, rješenje se lako može provjeriti korištenjem Vietine teoreme. Učini to!

Sada možemo odlučiti.)

Riješite jednačine:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Odgovori (u neredu):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0,5

x - bilo koji broj

x 1 = -3
x 2 = 3

nema rješenja

x 1 = 0,25
x 2 = 0,5

Da li sve odgovara? Odlično! Kvadratne jednadžbe nisu vaša stvar glavobolja. Prva tri su uspjela, ali ostala nisu? Tada problem nije u kvadratnim jednačinama. Problem je u identičnim transformacijama jednačina. Pogledajte link, od pomoći je.

Ne ide baš? Ili uopšte ne ide? Tada će vam Odjeljak 555 pomoći. Pokazano main greške u rješenju. Naravno, govorimo i o korištenju identičnih transformacija u rješavanju različitih jednačina. Pomaže puno!

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)

Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

Prvi nivo

Kvadratne jednadžbe. Sveobuhvatan vodič (2019)

U terminu "kvadratna jednačina" ključna riječ je "kvadratna". To znači da jednačina mora nužno sadržavati promjenljivu (to isto x) na kvadrat, i ne bi trebalo biti x-ova na treći (ili veći) stepen.

Rješenje mnogih jednačina svodi se na rješavanje kvadratnih jednačina.

Naučimo odrediti da je ovo kvadratna jednadžba, a ne neka druga jednačina.

Primjer 1.

Oslobodimo se nazivnika i pomnožimo svaki član jednačine sa

Prebacimo sve na lijeva strana i rasporedite članove u opadajućem redosledu po stepenu x

Sada možemo sa sigurnošću reći da je ova jednačina kvadratna!

Primjer 2.

Pomnožite lijevu i desnu stranu sa:

Ova jednadžba, iako je prvobitno bila u njoj, nije kvadratna!

Primjer 3.

Pomnožimo sve sa:

Strašno? Četvrti i drugi stepen... Međutim, ako izvršimo zamjenu, vidjet ćemo da imamo jednostavnu kvadratnu jednačinu:

Primjer 4.

Čini se da postoji, ali hajde da pogledamo izbliza. Pomerimo sve na lijevu stranu:

Vidite, smanjen je - i sada je to jednostavna linearna jednačina!

Sada pokušajte sami odrediti koje su od sljedećih jednačina kvadratne, a koje nisu:

primjeri:

odgovori:

1. kvadrat;
2. kvadrat;
3. ne kvadratna;
4. ne kvadratna;
5. ne kvadratna;
6. kvadrat;
7. ne kvadratna;
8. kvadrat.

Matematičari konvencionalno dijele sve kvadratne jednadžbe na sljedeće vrste:

• Potpune kvadratne jednadžbe- jednadžbe u kojima koeficijenti i, kao i slobodni član c, nisu jednaki nuli (kao u primjeru). Osim toga, među potpunim kvadratnim jednadžbama postoje dato- to su jednadžbe u kojima je koeficijent (jednačina iz primjera jedan ne samo potpuna, već i smanjena!)

• Nepotpune kvadratne jednadžbe- jednadžbe u kojima su koeficijent i/ili slobodni član c jednaki nuli:

  Nepotpune su jer im nedostaje neki element. Ali jednačina uvijek mora sadržavati x na kvadrat!!! U suprotnom, to više neće biti kvadratna jednačina, već neka druga jednačina.

Zašto su smislili takvu podjelu? Čini se da postoji X na kvadrat, i u redu. Ova podjela je određena metodama rješenja. Pogledajmo svaki od njih detaljnije.

Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

Prvo, fokusirajmo se na rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi - one su mnogo jednostavnije!

Postoje vrste nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

1. , u ovoj jednačini koeficijent je jednak.
2. , u ovoj jednačini slobodni član je jednak.
3. , u ovoj jednačini koeficijent i slobodni član su jednaki.

1. i. Pošto znamo kako uzeti kvadratni korijen, izrazimo iz ove jednačine

Izraz može biti negativan ili pozitivan. Broj na kvadrat ne može biti negativan, jer kada se množe dva negativna ili dva pozitivna broja, rezultat će uvijek biti pozitivan broj, dakle: ako, onda jednačina nema rješenja.

A ako, onda dobijamo dva korijena. Ove formule ne treba pamtiti. Glavna stvar je da morate znati i uvijek zapamtiti da ne može biti manje.

Pokušajmo riješiti neke primjere.

Primjer 5:

Riješite jednačinu

Sada ostaje samo da izvadite koren sa leve i desne strane. Uostalom, sjećate li se kako izvaditi korijenje?

odgovor:

Nikada ne zaboravite na korijene sa negativnim predznakom!!!

Primjer 6:

Riješite jednačinu

odgovor:

Primjer 7:

Riješite jednačinu

Oh! Kvadrat broja ne može biti negativan, što znači da je jednačina

bez korijena!

Za takve jednačine koje nemaju korijen, matematičari su smislili posebnu ikonu - (prazan skup). A odgovor se može napisati ovako:

odgovor:

Dakle, ova kvadratna jednadžba ima dva korijena. Ovdje nema ograničenja, jer nismo izvukli root.
Primjer 8:

Riješite jednačinu

Izvadimo zajednički faktor iz zagrada:

dakle,

Ova jednadžba ima dva korijena.

odgovor:

Najjednostavniji tip nepotpunih kvadratnih jednadžbi (iako su sve jednostavne, zar ne?). Očigledno, ova jednadžba uvijek ima samo jedan korijen:

Ovdje ćemo bez primjera.

Rješavanje potpunih kvadratnih jednadžbi

Podsjećamo vas da je potpuna kvadratna jednadžba jednačina oblika jednadžbe gdje je

Rješavanje kompletnih kvadratnih jednadžbi je malo teže (samo malo) od ovih.

zapamti, Bilo koja kvadratna jednadžba se može riješiti korištenjem diskriminanta! Čak i nepotpuna.

Druge metode će vam pomoći da to učinite brže, ali ako imate problema s kvadratnim jednadžbama, prvo savladajte rješenje pomoću diskriminanta.

1. Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću diskriminanta.

Rješavanje kvadratnih jednadžbi ovom metodom je vrlo jednostavno, glavna stvar je zapamtiti slijed radnji i nekoliko formula.

Ako, onda jednačina ima korijen. Posebna pažnja napravi korak. Diskriminant () nam govori o broju korijena jednadžbe.

• Ako, onda će se formula u koraku svesti na. Dakle, jednačina će imati samo korijen.
• Ako, onda nećemo moći izvući korijen diskriminanta u koraku. Ovo ukazuje da jednačina nema korijen.

Vratimo se na naše jednadžbe i pogledajmo neke primjere.

Primjer 9:

Riješite jednačinu

Korak 1 preskačemo.

Korak 2.

Pronalazimo diskriminanta:

To znači da jednačina ima dva korijena.

Korak 3.

odgovor:

Primjer 10:

Riješite jednačinu

Jednačina je predstavljena u standardnom obliku, dakle Korak 1 preskačemo.

Korak 2.

Pronalazimo diskriminanta:

To znači da jednačina ima jedan korijen.

odgovor:

Primjer 11:

Riješite jednačinu

Jednačina je predstavljena u standardnom obliku, dakle Korak 1 preskačemo.

Korak 2.

Pronalazimo diskriminanta:

To znači da nećemo moći izvući korijen diskriminanta. Ne postoje korijeni jednadžbe.

Sada znamo kako ispravno zapisati takve odgovore.

odgovor: nema korijena

2. Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću Vietine teoreme.

Ako se sjećate, postoji vrsta jednadžbe koja se zove redukovana (kada je koeficijent a jednak):

Takve je jednadžbe vrlo lako riješiti korištenjem Vietine teoreme:

Zbir korijena dato kvadratna jednadžba je jednaka, a proizvod korijena jednak.

Primjer 12:

Riješite jednačinu

Ova jednačina se može riješiti korištenjem Vietine teoreme jer .

Zbir korijena jednačine je jednak, tj. dobijamo prvu jednačinu:

A proizvod je jednak:

Sastavimo i riješimo sistem:

• I. Iznos je jednak;
• I. Iznos je jednak;
• I. Iznos je jednak.

i su rješenje za sistem:

odgovor: ; .

Primjer 13:

Riješite jednačinu

odgovor:

Primjer 14:

Riješite jednačinu

Jednačina je data, što znači:

odgovor:

KVADRATNE JEDNAČINE. PROSJEČNI NIVO

Šta je kvadratna jednačina?

Drugim riječima, kvadratna jednačina je jednačina oblika, gdje je - nepoznato, - neki brojevi i.

Broj se naziva najvišim ili prvi koeficijent kvadratna jednadžba, - drugi koeficijent, A - besplatni član.

Zašto? Jer ako jednačina odmah postane linearna, jer će nestati.

U ovom slučaju, i može biti jednako nuli. U ovoj stolici jednačina se naziva nepotpuna. Ako su svi pojmovi na mjestu, to jest, jednačina je potpuna.

Rješenja različitih tipova kvadratnih jednadžbi

Metode za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

Prvo, pogledajmo metode za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi - one su jednostavnije.

Možemo razlikovati sljedeće vrste jednačina:

I., u ovoj jednačini koeficijent i slobodni član su jednaki.

II. , u ovoj jednačini koeficijent je jednak.

III. , u ovoj jednačini slobodni član je jednak.

Pogledajmo sada rješenje za svaki od ovih podtipova.

Očigledno, ova jednadžba uvijek ima samo jedan korijen:

Broj na kvadrat ne može biti negativan, jer kada se množe dva negativna ili dva pozitivna broja, rezultat će uvijek biti pozitivan broj. Zbog toga:

ako, onda jednačina nema rješenja;

ako imamo dva korena

Ove formule ne treba pamtiti. Glavna stvar koju treba zapamtiti je da ne može biti manje.

primjeri:

rješenja:

odgovor:

Nikada ne zaboravite na korijene sa negativnim predznakom!

Kvadrat broja ne može biti negativan, što znači da je jednačina

nema korijena.

Da bismo ukratko zapisali da problem nema rješenja, koristimo ikonu praznog skupa.

odgovor:

Dakle, ova jednadžba ima dva korijena: i.

odgovor:

Izvadićemo ga zajednički množitelj van zagrada:

Proizvod je jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli. To znači da jednačina ima rješenje kada:

Dakle, ova kvadratna jednadžba ima dva korijena: i.

primjer:

Riješite jednačinu.

Rješenje:

Faktorimo lijevu stranu jednačine i pronađemo korijene:

odgovor:

Metode za rješavanje kompletnih kvadratnih jednadžbi:

1. Diskriminant

Rješavanje kvadratnih jednadžbi na ovaj način je jednostavno, glavna stvar je zapamtiti slijed radnji i nekoliko formula. Zapamtite, svaka kvadratna jednadžba se može riješiti korištenjem diskriminanta! Čak i nepotpuna.

Jeste li primijetili korijen od diskriminanta u formuli za korijene? Ali diskriminant može biti negativan. sta da radim? Moramo obratiti posebnu pažnju na korak 2. Diskriminant nam govori o broju korijena jednačine.

• Ako, onda jednačina ima korijen:
• Ako, onda jednadžba ima iste korijene, a zapravo, jedan korijen:

  Takvi korijeni se nazivaju dvostrukim korijenima.

• Ako, tada se korijen diskriminanta ne izdvaja. Ovo ukazuje da jednačina nema korijena.

Zašto je to moguće različite količine roots? Hajde da se okrenemo geometrijskog smisla kvadratna jednačina. Grafikon funkcije je parabola:

U posebnom slučaju, koji je kvadratna jednadžba, . To znači da su korijeni kvadratne jednadžbe točke presjeka sa osom apscise (osom). Parabola možda uopće ne siječe osu, ili je može sjeći u jednoj (kada vrh parabole leži na osi) ili dvije tačke.

Osim toga, koeficijent je odgovoran za smjer grana parabole. Ako, onda su grane parabole usmjerene prema gore, a ako, onda prema dolje.

primjeri:

rješenja:

odgovor:

Odgovor: .

odgovor:

To znači da nema rješenja.

Odgovor: .

2. Vietin teorem

Vrlo je lako koristiti Vietin teorem: potrebno je samo odabrati par brojeva čiji je proizvod jednak slobodnom članu jednačine, a zbir je jednak drugom koeficijentu, uzetom sa suprotnim predznakom.

Važno je zapamtiti da se Vietina teorema može primijeniti samo u redukovane kvadratne jednadžbe ().

Pogledajmo nekoliko primjera:

Primjer #1:

Riješite jednačinu.

Rješenje:

Ova jednačina se može riješiti korištenjem Vietine teoreme jer . Ostali koeficijenti: ; .

Zbir korijena jednadžbe je:

A proizvod je jednak:

Odaberimo parove brojeva čiji je proizvod jednak i provjerimo da li je njihov zbir jednak:

• I. Iznos je jednak;
• I. Iznos je jednak;
• I. Iznos je jednak.

i su rješenje za sistem:

Dakle, i su korijeni naše jednadžbe.

Odgovor: ; .

Primjer #2:

Rješenje:

Odaberimo parove brojeva koji daju u proizvodu, a zatim provjerimo da li je njihov zbir jednak:

i: daju ukupno.

i: daju ukupno. Da biste dobili, dovoljno je jednostavno promijeniti znakove navodnih korijena: i, na kraju krajeva, proizvoda.

odgovor:

Primjer #3:

Rješenje:

Slobodni član jednadžbe je negativan, pa je stoga proizvod korijena negativan broj. Ovo je moguće samo ako je jedan od korijena negativan, a drugi pozitivan. Stoga je zbir korijena jednak razlike njihovih modula.

Odaberimo takve parove brojeva koji daju u proizvodu, a čija je razlika jednaka:

i: njihova razlika je jednaka - ne uklapa se;

i: - nije prikladno;

i: - nije prikladno;

i: - pogodan. Ostaje samo zapamtiti da je jedan od korijena negativan. Kako njihov zbir mora biti jednak, korijen s manjim modulom mora biti negativan: . Provjeravamo:

odgovor:

Primjer #4:

Riješite jednačinu.

Rješenje:

Jednačina je data, što znači:

Slobodni član je negativan, pa je stoga proizvod korijena negativan. A to je moguće samo kada je jedan korijen jednadžbe negativan, a drugi pozitivan.

Odaberimo parove brojeva čiji je proizvod jednak, a zatim odredimo koji korijeni trebaju imati negativan predznak:

Očigledno, samo su korijeni i pogodni za prvi uvjet:

odgovor:

Primjer #5:

Riješite jednačinu.

Rješenje:

Jednačina je data, što znači:

Zbir korijena je negativan, što znači da je barem jedan od korijena negativan. Ali budući da je njihov proizvod pozitivan, to znači da oba korijena imaju predznak minus.

Odaberimo parove brojeva čiji je proizvod jednak:

Očigledno, korijeni su brojevi i.

odgovor:

Slažem se, vrlo je zgodno doći do korijena usmeno, umjesto da računamo ovaj gadni diskriminator. Pokušajte koristiti Vietinu teoremu što je češće moguće.

Ali Vietin teorem je potreban kako bi se olakšalo i ubrzalo pronalaženje korijena. Da biste imali koristi od njegove upotrebe, radnje morate dovesti do automatizma. A za ovo riješite još pet primjera. Ali nemojte varati: ne možete koristiti diskriminator! Samo Vietina teorema:

Rješenja zadataka za samostalan rad:

Zadatak 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Prema Vietovoj teoremi:

Kao i obično, odabir počinjemo s komadom:

Nije prikladno zbog količine;

: iznos je upravo ono što vam treba.

Odgovor: ; .

Zadatak 2.

I opet naša omiljena Vietina teorema: zbir mora biti jednak, a proizvod mora biti jednak.

Ali pošto mora biti ne, ali, mijenjamo znakove korijena: i (ukupno).

Odgovor: ; .

Zadatak 3.

Hmm... Gdje je to?

Morate premjestiti sve pojmove u jedan dio:

Zbir korijena jednak je proizvodu.

Ok, stani! Jednačina nije data. Ali Vietin teorem je primjenjiv samo u datim jednačinama. Dakle, prvo morate dati jednačinu. Ako ne možete voditi, odustanite od ove ideje i riješite je na drugi način (na primjer, kroz diskriminator). Dozvolite mi da vas podsjetim da dati kvadratnu jednačinu znači učiniti vodeći koeficijent jednakim:

Odlično. Tada je zbir korijena jednak proizvodu.

Ovdje je lako odabrati kolač: na kraju krajeva, to je prost broj (izvinite na tautologiji).

Odgovor: ; .

Zadatak 4.

Slobodni član je negativan. Šta je u ovome posebno? A činjenica je da će korijeni imati različite znakove. I sada, tokom odabira, ne provjeravamo zbir korijena, već razliku u njihovim modulima: ova razlika je jednaka, ali proizvod.

Dakle, korijeni su jednaki i, ali jedan od njih je minus. Vietina teorema nam govori da je zbir korijena jednak drugom koeficijentu suprotnog predznaka, tj. To znači da će manji korijen imati minus: i, pošto.

Odgovor: ; .

Zadatak 5.

Šta prvo treba da uradite? Tako je, dajte jednačinu:

Opet: biramo faktore broja, a njihova razlika bi trebala biti jednaka:

Korijeni su jednaki i, ali jedan od njih je minus. Koji? Njihov zbir bi trebao biti jednak, što znači da će minus imati veći korijen.

Odgovor: ; .

Dozvolite mi da rezimiram:

1. Vietin teorem se koristi samo u datim kvadratnim jednačinama.
2. Koristeći Vietin teorem, možete pronaći korijene odabirom, usmeno.
3. Ako jednačina nije data ili nije pronađen odgovarajući par faktora slobodnog člana, onda nema cijelih korijena i morate je riješiti na drugi način (na primjer, preko diskriminanta).

3. Metoda za odabir cijelog kvadrata

Ako su svi pojmovi koji sadrže nepoznato predstavljeni u obliku pojmova iz skraćenih formula za množenje - kvadrata zbira ili razlike - tada se nakon zamjene varijabli jednačina može predstaviti u obliku nepotpune kvadratne jednačine tipa.

Na primjer:

Primjer 1:

Riješite jednačinu: .

Rješenje:

odgovor:

Primjer 2:

Riješite jednačinu: .

Rješenje:

odgovor:

IN opšti pogled transformacija će izgledati ovako:

Ovo implicira: .

Ne podsjeća te ni na šta? Ovo je diskriminatorna stvar! Upravo tako smo dobili diskriminantnu formulu.

KVADRATNE JEDNAČINE. UKRATKO O GLAVNIM STVARIMA

Kvadratna jednadžba- ovo je jednačina oblika, gdje je - nepoznato, - koeficijenti kvadratne jednačine, - slobodni član.

Potpuna kvadratna jednadžba- jednačina u kojoj koeficijenti nisu jednaki nuli.

Redukovana kvadratna jednačina- jednačina u kojoj je koeficijent, odnosno: .

Nepotpuna kvadratna jednadžba- jednadžba u kojoj su koeficijent i/ili slobodni član c jednaki nuli:

• ako je koeficijent, jednačina izgleda ovako: ,
• ako postoji slobodni član, jednačina ima oblik: ,
• ako i, jednačina izgleda ovako: .

1. Algoritam za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednačina

1.1. Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika, gdje je, :

1) Izrazimo nepoznato: ,

2) Provjerite predznak izraza:

• ako, onda jednačina nema rješenja,
• ako, onda jednadžba ima dva korijena.

1.2. Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika, gdje je, :

1) Izvadimo zajednički faktor iz zagrada: ,

2) Proizvod je jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli. Dakle, jednadžba ima dva korijena:

1.3. Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika, gdje je:

Ova jednadžba uvijek ima samo jedan korijen: .

2. Algoritam za rješavanje potpunih kvadratnih jednačina oblika gdje

2.1. Rješenje korištenjem diskriminanta

1) Dovedemo jednačinu u standardni oblik: ,

2) Izračunajmo diskriminanta koristeći formulu: , koja označava broj korijena jednačine:

3) Pronađite korijene jednačine:

• ako, onda jednadžba ima korijene, koji se nalaze po formuli:
• ako, tada jednadžba ima korijen, koji se nalazi po formuli:
• ako, onda jednačina nema korijena.

2.2. Rješenje korištenjem Vietine teoreme

Zbir korijena redukovane kvadratne jednadžbe (jednačina oblika gdje) je jednak, a proizvod korijena jednak, tj. , A.

2.3. Rješenje metodom odabira cijelog kvadrata