Θεώρημα απαραίτητη και επαρκής συνθήκη για εγγεγραμμένο τετράπλευρο. Τετράπλευρα εγγεγραμμένα σε κύκλο

Κυρτό τετράπλευρο A B C D (\displaystyle \displaystyle ABCD)εγγράφεται αν και μόνο αν το άθροισμα των απέναντι γωνιών είναι 180°, δηλαδή .

A + C = B + D = π = 180 ∘ . (\displaystyle A+C=B+D=\pi =180^(\circ ).)

Το θεώρημα ήταν Προσφορά 22στο βιβλίο 3 του Ευκλείδη Αρχές. Ισοδύναμα, ένα κυρτό τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο αν και μόνο αν η διπλανή γωνία είναι ίση με την απέναντι εσωτερική γωνία.

p q = a c + b d . (\displaystyle \displaystyle pq=ac+bd.)

Εάν δύο γραμμές, η μία από τις οποίες περιέχει ένα τμήμα ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ, και το άλλο είναι ένα τμήμα BD, τέμνονται σε ένα σημείο Π, μετά τέσσερις βαθμούς ΕΝΑ, σι, ντο, ρεξαπλώστε στον κύκλο εάν και μόνο εάν

A P ⋅ P C = B P ⋅ P D . (\displaystyle AP\cdot PC=BP\cdot PD.)

Σημείο τομής Πμπορεί να βρίσκεται τόσο μέσα όσο και έξω από τον κύκλο. Στην πρώτη περίπτωση, θα είναι εγγεγραμμένο τετράπλευρο Α Β Γ Δ, και στο δεύτερο - ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο ABDC. Εάν η τομή βρίσκεται μέσα, η ισότητα σημαίνει ότι το γινόμενο των τμημάτων στα οποία βρίσκεται το σημείο Πδιαιρεί μια διαγώνιο ισούται με το γινόμενο των τμημάτων της άλλης διαγώνιου. Αυτή η δήλωση είναι γνωστή ως θεώρημα τεμνόμενης χορδής, αφού οι διαγώνιοι ενός εγγεγραμμένου τετράπλευρου είναι χορδές του περιγεγραμμένου κύκλου.

Κυρτό τετράπλευρο Α Β Γ Δεγγράφεται αν και μόνο αν

tan ⁡ A 2 tan ⁡ C 2 = tan ⁡ B 2 tan ⁡ D 2 = 1. (\displaystyle \tan (\frac (A)(2))\tan (\frac (C)(2))=\tan (\frac (B)(2))\tan (\frac (D)(2))=1.)

τετράγωνο

S = (p − a) (p − b) (p − c) (p − d) (\displaystyle S=(\sqrt ((p-a)(p-b)(p-c)(p-d))))

Ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο έχει το μέγιστο εμβαδόν μεταξύ όλων των τετράπλευρων με την ίδια ακολουθία μηκών πλευρών. Αυτή είναι μια άλλη συνέπεια της σχέσης Bretschneider. Ο ισχυρισμός μπορεί να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας λογισμό.

Τέσσερα άνισα μήκη, το καθένα μικρότερο από το άθροισμα των άλλων τριών, είναι πλευρές των τριώνασύμβατα εγγεγραμμένα τετράπλευρα, και σύμφωνα με τον τύπο του Brahmagupta, όλα αυτά τα τρίγωνα έχουν το ίδιο εμβαδόν. Ειδικά για πάρτι ένα, σι, ντοΚαι ρεπλευρά έναμπορεί να είναι απέναντι από κάθε πλευρά σι, ντοή ρε. Οποιαδήποτε δύο από αυτά τα τρία εγγεγραμμένα τετράγωνα έχουν διαγώνιο του ίδιου μήκους.

Εμβαδόν εγγεγραμμένου τετράπλευρου με διαδοχικές πλευρές ένα, σι, ντο, ρεκαι γωνία σιμεταξύ των μερών έναΚαι σιμπορεί να εκφραστεί με τον τύπο

S = 1 2 (a b + c d) sin ⁡ B (\displaystyle S=(\tfrac (1)(2))(ab+cd)\sin (B)) S = 1 2 (a c + b d) sin⁡ θ (\displaystyle S=(\tfrac (1)(2))(ac+bd)\sin (\theta ))

Οπου θ - οποιαδήποτε γωνία μεταξύ των διαγωνίων. Αν η γωνία ΕΝΑδεν είναι ευθεία γραμμή, το εμβαδόν μπορεί να εκφραστεί με τον τύπο

S = 1 4 (a 2 − b 2 − c 2 + d 2) tan ⁡ A . (\displaystyle S=(\tfrac (1)(4))(a^(2)-b^(2)-c^(2)+d^(2))\tan (A).) S = 2 R 2 sin ⁡ A sin ⁡ B sin⁡ θ (\displaystyle S=2R^(2)\sin (A)\sin (B)\sin (\theta )) S ≤ 2 R 2 (\displaystyle S\leq 2R^(2)),

και η ανισότητα μετατρέπεται σε ισότητα αν και μόνο αν το τετράπλευρο είναι τετράγωνο.

Διαγώνιες

με κορυφές ΕΝΑ, σι, ντο, ρε(με αυτή τη σειρά) και τα μέρη ένα = ΑΒ, σι = προ ΧΡΙΣΤΟΥ, ντο = CDΚαι ρε = DAδιαγώνια μήκη Π = ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝΚαι q = BDμπορεί να εκφραστεί με όρους

p = (a c + b d) (a d + b c) a b + c d (\displaystyle p=(\sqrt (\frac ((ac+bd)(ad+bc))(ab+cd)))) q = (a c + b d) (a b + c d) a d + b c (\displaystyle q=(\sqrt (\frac ((ac+bd)(ab+cd))(ad+bc)))) p q = a c + b d . (\displaystyle pq=ac+bd.)

Σύμφωνα με Το δεύτερο θεώρημα του Πτολεμαίου ,

p q = a d + b c a b + c d (\displaystyle (\frac (p)(q))=(\frac (ad+bc)(ab+cd)))

με την ίδια σημειογραφία όπως πριν.

Για το άθροισμα των διαγωνίων έχουμε την ανισότητα

p + q ≥ 2 a c + b d . (\displaystyle p+q\geq 2(\sqrt (ac+bd)).)

Μια ανισότητα γίνεται ισότητα αν και μόνο αν οι διαγώνιοι έχουν το ίδιο μήκος, το οποίο μπορεί να φανεί χρησιμοποιώντας την ανισότητα μεταξύ του αριθμητικού μέσου και του γεωμετρικού μέσου όρου.

(p + q) 2 ≤ (a + c) 2 + (b + d) 2 . (\style display (p+q)^(2)\leq (a+c)^(2)+(b+d)^(2).)

Σε οποιοδήποτε κυρτό τετράπλευρο, δύο διαγώνιοι χωρίζουν το τετράπλευρο σε τέσσερα τρίγωνα. Σε ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο, τα απέναντι ζεύγη αυτών των τεσσάρων τριγώνων είναι παρόμοια.

Αν ΜΚαι Νείναι τα μέσα των διαγωνίων ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝΚαι BD, Οτι

M N E F = 1 2 | A C B D − B D A C | (\displaystyle (\frac (MN)(EF))=(\frac (1)(2))\left|(\frac (AC)(BD))-(\frac (BD)(AC))\δεξιά |)

Οπου μιΚαι φά- σημεία τομής αντίθετων πλευρών.

Αν Α Β Γ Δ- ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο και ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝσταυρούς BDστο σημείο Π, Οτι

A P C P = A B C B ⋅ A D C D . (\displaystyle (\frac (AP)(CP))=(\frac (AB)(CB))\cdot (\frac (AD)(CD)).)

Τύποι γωνίας

ένα, σι, ντο, ρε, ημιπερίμετρος μικρόκαι γωνία ΕΝΑμεταξύ των μερών έναΚαι ρετριγωνομετρικές συναρτήσεις γωνίας ΕΝΑίσος

cos ⁡ A = a 2 + d 2 − b 2 − c 2 2 (a d + b c) , (\displaystyle \cos A=(\frac (a^(2)+d^(2)-b^(2) -c^(2))(2(ad+bc)))) sin ⁡ A = 2 (s − a) (s − b) (s − c) (s − d) (a d + b c) , (\displaystyle \sin A=(\frac (2(\sqrt ((s-a)) (s-b)(s-c)(s-d))))((ad+bc)))) tan ⁡ A 2 = (s − a) (s − d) (s − b) (s − c) . (\displaystyle \tan (\frac (A)(2))=(\sqrt (\frac ((s-a)(s-d))((s-b)(s-c)))).

Για γωνία θ μεταξύ των διαγώνιων

tan⁡ θ 2 = (s − b) (s − d) (s − a) (s − c) . (\displaystyle \tan (\frac (\theta )(2))=(\sqrt (\frac ((s-b)(s-d))((s-a)(s-c)))).

Αν συνέχειες αντίθετων πλευρών έναΚαι ντοτέμνονται υπό γωνία phi (\displaystyle \phi) , Οτι

cos ⁡ ϕ 2 = (s − b) (s − d) (b + d) 2 (a b + c d) (a d + b c) (\displaystyle \cos (\frac (\phi )(2))=(\ sqrt (\frac ((s-b)(s-d)(b+d)^(2))((ab+cd)(ad+bc)))))

Φόρμουλα Parameswar

Για εγγεγραμμένο τετράπλευρο με πλευρές ένα, σι, ντο, ρε(με την καθορισμένη σειρά) και ημιπεριμετρική μικρόακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου) δίνεται από τον τύπο

R = 1 4 (a b + c d) (a c + b d) (a d + b c) (s − a) (s − b) (s − c) (s − d) . (\displaystyle R=(\frac (1)(4))(\sqrt (\frac ((ab+cd)(ac+bd)(ad+bc))((s-a)(s-b)(s-c)(s-d ))))))

Ο τύπος αναπτύχθηκε από έναν Ινδό μαθηματικό Vatasseri Parameswaraτον 15ο αιώνα.

Αν οι διαγώνιοι ενός εγγεγραμμένου τετράπλευρου τέμνονται σε ένα σημείο Π, και τα μέσα των διαγωνίων είναι VΚαι W, τότε το αντίκεντρο του τετράπλευρου είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου VWP, και το κέντρο της κορυφής βρίσκεται στο μέσο του τμήματος που συνδέει τα μέσα των διαγωνίων.

Σε ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο "κεντροειδές περιοχής" Ζ α, "vertex centroid" G vκαι διασταύρωση Ποι διαγώνιες βρίσκονται στην ίδια γραμμή. Για τις αποστάσεις μεταξύ αυτών των σημείων, η ισότητα

P G a = 4 3 P G v . (\displaystyle PG_(a)=(\tfrac (4)(3))PG_(v).)

Άλλα ακίνητα

• Σε εγγεγραμμένο τετράπλευρο Α Β Γ Δμε το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου Οαφήνω Π- σημείο τομής των διαγωνίων ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝΚαι BD. Μετά η γωνία APBείναι ο αριθμητικός μέσος όρος των γωνιών AOBΚαι ΓΑΔΟΣ. Αυτό είναι άμεση συνέπεια του θεωρήματος της εγγεγραμμένης γωνίας και Θεωρήματα εξωτερικής γωνίας τριγώνου.

• Εάν ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο έχει μήκη πλευρών που σχηματίζουν αριθμητική πρόοδο, τότε το τετράπλευρο είναι επίσης περιγράφεται εξωτερικά.

Τετράγωνα του Μπραμαγκούπτα

Τετράγωνο Brahmaguptaείναι ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο με ακέραια μήκη πλευρών, ακέραια μήκη διαγωνίου και ακέραιο εμβαδόν. Όλα τα τετράπλευρα του Brahmagupta με πλευρές Α Β Γ Δ, διαγώνιες e, f, περιοχή S και ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου Rμπορεί να ληφθεί με την απαλλαγή από τον παρονομαστή στις ακόλουθες εκφράσεις (με ορθολογικές παραμέτρους t, uΚαι v):

a = [ t (u + v) + (1 − u v) ] [ u + v − t (1 − u v) ] (\displaystyle a=) b = (1 + u 2) (v − t) (1 + t v) (\style display b=(1+u^(2))(v-t)(1+tv)) c = t (1 + u 2) (1 + v 2) (\displaystyle c=t(1+u^(2))(1+v^(2))) d = (1 + v 2) (u − t) (1 + t u) (\style display d=(1+v^(2))(u-t)(1+tu)) e = u (1 + t 2) (1 + v 2) (\displaystyle e=u(1+t^(2))(1+v^(2))) f = v (1 + t 2) (1 + u 2) (\displaystyle f=v(1+t^(2))(1+u^(2))) S = u v [ 2 t (1 − u v) − (u + v) (1 − t 2) ] [ 2 (u + v) t + (1 − u v) (1 − t 2) ] (\displaystyle S= UV) 4 R = (1 + u 2) (1 + v 2) (1 + t 2) . (\displaystyle 4R=(1+u^(2))(1+v^(2))(1+t^(2)).)

Ιδιότητες ορθοδιαγώνιων εγγεγραμμένων τετραγώνων

Εμβαδόν και ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου

Έστω για ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο που είναι επίσης ορθοδιαγώνιο (δηλαδή έχει κάθετες διαγώνιες), η τομή των διαγωνίων χωρίζει μια διαγώνιο σε τμήματα μήκους Π 1 και Π 2 και χωρίζει το άλλο σε τμήματα μήκους q 1 και q 2. Τότε (η πρώτη ισότητα είναι Πρόταση 11στα Λήμματα του Αρχιμήδη)

D 2 = p 1 2 + p 2 2 + q 1 2 + q 2 2 = a 2 + c 2 = b 2 + d 2 (\displaystyle D^(2)=p_(1)^(2)+p_( 2)^(2)+q_(1)^(2)+q_(2)^(2)=a^(2)+c^(2)=b^(2)+d^(2)),

Οπου ρε -

ή, μέσω των πλευρών του τετράπλευρου

R \u003d 1 2 a 2 + c 2 \u003d 1 2 b 2 + d 2. (\displaystyle R=(\tfrac (1)(2))(\sqrt (a^(2)+c^(2)))=(\tfrac (1)(2))(\sqrt (b^( 2)+d^(2))).)

Από αυτό προκύπτει επίσης ότι

a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 8 R 2 . (\displaystyle a^(2)+b^(2)+c^(2)+d^(2)=8R^(2).)

Έτσι, σύμφωνα με τον τύπο του Euler, η ακτίνα μπορεί να εκφραστεί ως προς τις διαγώνιες ΠΚαι qκαι απόσταση Χμεταξύ των μεσαίων σημείων των διαγωνίων

R \u003d p 2 + q 2 + 4 x 2 8. (\displaystyle R=(\sqrt (\frac (p^(2)+q^(2)+4x^(2))(8))).)

Φόρμουλα για την περιοχή κενός εγγεγραμμένου ορθοδιαγώνιου τετράπλευρου μπορεί να ληφθεί άμεσα ως προς τις πλευρές συνδυάζοντας το θεώρημα του Πτολεμαίου (βλ. παραπάνω) και τον τύπο για το εμβαδόν ενός ορθοδιαγώνιου τετράπλευρου. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε

Βιβλιογραφία

• Claudi Alsina, Roger Nelsen. When Less is More: Visualizing Basic Inequalities, Κεφάλαιο 4.3 Κυκλικά, εφαπτομενικά και δικεντρικά τετράπλευρα. - Mathematical Association of America, 2009. - ISBN 978-0-88385-342-9.
• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen.Στις διαγώνιες ενός κυκλικού τετράπλευρου // Forum Geometricorum. - 2007. - V. 7.
• Nathan Altshiller-Court.Κολεγιακή Γεωμετρία: Εισαγωγή στη Σύγχρονη Γεωμετρία του Τριγώνου και του Κύκλου. - 2ο. - Courier Dover, 2007. - ISBN 978-0-486-45805-2.(org. 1952)
• =Titu Andreescu, Bogdan Enescu. .
• Harold Scott MacDonald Coxeter, Samuel L. Greitzer.Γεωμετρία Επανεξέταση. 3.2 Κυκλικά τετράγωνα. Ο τύπος του Brahmagupta - Mathematical Association of America, 1967. - ISBN 978-0-88385-619-2.Μετάφραση G. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer.Νέες συναντήσεις με τη γεωμετρία. 3.2 Ενεπίγραφα τετράγωνα. Θεώρημα Brahmagupta. - Μόσχα: "Επιστήμη", 1978. - (Βιβλιοθήκη του μαθηματικού κύκλου).
• Crux Mathematicorum.Ανισότητες που προτείνονται στο Crux Mathematicorum. - 2007.
• D. Fraivert.Η θεωρία ενός απερίγραπτου τετράπλευρου και ενός κύκλου που σχηματίζει σημεία Pascal // Journal of Mathematical Sciences: Advances and Applications. - 2016. - Τ. 42. - Σελ. 81–107. - DOI:10.18642/jmsaa_7100121742.
• C. V. Durell, A. Robson.προηγμένη τριγωνομετρία. - Courier Dover, 2003. - ISBN 978-0-486-43229-8.(προέλευση 1930)
• Mowaffak Hajja.Προϋπόθεση για ένα περιγραφόμενο τετράπλευρο να είναι κυκλικό // Forum Geometricorum. - 2008. - V. 8.
• Λάρι Χόεν. Circumradius of a κυκλικό τετράπλευρο // Μαθηματική Εφημερίδα. - 2000. - Τ. 84, αρ. 499 Μάρτιος.
• Ρος Χόνσμπεργκερ.Επεισόδια στην Ευκλείδεια Γεωμετρία του 19ου και του εικοστού αιώνα. - Cambridge University Press, 1995. - V. 37. - (New Mathematical Library). - ISBN 978-0-88385-639-0.
• Ρότζερ Α. Τζόνσον.Προηγμένη Ευκλείδεια Γεωμετρία. - Dover Publ, 2007.(προέλευση 1929)
• Θωμάς Πέτρος.Μεγιστοποίηση της περιοχής ενός τετράπλευρου // The College Mathematics Journal. - 2003. - Τ. 34, αρ. 4 Σεπτεμβρίου.
• Alfred S. Posamentier, Charles T. Salkind.Προκλητικά προβλήματα στη Γεωμετρία. - 2ο. - Courier Dover, 1970. - ISBN 978-0-486-69154-1.Κεφάλαιο: Λύσεις: 4-23 Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των τετραγώνων των μέτρων των τμημάτων που γίνονται από δύο κάθετες χορδές είναι ίσο με το τετράγωνο του μέτρου της διαμέτρου του δεδομένου κύκλου.

• , Μετάφραση από τη ρωσική έκδοση V.V. Πρασόλοφ.Προβλήματα στην επιπεδομετρία. Φροντιστήριο. - 5η. - Μόσχα: MTSNMO OAO "Moscow textbooks", 2006. - ISBN 5-94057-214-6

Από την Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

• Στην Ευκλείδεια γεωμετρία, εγγεγραμμένο τετράπλευροείναι ένα τετράπλευρο στο οποίο όλες οι κορυφές βρίσκονται στον ίδιο κύκλο. Αυτός ο κύκλος ονομάζεται περιγεγραμμένος κύκλοςτετράπλευρο, και οι κορυφές λέγεται ότι βρίσκονται στον ίδιο κύκλο. Το κέντρο αυτού του κύκλου και η ακτίνα του ονομάζονται αντίστοιχα κέντροΚαι ακτίνα κύκλουπεριγεγραμμένος κύκλος. Άλλοι όροι για αυτό το τετράπλευρο: τετράπλευρο βρίσκεται στον ίδιο κύκλο, οι πλευρές του τελευταίου τετράπλευρου είναι οι χορδές του κύκλου. Συνήθως θεωρείται ότι ένα κυρτό τετράπλευρο είναι ένα κυρτό τετράπλευρο. Οι τύποι και οι ιδιότητες που δίνονται παρακάτω ισχύουν στην κυρτή περίπτωση.
• Λένε ότι αν ένας κύκλος μπορεί να περιγραφεί γύρω από ένα τετράπλευρο, Οτι το τετράπλευρο εγγράφεται σε αυτόν τον κύκλο, και αντίστροφα.

Γενικά κριτήρια για να εγγραφεί ένα τετράπλευρο

• Σχετικά με ένα κυρτό τετράπλευρο $\backslash \pi \iota$ radian), δηλαδή:

$\backslash \gamma \omega \nu ί\alpha \; A+\backslash \gamma \omega \nu ί\alpha \; C\; =\; \backslash \gamma \omega \nu ί\alpha \; B\; +\; \backslash \gamma \omega \nu ί\alpha \; D\; =\; 180^\backslash circ$

ή στη σημειογραφία του σχήματος:

$\backslash ά\lambda \phi \alpha \; +\; \backslash \gamma ά\mu \alpha \; =\; \backslash \beta ή\tau \alpha \; +\; \backslash \delta έ\lambda \tau \alpha \; =\; \backslash pi\; =\; 180^(\backslash circ).$

• Είναι δυνατόν να περιγραφεί ένας κύκλος γύρω από οποιοδήποτε τετράπλευρο, στον οποίο τέσσερις κάθετες διχοτόμοι των πλευρών του (ή μεσολαβητές των πλευρών του, δηλαδή κάθετες στις πλευρές που διέρχονται από τα μέσα τους) τέμνονται σε ένα σημείο.
• Είναι δυνατό να περιγραφεί ένας κύκλος για οποιοδήποτε τετράπλευρο που έχει μία εξωτερική γωνία δίπλα του δεδομένης εσωτερικής γωνίας, ακριβώς ίσο με μια άλλη εσωτερική γωνία απέναντι δεδομένη εσωτερική γωνία. Στην πραγματικότητα, αυτή η συνθήκη είναι η συνθήκη αντιπαραλληλισμού δύο αντίθετων πλευρών του τετράπλευρου. Στο σχ. Οι εξωτερικές και οι παρακείμενες εσωτερικές γωνίες του πράσινου πενταγώνου φαίνονται παρακάτω.

$\backslash displaystyle\; AX\backslash cdot\; XC\; =\; BX\backslash cdot\; XD.$

• σημείο τομής Χμπορεί να είναι εσωτερικό ή εξωτερικό του κύκλου. Στην πρώτη περίπτωση, παίρνουμε το εγγεγραμμένο τετράπλευρο είναι Α Β Γ Δ, και στην τελευταία περίπτωση παίρνουμε ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο ABDC. Όταν διασταυρώνεται μέσα σε κύκλο, η εξίσωση λέει ότι το γινόμενο των μηκών των τμημάτων στα οποία βρίσκεται το σημείο Χδιαιρεί μία διαγώνιο ισούται με το γινόμενο των μηκών των τμημάτων στα οποία το σημείο Χχωρίζει την άλλη διαγώνιο. Αυτή η συνθήκη είναι γνωστή ως «θεώρημα τεμνόμενων χορδών». Στην περίπτωσή μας, οι διαγώνιοι του εγγεγραμμένου τετράπλευρου είναι οι χορδές του κύκλου.
• Ένα άλλο κριτήριο επιλεξιμότητας. Κυρτό τετράπλευρο Α Β Γ Δένας κύκλος εγγράφεται αν και μόνο αν

$\backslash tan(\backslash frac(\backslash alpha)(2)\backslash tan(\backslash frac(\backslash gamma)(2))=\backslash tan(\backslash frac(\backslash beta)(2))\backslash tan(\backslash frac(\backslash \delta έ\lambda \tau \alpha )(\; 2))=1.$

Ιδιαίτερα κριτήρια για εγγεγραμμένο τετράπλευρο

Ένα εγγεγραμμένο απλό (χωρίς αυτοτομές) τετράπλευρο είναι κυρτό. Ένας κύκλος μπορεί να περιγραφεί γύρω από ένα κυρτό τετράπλευρο αν και μόνο αν το άθροισμα των απέναντι γωνιών του είναι 180° ( $\backslash \pi \iota$ακτίνιο). Μπορείτε να περιγράψετε έναν κύκλο γύρω από:

• οποιοδήποτε αντιπαραλληλόγραμμο
• οποιοδήποτε ορθογώνιο ( ειδική περίπτωσητετράγωνο)
• οποιοδήποτε ισοσκελές τραπεζοειδές
• οποιοδήποτε τετράπλευρο με δύο αντίθετες γωνίες ορθές.

Ιδιότητες

Τύποι με διαγώνιες

$ef=ac+bd$; $\backslash frac(e)(f)\; =\; \backslash frac(a\backslash cdot\; d+b\backslash cdot\; c)(a\backslash cdot\; b+c\backslash cdot\; d).$

Στον τελευταίο τύπο του ζεύγους των διπλανών πλευρών του αριθμητή έναΚαι ρε, σιΚαι ντοακουμπούν τα άκρα τους σε μια διαγώνιο μήκους μι. Μια παρόμοια δήλωση ισχύει για τον παρονομαστή.

• Φόρμουλες για διαγώνια μήκη(συνέπειες ):

$e\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac((ac+bd)(ad+bc))(ab+cd))$Και $f\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac((ac+bd)(ab+cd))(ad+bc))$

Φόρμουλες με γωνίες

Για εγγεγραμμένο τετράπλευρο με ακολουθία πλευρών ένα , σι , ντο , ρε, με ημιπερίμετρο Πκαι γωνία ΕΝΑμεταξύ των μερών έναΚαι ρε, τριγωνομετρικές συναρτήσεις της γωνίας ΕΝΑδίνονται με τύπους

$\backslash cos\; A\; =\; \backslash frac(a^2\; +\; d^2\; -\; b^2\; -\; c^2)(2(ad\; +\; bc)),$ $\backslash sin\; A\; =\; \backslash frac(2\backslash sqrt((p-a)(p-b)(p-c)(p-d)))((ad+bc)),$ $\backslash tan\; \backslash frac(A)(2)\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac((p-a)(p-d))((p-b)(p-c))).$

Γωνία θ μεταξύ των διαγωνίων είναι :σελ.26

$\backslash tan\; \backslash frac(\backslash theta)(2)\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac((p-b)(p-d))((p-a)(p-c))).$

• Εάν οι αντίθετες πλευρές έναΚαι ντοτέμνονται υπό γωνία φ , τότε ισούται με

$\backslash cos(\backslash frac(\backslash varphi)(2))=\backslash sqrt(\backslash frac((p-b)(p-d)(b+d)^2)((ab+cd)(ad+bc))),$

Οπου Πείναι ημιπερίμετρος. :σελ.31

Ακτίνα κύκλου που περικλείεται σε τετράπλευρο

Formula of Parameshvara (Parameshvara)

Αν τετράπλευρο με διαδοχικές πλευρές ένα , σι , ντο , ρεκαι ημιπεριμετρική Πεγγράφεται ένας κύκλος, τότε η ακτίνα του είναι Φόρμουλα Parameswar:Π. 84

$R=\; \backslash frac(1)(4)\; \backslash sqrt(\backslash frac((ab+cd)(ad+bc)(ac+bd))((p-a)(p-b)(p-c)(p-d))).$

Αναπτύχθηκε από τον Ινδό μαθηματικό Parameswar τον 15ο αιώνα (περ. 1380-1460)

• Ένα κυρτό τετράπλευρο (δείτε το σχήμα στα δεξιά) που σχηματίζεται από τέσσερα δεδομένα κατευθείαν Mikel, εγγράφεται σε κύκλο εάν και μόνο αν το σημείο Miquel Μτου τετράπλευρου βρίσκεται στην ευθεία που ενώνει δύο από τα έξι σημεία τομής των ευθειών (αυτά που δεν είναι κορυφές του τετράπλευρου). Πότε δηλαδή Μβρίσκεται επάνω ΕΦ.

Κριτήριο ότι ένα τετράπλευρο που αποτελείται από δύο τρίγωνα είναι εγγεγραμμένο σε κάποιον κύκλο

$f^2\; =\; \backslash frac((ac+bd)(ad+bc))((ab+cd)).$

• Η τελευταία συνθήκη δίνει μια έκφραση για τη διαγώνιο φάένα τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο, στα μήκη των τεσσάρων πλευρών του ( ένα, σι, ντο, ρε). Αυτός ο τύπος ακολουθεί αμέσως όταν πολλαπλασιάζονται και εξισώνονται μεταξύ τους το αριστερό και το δεξί μέρος των τύπων που εκφράζουν την ουσία Το πρώτο και το δεύτερο θεωρήματα του Πτολεμαίου(βλέπε παραπάνω).

Κριτήριο ότι ένα τετράπλευρο που αποκόπτεται από μια ευθεία γραμμή από ένα τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κάποιον κύκλο

• Μια ευθεία γραμμή, αντιπαράλληλη προς την πλευρά του τριγώνου και που το τέμνει, αποκόπτει ένα τετράπλευρο από αυτό, γύρω από το οποίο μπορεί πάντα να περιγραφεί ένας κύκλος.
• Συνέπεια. Κοντά σε ένα αντιπαραλληλόγραμμο, στο οποίο δύο απέναντι πλευρές είναι αντιπαράλληλες, είναι πάντα δυνατό να περιγραφεί ένας κύκλος.

Εμβαδόν τετράπλευρου εγγεγραμμένο σε κύκλο

Παραλλαγές της φόρμουλας Brahmagupta

$S=\backslash sqrt((p-a)(p-b)(p-c)(p-d)),$όπου p είναι η ημιπερίμετρος του τετράπλευρου. $S=\; \backslash frac(1)(4)\; \backslash sqrt(-\; \backslash begin(vmatrix)$

a & b & c & -d \\ b & a & -d & c \\ c & -d & a & b \\ -d & c & b & a \end(vmatrix))

Άλλοι τύποι περιοχής

$S\; =\; \backslash tfrac(1)(2)(ab+cd)\backslash sin(B)$ $S\; =\; \backslash tfrac(1)(2)(ac+bd)\backslash sin(\backslash theta),$

Οπου θ οποιαδήποτε από τις γωνίες μεταξύ των διαγωνίων. Με την προϋπόθεση ότι η γωνία ΕΝΑδεν είναι ευθεία, το εμβαδόν μπορεί επίσης να εκφραστεί ως :σελ.26

$S\; =\; \backslash tfrac(1)(4)(a^2-b^2-c^2+d^2)\backslash tan(A).$ $\backslash displaystyle\; S=2R^2\backslash sin(A)\backslash sin(B)\backslash sin(\backslash theta),$

Οπου Rείναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου. Ως άμεση συνέπεια, έχουμε την ανισότητα

$S\backslash le\; 2R^2,$

όπου η ισότητα είναι δυνατή αν και μόνο αν αυτό το τετράπλευρο είναι τετράγωνο.

Τετράγωνα του Μπραμαγκούπτα

Τετράγωνο Brahmaguptaείναι ένα τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο με ακέραια μήκη πλευρών, ακέραιες διαγώνιες και ακέραιο εμβαδόν. Όλα τα πιθανά τετράπλευρα Brahmagupta με πλευρές ένα , σι , ντο , ρε, με διαγώνιους μι , φά, με εμβαδόν μικρό, και την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου Rμπορεί να ληφθεί αφαιρώντας τους παρονομαστές των παρακάτω παραστάσεων που περιλαμβάνουν ορθολογικές παραμέτρους t , u, Και v :

$\alpha =$ $b=(1+u^2)(v-t)(1+tv)$ $c=t(1+u^2)(1+v^2)$ $d=(1+v^2)(u-t)(1+tu)$ $e=u(1+t^2)(1+v^2)$ $f=v(1+t^2)(1+u^2)$ $S=uv$ $4R=(1+u^2)(1+v^2)(1+t^2).$

Παραδείγματα

• Ιδιωτικά τετράπλευρα εγγεγραμμένα σε κύκλο είναι: ορθογώνιο, τετράγωνο, ισοσκελές ή ισοσκελές τραπεζοειδές, αντιπαραλληλόγραμμο.

Τετράπλευρα εγγεγραμμένα σε κύκλο με κάθετες διαγώνιες (εγγεγραμμένα ορθοδιαγώνια τετράπλευρα)

Ιδιότητες τετράπλευρων εγγεγραμμένων σε κύκλο με κάθετες διαγώνιους

Ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου και του εμβαδού

Για ένα τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο με κάθετες διαγώνιες, ας υποθέσουμε ότι η τομή των διαγωνίων χωρίζει μια διαγώνιο σε τμήματα μήκους Π 1 και Π 2, και χωρίζει την άλλη διαγώνιο σε τμήματα μήκους q 1 και q 2. Τότε (η πρώτη ισότητα είναι η Πρόταση 11 στον Αρχιμήδη» Βιβλίο Λήμματα)

$D^2=p\_1^2+p\_2^2+q\_1^2+q\_2^2=a^2+c^2=b^2+d^2,$

Οπου ρε- διάμετρος κύκλου. Αυτό ισχύει γιατί οι διαγώνιοι είναι κάθετες στη χορδή του κύκλου. Από αυτές τις εξισώσεις προκύπτει ότι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου Rμπορεί να γραφτεί στη φόρμα

$R=\backslash tfrac(1)(2)\backslash sqrt(p\_1^2+p\_2^2+q\_1^2+q\_2^2)$

ή ως προς τις πλευρές ενός τετράπλευρου στη μορφή

$R=\backslash tfrac(1)(2)\backslash sqrt(a^2+c^2)=\backslash tfrac(1)(2)\backslash sqrt(b^2+d^2).$

Από αυτό προκύπτει επίσης ότι

$a^2+b^2+c^2+d^2=8R^2.$

• Για εγγεγραμμένα ορθοδιαγώνια τετράπλευρα, ισχύει το θεώρημα του Brahmagupta:

Αν ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο έχει κάθετες διαγώνιες που τέμνονται σε ένα σημείο ${\rm M}$, μετά δύο ζεύγη antimediatris περάσουν από το σημείο ${\rm M}$.

Σχόλιο. Σε αυτό το θεώρημα, antimediatrisκατανοήσουν το τμήμα $F.E.$τετράπλευρο στο σχήμα στα δεξιά (κατ' αναλογία με την κάθετο διχοτόμο (μέσο) προς την πλευρά του τριγώνου). Είναι κάθετο στη μία πλευρά και ταυτόχρονα διέρχεται από το μέσο της απέναντι πλευράς του τετράπλευρου.

Γράψτε μια κριτική για το άρθρο "Τετράγωνα εγγεγραμμένα σε κύκλο"

Σημειώσεις

1. Bradley, Christopher J. (2007), Η Άλγεβρα της Γεωμετρίας: Καρτεσιανές, Τοπικές και Προβολικές Συντεταγμένες, Highperception, σελ. 179, ISBN 1906338000, OCLC
2. . Ενεπίγραφα τετράπλευρα.
3. Siddons, A. W. & Hughes, R. T. (1929), Τριγωνομετρία, Cambridge University Press, σελ. 202, OCLC
4. Durell, C.V. & Robson, A. (2003), Courier Dover, ISBN 978-0-486-43229-8 ,
5. Alsina, Claudi & Nelsen, Roger B. (2007), "", Forum GeometricorumΤ. 7: 147–9 ,
6. Τζόνσον, Ρότζερ Α., Προηγμένη Ευκλείδεια Γεωμετρία, Dover Publ., 2007 (αρχ. 1929).
7. Hoehn, Larry (Μάρτιος 2000), "Circumradius of a cyclic quadrilateral", Μαθηματικό ΦΕΚΤ. 84 (499): 69–70
8. .
9. Altshiller-Court, Nathan (2007), Κολεγιακή Γεωμετρία: Εισαγωγή στη Σύγχρονη Γεωμετρία του Τριγώνου και του Κύκλου(2η έκδ.), Courier Dover, σσ. 131, 137–8, ISBN 978-0-486-45805-2, OCLC
10. Honsberger, Ross (1995), . Επεισόδια στην Ευκλείδεια Γεωμετρία του δέκατου ένατου και του εικοστού αιώνα, τόμ. 37, New Mathematical Library, Cambridge University Press, pp. 35–39, ISBN 978-0-88385-639-0
11. Weisstein, Eric W.(Αγγλικά) στον ιστότοπο Wolfram MathWorld.
12. Bradley, Christopher (2011), ,
13. .
14. Coxeter, Harold Scott MacDonald & Greitzer, Samuel L. (1967), . Γεωμετρία Επανεξέταση, Mathematical Association of America, pp. 57, 60, ISBN 978-0-88385-619-2
15. .
16. Andreescu, Titu & Enescu, Bogdan (2004), . Θησαυροί της Μαθηματικής Ολυμπιάδας, Σπρίνγκερ, σσ. 44–46, 50, ISBN 978-0-8176-4305-8
17. .
18. Buchholz, R. H. & MacDougall, J. A. (1999), "", Δελτίο της Αυστραλιανής Μαθηματικής ΕταιρείαςΤ. 59(2): 263–9 , DOI 10.1017/S0004972700032883
19. .
20. Τζόνσον, Ρότζερ Α., Προηγμένη Ευκλείδεια Γεωμετρία, Dover Publ. συν., 2007
21. , Με. 74.
22. .
23. .
24. .
25. Peter, Thomas (Σεπτέμβριος 2003), "Μεγιστοποίηση της περιοχής ενός τετράπλευρου", The College Mathematics JournalΤ. 34 (4): 315–6
26. Prasolov, Viktor, ,
27. Alsina, Claudi & Nelsen, Roger (2009), , Mathematical Association of America, σελ. 64, ISBN 978-0-88385-342-9 ,
28. Sastry, K.R.S. (2002). "" (PDF). Forum Geometricorum 2 : 167–173.
29. Posamentier, Alfred S. & Salkind, Charles T. (1970), . Προκλητικά προβλήματα στη Γεωμετρία(2η έκδ.), Courier Dover, σσ. 104–5, ISBN 978-0-486-69154-1
30. .
31. .
32. .

δείτε επίσης

Με αριθμό πλευρών σωστός τρίγωνα Τετράπλευρα δείτε επίσης

Το άρθρο περιέχει σύντομες ("Harvard") αναφορές σε δημοσιεύσεις που δεν αναφέρονται ή περιγράφονται λανθασμένα στη βιβλιογραφική ενότητα. Λίστα με συνδέσμους που δεν λειτουργούν: , , , , , , , , , , - Λοιπόν, τι, Κοζάκο μου; (Η Marya Dmitrievna αποκάλεσε τη Νατάσα Κοζάκο) - είπε, χαϊδεύοντας τη Νατάσα με το χέρι της, η οποία πλησίασε το χέρι της χωρίς φόβο και χαρούμενα. - Ξέρω ότι το φίλτρο είναι κορίτσι, αλλά το λατρεύω. Έβγαλε από το τεράστιο δικτυωτό της σκουλαρίκια σε σχήμα αχλαδιού και, δίνοντάς τα στη Νατάσα, που έλαμπε και κοκκίνιζε με γενέθλια, αμέσως στράφηκε από κοντά της και στράφηκε στον Πιέρ. – Ε, ε! είδος! έλα εδώ», είπε με μια σκωπτικά ήσυχη και λεπτή φωνή. - Έλα καλή μου... Και σήκωσε τα μανίκια απειλητικά ακόμα πιο ψηλά. Ο Πιερ ανέβηκε, κοιτάζοντάς την αφελώς μέσα από τα γυαλιά του. "Έλα, έλα, αγαπητέ!" Είπα στον πατέρα σου την αλήθεια μόνος, όταν έτυχε, και τότε σε διατάζει ο Θεός. Έκανε μια παύση. Όλοι έμειναν σιωπηλοί, περίμεναν τι θα επακολουθούσε και ένιωθαν ότι υπήρχε μόνο ένας πρόλογος. - Εντάξει, τίποτα να πω! καλό παιδί!... Ο πατέρας ξαπλώνει στο κρεβάτι, και διασκεδάζει, βάζει το τέταρτο σε μια αρκούδα καβάλα. Ντροπή σου μπαμπά, ντροπή σου! Καλύτερα να πάμε στον πόλεμο. Γύρισε μακριά και πρόσφερε το χέρι της στον κόμη, ο οποίος μετά βίας συγκρατούσε τα γέλια. - Λοιπόν, καλά, στο τραπέζι, έχω τσάι, είναι ώρα; είπε η Μαρία Ντμίτριεβνα. Η καταμέτρηση προχώρησε με τη Marya Dmitrievna. τότε η κόμισσα, της οποίας ηγούνταν ένας συνταγματάρχης ουσάρων, το σωστό άτομο με το οποίο ο Νικολάι έπρεπε να προλάβει το σύνταγμα. Η Anna Mikhailovna είναι με τον Shinshin. Ο Μπεργκ πρόσφερε το χέρι του στη Βέρα. Η χαμογελαστή Τζούλι Καραγκίνα πήγε με τον Νικολάι στο τραπέζι. Πίσω τους ήρθαν άλλα ζευγάρια, που απλώνονταν στην αίθουσα, και πίσω τους ολομόναχοι, παιδιά, δάσκαλοι και γκουβερνάντες. Οι σερβιτόροι ανακατεύτηκαν, οι καρέκλες έτρεμαν, η μουσική έπαιζε στους πάγκους της χορωδίας και οι καλεσμένοι εγκαταστάθηκαν. Οι ήχοι της σπιτικής μουσικής του κόμη αντικαταστάθηκαν από τους ήχους των μαχαιριών και των πιρουνιών, τις φωνές των καλεσμένων, τα ήσυχα βήματα των σερβιτόρων. Στη μια άκρη του τραπεζιού, η κόμισσα κάθισε στο κεφάλι. Στα δεξιά είναι η Marya Dmitrievna, στα αριστερά η Anna Mikhailovna και άλλοι καλεσμένοι. Στο άλλο άκρο καθόταν ένας κόμης, στα αριστερά ένας συνταγματάρχης ουσάρ, στη δεξιά ο Σινσίν και άλλοι άντρες καλεσμένοι. Στη μία πλευρά του μακριού τραπεζιού, ηλικιωμένη νεολαία: η Βέρα δίπλα στον Μπεργκ, ο Πιερ δίπλα στον Μπόρις. από την άλλη, παιδιά, δάσκαλοι και γκουβερνάντες. Πίσω από τα κρύσταλλα, τα μπουκάλια και τα βάζα με φρούτα, ο κόμης κοίταξε τη γυναίκα του και το ψηλό καπέλο της με τις μπλε κορδέλες και έριχνε επιμελώς κρασί στους γείτονές του, χωρίς να ξεχάσει τον εαυτό του. Η Κοντέσα, επίσης, λόγω των ανανάδων, μην ξεχνώντας τα καθήκοντά της ως οικοδέσποινα, έριξε σημαντικές ματιές στον σύζυγό της, του οποίου το φαλακρό κεφάλι και το πρόσωπο, της φαινόταν, διακρίνονταν έντονα από την κοκκινίλα τους από τα γκρίζα μαλλιά. Υπήρχε μια κανονική φλυαρία στο τέλος των κυριών. Οι φωνές ακούγονταν όλο και πιο δυνατές στον άνδρα, ειδικά στον συνταγματάρχη ουσάρ, που έτρωγε και έπινε τόσο πολύ, κοκκίνιζε όλο και περισσότερο που ο κόμης τον έδινε ήδη ως παράδειγμα σε άλλους καλεσμένους. Ο Μπεργκ, με ένα απαλό χαμόγελο, μίλησε στη Βέρα για το γεγονός ότι η αγάπη είναι ένα συναίσθημα όχι γήινο, αλλά ουράνιο. Ο Μπόρις κάλεσε τον νέο του φίλο Πιερ τους καλεσμένους που ήταν στο τραπέζι και αντάλλαξαν ματιές με τη Νατάσα που καθόταν απέναντί ​​του. Ο Πιερ μιλούσε ελάχιστα, κοίταζε νέα πρόσωπα και έτρωγε πολύ. Ξεκινώντας από δύο σούπες, από τις οποίες διάλεξε a la tortue, [χελώνα,] και κουλεμπυάκι, και μέχρι το γκρουζ, δεν έχασε ούτε ένα πιάτο και ούτε ένα κρασί, που προεξείχε μυστηριωδώς ο μπάτλερ σε ένα μπουκάλι τυλιγμένο σε χαρτοπετσέτα. από τον ώμο του γείτονά του, λέγοντας ή «ξηρό κρασί Μαδέρα, ή ουγγρικό, ή κρασί του Ρήνου. Αντικατέστησε το πρώτο από τα τέσσερα κρυστάλλινα ποτήρια με το μονόγραμμα του κόμη, που στεκόταν μπροστά σε κάθε συσκευή, και έπινε με ευχαρίστηση, κοιτάζοντας όλο και πιο ευχάριστα τους καλεσμένους. Η Νατάσα, που καθόταν απέναντί ​​του, κοίταξε τον Μπόρις, καθώς κορίτσια δεκατριών ετών κοιτάζουν το αγόρι με το οποίο μόλις είχαν φιληθεί για πρώτη φορά και με το οποίο είναι ερωτευμένοι. Αυτό το ίδιο βλέμμα της γύριζε μερικές φορές στον Πιέρ και κάτω από το βλέμμα αυτού του αστείου, ζωηρού κοριτσιού ήθελε να γελάσει ο ίδιος, χωρίς να ξέρει γιατί. Ο Νικολάι καθόταν μακριά από τη Σόνια, δίπλα στην Τζούλι Καραγκίνα, και πάλι, με το ίδιο ακούσιο χαμόγελο, της μίλησε κάτι. Η Σόνια χαμογέλασε μεγαλόπρεπα, αλλά προφανώς την βασάνιζε η ζήλια: χλόμιασε, μετά κοκκίνισε και με όλη της τη δύναμη άκουσε τι έλεγαν ο Νικολάι και η Τζούλι. Η γκουβερνάντα κοίταξε γύρω της ανήσυχη, σαν να ετοιμαζόταν για απόκρουση, αν σκεφτόταν κανείς να προσβάλει τα παιδιά. Ο Γερμανός δάσκαλος προσπάθησε να απομνημονεύσει τις κατηγορίες των φαγητών, των επιδορπίων και των κρασιών για να τα περιγράψει όλα λεπτομερώς σε ένα γράμμα προς την οικογένειά του στη Γερμανία και προσβλήθηκε πολύ από το γεγονός ότι ο μπάτλερ, με ένα μπουκάλι τυλιγμένο σε μια χαρτοπετσέτα, περιέβαλε αυτόν. Ο Γερμανός συνοφρυώθηκε, προσπάθησε να δείξει ότι δεν ήθελε να λάβει αυτό το κρασί, αλλά προσβλήθηκε γιατί κανείς δεν ήθελε να καταλάβει ότι χρειαζόταν κρασί όχι για να ξεδιψάσει, όχι από απληστία, αλλά από ευσυνείδητη περιέργεια. Στο αντρικό άκρο του τραπεζιού η συζήτηση γινόταν όλο και πιο ζωντανή. Ο συνταγματάρχης είπε ότι το μανιφέστο που κήρυξε τον πόλεμο είχε ήδη δημοσιευτεί στην Πετρούπολη και ότι το αντίγραφο, που είχε δει ο ίδιος, είχε πλέον παραδοθεί με κούριερ στον αρχιστράτηγο. - Και γιατί μας είναι δύσκολο να παλέψουμε με τον Βοναπάρτη; είπε ο Shinshin. - II a deja rabattu le caquet a l "Autriche. Je crains, que cette fois ce ne soit notre tour. [Έχει ήδη γκρεμίσει την αλαζονεία από την Αυστρία. Φοβάμαι ότι δεν θα έρθει τώρα η σειρά μας.] Ο συνταγματάρχης ήταν ένας εύσωμος, ψηλός και αισιόδοξος Γερμανός, προφανώς αγωνιστής και πατριώτης. Προσβλήθηκε από τα λόγια του Shinshin. «Και τότε, είμαστε ένας χοντρός κυρίαρχος», είπε, προφέροντας e αντί για e και β αντί για β. "Τότε, ότι ο αυτοκράτορας το γνωρίζει αυτό. Είπε στο μανιφέστο του ότι δεν μπορεί να κοιτάξει αδιάφορα τους κινδύνους που απειλούν τη Ρωσία και ότι η ασφάλεια της αυτοκρατορίας, η αξιοπρέπειά της και η ιερότητα των συμμαχιών", είπε, για κάποιο λόγο, κυρίως κλίνοντας για τη λέξη «συνδικάτα», λες και αυτή ήταν όλη η ουσία του θέματος. Και με την αλάνθαστη, επίσημη μνήμη του, επανέλαβε εισαγωγικά σχόλιαμανιφέστο ... "και η επιθυμία, ο μοναδικός και απαραίτητος στόχος του κυρίαρχου, που είναι η εδραίωση της ειρήνης στην Ευρώπη σε στέρεα εδάφη - αποφάσισαν να μεταφέρουν τώρα μέρος του στρατού στο εξωτερικό και να καταβάλουν νέες προσπάθειες για να επιτύχουν" αυτή την πρόθεση ". «Να γιατί, είμαστε ένας άξιος κυρίαρχος», κατέληξε, πίνοντας διδακτικά ένα ποτήρι κρασί και ανατρέχοντας στην καταμέτρηση για ενθάρρυνση. - Connaissez vous le proverbe: [Ξέρεις την παροιμία:] «Yerema, Yerema, αν καθόσουν στο σπίτι, ακόνισε τις ατράκτους σου», είπε ο Shinshin, τσακίζοντας και χαμογελώντας. – Cela nous convient a merveille. [Αυτό είναι παρεμπιπτόντως για εμάς.] Γιατί ο Σουβόροφ - και ήταν χωρισμένος, ένα πιάτο ραπτική, [στο κεφάλι,] και πού είναι τώρα οι Σουβόροφ; Je vous demande un peu, [σε ρωτάω] - πηδώντας συνεχώς από ρωσικά σε γαλλική γλώσσααυτός είπε. «Πρέπει να πολεμήσουμε μέχρι την επόμενη μέρα της ρίψης του αίματος», είπε ο συνταγματάρχης χτυπώντας το τραπέζι, «και να πεθάνουμε για τον αυτοκράτορά μας, και τότε όλα θα πάνε καλά». Και για να διαφωνήσει όσο περισσότερο γινόταν (τραβηγούσε ιδιαίτερα τη φωνή του στη λέξη «πιθανό»), όσο λιγότερο γινόταν», ολοκλήρωσε, γυρνώντας πάλι στο μέτρημα. - Άρα κρίνουμε τους παλιούς ουσάρους, αυτό είναι όλο. Και πώς κρίνεις, νέος και νέος ουσσάρος; πρόσθεσε, γυρίζοντας προς τον Νικολάι, ο οποίος, ακούγοντας ότι το θέμα ήταν για τον πόλεμο, άφησε τον συνομιλητή του και κοίταξε με όλα του τα μάτια και άκουσε με όλα του τα αυτιά τον συνταγματάρχη. «Συμφωνώ απόλυτα μαζί σου», απάντησε ο Νικολάι, ξεπλένοντας, γυρίζοντας το πιάτο και τακτοποιώντας τα ποτήρια με τόσο αποφασιστικό και απελπισμένο βλέμμα, σαν να βρισκόταν σε μεγάλο κίνδυνο αυτή τη στιγμή, «Είμαι πεπεισμένος ότι οι Ρώσοι πρέπει πεθάνεις ή κέρδισε», είπε, νιώθοντας ο ίδιος όπως και άλλοι, αφού η λέξη είχε ήδη ειπωθεί, ότι ήταν πολύ ενθουσιώδης και πομπώδης για την παρούσα περίσταση και ως εκ τούτου άβολη. - C "est bien beau ce que vous venez de dire, [Υπέροχο! αυτό που είπες είναι υπέροχο]", είπε η Τζούλι, που καθόταν δίπλα του αναστενάζοντας. Η Σόνια έτρεμε ολόκληρη και κοκκίνισε ως τα αυτιά της, πίσω από τα αυτιά της και στον λαιμό και στους ώμους της, ενώ ο Νικολάι μιλούσε.Ο Πιερ άκουγε τις ομιλίες του συνταγματάρχη και κούνησε το κεφάλι του επιδοκιμαστικά. «Αυτό είναι ωραίο», είπε. «Ένας πραγματικός ουσάρ, νεαρέ», φώναξε ο συνταγματάρχης, χτυπώντας ξανά το τραπέζι. - Τι λες εκεί; Η μπάσα φωνή της Marya Dmitrievna ακούστηκε ξαφνικά στο τραπέζι. Τι χτυπάς στο τραπέζι; γύρισε στον ουσάρ, «για ποιον ενθουσιάζεσαι; σωστά, πιστεύεις ότι οι Γάλλοι είναι μπροστά σου; «Λέω την αλήθεια», είπε ο ουσάρ χαμογελώντας. «Τα πάντα έχουν να κάνουν με τον πόλεμο», φώναξε ο κόμης απέναντι από το τραπέζι. «Τελικά, ο γιος μου έρχεται, η Marya Dmitrievna, ο γιος μου έρχεται. - Και έχω τέσσερις γιους στο στρατό, αλλά δεν λυπάμαι. Όλα είναι το θέλημα του Θεού: θα πεθάνεις ξαπλωμένος στη σόμπα και ο Θεός θα ελεηθεί στη μάχη », η χοντρή φωνή της Marya Dmitrievna ακούστηκε χωρίς καμία προσπάθεια, από την άλλη άκρη του τραπεζιού. - Αυτό είναι αλήθεια. Και η συζήτηση επικεντρώθηκε ξανά - οι κυρίες στο τέλος του τραπεζιού τους, οι άντρες στο δικό τους. «Μα δεν θα ρωτήσεις», είπε ο μικρός αδερφός στη Νατάσα, «αλλά δεν θα ρωτήσεις!» «Θα ρωτήσω», απάντησε η Νατάσα. Το πρόσωπό της φούντωσε ξαφνικά, εκφράζοντας μια απελπισμένη και χαρούμενη αποφασιστικότητα. Μισοσηκώθηκε, καλώντας τον Πιέρ, που καθόταν απέναντί ​​της, να ακούσει με ένα βλέμμα, και γύρισε στη μητέρα της: - Μητέρα! η παιδική φωνή στο στήθος της ακουγόταν σε όλο το τραπέζι. - Εσυ τι θελεις? ρώτησε τρομαγμένη η κόμισσα, αλλά, βλέποντας από το πρόσωπο της κόρης της ότι επρόκειτο για φάρσα, κούνησε το χέρι της αυστηρά, κάνοντας μια απειλητική και αρνητική κίνηση με το κεφάλι της. Η συζήτηση έκλεισε. - Μητέρα! τι τούρτα θα είναι; - Η φωνή της Νατάσας ακούστηκε ακόμα πιο αποφασιστικά, χωρίς να σπάσει. Η Κόμισσα ήθελε να συνοφρυωθεί, αλλά δεν μπορούσε. Η Marya Dmitrievna κούνησε το χοντρό της δάχτυλο. «Κοζάκος», είπε απειλητικά. Οι περισσότεροι από τους καλεσμένους κοίταξαν τους ηλικιωμένους, αβέβαιοι πώς να κάνουν αυτό το κόλπο. - Εδώ είμαι! είπε η κόμισσα. - Μητέρα! τι θα είναι η τούρτα; Η Νατάσα φώναξε ήδη τολμηρά και ιδιότροπα χαρούμενα, σίγουρη εκ των προτέρων ότι το κόλπο της θα γινόταν καλά. Η Σόνια και η χοντρή Πέτια κρύβονταν από τα γέλια. «Λοιπόν, ρώτησα», ψιθύρισε η Νατάσα στον μικρό της αδερφό και στον Πιέρ, τον οποίο κοίταξε ξανά. «Παγωτό, αλλά δεν θα σου δώσουν», είπε η Marya Dmitrievna. Η Νατάσα είδε ότι δεν υπήρχε τίποτα να φοβηθεί και επομένως δεν φοβόταν ούτε τη Μαρία Ντμίτριεβνα. — Μαρία Ντμίτριεβνα; τι παγωτό! Δεν μου αρέσει το βούτυρο. - Καρότο. - Οχι τι? Marya Dmitrievna, ποια; σχεδόν ούρλιαξε. - Θέλω να ξέρω! Η Marya Dmitrievna και η κόμισσα γέλασαν και όλοι οι καλεσμένοι ακολούθησαν. Όλοι γέλασαν όχι με την απάντηση της Marya Dmitrievna, αλλά με το ακατανόητο θάρρος και επιδεξιότητα αυτού του κοριτσιού, που ήξερε πώς και τόλμησε να φερθεί με αυτόν τον τρόπο στη Marya Dmitrievna. Η Νατάσα έμεινε πίσω μόνο όταν της είπαν ότι θα υπήρχε ανανάς. Η σαμπάνια σερβίρεται πριν από το παγωτό. Και πάλι η μουσική άρχισε να παίζει, ο κόμης φίλησε την κόμισσα και οι καλεσμένοι, σηκωμένοι, συγχάρηκαν την κόμισσα, τσουγκρίζοντας τα ποτήρια στο τραπέζι με τον κόμη, τα παιδιά και ο ένας τον άλλον. Και πάλι έτρεξαν οι σερβιτόροι, οι καρέκλες έτρεξαν και με την ίδια σειρά, αλλά με πιο κόκκινα πρόσωπα, οι καλεσμένοι επέστρεψαν στο σαλόνι και στο γραφείο του κόμη. Τα τραπέζια της Βοστώνης απομακρύνθηκαν, έγιναν πάρτι και οι καλεσμένοι του κόμη φιλοξενήθηκαν σε δύο σαλόνια, έναν καναπέ και μια βιβλιοθήκη. Ο κόμης, απλώνοντας τα χαρτιά του σαν θαυμαστής, δύσκολα αντιστάθηκε στη συνήθεια του απογευματινού υπνάκου και γελούσε με τα πάντα. Η νεολαία, υποκινούμενη από την κόμισσα, μαζεύτηκε γύρω από το κλαβίχορδο και την άρπα. Η Τζούλι ήταν η πρώτη, μετά από απαίτηση όλων, που έπαιξε ένα κομμάτι με παραλλαγές στην άρπα και μαζί με άλλα κορίτσια άρχισε να ζητά από τη Νατάσα και τον Νικολάι, γνωστούς για τη μουσικότητά τους, να τραγουδήσουν κάτι. Η Νατάσα, που την προσφώνησαν ως μεγάλη, ήταν προφανώς πολύ περήφανη για αυτό, αλλά ταυτόχρονα ήταν ντροπαλή. -Τι θα τραγουδήσουμε; ρώτησε. «Το κλειδί», απάντησε ο Νικολάι. - Λοιπόν, ας βιαστούμε. Μπόρις, έλα εδώ, - είπε η Νατάσα. - Πού είναι η Σόνια; Κοίταξε γύρω της και, βλέποντας ότι ο φίλος της δεν ήταν στο δωμάτιο, έτρεξε πίσω της. Τρέχοντας στο δωμάτιο της Sonya και μη βρίσκοντας τη φίλη της εκεί, η Natasha έτρεξε στο νηπιαγωγείο - και η Sonya δεν ήταν εκεί. Η Νατάσα συνειδητοποίησε ότι η Σόνια βρισκόταν στο διάδρομο σε ένα στήθος. Το σεντούκι στο διάδρομο ήταν ο τόπος της θλίψης της γυναικείας νέας γενιάς του σπιτιού των Ροστόφ. Πράγματι, η Sonya, με το αέρινο ροζ φόρεμά της, συνθλίβοντάς το, ξάπλωσε μπρούμυτα στο βρώμικο ριγέ κρεβάτι της νοσοκόμας, στο στήθος, και, καλύπτοντας το πρόσωπό της με τα δάχτυλά της, έκλαψε πικρά, τρέμοντας με τους γυμνούς ώμους της. Το πρόσωπο της Νατάσας, ζωηρό, όλη μέρα, ξαφνικά άλλαξε: τα μάτια της σταμάτησαν, μετά ο φαρδύς λαιμός της ανατρίχιασε, οι γωνίες των χειλιών της έπεσαν. – Σόνια! τι είσαι;… Τι, τι έχεις; Ουου ουου!… Και η Νατάσα, απλώνοντας το μεγάλο της στόμα και έγινε εντελώς άσχημη, βρυχήθηκε σαν παιδί, χωρίς να ξέρει τον λόγο και μόνο επειδή η Σόνια έκλαιγε. Η Σόνια ήθελε να σηκώσει το κεφάλι της, ήθελε να απαντήσει, αλλά δεν μπορούσε και κρύφτηκε ακόμα περισσότερο. Η Νατάσα έκλαιγε, καθόταν σε ένα μπλε πουπουλένιο κρεβάτι και αγκάλιαζε τη φίλη της. Μαζεύοντας δυνάμεις, η Σόνια σηκώθηκε, άρχισε να σκουπίζει τα δάκρυά της και να λέει. - Η Νικολένκα θα πάει σε μια εβδομάδα, το ... χαρτί του ... βγήκε ... μου είπε ο ίδιος ... Ναι, δεν θα έκλαιγα ... (έδειξε το χαρτί που κρατούσε στο χέρι της: το ήταν ποίηση που έγραψε ο Νικολάι) Δεν θα έκλαιγα, αλλά δεν θα το κάνεις μπορείς... κανείς δεν μπορεί να καταλάβει... τι ψυχή έχει. Και άρχισε πάλι να κλαίει γιατί η ψυχή του ήταν τόσο καλή. «Είναι καλό για σένα… Δεν ζηλεύω… Σε αγαπώ, και ο Μπόρις επίσης», είπε, μαζεύοντας λίγο τις δυνάμεις της, «είναι χαριτωμένος… δεν υπάρχουν εμπόδια για σένα. Και ο Νικολάι είναι ξάδερφός μου... επιβάλλεται... ο ίδιος ο μητροπολίτης... κι αυτό είναι αδύνατο. Και τότε, αν η μητέρα μου ... (η Σόνια σκέφτηκε την κόμισσα και κάλεσε τη μητέρα της), θα πει ότι χαλάω την καριέρα του Νικολάι, δεν έχω καρδιά, ότι είμαι αχάριστος, αλλά σωστά ... από τον Θεό ... ( διασταυρώθηκε) Κι εγώ την αγαπώ τόσο πολύ , και όλοι εσείς, μόνο η Βέρα είναι μία ... Για τι; Τι της έκανα; Είμαι τόσο ευγνώμων σε εσάς που θα χαρώ να θυσιάσω τα πάντα, αλλά δεν έχω τίποτα ... Η Σόνια δεν μπορούσε πια να μιλήσει και έκρυψε ξανά το κεφάλι της στα χέρια και το πουπουλένιο κρεβάτι της. Η Νατάσα άρχισε να ηρεμεί, αλλά ήταν ξεκάθαρο από το πρόσωπό της ότι κατάλαβε τη σημασία της θλίψης της φίλης της. – Σόνια! είπε ξαφνικά, σαν να το είχε μαντέψει πραγματικός λόγοςη θλίψη του ξαδέρφου. «Σωστά, σου μίλησε η Βέρα μετά το δείπνο;» Ναί? - Ναι, ο ίδιος ο Νικολάι έγραψε αυτά τα ποιήματα και εγώ διέγραψα άλλα. τα βρήκε στο τραπέζι μου και είπε ότι θα τα έδειχνε στη μαμά, και είπε επίσης ότι ήμουν αχάριστη, ότι η μαμά δεν θα του επέτρεπε ποτέ να με παντρευτεί και θα παντρευόταν την Τζούλι. Βλέπεις πώς είναι μαζί της όλη μέρα ... Νατάσα! Για τι?… Και πάλι έκλαψε πικρά. Η Νατάσα τη σήκωσε, την αγκάλιασε και, χαμογελώντας μέσα από τα δάκρυά της, άρχισε να την παρηγορεί. «Σόνια, μην την εμπιστεύεσαι, αγάπη μου, μην την εμπιστεύεσαι. Θυμάσαι πώς μιλούσαμε και οι τρεις με τη Νικολένκα στον καναπέ; θυμάσαι μετά το δείπνο; Άλλωστε εμείς έχουμε αποφασίσει πώς θα είναι. Δεν θυμάμαι πώς, αλλά θυμάμαι πώς όλα ήταν καλά και όλα είναι πιθανά. Ο αδερφός του θείου Shinshin είναι παντρεμένος με έναν ξάδερφό του και είμαστε δεύτερα ξαδέρφια. Και ο Μπόρις είπε ότι είναι πολύ πιθανό. Ξέρεις, του τα είπα όλα. Και είναι τόσο έξυπνος και τόσο καλός», είπε η Νατάσα ... «Εσύ, Σόνια, μην κλαις, αγαπητέ μου, αγάπη μου, Σόνια. Και τη φίλησε γελώντας. - Η πίστη είναι κακή, ο Θεός μαζί της! Και όλα θα πάνε καλά, και δεν θα το πει στη μητέρα της. Θα πει στον εαυτό του η Νικολένκα, και δεν σκέφτηκε καν την Τζούλι. Και τη φίλησε στο κεφάλι. Η Σόνια σηκώθηκε, και το γατάκι ανασηκώθηκε, τα μάτια του άστραψαν, και φαινόταν έτοιμος να κουνήσει την ουρά του, να πηδήξει στα μαλακά πόδια του και να παίξει ξανά με την μπάλα, όπως του έπρεπε. - Νομίζεις? Σωστά? Προς Θεού; είπε ισιώνοντας γρήγορα το φόρεμα και τα μαλλιά της. - Σωστά, προς Θεού! - απάντησε η Νατάσα, ισιώνοντας τη φίλη της κάτω από ένα δρεπάνι ένα σκέλος από χοντρά μαλλιά που είχαν πέσει. Και γέλασαν και οι δύο. - Λοιπόν, πάμε να τραγουδήσουμε το «Κλειδί». - Ας πάμε στο. - Και ξέρεις, αυτός ο χοντρός Πιέρ, που καθόταν απέναντί ​​μου, είναι τόσο αστείος! είπε ξαφνικά η Νατάσα σταματώντας. - Έχω πολύ πλάκα! Και η Νατάσα έτρεξε στο διάδρομο. Η Σόνια, βουρτσίζοντας το χνούδι και κρύβοντας τα ποιήματα στο στήθος της, μέχρι το λαιμό με τα κόκαλα του στήθους που προεξέχουν, με ελαφριά, χαρούμενα βήματα, με ένα αναψοκοκκινισμένο πρόσωπο, έτρεξε πίσω από τη Νατάσα κατά μήκος του διαδρόμου στον καναπέ. Μετά από παράκληση των καλεσμένων, οι νέοι τραγούδησαν το κουαρτέτο «Κλειδί» που άρεσε πολύ σε όλους. τότε ο Νικολάι τραγούδησε ξανά το τραγούδι που είχε μάθει. Σε μια ευχάριστη νύχτα, στο φως του φεγγαριού, Φανταστείτε να είστε χαρούμενοι Ότι υπάρχει κάποιος άλλος στον κόσμο Ποιος σε σκέφτεται και εσένα! Ότι αυτή, με ένα όμορφο χέρι, Περπατώντας κατά μήκος της χρυσής άρπας, Με την παθιασμένη αρμονία του Καλεί στον εαυτό του, σε καλεί! Μια άλλη μέρα, δύο, και ο παράδεισος θα έρθει… Αλλά αχ! ο φίλος σου δεν θα ζήσει! Και δεν είχε τελειώσει ακόμα να τραγουδά τα τελευταία λόγια, όταν στην αίθουσα η νεολαία ετοιμάστηκε για χορό και οι μουσικοί στις χορωδίες χτύπησαν τα πόδια τους και έβηχαν. Ο Pierre καθόταν στο σαλόνι, όπου ο Shinshin, όπως και ένας επισκέπτης από το εξωτερικό, ξεκίνησε μια πολιτική συζήτηση μαζί του που ήταν βαρετή για τον Pierre, στην οποία συμμετείχαν και άλλοι. Όταν άρχισε η μουσική, η Νατάσα μπήκε στο σαλόνι και, πηγαίνοντας κατευθείαν στον Πιέρ, γελώντας και κοκκινίζοντας, είπε: «Η μαμά μου είπε να σου ζητήσω να χορέψεις. «Φοβάμαι να μπερδέψω τις φιγούρες», είπε ο Πιερ, «αλλά αν θέλεις να γίνεις δάσκαλός μου… Και έδωσε το χοντρό χέρι του, κατεβάζοντάς το χαμηλά στο αδύνατο κορίτσι. Ενώ τα ζευγάρια έστηναν και οι μουσικοί έχτιζαν, ο Πιερ κάθισε με τη μικρή του κυρία. Η Νατάσα ήταν απόλυτα χαρούμενη. χόρεψε με ένα μεγάλο που ήρθε από το εξωτερικό. Κάθισε μπροστά σε όλους και του μιλούσε σαν μεγάλη. Στο χέρι της είχε μια βεντάλια, την οποία μια νεαρή κυρία της έδωσε να κρατήσει. Και, υιοθετώντας την πιο κοσμική πόζα (ο Θεός ξέρει πού και πότε το έμαθε), εκείνη, ανεμιστήρας με μια βεντάλια και χαμογελώντας μέσα από τη βεντάλια, μίλησε με τον κύριο της. - Τι είναι, τι είναι; Κοίτα, κοίτα, - είπε η παλιά κόμισσα, περνώντας από το χολ και δείχνοντας τη Νατάσα. Η Νατάσα κοκκίνισε και γέλασε. - Λοιπόν, τι είσαι, μαμά; Λοιπόν, τι ψάχνεις; Τι εκπλήσσει εδώ; Στη μέση του τρίτου οικοσάζ, οι καρέκλες στο σαλόνι άρχισαν να ανακατεύονται, όπου έπαιζαν ο κόμης και η Marya Dmitrievna, και τα περισσότερα απόεπίτιμοι καλεσμένοι και γέροι, τεντώνοντας μετά από μια μακριά θέση και βάζοντας πορτοφόλια και τσαντάκια στις τσέπες τους, βγήκαν από τις πόρτες της αίθουσας. Η Marya Dmitrievna περπάτησε μπροστά με τον κόμη, και οι δύο με χαρούμενα πρόσωπα. Με παιχνιδιάρικη ευγένεια, σαν με τρόπο μπαλέτου, ο κόμης άπλωσε το στρογγυλεμένο χέρι του στη Marya Dmitrievna. Ίσιωσε και το πρόσωπό του φώτισε με ένα ιδιαίτερα γενναίο πονηρό χαμόγελο, και μόλις χορεύτηκε η τελευταία φιγούρα της οικοσάιζ, χτύπησε τα χέρια του στους μουσικούς και φώναξε στις χορωδίες, γυρνώντας προς το πρώτο βιολί: - Σεμιόν! Γνωρίζετε τη Danila Kupor; Ήταν ο αγαπημένος χορός του κόμη, που τον χόρευε στα νιάτα του. (Ο Danilo Kupor ήταν στην πραγματικότητα μια φιγούρα της Anglaise.) «Κοίτα μπαμπά», φώναξε η Νατάσα σε όλη την αίθουσα (ξεχνώντας εντελώς ότι χόρευε με ένα μεγάλο), λυγίζοντας το σγουρό κεφάλι της στα γόνατά της και ξέσπασε στα ηχηρά γέλια της σε όλη την αίθουσα. Πράγματι, όλοι στην αίθουσα κοίταξαν με ένα χαμόγελο χαράς τον εύθυμο γέρο, ο οποίος, δίπλα στην αξιοπρεπή κυρία του, Μαρία Ντμίτριεβνα, που ήταν ψηλότερη από αυτόν, στρογγύλεψε τα χέρια του, κουνώντας τα εγκαίρως, ίσιωσε τους ώμους του, έστριψε τα χέρια του. πόδια, χτυπώντας ελαφρά τα πόδια του, και με ένα όλο και πιο ανθισμένο χαμόγελο στο στρογγυλό του πρόσωπο προετοίμαζε το κοινό για αυτό που επρόκειτο να ακολουθήσει. Μόλις ακούστηκαν οι χαρούμενοι, προκλητικοί ήχοι της Danila Kupor, παρόμοιοι με ένα χαρούμενο κουδουνίστρα, όλες οι πόρτες της αίθουσας έγιναν ξαφνικά, από τη μια, από άνδρες, από την άλλη, από γυναικεία χαμογελαστά πρόσωπα των αυλών που ήρθαν. έξω για να κοιτάξει τον χαρούμενο κύριο. - Ο πατέρας είναι δικός μας! Αετός! είπε η νταντά δυνατά από τη μια πόρτα. Ο κόμης χόρευε καλά και το ήξερε, αλλά η κυρία του δεν ήξερε πώς και δεν ήθελε να χορέψει καλά. Το τεράστιο σώμα της στεκόταν ίσια μαζί της δυνατά χέρια(παρέδωσε το δικτυωτό στην κόμισσα). χόρευε μόνο το αυστηρό αλλά όμορφο πρόσωπό της. Αυτό που εκφραζόταν σε ολόκληρη τη στρογγυλή φιγούρα της καταμέτρησης, με τη Marya Dmitrievna εκφραζόταν μόνο με ένα όλο και πιο χαμογελαστό πρόσωπο και μια μύτη που συσπάται. Αλλά από την άλλη, αν η καταμέτρηση, όλο και πιο διασκορπισμένη, συνεπήρε το κοινό με το απροσδόκητο επιδέξιο κόλπα και τα ελαφρά άλματα των μαλακών ποδιών της, η Marya Dmitrievna, με τον παραμικρό ζήλο να κουνάει τους ώμους της ή να στρογγυλεύει τα χέρια της σε στροφές και ποδοπατώντας, έκανε εξίσου σημαντική εντύπωση για την αξία, η οποία εκτιμήθηκε από όλους για τη σωματότητά της και την αιώνια αυστηρότητά της. Ο χορός γινόταν όλο και πιο ζωηρός. Οι αντίστοιχοι δεν μπορούσαν να τραβήξουν την προσοχή πάνω τους για ένα λεπτό και δεν προσπάθησαν καν να το κάνουν. Όλα καταλήφθηκαν από τον κόμη και τη Marya Dmitrievna. Η Νατάσα τράβηξε τα μανίκια και τα φορέματα όλων των παρευρισκομένων, που ήδη δεν έπαιρναν τα μάτια τους από τους χορευτές, και απαίτησε να κοιτάξουν τον μπαμπά. Στα διαστήματα του χορού, ο κόμης έπαιρνε μια βαθιά ανάσα, κουνούσε και φώναζε στους μουσικούς να παίξουν πιο γρήγορα. Πιο γρήγορα, πιο γρήγορα και πιο γρήγορα, όλο και περισσότερο, η καταμέτρηση ξεδιπλώθηκε, τώρα στις μύτες των ποδιών, τώρα στα τακούνια, ορμώντας γύρω από τη Marya Dmitrievna και, τελικά, γυρίζοντας την κυρία του στη θέση της, έκανε το τελευταίο βήμα, σηκώνοντας το απαλό του πόδι προς τα πάνω από πίσω, σκύβοντας το κεφάλι του που ιδρώνει με ένα χαμογελαστό πρόσωπο και κουνώντας στρογγυλά δεξί χέριανάμεσα στο βρυχηθμό των χειροκροτημάτων και των γέλιων, ειδικά η Νατάσα. Και οι δύο χορεύτριες σταμάτησαν, αναπνέοντας βαριά και σκουπίζονταν με μαντήλια από καμπρίκια. «Έτσι χόρευαν στην εποχή μας, ma chere», είπε ο κόμης. - Ω ναι Danila Kupor! είπε η Marya Dmitrievna, αφήνοντας την ανάσα της βαριά και συνέχεια και σηκώνοντας τα μανίκια της. Ενώ το έκτο ανγκλέιζ χορευόταν στην αίθουσα των Ροστόφ υπό τους ήχους κουρασμένων μουσικών που δεν είχαν συντονιστεί, και οι κουρασμένοι σερβιτόροι και οι μάγειρες ετοίμαζαν το δείπνο, το έκτο εγκεφαλικό έλαβε χώρα με τον Κόμη Μπεζουκίμ. Οι γιατροί ανακοίνωσαν ότι δεν υπήρχε ελπίδα ανάκαμψης. Ο ασθενής έλαβε κουφή ομολογία και κοινωνία. Γίνονταν οι προετοιμασίες για το ξέσπασμα και το σπίτι ήταν γεμάτο φασαρία και άγχος προσδοκίας, συνηθισμένο σε τέτοιες στιγμές. Έξω από το σπίτι, πίσω από τις πύλες, οι νεκροθάφτες συνωστίζονταν, κρύβονταν από τις άμαξες που πλησίαζαν, περιμένοντας μια πλούσια παραγγελία για την κηδεία του κόμη. Ο αρχιστράτηγος της Μόσχας, που έστελνε συνεχώς βοηθούς για να μάθουν για τη θέση του κόμη, εκείνο το βράδυ ήρθε ο ίδιος να αποχαιρετήσει τον διάσημο ευγενή της Αικατερίνης, τον κόμη Μπεζουχίμ. Η υπέροχη αίθουσα υποδοχής ήταν γεμάτη. Όλοι σηκώθηκαν όρθιοι με σεβασμό όταν ο αρχιστράτηγος, έχοντας μείνει μόνος με τον ασθενή για περίπου μισή ώρα, έφυγε από εκεί, απαντώντας ελαφρά στα τόξα και προσπαθώντας το συντομότερο δυνατό να προσπεράσει τα μάτια των γιατρών, κληρικών και συγγενών. αυτόν. Ο πρίγκιπας Βασίλι, που είχε γίνει πιο αδύνατος και πιο χλωμός αυτές τις μέρες, έδιωξε τον αρχιστράτηγο και του επανέλαβε σιωπηλά κάτι πολλές φορές. Αφού απομάκρυνε τον αρχιστράτηγο, ο πρίγκιπας Βασίλι κάθισε μόνος του στην αίθουσα σε μια καρέκλα, ρίχνοντας τα πόδια του ψηλά πάνω από τα πόδια του, ακουμπώντας τον αγκώνα του στο γόνατό του και κλείνοντας τα μάτια του με το χέρι του. Αφού κάθισε έτσι για αρκετή ώρα, σηκώθηκε και με ασυνήθιστα βιαστικά βήματα, κοιτάζοντας γύρω με τρομαγμένα μάτια, πέρασε από έναν μακρύ διάδρομο στο πίσω μισό του σπιτιού, στη μεγάλη πριγκίπισσα. Όσοι βρίσκονταν στο αμυδρά φωτισμένο δωμάτιο μιλούσαν με έναν άνισο ψίθυρο μεταξύ τους και σώπαιναν κάθε φορά, και με μάτια γεμάτα απορία και προσδοκία κοίταζαν πίσω την πόρτα που οδηγούσε στις θαλάμες του ετοιμοθάνατου και εξέπεμπε αχνός ήχοςόταν κάποιος το άφησε ή μπήκε σε αυτό. «Το ανθρώπινο όριο», είπε ο γέρος, ένας κληρικός, στην κυρία που κάθισε δίπλα του και τον άκουγε αφελώς, «το όριο έχει τεθεί, αλλά δεν μπορείς να το περάσεις». – Νομίζω ότι δεν είναι πολύ αργά για να ξεχωρίσεις; - προσθέτοντας έναν πνευματικό τίτλο, ρώτησε η κυρία, σαν να μην είχε άποψη για αυτό το θέμα.

"Περιγραμμένος Κύκλος"Έχουμε δει ότι ένας κύκλος μπορεί να περιγραφεί γύρω από οποιοδήποτε τρίγωνο. Δηλαδή, για οποιοδήποτε τρίγωνο υπάρχει ένας τέτοιος κύκλος που και οι τρεις κορυφές του τριγώνου «κάθονται» πάνω του. Σαν αυτό:

Ερώτηση: Μπορούμε να πούμε το ίδιο για ένα τετράπλευρο; Είναι αλήθεια ότι θα υπάρχει πάντα ένας κύκλος στον οποίο θα «κάθονται» και οι τέσσερις κορυφές του τετράπλευρου;

Αποδεικνύεται ότι αυτό ΔΕΝ είναι ΑΛΗΘΕΙΑ! ΟΧΙ ΠΑΝΤΑ ένα τετράπλευρο μπορεί να εγγραφεί σε κύκλο. Υπάρχει μια πολύ σημαντική προϋπόθεση:

Στο σχέδιο μας:

.

Κοιτάξτε, οι γωνίες και βρίσκονται απέναντι η μία από την άλλη, που σημαίνει ότι είναι απέναντι. Τι γίνεται τότε με τις γωνίες; Φαίνονται επίσης να είναι αντίθετα; Είναι δυνατόν να εκτελούνται κόρνερ και αντί για κόρνερ και;

Φυσικά μπορείτε να! Το κύριο πράγμα είναι ότι το τετράγωνο έχει δύο αντίθετες γωνίες, το άθροισμα των οποίων θα είναι. Οι υπόλοιπες δύο γωνίες θα αθροιστούν επίσης. Δεν πιστεύω? Ας σιγουρευτούμε. Κοίτα:

Ας είναι. Θυμάστε ποιο είναι το άθροισμα και των τεσσάρων γωνιών οποιουδήποτε τετράπλευρου; Σίγουρα,. Δηλαδή - πάντα! . Όμως, → .

Μαγικά κατευθείαν!

Θυμηθείτε λοιπόν σταθερά:

Αν ένα τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο, τότε το άθροισμα οποιωνδήποτε δύο από τις απέναντι γωνίες του είναι

και αντίστροφα:

Αν ένα τετράπλευρο έχει δύο απέναντι γωνίες των οποίων το άθροισμα είναι ίσο, τότε εγγράφεται ένα τέτοιο τετράπλευρο.

Δεν θα τα αποδείξουμε όλα αυτά εδώ (αν σας ενδιαφέρει, δείτε τα επόμενα επίπεδα θεωρίας). Ας δούμε όμως σε τι οδηγεί αυτό το θαυμάσιο γεγονός, ότι το άθροισμα των απέναντι γωνιών ενός εγγεγραμμένου τετράπλευρου είναι ίσο.

Για παράδειγμα, έρχεται στο μυαλό η ερώτηση, είναι δυνατόν να περιγραφεί ένας κύκλος γύρω από ένα παραλληλόγραμμο; Ας δοκιμάσουμε πρώτα τη «μέθοδο poke».

Κατά κάποιο τρόπο δεν λειτουργεί.

Εφαρμόστε τώρα τις γνώσεις:

ας υποθέσουμε ότι καταφέραμε με κάποιο τρόπο να χωρέσουμε έναν κύκλο σε ένα παραλληλόγραμμο. Τότε σίγουρα πρέπει να είναι:, δηλαδή.

Και τώρα ας θυμηθούμε τις ιδιότητες ενός παραλληλογράμμου:

Κάθε παραλληλόγραμμο έχει αντίθετες γωνίες.

Το καταλάβαμε

Και τι γίνεται με τις γωνίες; Λοιπόν, το ίδιο φυσικά.

Εγγεγραμμένο → →

Παραλληλόγραμμο→ →

Καταπληκτικό, σωστά;

Αποδείχθηκε ότι αν ένα παραλληλόγραμμο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο, τότε όλες οι γωνίες του είναι ίσες, δηλαδή είναι ορθογώνιο!

Και ταυτόχρονα - το κέντρο του κύκλου συμπίπτει με το σημείο τομής των διαγωνίων αυτού του ορθογωνίου. Αυτό, θα λέγαμε, επισυνάπτεται ως μπόνους.

Λοιπόν, αυτό σημαίνει ότι ανακαλύψαμε ότι ένα παραλληλόγραμμο εγγεγραμμένο σε κύκλο - ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.

Τώρα ας μιλήσουμε για το τραπεζοειδές. Τι συμβαίνει εάν ένα τραπεζοειδές είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο;Και αποδεικνύεται ότι θα γίνει ισοσκελές τραπέζιο. Γιατί;

Αφήστε το τραπεζοειδές να είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο. Μετά πάλι, αλλά λόγω του παραλληλισμού των γραμμών και.

Άρα, έχουμε: → → ισοσκελές τραπεζοειδές.

Ακόμα πιο εύκολο από ό,τι με ένα ορθογώνιο, σωστά; Αλλά πρέπει να θυμάστε σταθερά - βολευτείτε:

Ας απαριθμήσουμε τα περισσότερα κύριες δηλώσειςεφαπτομένη σε τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο:

1. Ένα τετράπλευρο εγγράφεται σε κύκλο αν και μόνο αν το άθροισμα των δύο απέναντι γωνιών του είναι
2. Παραλληλόγραμμο εγγεγραμμένο σε κύκλο ορθογώνιο παραλληλόγραμμοκαι το κέντρο του κύκλου συμπίπτει με το σημείο τομής των διαγωνίων
3. Ένα τραπεζοειδές εγγεγραμμένο σε κύκλο είναι ισοσκελές.

Ενεπίγραφο τετράπλευρο. Μέσο επίπεδο

Είναι γνωστό ότι για οποιοδήποτε τρίγωνο υπάρχει περιγεγραμμένος κύκλος (αυτό το αποδείξαμε στο θέμα "Περιγραμμένος κύκλος"). Τι μπορεί να ειπωθεί για το τετράπλευρο; Εδώ αποδεικνύεται ότι ΔΕΝ ΚΑΘΕ τετράπλευρο μπορεί να εγγραφεί σε κύκλο, αλλά υπάρχει αυτό το θεώρημα:

Ένα τετράπλευρο εγγράφεται σε κύκλο αν και μόνο αν το άθροισμα των απέναντι γωνιών του είναι.

Στο σχέδιό μας -

Ας προσπαθήσουμε να καταλάβουμε γιατί; Με άλλα λόγια, τώρα θα αποδείξουμε αυτό το θεώρημα. Αλλά πριν αποδείξετε, πρέπει να καταλάβετε πώς λειτουργεί ο ίδιος ο ισχυρισμός. Προσέξατε τις λέξεις «τότε και μόνο τότε» στη δήλωση; Τέτοιες λέξεις σημαίνουν ότι οι επιβλαβείς μαθηματικοί έχουν ωθήσει δύο δηλώσεις σε μία.

Αποκρυπτογράφηση:

1. «Τότε» σημαίνει: Αν ένα τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο, τότε το άθροισμα οποιωνδήποτε δύο από τις απέναντι γωνίες του είναι ίσο.
2. «Μόνο τότε» σημαίνει: Εάν ένα τετράπλευρο έχει δύο αντίθετες γωνίες, το άθροισμα των οποίων είναι ίσο, τότε ένα τέτοιο τετράπλευρο μπορεί να εγγραφεί σε κύκλο.

Ακριβώς όπως η Αλίκη: «Σκέφτομαι αυτό που λέω» και «Λέω αυτό που σκέφτομαι».

Τώρα ας καταλάβουμε γιατί και το 1 και το 2 είναι αληθινά;

Πρώτο 1.

Αφήστε το τετράπλευρο να είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο. Σημειώνουμε το κέντρο του και σχεδιάζουμε τις ακτίνες και. Τι θα συμβεί? Θυμάστε ότι μια εγγεγραμμένη γωνία είναι το ήμισυ της αντίστοιχης κεντρικής γωνίας; Αν θυμάστε - ισχύει τώρα, και αν όχι - δείτε το θέμα "Κύκλος. Εγγεγραμένη γωνία".

Ενεπίγραφο

Ενεπίγραφο

Αλλά κοίτα: .

Καταλαβαίνουμε ότι το if - είναι εγγεγραμμένο, τότε

Λοιπόν, είναι σαφές ότι και επίσης προσθέτει επάνω. (θα πρέπει επίσης να ληφθεί υπόψη).

Τώρα το «αντίστροφα», δηλαδή 2.

Ας αποδειχτεί ότι το άθροισμα οποιωνδήποτε δύο απέναντι γωνιών ενός τετράπλευρου είναι ίσο. Ας πούμε αφήστε

Δεν ξέρουμε ακόμη αν μπορούμε να περιγράψουμε έναν κύκλο γύρω από αυτό. Αλλά ξέρουμε σίγουρα ότι μπορούμε να περιγράψουμε έναν κύκλο γύρω από ένα τρίγωνο. Αρα ας το κάνουμε.

Εάν το σημείο δεν «κάθισε» στον κύκλο, τότε αναπόφευκτα αποδείχθηκε είτε έξω είτε μέσα.

Ας εξετάσουμε και τις δύο περιπτώσεις.

Ας είναι πρώτα το σημείο έξω. Τότε το τμήμα τέμνει τον κύκλο σε κάποιο σημείο. Συνδέστε και. Το αποτέλεσμα είναι ένα εγγεγραμμένο (!) τετράπλευρο.

Γνωρίζουμε ήδη γι' αυτόν ότι το άθροισμα των απέναντι γωνιών του είναι ίσο, δηλαδή, αλλά κατά συνθήκη έχουμε.

Αποδεικνύεται ότι πρέπει να είναι έτσι.

Αλλά αυτό δεν μπορεί να είναι με κανέναν τρόπο, αφού - η εξωτερική γωνία για και σημαίνει .

Και μέσα; Ας κάνουμε κάτι παρόμοιο. Αφήστε το σημείο μέσα.

Τότε η συνέχεια του τμήματος τέμνει τον κύκλο σε ένα σημείο. Και πάλι - ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο, και σύμφωνα με την προϋπόθεση πρέπει να ικανοποιείται, αλλά - μια εξωτερική γωνία για και σημαίνει, δηλαδή, πάλι, δεν μπορεί να είναι αυτό.

Δηλαδή, ένα σημείο δεν μπορεί να είναι ούτε έξω ούτε μέσα στον κύκλο - που σημαίνει ότι βρίσκεται στον κύκλο!

Απέδειξε όλο το θεώρημα!

Τώρα ας δούμε τι καλές συνέπειες δίνει αυτό το θεώρημα.

Συμπέρασμα 1

Ένα παραλληλόγραμμο εγγεγραμμένο σε κύκλο μπορεί να είναι μόνο ένα ορθογώνιο.

Ας καταλάβουμε γιατί συμβαίνει αυτό. Αφήστε το παραλληλόγραμμο να είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο. Τότε θα πρέπει να γίνει.

Αλλά από τις ιδιότητες ενός παραλληλογράμμου, το γνωρίζουμε.

Και το ίδιο, φυσικά, για τις γωνίες και.

Έτσι, το ορθογώνιο αποδείχθηκε - όλες οι γωνίες είναι κατά μήκος.

Αλλά, επιπλέον, υπάρχει ένα άλλο πρόσθετο ευχάριστο γεγονός: το κέντρο του κύκλου που περιγράφεται γύρω από το ορθογώνιο συμπίπτει με το σημείο τομής των διαγωνίων.

Ας καταλάβουμε γιατί. Ελπίζω να θυμάστε πολύ καλά ότι η γωνία με βάση τη διάμετρο είναι ορθή.

Διάμετρος,

Διάμετρος

και ως εκ τούτου το κέντρο. Αυτό είναι όλο.

Συνέπεια 2

Ένα τραπεζοειδές εγγεγραμμένο σε κύκλο είναι ισοσκελές.

Αφήστε το τραπεζοειδές να είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο. Επειτα.

Και επίσης.

Τα έχουμε συζητήσει όλα; Όχι πραγματικά. Στην πραγματικότητα, υπάρχει ένας άλλος, «μυστικός» τρόπος για να αναγνωρίσουμε ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο. Αυτή τη μέθοδο θα τη διατυπώσουμε όχι πολύ αυστηρά (αλλά ξεκάθαρα), αλλά θα την αποδείξουμε μόνο στο τελευταίο επίπεδο της θεωρίας.

Εάν σε ένα τετράπλευρο μπορεί κανείς να παρατηρήσει μια τέτοια εικόνα όπως εδώ στο σχήμα (εδώ οι γωνίες «βλέπουν» στα πλάγια των σημείων και είναι ίσες), τότε ένα τέτοιο τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο.

Αυτό είναι ένα πολύ σημαντικό σχέδιο - στα προβλήματα είναι συχνά πιο εύκολο να το βρεις ίσες γωνίεςαπό το άθροισμα των γωνιών και.

Παρά την παντελή έλλειψη αυστηρότητας στη διατύπωσή μας, είναι σωστή και επιπλέον γίνεται πάντα αποδεκτή από τους εξεταστές της USE. Θα πρέπει να γράψετε ως εξής:

"- εγγεγραμμένο" - και όλα θα πάνε καλά!

Μην το ξεχνάτε αυτό σημαντικό χαρακτηριστικό- θυμηθείτε την εικόνα και ίσως θα τραβήξει το μάτι σας εγκαίρως κατά την επίλυση του προβλήματος.

Ενεπίγραφο τετράπλευρο. Σύντομη περιγραφή και βασικοί τύποι

Αν ένα τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο, τότε το άθροισμα οποιωνδήποτε δύο από τις απέναντι γωνίες του είναι

και αντίστροφα:

Αν ένα τετράπλευρο έχει δύο απέναντι γωνίες των οποίων το άθροισμα είναι ίσο, τότε εγγράφεται ένα τέτοιο τετράπλευρο.

Ένα τετράπλευρο εγγράφεται σε κύκλο αν και μόνο αν το άθροισμα των δύο απέναντι γωνιών του είναι ίσο.

Παραλληλόγραμμο εγγεγραμμένο σε κύκλο- απαραιτήτως ένα ορθογώνιο, και το κέντρο του κύκλου συμπίπτει με το σημείο τομής των διαγωνίων.

Ένα τραπεζοειδές εγγεγραμμένο σε κύκλο είναι ισοσκελές.

Θα χρειαστείτε

• - τετράπλευρο με δεδομένες παραμέτρους.
• - πυξίδα
• - χάρακας
• - μοιρογνωμόνιο
• - αριθμομηχανή;
• - χαρτί.

Εντολή

Μετρήστε όλες τις γωνίες του τετράπλευρου που σας δίνονται. Να βρείτε τα αθροίσματα των απέναντι γωνιών. Εγγράψτε ένα τετράπλευρο κύκλοςείναι δυνατό μόνο εάν τα άθροισμα των απέναντι γωνιών είναι 180°. Έτσι, για να οικοδομήσουμε το περιγραφόμενο κύκλοςπάντα γύρω από ένα τετράγωνο, και ένα τραπεζοειδές.

σχεδιάζω κύκλοςμε ακτίνα R. Να προσδιορίσετε το κέντρο του. Ως , συμβολίζεται με Ο. Βρείτε ένα αυθαίρετο σημείο στον ίδιο τον κύκλο και ονομάστε το οποιοδήποτε γράμμα. Ας πούμε ότι θα είναι το σημείο Α. Σας περαιτέρω ενέργειεςαπό το γεγονός ότι σας δίνεται το τετράπλευρο. Οι διαγώνιοι ενός τετραγώνου είναι κάθετες μεταξύ τους και είναι οι ακτίνες του περιγεγραμμένου κύκλου. Επομένως, κατασκευάστε δύο διαμέτρους, η γωνία μεταξύ των οποίων είναι 90°. Τα σημεία τομής τους με κύκλοςΣυνδέστε τα σε σειρά με ευθείες γραμμές.

Για να χωρέσετε ένα ορθογώνιο, πρέπει να γνωρίζετε τη γωνία μεταξύ των διαγωνίων ή τις διαστάσεις των πλευρών. Στη δεύτερη περίπτωση, η γωνία θα είναι δυνατή χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα, ημίτονο ή συνημίτονο. Σχεδιάστε μια από τις διαμέτρους. Σημειώστε το, για παράδειγμα, με τα σημεία Α και Γ. Από το σημείο Ο, που είναι και το μέσο της διαγωνίου, αφήστε στην άκρη τη γωνία μεταξύ των διαγωνίων. Σχεδιάστε τη δεύτερη διάμετρο μέσα από το κέντρο και το νέο σημείο. Με τον ίδιο τρόπο όπως στην περίπτωση τετραγώνου, συνδέστε σε σειρά τα σημεία τομής των διαμέτρων με κύκλος Yu.

Για να κατασκευάσετε ένα ισοσκελές τραπέζιο, βρείτε ένα αυθαίρετο σημείο στον κύκλο. Κατασκευάστε από αυτό μια χορδή ίση με την άνω ή την κάτω βάση. Βρείτε το μέσο του και σχεδιάστε μια διάμετρο κάθετη σε αυτό και στο κέντρο του κύκλου. Αφήνουμε στην άκρη τη διάμετρο του ύψους του τραπεζοειδούς. Σχεδιάστε μια κάθετη μέσα από αυτό το σημείο και στις δύο κατευθύνσεις μέχρι να τέμνεται με κύκλος Yu. Συνδυάστε τα άκρα μεταξύ τους.

Χρήσιμες συμβουλές

Όταν σχεδιάζετε εγγεγραμμένα πολύγωνα στο AutoCAD, βρείτε πρώτα το αναπτυσσόμενο πλαίσιο "Σχέδιο" στο κύριο μενού και σε αυτό τη συνάρτηση "Πολύγωνο". Ο αριθμός των πλευρών του τετραγώνου ορίζεται αμέσως. Αφού εμφανιστεί στην οθόνη, μεταβείτε στη συνάρτηση "Εγγεγραμμένο/περιγεγραμμένο πολύγωνο". Το επιθυμητό κτίριο θα εμφανιστεί αμέσως στην οθόνη.

Για να φτιάξετε ένα τραπεζοειδές ή ορθογώνιο σε αυτό το πρόγραμμα, βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των διαγωνίων. Θα είναι επίσης το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου.

Ένα τραπεζοειδές είναι ένα επίπεδο τετράγωνο σχήμα, του οποίου οι δύο πλευρές (βάσεις) είναι παράλληλες και οι άλλες δύο (πλευρές) δεν πρέπει να είναι παράλληλες. Εάν και οι τέσσερις κορυφές ενός τραπεζοειδούς βρίσκονται στον ίδιο κύκλο, αυτό το τετράπλευρο λέγεται ότι είναι εγγεγραμμένο σε αυτόν. Δεν είναι δύσκολο να φτιάξεις μια τέτοια φιγούρα.

Θα χρειαστείτε

• Χαρτί, μολύβι, τετράγωνο, πυξίδες.

Εντολή

Εάν δεν υπάρχουν πρόσθετες απαιτήσεις για ένα εγγεγραμμένο τραπεζοειδές, μπορείτε να έχετε πλευρές οποιουδήποτε μήκους. Επομένως, ξεκινήστε την κατασκευή από ένα αυθαίρετο, για παράδειγμα, στο κάτω αριστερό τέταρτο. Προσδιορίστε το με το γράμμα Α - εδώ θα είναι μια από τις κορυφές που εγγράφονται κύκλοςτραπεζοειδές.

Σχεδιάστε μια οριζόντια γραμμή που ξεκινά από το Α και τελειώνει στη διασταύρωση με κύκλος yu κάτω δεξιά. Σημειώστε αυτήν την τομή με το γράμμα Β. Το κατασκευασμένο τμήμα ΑΒ είναι η κάτω βάση του τραπεζοειδούς.

Οποιος βολικό τρόποσχεδιάστε μια γραμμή παράλληλη στην κάτω βάση, πάνω από το κέντρο. Για παράδειγμα, αν έχετε στη διάθεσή σας, αυτό μπορεί να γίνει ως εξής: στερεώστε το στη βάση του ΑΒ και τραβήξτε μια βοηθητική κάθετη γραμμή. Στη συνέχεια, συνδέστε το εργαλείο στη γραμμή οδήγησης πάνω από το κέντρο του κύκλου και σχεδιάστε κάθετες σε κάθε πλευρά του, τελειώνοντας το καθένα στη διασταύρωση με κύκλος Yu. Αυτές οι δύο κάθετες πρέπει να βρίσκονται στη μία και στη συνέχεια σχηματίζουν την άνω βάση του τραπεζοειδούς. Σημειώστε το αριστερό ακραίο σημείο αυτής της βάσης με το γράμμα D και το δεξιό άκρο με το γράμμα C.

Αν δεν υπάρχει τετράγωνο, αλλά υπάρχει πυξίδα, τότε η κατασκευή της πάνω βάσης θα είναι ακόμα πιο εύκολη. Βάλτε ένα αυθαίρετο σημείο στο πάνω αριστερό τέταρτο του κύκλου. Η μόνη προϋπόθεση είναι να μην βρίσκεται αυστηρά κάθετα πάνω από το σημείο Α, διαφορετικά το κατασκευασμένο σχήμα θα είναι τετράγωνο. Σημειώστε το σημείο με το γράμμα D και σημειώστε την απόσταση μεταξύ των σημείων Α και Δ στην πυξίδα. Στη συνέχεια, ρυθμίστε την πυξίδα στο σημείο Β και σημειώστε το σημείο που αντιστοιχεί στην εκκρεμή απόσταση στο πάνω δεξιά τέταρτο του κύκλου. Χαρίστε το με το γράμμα C και σχεδιάστε την επάνω βάση συνδέοντας τα σημεία D και C.

Σχεδιάστε τις πλευρές ενός εγγεγραμμένου τραπεζοειδούς σχεδιάζοντας ευθύγραμμα τμήματα AD και BC.

Σχετικά βίντεο

Σύμφωνα με τον ορισμό που περιγράφεται κύκλοςπρέπει να περάσει από όλες τις γωνιακές κορυφές του δεδομένου πολυγώνου. Δεν έχει καθόλου σημασία τι είδους πολύγωνο είναι - τρίγωνο, τετράγωνο, ορθογώνιο, τραπεζοειδές ή κάτι άλλο. Επίσης δεν έχει σημασία αν είναι κανονικό ή ακανόνιστο πολύγωνο. Είναι απαραίτητο μόνο να ληφθεί υπόψη ότι υπάρχουν πολύγωνα γύρω από τα οποία κύκλοςδεν μπορεί να περιγραφεί. μπορεί πάντα να περιγραφεί κύκλοςγύρω από το τρίγωνο. Όσο για τα τετράπλευρα, κύκλοςμπορεί να περιγραφεί για ένα τετράγωνο ή ορθογώνιο ή ένα ισοσκελές τραπέζιο.

Θα χρειαστείτε

• Δίνεται πολύγωνο
• Κυβερνήτης
• τετράγωνο
• Μολύβι
• Πυξίδα
• Μοιρογνωμόνιο
• Πίνακες ημιτόνων και συνημιτόνων
• Μαθηματικές έννοιες και τύποι
• Πυθαγόρειο θεώρημα
• Θεώρημα ημιτόνου
• Θεώρημα συνημιτονίου
• Σημάδια ομοιότητας τριγώνων

Εντολή

Κατασκευάστε ένα πολύγωνο με τις παραμέτρους που δίνονται και αν είναι δυνατόν να περιγραφεί γύρω του κύκλος. Αν σας δοθεί ένα τετράπλευρο, υπολογίστε το άθροισμα των απέναντι γωνιών του. Κάθε ένα από αυτά πρέπει να είναι ίσο με 180 °.

Για να περιγράψει κύκλος, πρέπει να υπολογίσετε την ακτίνα του. Θυμηθείτε πού βρίσκεται το κέντρο του κύκλου σε διαφορετικά πολύγωνα. Σε ένα τρίγωνο, βρίσκεται στο σημείο τομής όλων των υψομέτρων του δεδομένου τριγώνου. Σε τετράγωνο και ορθογώνια - στο σημείο τομής των διαγωνίων, για τραπεζοειδές - στο σημείο τομής του άξονα συμμετρίας με τη γραμμή που συνδέει τα μέσα των πλευρών και για οποιοδήποτε άλλο κυρτό πολύγωνο - στο σημείο τομής μεσαίες κάθετεςστα πλάγια.

Υπολογίστε τη διάμετρο ενός κύκλου που περιβάλλεται γύρω από ένα τετράγωνο και ένα ορθογώνιο χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα. Θα ισοδυναμεί τετραγωνική ρίζααπό το άθροισμα των τετραγώνων των πλευρών του ορθογωνίου. Για ένα τετράγωνο με όλες τις πλευρές ίσες, η διαγώνιος είναι ίση με την τετραγωνική ρίζα του διπλάσιου του τετραγώνου της πλευράς. Διαιρέστε τη διάμετρο με το 2 για να πάρετε την ακτίνα.

Υπολογίστε την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου για το τρίγωνο. Εφόσον οι παράμετροι του τριγώνου δίνονται στις συνθήκες, υπολογίστε την ακτίνα χρησιμοποιώντας τον τύπο R = a/(2 sinA), όπου a είναι μία από τις πλευρές του τριγώνου, ? είναι η αντίθετη γωνία. Αντί για αυτήν την πλευρά, μπορείτε να πάρετε την πλευρά και τη γωνία απέναντι από αυτήν.

Να υπολογίσετε την ακτίνα ενός κύκλου που περιβάλλεται γύρω από ένα τραπέζιο. R = a*d*c / 4 v(p*(p-a)*(p-d)*(p-c)) 2*(a+d+c) . Υπολογίστε τις τιμές που λείπουν. Το ύψος μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας το θεώρημα ημιτόνου ή συνημιτόνου, τα μήκη των πλευρών του τραπεζοειδούς και οι γωνίες δίνονται στις συνθήκες. Γνωρίζοντας το ύψος και λαμβάνοντας υπόψη τις ομοιότητες των τριγώνων, υπολογίστε τη διαγώνιο. Μετά από αυτό, μένει να υπολογίσετε την ακτίνα χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο.

Σχετικά βίντεο

Χρήσιμες συμβουλές

Για να υπολογίσετε την ακτίνα ενός κύκλου που περιβάλλεται γύρω από ένα άλλο πολύγωνο, εκτελέστε μια σειρά πρόσθετων κατασκευών. Λάβετε απλούστερους αριθμούς των οποίων τις παραμέτρους γνωρίζετε.

Το καθήκον είναι να μπείτε κύκλος πολύγωνομπορεί συχνά να μπερδέψει έναν ενήλικα. Ένα παιδί σχολείου πρέπει να εξηγήσει την απόφασή του, έτσι οι γονείς περιηγούνται στον παγκόσμιο ιστό αναζητώντας μια λύση.

Εντολή

σχεδιάζω κύκλος. Τοποθετήστε τη βελόνα της πυξίδας στο πλάι του κύκλου, αλλά μην αλλάξετε την ακτίνα. Σχεδιάστε δύο τόξα που διασχίζουν κύκλοςστρέφοντας την πυξίδα προς τα δεξιά και προς τα αριστερά.

Μετακινήστε τη βελόνα της πυξίδας γύρω από τον κύκλο στο σημείο όπου το τόξο τέμνεται μαζί του. Γυρίστε ξανά την πυξίδα και σχεδιάστε άλλα δύο τόξα, διασχίζοντας το περίγραμμα του κύκλου. Αυτή η διαδικασίαεπαναλάβετε μέχρι τη διασταύρωση με το πρώτο σημείο.

σχεδιάζω κύκλος. Σχεδιάστε μια διάμετρο στο κέντρο του, οι γραμμές πρέπει να είναι οριζόντιες. Κατασκευάστε μια κάθετη στο κέντρο του κύκλου, λάβετε μια κάθετη γραμμή (ΒΑ, για παράδειγμα).

Διαιρέστε την ακτίνα στο μισό. Σημειώστε αυτό το σημείο στη γραμμή διαμέτρου (σημειώστε το A). Χτίζω κύκλοςμε κέντρο το σημείο Α και την ακτίνα AC. Κατά τη διέλευση με οριζόντια γραμμήθα πάρεις έναν άλλο πόντο (Δ για παράδειγμα). Ως αποτέλεσμα, το τμήμα CD θα είναι η πλευρά του πενταγώνου που θέλετε να εγγράψετε.

Αφήνουμε στην άκρη ημικύκλια, η ακτίνα των οποίων είναι ίση με CD, κατά μήκος του περιγράμματος του κύκλου. Έτσι, το πρωτότυπο κύκλοςθα διαιρεθεί με το πέντε ίσα μέρη. Συνδέστε τις τελείες με μια γραμμή. Το πρόβλημα της εγγραφής ενός πενταγώνου κύκλοςεπίσης ολοκληρώθηκε.

Τα ακόλουθα περιγράφονται με εισαγωγή σε κύκλοςτετράγωνο. Σχεδιάστε μια γραμμή διαμέτρου. Πάρτε ένα μοιρογνωμόνιο. Τοποθετήστε το στο σημείο τομής της διαμέτρου με την πλευρά του κύκλου. Επεκτείνετε την πυξίδα στο μήκος της ακτίνας.

Σχεδιάστε δύο τόξα στη διασταύρωση με κύκλος yu, στρέφοντας την πυξίδα προς τη μία κατεύθυνση και προς την άλλη. Μετακινήστε το πόδι της πυξίδας στο αντίθετο σημείο και σχεδιάστε άλλα δύο τόξα με την ίδια λύση. Ενωσε τις τελείες.

Τετράγωνο τη διάμετρο, διαιρέστε με δύο και πάρτε τη ρίζα. Ως αποτέλεσμα, θα έχετε την πλευρά του τετραγώνου, η οποία θα χωρέσει εύκολα κύκλος. Ανοίξτε την πυξίδα σε αυτό το μήκος. Βάλτε τη βελόνα του κύκλοςκαι σχεδιάστε ένα τόξο που τέμνει τη μία πλευρά του κύκλου. Μετακινήστε το σκέλος της πυξίδας στο σημείο που προκύπτει. Σχεδιάστε ξανά ένα τόξο.

Επαναλάβετε τη διαδικασία και τραβήξτε δύο ακόμη πόντους. Συνδέστε και τις τέσσερις τελείες. Αυτός είναι ένας ευκολότερος τρόπος για να χωρέσετε ένα τετράγωνο κύκλος.

Εξετάστε το πρόβλημα της προσαρμογής κύκλος. σχεδιάζω κύκλος. Πάρτε ένα σημείο αυθαίρετα στον κύκλο - θα είναι η κορυφή του τριγώνου. Από αυτό το σημείο, κρατώντας την πυξίδα, σχεδιάστε ένα τόξο στη διασταύρωση με κύκλος Yu. Αυτή θα είναι η δεύτερη κορυφή. Κατασκευάστε μια τρίτη κορυφή από αυτό με παρόμοιο τρόπο. Συνδέστε τις τελείες με μια γραμμή. Βρέθηκε λύση.

Σχετικά βίντεο

Μπορείτε εύκολα να χωρέσετε ένα τετράγωνο σε έναν κύκλο χρησιμοποιώντας εργαλεία σχεδίασης. Αλλά αυτό το έργο λύνεται ακόμη και στην πλήρη απουσία τους. Είναι απαραίτητο μόνο να θυμάστε μερικές ιδιότητες ενός τετραγώνου.

Θα χρειαστείτε

• -πυξίδα
• -μολύβι
• -γκον
• -ψαλίδι

Εντολή

Σχεδιάστε στην εργασία. Προφανώς, η διάμετρος του κύκλου είναι η διαγώνιος του εγγεγραμμένου σε αυτό. Θυμηθείτε τη γνωστή ιδιότητα ενός τετραγώνου: οι διαγώνιες του είναι κάθετες μεταξύ τους. Χρησιμοποιήστε αυτή τη σχέση διαγωνίων όταν κατασκευάζετε ένα δεδομένο τετράγωνο.

Σχεδιάστε μια διάμετρο σε κύκλο. Από το κέντρο, χρησιμοποιώντας ένα τετράγωνο, σχεδιάστε τη δεύτερη διάμετρο υπό γωνία 90 μοιρών ως προς την πρώτη. Συνδέστε τα σημεία τομής των κάθετων διαμέτρων με έναν κύκλο και λάβετε ένα τετράγωνο εγγεγραμμένο σε αυτόν τον κύκλο.

Εάν το μοναδικό σας εργαλείο σχεδίασης είναι η πυξίδα, σχεδιάστε έναν κύκλο. Σημειώστε ένα αυθαίρετο σημείο στον κύκλο και σχεδιάστε μια διάμετρο μέσα από αυτό χρησιμοποιώντας μια ευθεία άκρη. Τώρα πρέπει να χρησιμοποιήσετε μια πυξίδα για να διαιρέσετε το μισό του κύκλου μεταξύ των άκρων της διαμέτρου σε δύο ίσα μέρη. Από τα σημεία τομής της διαμέτρου με τον κύκλο, κάντε δύο εγκοπές, διατηρώντας το διάλυμα της πυξίδας αμετάβλητο. Σχεδιάστε τη δεύτερη διάμετρο μέσω του σημείου τομής αυτών των σειρών και του κέντρου του κύκλου. Προφανώς, θα είναι κάθετο στην πρώτη.

Εάν δεν έχετε εργαλεία σχεδίασης, μπορείτε να κόψετε έναν κύκλο που οριοθετείται από έναν δεδομένο κύκλο. Διπλώστε το κομμένο σχήμα ακριβώς στη μέση. Δοκιμάστε ξανά τη λειτουργία. Είναι απαραίτητο να συνδυάσετε τα άκρα της γραμμής διπλώματος, τότε τα καμπύλα τμήματα θα ταιριάζουν χωρίς πρόσθετη προσπάθεια. Διορθώστε τις γραμμές πρόσθεσης. Τώρα επεκτείνετε τον κύκλο. Οι γραμμές δίπλωσης είναι καθαρά ορατές. Λυγίστε τα κυκλικά τμήματα μεταξύ των σημείων τομής των γραμμών δίπλωσης με τον κύκλο και κόψτε αυτά τα τμήματα. Οι γραμμές κοπής είναι οι πλευρές του επιθυμητού τετραγώνου. Τοποθετήστε το αποκομμένο τετράγωνο στον δεδομένο κύκλο, ευθυγραμμίζοντας το κέντρο του με το σημείο τομής των γραμμών δίπλωσης του κύκλου. Οι κορυφές του τετραγώνου θα βρίσκονται στον κύκλο, κάτι που έπρεπε να γίνει.

Ένας κύκλος λέγεται ότι είναι εγγεγραμμένος σε ένα πολύγωνο εάν βρίσκεται εξ ολοκλήρου μέσα σε αυτό το πολύγωνο. Κάθε πλευρά του περιγραφόμενου σχήματος έχει ένα κοινό σημείο με τον κύκλο.

Ένα τετράπλευρο εγγράφεται σε κύκλο εάν όλες οι κορυφές του βρίσκονται στον κύκλο.Ένας τέτοιος κύκλος περικλείεται σε ένα τετράπλευρο.

Όπως κάθε τετράπλευρο δεν μπορεί να περιγραφεί σε κύκλο, έτσι δεν μπορεί να εγγραφεί κάθε τετράπλευρο σε κύκλο.

Ένα κυρτό τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο έχει την ιδιότητα ότι οι απέναντι γωνίες του αθροίζονται έως και 180°. Έτσι, δίνεται ένα τετράπλευρο ABCD με γωνία Α αντίθετη προς τη γωνία C και γωνία Β αντίθετη από τη γωνία D, τότε ∠A + ∠C = 180° και ∠B + ∠D = 180°.

Γενικά, αν ένα ζεύγος απέναντι γωνιών ενός τετράπλευρου άθροισμα είναι 180°, τότε το άλλο ζεύγος θα αθροίζεται στο ίδιο ποσό. Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι για ένα κυρτό τετράπλευρο το άθροισμα των γωνιών είναι πάντα 360°. Με τη σειρά του, αυτό το γεγονός προκύπτει από το γεγονός ότι για τα κυρτά πολύγωνα, το άθροισμα των γωνιών καθορίζεται από τον τύπο 180 ° * (n - 2), όπου n είναι ο αριθμός των γωνιών (ή πλευρών).

Μπορείτε να αποδείξετε την εγγεγραμμένη τετράπλευρη ιδιότητα ως εξής. Έστω το τετράπλευρο ABCD εγγεγραμμένο στον κύκλο Ο. Απαιτείται να αποδειχθεί ότι ∠B + ∠D = 180°.

Η γωνία Β είναι εγγεγραμμένη σε κύκλο. Όπως γνωρίζετε, μια τέτοια γωνία είναι ίση με το μισό του τόξου στο οποίο στηρίζεται. Σε αυτή την περίπτωση, η γωνία Β στηρίζεται στο τόξο ADC, άρα ∠B = ½◡ADC. (Δεδομένου ότι το τόξο είναι ίσο με τη γωνία μεταξύ των ακτίνων που το σχηματίζουν, μπορούμε να γράψουμε ότι ∠B = ½∠AOC, του οποίου το εσωτερικό περιέχει το σημείο D.)

Από την άλλη, η γωνία D του τετραγώνου στηρίζεται στο τόξο ABC, δηλαδή ∠D = ½◡ABC.

Δεδομένου ότι οι πλευρές των γωνιών B και D τέμνουν τον κύκλο στα ίδια σημεία (A και C), διαιρούν τον κύκλο μόνο σε δύο τόξα - ◡ADC και ◡ABC. Εφόσον ο συνολικός κύκλος είναι 360°, τότε ◡ADC + ◡ABC = 360°.

Έτσι, προκύπτουν οι ακόλουθες ισότητες:

∠B = ½◡ADC
∠D = ½◡ABC
◡ADC + ◡ABC = 360°

Να εκφράσετε το άθροισμα των γωνιών:

∠B + ∠D = ½◡ADC + ½◡ABC

Ας βγάλουμε το ½ από την αγκύλη:

∠B + ∠D = ½(◡ADC + ◡ABC)

Ας αντικαταστήσουμε το άθροισμα των τόξων με την αριθμητική τους τιμή:

∠B + ∠D = ½ * 360° = 180°

Βρήκαμε ότι το άθροισμα των απέναντι γωνιών ενός εγγεγραμμένου τετράπλευρου είναι 180°. Αυτό έπρεπε να αποδειχθεί.

Το γεγονός ότι ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο έχει αυτή την ιδιότητα (το άθροισμα των απέναντι γωνιών είναι 180°) δεν σημαίνει ότι οποιοδήποτε τετράπλευρο του οποίου το άθροισμα των απέναντι γωνιών είναι 180° μπορεί να εγγραφεί σε κύκλο. Αν και στην πραγματικότητα είναι. Αυτό το γεγονόςπου ονομάζεται σημάδι ενός εγγεγραμμένου τετράπλευρουκαι διατυπώνεται ως εξής: εάν το άθροισμα των απέναντι γωνιών ενός κυρτού τετράπλευρου είναι 180 °, τότε ένας κύκλος μπορεί να περιγραφεί γύρω του (ή να εγγραφεί σε κύκλο).

Μπορείτε να αποδείξετε το κριτήριο για ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο με αντίφαση. Έστω ABCD να δοθεί ένα τετράπλευρο του οποίου οι αντίθετες γωνίες Β και Δ άθροισμα είναι 180°. Σε αυτή την περίπτωση, η γωνία D δεν βρίσκεται στον κύκλο. Στη συνέχεια, παίρνουμε στην ευθεία που περιέχει το τμήμα CD ένα σημείο Ε τέτοιο ώστε να βρίσκεται στον κύκλο. Παίρνετε ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο ABCE. Αυτό το τετράπλευρο έχει αντίθετες γωνίες Β και Ε, που σημαίνει ότι το άθροισμα είναι 180°. Αυτό προκύπτει από την ιδιότητα του εγγεγραμμένου τετράπλευρου.

Αποδεικνύεται ότι ∠B + ∠D = 180° και ∠B + ∠E = 180°. Ωστόσο, η γωνία D του τετράπλευρου ABCD σε σχέση με το τρίγωνο AED είναι εξωτερική, και ως εκ τούτου περισσότερη γωνίαΕ αυτού του τριγώνου. Έτσι, φτάσαμε σε μια αντίφαση. Αν λοιπόν το άθροισμα των απέναντι γωνιών ενός τετράπλευρου είναι 180°, τότε μπορεί πάντα να εγγραφεί σε κύκλο.