Αυτό το άρθρο αφορά παράλληλες γραμμές και παράλληλες ευθείες. Αρχικά, δίνεται ο ορισμός των παράλληλων ευθειών στο επίπεδο και στο διάστημα, εισάγεται η σημειογραφία, δίνονται παραδείγματα και γραφικές απεικονίσεις παράλληλων ευθειών. Περαιτέρω, αναλύονται τα σημάδια και οι συνθήκες παραλληλισμού των ευθειών. Συμπερασματικά, παρουσιάζονται λύσεις για τυπικά προβλήματα απόδειξης του παραλληλισμού ευθειών, τα οποία δίνονται από κάποιες εξισώσεις ευθείας σε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων σε επίπεδο και σε τρισδιάστατο χώρο.
Πλοήγηση στη σελίδα.
Παράλληλες γραμμές - βασικές πληροφορίες.
Ορισμός.
Δύο γραμμές σε ένα επίπεδο ονομάζονται παράλληλοαν δεν έχουν κοινά σημεία.
Ορισμός.
Δύο γραμμές σε τρεις διαστάσεις ονομάζονται παράλληλοαν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν έχουν κοινά σημεία.
Σημειώστε ότι η ρήτρα "εάν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο" στον ορισμό των παράλληλων ευθειών στο χώρο είναι πολύ σημαντική. Ας διευκρινίσουμε αυτό το σημείο: δύο ευθείες στον τρισδιάστατο χώρο που δεν έχουν κοινά σημεία και δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο δεν είναι παράλληλες, αλλά είναι λοξές.
Ακολουθούν μερικά παραδείγματα παράλληλων ευθειών. Απέναντι άκρα φύλλο σημειωματάριουβρίσκονται σε παράλληλες ευθείες. Οι ευθείες γραμμές κατά τις οποίες το επίπεδο του τοίχου του σπιτιού τέμνει τα επίπεδα της οροφής και του δαπέδου είναι παράλληλες. Οι σιδηροδρομικές γραμμές σε επίπεδο έδαφος μπορούν επίσης να θεωρηθούν ως παράλληλες γραμμές.
Το σύμβολο "" χρησιμοποιείται για να δηλώσει παράλληλες γραμμές. Δηλαδή, εάν οι ευθείες a και b είναι παράλληλες, τότε μπορείτε να γράψετε εν συντομία a b.
Σημειώστε ότι αν οι ευθείες a και b είναι παράλληλες, τότε μπορούμε να πούμε ότι η ευθεία a είναι παράλληλη με την ευθεία b, και επίσης ότι η ευθεία b είναι παράλληλη στην ευθεία a.
Ας ακούσουμε τη δήλωση που παίζει σημαντικός ρόλοςστη μελέτη των παράλληλων ευθειών σε ένα επίπεδο: από ένα σημείο που δεν βρίσκεται σε μια δεδομένη ευθεία, διέρχεται η μόνη ευθεία παράλληλη στη δεδομένη. Αυτή η δήλωση γίνεται αποδεκτή ως γεγονός (δεν μπορεί να αποδειχθεί με βάση τα γνωστά αξιώματα της επιπεδομετρίας) και ονομάζεται αξίωμα των παράλληλων ευθειών.
Για την περίπτωση στον χώρο, το θεώρημα είναι αληθές: μέσα από οποιοδήποτε σημείο του χώρου που δεν βρίσκεται σε μια δεδομένη ευθεία, διέρχεται μία μόνο ευθεία παράλληλη προς τη δεδομένη. Αυτό το θεώρημα μπορεί εύκολα να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας το αξίωμα των παράλληλων ευθειών που δίνεται παραπάνω (μπορείτε να βρείτε την απόδειξή του στο εγχειρίδιο γεωμετρίας για τις τάξεις 10-11, το οποίο παρατίθεται στο τέλος του άρθρου στη βιβλιογραφία).
Για την περίπτωση στον χώρο, το θεώρημα είναι αληθές: μέσα από οποιοδήποτε σημείο του χώρου που δεν βρίσκεται σε μια δεδομένη ευθεία, διέρχεται μία μόνο ευθεία παράλληλη προς τη δεδομένη. Αυτό το θεώρημα αποδεικνύεται εύκολα χρησιμοποιώντας το αξίωμα των παράλληλων ευθειών που δόθηκε παραπάνω.
Παραλληλισμός ευθειών - σημεία και προϋποθέσεις παραλληλισμού.
Σημάδι παράλληλων γραμμώνείναι επαρκής κατάστασηπαραλληλισμός ευθειών, δηλαδή μια τέτοια συνθήκη, η εκπλήρωση της οποίας εγγυάται τον παραλληλισμό των ευθειών. Με άλλα λόγια, η εκπλήρωση αυτής της προϋπόθεσης αρκεί για να δηλώσει το γεγονός ότι οι ευθείες είναι παράλληλες.
Υπάρχουν επίσης αναγκαίες και επαρκείς προϋποθέσεις για παράλληλες γραμμές στο επίπεδο και στον τρισδιάστατο χώρο.
Ας εξηγήσουμε την έννοια της φράσης «απαραίτητη και επαρκής συνθήκη για παράλληλες ευθείες».
Έχουμε ήδη ασχοληθεί με την επαρκή συνθήκη για παράλληλες γραμμές. Και ποια είναι η «απαραίτητη προϋπόθεση για παράλληλες γραμμές»; Με το όνομα «αναγκαίο» είναι σαφές ότι η εκπλήρωση αυτής της προϋπόθεσης είναι απαραίτητη για να είναι παράλληλες οι γραμμές. Με άλλα λόγια, εάν δεν ικανοποιείται η απαραίτητη προϋπόθεση για παράλληλες γραμμές, τότε οι ευθείες δεν είναι παράλληλες. Ετσι, απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για να είναι παράλληλες οι γραμμέςείναι μια προϋπόθεση, η εκπλήρωση της οποίας είναι και απαραίτητη και επαρκής για παράλληλες ευθείες. Δηλαδή, αφενός, αυτό είναι σημάδι παράλληλων ευθειών, και αφετέρου, αυτό είναι μια ιδιότητα που έχουν οι παράλληλες ευθείες.
Πριν δηλώσετε την απαραίτητη και επαρκή συνθήκη για να είναι παράλληλες οι γραμμές, είναι χρήσιμο να υπενθυμίσουμε μερικούς βοηθητικούς ορισμούς.
τέμνουσα γραμμήείναι μια ευθεία που τέμνει καθεμία από τις δύο δεδομένες μη συμπίπτουσες ευθείες.
Στη διασταύρωση δύο γραμμών μιας τομής σχηματίζονται οκτώ μη αναπτυγμένες. Το λεγομενο ξαπλωμένος σταυρωτά, αντίστοιχοςΚαι μονόπλευρες γωνίες. Ας τα δείξουμε στο σχέδιο.
Θεώρημα.
Εάν δύο ευθείες σε ένα επίπεδο διασχίζονται από μια τέμνουσα, τότε για τον παραλληλισμό τους είναι απαραίτητο και αρκετό οι εγκάρσιες γωνίες να είναι ίσες ή οι αντίστοιχες γωνίες να είναι ίσες ή το άθροισμα των γωνιών μιας όψης να είναι ίσο με 180 μοίρες .
Ας δείξουμε μια γραφική απεικόνιση αυτής της απαραίτητης και ικανής συνθήκης για παράλληλες ευθείες στο επίπεδο.
Μπορείτε να βρείτε αποδείξεις αυτών των συνθηκών για παράλληλες ευθείες σε εγχειρίδια γεωμετρίας για τις τάξεις 7-9.
Σημειώστε ότι αυτές οι συνθήκες μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν σε τρισδιάστατο χώρο - το κύριο πράγμα είναι ότι οι δύο γραμμές και η τομή βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο.
Ακολουθούν μερικά ακόμη θεωρήματα που χρησιμοποιούνται συχνά για την απόδειξη του παραλληλισμού των ευθειών.
Θεώρημα.
Εάν δύο ευθείες σε ένα επίπεδο είναι παράλληλες με μια τρίτη γραμμή, τότε είναι παράλληλες. Η απόδειξη αυτού του χαρακτηριστικού προκύπτει από το αξίωμα των παράλληλων ευθειών.
Υπάρχει παρόμοια συνθήκη για παράλληλες γραμμές στον τρισδιάστατο χώρο.
Θεώρημα.
Αν δύο ευθείες στο διάστημα είναι παράλληλες με μια τρίτη γραμμή, τότε είναι παράλληλες. Η απόδειξη αυτού του χαρακτηριστικού εξετάζεται στα μαθήματα γεωμετρίας της 10ης τάξης.
Ας επεξηγήσουμε τα διατυπωμένα θεωρήματα.
Ας δώσουμε ένα ακόμη θεώρημα που μας επιτρέπει να αποδείξουμε τον παραλληλισμό των ευθειών στο επίπεδο.
Θεώρημα.
Αν δύο ευθείες σε ένα επίπεδο είναι κάθετες σε μια τρίτη γραμμή, τότε είναι παράλληλες.
Υπάρχει ένα παρόμοιο θεώρημα για τις ευθείες στο διάστημα.
Θεώρημα.
Αν δύο ευθείες στον τρισδιάστατο χώρο είναι κάθετες στο ίδιο επίπεδο, τότε είναι παράλληλες.
Ας σχεδιάσουμε εικόνες που αντιστοιχούν σε αυτά τα θεωρήματα.
Όλα τα θεωρήματα που διατυπώθηκαν παραπάνω, τα σημεία και οι απαραίτητες και επαρκείς συνθήκες είναι απόλυτα κατάλληλα για την απόδειξη του παραλληλισμού των ευθειών με μεθόδους γεωμετρίας. Δηλαδή, για να αποδειχθεί ο παραλληλισμός δύο δεδομένων ευθειών, είναι απαραίτητο να δείξουμε ότι είναι παράλληλες με την τρίτη ευθεία ή να δείξουμε την ισότητα των εγκάρσιων γωνιών κ.λπ. Πολλά από αυτά τα προβλήματα λύνονται στα μαθήματα γεωμετρίας Λύκειο. Ωστόσο, πρέπει να σημειωθεί ότι σε πολλές περιπτώσεις είναι βολικό να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος των συντεταγμένων για να αποδειχθεί ο παραλληλισμός των γραμμών σε ένα επίπεδο ή σε τρισδιάστατο χώρο. Ας διατυπώσουμε τις απαραίτητες και επαρκείς προϋποθέσεις για τον παραλληλισμό των ευθειών που δίνονται σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων.
Παραλληλισμός ευθειών σε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων.
Σε αυτή την ενότητα του άρθρου, θα διατυπώσουμε απαραίτητες και επαρκείς προϋποθέσεις για παράλληλες γραμμέςσε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, ανάλογα με τον τύπο των εξισώσεων που ορίζουν αυτές τις γραμμές, και δίνουμε επίσης λεπτομερείς λύσειςτυπικές εργασίες.
Ας ξεκινήσουμε με την συνθήκη του παραλληλισμού δύο ευθειών στο επίπεδο στο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxy . Η απόδειξή του βασίζεται στον ορισμό του κατευθυντικού διανύσματος της ευθείας και στον ορισμό του κανονικού διανύσματος της ευθείας στο επίπεδο.
Θεώρημα.
Για να είναι δύο μη συμπίπτουσες γραμμές παράλληλες σε ένα επίπεδο, είναι απαραίτητο και αρκετό τα διανύσματα κατεύθυνσης αυτών των γραμμών να είναι συγγραμμικά ή τα κανονικά διανύσματα αυτών των γραμμών να είναι συγγραμμικά ή το διάνυσμα κατεύθυνσης μιας ευθείας να είναι κάθετο στην κανονική διάνυσμα της δεύτερης γραμμής.
Προφανώς, η συνθήκη παραλληλισμού δύο ευθειών στο επίπεδο μειώνεται σε (διανύσματα κατεύθυνσης ευθειών ή κανονικά διανύσματα ευθειών) ή σε (διάνυσμα κατεύθυνσης μιας ευθείας και κανονικό διάνυσμα της δεύτερης γραμμής). Έτσι, αν και είναι τα διανύσματα κατεύθυνσης των ευθειών a και b, και 
Και 
είναι τα κανονικά διανύσματα των ευθειών a και b, αντίστοιχα, τότε η απαραίτητη και επαρκής συνθήκη για παράλληλες ευθείες a και b μπορεί να γραφεί ως 
, ή 
, ή , όπου t είναι κάποιος πραγματικός αριθμός. Με τη σειρά τους, οι συντεταγμένες των κατευθυνόμενων και (ή) των κανονικών διανυσμάτων των ευθειών a και b βρίσκονται από τις γνωστές εξισώσεις των ευθειών.
Ειδικότερα, αν η ευθεία a στο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxy στο επίπεδο ορίζει τη γενική εξίσωση της ευθείας της μορφής 
και η ευθεία β - 
, τότε τα κανονικά διανύσματα αυτών των ευθειών έχουν συντεταγμένες και αντίστοιχα, και η συνθήκη παραλληλισμού των ευθειών a και b θα γραφεί ως .
Αν η ευθεία α αντιστοιχεί στην εξίσωση της ευθείας με τον συντελεστή κλίσης της φόρμας 
. Επομένως, εάν οι ευθείες σε ένα επίπεδο σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων είναι παράλληλες και μπορούν να δοθούν με εξισώσεις ευθειών με συντελεστές κλίσης, τότε οι συντελεστές κλίσης των γραμμών θα είναι ίσοι. Και το αντίστροφο: εάν οι μη συμπίπτουσες ευθείες σε ένα επίπεδο σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων μπορούν να δοθούν από τις εξισώσεις μιας ευθείας με ίσους συντελεστές κλίσης, τότε αυτές οι ευθείες είναι παράλληλες.
Αν η ευθεία a και η ευθεία b σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων ορίζουν τις κανονικές εξισώσεις της ευθείας στο επίπεδο της μορφής 
Και 
, ή παραμετρικές εξισώσεις ευθείας σε επίπεδο της μορφής 
Και 
αντίστοιχα, τότε τα διανύσματα κατεύθυνσης αυτών των ευθειών έχουν συντεταγμένες και , και η συνθήκη παραλληλισμού των ευθειών a και b γράφεται ως .
Ας ρίξουμε μια ματιά σε μερικά παραδείγματα.
Παράδειγμα.
Οι ευθείες είναι παράλληλες; 
Και ?
Λύση.
Ξαναγράφουμε την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής σε τμήματα με τη μορφή μιας γενικής εξίσωσης ευθείας γραμμής: 
. Τώρα μπορούμε να δούμε ότι είναι το κανονικό διάνυσμα της ευθείας , και είναι το κανονικό διάνυσμα της ευθείας. Αυτά τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά, καθώς δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός t για τον οποίο η ισότητα ( 
). Κατά συνέπεια, η απαραίτητη και επαρκής συνθήκη για τον παραλληλισμό των γραμμών στο επίπεδο δεν ικανοποιείται, επομένως, οι δεδομένες ευθείες δεν είναι παράλληλες.
Απάντηση:
Όχι, οι γραμμές δεν είναι παράλληλες.
Παράδειγμα.
Είναι οι γραμμές και οι παράλληλοι;
Λύση.
Φέρνουμε την κανονική εξίσωση ευθείας στην εξίσωση ευθείας με κλίση: . Προφανώς, οι εξισώσεις των γραμμών και δεν είναι ίδιες (σε αυτή την περίπτωση, οι δεδομένες γραμμές θα ήταν ίδιες) και οι κλίσεις των γραμμών είναι ίσες, επομένως, οι αρχικές γραμμές είναι παράλληλες.
1. Αν δύο ευθείες είναι παράλληλες με την τρίτη γραμμή, τότε είναι παράλληλες:
Αν ένα||ντοΚαι σι||ντο, Οτι ένα||σι.
2. Αν δύο ευθείες είναι κάθετες στην τρίτη ευθεία, τότε είναι παράλληλες:
Αν ένα⊥ντοΚαι σι⊥ντο, Οτι ένα||σι.
Τα υπόλοιπα σημάδια παραλληλισμού ευθειών βασίζονται στις γωνίες που σχηματίζονται στη διασταύρωση δύο ευθειών με το ένα τρίτο.
3. Αν το άθροισμα των εσωτερικών μονόπλευρων γωνιών είναι 180°, τότε οι ευθείες είναι παράλληλες:
Αν ∠1 + ∠2 = 180°, τότε ένα||σι.
4. Αν οι αντίστοιχες γωνίες είναι ίσες, τότε οι ευθείες είναι παράλληλες:
Αν ∠2 = ∠4, τότε ένα||σι.
5. Αν οι εσωτερικές εγκάρσιες γωνίες είναι ίσες, τότε οι ευθείες είναι παράλληλες:
Αν ∠1 = ∠3, τότε ένα||σι.
Ιδιότητες παράλληλων ευθειών
Οι δηλώσεις που είναι αντίστροφες ως προς τα σημάδια του παραλληλισμού των ευθειών είναι οι ιδιότητές τους. Βασίζονται στις ιδιότητες των γωνιών που σχηματίζονται από την τομή δύο παράλληλων ευθειών με μια τρίτη ευθεία.
1. Όταν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται με μια τρίτη ευθεία, το άθροισμα των εσωτερικών μονόπλευρων γωνιών που σχηματίζονται από αυτές είναι 180 °:
Αν ένα||σι, τότε ∠1 + ∠2 = 180°.
2. Όταν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται με τρίτη ευθεία, οι αντίστοιχες γωνίες που σχηματίζουν είναι ίσες:
Αν ένα||σι, τότε ∠2 = ∠4.
3. Στην τομή δύο παράλληλων ευθειών με μια τρίτη ευθεία, οι γωνίες που σχηματίζονται από αυτές κατά μήκος είναι ίσες:
Αν ένα||σι, τότε ∠1 = ∠3.
Η ακόλουθη ιδιότητα είναι μια ειδική περίπτωση κάθε προηγούμενης:
4. Αν μια ευθεία σε ένα επίπεδο είναι κάθετη σε μία από τις δύο παράλληλες ευθείες, τότε είναι κάθετη και στην άλλη:
Αν ένα||σιΚαι ντο⊥ένα, Οτι ντο⊥σι.
Η πέμπτη ιδιότητα είναι το αξίωμα των παράλληλων ευθειών:
5. Μέσα από ένα σημείο που δεν βρίσκεται σε μια δεδομένη ευθεία, μόνο μία ευθεία μπορεί να τραβηχτεί παράλληλη προς τη δεδομένη ευθεία.
Σημάδια παραλληλισμού δύο ευθειών
Θεώρημα 1. Αν στη τομή δύο ευθειών μιας τομής:
Οι διαγώνια γωνίες είναι ίσες, ή
οι αντίστοιχες γωνίες είναι ίσες ή
το άθροισμα των μονόπλευρων γωνιών είναι 180°, λοιπόν
οι γραμμές είναι παράλληλες(Εικ. 1).
Απόδειξη. Περιοριζόμαστε στην απόδειξη της περίπτωσης 1.
Ας υποθέσουμε ότι στη τομή των ευθειών a και b από μια τέμνουσα ΑΒ οι γωνίες που βρίσκονται είναι ίσες. Για παράδειγμα, ∠ 4 = ∠ 6. Ας αποδείξουμε ότι a || σι.
Ας υποθέσουμε ότι οι ευθείες α και β δεν είναι παράλληλες. Τότε τέμνονται σε κάποιο σημείο Μ και, κατά συνέπεια, μία από τις γωνίες 4 ή 6 θα είναι η εξωτερική γωνία του τριγώνου ΑΒΜ. Έστω, για βεβαιότητα, ∠ 4 η εξωτερική γωνία του τριγώνου ABM, και ∠ 6 η εσωτερική. Από το θεώρημα της εξωτερικής γωνίας ενός τριγώνου προκύπτει ότι το ∠ 4 είναι μεγαλύτερο από το ∠ 6, και αυτό έρχεται σε αντίθεση με την συνθήκη, που σημαίνει ότι οι ευθείες a και 6 δεν μπορούν να τέμνονται, επομένως είναι παράλληλες.
Συμπέρασμα 1. Δύο ευδιάκριτες ευθείες σε επίπεδο κάθετο στην ίδια ευθεία είναι παράλληλες(Εικ. 2).
Σχόλιο. Ο τρόπος που μόλις αποδείξαμε την περίπτωση 1 του Θεωρήματος 1 ονομάζεται μέθοδος απόδειξης με αντίφαση ή αναγωγή σε παραλογισμό. Αυτή η μέθοδος πήρε το πρώτο της όνομα γιατί στην αρχή του συλλογισμού γίνεται μια υπόθεση που είναι αντίθετη (αντίθετα) από αυτό που απαιτείται να αποδειχθεί. Ονομάζεται αναγωγή σε παραλογισμό λόγω του ότι, επιχειρηματολογώντας με βάση την υπόθεση που έγινε, καταλήγουμε σε ένα παράλογο συμπέρασμα (παραλογισμός). Η λήψη ενός τέτοιου συμπεράσματος μας αναγκάζει να απορρίψουμε την υπόθεση που έγινε στην αρχή και να αποδεχτούμε αυτήν που έπρεπε να αποδειχθεί.
Εργασία 1.Κατασκευάστε μια ευθεία που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο Μ και είναι παράλληλη σε μια δεδομένη ευθεία α, που δεν διέρχεται από το σημείο Μ.
Λύση. Σχεδιάζουμε μια ευθεία p μέσα από το σημείο M κάθετο στην ευθεία a (Εικ. 3).
Στη συνέχεια σχεδιάζουμε μια ευθεία b στο σημείο M που είναι κάθετο στην ευθεία p. Η ευθεία b είναι παράλληλη προς την ευθεία a σύμφωνα με το συμπέρασμα του Θεωρήματος 1.
Ένα σημαντικό συμπέρασμα προκύπτει από το εξεταζόμενο πρόβλημα:
Μέσα από ένα σημείο που δεν βρίσκεται σε μια δεδομένη ευθεία, μπορεί κανείς πάντα να σχεδιάσει μια ευθεία παράλληλη στη δεδομένη ευθεία..
Η κύρια ιδιότητα των παράλληλων ευθειών είναι η εξής.
Αξίωμα παράλληλων ευθειών. Μέσα από ένα δεδομένο σημείο που δεν βρίσκεται σε μια δεδομένη ευθεία, υπάρχει μόνο μία ευθεία παράλληλη στη δεδομένη ευθεία.
Εξετάστε μερικές ιδιότητες των παράλληλων ευθειών που προκύπτουν από αυτό το αξίωμα.
1) Αν μια ευθεία τέμνει μια από τις δύο παράλληλες ευθείες, τότε τέμνει την άλλη (Εικ. 4).
2) Αν δύο διαφορετικές ευθείες είναι παράλληλες με την τρίτη γραμμή, τότε είναι παράλληλες (Εικ. 5).
Το παρακάτω θεώρημα είναι επίσης αληθές.
Θεώρημα 2. Αν δύο παράλληλες ευθείες διασχίζονται από μια τομή, τότε:
οι εγκάρσιες γωνίες είναι ίσες.
οι αντίστοιχες γωνίες είναι ίσες.
το άθροισμα των μονόπλευρων γωνιών είναι 180°.
Συνέπεια 2. Αν μια ευθεία είναι κάθετη σε μία από τις δύο παράλληλες ευθείες, τότε είναι κάθετη και στην άλλη.(βλ. Εικ. 2).
Σχόλιο. Το Θεώρημα 2 ονομάζεται αντίστροφο του Θεωρήματος 1. Το συμπέρασμα του Θεωρήματος 1 είναι η συνθήκη του Θεωρήματος 2. Και η συνθήκη του Θεωρήματος 1 είναι το συμπέρασμα του Θεωρήματος 2. Δεν έχει κάθε θεώρημα αντίστροφο, δηλ. εάν αυτό το θεώρημα είναι αληθές, τότε θεώρημα αντίστροφηςμπορεί να είναι λάθος.
Ας το εξηγήσουμε αυτό με το παράδειγμα του θεωρήματος για τις κατακόρυφες γωνίες. Αυτό το θεώρημα μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: αν δύο γωνίες είναι κάθετες, τότε είναι ίσες. Το αντίστροφο θεώρημα θα ήταν το εξής: αν δύο γωνίες είναι ίσες, τότε είναι κάθετες. Και αυτό, φυσικά, δεν είναι αλήθεια. Δύο ίσες γωνίεςδεν χρειάζεται να είναι κάθετη.
Παράδειγμα 1Δύο παράλληλες γραμμές διασχίζονται από μια τρίτη. Είναι γνωστό ότι η διαφορά μεταξύ δύο εσωτερικών μονόπλευρων γωνιών είναι 30°. Βρείτε αυτές τις γωνίες.
Λύση. Έστω ότι το σχήμα 6 πληροί την προϋπόθεση.
Η έννοια των παράλληλων ευθειών
Ορισμός 1
Παράλληλες γραμμές- οι γραμμές που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο δεν συμπίπτουν και δεν έχουν κοινά σημεία.
Εάν οι γραμμές έχουν ένα κοινό σημείο, τότε έχουν διατέμνω.
Αν όλα τα σημεία των ευθειών αγώνας, τότε έχουμε ουσιαστικά μία ευθεία γραμμή.
Εάν οι ευθείες βρίσκονται σε διαφορετικά επίπεδα, τότε υπάρχουν κάπως περισσότερες προϋποθέσεις για τον παραλληλισμό τους.
Όταν εξετάζουμε ευθείες στο ίδιο επίπεδο, μπορούμε να δώσουμε τον ακόλουθο ορισμό:
Ορισμός 2
Δύο γραμμές σε ένα επίπεδο ονομάζονται παράλληλοαν δεν τέμνονται.
Στα μαθηματικά, οι παράλληλες γραμμές συνήθως συμβολίζονται με το παράλληλο πρόσημο "$\παράλληλο$". Για παράδειγμα, το γεγονός ότι η γραμμή $c$ είναι παράλληλη με τη γραμμή $d$ συμβολίζεται ως εξής:
$c \παράλληλο d$.
Συχνά εξετάζεται η έννοια των παράλληλων τμημάτων.
Ορισμός 3
Τα δύο τμήματα ονομάζονται παράλληλοαν βρίσκονται σε παράλληλες ευθείες.
Για παράδειγμα, στο σχήμα, τα τμήματα $AB$ και $CD$ είναι παράλληλα, επειδή ανήκουν σε παράλληλες ευθείες:
$AB\παράλληλο CD$.
Ωστόσο, τα τμήματα $MN$ και $AB$ ή $MN$ και $CD$ δεν είναι παράλληλα. Αυτό το γεγονός μπορεί να γραφτεί χρησιμοποιώντας σύμβολα ως εξής:
$MN ∦ AB$ και $MN ∦ CD$.
Ο παραλληλισμός μιας ευθείας γραμμής και ενός τμήματος, μιας ευθείας γραμμής και μιας ακτίνας, ενός τμήματος και μιας ακτίνας ή δύο ακτίνων προσδιορίζεται με παρόμοιο τρόπο.
Ιστορική αναφορά
ΜΕ Ελληνικάη έννοια του "παράλληλος" μεταφράζεται ως "πηγαίνοντας δίπλα-δίπλα" ή "εκτελούνται ο ένας δίπλα στον άλλο". Ο όρος χρησιμοποιήθηκε στην αρχαία σχολή του Πυθαγόρα πριν οριστούν παράλληλες γραμμές. Σύμφωνα με ιστορικά γεγονόταΟ Ευκλείδης στο $III$ γ. ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ. στα γραπτά του όμως αποκαλύφθηκε το νόημα της έννοιας των παράλληλων ευθειών.
Στην αρχαιότητα, το πρόσημο για παράλληλες ευθείες είχε διαφορετική μορφή από αυτή που χρησιμοποιούμε στα σύγχρονα μαθηματικά. Για παράδειγμα, ο αρχαίος Έλληνας μαθηματικός Πάππος τον $III$ c. ΕΝΑ Δ ο παραλληλισμός συμβολιζόταν με ίσο. Εκείνοι. Το γεγονός ότι η ευθεία $l$ είναι παράλληλη με την ευθεία $m$ συμβολιζόταν προηγουμένως με "$l=m$". Αργότερα, για να υποδείξουν τον παραλληλισμό των ευθειών γραμμών, άρχισαν να χρησιμοποιούν το γνωστό πρόσημο "$\παράλληλο$", και το σύμβολο ίσου άρχισε να χρησιμοποιείται για να υποδείξει την ισότητα των αριθμών και των εκφράσεων.
Παράλληλες γραμμές στη ζωή
Συχνά δεν το παρατηρούμε συνηθισμένη ζωήείμαστε περιτριγυρισμένοι από έναν τεράστιο αριθμό παράλληλων γραμμών. Για παράδειγμα, σε ένα μουσικό βιβλίο και μια συλλογή τραγουδιών με νότες, το προσωπικό γίνεται χρησιμοποιώντας παράλληλες γραμμές. Παράλληλες ευθείες βρίσκονται επίσης σε μουσικά όργανα(για παράδειγμα, έγχορδα άρπας, κιθάρες, πλήκτρα πιάνου κ.λπ.).
Τα ηλεκτρικά καλώδια που βρίσκονται κατά μήκος των δρόμων και των δρόμων κινούνται επίσης παράλληλα. Γραμμές μετρό και σιδηροδρόμωνβρίσκονται παράλληλα.
Εκτός από την καθημερινότητα, παράλληλες γραμμές συναντάμε στη ζωγραφική, στην αρχιτεκτονική, στην κατασκευή κτιρίων.
Παράλληλες γραμμές στην αρχιτεκτονική
Στις εικόνες που παρουσιάζονται, οι αρχιτεκτονικές κατασκευές περιέχουν παράλληλες γραμμές. Η χρήση παράλληλων γραμμών στην κατασκευή συμβάλλει στην αύξηση της διάρκειας ζωής τέτοιων κατασκευών και τους προσδίδει εξαιρετική ομορφιά, ελκυστικότητα και μεγαλοπρέπεια. Οι γραμμές ηλεκτρικού ρεύματος λειτουργούν επίσης σκόπιμα παράλληλα για να αποφευχθεί η διέλευση ή η επαφή, κάτι που θα είχε ως αποτέλεσμα βραχυκυκλώματα, διακοπές και διακοπές ρεύματος. Για να μπορεί το τρένο να κινείται ελεύθερα, οι ράγες γίνονται και σε παράλληλες γραμμές.
Στη ζωγραφική, οι παράλληλες γραμμές απεικονίζονται ως συγκλίνουσες σε μία γραμμή ή κοντά σε αυτήν. Αυτή η τεχνική ονομάζεται προοπτική, η οποία προκύπτει από την ψευδαίσθηση της όρασης. Εάν κοιτάξετε στην απόσταση για μεγάλο χρονικό διάστημα, τότε οι παράλληλες γραμμές θα μοιάζουν με δύο συγκλίνουσες γραμμές.
Στην ερώτηση 1. Δώστε έναν ορισμό των παράλληλων ευθειών. Ποια δύο ευθύγραμμα τμήματα ονομάζονται παράλληλα; δίνεται από τον συγγραφέα Σάσα Νιζεβιάσοφη καλύτερη απάντηση είναι που στο αεροπλάνο δεν θα τέμνονται ποτέ
Απάντηση από ικανότητα προσαρμογής[γκουρού]
Οι παράλληλες ευθείες είναι ευθείες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και είτε συμπίπτουν είτε δεν τέμνονται.
Απάντηση από Ναουμένκο[γκουρού]
τμήματα. που ανήκουν σε παράλληλες ευθείες. είναι παράλληλες.
ευθείες γραμμές στο αεροπλάνο που ονομάζεται. παράλληλο. αν δεν τέμνονται ή συμπίπτουν.
Απάντηση από Νευρολόγος[αρχάριος]
Δύο ευθείες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν έχουν κοινό σημείο λέγονται παράλληλες.
Απάντηση από Βολή[κύριος]
Απάντηση από Βαρβάρα Λαμεκίνα[αρχάριος]
δύο ευθείες σε ένα επίπεδο λέγονται παράλληλες αν δεν τέμνονται)
Απάντηση από Μαξίμ Ιβάνοφ[αρχάριος]
Τα οποία δεν τέμνονται στο επίπεδο.
Απάντηση από Sem2805[ενεργός]
δύο ευθείες σε ένα επίπεδο ονομάζονται παράλληλες αν δεν τέμνονται (Βαθμός 7)
Απάντηση από Σάσα Κλιούτσνικοφ[αρχάριος]
Παράλληλες ευθείες στην Ευκλείδεια γεωμετρία, ευθείες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Στην απόλυτη γεωμετρία, από ένα σημείο που δεν βρίσκεται σε μια δεδομένη ευθεία, διέρχεται τουλάχιστον μία ευθεία που δεν τέμνει τη δεδομένη ευθεία. Στην Ευκλείδεια γεωμετρία, υπάρχει μόνο μία τέτοια γραμμή. Αυτό το γεγονός είναι ισοδύναμο με το πέμπτο αξίωμα του Ευκλείδη (περίπου παράλληλο). Στη γεωμετρία Lobachevsky (βλ. γεωμετρία Lobachevsky) στο επίπεδο που διέρχεται από το σημείο C (βλ. σχήμα) έξω από τη δεδομένη ευθεία AB υπάρχει ένα άπειρο σύνολο γραμμών που δεν τέμνονται με την AB. Από αυτά, μόνο δύο ονομάζονται παράλληλα με το ΑΒ. Η ευθεία CE ονομάζεται παράλληλη προς την ευθεία AB προς την κατεύθυνση από το Α προς το Β εάν: 1) τα σημεία Β και Ε βρίσκονται στην ίδια πλευρά της ευθείας AC, 2) η ευθεία CE δεν τέμνει την ευθεία AB, κάθε ακτίνα που διέρχεται από τη γωνία ACE τέμνει την ακτίνα ΑΒ. Ομοίως ορίζεται η ευθεία CF παράλληλη προς την ΑΒ προς την κατεύθυνση από Β προς Α.
Απάντηση από Ανατόλι Μισίν[αρχάριος]
Δύο ευθείες στο διάστημα ονομάζονται παράλληλες αν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται.
Απάντηση από Ўliya[ενεργός]
Οι παράλληλες ευθείες είναι ευθείες που δεν τέμνονται
Απάντηση από είπε ο charakov[αρχάριος]
Παράλληλες είναι δύο ευθείες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν έχουν κοινά σημεία.
Μέσα από ένα σημείο, μόνο μία ευθεία μπορεί να τραβηχτεί παράλληλη σε ένα δεδομένο επίπεδο.
Απάντηση από Όλγα Νεμτύρεβα[αρχάριος]
Οι παράλληλες ευθείες είναι ευθείες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και είτε συμπίπτουν είτε δεν τέμνονται. ..Γεωμετρία Λομπατσέφσκι) στο επίπεδο που διέρχεται από το σημείο Γ (βλ. Εικ.) έξω από τη δεδομένη ευθεία ΑΒ διέρχεται ένα άπειρο σύνολο γραμμών που δεν τέμνουν την ΑΒ. Από αυτά, μόνο δύο ονομάζονται παράλληλα με το ΑΒ.
Απάντηση από Oksana Tyshchenko[αρχάριος]
Οι παράλληλες ευθείες είναι δύο ευθείες σε ένα επίπεδο που δεν τέμνονται. Δύο ευθύγραμμα τμήματα ονομάζονται παράλληλα αν βρίσκονται σε παράλληλες ευθείες.