Γειά σου, Αγαπητοί φίλοι και φίλες! Συνεχίζουμε να εξετάζουμε εργασίες που σχετίζονται με τη μελέτη των λειτουργιών. Το προτείνω, το οποίο είναι απαραίτητο για την επίλυση προβλημάτων εύρεσης της μέγιστης (ελάχιστης) τιμής μιας συνάρτησης και εύρεσης των μέγιστων (ελάχιστων) σημείων μιας συνάρτησης.
Προβλήματα με λογάριθμους για την εύρεση της μεγαλύτερης (μικρότερης) τιμής της συνάρτησης εμείς. Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε τρία προβλήματα στα οποία το ερώτημα είναι η εύρεση των μέγιστων (ελάχιστων) σημείων συναρτήσεων και η δεδομένη συνάρτηση περιέχει έναν φυσικό λογάριθμο.
Θεωρητικό σημείο:
Εξ ορισμού του λογάριθμου, η έκφραση κάτω από το πρόσημο του λογάριθμου πρέπει να είναι μεγαλύτερη από το μηδέν. *Αυτό πρέπει να λαμβάνεται υπόψη όχι μόνο σε αυτά τα προβλήματα, αλλά και κατά την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων που περιέχουν λογάριθμο.
Αλγόριθμος για την εύρεση μέγιστων (ελάχιστων) σημείων μιας συνάρτησης:
1. Να υπολογίσετε την παράγωγο της συνάρτησης.
2. Το εξισώνουμε με το μηδέν και λύνουμε την εξίσωση.
3. Σημειώνουμε τις ρίζες που προκύπτουν στην αριθμητική γραμμή.*Σημειώνουμε επίσης τα σημεία στα οποία δεν υπάρχει η παράγωγος. Ας λάβουμε τα διαστήματα κατά τα οποία αυξάνεται ή μειώνεται η συνάρτηση.
4. Προσδιορίστε τα πρόσημα της παραγώγου σε αυτά τα διαστήματα (αντικαθιστώντας αυθαίρετες τιμές από αυτά στην παράγωγο).
5. Βγάζουμε συμπέρασμα.
Να βρείτε το μέγιστο σημείο της συνάρτησης y = ln (x–11)–5x+2
Ας γράψουμε αμέσως ότι x–11>0 (με τον ορισμό ενός λογάριθμου), δηλαδή x > 11.
Θα εξετάσουμε τη συνάρτηση στο διάστημα (11;∞).
Ας βρούμε τα μηδενικά της παραγώγου:
Το σημείο x = 11 δεν περιλαμβάνεται στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης και η παράγωγος δεν υπάρχει σε αυτό. Σημειώνουμε δύο σημεία 11 και 11,2 στον αριθμητικό άξονα. Ας προσδιορίσουμε τα σημάδια της παραγώγου της συνάρτησης αντικαθιστώντας αυθαίρετες τιμές από τα διαστήματα (11;11,2) και (11,2;+∞) στην ευρεθείσα παράγωγο και να απεικονίσουμε τη συμπεριφορά της συνάρτησης στο σχήμα :
Έτσι, στο σημείο x = 11,2, η παράγωγος της συνάρτησης αλλάζει πρόσημο από θετικό σε αρνητικό, που σημαίνει ότι αυτό είναι το επιθυμητό μέγιστο σημείο.
Απάντηση: 11.2
Αποφασίστε μόνοι σας:
Να βρείτε το μέγιστο σημείο της συνάρτησης y=ln (x+5)–2x+9.
Να βρείτε το ελάχιστο σημείο της συνάρτησης y=4x– ln (x+5)+8
Ας γράψουμε αμέσως ότι x+5>0 (με την ιδιότητα του λογάριθμου), δηλαδή x>–5.
Θα εξετάσουμε τη συνάρτηση στο διάστημα (– 5;+∞).
Ας βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης:
Ας βρούμε τα μηδενικά της παραγώγου:
Σημείο x = –5 δεν περιλαμβάνεται στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης και η παράγωγος δεν υπάρχει σε αυτήν. Σημειώστε δύο σημεία στον αριθμητικό άξονα–5 και –4,75. Ας προσδιορίσουμε τα σημάδια της παραγώγου της συνάρτησης αντικαθιστώντας αυθαίρετες τιμές από τα διαστήματα (–5;–4,75) και (–4,75;+∞) στην ευρεθείσα παράγωγο και να απεικονίσουμε τη συμπεριφορά της συνάρτησης στο σχήμα:
Έτσι, στο σημείο x = –4,75, η παράγωγος της συνάρτησης αλλάζει πρόσημο από αρνητικό σε θετικό, που σημαίνει ότι αυτό είναι το επιθυμητό ελάχιστο σημείο.
Απάντηση: – 4,75
Αποφασίστε μόνοι σας:
Να βρείτε το ελάχιστο σημείο της συνάρτησης y=2x–ln (x+3)+7.
Να βρείτε το μέγιστο σημείο της συνάρτησης y = x 2 –34x+140lnx–10
Σύμφωνα με την ιδιότητα ενός λογάριθμου, η έκφραση κάτω από το πρόσημο του είναι μεγαλύτερη από το μηδέν, δηλαδή x > 0.
Θα εξετάσουμε τη συνάρτηση στο διάστημα (0; +∞).
Ας βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης:
Ας βρούμε τα μηδενικά της παραγώγου:
Αποφασίζοντας τετραγωνική εξίσωση, παίρνουμε: D = 9 x 1 = 10 x 2 = 7.
Σημείο x = 0 δεν περιλαμβάνεται στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης και η παράγωγος δεν υπάρχει σε αυτήν. Σημειώνουμε τρία σημεία στον αριθμητικό άξονα 0, 7και 10.
Ο άξονας του βοδιού χωρίζεται σε διαστήματα: (0;7), (7;10), (10; +∞).
Ας προσδιορίσουμε τα σημάδια της παραγώγου της συνάρτησης αντικαθιστώντας αυθαίρετες τιμές από τα ληφθέντα διαστήματα στην ευρεθείσα παράγωγο και απεικονίσουμε τη συμπεριφορά της συνάρτησης στο σχήμα:
Αυτό είναι όλο. Σου εύχομαι επιτυχία!
Με εκτίμηση, Alexander Krutitskikh
P.S: Θα σας ήμουν ευγνώμων αν πείτε για τον ιστότοπο στα κοινωνικά δίκτυα.
77419.Να βρείτε το μέγιστο σημείο της συνάρτησης y=x 3 –48x+17
Ας βρούμε τα μηδενικά της παραγώγου:
Ας πάρουμε τις ρίζες:
Ας προσδιορίσουμε τα σημάδια της παραγώγου της συνάρτησης αντικαθιστώντας τιμές από τα διαστήματα στην παράγωγο που προκύπτει και να απεικονίσουμε τη συμπεριφορά της συνάρτησης στο σχήμα:
Βρήκαμε ότι στο σημείο –4 η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από θετικό σε αρνητικό. Έτσι, το σημείο x=–4 είναι το επιθυμητό μέγιστο σημείο.
Απάντηση: -4
77423. Να βρείτε το μέγιστο σημείο της συνάρτησης y=x 3 –3x 2 +2
Ας βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης:
Ας εξισώσουμε την παράγωγο με το μηδέν και ας λύσουμε την εξίσωση:
Στο σημείο x=0, η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από θετικό σε αρνητικό, που σημαίνει ότι αυτό είναι το μέγιστο σημείο.
77427. Να βρείτε το μέγιστο σημείο της συνάρτησης y=x 3 +2x 2 +x+3
Ας βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης:
Όταν εξισώσουμε την παράγωγο με μηδέν και λύσουμε την εξίσωση:
Ας προσδιορίσουμε τα σημάδια της παραγώγου της συνάρτησης και ας απεικονίσουμε στο σχήμα τα διαστήματα αύξησης και μείωσης της συνάρτησης αντικαθιστώντας τις τιμές από κάθε διάστημα στην έκφραση της παραγώγου:
Στο σημείο x=–1, η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από θετικό σε αρνητικό, που σημαίνει ότι αυτό είναι το επιθυμητό μέγιστο σημείο.
Απάντηση: -1
77431. Να βρείτε το μέγιστο σημείο της συνάρτησης y=x 3 –5x 2 +7x–5
Ας βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης:
Ας βρούμε τα μηδενικά της παραγώγου:
3x 2 – 10x + 7 = 0
3∙0 2 – 10∙0 + 7 = 7 > 0
3∙2 2 – 10∙2 + 7 = – 1< 0
3∙3 2 – 10∙3 + 7 = 4 > 0
Στο σημείο x = 1, η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από θετικό σε αρνητικό, που σημαίνει ότι αυτό είναι το επιθυμητό μέγιστο σημείο.
77435. Να βρείτε το μέγιστο σημείο της συνάρτησης y=7+12x–x 3
Ας βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης:
Ας βρούμε τα μηδενικά της παραγώγου:
12 – 3x 2 = 0
Λύνοντας την τετραγωνική εξίσωση παίρνουμε:
*Πρόκειται για σημεία του πιθανού μέγιστου (ελάχιστου) της συνάρτησης.
Ας κατασκευάσουμε μια αριθμητική γραμμή και ας σημειώσουμε τα μηδενικά της παραγώγου. Ας προσδιορίσουμε τα πρόσημα της παραγώγου αντικαθιστώντας μια αυθαίρετη τιμή από κάθε διάστημα στην έκφραση της παραγώγου της συνάρτησης και ας απεικονίσουμε σχηματικά την αύξηση και τη μείωση στα διαστήματα:
12 – 3∙(–3) 2 = –15 < 0
12 – 3∙0 2 = 12 > 0
12 – 3∙3 2 = –15 < 0
Στο σημείο x = 2, η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από θετικό σε αρνητικό, που σημαίνει ότι αυτό είναι το επιθυμητό μέγιστο σημείο.
*Για την ίδια συνάρτηση, το ελάχιστο σημείο είναι το σημείο x = – 2.
77439. Να βρείτε το μέγιστο σημείο της συνάρτησης y=9x 2 – x 3
Ας βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης:
Ας βρούμε τα μηδενικά της παραγώγου:
18x –3x 2 = 0
3x(6 – x) = 0
Λύνοντας την εξίσωση παίρνουμε:
*Πρόκειται για σημεία του πιθανού μέγιστου (ελάχιστου) της συνάρτησης.
Ας κατασκευάσουμε μια αριθμητική γραμμή και ας σημειώσουμε τα μηδενικά της παραγώγου. Ας προσδιορίσουμε τα πρόσημα της παραγώγου αντικαθιστώντας μια αυθαίρετη τιμή από κάθε διάστημα στην έκφραση της παραγώγου της συνάρτησης και ας απεικονίσουμε σχηματικά την αύξηση και τη μείωση στα διαστήματα:
18 (–1) –3 (–1) 2 = –21< 0
18∙1 –3∙1 2 = 15 > 0
18∙7 –3∙7 2 = –1 < 0
Στο σημείο x=6, η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από θετικό σε αρνητικό, που σημαίνει ότι αυτό είναι το επιθυμητό μέγιστο σημείο.
*Για την ίδια συνάρτηση, το ελάχιστο σημείο είναι το σημείο x = 0.
Πώς να βρείτε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης σε ένα τμήμα;
Για αυτό ακολουθούμε έναν γνωστό αλγόριθμο:
1 . Εύρεση των συναρτήσεων ODZ.
2 . Εύρεση της παραγώγου της συνάρτησης
3 . Εξίσωση της παραγώγου με το μηδέν
4 . Βρίσκουμε τα διαστήματα στα οποία η παράγωγος διατηρεί το πρόσημο της και από αυτά προσδιορίζουμε τα διαστήματα αύξησης και μείωσης της συνάρτησης:
Αν στο διάστημα I η παράγωγος της συνάρτησης είναι 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} αυξάνεται σε αυτό το διάστημα.
Αν στο διάστημα I η παράγωγος της συνάρτησης , τότε η συνάρτηση μειώνεται σε αυτό το διάστημα.
5 . Βρίσκουμε μέγιστο και ελάχιστο σημείο της συνάρτησης.
ΣΕ στο μέγιστο σημείο της συνάρτησης, η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από "+" σε "-".
ΣΕ ελάχιστο σημείο της συνάρτησηςτο παράγωγο αλλάζει πρόσημο από "-" σε "+".
6 . Βρίσκουμε την τιμή της συνάρτησης στα άκρα του τμήματος,
- τότε συγκρίνουμε την τιμή της συνάρτησης στα άκρα του τμήματος και στα μέγιστα σημεία, και επιλέξτε το μεγαλύτερο από αυτά εάν θέλετε να βρείτε υψηλότερη τιμήλειτουργίες
- ή συγκρίνετε την τιμή της συνάρτησης στα άκρα του τμήματος και στα ελάχιστα σημεία, και επιλέξτε το μικρότερο από αυτά εάν θέλετε να βρείτε τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης
Ωστόσο, ανάλογα με το πώς συμπεριφέρεται η συνάρτηση στο τμήμα, αυτός ο αλγόριθμος μπορεί να μειωθεί σημαντικά.
Εξετάστε τη συνάρτηση 
. Το γράφημα αυτής της συνάρτησης μοιάζει με αυτό:
Ας δούμε πολλά παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων από την Open Task Bank για
1 . Εργασία B15 (Αρ. 26695)
Στο τμήμα.
1. Η συνάρτηση ορίζεται για όλες τις πραγματικές τιμές του x
Προφανώς, αυτή η εξίσωση δεν έχει λύσεις και η παράγωγος είναι θετική για όλες τις τιμές του x. Κατά συνέπεια, η συνάρτηση αυξάνεται και παίρνει τη μεγαλύτερη τιμή στο δεξί άκρο του διαστήματος, δηλαδή στο x=0.
Απάντηση: 5.
2 . Εργασία B15 (Αρ. 26702)
Βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης 
στο τμήμα.
1. Συναρτήσεις ODZ title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}
Η παράγωγος είναι ίση με μηδέν στο , ωστόσο, σε αυτά τα σημεία δεν αλλάζει πρόσημο:
Επομένως, title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} αυξάνεται και παίρνει τη μεγαλύτερη τιμή στο δεξί άκρο του διαστήματος, στο .
Για να γίνει προφανές γιατί η παράγωγος δεν αλλάζει πρόσημο, μετατρέπουμε την έκφραση για την παράγωγο ως εξής:
Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}
Απάντηση: 5.
3 . Εργασία B15 (Αρ. 26708)
Βρείτε τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης στο τμήμα.
1. Συναρτήσεις ODZ: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}
Ας τοποθετήσουμε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης στον τριγωνομετρικό κύκλο.
Το διάστημα περιέχει δύο αριθμούς: και
Ας βάλουμε ταμπέλες. Για να γίνει αυτό, προσδιορίζουμε το πρόσημο της παραγώγου στο σημείο x=0: 
. Όταν διέρχεται από σημεία και, η παράγωγος αλλάζει πρόσημο.
Ας απεικονίσουμε την αλλαγή των προσημάτων της παραγώγου μιας συνάρτησης στη γραμμή συντεταγμένων:
Προφανώς, το σημείο είναι ένα ελάχιστο σημείο (στο οποίο η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από "-" σε "+") και για να βρείτε τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης στο τμήμα, πρέπει να συγκρίνετε τις τιμές της συνάρτησης στο το ελάχιστο σημείο και στο αριστερό άκρο του τμήματος, .
Η συνάρτηση και η μελέτη των χαρακτηριστικών της καταλαμβάνει ένα από τα βασικά κεφάλαια στα σύγχρονα μαθηματικά. Το κύριο συστατικό κάθε συνάρτησης είναι γραφήματα που απεικονίζουν όχι μόνο τις ιδιότητές της, αλλά και τις παραμέτρους της παραγώγου αυτής της συνάρτησης. Ας καταλάβουμε αυτό το δύσκολο θέμα. Ποιος είναι λοιπόν ο καλύτερος τρόπος για να βρείτε τα μέγιστα και τα ελάχιστα σημεία μιας συνάρτησης;
Λειτουργία: ορισμός
Οποιαδήποτε μεταβλητή εξαρτάται κατά κάποιο τρόπο από τις τιμές μιας άλλης ποσότητας μπορεί να ονομαστεί συνάρτηση. Για παράδειγμα, η συνάρτηση f(x 2) είναι τετραγωνική και καθορίζει τις τιμές για ολόκληρο το σύνολο x. Ας πούμε ότι x = 9, τότε η τιμή της συνάρτησής μας θα είναι ίση με 9 2 = 81.
Οι λειτουργίες ποικίλλουν ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ: λογική, διανυσματική, λογαριθμική, τριγωνομετρική, αριθμητική και άλλα. Τα μελετήθηκαν από εξέχοντα μυαλά όπως ο Lacroix, ο Lagrange, ο Leibniz και ο Bernoulli. Τα έργα τους χρησιμεύουν ως προπύργιο σε σύγχρονους τρόπουςμελέτη συναρτήσεων. Πριν βρούμε τα ελάχιστα σημεία, είναι πολύ σημαντικό να κατανοήσουμε την ίδια την έννοια της συνάρτησης και της παραγώγου της.
Το παράγωγο και ο ρόλος του
Όλες οι συναρτήσεις εξαρτώνται από τις μεταβλητές τους, πράγμα που σημαίνει ότι μπορούν να αλλάξουν την τιμή τους ανά πάσα στιγμή. Στο γράφημα, αυτό θα απεικονιστεί ως μια καμπύλη που είτε πέφτει είτε ανεβαίνει κατά μήκος του άξονα τεταγμένων (αυτό είναι ολόκληρο το σύνολο των αριθμών "y" κατά μήκος του κατακόρυφου γραφήματος). Άρα, ο προσδιορισμός των μέγιστων και ελάχιστων σημείων μιας συνάρτησης σχετίζεται ακριβώς με αυτές τις «ταλαντώσεις». Ας εξηγήσουμε ποια είναι αυτή η σχέση.
Η παράγωγος οποιασδήποτε συνάρτησης σχηματίζεται γραφικά προκειμένου να μελετηθούν τα βασικά χαρακτηριστικά της και να υπολογιστεί πόσο γρήγορα αλλάζει η συνάρτηση (δηλαδή αλλάζει την τιμή της ανάλογα με τη μεταβλητή "x"). Τη στιγμή που αυξάνεται η συνάρτηση, θα αυξηθεί και η γραφική παράσταση της παραγώγου της, αλλά ανά πάσα στιγμή η συνάρτηση μπορεί να αρχίσει να μειώνεται και στη συνέχεια η γραφική παράσταση της παραγώγου θα μειωθεί. Τα σημεία στα οποία η παράγωγος αλλάζει από αρνητικό σε συν ονομάζονται ελάχιστα σημεία. Για να μάθετε πώς να βρείτε ελάχιστους πόντους, θα πρέπει να καταλάβετε καλύτερα
Πώς να υπολογίσετε το παράγωγο;
Ο ορισμός και οι συναρτήσεις υποδηλώνουν διάφορες έννοιες από Γενικά, ο ίδιος ο ορισμός μιας παραγώγου μπορεί να εκφραστεί ως εξής: αυτή είναι η ποσότητα που δείχνει το ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης.
Ο μαθηματικός τρόπος προσδιορισμού του φαίνεται περίπλοκος για πολλούς μαθητές, αλλά στην πραγματικότητα όλα είναι πολύ πιο απλά. Απλά πρέπει να ακολουθήσετε το τυπικό σχέδιο για την εύρεση της παραγώγου οποιασδήποτε συνάρτησης. Παρακάτω περιγράφουμε πώς μπορείτε να βρείτε το ελάχιστο σημείο μιας συνάρτησης χωρίς να εφαρμόζετε τους κανόνες διαφοροποίησης και χωρίς να απομνημονεύσετε τον πίνακα των παραγώγων.
- Μπορείτε να υπολογίσετε την παράγωγο μιας συνάρτησης χρησιμοποιώντας ένα γράφημα. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να απεικονίσετε την ίδια τη συνάρτηση και, στη συνέχεια, να πάρετε ένα σημείο πάνω της (σημείο Α στο σχήμα). Σχεδιάστε μια γραμμή κάθετα προς τα κάτω στον άξονα της τετμημένης (σημείο x 0) και στο σημείο Α σχεδιάστε μια εφαπτομένη στο γράφημα της συνάρτησης. Ο άξονας x και η εφαπτομένη σχηματίζουν μια ορισμένη γωνία α. Για να υπολογίσετε την τιμή του πόσο γρήγορα αυξάνεται μια συνάρτηση, πρέπει να υπολογίσετε την εφαπτομένη αυτής της γωνίας a.
- Αποδεικνύεται ότι η εφαπτομένη της γωνίας μεταξύ της εφαπτομένης και της διεύθυνσης του άξονα x είναι η παράγωγος της συνάρτησης σε μια μικρή περιοχή με σημείο Α. Αυτή η μέθοδοςθεωρείται γεωμετρικός τρόπος προσδιορισμού της παραγώγου.
Μέθοδοι για τη μελέτη της συνάρτησης
ΣΕ σχολικό πρόγραμμα σπουδώνΣτα μαθηματικά, είναι δυνατό να βρεθεί το ελάχιστο σημείο μιας συνάρτησης με δύο τρόπους. Έχουμε ήδη συζητήσει την πρώτη μέθοδο χρησιμοποιώντας ένα γράφημα, αλλά πώς μπορούμε να προσδιορίσουμε αριθμητική αξίαπαράγωγο? Για να το κάνετε αυτό, θα χρειαστεί να μάθετε αρκετούς τύπους που περιγράφουν τις ιδιότητες της παραγώγου και βοηθούν στη μετατροπή μεταβλητών όπως το "x" σε αριθμούς. Η παρακάτω μέθοδος είναι καθολική, επομένως μπορεί να εφαρμοστεί σχεδόν σε όλους τους τύπους συναρτήσεων (τόσο γεωμετρικές όσο και λογαριθμικές).
- Είναι απαραίτητο να εξισωθεί η συνάρτηση με την παράγωγη συνάρτηση και στη συνέχεια να απλοποιηθεί η έκφραση χρησιμοποιώντας τους κανόνες διαφοροποίησης.
- Σε ορισμένες περιπτώσεις, όταν δίνεται μια συνάρτηση στην οποία η μεταβλητή "x" βρίσκεται στον διαιρέτη, είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η περιοχή αποδεκτές τιμές, αποκλείοντας το σημείο «0» από αυτό (για τον απλούστατο λόγο ότι στα μαθηματικά δεν πρέπει ποτέ να διαιρέσετε με το μηδέν).
- Μετά από αυτό, θα πρέπει να μετατρέψετε την αρχική μορφή της συνάρτησης σε μια απλή εξίσωση, εξισώνοντας ολόκληρη την έκφραση με μηδέν. Για παράδειγμα, αν η συνάρτηση έμοιαζε ως εξής: f(x) = 2x 3 +38x, τότε σύμφωνα με τους κανόνες διαφοροποίησης η παράγωγός της είναι ίση με f"(x) = 3x 2 +1. Στη συνέχεια μετατρέπουμε αυτήν την παράσταση σε εξίσωση της παρακάτω μορφής: 3x 2 +1 = 0 .
- Αφού λύσετε την εξίσωση και βρείτε τα σημεία «x», θα πρέπει να τα σχεδιάσετε στον άξονα x και να προσδιορίσετε εάν η παράγωγος σε αυτά τα τμήματα μεταξύ των σημειωμένων σημείων είναι θετική ή αρνητική. Μετά τον προσδιορισμό, θα γίνει σαφές σε ποιο σημείο η συνάρτηση αρχίζει να μειώνεται, δηλαδή αλλάζει πρόσημο από μείον στο αντίθετο. Με αυτόν τον τρόπο μπορείτε να βρείτε τόσο τους ελάχιστους όσο και τους μέγιστους βαθμούς.
Κανόνες διαφοροποίησης
Το πιο βασικό συστατικό στη μελέτη μιας συνάρτησης και της παραγώγου της είναι η γνώση των κανόνων διαφοροποίησης. Μόνο με τη βοήθειά τους μπορείτε να μεταμορφώσετε δυσκίνητες εκφράσεις και μεγάλες σύνθετες συναρτήσεις. Ας τις γνωρίσουμε, υπάρχουν αρκετά, αλλά είναι όλες πολύ απλές λόγω των φυσικών ιδιοτήτων τόσο των συναρτήσεων ισχύος όσο και των λογαριθμικών συναρτήσεων.
- Η παράγωγος οποιασδήποτε σταθεράς είναι ίση με μηδέν (f(x) = 0). Δηλαδή, η παράγωγος f(x) = x 5 + x - 160 θα έχει την εξής μορφή: f" (x) = 5x 4 +1.
- Παράγωγος του αθροίσματος δύο όρων: (f+w)" = f"w + fw".
- Παράγωγο λογαριθμική συνάρτηση: (log a d)" = d/ln a*d. Αυτός ο τύπος ισχύει για όλους τους τύπους λογαρίθμων.
- Παράγωγος της ισχύος: (x n)"= n*x n-1. Για παράδειγμα, (9x 2)" = 9*2x = 18x.
- Η παράγωγος της ημιτονοειδούς συνάρτησης: (sin a)" = cos a. Αν η αμαρτία της γωνίας a είναι 0,5, τότε η παράγωγός της είναι √3/2.
Ακραία σημεία
Έχουμε ήδη συζητήσει πώς να βρούμε ελάχιστους πόντους, αλλά υπάρχει μια ιδέα και λειτουργίες. Αν το ελάχιστο υποδηλώνει εκείνα τα σημεία στα οποία η συνάρτηση αλλάζει από αρνητικό σε συν, τότε τα μέγιστα σημεία είναι εκείνα τα σημεία στον άξονα x στα οποία η παράγωγος της συνάρτησης αλλάζει από συν στο αντίθετο - πλην.
Μπορείτε να βρείτε μέγιστα σημεία χρησιμοποιώντας τη μέθοδο που περιγράφεται παραπάνω, αλλά θα πρέπει να λάβετε υπόψη ότι υποδεικνύουν εκείνες τις περιοχές όπου η συνάρτηση αρχίζει να μειώνεται, δηλαδή, η παράγωγος θα είναι μικρότερη από το μηδέν.
Στα μαθηματικά, είναι συνηθισμένο να γενικεύονται και οι δύο έννοιες, αντικαθιστώντας τις με τη φράση "σημεία ακραίων". Όταν μια εργασία σας ζητά να προσδιορίσετε αυτά τα σημεία, σημαίνει ότι πρέπει να υπολογίσετε την παράγωγο μιας δεδομένης συνάρτησης και να βρείτε τους ελάχιστους και μέγιστους βαθμούς.