Kako riješiti logaritamske nejednakosti. Rješavanje jednostavnih logaritamskih nejednačina

Provedeno rezonovanje je jednostavno, ali značajno pojednostavljuje rješenje logaritamskih nejednačina.

Primjer 4.

log x (x 2 -3)<0

Rješenje:

Primjer 5.

log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x )

Rješenje:

Odgovori. (0; 0,5)U.

Primjer 6.

Za rješavanje ove nejednakosti umjesto nazivnika pišemo (x-1-1)(x-1), a umjesto brojnika pišemo proizvod (x-1)(x-3-9 + x).

Odgovori : (3;6)

Primjer 7.

Primjer 8.

2.3. Nestandardna zamjena.

Primjer 1.

Primjer 2.

Primjer 3.

Primjer 4.

Primjer 5.

Primjer 6.

Primjer 7.

log 4 (3 x -1)log 0,25

Napravimo zamjenu y=3 x -1; tada će ova nejednakost dobiti oblik

Log 4 log 0,25
.

Jer log 0,25 = -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , tada ćemo posljednju nejednakost prepisati kao 2log 4 y -log 4 2 y ≤.

Napravimo zamjenu t =log 4 y i dobijemo nejednakost t 2 -2t +≥0, čije su rješenje intervali - .

Dakle, da bismo pronašli vrijednosti y imamo skup od dvije jednostavne nejednakosti
Rješenje ovog skupa su intervali 0<у≤2 и 8≤у<+.

Prema tome, originalna nejednakost je ekvivalentna skupu dvije eksponencijalne nejednakosti,
odnosno agregati

Rješenje prve nejednakosti ovog skupa je interval 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. Dakle, originalna nejednakost je zadovoljena za sve vrijednosti x iz intervala 0<х≤1 и 2≤х<+.

Primjer 8.

Rješenje:

Sistem nejednakosti jednakosti

Rješenje druge nejednakosti koja definira ODZ bit će skup njih x,

za koji x > 0.

Za rješavanje prve nejednakosti vršimo zamjenu

Tada dobijamo nejednakost

ili

Skup rješenja posljednje nejednačine nalazi se metodom

intervali: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, dobijamo

ili

Mnogo toga x, koji zadovoljavaju posljednju nejednakost

pripada ODZ-u ( x> 0), dakle, predstavlja rješenje sistema,

a time i originalna nejednakost.

odgovor:

2.4. Zadaci sa zamkama.

Primjer 1.

.

Rješenje. ODZ nejednakosti je sve x koji zadovoljava uslov 0 . Dakle, svi x su iz intervala 0

Primjer 2.

log 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1.. ? Poenta je da je drugi broj očigledno veći od

Zaključak

Nije bilo lako pronaći specifične metode za rješavanje C3 problema iz velikog broja različitih obrazovnih izvora. U toku obavljenog rada bio sam u mogućnosti da proučavam nestandardne metode za rješavanje složenih logaritamskih nejednačina. To su: ekvivalentni prelazi i generalizovana metoda intervala, metoda racionalizacije , nestandardna zamjena , zadaci sa zamkama na ODZ. Ove metode nisu uključene u školski program.

Različitim metodama riješio sam 27 nejednakosti predloženih na Jedinstvenom državnom ispitu u dijelu C, odnosno C3. Ove nejednakosti sa rješenjima po metodama činile su osnovu zbirke „C3 Logaritamske nejednakosti s rješenjima“, koja je postala projektni proizvod moje aktivnosti. Potvrđena je hipoteza koju sam postavio na početku projekta: C3 problemi se mogu efikasno riješiti ako poznajete ove metode.

Osim toga, otkrio sam zanimljive činjenice o logaritmima. Bilo mi je zanimljivo ovo raditi. Moji projektni proizvodi će biti korisni i studentima i nastavnicima.

Zaključci:

Time je cilj projekta postignut i problem riješen. I dobio sam najpotpunije i najraznovrsnije iskustvo projektnih aktivnosti u svim fazama rada. Tokom rada na projektu, moj glavni razvojni uticaj bio je na mentalnu kompetenciju, aktivnosti vezane za logičke mentalne operacije, razvoj kreativne kompetencije, lične inicijative, odgovornosti, istrajnosti i aktivnosti.

Garancija uspjeha pri izradi istraživačkog projekta za Stekao sam: značajno školsko iskustvo, sposobnost da dobijem informacije iz različitih izvora, provjerim njihovu pouzdanost i rangiram ih po važnosti.

Pored neposrednih predmetnih znanja iz matematike, proširio sam svoje praktične veštine u oblasti informatike, stekao nova znanja i iskustva iz oblasti psihologije, uspostavio kontakte sa kolegama iz razreda i naučio da sarađujem sa odraslima. Tokom projektnih aktivnosti razvijene su organizacione, intelektualne i komunikativne općeobrazovne vještine.

Književnost

1. Korjanov A. G., Prokofjev A. A. Sistemi nejednakosti sa jednom promenljivom (standardni zadaci C3).

2. Malkova A. G. Priprema za Jedinstveni državni ispit iz matematike.

3. Samarova S. S. Rješavanje logaritamskih nejednačina.

4. Matematika. Zbornik radova za obuku priredio A.L. Semenov i I.V. Yashchenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 str.-

Mislite li da ima još vremena do Jedinstvenog državnog ispita i da ćete imati vremena da se pripremite? Možda je to tako. Ali u svakom slučaju, što ranije student počne sa pripremama, to će uspješnije polagati ispite. Danas smo odlučili posvetiti članak logaritamskim nejednačinama. Ovo je jedan od zadataka, što znači mogućnost da dobijete dodatni kredit.

Da li već znate šta je logaritam? Zaista se nadamo. Ali čak i ako nemate odgovor na ovo pitanje, to nije problem. Razumjeti šta je logaritam je vrlo jednostavno.

Zašto 4? Morate podići broj 3 na ovaj stepen da dobijete 81. Kada shvatite princip, možete nastaviti sa složenijim proračunima.

Prošli ste kroz nejednakosti prije nekoliko godina. I od tada se stalno susrećete s njima u matematici. Ako imate problema s rješavanjem nejednakosti, pogledajte odgovarajući odjeljak.
Sada kada smo se upoznali sa konceptima pojedinačno, pređimo na njihovo razmatranje općenito.

Najjednostavnija logaritamska nejednakost.

Najjednostavnije logaritamske nejednakosti nisu ograničene na ovaj primjer, postoje još tri, samo s različitim predznacima. Zašto je to potrebno? Da bolje razumijemo kako riješiti nejednakosti logaritmima. Sada dajmo primjer koji je još uvijek prilično jednostavan; kompleksne logaritamske nejednakosti ćemo ostaviti za kasnije.

Kako to riješiti? Sve počinje od ODZ-a. Vrijedi znati više o tome ako želite uvijek lako riješiti bilo koju nejednakost.

Šta je ODZ? ODZ za logaritamske nejednakosti

Skraćenica označava raspon prihvatljivih vrijednosti. Ova formulacija se često pojavljuje u zadacima za Jedinstveni državni ispit. ODZ će vam biti od koristi ne samo u slučaju logaritamskih nejednakosti.

Pogledajte ponovo gornji primjer. Na osnovu njega ćemo razmotriti ODZ, kako biste razumjeli princip, a rješavanje logaritamskih nejednačina ne postavlja pitanja. Iz definicije logaritma slijedi da 2x+4 mora biti veće od nule. U našem slučaju to znači sljedeće.

Ovaj broj, po definiciji, mora biti pozitivan. Riješite gore prikazanu nejednakost. To se može učiniti čak i usmeno, ovdje je jasno da X ne može biti manji od 2. Rješenje nejednakosti će biti definicija raspona prihvatljivih vrijednosti.
Sada pređimo na rješavanje najjednostavnije logaritamske nejednakosti.

Odbacujemo same logaritme sa obe strane nejednakosti. Šta nam ostaje kao rezultat? Jednostavna nejednakost.

Nije teško riješiti. X mora biti veći od -0,5. Sada kombinujemo dve dobijene vrednosti u sistem. dakle,

Ovo će biti raspon prihvatljivih vrijednosti za logaritamsku nejednakost koja se razmatra.

Zašto nam je uopšte potreban ODZ? Ovo je prilika da se iskorijene netačni i nemogući odgovori. Ako odgovor nije u rasponu prihvatljivih vrijednosti, onda odgovor jednostavno nema smisla. Ovo je vrijedno pamćenja dugo vremena, jer na Jedinstvenom državnom ispitu često postoji potreba za traženjem ODZ-a, a ne tiče se samo logaritamskih nejednakosti.

Algoritam za rješavanje logaritamske nejednakosti

Rješenje se sastoji od nekoliko faza. Prvo morate pronaći raspon prihvatljivih vrijednosti. U ODZ-u će biti dva značenja, o tome smo raspravljali gore. Zatim morate riješiti samu nejednakost. Metode rješenja su sljedeće:

• metoda zamjene množitelja;
• raspadanje;
• metoda racionalizacije.

Ovisno o situaciji, vrijedi koristiti jednu od gore navedenih metoda. Pređimo direktno na rješenje. Otkrijmo najpopularniju metodu, koja je pogodna za rješavanje zadataka Jedinstvenog državnog ispita u gotovo svim slučajevima. Zatim ćemo pogledati metodu dekompozicije. Može vam pomoći ako naiđete na posebno nezgodnu nejednakost. Dakle, algoritam za rješavanje logaritamske nejednakosti.

Primjeri rješenja :

Nije uzalud uzeli upravo ovu nejednakost! Obratite pažnju na bazu. Zapamtite: ako je veći od jedan, predznak ostaje isti prilikom pronalaženja raspona prihvatljivih vrijednosti; u suprotnom, morate promijeniti predznak nejednakosti.

Kao rezultat, dobijamo nejednakost:

Sada lijevu stranu svedemo na oblik jednačine jednak nuli. Umjesto znaka “manje od” stavljamo “jednako” i rješavamo jednačinu. Tako ćemo pronaći ODZ. Nadamo se da nećete imati problema s rješavanjem ovako jednostavne jednačine. Odgovori su -4 i -2. To nije sve. Ove tačke morate prikazati na grafikonu, stavljajući “+” i “-”. Šta je potrebno učiniti za ovo? Zamijenite brojeve iz intervala u izraz. Gdje su vrijednosti pozitivne, stavljamo "+".

Odgovori: x ne može biti veći od -4 i manji od -2.

Pronašli smo raspon prihvatljivih vrijednosti samo za lijevu stranu; sada moramo pronaći raspon prihvatljivih vrijednosti za desnu stranu. Ovo je mnogo lakše. Odgovor: -2. Presijecamo oba rezultujuća područja.

I tek sada počinjemo da se bavimo samom nejednakošću.

Pojednostavimo ga što je više moguće kako bismo ga lakše riješili.

Ponovo koristimo metodu intervala u rješenju. Preskočimo proračune, s njim je sve jasno iz prethodnog primjera. Odgovori.

Ali ova metoda je prikladna ako logaritamska nejednakost ima iste baze.

Rješavanje logaritamskih jednačina i nejednačina sa različitim bazama zahtijeva početnu redukciju na istu bazu. Zatim koristite metodu opisanu gore. Ali postoji i komplikovaniji slučaj. Razmotrimo jednu od najsloženijih vrsta logaritamskih nejednakosti.

Logaritamske nejednakosti sa promenljivom bazom

Kako riješiti nejednakosti sa takvim karakteristikama? Da, i takvi se ljudi mogu naći na Jedinstvenom državnom ispitu. Rješavanje nejednakosti na sljedeći način također će imati blagotvoran učinak na vaš obrazovni proces. Pogledajmo pitanje detaljno. Odbacimo teoriju i pređimo odmah na praksu. Za rješavanje logaritamskih nejednakosti dovoljno je jednom se upoznati s primjerom.

Za rješavanje logaritamske nejednakosti prikazanog oblika potrebno je desnu stranu svesti na logaritam s istom osnovom. Princip liči na ekvivalentne prelaze. Kao rezultat, nejednakost će izgledati ovako.

Zapravo, ostaje samo da se napravi sistem nejednakosti bez logaritama. Koristeći metodu racionalizacije, prelazimo na ekvivalentan sistem nejednakosti. Shvatit ćete samo pravilo kada zamijenite odgovarajuće vrijednosti i pratite njihove promjene. Sistem će imati sljedeće nejednakosti.

Kada koristite metodu racionalizacije pri rješavanju nejednačina, morate zapamtiti sljedeće: jedan se mora oduzeti od baze, x, po definiciji logaritma, oduzima se od obje strane nejednakosti (desno slijeva), dva izraza se množe i postavljen pod originalnim predznakom u odnosu na nulu.

Dalje rješenje se provodi metodom intervala, ovdje je sve jednostavno. Važno je da shvatite razlike u metodama rješenja, tada će sve početi lako funkcionirati.

Postoje mnoge nijanse u logaritamskim nejednačinama. Najjednostavnije od njih je prilično lako riješiti. Kako možete riješiti svaki od njih bez problema? Već ste dobili sve odgovore u ovom članku. Sada je pred vama duga praksa. Konstantno vježbajte rješavanje raznih zadataka na ispitu i moći ćete dobiti najviši rezultat. Sretno u Vašem teškom zadatku!

Logaritamske nejednakosti

U prethodnim lekcijama smo se upoznali sa logaritamskim jednadžbama i sada znamo šta su i kako ih riješiti. Današnja lekcija će biti posvećena proučavanju logaritamskih nejednakosti. Koje su to nejednakosti i koja je razlika između rješavanja logaritamske jednadžbe i nejednakosti?

Logaritamske nejednakosti su nejednakosti koje imaju varijablu koja se pojavljuje ispod znaka logaritma ili u njegovoj osnovi.

Ili, također možemo reći da je logaritamska nejednačina nejednakost u kojoj će se njena nepoznata vrijednost, kao u logaritamskoj jednadžbi, pojaviti pod znakom logaritma.

Najjednostavnije logaritamske nejednakosti imaju sljedeći oblik:

gdje su f(x) i g(x) neki izrazi koji zavise od x.

Pogledajmo ovo koristeći ovaj primjer: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Rješavanje logaritamskih nejednačina

Prije rješavanja logaritamskih nejednačina, vrijedi napomenuti da su kada su riješene slične eksponencijalnim nejednačinama, odnosno:

Prvo, kada prelazimo sa logaritma na izraze pod znakom logaritma, takođe treba da uporedimo bazu logaritma sa jedinicom;

Drugo, kada rješavamo logaritamsku nejednakost korištenjem promjene varijabli, moramo rješavati nejednakosti s obzirom na promjenu dok ne dobijemo najjednostavniju nejednakost.

Ali vi i ja smo razmatrali slične aspekte rješavanja logaritamskih nejednačina. Sada obratimo pažnju na prilično značajnu razliku. Vi i ja znamo da logaritamska funkcija ima ograničeno područje definicije, stoga, kada prelazimo s logaritama na izraze pod znakom logaritma, moramo uzeti u obzir raspon dopuštenih vrijednosti (ADV).

Odnosno, treba uzeti u obzir da prilikom rješavanja logaritamske jednadžbe vi i ja prvo možemo pronaći korijene jednadžbe, a zatim provjeriti ovo rješenje. Ali rješavanje logaritamske nejednakosti neće funkcionirati na ovaj način, budući da će prijeći s logaritama na izraze pod predznakom logaritma, biti potrebno zapisati ODZ nejednakosti.

Osim toga, vrijedi zapamtiti da se teorija nejednakosti sastoji od realnih brojeva, koji su pozitivni i negativni brojevi, kao i broja 0.

Na primjer, kada je broj “a” pozitivan, tada trebate koristiti sljedeću notaciju: a >0. U ovom slučaju, i zbir i proizvod ovih brojeva također će biti pozitivni.

Glavni princip rješavanja nejednakosti je zamijeniti je jednostavnijom nejednakošću, ali glavno je da je ona ekvivalentna datoj. Nadalje, dobili smo i nejednakost i ponovo je zamijenili onom koja ima jednostavniji oblik, itd.

Kada rješavate nejednakosti s varijablom, morate pronaći sva njena rješenja. Ako dvije nejednačine imaju istu varijablu x, onda su takve nejednakosti ekvivalentne, pod uslovom da se njihova rješenja poklapaju.

Prilikom izvođenja zadataka na rješavanju logaritamskih nejednačina, morate imati na umu da kada je a > 1, tada se logaritamska funkcija povećava, a kada je 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Metode rješavanja logaritamskih nejednačina

Pogledajmo sada neke od metoda koje se koriste pri rješavanju logaritamskih nejednačina. Radi boljeg razumijevanja i asimilacije, pokušat ćemo ih razumjeti na konkretnim primjerima.

Svi znamo da najjednostavnija logaritamska nejednakost ima sljedeći oblik:

U ovoj nejednakosti, V – je jedan od sljedećih znakova nejednakosti:<,>, ≤ ili ≥.

Kada je osnova datog logaritma veća od jedan (a>1), čineći prijelaz sa logaritama na izraze pod predznakom logaritma, tada je u ovoj verziji znak nejednakosti sačuvan, a nejednakost će imati sljedeći oblik:

što je ekvivalentno ovom sistemu:

U slučaju kada je osnova logaritma veća od nule i manja od jedan (0

Ovo je ekvivalentno ovom sistemu:

Pogledajmo još primjera rješavanja najjednostavnijih logaritamskih nejednačina prikazanih na slici ispod:

Primjeri rješavanja

Vježbajte. Pokušajmo riješiti ovu nejednakost:

Rješavanje raspona prihvatljivih vrijednosti.

Pokušajmo sada pomnožiti njegovu desnu stranu sa:

Hajde da vidimo šta možemo da smislimo:

Sada, pređimo na pretvaranje podlogaritamskih izraza. Zbog činjenice da je osnova logaritma 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
x > 8.

A iz ovoga proizilazi da interval koji smo dobili u potpunosti pripada ODZ-u i da je rješenje takve nejednakosti.

Evo odgovora koji smo dobili:

Šta je potrebno za rješavanje logaritamskih nejednakosti?

Pokušajmo sada analizirati šta nam je potrebno za uspješno rješavanje logaritamskih nejednakosti?

Prvo, koncentrišite svu svoju pažnju i pokušajte da ne pogriješite prilikom izvođenja transformacija koje su date u ovoj nejednakosti. Također, treba imati na umu da je prilikom rješavanja ovakvih nejednačina potrebno izbjegavati proširenja i kontrakcije nejednačina, što može dovesti do gubitka ili sticanja stranih rješenja.

Drugo, kada rješavate logaritamske nejednakosti, morate naučiti logički razmišljati i razumjeti razliku između pojmova kao što su sistem nejednakosti i skup nejednakosti, tako da možete lako odabrati rješenja nejednakosti, a pritom se voditi njenim DL.

Treće, da biste uspješno riješili takve nejednakosti, svako od vas mora savršeno poznavati sva svojstva elementarnih funkcija i jasno razumjeti njihovo značenje. Takve funkcije uključuju ne samo logaritamske, već i racionalne, stepene, trigonometrijske itd., jednom riječju, sve one koje ste učili tokom školske algebre.

Kao što vidite, nakon što ste proučili temu logaritamskih nejednakosti, nema ništa teško u rješavanju ovih nejednakosti, pod uvjetom da ste pažljivi i uporni u postizanju svojih ciljeva. Da biste izbjegli bilo kakve probleme u rješavanju nejednakosti, potrebno je što više vježbati, rješavajući različite zadatke i pritom zapamtiti osnovne metode rješavanja takvih nejednačina i njihovih sistema. Ako ne uspete da rešite logaritamske nejednakosti, trebalo bi da pažljivo analizirate svoje greške kako se ne biste vraćali na njih u budućnosti.

Zadaća

Da biste bolje razumjeli temu i konsolidirali obrađeni materijal, riješite sljedeće nejednakosti:

Nejednakost se naziva logaritamskom ako sadrži logaritamsku funkciju.

Metode za rješavanje logaritamskih nejednačina se ne razlikuju, osim po dvije stvari.

Prvo, kada se prelazi sa logaritamske nejednakosti na nejednakost podlogaritamskih funkcija, treba prati znak rezultirajuće nejednakosti. Poštuje sljedeće pravilo.

Ako je baza logaritamske funkcije veća od $1$, tada se pri prelasku sa logaritamske nejednakosti na nejednakost podlogaritamskih funkcija čuva znak nejednakosti, ali ako je manji od $1$, onda se mijenja u suprotno .

Drugo, rješenje bilo koje nejednakosti je interval i, stoga, na kraju rješavanja nejednakosti podlogaritamskih funkcija potrebno je kreirati sistem od dvije nejednakosti: prva nejednakost ovog sistema će biti nejednakost podlogaritamskih funkcija, a drugi će biti interval domene definicije logaritamskih funkcija uključenih u logaritamsku nejednakost.

Vježbajte.

Rešimo nejednačine:

1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$

$D(y): \x+3>0.$

$x \in (-3;+\infty)$

Osnova logaritma je $2>1$, tako da se predznak ne mijenja. Koristeći definiciju logaritma, dobijamo:

$x+3 \geq 2^(3),$

$x \in )