Σε αυτό το βίντεο θα αναλύσουμε ένα ολόκληρο σύνολο γραμμικών εξισώσεων που λύνονται χρησιμοποιώντας τον ίδιο αλγόριθμο - γι' αυτό ονομάζονται οι απλούστερες.

Αρχικά, ας ορίσουμε: τι είναι μια γραμμική εξίσωση και ποια ονομάζεται απλούστερη;

Μια γραμμική εξίσωση είναι αυτή στην οποία υπάρχει μόνο μία μεταβλητή και μόνο στον πρώτο βαθμό.

Η απλούστερη εξίσωση σημαίνει την κατασκευή:

Όλες οι άλλες γραμμικές εξισώσεις μειώνονται στην απλούστερη χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο:

1. Αναπτύξτε τις παρενθέσεις, εάν υπάρχουν.
2. Μετακινήστε όρους που περιέχουν μια μεταβλητή στη μία πλευρά του πρόσημου ίσου και όρους χωρίς μεταβλητή στην άλλη.
3. Δώστε παρόμοιους όρους στα αριστερά και δεξιά του πρόσημου ίσου.
4. Διαιρέστε την εξίσωση που προκύπτει με τον συντελεστή της μεταβλητής $x$.

Φυσικά, αυτός ο αλγόριθμος δεν βοηθά πάντα. Το γεγονός είναι ότι μερικές φορές μετά από όλες αυτές τις μηχανορραφίες ο συντελεστής της μεταβλητής $x$ αποδεικνύεται ίσος με μηδέν. Σε αυτή την περίπτωση, είναι δυνατές δύο επιλογές:

1. Η εξίσωση δεν έχει καθόλου λύσεις. Για παράδειγμα, όταν προκύπτει κάτι σαν $0\cdot x=8$, π.χ. στα αριστερά είναι το μηδέν και στα δεξιά υπάρχει ένας αριθμός διαφορετικός από το μηδέν. Στο παρακάτω βίντεο θα δούμε αρκετούς λόγους για τους οποίους αυτή η κατάσταση είναι πιθανή.
2. Η λύση είναι όλοι οι αριθμοί. Η μόνη περίπτωση που αυτό είναι δυνατό είναι όταν η εξίσωση έχει μειωθεί στην κατασκευή $0\cdot x=0$. Είναι πολύ λογικό ότι ανεξάρτητα από το $x$ που αντικαθιστούμε, θα εξακολουθεί να αποδεικνύεται "το μηδέν ισούται με μηδέν", δηλ. σωστή αριθμητική ισότητα.

Τώρα ας δούμε πώς λειτουργούν όλα αυτά χρησιμοποιώντας παραδείγματα από την πραγματική ζωή.

Παραδείγματα επίλυσης εξισώσεων

Σήμερα έχουμε να κάνουμε με γραμμικές εξισώσεις, και μόνο τις πιο απλές. Γενικά, γραμμική εξίσωση σημαίνει κάθε ισότητα που περιέχει ακριβώς μία μεταβλητή και πηγαίνει μόνο στον πρώτο βαθμό.

Τέτοιες κατασκευές επιλύονται περίπου με τον ίδιο τρόπο:

1. Πρώτα απ 'όλα, πρέπει να επεκτείνετε τις παρενθέσεις, εάν υπάρχουν (όπως στο τελευταίο μας παράδειγμα).
2. Στη συνέχεια συνδυάστε παρόμοια
3. Τέλος, απομονώστε τη μεταβλητή, δηλ. μετακινήστε όλα όσα συνδέονται με τη μεταβλητή - τους όρους στους οποίους περιέχεται - στη μία πλευρά και μετακινήστε ό,τι απομένει χωρίς αυτήν στην άλλη πλευρά.

Στη συνέχεια, κατά κανόνα, πρέπει να δώσετε παρόμοια σε κάθε πλευρά της ισότητας που προκύπτει και μετά από αυτό το μόνο που μένει είναι να διαιρέσετε με τον συντελεστή "x" και θα λάβουμε την τελική απάντηση.

Θεωρητικά, αυτό φαίνεται ωραίο και απλό, αλλά στην πράξη, ακόμη και έμπειροι μαθητές γυμνασίου μπορούν να κάνουν προσβλητικά λάθη σε αρκετά απλές γραμμικές εξισώσεις. Συνήθως, γίνονται σφάλματα είτε κατά το άνοιγμα των αγκύλων είτε κατά τον υπολογισμό των "συν" και "πλην".

Επιπλέον, συμβαίνει μια γραμμική εξίσωση να μην έχει καθόλου λύσεις ή η λύση να είναι ολόκληρη η αριθμητική γραμμή, δηλ. οποιοσδηποτε ΑΡΙΘΜΟΣ. Θα εξετάσουμε αυτές τις λεπτότητες στο σημερινό μάθημα. Αλλά θα ξεκινήσουμε, όπως ήδη καταλάβατε, με τις πιο απλές εργασίες.

Σχέδιο επίλυσης απλών γραμμικών εξισώσεων

Αρχικά, επιτρέψτε μου για άλλη μια φορά να γράψω ολόκληρο το σχήμα για την επίλυση των απλούστερων γραμμικών εξισώσεων:

1. Αναπτύξτε τις αγκύλες, εάν υπάρχουν.
2. Απομονώνουμε τις μεταβλητές, δηλ. Μετακινούμε ό,τι περιέχει "Χ" στη μία πλευρά και οτιδήποτε χωρίς "Χ" στην άλλη.
3. Παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους.
4. Διαιρούμε τα πάντα με τον συντελεστή "x".

Φυσικά, αυτό το σχέδιο δεν λειτουργεί πάντα· υπάρχουν ορισμένες λεπτές αποχρώσεις και κόλπα σε αυτό, και τώρα θα τα γνωρίσουμε.

Επίλυση πραγματικών παραδειγμάτων απλών γραμμικών εξισώσεων

Εργασία #1

Το πρώτο βήμα απαιτεί να ανοίξουμε τις αγκύλες. Αλλά δεν είναι σε αυτό το παράδειγμα, οπότε παραλείπουμε αυτό το βήμα. Στο δεύτερο βήμα πρέπει να απομονώσουμε τις μεταβλητές. Σημείωση: μιλάμε γιαμόνο για μεμονωμένους όρους. Ας το γράψουμε:

Παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους αριστερά και δεξιά, αλλά αυτό έχει ήδη γίνει εδώ. Επομένως, προχωράμε στο τέταρτο βήμα: διαιρούμε με τον συντελεστή:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Λοιπόν πήραμε την απάντηση.

Εργασία #2

Μπορούμε να δούμε τις παρενθέσεις σε αυτό το πρόβλημα, οπότε ας τις επεκτείνουμε:

Τόσο στα αριστερά όσο και στα δεξιά βλέπουμε περίπου το ίδιο σχέδιο, αλλά ας ενεργήσουμε σύμφωνα με τον αλγόριθμο, δηλ. διαχωρισμός των μεταβλητών:

Εδώ είναι μερικά παρόμοια:

Σε ποιες ρίζες λειτουργεί αυτό; Απάντηση: για οποιαδήποτε. Επομένως, μπορούμε να γράψουμε ότι το $x$ είναι οποιοσδήποτε αριθμός.

Εργασία #3

Η τρίτη γραμμική εξίσωση είναι πιο ενδιαφέρουσα:

\[\αριστερά(6-x \δεξιά)+\αριστερά(12+x \δεξιά)-\αριστερά(3-2x \δεξιά)=15\]

Υπάρχουν πολλές παρενθέσεις, αλλά δεν πολλαπλασιάζονται με τίποτα, απλώς προηγούνται διάφορα σημάδια. Ας τα αναλύσουμε:

Εκτελούμε το δεύτερο βήμα που είναι ήδη γνωστό σε εμάς:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Ας υπολογίσουμε:

Πραγματοποιούμε το τελευταίο βήμα - διαιρούμε τα πάντα με τον συντελεστή "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Πράγματα που πρέπει να θυμάστε κατά την επίλυση γραμμικών εξισώσεων

Αν αγνοήσουμε πολύ απλές εργασίες, θα ήθελα να πω τα εξής:

• Όπως είπα παραπάνω, δεν έχει λύση κάθε γραμμική εξίσωση - μερικές φορές απλά δεν υπάρχουν ρίζες.
• Ακόμα κι αν υπάρχουν ρίζες, μπορεί να υπάρχει μηδέν ανάμεσά τους - δεν υπάρχει τίποτα κακό σε αυτό.

Το μηδέν είναι ο ίδιος αριθμός με τους άλλους· δεν πρέπει να κάνετε διακρίσεις εναντίον του με κανέναν τρόπο ή να υποθέσετε ότι εάν λάβετε μηδέν, τότε κάνατε κάτι λάθος.

Ένα άλλο χαρακτηριστικό σχετίζεται με το άνοιγμα των στηρίξεων. Προσοχή: όταν υπάρχει ένα "μείον" μπροστά τους, το αφαιρούμε, αλλά σε παρένθεση αλλάζουμε τα σημάδια σε απεναντι απο. Και μετά μπορούμε να το ανοίξουμε χρησιμοποιώντας τυπικούς αλγόριθμους: θα πάρουμε αυτό που είδαμε στους παραπάνω υπολογισμούς.

Η κατανόηση αυτού του απλού γεγονότος θα σας βοηθήσει να αποφύγετε να κάνετε ανόητα και βλαβερά λάθη στο γυμνάσιο, όταν το να κάνετε τέτοια πράγματα θεωρείται δεδομένο.

Επίλυση μιγαδικών γραμμικών εξισώσεων

Ας προχωρήσουμε σε περισσότερα σύνθετες εξισώσεις. Τώρα τα σχέδια θα γίνουν πιο περίπλοκα όταν εκτελεστούν διάφορες μεταμορφώσειςθα προκύψει μια τετραγωνική συνάρτηση. Ωστόσο, δεν πρέπει να το φοβόμαστε αυτό, γιατί εάν, σύμφωνα με το σχέδιο του συγγραφέα, λύσουμε μια γραμμική εξίσωση, τότε κατά τη διαδικασία μετασχηματισμού όλα τα μονώνυμα που περιέχουν μια τετραγωνική συνάρτηση σίγουρα θα ακυρωθούν.

Παράδειγμα Νο. 1

Προφανώς, το πρώτο βήμα είναι να ανοίξετε τις αγκύλες. Ας το κάνουμε πολύ προσεκτικά:

Τώρα ας ρίξουμε μια ματιά στο απόρρητο:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Εδώ είναι μερικά παρόμοια:

Προφανώς, αυτή η εξίσωση δεν έχει λύσεις, οπότε θα γράψουμε αυτό στην απάντηση:

\[\varnothing\]

ή δεν υπάρχουν ρίζες.

Παράδειγμα Νο. 2

Κάνουμε τις ίδιες ενέργειες. Το πρώτο βήμα:

Ας μετακινήσουμε τα πάντα με μια μεταβλητή προς τα αριστερά και χωρίς αυτήν - προς τα δεξιά:

Εδώ είναι μερικά παρόμοια:

Προφανώς, αυτή η γραμμική εξίσωση δεν έχει λύση, οπότε θα τη γράψουμε ως εξής:

\[\varnothing\],

ή δεν υπάρχουν ρίζες.

Αποχρώσεις της λύσης

Και οι δύο εξισώσεις έχουν λυθεί πλήρως. Χρησιμοποιώντας αυτές τις δύο εκφράσεις ως παράδειγμα, πειστήκαμε για άλλη μια φορά ότι ακόμα και στις πιο απλές γραμμικές εξισώσεις, όλα μπορεί να μην είναι τόσο απλά: μπορεί να υπάρχουν είτε μία, είτε καμία, ή άπειρες ρίζες. Στην περίπτωσή μας, εξετάσαμε δύο εξισώσεις, και οι δύο απλώς δεν έχουν ρίζες.

Θα ήθελα όμως να επιστήσω την προσοχή σας σε ένα άλλο γεγονός: πώς να εργάζεστε με παρενθέσεις και πώς να τις ανοίγετε εάν υπάρχει ένα σύμβολο μείον μπροστά τους. Σκεφτείτε αυτήν την έκφραση:

Πριν ανοίξετε, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τα πάντα με "Χ". Σημείωση: πολλαπλασιάζεται κάθε επιμέρους όρος. Μέσα υπάρχουν δύο όροι - αντίστοιχα, δύο όροι και πολλαπλασιασμένοι.

Και μόνο μετά την ολοκλήρωση αυτών των φαινομενικά στοιχειωδών, αλλά πολύ σημαντικών και επικίνδυνων μετασχηματισμών, μπορείτε να ανοίξετε την αγκύλη από την άποψη του γεγονότος ότι υπάρχει ένα σημάδι μείον μετά από αυτό. Ναι, ναι: μόνο τώρα, όταν ολοκληρωθούν οι μετασχηματισμοί, θυμόμαστε ότι υπάρχει ένα σύμβολο μείον μπροστά από τις αγκύλες, που σημαίνει ότι όλα από κάτω αλλάζουν απλώς πρόσημα. Ταυτόχρονα, οι ίδιες οι αγκύλες εξαφανίζονται και, το πιο σημαντικό, το μπροστινό "μείον" εξαφανίζεται επίσης.

Κάνουμε το ίδιο με τη δεύτερη εξίσωση:

Δεν είναι τυχαίο που δίνω σημασία σε αυτά τα μικρά, φαινομενικά ασήμαντα γεγονότα. Επειδή η επίλυση εξισώσεων είναι πάντα μια ακολουθία στοιχειωδών μετασχηματισμών, όπου η αδυναμία εκτέλεσης απλών ενεργειών με σαφήνεια και ικανότητα οδηγεί στο γεγονός ότι μαθητές γυμνασίου έρχονται σε μένα και μαθαίνουν ξανά να λύνουν τέτοιες απλές εξισώσεις.

Φυσικά, θα έρθει η μέρα που θα ακονίσετε αυτές τις δεξιότητες σε σημείο αυτοματισμού. Δεν θα χρειάζεται πλέον να κάνετε τόσους πολλούς μετασχηματισμούς κάθε φορά· θα γράφετε τα πάντα σε μια γραμμή. Αλλά ενώ μόλις μαθαίνετε, πρέπει να γράψετε κάθε ενέργεια ξεχωριστά.

Επίλυση ακόμη πιο περίπλοκων γραμμικών εξισώσεων

Αυτό που θα λύσουμε τώρα δύσκολα μπορεί να ονομαστεί η απλούστερη εργασία, αλλά το νόημα παραμένει το ίδιο.

Εργασία #1

\[\αριστερά(7x+1 \δεξιά)\αριστερά(3x-1 \δεξιά)-21((x)^(2))=3\]

Ας πολλαπλασιάσουμε όλα τα στοιχεία στο πρώτο μέρος:

Ας κάνουμε λίγο απόρρητο:

Εδώ είναι μερικά παρόμοια:

Ας ολοκληρώσουμε το τελευταίο βήμα:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Εδώ είναι η τελική μας απάντηση. Και, παρά το γεγονός ότι στη διαδικασία επίλυσης είχαμε συντελεστές με τετραγωνική συνάρτηση, ακυρώνονταν ο ένας τον άλλον, γεγονός που κάνει την εξίσωση γραμμική και όχι τετραγωνική.

Εργασία #2

\[\αριστερά(1-4x \δεξιά)\αριστερά(1-3x \δεξιά)=6x\αριστερά(2x-1 \δεξιά)\]

Ας εκτελέσουμε προσεκτικά το πρώτο βήμα: πολλαπλασιάστε κάθε στοιχείο από την πρώτη αγκύλη με κάθε στοιχείο από τη δεύτερη. Θα πρέπει να υπάρχουν συνολικά τέσσερις νέοι όροι μετά τους μετασχηματισμούς:

Τώρα ας εκτελέσουμε προσεκτικά τον πολλαπλασιασμό σε κάθε όρο:

Ας μετακινήσουμε τους όρους με "Χ" προς τα αριστερά και αυτούς χωρίς - προς τα δεξιά:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Εδώ είναι παρόμοιοι όροι:

Για άλλη μια φορά λάβαμε την τελική απάντηση.

Αποχρώσεις της λύσης

Η πιο σημαντική σημείωση σχετικά με αυτές τις δύο εξισώσεις είναι ότι μόλις αρχίσουμε να πολλαπλασιάζουμε παρενθέσεις που περιέχουν περισσότερους από έναν όρους, το κάνει με επόμενος κανόνας: παίρνουμε τον πρώτο όρο από τον πρώτο και πολλαπλασιάζουμε με κάθε στοιχείο του δεύτερου. τότε παίρνουμε το δεύτερο στοιχείο από το πρώτο και ομοίως πολλαπλασιάζουμε με κάθε στοιχείο από το δεύτερο. Ως αποτέλεσμα, θα έχουμε τέσσερις θητείες.

Σχετικά με το αλγεβρικό άθροισμα

Με αυτό το τελευταίο παράδειγμα, θα ήθελα να υπενθυμίσω στους μαθητές τι είναι το αλγεβρικό άθροισμα. Στα κλασικά μαθηματικά, με το $1-7$ εννοούμε μια απλή κατασκευή: αφαιρέστε επτά από ένα. Στην άλγεβρα εννοούμε το εξής: στον αριθμό "ένα" προσθέτουμε έναν άλλο αριθμό, δηλαδή "μείον επτά". Έτσι διαφέρει ένα αλγεβρικό άθροισμα από ένα συνηθισμένο αριθμητικό άθροισμα.

Μόλις, όταν εκτελείτε όλους τους μετασχηματισμούς, κάθε πρόσθεση και πολλαπλασιασμό, αρχίσετε να βλέπετε κατασκευές παρόμοιες με αυτές που περιγράφονται παραπάνω, απλά δεν θα έχετε κανένα πρόβλημα στην άλγεβρα όταν εργάζεστε με πολυώνυμα και εξισώσεις.

Τέλος, ας δούμε μερικά ακόμη παραδείγματα που θα είναι ακόμα πιο περίπλοκα από αυτά που μόλις εξετάσαμε και για να τα λύσουμε θα πρέπει να επεκτείνουμε ελαφρώς τον τυπικό μας αλγόριθμο.

Επίλυση εξισώσεων με κλάσματα

Για να λύσουμε τέτοιες εργασίες, θα πρέπει να προσθέσουμε ένα ακόμη βήμα στον αλγόριθμό μας. Αλλά πρώτα, επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω τον αλγόριθμό μας:

1. Ανοίξτε τις αγκύλες.
2. Ξεχωριστές μεταβλητές.
3. Φέρτε παρόμοια.
4. Διαιρέστε με την αναλογία.

Αλίμονο, αυτός ο υπέροχος αλγόριθμος, παρ' όλη την αποτελεσματικότητά του, αποδεικνύεται ότι δεν είναι απολύτως κατάλληλος όταν έχουμε κλάσματα μπροστά μας. Και σε αυτό που θα δούμε παρακάτω, έχουμε ένα κλάσμα και στα αριστερά και στα δεξιά και στις δύο εξισώσεις.

Πώς να εργαστείτε σε αυτή την περίπτωση; Ναι, είναι πολύ απλό! Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να προσθέσετε ένα ακόμη βήμα στον αλγόριθμο, το οποίο μπορεί να γίνει τόσο πριν όσο και μετά την πρώτη ενέργεια, δηλαδή να απαλλαγείτε από κλάσματα. Ο αλγόριθμος λοιπόν θα είναι ο εξής:

1. Απαλλαγείτε από τα κλάσματα.
2. Ανοίξτε τις αγκύλες.
3. Ξεχωριστές μεταβλητές.
4. Φέρτε παρόμοια.
5. Διαιρέστε με την αναλογία.

Τι σημαίνει «να απαλλαγούμε από τα κλάσματα»; Και γιατί μπορεί να γίνει αυτό τόσο μετά όσο και πριν από το πρώτο τυπικό βήμα; Στην πραγματικότητα, στην περίπτωσή μας, όλα τα κλάσματα είναι αριθμητικά στον παρονομαστή τους, δηλ. Παντού ο παρονομαστής είναι απλώς ένας αριθμός. Επομένως, αν πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με αυτόν τον αριθμό, θα απαλλαγούμε από τα κλάσματα.

Παράδειγμα Νο. 1

\[\frac(\αριστερά(2x+1 \δεξιά)\αριστερά(2x-3 \δεξιά))(4)=((x)^(2))-1\]

Ας απαλλαγούμε από τα κλάσματα αυτής της εξίσωσης:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Παρακαλώ σημειώστε: όλα πολλαπλασιάζονται με "τέσσερα" μία φορά, δηλ. Ακριβώς επειδή έχετε δύο παρενθέσεις δεν σημαίνει ότι πρέπει να πολλαπλασιάσετε την καθεμία με "τέσσερις". Ας γράψουμε:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Τώρα ας επεκταθούμε:

Αποκλείουμε τη μεταβλητή:

Πραγματοποιούμε τη μείωση παρόμοιων όρων:

\[-4x=-1\αριστερά| :\αριστερά(-4 \δεξιά) \δεξιά.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Λάβαμε την τελική λύση, ας περάσουμε στη δεύτερη εξίσωση.

Παράδειγμα Νο. 2

\[\frac(\αριστερά(1-x \δεξιά)\αριστερά(1+5x \δεξιά))(5)+((x)^(2))=1\]

Εδώ εκτελούμε όλες τις ίδιες ενέργειες:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Το πρόβλημα λύθηκε.

Αυτό, στην πραγματικότητα, είναι το μόνο που ήθελα να σας πω σήμερα.

Βασικά σημεία

Βασικά ευρήματα είναι:

• Να γνωρίζετε τον αλγόριθμο επίλυσης γραμμικών εξισώσεων.
• Δυνατότητα ανοίγματος αγκύλων.
• Μην ανησυχείς αν δεις τετραγωνικές συναρτήσεις, πιθανότατα, στη διαδικασία περαιτέρω μετασχηματισμών θα μειωθούν.
• Υπάρχουν τρεις τύποι ριζών στις γραμμικές εξισώσεις, ακόμα και οι πιο απλές: μία μόνο ρίζα, ολόκληρη η αριθμητική γραμμή είναι ρίζα και καθόλου ρίζες.

Ελπίζω ότι αυτό το μάθημα θα σας βοηθήσει να κατακτήσετε ένα απλό, αλλά πολύ σημαντικό θέμα για περαιτέρω κατανόηση όλων των μαθηματικών. Εάν κάτι δεν είναι ξεκάθαρο, μεταβείτε στον ιστότοπο και λύστε τα παραδείγματα που παρουσιάζονται εκεί. Μείνετε συντονισμένοι, σας περιμένουν πολλά ακόμα ενδιαφέροντα πράγματα!

να λύσει μαθηματικά. Βρείτε γρήγορα λύση μαθηματικών εξισώσεωνσε λειτουργία Σε σύνδεση. Ο ιστότοπος www.site επιτρέπει λύσει την εξίσωσησχεδόν κάθε δεδομένο αλγεβρικός, τριγωνομετρικήή υπερβατική εξίσωση σε απευθείας σύνδεση. Όταν μελετάτε σχεδόν οποιοδήποτε τμήμα των μαθηματικών σε διαφορετικά στάδια, πρέπει να αποφασίσετε εξισώσεις σε απευθείας σύνδεση. Για να λάβετε μια απάντηση αμέσως, και κυρίως μια ακριβή απάντηση, χρειάζεστε έναν πόρο που σας επιτρέπει να το κάνετε αυτό. Χάρη στο www.site επίλυση εξισώσεων διαδικτυακάθα χρειαστούν λίγα λεπτά. Το κύριο πλεονέκτημα του www.site κατά την επίλυση μαθηματικών εξισώσεις σε απευθείας σύνδεση- είναι η ταχύτητα και η ακρίβεια της εκδοθείσας απάντησης. Ο ιστότοπος είναι σε θέση να λύσει οποιαδήποτε αλγεβρικές εξισώσεις σε απευθείας σύνδεση, τριγωνομετρικές εξισώσεις σε απευθείας σύνδεση, υπερβατικές εξισώσεις σε απευθείας σύνδεση, και εξισώσειςμε άγνωστες παραμέτρους στη λειτουργία Σε σύνδεση. Εξισώσειςχρησιμεύει ως μια ισχυρή μαθηματική συσκευή λύσειςπρακτικές εργασίες. Με βοήθεια μαθηματικές εξισώσειςείναι δυνατόν να εκφραστούν γεγονότα και σχέσεις που μπορεί με την πρώτη ματιά να φαίνονται συγκεχυμένες και περίπλοκες. άγνωστες ποσότητες εξισώσειςμπορεί να βρεθεί διατυπώνοντας το πρόβλημα σε μαθηματικόςγλώσσα στη μορφή εξισώσειςΚαι αποφασίζωτη ληφθείσα εργασία στη λειτουργία Σε σύνδεσηστον ιστότοπο www.site. Οποιος αλγεβρική εξίσωση, τριγωνομετρική εξίσωσηή εξισώσειςπου περιέχει υπερφυσικόςσας χαρακτηρίζει εύκολα αποφασίζω online και λάβετε τη σωστή απάντηση. Μελετώντας κανείς τις φυσικές επιστήμες, αναπόφευκτα συναντά την ανάγκη επίλυση εξισώσεων. Σε αυτή την περίπτωση, η απάντηση πρέπει να είναι ακριβής και να λαμβάνεται αμέσως στη λειτουργία Σε σύνδεση. Ως εκ τούτου, για επίλυση μαθηματικών εξισώσεων διαδικτυακάπροτείνουμε τον ιστότοπο www.site, ο οποίος θα γίνει ο απαραίτητος υπολογιστής σας επίλυση αλγεβρικών εξισώσεων διαδικτυακά, τριγωνομετρικές εξισώσειςΣε σύνδεση, και υπερβατικές εξισώσεις σε απευθείας σύνδεσηή εξισώσειςμε άγνωστες παραμέτρους. Για πρακτικά προβλήματα εύρεσης των ριζών διαφόρων μαθηματικές εξισώσειςπόρος www.. Επίλυση εξισώσεις σε απευθείας σύνδεσημόνοι σας, είναι χρήσιμο να ελέγξετε την απάντηση που λάβατε χρησιμοποιώντας διαδικτυακή λύση εξισώσεωνστον ιστότοπο www.site. Είναι απαραίτητο να γράψετε την εξίσωση σωστά και να λάβετε αμέσως διαδικτυακή λύση, μετά από το οποίο μένει μόνο να συγκρίνετε την απάντηση με τη λύση σας στην εξίσωση. Ο έλεγχος της απάντησης δεν θα διαρκέσει περισσότερο από ένα λεπτό, αρκετά λύστε την εξίσωση διαδικτυακάκαι συγκρίνετε τις απαντήσεις. Αυτό θα σας βοηθήσει να αποφύγετε λάθη απόφασηκαι διορθώστε έγκαιρα την απάντηση επίλυση εξισώσεων διαδικτυακάείτε αλγεβρικός, τριγωνομετρική, υπερβατικόςή την εξίσωσημε άγνωστες παραμέτρους.

Τι είναι μια εξίσωση;

Η εξίσωση είναι μια από τις θεμελιώδεις έννοιες όλων των μαθηματικών. Τόσο τη σχολική όσο και την τριτοβάθμια εκπαίδευση. Είναι λογικό να το καταλάβω, σωστά; Επιπλέον, αυτή είναι μια πολύ απλή ιδέα. Δείτε μόνοι σας παρακάτω. :) Ποια είναι λοιπόν η εξίσωση;

Το γεγονός ότι αυτή η λέξη έχει την ίδια ρίζα με τις λέξεις «ίσος», «ισότητα», νομίζω ότι δεν προκαλεί αντίρρηση από κανέναν. Μια εξίσωση είναι δύο μαθηματικές εκφράσεις που συνδέονται με ένα σύμβολο ίσου "=". Αλλά... όχι οποιοδήποτε. Και αυτά στα οποία (τουλάχιστον ένα) περιέχει άγνωστη ποσότητα . Ή με άλλο τρόπο μεταβλητή ποσότητα . Ή απλώς "μεταβλητή" για συντομία. Μπορεί να υπάρχουν μία ή περισσότερες μεταβλητές. Στα σχολικά μαθηματικά, εξισώσεις με έναςμεταβλητός. Το οποίο συνήθως δηλώνεται με το γράμμαΧ . Ή άλλα τελευταία γράμματα του λατινικού αλφαβήτου -y , z , t και ούτω καθεξής.

Προς το παρόν θα εξετάσουμε επίσης εξισώσεις με μία μεταβλητή. Με δύο ή περισσότερες μεταβλητές - σε ειδικό μάθημα.

Τι σημαίνει να λύνεις μια εξίσωση;

Προχώρα. Η μεταβλητή στις εκφράσεις που περιλαμβάνονται στην εξίσωση μπορεί να πάρει οποιαδήποτε έγκυρες τιμές. Γι' αυτό είναι μεταβλητό. :) Για ορισμένες τιμές της μεταβλητής προκύπτει η σωστή ισότητα, αλλά για άλλες όχι. Λύστε την εξίσωση- αυτό σημαίνει εύρεση όλων αυτών των τιμών της μεταβλητής, κατά την αντικατάστασή τους σε πρωτότυπο βγαίνει η εξίσωση αληθινή ισότητα . Ή, πιο επιστημονικά, Ταυτότητα. Για παράδειγμα, 5=5, 0=0, -10=-10. Και ούτω καθεξής. :) Ή να αποδείξετε ότι τέτοιες μεταβλητές τιμές δεν υπάρχουν.

Εστιάζω συγκεκριμένα στη λέξη «πρωτότυπο». Το γιατί θα γίνει σαφές παρακάτω.

Αυτές οι ίδιες οι τιμές της μεταβλητής, με την αντικατάσταση της οποίας η εξίσωση μετατρέπεται σε ταυτότητα, ονομάζονται πολύ όμορφα - ρίζες της εξίσωσης. Αν αποδειχθεί ότι δεν υπάρχουν τέτοιες τιμές, τότε στην περίπτωση αυτή λένε ότι η εξίσωση δεν έχει ρίζες.

Γιατί χρειάζονται εξισώσεις;

Γιατί χρειαζόμαστε εξισώσεις; Πρώτα απ 'όλα, οι εξισώσεις είναι ένα πολύ ισχυρό και πιο ευέλικτο εργαλείο για επίλυση προβλήματος . Πολύ διαφορετικό. :) Στο σχολείο, κατά κανόνα, δουλεύουν με προβλήματα λέξεων. Αυτά είναι καθήκοντα στην κίνηση, στην εργασία, στα ποσοστά και πολλά, πολλά άλλα. Ωστόσο, η χρήση των εξισώσεων δεν περιορίζεται στα σχολικά προβλήματα σχετικά με τις πισίνες, τους σωλήνες, τα τρένα και τα σκαμπό. :)

Χωρίς την ικανότητα σύνθεσης και επίλυσης εξισώσεων, είναι αδύνατο να λυθεί οποιοδήποτε σοβαρό επιστημονικό πρόβλημα - φυσικό, μηχανικό ή οικονομικό. Για παράδειγμα, υπολογίστε πού θα χτυπήσει ένας πύραυλος. Ή απαντήστε στην ερώτηση εάν κάποια σημαντική κατασκευή (για παράδειγμα, ένας ανελκυστήρας ή μια γέφυρα) θα αντέξει ή δεν θα αντέξει το φορτίο. Ή προβλέψτε τον καιρό, άνοδο (ή πτώση) στις τιμές ή το εισόδημα...

Γενικά, η εξίσωση είναι ένα βασικό στοιχείο για την επίλυση μιας μεγάλης ποικιλίας υπολογιστικών προβλημάτων.

Ποιες είναι οι εξισώσεις;

Υπάρχουν αμέτρητες εξισώσεις στα μαθηματικά. Πλέον ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ. Ωστόσο, όλες οι εξισώσεις μπορούν να χωριστούν μόνο σε 4 κατηγορίες:

1) Γραμμική,

2) Τετράγωνο,

3) Κλασματικό (ή κλασματικό-ορθολογικό),

4) Άλλα.

Διαφορετικοί τύποι εξισώσεων απαιτούν και διαφορετική προσέγγισηστη λύση τους: οι γραμμικές εξισώσεις λύνονται με έναν τρόπο, οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις με άλλον, οι κλασματικές εξισώσεις σε έναν τρίτο, οι τριγωνομετρικές, λογαριθμικές, εκθετικές και άλλες λύνονται επίσης με τις δικές τους μεθόδους.

Υπάρχουν, φυσικά, περισσότερες άλλες εξισώσεις. Αυτές είναι παράλογες, τριγωνομετρικές, εκθετικές, λογαριθμικές και πολλές άλλες εξισώσεις. Και μάλιστα διαφορικές εξισώσεις (για μαθητές), όπου ο άγνωστος δεν είναι αριθμός, αλλά λειτουργία.Ή ακόμα και μια ολόκληρη οικογένεια λειτουργιών. :) Στα αντίστοιχα μαθήματα θα αναλύσουμε αναλυτικά όλους αυτούς τους τύπους εξισώσεων. Και εδώ έχουμε βασικές τεχνικές που μπορούν να λυθούν απολύτως οποιαδήποτε(ναι, οποιαδήποτε!) εξισώσεις. Αυτές οι τεχνικές ονομάζονται ισοδύναμοι μετασχηματισμοί εξισώσεων . Υπάρχουν μόνο δύο από αυτά. Και δεν υπάρχει τρόπος γύρω τους. Ας γνωριστούμε λοιπόν!

Πώς να λύσετε εξισώσεις; Πανομοιότυποι (ισοδύναμοι) μετασχηματισμοί εξισώσεων.

Λύση όποιοςΗ εξίσωση συνίσταται σε ένα βήμα προς βήμα μετασχηματισμό των εκφράσεων που περιλαμβάνονται σε αυτήν. Όχι όμως οποιεσδήποτε μεταμορφώσεις, αλλά τέτοιες η ουσία της όλης εξίσωσης δεν έχει αλλάξει. Παρά το γεγονός ότι μετά από κάθε μετασχηματισμό η εξίσωση θα αλλάξει και τελικά θα γίνει εντελώς διαφορετική από την αρχική. Τέτοιοι μετασχηματισμοί στα μαθηματικά ονομάζονται ισοδύναμος ή πανομοιότυπο . Ανάμεσα σε όλη την ποικιλία των πανομοιότυπων μετασχηματισμών των εξισώσεων, ξεχωρίζει κανείς δύο βασικά. Θα μιλήσουμε για αυτούς. Ναι, ναι, μόνο δύο! Και το καθένα από αυτά αξίζει ιδιαίτερης προσοχής. Η εφαρμογή αυτών των δύο πανομοιότυπων μετασχηματισμών με τη μία ή την άλλη σειρά εγγυάται επιτυχία στην επίλυση του 99% όλων των εξισώσεων.

Λοιπόν, ας γνωριστούμε!

Πρώτος μετασχηματισμός ταυτότητας:

Μπορείτε να προσθέσετε (ή να αφαιρέσετε) οποιονδήποτε (αλλά πανομοιότυπο!) αριθμό ή έκφραση (συμπεριλαμβανομένων εκείνων με μεταβλητή) και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

Η ουσία της εξίσωσης θα παραμείνει η ίδια. Εφαρμόζετε αυτόν τον μετασχηματισμό παντού, νομίζοντας αφελώς ότι μεταφέρετε κάποιους όρους από το ένα μέρος της εξίσωσης στο άλλο, αλλάζοντας το πρόσημο. :)

Για παράδειγμα, αυτή η δροσερή εξίσωση:

Δεν υπάρχει τίποτα να σκεφτείτε εδώ: μετακινήστε το μείον τρία προς τα δεξιά, αλλάζοντας το μείον σε ένα συν:

Τι συμβαίνει όμως στην πραγματικότητα; Αλλά στην πραγματικότητα εσύ προσθέστε τρία και στις δύο πλευρές της εξίσωσης! Σαν αυτό:

Η ουσία ολόκληρης της εξίσωσης δεν αλλάζει όταν προσθέτουμε τρία και στις δύο πλευρές. Αριστερά παραμένει ένα καθαρό Χ (που στην πραγματικότητα προσπαθούμε να πετύχουμε), και στα δεξιά - ό,τι κι αν συμβεί.

Η μεταφορά όρων από το ένα μέρος στο άλλο είναι συνοπτική έκδοσηπρώτος μετασχηματισμός ταυτότητας. Το μόνο λάθος που μπορείτε να κάνετε εδώ είναι να ξεχάσετε να αλλάξετε το σήμα κατά τη μεταφορά. Για παράδειγμα, αυτή η εξίσωση:

Δεν είναι περίπλοκο θέμα. Δουλεύουμε απευθείας σύμφωνα με το ξόρκι: με Χ στα αριστερά, χωρίς Χ στα δεξιά. Ποιος όρος με το Χ βρίσκεται στα δεξιά; Τι? 2x? Λανθασμένος! Στα δεξιά έχουμε -2x (μείον δύο x)! Επομένως, σε αριστερή πλευράαυτός ο όρος θα μεταφερθεί με ένα συν :

Η μισή μάχη έχει γίνει, τα Χ έχουν μαζευτεί στα αριστερά. Το μόνο που μένει είναι να μετακινήσετε τη μονάδα προς τα δεξιά. Και πάλι το ερώτημα είναι - με ποιο πρόσημο; Δεν υπάρχει τίποτα γραμμένο στα αριστερά πριν από τη μονάδα, πράγμα που σημαίνει ότι προορίζεται να προηγείται συν. Επομένως, το 1 θα μετακινηθεί προς τα δεξιά με ένα μείον:

Αυτό είναι σχεδόν όλο. Αριστερά παρουσιάζουμε παρόμοια, και δεξιά τα μετράμε. Και παίρνουμε:

Τώρα ας αναλύσουμε τις μηχανορραφίες μας με όρους μεταφοράς. Τι κάναμε όταν μετακινηθήκαμε -2 φορές προς τα αριστερά; Ναί! Εμείς προστέθηκε και στα δύο μέρητης κακής μας εξίσωσης η έκφραση είναι 2x. Σας είπα ότι έχουμε το δικαίωμα να προσθέτουμε (αφαιρούμε) οποιονδήποτε αριθμό ακόμα και μια έκφραση με Χ! Αρκεί να είναι το ίδιο πράγμα. :) Και πότε μετακινήσατε το 1 προς τα δεξιά; Απόλυτο δίκιο! Εμείς αφαιρείται και από τις δύο πλευρές της εξίσωσηςένας. Αυτό είναι όλο.) Αυτό είναι όλο το νόημα του πρώτου ισοδύναμου μετασχηματισμού.

Ή αυτό το παράδειγμα για μαθητές γυμνασίου:

Η εξίσωση είναι λογαριθμική. Και λοιπόν? Ποιός νοιάζεται? Τέλος πάντων, το πρώτο βήμα είναι να κάνουμε έναν βασικό μετασχηματισμό ταυτότητας - μετακινούμε τον όρο με τη μεταβλητή (δηλαδή -log 3 x) προς τα αριστερά, και αριθμητική παράσταση log 3 4 μετακινηθείτε προς τα δεξιά. Με αλλαγή πρόσημου φυσικά:

Αυτό είναι όλο. Όποιος είναι εξοικειωμένος με τους λογάριθμους θα ολοκληρώσει την εξίσωση στο κεφάλι του και θα πάρει:

Τι? Θέλεις σινες; Παρακαλώ, ορίστε τα ημιτόνια:

Εκτελούμε ξανά τον πρώτο μετασχηματισμό ταυτότητας - μεταφέρουμε αμαρτία xπρος τα αριστερά (με ένα μείον) και μετακινηθείτε -1/4 προς τα δεξιά (με ένα συν):

Λάβαμε την απλούστερη τριγωνομετρική εξίσωση με ημίτονο, την οποία επίσης δεν είναι δύσκολο να λύσουν οι γνωρίζοντες.

Δείτε πόσο καθολικός είναι ο πρώτος ισοδύναμος μετασχηματισμός! Βρίσκεται παντού και παντού και δεν υπάρχει τρόπος να το ξεφύγεις. Επομένως, πρέπει να μπορείτε να το κάνετε αυτόματα. Το κύριο πράγμα είναι να μην ξεχάσετε να αλλάξετε το σήμα κατά τη μεταφορά! Συνεχίζουμε να εξοικειωνόμαστε με πανομοιότυπους μετασχηματισμούς εξισώσεων.)

Δεύτερος μετασχηματισμός ταυτότητας:

Και οι δύο πλευρές της εξίσωσης μπορούν να πολλαπλασιαστούν (διαιρεθούν) με τον ίδιο μη μηδενικό αριθμό ή έκφραση.

Χρησιμοποιούμε επίσης συνεχώς αυτόν τον ίδιο μετασχηματισμό όταν κάποιοι συντελεστές στην εξίσωση παρεμβαίνουν σε εμάς και θέλουμε να τους ξεφορτωθούμε. Ασφαλές για την ίδια την εξίσωση. :) Για παράδειγμα, αυτή η κακή εξίσωση:

Είναι σαφές σε όλους εδώ ότι x = 3. Πώς το μαντεψες? Το σήκωσες; Ή δείξατε το δάχτυλό σας στον ουρανό και μαντέψατε;

Για να μην επιλέξετε και να μαντέψετε (είμαστε τελικά μαθηματικοί, όχι μάντεις :)), πρέπει να καταλάβετε ότι είστε απλά διαιρούνται και οι δύο πλευρές της εξίσωσηςγια τέσσερα. Αυτό είναι που μας ενοχλεί.

Σαν αυτό:

Αυτό το ραβδί διαίρεσης σημαίνει ότι χωρίζονται με τέσσερα. και τα δύο μέρηη εξίσωσή μας. Ολόκληρη η αριστερή πλευρά και ολόκληρη η δεξιά πλευρά:

Αριστερά, τα τέσσερα μειώνονται με ασφάλεια και το x παραμένει σε υπέροχη απομόνωση. Και στα δεξιά, όταν διαιρούμε το 12 με το 4, το αποτέλεσμα είναι, φυσικά, τρία. :)

Ή αυτή η εξίσωση:

Τι να κάνετε με το ένα έβδομο; Μετακίνηση σωστά; Όχι, δεν μπορείς! Το ένα έβδομο συνδέεται με x πολλαπλασιασμό. Ο συντελεστής, καταλαβαίνετε. :) Δεν μπορείτε να διαχωρίσετε τον συντελεστή και να τον μετακινήσετε ξεχωριστά από το Χ. Μόνο ολόκληρη η έκφραση (1/7)x. Αλλά δεν υπάρχει ανάγκη. :) Ας θυμηθούμε ξανά τον πολλαπλασιασμό/διαίρεση. Τι μας σταματά; Το κλάσμα είναι 1/7, έτσι δεν είναι; Ας το ξεφορτωθούμε λοιπόν. Πως? Και ως αποτέλεσμα ποιας ενέργειας χάνουμε το κλάσμα; Το κλάσμα μας εξαφανίζεται όταν πολλαπλασιασμόςμε αριθμό ίσο με τον παρονομαστή του! Ας πολλαπλασιάσουμε λοιπόν και τις δύο πλευρές της εξίσωσής μας επί 7:

Στα αριστερά, τα επτά θα μειωθούν και θα παραμείνει μόνο ένα X, και στα δεξιά, αν θυμάστε τον πίνακα πολλαπλασιασμού, παίρνετε 21:

Τώρα ένα παράδειγμα για μαθητές γυμνασίου:

Για να φτάσουμε στο x και έτσι να λύσουμε την κακή μας τριγωνομετρική εξίσωση, πρέπει πρώτα να λάβουμε ένα καθαρό συνημίτονο στα αριστερά, χωρίς συντελεστές. Αλλά το δίδυμο μπαίνει εμπόδιο. :) Άρα διαιρούμε όλη την αριστερή πλευρά με το 2:

Αλλά στη συνέχεια σωστη πλευραθα πρέπει επίσης να διαιρέσετε με δύο: αυτό απαιτείται ήδη από τα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Διαιρέστε:

Το πήρα στα δεξιά αξία πίνακασυνημίτονο. Και τώρα λύθηκε η εξίσωση για τη γλυκιά ψυχή.)

Είναι όλα ξεκάθαρα με τον πολλαπλασιασμό/διαίρεση; Εξαιρετική! Αλλά… προσοχή!Αυτή η μεταμόρφωση, παρά την απλότητά της, περιέχει μια πηγή πολύ ενοχλητικών λαθών! Λέγεται απώλεια ριζών Και απόκτηση ξένων ριζών .

Είπα ήδη παραπάνω ότι και οι δύο πλευρές της εξίσωσης μπορούν να πολλαπλασιαστούν (διαιρεθούν) με οποιονδήποτε αριθμό ή έκφραση με x. Αλλά με μια σημαντική προειδοποίηση: η έκφραση με την οποία πολλαπλασιάζουμε (διαιρούμε) πρέπει να είναι διαφορετικό από το μηδέν . Αυτό ακριβώς το σημείο, που πολλοί απλώς αγνοούν στην αρχή, οδηγεί σε τέτοια ατυχή λάθη. Στην πραγματικότητα, το νόημα αυτού του περιορισμού είναι σαφές: ο πολλαπλασιασμός με το μηδέν είναι ανόητος και η διαίρεση γενικά δεν επιτρέπεται. Ας καταλάβουμε τι είναι τι; Ας ξεκινήσουμε με τη διαίρεση και απώλεια ρίζας .

Ας πούμε ότι έχουμε αυτή την εξίσωση:

Εδώ, τα χέρια κάποιου είναι πραγματικά φαγούρα για να πάρει και να διαιρέσει και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με κοινή αγκύλη(x-1):

Ας υποθέσουμε ότι η εργασία της Ενιαίας Πολιτικής Εξέτασης λέει να βρούμε το άθροισμα των ριζών αυτής της εξίσωσης. Τι θα γράψουμε ως απάντηση; Τρία? Εάν αποφασίσετε ότι είναι τρία, τότε εσείς έπεσαν σε ενέδρα. Ονομάζεται «απώλεια ρίζας». :) Τι συμβαίνει?

Ας ανοίξουμε τις αγκύλες στην αρχική εξίσωση και ας συλλέξουμε τα πάντα στα αριστερά:

Πήρε ένα κλασικό τετραγωνική εξίσωση. Επιλύουμε μέσω της διάκρισης (ή μέσω του θεωρήματος του Vieta) και παίρνουμε δύο ρίζες:

Επομένως, το άθροισμα των ριζών είναι 1+3 = 4. Τέσσερα, όχι τρία! Πού «εξαφανίστηκε» η ρίζα μας;

x = 1

Με την πρώτη λύση; Και το δικό μας εξαφανίστηκε ακριβώς όταν χωρίζαμε και τα δύο μέρη με αγκύλες (x-1). Γιατί συνέβη? Και όλα αυτά επειδή στο x = 1 αυτή ακριβώς η αγκύλη (x-1) μηδενίζεται. Και έχουμε το δικαίωμα να διαιρούμε μόνο με μη μηδενική έκφραση! Πώς θα μπορούσε να αποφευχθεί η απώλεια αυτής της ρίζας; Και γενικά απώλεια ριζών; Για να γίνει αυτό, πρώτα, πριν διαιρέσουμε με κάποια παράσταση με ένα x, προσθέτουμε πάντα την προϋπόθεση ότι αυτή η παράσταση είναι διαφορετική από το μηδέν. Και βρίσκουμε μηδενικά αυτής της έκφρασης. Όπως αυτό (χρησιμοποιώντας την εξίσωσή μας ως παράδειγμα):

Και δεύτερον, για να μην εξαφανιστούν κάποιες ρίζες κατά τη διαδικασία διαίρεσης, πρέπει να ελέγξουμε ξεχωριστά ως υποψήφιοι για ρίζες Ολα μηδενικά της έκφρασής μας (αυτό με το οποίο διαιρούμε). Πως? Απλά βάλτε τα μέσα αρχική εξίσωσηκαι μετράνε. Στην περίπτωσή μας, ελέγχουμε ένα:

Όλα είναι δίκαια. Άρα, μία είναι η ρίζα!

Σε γενικές γραμμές, στο μέλλον, πάντα να προσπαθείτε να αποφεύγετε τμήματα στην έκφραση με Χ. Η απώλεια ριζών είναι πολύ επικίνδυνο και ενοχλητικό πράγμα! Χρησιμοποιήστε οποιεσδήποτε άλλες μεθόδους - ανοίγοντας στηρίγματα και ειδικά παραγοντοποίηση. Το Factoring είναι το πιο απλό και ασφαλή τρόποαποφύγετε την απώλεια ριζών. Για να το κάνουμε αυτό, συλλέγουμε τα πάντα στα αριστερά, μετά βγάζουμε τον κοινό παράγοντα (τον οποίο θέλουμε να «μειώσουμε» κατά) από αγκύλες, τον συνυπολογίζουμε σε παράγοντες και μετά εξισώνουμε κάθε παράγοντα που προκύπτει με το μηδέν. Για παράδειγμα, η εξίσωσή μας θα μπορούσε να λυθεί αρκετά ακίνδυνα όχι μόνο με αναγωγή σε τετραγωνικό, αλλά και με παραγοντοποίηση. Δες το και μονος σου:

Μετακινήστε ολόκληρη την έκφραση (x-1) προς τα αριστερά. Με πρόσημο μείον:

Βγάζουμε το (x-1) από αγκύλες ως κοινό παράγοντα και το παραγοντοποιούμε:

Το προϊόν είναι μηδέν όταν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι μηδέν. Τώρα εξισώνουμε (στο μυαλό μας!) κάθε παρένθεση με μηδέν και παίρνουμε τις νόμιμες δύο ρίζες μας:

Και δεν χάθηκε ούτε μια ρίζα!

Ας δούμε τώρα την αντίθετη κατάσταση - απόκτηση ξένων ριζών. Αυτή η κατάσταση εμφανίζεται όταν πολλαπλασιασμός και οι δύο πλευρές της εξίσωσης στην έκφραση με x. Συμβαίνει συχνά κατά την επίλυση κλασματικών ορθολογικών εξισώσεων. Για παράδειγμα, αυτή η απλή εξίσωση:

Είναι ένα οικείο θέμα - πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές με τον παρονομαστή για να απαλλαγούμε από το κλάσμα και να πάρουμε μια εξίσωση χάρακα:

Εξισώνουμε κάθε παράγοντα με μηδέν και παίρνουμε δύο ρίζες:

Όλα δείχνουν να είναι καλά. Ας προσπαθήσουμε όμως να κάνουμε έναν βασικό έλεγχο. Και αν σε x = 0όλα θα μεγαλώσουν μαζί ωραία, παίρνουμε την ταυτότητα 2=2, τότε πότε x = 1Αυτό θα έχει ως αποτέλεσμα τη διαίρεση με το μηδέν. Αυτό που δεν μπορείτε να κάνετε απολύτως. Το ένα δεν είναι κατάλληλο ως ρίζα της εξίσωσής μας. Σε τέτοιες περιπτώσεις λέγεται ότι x = 1- τα λεγόμενα εξωγενής ρίζα . Η μία είναι η ρίζα της νέας μας εξίσωσης χωρίς κλάσμα x(x-1) = 0,Αλλά δεν είναιρίζα πρωτότυπο κλασματική εξίσωση. Πώς εμφανίζεται αυτή η ξένη ρίζα; Εμφανίζεται όταν και οι δύο πλευρές πολλαπλασιάζονται με τον παρονομαστή x-1.που στο x = 1απλά πάει στο μηδέν! Και έχουμε το δικαίωμα να πολλαπλασιάζουμε μόνο με μια έκφραση εκτός από το μηδέν!

Πώς να είσαι; Να μην πολλαπλασιάζονται καθόλου; Τότε δεν θα μπορούμε να λύσουμε τίποτα απολύτως. Πρέπει να ελέγχω κάθε φορά; Μπορώ. Αλλά είναι συχνά έντασης εργασίας εάν η αρχική εξίσωση είναι πολύ μπερδεμένη. Σε τέτοιες περιπτώσεις, τρία μαγικά γράμματα έρχονται στη διάσωση - ODZ. ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕπεριοχή ρεπαραλείπεται Ζεπιτεύγματα. Και για να αποκλείσετε την εμφάνιση εξωτερικών ριζών, όταν πολλαπλασιάζετε με μια παράσταση με ένα X, πρέπει πάντα να σημειώνετε επιπλέον το ODZ. Στην περίπτωσή μας:

Τώρα, με αυτόν τον περιορισμό, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε με ασφάλεια και τις δύο πλευρές με τον παρονομαστή. Θα αποκλείσουμε όλες τις επιβλαβείς συνέπειες από τέτοιου είδους πολλαπλασιασμό (δηλαδή τις ξένες ρίζες) σύμφωνα με το DZ. Και θα πετάξουμε αλύπητα το δικό μας.

Έτσι, η εμφάνιση ξένων ριζών δεν είναι τόσο επικίνδυνη όσο η απώλεια: το ODZ είναι ένα ισχυρό πράγμα. Και σκληρός. Θα εξαφανίζει πάντα οτιδήποτε περιττό. :) Ο ODZ και εγώ θα είμαστε φίλοι και θα γνωριστούμε πιο αναλυτικά σε ένα ξεχωριστό μάθημα.

Αυτοί είναι όλοι οι πανομοιότυποι μετασχηματισμοί.) Μόνο δύο. Ωστόσο, ένας άπειρος μαθητής μπορεί να έχει κάποιες δυσκολίες που σχετίζονται με αλληλουχίαοι εφαρμογές τους: σε ορισμένα παραδείγματα ξεκινούν με πολλαπλασιασμό (ή διαίρεση), σε άλλα - με μεταφορά. Για παράδειγμα, αυτή η γραμμική εξίσωση:

Από πού να αρχίσω? Μπορείτε να ξεκινήσετε με τη μεταφορά:

Ή μπορείτε πρώτα να διαιρέσετε και τα δύο μέρη κατά πέντε και στη συνέχεια να μεταφέρετε. Τότε οι αριθμοί θα γίνουν απλούστεροι και θα είναι ευκολότερο να μετρηθούν:

Όπως βλέπουμε, και οι δύο τρόποι είναι δυνατοί. Έτσι προκύπτει το ερώτημα για ορισμένους μαθητές: «Ποιο είναι το σωστό;» Απάντηση: "Σωστό από κάθε άποψη!" Όποιο είναι πιο βολικό για εσάς. :) Αρκεί οι πράξεις σου να μην έρχονται σε αντίθεση με τους κανόνες των μαθηματικών. Και η αλληλουχία αυτών των ίδιων ενεργειών εξαρτάται αποκλειστικά από τις προσωπικές προτιμήσεις και συνήθειες αυτού που αποφασίζει. Ωστόσο, με την εμπειρία, τέτοιες ερωτήσεις θα εξαφανιστούν από μόνες τους και στο τέλος δεν θα είναι τα μαθηματικά που θα σας κουμαντάρουν, αλλά θα κουμαντάρετε τα μαθηματικά. :)

Εν κατακλείδι, θα ήθελα να πω χωριστά για το λεγόμενο υπό όρους ταυτόσημους μετασχηματισμούς, ισχύει για κάποιες προϋποθέσεις. Για παράδειγμα, ανυψώνοντας και τις δύο πλευρές μιας εξίσωσης στην ίδια ισχύ. Ή εξαγωγή της ρίζας και από τα δύο μέρη. Εάν ο εκθέτης είναι περιττός, τότε δεν υπάρχουν περιορισμοί - κατασκευάστε και εξάγετε χωρίς φόβο. Αλλά αν είναι άρτιος, τότε ένας τέτοιος μετασχηματισμός θα είναι πανομοιότυπος μόνο αν και οι δύο πλευρές της εξίσωσης είναι μη αρνητικές. Για αυτές τις παγίδες θα μιλήσουμε αναλυτικά στο θέμα για τις παράλογες εξισώσεις.

Εφαρμογή

Επίλυση οποιουδήποτε τύπου εξισώσεων διαδικτυακά στον ιστότοπο για μαθητές και μαθητές για την εμπέδωση του μελετημένου υλικού Επίλυση εξισώσεων διαδικτυακά. Εξισώσεις σε απευθείας σύνδεση. Υπάρχουν αλγεβρικές, παραμετρικές, υπερβατικές, συναρτησιακές, διαφορικές και άλλοι τύποι εξισώσεων. Ορισμένες κατηγορίες εξισώσεων έχουν αναλυτικές λύσεις, οι οποίες είναι βολικές επειδή όχι μόνο δίνουν την ακριβή τιμή της ρίζας, αλλά σας επιτρέπουν επίσης να γράψετε τη λύση στο μορφή ενός τύπου, ο οποίος μπορεί να περιλαμβάνει παραμέτρους. Οι αναλυτικές εκφράσεις επιτρέπουν όχι μόνο τον υπολογισμό των ριζών, αλλά και την ανάλυση της ύπαρξής τους και της ποσότητας τους ανάλογα με τις τιμές των παραμέτρων, κάτι που συχνά είναι ακόμη πιο σημαντικό για Πρακτική εφαρμογη, από τις συγκεκριμένες τιμές των ριζών. Επίλυση εξισώσεων online.. Εξισώσεις online. Η επίλυση μιας εξίσωσης είναι το καθήκον της εύρεσης τέτοιων τιμών των ορισμάτων στα οποία επιτυγχάνεται αυτή η ισότητα. Οι πιθανές τιμές των ορισμάτων μπορούν να επιβληθούν πρόσθετους όρους(ακέραιος, πραγματικός κ.λπ.). Επίλυση εξισώσεων online.. Εξισώσεις online. Μπορείτε να λύσετε την εξίσωση online άμεσα και με υψηλή ακρίβεια του αποτελέσματος. Τα ορίσματα για καθορισμένες συναρτήσεις (μερικές φορές ονομάζονται "μεταβλητές") ονομάζονται "άγνωστα" στην περίπτωση μιας εξίσωσης. Οι τιμές των αγνώστων στις οποίες επιτυγχάνεται αυτή η ισότητα ονομάζονται λύσεις ή ρίζες αυτής της εξίσωσης. Οι ρίζες λέγεται ότι ικανοποιούν αυτήν την εξίσωση. Η επίλυση μιας εξίσωσης διαδικτυακά σημαίνει την εύρεση του συνόλου όλων των λύσεών της (ρίζες) ή την απόδειξη ότι δεν υπάρχουν ρίζες. Επίλυση εξισώσεων online.. Εξισώσεις online. Οι εξισώσεις των οποίων τα σύνολα ριζών συμπίπτουν ονομάζονται ισοδύναμες ή ίσες. Ισοδύναμες θεωρούνται και οι εξισώσεις που δεν έχουν ρίζες. Η ισοδυναμία των εξισώσεων έχει την ιδιότητα της συμμετρίας: αν μια εξίσωση είναι ισοδύναμη με μια άλλη, τότε η δεύτερη εξίσωση είναι ισοδύναμη με την πρώτη. Η ισοδυναμία των εξισώσεων έχει την ιδιότητα της μεταβατικότητας: αν μια εξίσωση είναι ισοδύναμη με μια άλλη και η δεύτερη είναι ισοδύναμη με μια τρίτη, τότε η πρώτη εξίσωση είναι ισοδύναμη με την τρίτη. Η ιδιότητα ισοδυναμίας των εξισώσεων μας επιτρέπει να πραγματοποιούμε μετασχηματισμούς με αυτές, στις οποίες βασίζονται οι μέθοδοι επίλυσής τους. Επίλυση εξισώσεων online.. Εξισώσεις online. Ο ιστότοπος θα σας επιτρέψει να λύσετε την εξίσωση διαδικτυακά. Οι εξισώσεις για τις οποίες είναι γνωστές οι αναλυτικές λύσεις περιλαμβάνουν αλγεβρικές εξισώσεις που δεν υπερβαίνουν τον τέταρτο βαθμό: γραμμική εξίσωση, τετραγωνική εξίσωση, κυβική εξίσωση και εξίσωση τέταρτου βαθμού. Αλγεβρικές εξισώσειςΣτη γενική περίπτωση, οι εξισώσεις υψηλότερων βαθμών δεν έχουν αναλυτικές λύσεις, αν και μερικές από αυτές μπορούν να αναχθούν σε εξισώσεις χαμηλότερων βαθμών. Οι εξισώσεις που περιλαμβάνουν υπερβατικές συναρτήσεις ονομάζονται υπερβατικές. Μεταξύ αυτών, αναλυτικές λύσεις είναι γνωστές για κάποιες τριγωνομετρικές εξισώσεις, αφού τα μηδενικά τριγωνομετρικές συναρτήσειςπολύ γνωστό. Στη γενική περίπτωση, όταν δεν μπορεί να βρεθεί αναλυτική λύση, χρησιμοποιούνται αριθμητικές μέθοδοι. Οι αριθμητικές μέθοδοι δεν παρέχουν μια ακριβή λύση, αλλά επιτρέπουν μόνο σε κάποιον να περιορίσει το διάστημα στο οποίο βρίσκεται η ρίζα σε μια συγκεκριμένη προκαθορισμένη τιμή. Επίλυση εξισώσεων σε απευθείας σύνδεση.. Εξισώσεις σε απευθείας σύνδεση.. Αντί για εξίσωση σε απευθείας σύνδεση, θα φανταστούμε πώς η ίδια έκφραση σχηματίζει μια γραμμική σχέση, όχι μόνο κατά μήκος μιας ευθείας εφαπτομένης, αλλά και στο ίδιο το σημείο καμπής του γραφήματος. Αυτή η μέθοδος είναι απαραίτητη ανά πάσα στιγμή στη μελέτη του θέματος. Συχνά συμβαίνει η επίλυση εξισώσεων να προσεγγίζει την τελική τιμή χρησιμοποιώντας άπειρους αριθμούς και γράφοντας διανύσματα. Είναι απαραίτητο να ελέγξετε τα αρχικά δεδομένα και αυτή είναι η ουσία της εργασίας. Διαφορετικά, η τοπική συνθήκη μετατρέπεται σε τύπο. Αντιστροφή σε ευθεία γραμμή από μια δεδομένη συνάρτηση, την οποία ο υπολογιστής εξίσωσης θα υπολογίσει χωρίς μεγάλη καθυστέρηση στην εκτέλεση, η μετατόπιση θα χρησιμεύσει ως προνόμιο χώρου. Θα μιλήσουμε για την επιτυχία των μαθητών στο επιστημονικό περιβάλλον. Ωστόσο, όπως όλα τα παραπάνω, θα μας βοηθήσει στη διαδικασία εύρεσης και όταν λύσετε πλήρως την εξίσωση, αποθηκεύστε την απάντηση που προκύπτει στα άκρα του ευθύγραμμου τμήματος. Οι ευθείες στο διάστημα τέμνονται σε ένα σημείο και αυτό το σημείο λέγεται τεμνόμενο από τις ευθείες. Το διάστημα στη γραμμή υποδεικνύεται όπως καθορίστηκε προηγουμένως. Θα δημοσιευτεί η υψηλότερη θέση για τη μελέτη των μαθηματικών. Η αντιστοίχιση μιας τιμής ορίσματος από μια παραμετρικά καθορισμένη επιφάνεια και η επίλυση της εξίσωσης online θα είναι σε θέση να περιγράψει τις αρχές της παραγωγικής πρόσβασης σε μια συνάρτηση. Η λωρίδα Möbius, ή το άπειρο όπως ονομάζεται, μοιάζει με οκτώ. Αυτή είναι μια μονόπλευρη επιφάνεια, όχι διπλής όψης. Σύμφωνα με την γενικά γνωστή σε όλους αρχή, θα δεχθούμε αντικειμενικά τις γραμμικές εξισώσεις ως βασικό προσδιορισμό όπως και στον τομέα της έρευνας. Μόνο δύο τιμές διαδοχικά δοσμένων ορισμάτων είναι σε θέση να αποκαλύψουν την κατεύθυνση του διανύσματος. Υποθέτοντας ότι μια άλλη λύση σε διαδικτυακές εξισώσεις είναι πολύ περισσότερα από την απλή επίλυση σημαίνει ότι θα λάβουμε ως αποτέλεσμα μια πλήρη έκδοση του αμετάβλητου. Χωρίς ολοκληρωμένη προσέγγισηΕίναι δύσκολο για τους μαθητές να μάθουν αυτό το υλικό. Όπως και πριν, για κάθε ειδική περίπτωση, ο βολικός και έξυπνος ηλεκτρονικός υπολογιστής εξισώσεων μας θα βοηθήσει όλους σε δύσκολες στιγμές, γιατί απλά πρέπει να καθορίσετε τις παραμέτρους εισόδου και το ίδιο το σύστημα θα υπολογίσει την απάντηση. Πριν ξεκινήσουμε την εισαγωγή δεδομένων, θα χρειαστούμε ένα εργαλείο εισαγωγής, το οποίο μπορεί να γίνει χωρίς ιδιαίτερη δυσκολία. Ο αριθμός κάθε εκτίμησης της απάντησης θα οδηγήσει σε μια τετραγωνική εξίσωση στα συμπεράσματά μας, αλλά αυτό δεν είναι τόσο εύκολο να γίνει, γιατί είναι εύκολο να αποδειχθεί το αντίθετο. Η θεωρία, λόγω των χαρακτηριστικών της, δεν υποστηρίζεται από πρακτικές γνώσεις. Το να βλέπεις μια αριθμομηχανή κλασμάτων στο στάδιο της δημοσίευσης της απάντησης δεν είναι εύκολη υπόθεση στα μαθηματικά, καθώς η εναλλακτική της εγγραφής ενός αριθμού σε ένα σύνολο συμβάλλει στην αύξηση της ανάπτυξης της συνάρτησης. Ωστόσο, θα ήταν λάθος να μην μιλήσουμε για εκπαίδευση μαθητών, οπότε θα πούμε ο καθένας όσα χρειάζεται να γίνει. Η κυβική εξίσωση που βρέθηκε προηγουμένως θα ανήκει δικαιωματικά στο πεδίο ορισμού και θα περιέχει το χώρο των αριθμητικών τιμών, καθώς και συμβολικές μεταβλητές. Έχοντας μάθει ή απομνημονεύσει το θεώρημα, οι μαθητές μας θα αποδείξουν τον εαυτό τους μόνο με καλύτερη πλευρά, και θα χαρούμε γι' αυτούς. Σε αντίθεση με τις τομές πολλαπλών πεδίων, οι διαδικτυακές μας εξισώσεις περιγράφονται από ένα επίπεδο κίνησης πολλαπλασιάζοντας δύο και τρεις αριθμητικές συνδυασμένες γραμμές. Ένα σύνολο στα μαθηματικά δεν ορίζεται μοναδικά. Η καλύτερη λύση, σύμφωνα με τους μαθητές, είναι η πλήρης καταγραφή της έκφρασης. Όπως ειπώθηκε στην επιστημονική γλώσσα, η αφαίρεση συμβολικών εκφράσεων δεν μπαίνει στην κατάσταση πραγμάτων, αλλά η λύση των εξισώσεων δίνει ένα σαφές αποτέλεσμα σε όλες τις γνωστές περιπτώσεις. Η διάρκεια του μαθήματος του δασκάλου εξαρτάται από τις ανάγκες αυτής της πρότασης. Η ανάλυση έδειξε την αναγκαιότητα όλων των υπολογιστικών τεχνικών σε πολλούς τομείς, και είναι απολύτως σαφές ότι μια αριθμομηχανή εξισώσεων είναι ένα απαραίτητο εργαλείο στα προικισμένα χέρια ενός μαθητή. Μια πιστή προσέγγιση στη μελέτη των μαθηματικών καθορίζει τη σημασία των απόψεων από διαφορετικές κατευθύνσεις. Θέλετε να προσδιορίσετε ένα από τα βασικά θεωρήματα και να λύσετε την εξίσωση με τέτοιο τρόπο, ανάλογα με την απάντηση της οποίας θα χρειαστεί περαιτέρω εφαρμογή της. Τα Analytics σε αυτόν τον τομέα κερδίζουν δυναμική. Ας ξεκινήσουμε από την αρχή και ας βγάλουμε τον τύπο. Έχοντας σπάσει το επίπεδο αύξησης της συνάρτησης, η ευθεία κατά μήκος της εφαπτομένης στο σημείο καμπής σίγουρα θα οδηγήσει στο γεγονός ότι η επίλυση της εξίσωσης σε απευθείας σύνδεση θα είναι μία από τις κύριες πτυχές στην κατασκευή του ίδιου γραφήματος από το όρισμα της συνάρτησης. Μια ερασιτεχνική προσέγγιση έχει το δικαίωμα να εφαρμοστεί εάν αυτή η συνθήκηδεν έρχεται σε αντίθεση με τα συμπεράσματα των μαθητών. Είναι η υποεργασία που θέτει την ανάλυση των μαθηματικών συνθηκών ως γραμμικές εξισώσεις στο υπάρχον πεδίο ορισμού του αντικειμένου που φέρεται στο παρασκήνιο. Το συμψηφισμό προς την κατεύθυνση της ορθογωνικότητας ακυρώνει το πλεονέκτημα μιας μοναδικής απόλυτης τιμής. Η διαδικτυακή επίλυση εξισώσεων Modulo δίνει τον ίδιο αριθμό λύσεων εάν ανοίξετε τις αγκύλες πρώτα με το σύμβολο συν και μετά με το σύμβολο μείον. Σε αυτή την περίπτωση, θα υπάρχουν διπλάσιες λύσεις και το αποτέλεσμα θα είναι πιο ακριβές. Σταθερό και σωστή αριθμομηχανήΟι εξισώσεις στο διαδίκτυο είναι η επιτυχία στην επίτευξη του επιδιωκόμενου στόχου στην εργασία που έχει θέσει ο δάσκαλος. Απαιτούμενη μέθοδοςφαίνεται δυνατή η επιλογή λόγω των σημαντικών διαφορών στις απόψεις μεγάλων επιστημόνων. Η προκύπτουσα τετραγωνική εξίσωση περιγράφει την καμπύλη των γραμμών, τη λεγόμενη παραβολή, και το πρόσημο θα καθορίσει την κυρτότητά της στο τετράγωνο σύστημα συντεταγμένων. Από την εξίσωση λαμβάνουμε τόσο τη διάκριση όσο και τις ίδιες τις ρίζες σύμφωνα με το θεώρημα του Vieta. Το πρώτο βήμα είναι να αναπαραστήσετε την έκφραση ως σωστό ή ακατάλληλο κλάσμα και να χρησιμοποιήσετε έναν υπολογιστή κλασμάτων. Ανάλογα με αυτό, θα διαμορφωθεί το σχέδιο για τους περαιτέρω υπολογισμούς μας. Τα μαθηματικά με θεωρητική προσέγγιση θα είναι χρήσιμα σε κάθε στάδιο. Σίγουρα θα παρουσιάσουμε το αποτέλεσμα ως κυβική εξίσωση, γιατί θα κρύψουμε τις ρίζες του σε αυτήν την έκφραση για να απλοποιήσουμε την εργασία για έναν φοιτητή σε ένα πανεπιστήμιο. Οποιεσδήποτε μέθοδοι είναι καλές εάν είναι κατάλληλες για επιφανειακή ανάλυση. Επιπλέον αριθμητικές πράξειςδεν θα οδηγήσει σε σφάλματα υπολογισμού. Καθορίζει την απάντηση με δεδομένη ακρίβεια. Χρησιμοποιώντας τη λύση των εξισώσεων, ας το παραδεχτούμε - η εύρεση της ανεξάρτητης μεταβλητής μιας δεδομένης συνάρτησης δεν είναι τόσο εύκολη, ειδικά κατά την περίοδο μελέτης παράλληλες γραμμέςστο άπειρο. Ενόψει της εξαίρεσης, η ανάγκη είναι πολύ προφανής. Η διαφορά πολικότητας είναι ξεκάθαρη. Από την εμπειρία της διδασκαλίας σε ινστιτούτα, ο δάσκαλός μας έμαθε κύριο μάθημα, στο οποίο οι εξισώσεις μελετήθηκαν διαδικτυακά με την πλήρη μαθηματική έννοια. Εδώ μιλούσαμε για υψηλότερες προσπάθειες και ειδικές δεξιότητες στην εφαρμογή της θεωρίας. Υπέρ των συμπερασμάτων μας, δεν πρέπει να κοιτάξουμε μέσα από ένα πρίσμα. Μέχρι πρόσφατα, πιστευόταν ότι ένα κλειστό σύνολο αυξάνεται γρήγορα στην περιοχή ως έχει και η λύση των εξισώσεων απλά πρέπει να διερευνηθεί. Στο πρώτο στάδιο, δεν εξετάσαμε όλες τις πιθανές επιλογές, αλλά αυτή η προσέγγιση είναι πιο δικαιολογημένη από ποτέ. Οι επιπλέον ενέργειες με αγκύλες δικαιολογούν ορισμένες προόδους κατά μήκος των αξόνων τεταγμένων και τετμημένης, οι οποίες δεν μπορούν να παραβλεφθούν με γυμνό μάτι. Με την έννοια της εκτεταμένης αναλογικής αύξησης της συνάρτησης, υπάρχει ένα σημείο καμπής. Για άλλη μια φορά θα αποδείξουμε πώς απαραίτητη προϋπόθεσηθα εφαρμοστεί σε όλο το διάστημα μείωσης της μιας ή της άλλης φθίνουσας θέσης του διανύσματος. Σε έναν περιορισμένο χώρο, θα επιλέξουμε μια μεταβλητή από το αρχικό μπλοκ του σεναρίου μας. Ένα σύστημα που κατασκευάζεται ως βάση κατά μήκος τριών διανυσμάτων είναι υπεύθυνο για την απουσία της κύριας ροπής δύναμης. Ωστόσο, η αριθμομηχανή εξίσωσης παρήγαγε και βοήθησε στην εύρεση όλων των όρων της κατασκευασμένης εξίσωσης, τόσο πάνω από την επιφάνεια όσο και κατά μήκος παράλληλων γραμμών. Ας σχεδιάσουμε έναν κύκλο γύρω από το σημείο εκκίνησης. Έτσι, θα αρχίσουμε να κινούμαστε προς τα πάνω κατά μήκος των γραμμών τομής και η εφαπτομένη θα περιγράφει τον κύκλο σε όλο το μήκος του, με αποτέλεσμα μια καμπύλη που ονομάζεται involute. Παρεμπιπτόντως, ας πούμε μια μικρή ιστορία για αυτήν την καμπύλη. Το γεγονός είναι ότι ιστορικά στα μαθηματικά δεν υπήρχε η έννοια των ίδιων των μαθηματικών στην καθαρή κατανόησή τους όπως είναι σήμερα. Προηγουμένως, όλοι οι επιστήμονες ασχολούνταν με ένα κοινό καθήκον, δηλαδή την επιστήμη. Αργότερα, αρκετούς αιώνες αργότερα, όταν επιστημονικό κόσμογεμάτη με κολοσσιαία ποσότητα πληροφοριών, η ανθρωπότητα εξακολουθούσε να αναγνωρίζει πολλούς κλάδους. Παραμένουν ακόμη αναλλοίωτες. Κι όμως, κάθε χρόνο, επιστήμονες σε όλο τον κόσμο προσπαθούν να αποδείξουν ότι η επιστήμη είναι απεριόριστη και δεν θα λύσετε την εξίσωση αν δεν έχετε γνώσεις για τις φυσικές επιστήμες. Ίσως να μην είναι δυνατόν να τεθεί τελικά ένα τέλος. Το να σκέφτεσαι αυτό είναι τόσο άσκοπο όσο το να ζεσταίνεις τον αέρα έξω. Ας βρούμε το διάστημα στο οποίο το όρισμα, εάν η τιμή του είναι θετική, θα καθορίσει το μέτρο της τιμής σε μια απότομα αυξανόμενη κατεύθυνση. Η αντίδραση θα σας βοηθήσει να βρείτε τουλάχιστον τρεις λύσεις, αλλά θα πρέπει να τις ελέγξετε. Ας ξεκινήσουμε με το γεγονός ότι πρέπει να λύσουμε την εξίσωση online χρησιμοποιώντας τη μοναδική υπηρεσία της ιστοσελίδας μας. Ας εισαγάγουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης, κάντε κλικ στο κουμπί «ΛΥΣΗ» και λάβετε την ακριβή απάντηση μέσα σε λίγα δευτερόλεπτα. ΣΕ ειδικές περιπτώσειςΑς πάρουμε ένα βιβλίο για τα μαθηματικά και ας ελέγξουμε ξανά την απάντησή μας, δηλαδή, απλά κοιτάξτε την απάντηση και όλα θα γίνουν ξεκάθαρα. Το ίδιο έργο για ένα τεχνητό πλεονάζον παραλληλεπίπεδο θα πετάξει έξω. Υπάρχει ένα παραλληλόγραμμο με τις παράλληλες πλευρές του και εξηγεί πολλές αρχές και προσεγγίσεις για τη μελέτη της χωρικής σχέσης της ανιούσας διαδικασίας συσσώρευσης κοίλου χώρου σε τύπους φυσικής μορφής. Οι διφορούμενες γραμμικές εξισώσεις δείχνουν την εξάρτηση της επιθυμητής μεταβλητής από το κοινό μας αυτή τη στιγμήχρονική λύση και πρέπει με κάποιο τρόπο να εξαγάγετε και να μειώσετε το ακατάλληλο κλάσμα σε μια μη τετριμμένη περίπτωση. Σημειώστε δέκα σημεία στην ευθεία γραμμή και σχεδιάστε μια καμπύλη σε κάθε σημείο προς τη δεδομένη κατεύθυνση, με το κυρτό σημείο προς τα πάνω. Χωρίς ιδιαίτερες δυσκολίες, η αριθμομηχανή εξίσωσης θα παρουσιάσει μια έκφραση με τέτοια μορφή που ο έλεγχος της για την εγκυρότητα των κανόνων θα είναι προφανής ακόμη και στην αρχή της εγγραφής. Το σύστημα ειδικών αναπαραστάσεων της σταθερότητας για τους μαθηματικούς έρχεται πρώτο, εκτός εάν προβλέπεται διαφορετικά από τον τύπο. Θα απαντήσουμε σε αυτό με μια λεπτομερή παρουσίαση μιας αναφοράς σχετικά με το θέμα της ισομορφικής κατάστασης ενός πλαστικού συστήματος σωμάτων και η επίλυση εξισώσεων στο διαδίκτυο θα περιγράψει την κίνηση κάθε υλικού σημείου σε αυτό το σύστημα. Σε επίπεδο εις βάθος έρευνας, θα χρειαστεί να διευκρινιστεί λεπτομερώς το ζήτημα των αναστροφών τουλάχιστον του κατώτερου στρώματος του χώρου. Με αύξουσα σειρά στο τμήμα ασυνέχειας της συνάρτησης, θα εφαρμόσουμε γενική μέθοδοςένας εξαιρετικός ερευνητής παρεμπιπτόντως συμπατριώτης μας και θα μιλήσουμε παρακάτω για τη συμπεριφορά του αεροπλάνου. Λόγω των ισχυρών χαρακτηριστικών μιας αναλυτικά καθορισμένης συνάρτησης, χρησιμοποιούμε την ηλεκτρονική αριθμομηχανή εξισώσεων μόνο για τον επιδιωκόμενο σκοπό της εντός των παραγόμενων ορίων εξουσίας. Συλλογιζόμενοι περαιτέρω, θα επικεντρώσουμε την ανασκόπησή μας στην ομοιογένεια της ίδιας της εξίσωσης, δηλαδή ότι η δεξιά πλευρά της είναι ίση με μηδέν. Ας βεβαιωθούμε για άλλη μια φορά ότι η απόφασή μας στα μαθηματικά είναι σωστή. Για να αποφύγουμε μια ασήμαντη λύση, θα κάνουμε κάποιες προσαρμογές στις αρχικές συνθήκες για το πρόβλημα της ευστάθειας υπό όρους του συστήματος. Ας δημιουργήσουμε μια τετραγωνική εξίσωση, για την οποία γράφουμε δύο καταχωρήσεις χρησιμοποιώντας έναν γνωστό τύπο και βρίσκουμε τις αρνητικές ρίζες. Εάν μια ρίζα είναι πέντε μονάδες μεγαλύτερη από τη δεύτερη και την τρίτη ρίζα, τότε κάνοντας αλλαγές στο κύριο όρισμα παραμορφώνουμε έτσι τις αρχικές συνθήκες της δευτερεύουσας εργασίας. Από τη φύση του, κάτι ασυνήθιστο στα μαθηματικά μπορεί πάντα να περιγραφεί στο πλησιέστερο εκατοστό ενός θετικού αριθμού. Ο υπολογιστής κλασμάτων είναι αρκετές φορές ανώτερος από τους αναλόγους του σε παρόμοιους πόρους την καλύτερη στιγμή φόρτωσης διακομιστή. Στην επιφάνεια του διανύσματος ταχύτητας που αναπτύσσεται κατά μήκος του άξονα τεταγμένων, σχεδιάζουμε επτά γραμμές, λυγισμένες σε κατευθύνσεις αντίθετες μεταξύ τους. Η συγκρισιμότητα του ορίσματος της εκχωρημένης συνάρτησης είναι μπροστά από τις μετρήσεις του μετρητή υπολοίπου ανάκτησης. Στα μαθηματικά, μπορούμε να αναπαραστήσουμε αυτό το φαινόμενο μέσω μιας κυβικής εξίσωσης με φανταστικούς συντελεστές, καθώς και στη διπολική πρόοδο φθίνουσας ευθείας. Κρίσιμα σημείαΟι διαφορές θερμοκρασίας με πολλούς τρόπους περιγράφουν τη διαδικασία αποσύνθεσης μιας σύνθετης κλασματικής συνάρτησης σε παράγοντες. Εάν σας λένε να λύσετε μια εξίσωση, μην βιαστείτε να το κάνετε αμέσως, οπωσδήποτε πρώτα αξιολογήστε ολόκληρο το σχέδιο δράσης και μόνο μετά αποδεχτείτε η σωστή προσέγγιση. Σίγουρα θα υπάρχουν οφέλη. Η ευκολία στη δουλειά είναι εμφανής και το ίδιο ισχύει και στα μαθηματικά. Λύστε την εξίσωση διαδικτυακά. Όλες οι διαδικτυακές εξισώσεις αντιπροσωπεύουν έναν ορισμένο τύπο εγγραφής αριθμών ή παραμέτρων και μια μεταβλητή που πρέπει να προσδιοριστεί. Υπολογίστε αυτήν ακριβώς τη μεταβλητή, δηλαδή βρείτε συγκεκριμένες τιμές ή διαστήματα ενός συνόλου τιμών στις οποίες θα ισχύει η ταυτότητα. Οι αρχικές και οι τελικές συνθήκες εξαρτώνται άμεσα. ΣΕ κοινή απόφασηΟι εξισώσεις συνήθως περιλαμβάνουν κάποιες μεταβλητές και σταθερές, ορίζοντας τις οποίες θα λάβουμε ολόκληρες οικογένειες λύσεων για μια δεδομένη πρόταση προβλήματος. Σε γενικές γραμμές, αυτό δικαιολογεί τις προσπάθειες που καταβάλλονται για την αύξηση της λειτουργικότητας ενός χωρικού κύβου με πλευρά ίση με 100 εκατοστά. Μπορείτε να εφαρμόσετε ένα θεώρημα ή ένα λήμμα σε οποιοδήποτε στάδιο της κατασκευής μιας απάντησης. Η τοποθεσία παράγει σταδιακά μια αριθμομηχανή εξισώσεων, εάν είναι απαραίτητο, σε οποιοδήποτε διάστημα άθροισης των εμφανιζόμενων προϊόντων μικρότερη τιμή. Στις μισές περιπτώσεις, μια τέτοια μπάλα, επειδή είναι κούφια, δεν πληροί πλέον τις απαιτήσεις για τον καθορισμό μιας ενδιάμεσης απάντησης. Τουλάχιστον στον άξονα τεταγμένων προς την κατεύθυνση της φθίνουσας αναπαράστασης διανυσμάτων, αυτή η αναλογία θα είναι αναμφίβολα βέλτιστη από την προηγούμενη έκφραση. Την ώρα που γραμμικές συναρτήσειςθα πραγματοποιηθεί μια πλήρης ανάλυση σημείων, στην πραγματικότητα θα συγκεντρώσουμε όλους τους μιγαδικούς αριθμούς και τους διπολικούς επίπεδους χώρους μας. Αντικαθιστώντας μια μεταβλητή στην παράσταση που προκύπτει, θα λύσετε την εξίσωση βήμα προς βήμα και θα δώσετε την πιο λεπτομερή απάντηση με υψηλή ακρίβεια. Καλό θα ήταν από την πλευρά ενός μαθητή να ελέγξει ξανά τις ενέργειές του στα μαθηματικά. Η αναλογία στην αναλογία των κλασμάτων κατέγραψε την ακεραιότητα του αποτελέσματος σε όλους τους σημαντικούς τομείς δραστηριότητας του μηδενικού διανύσματος. Η επιπολαιότητα επιβεβαιώνεται στο τέλος των ολοκληρωμένων ενεργειών. Με μια απλή εργασία, οι μαθητές μπορεί να μην έχουν καμία δυσκολία εάν λύσουν την εξίσωση διαδικτυακά στο συντομότερο δυνατό χρόνο, αλλά μην ξεχνάτε όλους τους διαφορετικούς κανόνες. Ένα σύνολο υποσυνόλων τέμνεται σε μια περιοχή συγκλίνουσας σημειογραφίας. ΣΕ διαφορετικές περιπτώσειςτο προϊόν δεν έχει παραγοντοποιηθεί εσφαλμένα. Θα βοηθηθείτε να λύσετε την εξίσωση στο διαδίκτυο στην πρώτη μας ενότητα, αφιερωμένη στα βασικά των μαθηματικών τεχνικών για σημαντικά τμήματα για φοιτητές σε πανεπιστήμια και τεχνικές σχολές. Δεν θα χρειαστεί να περιμένουμε λίγες μέρες για απαντήσεις, καθώς η διαδικασία της καλύτερης αλληλεπίδρασης της διανυσματικής ανάλυσης με τη διαδοχική εύρεση λύσεων κατοχυρώθηκε με δίπλωμα ευρεσιτεχνίας στις αρχές του περασμένου αιώνα. Αποδεικνύεται ότι οι προσπάθειες για τη δημιουργία σχέσεων με τη γύρω ομάδα δεν ήταν μάταιες· προφανώς κάτι άλλο χρειαζόταν πρώτα. Αρκετές γενιές αργότερα, επιστήμονες σε όλο τον κόσμο έκαναν τους ανθρώπους να πιστεύουν ότι τα μαθηματικά είναι η βασίλισσα των επιστημών. Είτε πρόκειται για την αριστερή απάντηση είτε για τη δεξιά, παρόλα αυτά, οι εξαντλητικοί όροι πρέπει να γράφονται σε τρεις σειρές, αφού στην περίπτωσή μας σίγουρα θα μιλάμε μόνο για διανυσματική ανάλυση των ιδιοτήτων του πίνακα. Οι μη γραμμικές και οι γραμμικές εξισώσεις, μαζί με τις διτετραγωνικές εξισώσεις, έχουν ιδιαίτερη θέση στο βιβλίο μας για βέλτιστες πρακτικέςυπολογίζοντας την τροχιά της κίνησης στο χώρο όλων υλικά σημείακλειστό σύστημα. Μια γραμμική ανάλυση του κλιμακωτού γινόμενου τριών διαδοχικών διανυσμάτων θα μας βοηθήσει να δώσουμε ζωή στην ιδέα. Στο τέλος κάθε δήλωσης, η εργασία γίνεται ευκολότερη με την εφαρμογή βελτιστοποιημένων αριθμητικών εξαιρέσεων σε όλες τις επικαλύψεις διαστήματος αριθμών που εκτελούνται. Μια διαφορετική κρίση δεν θα αντιπαραβάλει την απάντηση που βρέθηκε στο αυθαίρετο σχήμα ενός τριγώνου σε κύκλο. Η γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων περιέχει το απαιτούμενο ποσοστό περιθωρίου και η επίλυση εξισώσεων στο διαδίκτυο συχνά αποκαλύπτει ένα ορισμένο κοινή ρίζαεξισώσεις σε αντίθεση με τις αρχικές συνθήκες. Η εξαίρεση παίζει ρόλο καταλύτη σε όλη την αναπόφευκτη διαδικασία εξεύρεσης μιας θετικής λύσης στον τομέα του ορισμού μιας συνάρτησης. Εάν δεν λέγεται ότι δεν μπορείτε να χρησιμοποιήσετε υπολογιστή, τότε ένας ηλεκτρονικός υπολογιστής εξισώσεων είναι ο κατάλληλος για τα δύσκολα προβλήματά σας. Απλώς πρέπει να εισαγάγετε τα δεδομένα υπό όρους στη σωστή μορφή και ο διακομιστής μας θα εκδώσει μια πλήρη απάντηση που θα προκύψει το συντομότερο δυνατό. Μια εκθετική συνάρτηση αυξάνεται πολύ πιο γρήγορα από μια γραμμική. Το μαρτυρούν τα Ταλμούδ της λογοτεχνίας της έξυπνης βιβλιοθήκης. Θα εκτελέσει έναν υπολογισμό με τη γενική έννοια, όπως θα έκανε μια δεδομένη τετραγωνική εξίσωση με τρεις μιγαδικούς συντελεστές. Η παραβολή στο πάνω μέρος του ημιεπίπεδου χαρακτηρίζει την ευθύγραμμη παράλληλη κίνηση κατά μήκος των αξόνων του σημείου. Εδώ αξίζει να αναφέρουμε τη διαφορά δυναμικού στον χώρο εργασίας του αμαξώματος. Σε αντάλλαγμα για ένα μη βέλτιστο αποτέλεσμα, η αριθμομηχανή κλασμάτων μας καταλαμβάνει δικαίως την πρώτη θέση στη μαθηματική βαθμολογία της ανασκόπησης λειτουργικών προγραμμάτων από την πλευρά του διακομιστή. Η ευκολία χρήσης αυτής της υπηρεσίας θα εκτιμηθεί από εκατομμύρια χρήστες του Διαδικτύου. Εάν δεν ξέρετε πώς να το χρησιμοποιήσετε, θα χαρούμε να σας βοηθήσουμε. Θα θέλαμε επίσης να σημειώσουμε και να τονίσουμε ιδιαίτερα την κυβική εξίσωση από μια σειρά προβλημάτων του δημοτικού σχολείου, όταν είναι απαραίτητο να βρούμε γρήγορα τις ρίζες της και να κατασκευάσουμε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης σε ένα επίπεδο. Ανώτερα πτυχίαη αναπαραγωγή είναι ένα από τα δύσκολα μαθηματικά προβλήματαστο ινστιτούτο και διατίθεται επαρκής αριθμός ωρών για τη φοίτησή του. Όπως όλες οι γραμμικές εξισώσεις, η δική μας δεν αποτελεί εξαίρεση σύμφωνα με πολλούς αντικειμενικούς κανόνες· κοιτάξτε από διαφορετικές οπτικές γωνίες και αποδεικνύεται ότι είναι απλή και επαρκής για να ορίσετε τις αρχικές συνθήκες. Το διάστημα της αύξησης συμπίπτει με το διάστημα κυρτότητας της συνάρτησης. Επίλυση εξισώσεων διαδικτυακά. Η μελέτη της θεωρίας βασίζεται σε διαδικτυακές εξισώσεις από πολλές ενότητες για τη μελέτη του κύριου κλάδου. Στην περίπτωση αυτής της προσέγγισης σε αβέβαια προβλήματα, είναι πολύ απλό να παρουσιαστεί η λύση των εξισώσεων σε μια προκαθορισμένη μορφή και όχι μόνο να εξαχθούν συμπεράσματα, αλλά και να προβλεφθεί το αποτέλεσμα μιας τόσο θετικής λύσης. Μια υπηρεσία στις καλύτερες παραδόσεις των μαθηματικών θα μας βοηθήσει να μάθουμε τη θεματική περιοχή, όπως συνηθίζεται στην Ανατολή. Στις καλύτερες στιγμές του χρονικού διαστήματος, παρόμοιες εργασίες πολλαπλασιάζονταν με έναν κοινό συντελεστή δέκα. Η αφθονία των πολλαπλασιασμών πολλαπλών μεταβλητών στην αριθμομηχανή εξίσωσης άρχισε να πολλαπλασιάζεται με την ποιότητα και όχι με ποσοτικές μεταβλητές όπως η μάζα ή το σωματικό βάρος. Προκειμένου να αποφευχθούν περιπτώσεις ανισορροπίας του υλικού συστήματος, η παραγωγή ενός τρισδιάστατου μετασχηματιστή στην ασήμαντη σύγκλιση των μη εκφυλισμένων μαθηματικών πινάκων είναι αρκετά προφανής σε εμάς. Ολοκληρώστε την εργασία και λύστε την εξίσωση στις δεδομένες συντεταγμένες, αφού το συμπέρασμα είναι άγνωστο εκ των προτέρων, όπως και όλες οι μεταβλητές που περιλαμβάνονται στον μεταχωρικό χρόνο. Επί βραχυπρόθεσμαμετακινήστε τον κοινό παράγοντα πέρα ​​από τις παρενθέσεις και διαιρέστε εκ των προτέρων και τις δύο πλευρές με τον μεγαλύτερο κοινό παράγοντα. Από κάτω από το καλυμμένο υποσύνολο αριθμών που προκύπτει, εξάγετε με λεπτομερή τρόπο τριάντα τρία σημεία στη σειρά σε σύντομο χρονικό διάστημα. Στο βαθμό που με τον καλύτερο δυνατό τρόποΗ επίλυση μιας εξίσωσης στο διαδίκτυο είναι δυνατή για κάθε μαθητή. Κοιτώντας μπροστά, ας πούμε ένα σημαντικό αλλά βασικό πράγμα, χωρίς το οποίο θα είναι δύσκολο να ζήσει κανείς στο μέλλον. Τον περασμένο αιώνα, ο μεγάλος επιστήμονας παρατήρησε μια σειρά από μοτίβα στη θεωρία των μαθηματικών. Στην πράξη, το αποτέλεσμα δεν ήταν η αναμενόμενη εντύπωση των γεγονότων. Ωστόσο, κατ' αρχήν, αυτή ακριβώς η λύση των εξισώσεων στο διαδίκτυο βοηθά στη βελτίωση της κατανόησης και της αντίληψης μιας ολιστικής προσέγγισης στη μελέτη και στην πρακτική εμπέδωση του θεωρητικού υλικού που καλύπτουν οι μαθητές. Είναι πολύ πιο εύκολο να το κάνετε αυτό κατά τη διάρκεια της μελέτης σας.

=

Οδηγίες

Μέθοδος αντικατάστασηςΕκφράστε μια μεταβλητή και αντικαταστήστε την με μια άλλη εξίσωση. Μπορείτε να εκφράσετε οποιαδήποτε μεταβλητή κατά την κρίση σας. Για παράδειγμα, εκφράστε το y από τη δεύτερη εξίσωση:
x-y=2 => y=x-2 Στη συνέχεια αντικαταστήστε τα πάντα στην πρώτη εξίσωση:
2x+(x-2)=10 Μετακινήστε τα πάντα χωρίς «x» στη δεξιά πλευρά και υπολογίστε:
2x+x=10+2
3x=12 Στη συνέχεια, για να πάρετε το x, διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 3:
x=4. Έτσι, βρήκατε το «x. Βρείτε το "y. Για να το κάνετε αυτό, αντικαταστήστε το "x" στην εξίσωση από την οποία εκφράσατε το "y":
y=x-2=4-2=2
y=2.

Κάντε έναν έλεγχο. Για να το κάνετε αυτό, αντικαταστήστε τις προκύπτουσες τιμές στις εξισώσεις:
2*4+2=10
4-2=2
Τα άγνωστα βρέθηκαν σωστά!

Ένας τρόπος για να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε εξισώσεις Ξεφορτωθείτε οποιαδήποτε μεταβλητή αμέσως. Στην περίπτωσή μας, αυτό είναι πιο εύκολο να γίνει με το «y.
Δεδομένου ότι στο "y" υπάρχει το σύμβολο "+" και στο δεύτερο "-", τότε μπορείτε να εκτελέσετε τη λειτουργία πρόσθεσης, δηλ. διπλώστε την αριστερή πλευρά με την αριστερή και τη δεξιά με τη δεξιά:
2x+y+(x-y)=10+2Μετατροπή:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4 Αντικαταστήστε το «x» σε οποιαδήποτε εξίσωση και βρείτε το «y»:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=2Με την 1η μέθοδο μπορείτε να δείτε ότι βρέθηκαν σωστά.

Εάν δεν υπάρχουν σαφώς καθορισμένες μεταβλητές, τότε είναι απαραίτητο να μετασχηματιστούν ελαφρώς οι εξισώσεις.
Στην πρώτη εξίσωση έχουμε «2x» και στη δεύτερη έχουμε απλώς «x». Για να μειωθεί το x κατά την πρόσθεση, πολλαπλασιάστε τη δεύτερη εξίσωση επί 2:
x-y=2
2x-2y=4Στη συνέχεια αφαιρέστε τη δεύτερη από την πρώτη εξίσωση:
2x+y-(2x-2y)=10-4 Σημειώστε ότι αν υπάρχει ένα μείον πριν από το στήριγμα, μετά το άνοιγμα, αλλάξτε το στο αντίθετο:
2x+y-2x+2y=6
3υ=6
βρείτε y=2x εκφράζοντας από οποιαδήποτε εξίσωση, δηλ.
x=4

Βίντεο σχετικά με το θέμα

Συμβουλή 2: Πώς να λύσετε μια γραμμική εξίσωση σε δύο μεταβλητές

Η εξίσωση, γραμμένο σε γενική μορφή ax+bу+c=0, ονομάζεται γραμμική εξίσωση με δύο μεταβλητές. Μια τέτοια εξίσωση περιέχει από μόνη της έναν άπειρο αριθμό λύσεων, επομένως στα προβλήματα συμπληρώνεται πάντα με κάτι - μια άλλη εξίσωση ή περιοριστικές συνθήκες. Ανάλογα με τις συνθήκες που παρέχει το πρόβλημα, να λύσετε μια γραμμική εξίσωση με δύο μεταβλητέςπρέπει διαφορετικοί τρόποι.

Θα χρειαστείτε

• - γραμμική εξίσωση με δύο μεταβλητές.
• - δεύτερη εξίσωση ή πρόσθετες συνθήκες.

Οδηγίες

Δίνεται ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων, λύστε το ως εξής. Επιλέξτε μία από τις εξισώσεις στις οποίες βρίσκονται οι συντελεστές μεταβλητέςμικρότερο και εκφράζει μία από τις μεταβλητές, για παράδειγμα, x. Στη συνέχεια, αντικαταστήστε αυτή την τιμή που περιέχει το y στη δεύτερη εξίσωση. Στην εξίσωση που προκύπτει θα υπάρχει μόνο μία μεταβλητή y, μετακινήστε όλα τα μέρη με το y στην αριστερή πλευρά και τα ελεύθερα προς τα δεξιά. Βρείτε το y και αντικαταστήστε με οποιαδήποτε από τις αρχικές εξισώσεις για να βρείτε το x.

Υπάρχει ένας άλλος τρόπος να λύσουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων. Πολλαπλασιάστε μια από τις εξισώσεις με έναν αριθμό έτσι ώστε ο συντελεστής μιας από τις μεταβλητές, όπως x, να είναι ίδιος και στις δύο εξισώσεις. Στη συνέχεια αφαιρέστε τη μία από τις εξισώσεις από την άλλη (αν η δεξιά πλευρά δεν είναι ίση με 0, θυμηθείτε να αφαιρέσετε τις δεξιές πλευρές με τον ίδιο τρόπο). Θα δείτε ότι η μεταβλητή x έχει εξαφανιστεί και παραμένει μόνο μία μεταβλητή y. Λύστε την εξίσωση που προκύπτει και αντικαταστήστε την τιμή του y που βρέθηκε σε οποιαδήποτε από τις αρχικές ισότητες. Βρείτε το x.

Ο τρίτος τρόπος επίλυσης ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων είναι ο γραφικός. Σχεδιάστε ένα σύστημα συντεταγμένων και γράψτε δύο ευθείες γραμμές των οποίων οι εξισώσεις δίνονται στο σύστημά σας. Για να το κάνετε αυτό, αντικαταστήστε οποιεσδήποτε δύο τιμές x στην εξίσωση και βρείτε το αντίστοιχο y - αυτές θα είναι οι συντεταγμένες των σημείων που ανήκουν στη γραμμή. Ο πιο βολικός τρόπος για να βρείτε την τομή με τους άξονες συντεταγμένων είναι απλώς να αντικαταστήσετε τις τιμές x=0 και y=0. Οι συντεταγμένες του σημείου τομής αυτών των δύο ευθειών θα είναι οι εργασίες.

Εάν υπάρχει μόνο μία γραμμική εξίσωση στις προβληματικές συνθήκες, τότε σας έχουν δοθεί πρόσθετες συνθήκες μέσω των οποίων μπορείτε να βρείτε μια λύση. Διαβάστε προσεκτικά το πρόβλημα για να βρείτε αυτές τις συνθήκες. Αν μεταβλητέςΤα x και y υποδεικνύουν απόσταση, ταχύτητα, βάρος - μη διστάσετε να ορίσετε το όριο x≥0 και y≥0. Είναι πολύ πιθανό το x ή το y να κρύβει τον αριθμό των μήλων κ.λπ. – τότε οι τιμές μπορούν να είναι μόνο . Εάν το x είναι η ηλικία του γιου, είναι σαφές ότι δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερος από τον πατέρα του, οπότε υποδείξτε αυτό στις συνθήκες του προβλήματος.

Πηγές:

• πώς να λύσετε μια εξίσωση με μία μεταβλητή

Από μόνο του την εξίσωσημε τρεις άγνωστοςέχει πολλές λύσεις, επομένως τις περισσότερες φορές συμπληρώνεται από δύο ακόμη εξισώσεις ή συνθήκες. Ανάλογα με το ποια είναι τα αρχικά δεδομένα, θα εξαρτηθεί σε μεγάλο βαθμό η πορεία της απόφασης.

Θα χρειαστείτε

• - ένα σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους.

Οδηγίες

Εάν δύο από τα τρία συστήματα έχουν μόνο δύο από τα τρία άγνωστα, προσπαθήστε να εκφράσετε ορισμένες μεταβλητές ως προς τις υπόλοιπες και να τις αντικαταστήσετε σε την εξίσωσημε τρεις άγνωστος. Ο στόχος σας σε αυτή την περίπτωση είναι να το μετατρέψετε σε κανονικό την εξίσωσημε άγνωστο άτομο. Εάν αυτό είναι , η περαιτέρω λύση είναι αρκετά απλή - αντικαταστήστε την τιμή που βρέθηκε με άλλες εξισώσεις και βρείτε όλους τους άλλους άγνωστους.

Ορισμένα συστήματα εξισώσεων μπορούν να αφαιρεθούν από μια εξίσωση με μια άλλη. Δείτε αν είναι δυνατό να πολλαπλασιάσετε ένα από ή μια μεταβλητή έτσι ώστε δύο άγνωστα να ακυρωθούν ταυτόχρονα. Εάν υπάρχει μια τέτοια ευκαιρία, εκμεταλλευτείτε την· πιθανότατα, η επόμενη λύση δεν θα είναι δύσκολη. Θυμηθείτε ότι όταν πολλαπλασιάζετε με έναν αριθμό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε και την αριστερή και τη δεξιά πλευρά. Ομοίως, κατά την αφαίρεση των εξισώσεων, πρέπει να θυμάστε ότι πρέπει να αφαιρεθεί και η δεξιά πλευρά.

Εάν οι προηγούμενες μέθοδοι δεν βοήθησαν, χρησιμοποιήστε με γενικό τρόπολύσεις οποιωνδήποτε εξισώσεων με τρία άγνωστος. Για να το κάνετε αυτό, ξαναγράψτε τις εξισώσεις με τη μορφή a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Τώρα δημιουργήστε έναν πίνακα συντελεστών για το x (A), έναν πίνακα αγνώστων (X) και έναν πίνακα ελεύθερων (B). Σημειώστε ότι πολλαπλασιάζοντας τον πίνακα των συντελεστών με τον πίνακα των αγνώστων, θα λάβετε έναν πίνακα ελεύθερων όρων, δηλαδή A*X=B.

Βρείτε τον πίνακα Α στην ισχύ (-1) βρίσκοντας πρώτα το , σημειώστε ότι δεν πρέπει να είναι ίσο με μηδέν. Μετά από αυτό, πολλαπλασιάστε τον προκύπτοντα πίνακα με τον πίνακα Β, ως αποτέλεσμα θα λάβετε τον επιθυμητό πίνακα X, υποδεικνύοντας όλες τις τιμές.

Μπορείτε επίσης να βρείτε μια λύση σε ένα σύστημα τριών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Cramer. Για να το κάνετε αυτό, βρείτε την ορίζουσα Δ τρίτης τάξης που αντιστοιχεί στον πίνακα συστήματος. Στη συνέχεια, βρείτε διαδοχικά τρεις ακόμη ορίζουσες Δ1, Δ2 και Δ3, αντικαθιστώντας τις τιμές των ελεύθερων όρων αντί για τις τιμές των αντίστοιχων στηλών. Τώρα βρείτε το x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Πηγές:

• λύσεις σε εξισώσεις με τρεις αγνώστους

Η επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων είναι προκλητική και συναρπαστική. Πως πιο πολύπλοκο σύστημα, τόσο πιο ενδιαφέρον είναι να το λύσουμε. Τις περισσότερες φορές στα μαθηματικά ΛύκειοΥπάρχουν συστήματα εξισώσεων με δύο άγνωστα, αλλά στα ανώτερα μαθηματικά μπορεί να υπάρχουν περισσότερες μεταβλητές. Τα συστήματα μπορούν να επιλυθούν χρησιμοποιώντας διάφορες μεθόδους.

Οδηγίες

Η πιο κοινή μέθοδος για την επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων είναι η αντικατάσταση. Για να γίνει αυτό, πρέπει να εκφράσετε μια μεταβλητή ως προς την άλλη και να την αντικαταστήσετε με τη δεύτερη την εξίσωσησυστήματα, οδηγώντας έτσι την εξίσωσησε μία μεταβλητή. Για παράδειγμα, δίνονται οι ακόλουθες εξισώσεις: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.

Από τη δεύτερη παράσταση είναι βολικό να εκφράσουμε μία από τις μεταβλητές, μετακινώντας όλα τα άλλα στη δεξιά πλευρά της παράστασης, χωρίς να ξεχνάμε να αλλάξουμε το πρόσημο του συντελεστή: x = 3-y.

Ανοίξτε τις αγκύλες: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1. Αντικαθιστούμε την τιμή y που προκύπτει στην παράσταση: x=3-y;x=3-1;x=2 .

Στην πρώτη έκφραση, όλοι οι όροι είναι 2, μπορείτε να αφαιρέσετε 2 από την αγκύλα στην κατανεμητική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού: 2*(2x-y-3)=0. Τώρα και τα δύο μέρη της παράστασης μπορούν να μειωθούν κατά αυτόν τον αριθμό και στη συνέχεια να εκφραστούν ως y, αφού ο συντελεστής συντελεστή για αυτήν είναι ίσος με ένα: -y = 3-2x ή y = 2x-3.

Όπως και στην πρώτη περίπτωση, αντικαθιστούμε αυτήν την έκφραση με τη δεύτερη την εξίσωσηκαι παίρνουμε: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2. Αντικαταστήστε την τιμή που προκύπτει στην παράσταση: y=2x -3;y=4-3=1.

Βλέπουμε ότι ο συντελεστής για το y είναι ίδιος σε τιμή, αλλά διαφορετικός ως προς το πρόσημο, επομένως, αν προσθέσουμε αυτές τις εξισώσεις, θα απαλλαγούμε εντελώς από το y: 4x+3x-2y+2y-6-8=0· 7x- 14=0 x=2 Αντικαταστήστε την τιμή του x σε οποιαδήποτε από τις δύο εξισώσεις του συστήματος και λάβετε y=1.

Βίντεο σχετικά με το θέμα

Διτετραγωνικό την εξίσωσηαντιπροσωπεύει την εξίσωσητέταρτο βαθμό, γενική μορφήπου παριστάνεται με την έκφραση ax^4 + bx^2 + c = 0. Η λύση του βασίζεται στη χρήση της μεθόδου αντικατάστασης αγνώστων. ΣΕ σε αυτήν την περίπτωσηΤο x^2 αντικαθίσταται από μια άλλη μεταβλητή. Έτσι, το αποτέλεσμα είναι ένα συνηθισμένο τετράγωνο την εξίσωση, που πρέπει να λυθεί.

Οδηγίες

Λύστε το τετραγωνικό την εξίσωση, που προκύπτει από την αντικατάσταση. Για να το κάνετε αυτό, υπολογίστε πρώτα την τιμή σύμφωνα με τον τύπο: D = b^2; 4ac. Στην περίπτωση αυτή, οι μεταβλητές a, b, c είναι οι συντελεστές της εξίσωσής μας.

Βρείτε τις ρίζες της διτετραγωνικής εξίσωσης. Για να το κάνετε αυτό, πάρτε την τετραγωνική ρίζα των λυμάτων που ελήφθησαν. Εάν υπήρχε μία λύση, τότε θα υπάρχουν δύο - μια θετική και αρνητική τιμή της τετραγωνικής ρίζας. Αν υπήρχαν δύο λύσεις, η διτετραγωνική εξίσωση θα έχει τέσσερις ρίζες.

Βίντεο σχετικά με το θέμα

Μία από τις κλασσικές μεθόδους για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων είναι η μέθοδος Gauss. Συνίσταται στη διαδοχική εξάλειψη μεταβλητών όταν χρησιμοποιεί ένα σύστημα εξισώσεων απλές μεταμορφώσειςμεταφράζεται σε ένα σταδιακό σύστημα, από το οποίο βρίσκονται όλες οι μεταβλητές διαδοχικά, ξεκινώντας από την τελευταία.

Οδηγίες

Πρώτα, φέρτε το σύστημα των εξισώσεων σε μια μορφή όπου όλοι οι άγνωστοι είναι σε μια αυστηρά καθορισμένη σειρά. Για παράδειγμα, όλα τα άγνωστα Χ θα εμφανίζονται πρώτα σε κάθε γραμμή, όλα τα Υ θα έρχονται μετά τα Χ, όλα τα Ζ θα έρχονται μετά τα Υ και ούτω καθεξής. Δεν πρέπει να υπάρχουν άγνωστοι στη δεξιά πλευρά κάθε εξίσωσης. Προσδιορίστε νοερά τους συντελεστές μπροστά από κάθε άγνωστο, καθώς και τους συντελεστές στη δεξιά πλευρά κάθε εξίσωσης.