Συχνά είναι απαραίτητο να σχεδιάσετε ("χτίσετε") μια γωνία που θα ήταν ίση με αυτή η γωνία, και η κατασκευή πρέπει να εκτελείται χωρίς τη βοήθεια μοιρογνωμόνιου, αλλά χρησιμοποιώντας μόνο πυξίδα και χάρακα. Γνωρίζοντας πώς να χτίσουμε ένα τρίγωνο σε τρεις πλευρές, μπορούμε να λύσουμε αυτό το πρόβλημα. Αφήστε σε ευθεία γραμμή MN(διακ. 60 και 61) απαιτείται να κατασκευαστεί στο σημείο κγωνία, ίσο με τη γωνία σι. Αυτό σημαίνει ότι είναι απαραίτητο από το σημείο κσχεδιάστε μια ευθεία γραμμή που αποτελεί MNγωνία ίση με σι.
Για να το κάνετε αυτό, σημειώστε ένα σημείο σε κάθε πλευρά μιας δεδομένης γωνίας, για παράδειγμα ΕΝΑΚαι ΜΕκαι συνδεθείτε ΕΝΑΚαι ΜΕευθεία. Πάρτε ένα τρίγωνο αλφάβητο. Ας χτίσουμε τώρα σε μια ευθεία γραμμή MNαυτό το τρίγωνο έτσι ώστε η κορυφή του ΣΕήταν στο σημείο ΠΡΟΣ ΤΗΝ: τότε αυτό το σημείο θα έχει γωνία ίση με τη γωνία ΣΕ. Χτίστε ένα τρίγωνο σε τρεις πλευρές Sun, VAΚαι AUμπορούμε: να αναβάλουμε (απ. 62) από το σημείο ΠΡΟΣ ΤΗΝευθύγραμμο τμήμα kl,ίσος Ήλιος; παίρνω έναν βαθμό μεγάλο; περίπου κ, καθώς κοντά στο κέντρο, περιγράφουμε έναν κύκλο με ακτίνα VA, και γύρω ΜΕΓΑΛΟ-ακτίνα κύκλου ΑΝΩΝΥΜΗ ΕΤΑΙΡΙΑ. σημείο Rσυνδέστε τις τομές των κύκλων με ΠΡΟΣ ΤΗΝκαι Ζ, - παίρνουμε ένα τρίγωνο KPL,τριγωνικός αλφάβητο; εχει γωνια ΠΡΟΣ ΤΗΝ= αγγλ. ΣΕ.
Αυτή η κατασκευή είναι πιο γρήγορη και πιο βολική αν είναι από την κορυφή ΣΕαφήστε στην άκρη ίσα τμήματα (με μία διάλυση της πυξίδας) και, χωρίς να μετακινήσετε τα πόδια της, περιγράψτε με την ίδια ακτίνα έναν κύκλο γύρω από το σημείο ΠΡΟΣ ΤΗΝ,σαν κοντά στο κέντρο.
Πώς να κόψετε μια γωνία στη μέση
Αφήστε να απαιτείται η διαίρεση της γωνίας ΕΝΑ(Εικ. 63) σε δύο ίσα μέρη χρησιμοποιώντας πυξίδα και χάρακα, χωρίς χρήση μοιρογνωμόνιου. Θα σας δείξουμε πώς να το κάνετε.
Απο πάνω ΕΝΑσχεδιάστε ίσα τμήματα στις πλευρές της γωνίας ΑΒΚαι AU(Εικ. 64, αυτό γίνεται με μία διάλυση της πυξίδας). Στη συνέχεια βάζουμε την άκρη της πυξίδας στα σημεία ΣΕΚαι ΜΕκαι να περιγράψετε με ίσες ακτίνες τα τόξα που τέμνονται στο σημείο ΡΕ.ευθεία γραμμή σύνδεσης ΕΝΑκαι το D διαιρεί τη γωνία ΕΝΑστο μισό.
Ας εξηγήσουμε γιατί. Αν το σημείο ρεσυνδέω με ΣΕκαι C (Εικ. 65), τότε παίρνετε δύο τρίγωνα ADCΚαι adb, uπου έχουν κοινή πλευρά ΕΝΑ Δ; πλευρά ΑΒίσο με την πλευρά AU, ΕΝΑ BDείναι ίσο με CD.Τα τρίγωνα είναι ίσα σε τρεις πλευρές, άρα οι γωνίες είναι ίσες. κακόΚαι DAC,που βρίσκεται απέναντι από ίσες πλευρές BDΚαι CD. Επομένως, μια ευθεία γραμμή ΕΝΑ Δδιαιρεί τη γωνία ΕΣΕΙΣστο μισό.
Εφαρμογές
12. Κατασκευάστε γωνία 45° χωρίς μοιρογνωμόνιο. Στις 22°30'. Στους 67°30'.
Λύση Διαιρώντας τη σωστή γωνία στο μισό, έχουμε μια γωνία 45 °. Διαιρώντας τη γωνία των 45° στη μέση, παίρνουμε γωνία 22°30'. Κατασκευάζοντας το άθροισμα των γωνιών 45° + 22°30', παίρνουμε γωνία 67°30'.
Πώς να σχεδιάσετε ένα τρίγωνο με δύο πλευρές και μια γωνία μεταξύ τους
Αφήστε να απαιτείται στο έδαφος για να μάθετε την απόσταση μεταξύ δύο ορόσημων ΕΝΑΚαι ΣΕ(συσκευή 66), που χωρίζεται από αδιαπέραστο βάλτο.
Πως να το κάνεις?
Μπορούμε να το κάνουμε αυτό: εκτός από τον βάλτο, επιλέγουμε ένα τέτοιο σημείο ΜΕ, από όπου είναι ορατά και τα δύο ορόσημα και είναι δυνατή η μέτρηση αποστάσεων AUΚαι Ήλιος.Γωνία ΜΕμετράμε με τη βοήθεια ειδικής γωνιομετρικής συσκευής (που ονομάζεται αστρολάβος). Σύμφωνα με αυτά τα δεδομένα, δηλ. σύμφωνα με τις μετρημένες πλευρές ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝΚαι Ήλιοςκαι γωνία ΜΕμεταξύ τους, χτίστε ένα τρίγωνο αλφάβητοκάπου σε μια βολική τοποθεσία ως εξής. Έχοντας μετρήσει μια γνωστή πλευρά σε ευθεία γραμμή (Εικ. 67), για παράδειγμα AU, χτίστε με αυτό στο σημείο ΜΕγωνία ΜΕ; στην άλλη πλευρά αυτής της γωνίας, μετριέται μια γνωστή πλευρά Ήλιος.τελειώνει διάσημα πάρτι, δηλαδή σημεία ΕΝΑΚαι ΣΕσυνδέονται με ευθεία γραμμή. Αποδεικνύεται ένα τρίγωνο στο οποίο δύο πλευρές και η γωνία μεταξύ τους έχουν προκαθορισμένες διαστάσεις.
Είναι σαφές από τη μέθοδο κατασκευής ότι μόνο ένα τρίγωνο μπορεί να κατασκευαστεί με δεδομένες δύο πλευρές και τη γωνία μεταξύ τους. Επομένως, εάν δύο πλευρές ενός τριγώνου είναι ίσες με δύο πλευρές ενός άλλου και οι γωνίες μεταξύ αυτών των πλευρών είναι ίδιες, τότε τέτοια τρίγωνα μπορούν να τοποθετηθούν το ένα πάνω στο άλλο από όλα τα σημεία, δηλαδή οι τρίτες πλευρές τους και οι άλλες γωνίες πρέπει επίσης να είναι ίσες . Αυτό σημαίνει ότι η ισότητα των δύο πλευρών των τριγώνων και η μεταξύ τους γωνία μπορεί να χρησιμεύσει ως σημάδι της πλήρους ισότητας αυτών των τριγώνων. Εν συντομία:
Τα τρίγωνα είναι ίσα κάτω από δύο πλευρές και οι γωνίες μεταξύ τους.
Στόχοι μαθήματος:
- Διαμόρφωση δεξιοτήτων για την ανάλυση του μελετημένου υλικού και δεξιοτήτων για την εφαρμογή του για την επίλυση προβλημάτων.
- Δείξτε τη σημασία των εννοιών που μελετώνται.
- Ανάπτυξη γνωστικής δραστηριότητας και ανεξαρτησία στην απόκτηση γνώσης.
- Αύξηση ενδιαφέροντος για το θέμα, αίσθηση ομορφιάς.
Στόχοι μαθήματος:
- Να σχηματίσουν δεξιότητες στην κατασκευή μιας γωνίας ίσης με μια δεδομένη χρησιμοποιώντας ένα χάρακα κλίμακας, πυξίδα, μοιρογνωμόνιο και τρίγωνο σχεδίασης.
- Ελέγξτε την ικανότητα των μαθητών να επιλύουν προβλήματα.
Πλάνο μαθήματος:
- Επανάληψη.
- Κατασκευάζοντας μια γωνία ίση με μια δεδομένη.
- Ανάλυση.
- Κατασκευή του πρώτου παραδείγματος.
- Κατασκευή του δεύτερου παραδείγματος.
Επανάληψη.
Γωνία.
επίπεδη γωνία- απεριόριστο γεωμετρικό σχήμα που σχηματίζεται από δύο ακτίνες (πλευρές μιας γωνίας) που αναδύονται από ένα σημείο (την κορυφή της γωνίας).
Γωνία ονομάζεται επίσης ένα σχήμα που σχηματίζεται από όλα τα σημεία του επιπέδου που περικλείονται μεταξύ αυτών των ακτίνων (Γενικά, δύο τέτοιες ακτίνες αντιστοιχούν σε δύο γωνίες, αφού χωρίζουν το επίπεδο σε δύο μέρη. Μία από αυτές τις γωνίες ονομάζεται υπό όρους εσωτερική και η άλλα εξωτερικά.
Μερικές φορές, για συντομία, μια γωνία ονομάζεται γωνιακό μέτρο.
Για να ορίσετε μια γωνία, υπάρχει ένα γενικά αποδεκτό σύμβολο: , που προτάθηκε το 1634 από τον Γάλλο μαθηματικό Pierre Erigon.
Γωνία- πρόκειται για ένα γεωμετρικό σχήμα (Εικ. 1), που σχηματίζεται από δύο ακτίνες OA και OB (γωνιακές πλευρές), που προέρχονται από ένα σημείο O (γωνιακή κορυφή).
Μια γωνία συμβολίζεται με ένα σύμβολο και τρία γράμματα που υποδεικνύουν τα άκρα των ακτίνων και την κορυφή της γωνίας: AOB (εξάλλου, το γράμμα της κορυφής είναι το μεσαίο). Οι γωνίες μετρώνται με την ποσότητα περιστροφής της ακτίνας ΟΑ γύρω από την κορυφή Ο έως ότου η ακτίνα ΟΑ περάσει στη θέση ΟΒ. Υπάρχουν δύο συνήθως χρησιμοποιούμενες μονάδες για τη μέτρηση των γωνιών: ακτίνια και μοίρες. Για τη μέτρηση ακτίνων των γωνιών, δείτε παρακάτω στην ενότητα "Μήκος τόξου" και επίσης στο κεφάλαιο "Τριγωνομετρία".
Σύστημα μοιρών για μέτρηση γωνιών.
Εδώ, η μονάδα μέτρησης είναι ο βαθμός (ο χαρακτηρισμός του είναι °) - αυτή είναι η περιστροφή της δέσμης κατά 1/360 μιας πλήρους στροφής. Έτσι, μια πλήρης περιστροφή της δοκού είναι 360 o. Ένας βαθμός χωρίζεται σε 60 λεπτά (σημειογραφία «). ένα λεπτό - αντίστοιχα για 60 δευτερόλεπτα (ονομασία "). Μια γωνία 90 ° (Εικ. 2) ονομάζεται ορθή. Μια γωνία μικρότερη από 90° (Εικ. 3) ονομάζεται οξεία. μια γωνία μεγαλύτερη από 90 ° (Εικ. 4) ονομάζεται αμβλεία.
Οι ευθείες που σχηματίζουν ορθή γωνία ονομάζονται αμοιβαία κάθετες. Αν οι ευθείες ΑΒ και ΜΚ είναι κάθετες, τότε αυτό συμβολίζεται: ΑΒ ΜΚ.
Κατασκευάζοντας μια γωνία ίση με μια δεδομένη.
Πριν από την έναρξη της κατασκευής ή την επίλυση οποιουδήποτε προβλήματος, ανεξάρτητα από το αντικείμενο, είναι απαραίτητο να πραγματοποιηθεί ανάλυση. Κατανοήστε τι αφορά η εργασία, διαβάστε τη προσεκτικά και αργά. Εάν μετά την πρώτη φορά υπάρχουν αμφιβολίες ή κάτι δεν ήταν ξεκάθαρο ή ξεκάθαρο αλλά όχι εντελώς, συνιστάται να το διαβάσετε ξανά. Εάν κάνετε μια εργασία στην τάξη, μπορείτε να ρωτήσετε τον δάσκαλο. Διαφορετικά, η εργασία σας, την οποία παρεξηγήσατε, μπορεί να μην λυθεί σωστά ή να βρείτε κάτι που δεν είναι αυτό που σας ζητήθηκε και θα θεωρηθεί λανθασμένο και θα πρέπει να το επαναλάβετε. Οσον αφορά εμένα - είναι καλύτερο να αφιερώσετε λίγο περισσότερο χρόνο μελετώντας την εργασία παρά να την επαναλάβετε.
Ανάλυση.
Έστω a μια δεδομένη ακτίνα με κορυφή Α και έστω (ab) η επιθυμητή γωνία. Επιλέγουμε τα σημεία Β και Γ στις ακτίνες α και β αντίστοιχα. Συνδέοντας τα σημεία Β και Γ, παίρνουμε τρίγωνο ABC. ΣΕ ίσα τρίγωναοι αντίστοιχες γωνίες είναι ίσες και ως εκ τούτου ακολουθεί ο τρόπος κατασκευής. Εάν τα σημεία C και B επιλεχθούν με κάποιο βολικό τρόπο στις πλευρές μιας δεδομένης γωνίας, ένα τρίγωνο AB 1 C 1 ίσο με ABC κατασκευάζεται από τη δεδομένη ακτίνα στο δεδομένο ημιεπίπεδο (και αυτό μπορεί να γίνει εάν όλες οι πλευρές του το τρίγωνο είναι γνωστό), τότε το πρόβλημα θα λυθεί.
Κατά την εκτέλεση οποιουδήποτε κατασκευέςνα είστε εξαιρετικά προσεκτικοί και προσπαθήστε να εκτελέσετε όλες τις κατασκευές προσεκτικά. Δεδομένου ότι τυχόν ασυνέπειες μπορεί να οδηγήσουν σε κάποιου είδους λάθη, αποκλίσεις, που μπορεί να οδηγήσουν σε λανθασμένη απάντηση. Και αν μια εργασία αυτού του τύπου εκτελείται για πρώτη φορά, τότε το σφάλμα θα είναι πολύ δύσκολο να βρεθεί και να διορθωθεί.
Κατασκευή του πρώτου παραδείγματος.
Σχεδιάστε έναν κύκλο με κέντρο την κορυφή της δεδομένης γωνίας. Έστω Β και Γ τα σημεία τομής του κύκλου με τις πλευρές της γωνίας. Σχεδιάστε έναν κύκλο με ακτίνα ΑΒ με κέντρο στο σημείο Α 1 - το σημείο εκκίνησης αυτής της ακτίνας. Το σημείο τομής αυτού του κύκλου με τη δεδομένη ακτίνα θα συμβολίζεται με Β 1 . Ας περιγράψουμε έναν κύκλο με κέντρο B 1 και ακτίνα BC. Το σημείο τομής C 1 των κατασκευασμένων κύκλων στο καθορισμένο ημιεπίπεδο βρίσκεται στην πλευρά της απαιτούμενης γωνίας.
Τα τρίγωνα ABC και A 1 B 1 C 1 είναι ίσα σε τρεις πλευρές. Οι γωνίες Α και Α 1 είναι οι αντίστοιχες γωνίες αυτών των τριγώνων. Επομένως, ∠CAB = ∠C 1 A 1 B 1
Για μεγαλύτερη σαφήνεια, μπορούμε να εξετάσουμε τις ίδιες κατασκευές με περισσότερες λεπτομέρειες.
Κατασκευή του δεύτερου παραδείγματος.
Απομένει επίσης να αναβληθεί από τη δεδομένη ημιευθεία στο δεδομένο ημιεπίπεδο μια γωνία ίση με τη δεδομένη γωνία.
Κατασκευή.
Βήμα 1.Ας σχεδιάσουμε έναν κύκλο με αυθαίρετη ακτίνα και κέντρο στην κορυφή Α της δεδομένης γωνίας. Έστω Β και Γ τα σημεία τομής του κύκλου με τις πλευρές της γωνίας. Και σχεδιάστε το τμήμα BC.
Βήμα 2Σχεδιάστε έναν κύκλο με ακτίνα ΑΒ με κέντρο στο σημείο Ο, το σημείο έναρξης αυτής της ημιευθείας. Να συμβολίσετε το σημείο τομής του κύκλου με την ακτίνα Β 1 .
Βήμα 3Τώρα ας περιγράψουμε έναν κύκλο με κέντρο B 1 και ακτίνα BC. Έστω το σημείο C 1 η τομή των κατασκευασμένων κύκλων στο καθορισμένο ημιεπίπεδο. 
Βήμα 4Ας σχεδιάσουμε μια ακτίνα από το σημείο Ο έως το σημείο Γ 1 . Η γωνία C 1 OB 1 θα είναι η επιθυμητή.
Απόδειξη.
Τα τρίγωνα ABC και OB 1 C 1 είναι ίσα ως τρίγωνα με τις αντίστοιχες πλευρές. Και επομένως οι γωνίες CAB και C 1 OB 1 είναι ίσες.
Ενδιαφέρον γεγονός:
Σε αριθμούς.
Στα αντικείμενα του κόσμου γύρω σας, πρώτα απ 'όλα, παρατηρείτε τις ατομικές τους ιδιότητες που διακρίνουν το ένα αντικείμενο από το άλλο.
Η αφθονία των συγκεκριμένων, μεμονωμένων ιδιοτήτων επισκιάζει τις γενικές ιδιότητες που είναι εγγενείς σε απολύτως όλα τα αντικείμενα, και επομένως είναι πάντα πιο δύσκολο να ανακαλύψουμε τέτοιες ιδιότητες.
Μία από τις πιο σημαντικές κοινές ιδιότητες των αντικειμένων είναι ότι όλα τα αντικείμενα μπορούν να μετρηθούν και να μετρηθούν. Το αντικατοπτρίζουμε κοινή περιουσίααντικείμενα στην έννοια του αριθμού.
Οι άνθρωποι κατέκτησαν τη διαδικασία της μέτρησης, δηλαδή την έννοια του αριθμού, πολύ αργά, για αιώνες, σε έναν επίμονο αγώνα για την ύπαρξή τους.
Για να μετρήσει κανείς, δεν πρέπει μόνο να έχει αντικείμενα που μπορούν να μετρηθούν, αλλά να έχει ήδη την ικανότητα να αποσπάται η προσοχή όταν εξετάζει αυτά τα αντικείμενα από όλες τις άλλες ιδιότητές τους, εκτός από τον αριθμό, και αυτή η ικανότητα είναι το αποτέλεσμα μιας μακράς ιστορικής εξέλιξης που βασίζεται στην εμπειρία.
Κάθε άτομο τώρα μαθαίνει να μετράει με τη βοήθεια αριθμών ανεπαίσθητα ακόμη και στην παιδική του ηλικία, σχεδόν ταυτόχρονα με το πώς αρχίζει να μιλάει, αλλά αυτή η συνηθισμένη μέτρηση έχει προχωρήσει πολύ στην ανάπτυξη και έχει πάρει διαφορετικές μορφές.
Υπήρξε μια εποχή που μόνο δύο αριθμοί χρησιμοποιούνταν για να μετράνε αντικείμενα: ένα και δύο. Στη διαδικασία περαιτέρω επέκτασης του συστήματος αριθμών, συμμετείχαν μέρη ανθρώπινο σώμακαι πρώτα απ 'όλα, τα δάχτυλα, και αν δεν υπήρχαν αρκετοί τέτοιοι "αριθμοί", τότε επίσης μπαστούνια, βότσαλα και άλλα πράγματα.
N. N. Miklukho-Maclayστο βιβλίο του "Ταξίδια"μιλά για έναν αστείο τρόπο μέτρησης που χρησιμοποιούν οι ιθαγενείς της Νέας Γουινέας:
Ερωτήσεις:
- Ποιος είναι ο ορισμός της γωνίας;
- Ποια είναι τα είδη των γωνιών;
- Ποια είναι η διαφορά μεταξύ διαμέτρου και ακτίνας;
Κατάλογος πηγών που χρησιμοποιήθηκαν:
- Mazur K. I. "Επίλυση των κύριων αγωνιστικών προβλημάτων στα μαθηματικά της συλλογής που επιμελήθηκε ο M. I. Scanavi"
- Μαθηματική εφευρετικότητα. B.A. Kordemsky. Μόσχα.
- L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina "Γεωμετρία, 7 - 9: ένα εγχειρίδιο για εκπαιδευτικά ιδρύματα"
Εργάστηκε στο μάθημα:
Levchenko V.S.
Poturnak S.A.
Κάντε μια ερώτηση για σύγχρονη εκπαίδευση, εκφράστε μια ιδέα ή λύστε ένα επείγον πρόβλημα, μπορείτε Εκπαιδευτικό Φόρουμ, όπου επάνω διεθνές επίπεδοσυγκεντρώνεται ένα εκπαιδευτικό συμβούλιο φρέσκιας σκέψης και δράσης. Έχοντας δημιουργήσει blog,Δεν θα βελτιώσετε μόνο την κατάστασή σας ως ικανός δάσκαλος, αλλά και θα συμβάλετε σημαντικά στην ανάπτυξη του σχολείου του μέλλοντος. Εκπαίδευση Ηγετών Guildανοίγει την πόρτα σε κορυφαίους ειδικούς και σας προσκαλεί να συνεργαστείτε προς την κατεύθυνση της δημιουργίας των καλύτερων σχολείων στον κόσμο.
Μαθήματα > Μαθηματικά > Μαθηματικά 7η τάξηΣε κατασκευαστικά προβλήματα, θα εξετάσουμε την κατασκευή γεωμετρικό σχήμαπου μπορεί να γίνει με χάρακα και πυξίδα.
Με έναν χάρακα, μπορείτε:
αυθαίρετη γραμμή?
μια αυθαίρετη γραμμή που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο.
μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία.
Χρησιμοποιώντας μια πυξίδα, μπορείτε να περιγράψετε έναν κύκλο μιας δεδομένης ακτίνας από ένα δεδομένο κέντρο.
Μια πυξίδα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να σχεδιάσετε ένα τμήμα σε μια δεδομένη γραμμή από ένα δεδομένο σημείο.
Εξετάστε τα κύρια καθήκοντα για την κατασκευή.
Εργασία 1.Κατασκευάστε ένα τρίγωνο με δεδομένες πλευρές a, b, c (Εικ. 1).
Λύση. Με τη βοήθεια ενός χάρακα σχεδιάζουμε μια αυθαίρετη ευθεία και πάρουμε πάνω της ένα αυθαίρετο σημείο Β. Με άνοιγμα πυξίδας ίσο με a περιγράφουμε έναν κύκλο με κέντρο Β και ακτίνα α. Έστω C το σημείο τομής του με την ευθεία. Με άνοιγμα πυξίδας ίσο με c, περιγράφουμε έναν κύκλο από το κέντρο Β και με άνοιγμα πυξίδας ίσο με b - έναν κύκλο από το κέντρο C. Έστω Α το σημείο τομής αυτών των κύκλων. Το τρίγωνο ΑΒΓ έχει πλευρές ίσες με a, b, c.
Σχόλιο. Προκειμένου τρία ευθύγραμμα τμήματα να χρησιμεύουν ως πλευρές ενός τριγώνου, είναι απαραίτητο το μεγαλύτερο από αυτά να είναι μικρότερο από το άθροισμα των άλλων δύο (και< b + с).
Εργασία 2.
Λύση. Αυτή η γωνία με την κορυφή Α και τη δέσμη OM φαίνονται στο σχήμα 2.
Σχεδιάστε έναν αυθαίρετο κύκλο με κέντρο την κορυφή Α της δεδομένης γωνίας. Έστω Β και Γ τα σημεία τομής του κύκλου με τις πλευρές της γωνίας (Εικ. 3, α). Ας σχεδιάσουμε έναν κύκλο με ακτίνα ΑΒ με κέντρο στο σημείο Ο - το σημείο εκκίνησης αυτής της ακτίνας (Εικ. 3, β). Το σημείο τομής αυτού του κύκλου με τη δεδομένη ακτίνα θα συμβολίζεται ως С 1 . Ας περιγράψουμε έναν κύκλο με κέντρο C 1 και ακτίνα BC. Το σημείο B 1 της τομής δύο κύκλων βρίσκεται στην πλευρά της επιθυμητής γωνίας. Αυτό προκύπτει από την ισότητα Δ ABC \u003d Δ OB 1 C 1 (το τρίτο κριτήριο για την ισότητα των τριγώνων).
Εργασία 3.Κατασκευάστε τη διχοτόμο της δεδομένης γωνίας (Εικ. 4).
Λύση. Από την κορυφή Α μιας δεδομένης γωνίας, όπως από το κέντρο, σχεδιάζουμε έναν κύκλο αυθαίρετης ακτίνας. Έστω Β και Γ τα σημεία τομής του με τις πλευρές της γωνίας. Από τα σημεία Β και Γ με την ίδια ακτίνα περιγράφουμε κύκλους. Έστω D το σημείο τομής τους, διαφορετικό από το Α. Η ακτίνα AD διαιρεί τη γωνία Α στο μισό. Αυτό προκύπτει από την ισότητα ΔABD = ΔACD (το τρίτο κριτήριο για την ισότητα των τριγώνων).
Εργασία 4.Σχεδιάστε μια μέση κάθετη σε αυτό το τμήμα (Εικ. 5).
Λύση. Με ένα αυθαίρετο αλλά πανομοιότυπο άνοιγμα πυξίδας (μεγάλο 1/2 AB), περιγράφουμε δύο τόξα με κέντρο στα σημεία Α και Β, τα οποία θα τέμνονται μεταξύ τους σε ορισμένα σημεία C και D. Η ευθεία γραμμή CD θα είναι η απαιτούμενη κάθετη. Πράγματι, όπως φαίνεται από την κατασκευή, κάθε ένα από τα σημεία C και D απέχει εξίσου από τα Α και Β. Επομένως, αυτά τα σημεία πρέπει να βρίσκονται κάθετη διχοτόμοςστο τμήμα ΑΒ.
Εργασία 5.Διαχωρίστε αυτό το τμήμα στη μέση. Επιλύεται με τον ίδιο τρόπο όπως το πρόβλημα 4 (βλ. Εικ. 5).
Εργασία 6.Μέσα από ένα δεδομένο σημείο, σχεδιάστε μια ευθεία κάθετη στη δεδομένη ευθεία.
Λύση. Δύο περιπτώσεις είναι δυνατές:
1) το δεδομένο σημείο O βρίσκεται στη δεδομένη ευθεία a (Εικ. 6).
Από το σημείο Ο σχεδιάζουμε κύκλο με αυθαίρετη ακτίνα που τέμνει την ευθεία α στα σημεία Α και Β. Από τα σημεία Α και Β σχεδιάζουμε κύκλους με την ίδια ακτίνα. Έστω О 1 το σημείο τομής τους διαφορετικό από το О. Παίρνουμε ОО 1 ⊥ AB. Στην πραγματικότητα, τα σημεία Ο και Ο 1 απέχουν ίσα από τα άκρα του τμήματος ΑΒ και, επομένως, βρίσκονται στη μεσοκάθετο σε αυτό το τμήμα.
Για να φτιάξετε οποιοδήποτε σχέδιο ή να εκτελέσετε μια επίπεδη σήμανση ενός τυφλού τμήματος πριν από την επεξεργασία του, είναι απαραίτητο να πραγματοποιήσετε μια σειρά από γραφικές πράξεις - γεωμετρικές κατασκευές.
Στο σχ. Το 2.1 δείχνει ένα επίπεδο μέρος - ένα πιάτο. Για να σχεδιάσετε το σχέδιό του ή να σημειώσετε ένα περίγραμμα σε μια χαλύβδινη λωρίδα για μεταγενέστερη κατασκευή, είναι απαραίτητο να το κάνετε στο επίπεδο κατασκευής, οι κύριοι από τους οποίους είναι αριθμημένοι με αριθμούς γραμμένους στα βέλη του δείκτη. Αριθμητικός 1 η κατασκευή αμοιβαία κάθετων γραμμών, που πρέπει να εκτελούνται σε πολλά σημεία, υποδεικνύεται από τον αριθμό 2 - σχεδίαση παράλληλων γραμμών, αριθμών 3 - σύζευξη αυτών των παράλληλων ευθειών με τόξο ορισμένης ακτίνας, έναν αριθμό 4 - σύζευξη τόξου και ευθύγραμμου τόξου δεδομένης ακτίνας, που σε αυτή η υπόθεσηίσο με 10 mm, αριθμός 5 - σύζευξη δύο τόξων με τόξο ορισμένης ακτίνας.
Ως αποτέλεσμα αυτών και άλλων γεωμετρικών κατασκευών, θα σχεδιαστεί το περίγραμμα του τμήματος.
Γεωμετρική κατασκευήκαλέστε μια μέθοδο για την επίλυση ενός προβλήματος στο οποίο η απάντηση λαμβάνεται γραφικά χωρίς υπολογισμούς. Οι κατασκευές εκτελούνται με εργαλεία σχεδίασης (ή σήμανσης) όσο το δυνατόν ακριβέστερα, επειδή η ακρίβεια της λύσης εξαρτάται από αυτό.
Οι γραμμές που καθορίζονται από τις συνθήκες του προβλήματος, καθώς και οι κατασκευές, είναι συμπαγείς λεπτές και τα αποτελέσματα της κατασκευής είναι συμπαγή κύρια.
Όταν ξεκινάτε ένα σχέδιο ή σήμανση, πρέπει πρώτα να καθορίσετε ποιες από τις γεωμετρικές κατασκευές πρέπει να εφαρμοστούν σε αυτήν την περίπτωση, δηλ. αναλύουν τη γραφική σύνθεση της εικόνας.
Ρύζι. 2.1.
Ανάλυση της γραφικής σύνθεσης της εικόναςονομάζεται η διαδικασία διαίρεσης της εκτέλεσης ενός σχεδίου σε ξεχωριστές γραφικές πράξεις.
Η αναγνώριση των λειτουργιών που απαιτούνται για τη δημιουργία ενός σχεδίου διευκολύνει την επιλογή του τρόπου εκτέλεσης του. Εάν χρειάζεται να σχεδιάσετε, για παράδειγμα, την πλάκα που φαίνεται στο Σχ. 2.1, τότε η ανάλυση του περιγράμματος της εικόνας του μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι πρέπει να εφαρμόσουμε τις ακόλουθες γεωμετρικές κατασκευές: σε πέντε περιπτώσεις να σχεδιάσουμε αμοιβαία κάθετες κεντρικές γραμμές (αριθμός 1 σε κύκλο), σε τέσσερις περιπτώσεις ζωγραφίστε παράλληλες γραμμές(αριθμός 2 ), σχεδιάστε δύο ομόκεντρους κύκλους (0 50 και 70 mm), σε έξι περιπτώσεις, κατασκευάστε συζεύξεις δύο παράλληλων γραμμών με τόξα δεδομένης ακτίνας (αριθμός 3 ), και σε τέσσερα - σύζευξη του τόξου και ενός ευθύγραμμου τόξου με ακτίνα 10 mm (σχήμα 4 ), σε τέσσερις περιπτώσεις, κατασκευάστε μια σύζευξη δύο τόξων με τόξο ακτίνας 5 mm (αριθμός 5 σε κύκλο).
Για να εκτελέσετε αυτές τις κατασκευές, είναι απαραίτητο να θυμάστε ή να επαναλάβετε τους κανόνες για τη σχεδίασή τους από το σχολικό βιβλίο.
Σε αυτή την περίπτωση, συνιστάται να επιλέξετε έναν ορθολογικό τρόπο εκτέλεσης του σχεδίου. Επιλογή ορθολογικό τρόποη επίλυση προβλημάτων μειώνει τον χρόνο που αφιερώνεται στην εργασία. Για παράδειγμα, όταν κατασκευάζετε ένα ισόπλευρο τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο, είναι πιο λογικό να χρησιμοποιείτε ένα τετράγωνο Τ και ένα τετράγωνο με γωνία 60 ° χωρίς να προσδιορίσετε πρώτα τις κορυφές του τριγώνου (βλ. Εικ. 2.2, α, β). Λιγότερο ορθολογικός είναι ο τρόπος επίλυσης του ίδιου προβλήματος χρησιμοποιώντας μια πυξίδα και ένα τετράγωνο Τ με προκαταρκτικό ορισμό των κορυφών του τριγώνου (βλ. Εικ. 2.2, V).
Διαίρεση τμημάτων και κατασκευή γωνιών
Κατασκευή ορθών γωνιών
Είναι λογικό να οικοδομήσουμε μια γωνία 90 ° χρησιμοποιώντας ένα Τ-τετράγωνο και ένα τετράγωνο (Εικ. 2.2). Για να γίνει αυτό, αρκεί, τραβώντας μια ευθεία γραμμή, να ορίσετε μια κάθετη σε αυτήν με τη βοήθεια ενός τετραγώνου (Εικ. 2.2, ΕΝΑ). Είναι λογικό να οικοδομήσουμε μια κάθετη στο τμήμα του κεκλιμένου, μετακινώντας το (Εικ. 2.2, σι) ή στροφή (Εικ. 2.2, V) ένα τετράγωνο.
Ρύζι. 2.2.
Κατασκευή αμβλειών και οξειών γωνιών
Οι ορθολογικές μέθοδοι για την κατασκευή γωνιών 120, 30 και 150, 60 και 120, 15 και 165, 75 και 105,45 και 135° φαίνονται στο Σχ. 2.3, που δείχνει τις θέσεις των τετραγώνων για την κατασκευή αυτών των γωνιών.
Ρύζι. 2.3.
Διαίρεση μιας γωνίας σε δύο ίσα μέρη
Από την κορυφή της γωνίας περιγράψτε ένα τόξο κύκλου αυθαίρετης ακτίνας (Εικ. 2.4).
Ρύζι. 2.4.
Από σημεία ΜηΝ τομή του τόξου με τις πλευρές της γωνίας με διάλυμα πυξίδας μεγαλύτερο από το μισό του τόξου ΜΝ, κάντε δύο που τέμνονται σε ένα σημείο ΕΝΑσερίφ.
μέσα από το δεδομένο σημείο ΕΝΑκαι η κορυφή της γωνίας σχεδιάζουν ευθεία γραμμή (διχοτόμος γωνίας).
Διαίρεση ορθής γωνίας σε τρία ίσα μέρη
Απο πάνω ορθή γωνίαπεριγράφουν ένα τόξο κύκλου αυθαίρετης ακτίνας (Εικ. 2.5). Χωρίς αλλαγή της λύσης της πυξίδας, γίνονται σερίφ από τα σημεία τομής του τόξου με τις πλευρές της γωνίας. Μέσω των ληφθέντων πόντων ΜΚαι Ν και η κορυφή της γωνίας τραβιέται με ευθείες γραμμές.
Ρύζι. 2.5.
Με αυτόν τον τρόπο, μόνο οι ορθές γωνίες μπορούν να χωριστούν σε τρία ίσα μέρη.
Κατασκευάζοντας μια γωνία ίση με μια δεδομένη. Απο πάνω ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕμια δεδομένη γωνία, σχεδιάστε ένα τόξο αυθαίρετης ακτίνας R,τέμνοντας τις πλευρές της γωνίας σε σημεία ΜΚαι Ν(Εικ. 2.6, ΕΝΑ). Στη συνέχεια σχεδιάζεται ένα ευθύγραμμο τμήμα, το οποίο θα χρησιμεύσει ως μία από τις πλευρές της νέας γωνίας. Από ένα σημείο ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ 1 σε αυτή τη γραμμή με την ίδια ακτίνα Rσχεδιάστε ένα τόξο για να πάρετε ένα σημείο Ν 1 (Εικ. 2.6, σι). Από αυτό το σημείο περιγράψτε ένα τόξο με ακτίνα R 1, ίσο με τη συγχορδία MN.Η τομή των τόξων δίνει ένα σημείο Μ 1, το οποίο συνδέεται με μια ευθεία γραμμή στην κορυφή της νέας γωνίας (Εικ. 2.6, σι).
Ρύζι. 2.6.
Διαίρεση ευθύγραμμου τμήματος σε δύο ίσα μέρη. Από τα άκρα ενός δεδομένου τμήματος με λύση πυξίδας, περισσότερα από το μισό του μήκους του, περιγράφονται τόξα (Εικ. 2.7). Μια ευθεία γραμμή που συνδέει τα ληφθέντα σημεία ΜΚαι Ν, χωρίζει ένα ευθύγραμμο τμήμα σε δύο ίσα μέρη και είναι κάθετο σε αυτό.
Ρύζι. 2.7.
Κατασκευή κάθετου στο άκρο ευθύγραμμου τμήματος. Από ένα αυθαίρετο σημείο το Ο καταλαμβάνει το τμήμα AB,περιγράφουν έναν κύκλο που διέρχεται από ένα σημείο ΕΝΑ(το τέλος του ευθύγραμμου τμήματος) και τέμνοντας τη γραμμή στο σημείο Μ(Εικ. 2.8).
Ρύζι. 2.8.
μέσα από το δεδομένο σημείο Μκαι κέντρο ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕΟι κύκλοι τραβούν μια ευθεία γραμμή μέχρι να συναντηθούν αντίθετη πλευράκύκλος σε ένα σημείο Ν.Σημείο Νσυνδέστε μια γραμμή σε ένα σημείο ΕΝΑ.
Διαίρεση ευθύγραμμου τμήματος με οποιονδήποτε αριθμό ίσα μέρη. Από οποιοδήποτε άκρο του τμήματος, για παράδειγμα από ένα σημείο ΕΝΑ,τραβήξτε μια ευθεία γραμμή σε οξεία γωνία προς αυτήν. Σε αυτό, με μια πυξίδα μέτρησης, τοποθετείται ο απαιτούμενος αριθμός ίσων τμημάτων αυθαίρετου μεγέθους (Εικ. 2.9). Το τελευταίο σημείο συνδέεται με το δεύτερο άκρο του δεδομένου τμήματος (με το σημείο ΣΕ). Από όλα τα σημεία διαίρεσης, χρησιμοποιώντας έναν χάρακα και ένα τετράγωνο, σχεδιάστε ευθείες γραμμές παράλληλες στην ευθεία 9Β,που χωρίζουν το τμήμα ΑΒ σε δεδομένο αριθμό ίσων μερών.
Ρύζι. 2.9.
Στο σχ. Το 2.10 δείχνει πώς να εφαρμόσετε αυτήν την κατασκευή για να σημειώσετε τα κέντρα των οπών ομοιόμορφα σε ευθεία γραμμή.
Αυτό - αρχαίο γεωμετρικό πρόβλημα.
Οδηγία βήμα προς βήμα
1ος τρόπος. - Με τη βοήθεια του «χρυσού» ή «αιγυπτιακού» τριγώνου. Οι πλευρές αυτού του τριγώνου έχουν λόγο διαστάσεων 3:4:5 και η γωνία είναι αυστηρά 90 μοίρες. Αυτή η ιδιότητα χρησιμοποιήθηκε ευρέως από τους αρχαίους Αιγύπτιους και άλλους πρακτικούς πολιτισμούς.
Εικ.1. Κατασκευή του Χρυσού, ή Αιγυπτιακό τρίγωνο
- Κάνουμε τρεις μετρήσεις (ή πυξίδες σχοινιών - ένα σχοινί σε δύο καρφιά ή μανταλάκια) με μήκη 3. 4; 5 μέτρα. Οι αρχαίοι χρησιμοποιούσαν συχνά ως μονάδες μέτρησης τη μέθοδο του δέσιμου κόμπων με ίσες αποστάσεις μεταξύ τους. Η μονάδα μήκους είναι " κόμπος».
- Οδηγούμε σε ένα μανταλάκι στο σημείο Ο, κολλάμε πάνω του τη μέτρηση "R3 - 3 κόμβοι".
- Τεντώνουμε το σχοινί κατά μήκος του γνωστού περιγράμματος - προς το προτεινόμενο σημείο Α.
- Τη στιγμή της έντασης στη συνοριακή γραμμή - σημείο Α, οδηγούμε σε μανταλάκι.
- Στη συνέχεια - και πάλι από το σημείο Ο, τεντώνουμε το μέτρο R4 - κατά μήκος του δεύτερου περιγράμματος. Δεν βάζουμε το μανταλάκι ακόμα.
- Μετά από αυτό, τεντώνουμε το μέτρο R5 - από το Α στο Β.
- Στη διασταύρωση των μετρήσεων R2 και R3 οδηγούμε σε μανταλάκι. - Αυτό είναι το επιθυμητό σημείο Β - τρίτη κορυφή του χρυσού τριγώνου, με πλευρές 3;4;5 και με ορθή γωνία στο σημείο Ο.
2ος τρόπος. Με τη βοήθεια ενός κύκλου.
Ο κύκλος μπορεί να είναι σχοινί ή με τη μορφή βηματόμετρου. Εκ:
Το βηματόμετρο της πυξίδας μας έχει βήμα 1 μέτρου.
Εικ.2. Βηματόμετρο πυξίδας
Κατασκευή - επίσης σύμφωνα με το Ιλ.1.
- Από το σημείο αναφοράς - σημείο Ο - τη γωνία του γείτονα, σχεδιάζουμε ένα τμήμα αυθαίρετου μήκους - αλλά μεγαλύτερη από την ακτίνα της πυξίδας = 1 m - σε κάθε κατεύθυνση από το κέντρο (τμήμα ΑΒ).
- Βάζουμε το πόδι της πυξίδας στο σημείο Ο.
- Σχεδιάζουμε κύκλο με ακτίνα (βήμα πυξίδας) = 1m. Αρκεί να σχεδιάσετε μικρά τόξα - 10-20 εκατοστά το καθένα, στις διασταυρώσεις με το σημειωμένο τμήμα (μέσω των σημείων Α και Β.). Με αυτή την ενέργεια, βρήκαμε ισαπέχοντα σημεία από το κέντρο- Α και Β. Η απόσταση από το κέντρο δεν έχει σημασία εδώ. Μπορείτε απλά να σημειώσετε αυτά τα σημεία με μια μεζούρα.
- Στη συνέχεια, πρέπει να σχεδιάσετε τόξα με κέντρα στα σημεία Α και Β, αλλά με ελαφρώς (αυθαίρετα) μεγαλύτερη ακτίνα από το R = 1m. Είναι δυνατό να διαμορφώσουμε εκ νέου την πυξίδα μας σε μεγαλύτερη ακτίνα εάν έχει ρυθμιζόμενο βήμα. Αλλά για ένα τόσο μικρό τρέχον έργο, δεν θα ήθελα να το «τραβήξω». Ή όταν δεν υπάρχει ρύθμιση. Μπορεί να γίνει σε μισό λεπτό πυξίδες σχοινιών.
- Βάζουμε το πρώτο καρφί (ή το πόδι μιας πυξίδας με ακτίνα μεγαλύτερη από 1 m) εναλλάξ στα σημεία Α και Β. Και τραβάμε το δεύτερο καρφί -σε τεταμένη κατάσταση του σχοινιού, δύο τόξα- ώστε να τέμνονται με το καθένα άλλα. Είναι δυνατό σε δύο σημεία: C και D, αλλά ένα είναι αρκετό - C. Και πάλι, αρκούν σύντομα σερίφ στη διασταύρωση στο σημείο Γ.
- Σχεδιάζουμε μια ευθεία γραμμή (τμήμα) μέσα από τα σημεία Γ και Δ.
- Ολα! Το τμήμα που προκύπτει, ή ευθεία γραμμή, είναι ακριβής κατεύθυνσηστον Βορρά :). Συγνώμη, - σε ορθή γωνία.
- Το σχήμα δείχνει δύο περιπτώσεις αναντιστοιχίας ορίων στην τοποθεσία του γείτονα. Το σχήμα 3α δείχνει την περίπτωση που ο φράκτης του γείτονα απομακρύνεται από την σωστή κατεύθυνσηεις βάρος σας. Στις 3β - ανέβηκε στον ιστότοπό σας. Στην κατάσταση 3α, είναι δυνατό να κατασκευαστούν δύο σημεία «οδηγοί»: τόσο το C όσο και το D. Στην κατάσταση 3β, μόνο το C.
- Τοποθετήστε ένα μανταλάκι στη γωνία Ο και ένα προσωρινό μανταλάκι στο σημείο C και τεντώστε ένα κορδόνι από το C στο πίσω μέρος του οικοπέδου. - Έτσι ώστε το κορδόνι να αγγίζει ελάχιστα το μανταλάκι Ο. Μετρώντας από το σημείο O - προς την κατεύθυνση D, το μήκος της πλευράς σύμφωνα με το γενικό σχέδιο, αποκτήστε μια αξιόπιστη πίσω δεξιά γωνία του χώρου.
Εικ.3. Κατασκευή ορθής γωνίας - από τη γωνία ενός γείτονα, χρησιμοποιώντας μια πυξίδα βηματόμετρο και μια πυξίδα σχοινιού
Εάν έχετε βηματόμετρο πυξίδας, τότε μπορείτε να κάνετε χωρίς σχοινί. Σχοινί στο προηγούμενο παράδειγμα, χρησιμοποιούσαμε για να σχεδιάσουμε τόξα μεγαλύτερης ακτίνας από το βηματόμετρο. Περισσότερο γιατί αυτά τα τόξα πρέπει να τέμνονται κάπου. Για να τραβηχτούν τα τόξα με βηματόμετρο ίδιας ακτίνας - 1m με εγγύηση τομής τους, είναι απαραίτητο τα σημεία Α και Β να βρίσκονται μέσα στον κύκλο c R = 1m.
- Στη συνέχεια, μετρήστε αυτά τα σημεία που βρίσκονται σε ίση απόσταση ρουλέτα- V διαφορετικές πλευρέςαπό το κέντρο, αλλά πάντα κατά μήκος της γραμμής ΑΒ (γραμμή φράχτη του γείτονα). Όσο πιο κοντά είναι τα σημεία Α και Β στο κέντρο, τόσο πιο μακριά από αυτό είναι τα σημεία οδήγησης: C και D, και τόσο πιο ακριβείς είναι οι μετρήσεις. Στο σχήμα, αυτή η απόσταση θεωρείται ότι είναι περίπου το ένα τέταρτο της ακτίνας του βηματόμετρου = 260 mm.
Εικ.4. Κατασκευή ορθής γωνίας με πυξίδα βηματόμετρο και μεζούρα
- Αυτό το σχέδιο ενεργειών δεν είναι λιγότερο σημαντικό κατά την κατασκευή οποιουδήποτε ορθογωνίου, ειδικότερα, του περιγράμματος ενός ορθογώνιου θεμελίου. Θα το αποκτήσεις τέλειο. Οι διαγώνιοι του, βέβαια, χρειάζονται έλεγχο, αλλά δεν μειώνονται οι προσπάθειες; - Σε σύγκριση με όταν οι διαγώνιοι, οι γωνίες και οι πλευρές του περιγράμματος του θεμελίου κινούνται εμπρός και πίσω μέχρι να συναντηθούν οι γωνίες..
Στην πραγματικότητα, έχουμε λύσει το γεωμετρικό πρόβλημα στο έδαφος. Προκειμένου οι ενέργειές σας να είναι πιο σίγουρες στον ιστότοπο, εξασκηθείτε σε χαρτί - χρησιμοποιώντας μια κανονική πυξίδα. Κάτι που ουσιαστικά δεν διαφέρει.