Vrlo često se u zadacima C1 sa Jedinstvenog državnog ispita iz matematike od učenika traži da riješe trigonometrijsku jednačinu koja sadrži formulu dvostruki ugao.
Danas ćemo ponovo analizirati problem C1, a posebno ćemo analizirati prilično nestandardan primjer, koji istovremeno sadrži i formulu dvostrukog ugla, pa čak i homogenu jednačinu. dakle:
Riješite jednačinu. Pronađite korijene ove jednadžbe koji pripadaju intervalu:
sinx+ grijeh2 x 2 −cos2 x 2 ,x∈ [ −2 π ;− π 2 ]
\sin x+\frac(((\sin )^(2))x)(2)-\frac(((\cos )^(2))x)(2),x\in \left[ -2\ text( )\!\!\pi\!\!\text( );-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(2) \right]
Korisne formule za rješavanje
Prije svega, želio bih vas podsjetiti da se svi zadaci C1 rješavaju po istoj shemi. Prije svega, originalna konstrukcija mora se transformirati u izraz koji sadrži sinus, kosinus ili tangens:
sinx=a
cosx=a
tgx=a
Upravo je to glavna poteškoća zadatka C1. Činjenica je da svaki određeni izraz zahtijeva vlastite proračune, uz pomoć kojih možete prijeći od izvornog koda do tako jednostavnih konstrukcija. U našem slučaju, ovo je formula dvostrukog ugla. Dozvolite mi da to zapišem:
cos2x= cos2 x− grijeh2 x
\cos 2x=((\cos )^(2))x-((\sin )^(2))x
Međutim, u našem zadatku nema cos2 x((\cos )^(2))x ili grijeh2 x((\sin )^(2))x, ali postoji grijeh2 x 2 \frac(((\sin )^(2))x)(2) i cos2 x 2 \frac(((\cos )^(2))x)(2).
Rješavanje problema
Šta učiniti sa ovim proračunima? Hajdemo malo varati i uvesti novu varijablu u naše formule za sinus i kosinus dvostrukog ugla:
x= t 2
Napisaćemo sljedeću konstrukciju sa sinusom i kosinusom:
cos2⋅ t 2=cos2 t 2 −grijeh2 t 2
\cos 2\cdot \frac(t)(2)=\frac(((\cos )^(2))t)(2)-\frac(((\sin )^(2))t)(2 )
Ili drugim riječima:
trošak= cos2 t 2 −grijeh2 t 2
\cos t=\frac(((\cos )^(2))t)(2)-\frac(((\sin )^(2))t)(2)
Vratimo se našem prvobitnom zadatku. Hajdemo grijeh2 x 2 \frac(((\sin )^(2))x)(2) pomaknite se udesno:
sinx= cos2 x 2 −grijeh2 x 2
\sin x=\frac(((\cos )^(2))x)(2)-\frac(((\sin )^(2))x)(2)
Desno su potpuno isti proračuni koje smo upravo snimili. Pretvorimo ih:
sinx=cosx
A sada pažnja: pred nama je homogena trigonometrijska jednačina prvog stepena. Vidite, mi nemamo pojmove koji su samo brojevi i pravedni x x, imamo samo sinus i kosinus. Takođe nemamo kvadrat trigonometrijske funkcije, sve funkcije idu na prvi stepen. Kako se rješavaju takvi dizajni? Prije svega, pretpostavimo to cosx=0\cos x=0.
Zamijenimo ovu vrijednost u glavni trigonometrijski identitet:
grijeh2 x+ cos2 x=1
((\sin )^(2))x+((\cos )^(2))x=1
grijeh2 x+0=1
((\sin )^(2))x+0=1
sinx=±1
Ako ove brojeve, 0 i ±1, zamijenimo u originalnu konstrukciju, dobićemo sljedeće:
±1 = 0
\pm 1\text( )=\text()0
Imamo potpunu glupost. Dakle, naša pretpostavka je takva cosx=0\cos x=0 je netačno, cosx\cos x ne može biti 0 u ovom izrazu. I ako cosx\cos x nije jednako 0, onda podijelimo obje strane sa cosx\cos x:
sinxcosx=1
\frac(\sin x)(\cos x)=1
sinxcosx=tgx
\frac(\sin x)(\cos x)=tgx
tgx=1
I sada imamo dugo očekivani najjednostavniji izraz forme tgx=a tgx=a. Odlično, hajde da to riješimo. Ovo je vrijednost tabele:
x= π 4 + π n,n ˜ ∈Z
x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+\text( )\!\!\pi\!\!\text( ) n,n˜\u Z
Pronašli smo korijen, riješili prvi dio problema, odnosno pošteno smo zaradili jedan primarni bod od dva.
Pređimo na drugi dio: pronađite korijene ove jednadžbe koji pripadaju intervalu, ili, preciznije, segmentu
[\left[ -2\text( )\!\!\pi\!\!\text( );-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(2 ) \desno]\]. Predlažem, kao i prošli put, da ovaj izraz riješimo grafički, odnosno nacrtamo krug, označimo početak u njemu, odnosno 0, kao i krajeve segmenta:
Na segmentu
−2 π ;− π 2
2\text( )\!\!\pi\!\!\text( );-\frac(\pi )(2) potrebno je pronaći sve vrijednosti koje pripadaju
π 4 +πn
\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n. A sada onaj zabavni dio: činjenica je da je sama poenta π 4 \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4) ne pripada segmentu
[ −2 π ;− π 2 ] ,
\left[ -2\text( )\!\!\pi\!\!\text( );-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(2) \right], ovo je očigledno:
π 4 ∉˜ [ −2 π ;− π 2 ]
\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)\notin ˜\left[ -2\text( )\!\!\pi\!\!\text( );-\text( )\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(2) \right]
Ako samo zato što su oba kraja ovog segmenta negativna, a broj π 4 \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4) pozitivan, ali s druge strane, neke vrijednosti oblika
π 4 +πn
\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n i dalje pripada našem segmentu . Pa kako ih istaknuti? Vrlo jednostavno: uzmite kraj segmenta
−2π
2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ) i dodajte π 4 \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4)), tj. sve se dešava isto kao da smo počeli izvještaj ne od 0, nego od −2π-2\text( )\!\!\pi\!\!\text() i imamo prvu tačku:
x=−2 π + π 4 =−7π 4
x=-2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )+\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)=- \frac(7\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)
Sada drugi broj:
x=−2 π + π 4 + π =− 3π 4
x=-2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )+\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4 ))+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=-\frac(3\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)
Ovo je drugo značenje. Drugih korijena nema, jer smo i sami, prilikom njihovog obilježavanja i obilježavanja našeg segmenta ograničenja, otkrili da unutar ovog segmenta postoje samo dvije vrste - π 4 \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4)) i π 4 + π \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\text( )\!\!\pi\!\!\text(). Ove tačke smo mi i naši. Pišemo odgovor:
−7π 4 ;−3π 4
-\frac(7\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4);-\frac(3\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)
Za takvu odluku dobit ćete dva primarna boda od dva moguća.
Šta trebate zapamtiti za pravu odluku
Još jednom ključni koraci koje treba slijediti. Prije svega, morate znati proračune dvostrukog ugla sinusa ili kosinusa, posebno u našem zadatku, kosinusa dvostrukog ugla. Osim toga, nakon što ga koristite, morate riješiti najjednostavniju trigonometrijsku jednadžbu. Rješenje je prilično jednostavno, ali to morate napisati i provjeriti cosx\cos x u našoj konstrukciji nije jednak 0. Nakon trigonometrijske jednačine dobijamo elementarni izraz, u našem slučaju to je tgx=1 tgx=1, što se lako može riješiti korištenjem standardnih formula poznatih od 9-10 razreda. Tako ćemo riješiti primjer i dobiti odgovor na prvi dio zadatka - skup svih korijena. U našem slučaju jeste
π 4 + π n,n∈Z
\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n, n\u ˜Z. Zatim ostaje samo odabrati korijene koji pripadaju segmentu
[ −2 π ;− π 2 ]
\left[ -2\text( )\!\!\pi\!\!\text( );-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(2) \desno]. Da bismo to učinili, ponovo nacrtamo trigonometrijski krug, označimo naše korijene i naš segment na njemu, a zatim od kraja brojimo to isto π 4 \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4) i π 4 + π \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( ), koji su dobijeni prilikom obeležavanja svi korijeni forme π 4 +πn\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n. Nakon jednostavnog izračuna dobili smo dva specifična korijena, tj.
−7π 4
-\frac(7\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4) i
−3π 4
-\frac(3\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4), koji su odgovor na drugi dio problema, tj. korijene koji pripadaju segmentu
[ −2 π ;− π 2 ]
\left[ -2\text( )\!\!\pi\!\!\text( );-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(2) \desno].
Ključne točke
Da biste se lakše nosili s problemima C1 ovog tipa, zapamtite dvije osnovne formule:
- Sinus dvostrukog ugla:
sin2 α =2sin α cos α
\sin 2\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )=2\sin \text( )\!\!\alpha\!\!\text( )\cos \text( )\ !\!\alpha\!\!\text( ) - ova formula za sinuse uvijek radi u ovom obliku;
- Kosinus dvostrukog ugla: cos2 α =co s2 α−si n2 α \cos 2\text( )\!\!\alpha\!\!\text( =)co((s)^(2))\text( )\!\!\alpha\!\!\text( ) -si((n)^(2))\text( )\!\!\alpha\!\!\text( ) - i ovdje postoje moguće opcije.
Prvi je jasan. Ali koje su opcije moguće u drugom slučaju? Činjenica je da se kosinus dvostrukog ugla može napisati na različite načine:
cos2 α =cos2 α −sin2 α =2cos2 α −1=1−2sin2 α
\cos 2\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )=\cos 2\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )-\sin 2\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )=2\cos 2\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )-1=1-2\sin 2\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )
Ove jednakosti proizlaze iz osnovne trigonometrijski identitet. Pa, koju jednakost odabrati pri rješavanju konkretan primjer C1? Jednostavno je: ako planirate svesti konstrukciju na sinuse, odaberite posljednju ekspanziju, koja sadrži samo
sin2 α
\sin 2\text( )\!\!\alpha\!\!\text( ). Suprotno tome, ako želite cijeli izraz svesti na rad s kosinusima, odaberite drugu opciju - onu gdje je kosinus jedina trigonometrijska funkcija.
Najčešća pitanja
Da li je moguće napraviti pečat na dokumentu prema datom uzorku? Odgovori Da, moguće je. Pošaljite skeniranu kopiju ili fotografiju na našu email adresu dobra kvaliteta, a mi ćemo napraviti potreban duplikat.
Koje vrste plaćanja prihvatate?
Odgovori Dokument možete platiti po prijemu od strane kurira, nakon provjere ispravnosti popune i kvaliteta izrade diplome. To se može učiniti i u kancelarijama poštanskih kompanija koje nude usluge pouzeća.
Svi uslovi isporuke i plaćanja dokumenata opisani su u odjeljku „Plaćanje i dostava“. Spremni smo da saslušamo i Vaše sugestije u vezi sa uslovima isporuke i plaćanja dokumenta.
Mogu li biti siguran da nakon narudžbe nećete nestati s mojim novcem? Odgovori Imamo dosta dugo iskustvo u oblasti izrade diploma. Imamo nekoliko web stranica koje se stalno ažuriraju. Naši stručnjaci rade u različitim uglovima zemalja, proizvodeći preko 10 dokumenata dnevno. Tokom godina, naši dokumenti su pomogli mnogim ljudima da riješe probleme zapošljavanja ili pređu na više visoko plaćen posao. Stekli smo povjerenje i priznanje među klijentima, tako da nema apsolutno nikakvog razloga da to radimo. Štoviše, to je jednostavno nemoguće učiniti fizički: plaćate narudžbu kada je dobijete u ruke, nema plaćanja unaprijed.
Mogu li naručiti diplomu sa bilo kojeg univerziteta? Odgovori Generalno, da. U ovoj oblasti radimo skoro 12 godina. Za to vrijeme formirana je gotovo potpuna baza dokumenata izdatih sa gotovo svih univerziteta u zemlji i šire. različite godine izdavanje. Sve što trebate je odabrati fakultet, specijalnost, dokument i popuniti obrazac za narudžbu.
Šta učiniti ako nađete greške u kucanju i greške u dokumentu?
Odgovori Prilikom primanja dokumenta od naše kurirske ili poštanske kompanije, preporučujemo da pažljivo provjerite sve detalje. Ako se pronađe greška u kucanju, greška ili netačnost, imate pravo da ne podignete diplomu, a uočene nedostatke morate lično naznačiti kuriru ili pismeno slanjem pisma na email.
IN što je brže moguće Ispravićemo dokument i ponovo ga poslati na navedenu adresu. Naravno, dostavu će platiti naša kompanija.
Kako bismo izbjegli ovakve nesporazume, prije popunjavanja originalnog obrasca, klijentu šaljemo e-mailom maketu budućeg dokumenta radi provjere i odobrenja konačne verzije. Prije slanja dokumenta kurirskom službom ili poštom, također snimamo dodatne fotografije i video zapise (uključujući ultraljubičasto svjetlo) kako biste imali jasnu predstavu šta ćete na kraju dobiti.
Šta da uradim da naručim diplomu od vaše kompanije?
Odgovori Da biste naručili dokument (sertifikat, diplomu, akademsko uvjerenje, itd.), morate popuniti online formular za narudžbu na našoj web stranici ili navesti svoj e-mail kako bismo vam mogli poslati obrazac za prijavu, koji trebate popuniti i poslati nazad nama.
Ako ne znate šta da naznačite u bilo kojem polju narudžbenice/upitnika, ostavite ih praznim. Stoga ćemo sve informacije koje nedostaju razjasniti telefonom.
Najnovije recenzije
Aleksej:
Trebalo je da steknem diplomu da bih se zaposlio kao menadžer. I najvažnije je da imam i iskustvo i vještine, ali ne mogu da se zaposlim bez dokumenta. Kada sam naišao na vaš sajt, konačno sam odlučio da kupim diplomu. Diploma je završena za 2 dana!! Sada imam posao o kojem nisam ni sanjao!! Hvala ti!
Najčešća pitanja
Da li je moguće napraviti pečat na dokumentu prema datom uzorku? Odgovori Da, moguće je. Pošaljite skeniranu kopiju ili kvalitetnu fotografiju na našu email adresu, a mi ćemo napraviti potreban duplikat.
Koje vrste plaćanja prihvatate?
Odgovori Dokument možete platiti po prijemu od strane kurira, nakon provjere ispravnosti popune i kvaliteta izrade diplome. To se može učiniti i u kancelarijama poštanskih kompanija koje nude usluge pouzeća.
Svi uslovi isporuke i plaćanja dokumenata opisani su u odjeljku „Plaćanje i dostava“. Spremni smo da saslušamo i Vaše sugestije u vezi sa uslovima isporuke i plaćanja dokumenta.
Mogu li biti siguran da nakon narudžbe nećete nestati s mojim novcem? Odgovori Imamo dosta dugo iskustvo u oblasti izrade diploma. Imamo nekoliko web stranica koje se stalno ažuriraju. Naši stručnjaci rade u različitim dijelovima zemlje, izrađujući preko 10 dokumenata dnevno. Tokom godina, naši dokumenti su pomogli mnogim ljudima da riješe probleme sa zapošljavanjem ili pređu na bolje plaćene poslove. Stekli smo povjerenje i priznanje među klijentima, tako da nema apsolutno nikakvog razloga da to radimo. Štoviše, to je jednostavno nemoguće učiniti fizički: plaćate narudžbu kada je dobijete u ruke, nema plaćanja unaprijed.
Mogu li naručiti diplomu sa bilo kojeg univerziteta? Odgovori Generalno, da. U ovoj oblasti radimo skoro 12 godina. Za to vrijeme formirana je gotovo potpuna baza dokumenata izdatih sa gotovo svih univerziteta u zemlji i za različite godine izdavanja. Sve što trebate je odabrati fakultet, specijalnost, dokument i popuniti obrazac za narudžbu.
Šta učiniti ako nađete greške u kucanju i greške u dokumentu?
Odgovori Prilikom primanja dokumenta od naše kurirske ili poštanske kompanije, preporučujemo da pažljivo provjerite sve detalje. Ukoliko se otkrije greška u kucanju, greška ili netačnost, imate pravo da ne preuzmete diplomu, ali uočene nedostatke morate navesti lično kuriru ili pisanim putem slanjem e-maila.
Ispravićemo dokument u najkraćem mogućem roku i ponovo ga poslati na navedenu adresu. Naravno, dostavu će platiti naša kompanija.
Kako bismo izbjegli ovakve nesporazume, prije popunjavanja originalnog obrasca, klijentu šaljemo e-mailom maketu budućeg dokumenta radi provjere i odobrenja konačne verzije. Prije slanja dokumenta kurirskom službom ili poštom, također snimamo dodatne fotografije i video zapise (uključujući ultraljubičasto svjetlo) kako biste imali jasnu predstavu šta ćete na kraju dobiti.
Šta da uradim da naručim diplomu od vaše kompanije?
Odgovori Da biste naručili dokument (sertifikat, diplomu, akademsko uvjerenje, itd.), morate popuniti online formular za narudžbu na našoj web stranici ili navesti svoj e-mail kako bismo vam mogli poslati obrazac za prijavu, koji trebate popuniti i poslati nazad nama.
Ako ne znate šta da naznačite u bilo kojem polju narudžbenice/upitnika, ostavite ih praznim. Stoga ćemo sve informacije koje nedostaju razjasniti telefonom.
Najnovije recenzije
Aleksej:
Trebalo je da steknem diplomu da bih se zaposlio kao menadžer. I najvažnije je da imam i iskustvo i vještine, ali ne mogu da se zaposlim bez dokumenta. Kada sam naišao na vaš sajt, konačno sam odlučio da kupim diplomu. Diploma je završena za 2 dana!! Sada imam posao o kojem nisam ni sanjao!! Hvala ti!
Trigonometrija je jedna od grana matematike čije se proučavanje fokusira na uglove i odnose između njih. U njoj su postavljeni temelji nauke školske godine, kada se uvode definicije funkcija ugla. U budućnosti se dobijena baza koristi u razvoju astronomije, izrade instrumenata, arhitekture i drugih oblasti znanja. Kao i svaka egzaktna nauka, trigonometrija ne može bez formula. Praktična upotreba pronađeni izrazi za određivanje dvostrukog argumenta. Na primjer, pribjegavajući odgovarajućoj jednadžbi, lako možete saznati dvostruki sinusni kut.
Trigonometrijski izraz za proračun
Izraz se jednostavno zapisuje i pamti: sinus dvostrukog ugla izračunava se kao dvostruki proizvod sinusa i kosinusa jednog argumenta.
Ova formula je izvedena iz izraza za sinus zbira uglova ( Q 1 + Q 2 ) :
grijeh( Q 1 + Q 2) = grijeh Q 1*cos Q 1 + sin Q 2*cos Q 2 .
Pod pretpostavkom da su dati uglovi međusobno jednaki, formula se piše u uobičajenom obliku.
Izraz se može koristiti za bilo koju vrijednost argumenta funkcije. Iz njega je prilično jednostavno izračunati dvostruki sinusni kut; primjeri u nastavku će vam pomoći da to potvrdite.
Primjer upotrebe
Evo nekoliko ilustracija primjene rezultirajuće formule. Neka vam treba izračunati vrijednost trigonometrijske funkcije sinusa ugla jednakog 60 stepeni. Odgovarajući pojedinačni ugao bi bio 30 stepeni. Budući da su poznate vrijednosti sinusa i kosinusa ugla od 30 stepeni, dvostruki sinusni kut će biti sin 60 = 2 * sin 30 * cos 30.
Formula se ne koristi samo za ručne proračune; vrijednosti se mogu pronaći i pomoću matematičkih paketa ili MS Excel tablica.
Uprkos jednostavnosti trigonometrijskog identiteta, on stvara poteškoće maturantima. Upravo na to računaju programeri zadataka Jedinstvenog državnog ispita kada nude testove za provjeru osnovnih formula. Zaključak - da biste izračunali dvostruki sinusni kut, morate ga znati napamet!
Formule dvostrukog ugla koriste se za izražavanje sinusa, kosinusa, tangenta, kotangensa ugla sa vrijednošću 2 α, koristeći trigonometrijske funkcije ugla α. Ovaj članak će predstaviti sve formule dvostrukog ugla s dokazima. Razmotrit će se primjeri primjene formula. U završnom dijelu će biti prikazane formule za trostruke i četverostruke uglove.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Lista formula dvostrukog ugla
Da biste pretvorili formule dvostrukog ugla, zapamtite da uglovi u trigonometriji imaju oblik n α notacije, gdje je n prirodni broj, vrijednost izraza se piše bez zagrada. Dakle, smatra se da oznaka sin n α ima isto značenje kao sin (n α) . Kada označavamo sin n α, imamo sličnu notaciju (sin α) n. Upotreba notacije je primjenjiva na sve trigonometrijske funkcije s potencijama n.
Ispod su formule dvostrukog ugla:
sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 · sin 2 α , cos 2 α = 2 · cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 t g α 1 - t g 2 α c t g 2 α - c t g 2 α - 1 2 c t g α
Imajte na umu da su ove formule sin i cos primjenjive na bilo koju vrijednost ugla α. Formula tangente dvostrukog ugla vrijedi za bilo koju vrijednost α, gdje t g 2 α ima smisla, to jest, α ≠ π 4 + π 2 · z, z je bilo koji cijeli broj. Dvokutni kotangens postoji za bilo koje α, gdje je c t g 2 α definiran na α ≠ π 2 z.
Kosinus dvostrukog ugla ima trostruki zapis dvostrukog ugla. Svi oni su primjenjivi.
Dokaz formula dvostrukog ugla
Dokaz formula počinje od formula za sabiranje. Primijenimo formule za sinus sume:
sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β i kosinus zbira cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β. Pretpostavimo da je β = α, onda to dobijamo
sin (α + α) = sin α · cos α + cos α · sin α = 2 · sin α · cos α i cos (α + α) = cos α · cos α - sin α · sin α = cos 2 α - sin 2 α
Tako su dokazane formule za sinus i kosinus dvostrukog ugla sin 2 α = 2 · sin α · cos α i cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α.
Preostale formule cos 2 α = 1 - 2 · sin 2 α i cos 2 α = 2 · cos 2 α - 1 dovode do oblika cos 2 α = cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α, kada se 1 zamijeni sa zbir kvadrata po glavnom identitetu sin 2 α + cos 2 α = 1 . Dobijamo da je sin 2 α + cos 2 α = 1. Dakle 1 - 2 sin 2 α = sin 2 α + cos 2 α - 2 sin 2 α = cos 2 α - sin 2 α i 2 cos 2 α - 1 = 2 cos 2 α - (sin 2 α + cos 2 α) = cos 2 α - sin 2 α.
Da bismo dokazali formule za dvostruki ugao tangente i kotangensa, primjenjujemo jednakosti t g 2 α = sin 2 α cos 2 α i c t g 2 α = cos 2 α sin 2 α. Nakon transformacije dobijamo da je t g 2 α = sin 2 α cos 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α - sin 2 α i c t g 2 α = cos 2 α sin 2 α = cos 2 α - sin 2 α 2 · sin α · cos α . Podijelite izraz sa cos 2 α, gdje je cos 2 α ≠ 0 sa bilo kojom vrijednošću α kada je t g α definiran. Drugi izraz dijelimo sa sin 2 α, gdje je sin 2 α ≠ 0 sa bilo kojom vrijednošću α, kada c t g 2 α ima smisla. Da bismo dokazali formulu dvostrukog ugla za tangentu i kotangens, zamjenjujemo i dobivamo: