εισαγωγήδάσκαλοι:

μικρό ιστορική αναφορά: Πολλοί επιστήμονες αγαπούν την κοπή προβλημάτων από την αρχαιότητα. Λύσεις πολλών απλές εργασίεςσχετικά με την κοπή βρέθηκαν από τους αρχαίους Έλληνες, τους Κινέζους, αλλά η πρώτη συστηματική πραγματεία για αυτό το θέμα ανήκει στην πένα του Abul-Vef. Οι γεωμέτροι άρχισαν να αντιμετωπίζουν σοβαρά το πρόβλημα της κοπής των μορφών στον μικρότερο αριθμό κομματιών και στη συνέχεια την κατασκευή μιας άλλης φιγούρας στις αρχές του 20ου αιώνα. Ένας από τους ιδρυτές αυτού του τμήματος ήταν ο διάσημος ιδρυτής του παζλ Henry E. Dudeney.

Σήμερα, οι λάτρεις του παζλ λατρεύουν να λύνουν πρώτα προβλήματα, επειδή δεν υπάρχει καθολική μέθοδος για την επίλυση τέτοιων προβλημάτων και ο καθένας που αναλαμβάνει να τα λύσει μπορεί να δείξει πλήρως την εφευρετικότητα, τη διαίσθησή του και την ικανότητά του να δημιουργική σκέψη. (Στο μάθημα, θα αναφέρουμε μόνο ένα από τα πιθανά παραδείγματα κοπής. Είναι πιθανό οι μαθητές να πάρουν κάποιον άλλο σωστό συνδυασμό - μην το φοβάστε).

Αυτό το μάθημα αναμένεται να είναι πρακτική συνεδρία. Χωρίστε τους συμμετέχοντες του κύκλου σε ομάδες των 2-3 ατόμων. Δώστε σε κάθε ομάδα φιγούρες που έχουν προετοιμαστεί εκ των προτέρων από τον δάσκαλο. Οι μαθητές έχουν χάρακα (με χωρίσματα), μολύβι, ψαλίδι. Επιτρέπονται μόνο ευθείες κοπές με ψαλίδι. Έχοντας κόψει κάποια φιγούρα σε μέρη, είναι απαραίτητο να συνθέσετε μια άλλη φιγούρα από τα ίδια μέρη.

Εργασίες κοπής:

1). Προσπαθήστε να κόψετε το σχήμα που φαίνεται στο σχήμα σε 3 ίσα μέρη:

Συμβουλή: Τα μικρά σχήματα μοιάζουν πολύ με το γράμμα Τ.

2). Τώρα κόψτε αυτό το σχήμα σε 4 ίσα μέρη:

Συμβουλή: Είναι εύκολο να μαντέψει κανείς ότι οι μικρές φιγούρες θα αποτελούνται από 3 κελιά και δεν υπάρχουν τόσες πολλές φιγούρες τριών κελιών. Υπάρχουν μόνο δύο τύποι: γωνία και ορθογώνιο.

3). Διαχωρίστε τη φιγούρα σε δύο ίδια μέρη και διπλώστε τη σκακιέρα από τα μέρη που προκύπτουν.

Συμβουλή: Προσφέρετε να ξεκινήσετε την εργασία από το δεύτερο μέρος, πώς να αποκτήσετε μια σκακιέρα. Θυμηθείτε τι σχήμα έχει μια σκακιέρα (τετράγωνο). Μετρήστε τον αριθμό των κελιών σε μήκος, πλάτος. (Υπενθυμίστε ότι πρέπει να υπάρχουν 8 κελιά).

4). Δοκιμάστε τρεις πινελιές με το μαχαίρι για να κόψετε το τυρί σε οκτώ ίσα κομμάτια.

Συμβουλή: δοκιμάστε να κόψετε το τυρί κατά μήκος.

Εργασίες για ανεξάρτητη λύση:

1). Κόψτε ένα τετράγωνο χαρτί και κάντε τα εξής:

· κόψτε σε 4 τέτοια μέρη, από τα οποία μπορείτε να φτιάξετε δύο ίσα μικρότερα τετράγωνα.

κομμένο σε πέντε κομμάτια - τέσσερα ισοσκελές τρίγωνοκαι ένα τετράγωνο - και διπλώστε τα έτσι ώστε να έχετε τρία τετράγωνα.

29 Απριλίου 2013 στις 04:34 μ.μ

Κόβουμε σε δύο ίσα μέρη, μέρος πρώτο

• Μαθηματικά

Τα προβλήματα κοπής είναι εκείνος ο τομέας των μαθηματικών όπου, όπως λένε, το μαμούθ δεν κύλησε. Πολλά ξεχωριστά θέματα, αλλά ουσιαστικά κανένα γενική θεωρία. Εκτός από το γνωστό θεώρημα Bolyai-Gervin, πρακτικά δεν υπάρχουν άλλα θεμελιώδη αποτελέσματα σε αυτόν τον τομέα. Η αβεβαιότητα είναι ο αιώνιος σύντροφος των προβλημάτων τεμαχισμού. Μπορούμε, για παράδειγμα, να κόψουμε κανονικό πεντάγωνοσε έξι μέρη, από τα οποία μπορεί να διπλωθεί ένα τετράγωνο. Ωστόσο, δεν μπορούμε να αποδείξουμε ότι πέντε μέρη δεν θα ήταν αρκετά για αυτό.

Με τη βοήθεια της πονηρής ευρετικής, της φαντασίας και του μισού λίτρου, μερικές φορές καταφέρνουμε να βρούμε μια συγκεκριμένη λύση, αλλά, κατά κανόνα, δεν έχουμε κατάλληλα εργαλεία για να αποδείξουμε την ελαχιστοποίηση αυτής της λύσης ή την ανυπαρξία της (το τελευταίο, φυσικά, αναφέρεται στην περίπτωση που δεν βρήκαμε λύση) . Αυτό είναι λυπηρό και άδικο. Και μια φορά πήρα ένα κενό σημειωματάριο και αποφάσισα να αποκαταστήσω τη δικαιοσύνη στην κλίμακα μιας συγκεκριμένης εργασίας: να κόψω μια επίπεδη φιγούρα σε δύο ίσα (ίσα ίσα) μέρη. Ως μέρος αυτής της σειράς άρθρων (παρεμπιπτόντως, θα υπάρχουν τρία από αυτά), εμείς, σύντροφοι, θα εξετάσουμε αυτό το αστείο πολύγωνο που φαίνεται παρακάτω και θα προσπαθήσουμε να καταλάβουμε αμερόληπτα εάν μπορεί να κοπεί σε δύο ίσα σχήματα ή όχι.

Εισαγωγή

Πρώτα ας κάνουμε ανανέωση σχολικό μάθημαγεωμετρία και θυμηθείτε τι είναι ίσα σχήματα. Το Yandex προτείνει χρήσιμα:

Δύο φιγούρες σε ένα επίπεδο λέγονται ίσες εάν υπάρχει μια κίνηση που ένα προς ένα μετατρέπει ένα σχήμα σε ένα άλλο.

Τώρα ας ρωτήσουμε τη Wikipedia για το κίνημα. Θα μας πει, πρώτον, ότι η κίνηση είναι ένας μετασχηματισμός του επιπέδου που διατηρεί τις αποστάσεις μεταξύ των σημείων. Δεύτερον, υπάρχει ακόμη και ταξινόμηση των κινήσεων σε ένα αεροπλάνο. Όλα ανήκουν σε έναν από τους ακόλουθους τρεις τύπους:

• Συρόμενη συμμετρία (εδώ συμπεριλαμβάνω τη συμμετρία καθρέφτη ως εκφυλισμένη περίπτωση, όπου πραγματοποιείται παράλληλη μετάφραση στο μηδενικό διάνυσμα)

Ας εισάγουμε κάποια σημειογραφία. Η φιγούρα που κόβεται θα ονομάζεται σχήμα Α, και δύο υποθετικά ίσα σχήματα, στα οποία υποτίθεται ότι μπορούμε να την κόψουμε, θα ονομάσουμε Β και Γ, αντίστοιχα. Το τμήμα του επιπέδου που δεν καταλαμβάνεται από το σχήμα Α, θα ονομάσουμε εμβαδόν D. Στις περιπτώσεις που ένα συγκεκριμένο πολύγωνο από την εικόνα θεωρείται ως το σχήμα που πρέπει να κοπεί, θα το ονομάσουμε A 0 .

Έτσι, εάν το σχήμα Α μπορεί να κοπεί σε δύο ίσα μέρη Β και Γ, τότε υπάρχει μια κίνηση που μεταφέρει το Β στο Γ. Αυτή η κίνηση μπορεί να είναι είτε παράλληλη μετάφραση, είτε περιστροφή, είτε ολισθαίνουσα συμμετρία (ξεκινώντας από αυτή τη στιγμή , δεν ορίζω πλέον ότι η συμμετρία καθρέφτη θεωρείται και συρόμενη). Σε αυτή την απλή και, θα έλεγα, προφανής βάση, θα οικοδομηθεί η λύση μας. Σε αυτό το μέρος, θα εξετάσουμε την απλούστερη περίπτωση - παράλληλη μεταφορά. Η συμμετρία περιστροφής και ολίσθησης θα εμπίπτουν στο δεύτερο και τρίτο μέρος, αντίστοιχα.

Περίπτωση 1: Παράλληλη μεταφορά

Η παράλληλη μετάφραση δίνεται από μία μόνο παράμετρο - το διάνυσμα στο οποίο συμβαίνει η μετατόπιση. Ας εισαγάγουμε μερικούς ακόμη όρους. Θα κληθεί μια ευθεία παράλληλη στο διάνυσμα μετατόπισης και που περιέχει τουλάχιστον ένα σημείο του σχήματος Α διατέμνων. Θα κληθεί η τομή της τομής και του σχήματος Α Ενότητα. Η τομή, ως προς την οποία το σχήμα Α (μείον το τμήμα) βρίσκεται εξ ολοκλήρου σε ένα ημιεπίπεδο, θα ονομάζεται σύνορο.

Λήμμα 1.Το οριακό τμήμα πρέπει να περιέχει περισσότερα από ένα σημεία.

Απόδειξη: προφανής. Λοιπόν, ή πιο αναλυτικά: θα το αποδείξουμε με αντίφαση. Αν αυτό το σημείο ανήκει στο σχήμα Β, τότε είναι εικόνα(δηλαδή το σημείο στο οποίο θα πάει κατά την παράλληλη μετάφραση) ανήκει στο σχήμα Γ => η εικόνα ανήκει στο σχήμα Α => η εικόνα ανήκει στην τομή. Αντίφαση. Αν αυτό το σημείο ανήκει στο σχήμα Γ, τότε είναι πρωτότυπο(το σημείο που θα μπει σε αυτό κατά την παράλληλη μετάφραση) ανήκει στο σχήμα Β, και στη συνέχεια ομοίως. Αποδεικνύεται ότι πρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον δύο σημεία στην ενότητα.

Καθοδηγούμενος από αυτό το απλό λήμμα, είναι εύκολο να γίνει κατανοητό ότι η επιθυμητή παράλληλη μετάφραση μπορεί να πραγματοποιηθεί μόνο κατά μήκος του κατακόρυφου άξονα (στον τρέχοντα προσανατολισμό της εικόνας). ΜΟΝΑΔΙΚΟ σημείο. Αυτό μπορεί να γίνει κατανοητό περιστρέφοντας νοερά το διάνυσμα μετατόπισης και βλέποντας τι συμβαίνει με τα όρια. Για να εξαλείψουμε την περίπτωση της κάθετης παράλληλης μετάφρασης, χρειαζόμαστε ένα πιο δύσκολο εργαλείο.

Λήμμα 2.Η αντίστροφη εικόνα ενός σημείου που βρίσκεται στο όριο του σχήματος Γ βρίσκεται είτε στο όριο των σχημάτων Β και Γ είτε στο όριο του σχήματος Β και της περιοχής Δ.

Απόδειξη: δεν είναι προφανές, αλλά θα το διορθώσουμε τώρα. Να θυμίσω ότι το οριακό σημείο ενός σχήματος είναι ένα τέτοιο σημείο που, αυθαίρετα κοντά του, υπάρχουν και σημεία που ανήκουν στο σχήμα και σημεία που δεν ανήκουν σε αυτό. Αντίστοιχα, κοντά στο οριακό σημείο (ας το ονομάσουμε Ο") του σχήματος Γ, υπάρχουν και τα δύο σημεία του σχήματος Γ και άλλα σημεία που ανήκουν είτε στο σχήμα Β είτε στην περιοχή Δ. Μόνο τα σημεία του σχήματος Β μπορούν να να είναι αντίστροφες εικόνες των σημείων του σχήματος Γ. Επομένως, αυθαίρετα κοντά στην αντίστροφη εικόνα του σημείου Ο» (λογικό θα ήταν να το ονομάσουμε σημείο Ο) υπάρχουν σημεία του σχήματος Β. Οι προεικόνες των σημείων του το σχήμα Β μπορεί να είναι οποιαδήποτε σημεία που δεν ανήκουν στο Β (δηλαδή είτε τα σημεία του σχήματος Γ είτε τα σημεία της περιοχής Δ). Ομοίως για σημεία του τομέα D. Επομένως, αυθαίρετα κοντά στο σημείο O υπάρχουν είτε σημεία του σχήματος C (και τότε το σημείο O θα βρίσκεται στο όριο των B και C), είτε σημεία του τομέα D (και μετά η αντίστροφη εικόνα στο όριο των Β και Δ). Εάν καταφέρετε να περάσετε μέσα από όλα αυτά τα γράμματα, τότε θα συμφωνήσετε ότι το λήμμα αποδεικνύεται.

Θεώρημα 1.Αν το τμήμα του σχήματος Α είναι τμήμα, τότε το μήκος του είναι πολλαπλάσιο του μήκους του διανύσματος μετατόπισης.

Απόδειξη: θεωρήστε το "μακρινό" άκρο αυτού του τμήματος (δηλαδή το άκρο του οποίου η προεικόνα ανήκει επίσης στο τμήμα). Το άκρο αυτό, προφανώς, ανήκει στο σχήμα Γ και είναι το οριακό του σημείο. Επομένως, η αντίστροφη εικόνα του (η οποία, παρεμπιπτόντως, βρίσκεται επίσης στο τμήμα και διαχωρίζεται από την εικόνα με το μήκος του διανύσματος μετατόπισης) είτε στο όριο των B και C είτε στο όριο των B και D Εάν βρίσκεται στο όριο των B και C, τότε παίρνουμε και την προεικονική εικόνα του. Θα επαναλάβουμε αυτή τη λειτουργία μέχρι η επόμενη προεικόνα να πάψει να βρίσκεται στο όριο του C και να καταλήξει στο όριο του D - και αυτό θα συμβεί ακριβώς στο άλλο άκρο του τμήματος. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε μια αλυσίδα προ-εικόνων που χωρίζουν το τμήμα σε έναν αριθμό μικρών τμημάτων, το μήκος καθενός από τα οποία είναι ίσο με το μήκος του διανύσματος μετατόπισης. Επομένως, το μήκος της τομής είναι πολλαπλάσιο του μήκους του διανύσματος διάτμησης, p.t.d.

Συμπέρασμα από το Θεώρημα 1.Τυχόν δύο τμήματα που είναι τμήματα πρέπει να είναι ανάλογα.

Χρησιμοποιώντας αυτό το συμπέρασμα, είναι εύκολο να δείξουμε ότι η κατακόρυφη παράλληλη μεταφορά επίσης εξαφανίζεται.

Πράγματι, ένα τμήμα έχει κάποτε μήκος τρία κελιά, και ένα τμήμα δύο - τρία μείον τη ρίζα δύο στο μισό. Προφανώς, αυτές οι τιμές είναι ασύγκριτες.

συμπέρασμα

Αν το σχήμα Α είναι 0 και μπορεί να κοπεί σε δύο ίσα ψηφία Β και Γ, τότε το Β δεν μπορεί να μεταφερθεί στο Γ με παράλληλη μετάφραση. Συνεχίζεται.

Ανάλυση σε καρό χαρτί.

Αυτή είναι στην πραγματικότητα μια απλοποιημένη έκδοση του παιχνιδιού Katamino, που απαιτεί μόνο καρό χαρτί και μολύβι. Τέτοια ζητήματα συναντώνται συχνά σε διδακτικά βοηθήματακαι καθήκοντα των Ολυμπιάδων για κατώτεροι μαθητές. Είναι απαραίτητο να διαιρέσετε το σχήμα που σχεδιάστηκε από κελιά σε έναν δεδομένο αριθμό πανομοιότυπων μερών.

Αυτές οι εργασίες είναι κατάλληλες για ένα πολύ μεγάλο εύρος ηλικιών, ξεκινώντας από την ηλικία των τριών ή τεσσάρων ετών. Αλλά μην τα καταχραστείτε - τελικά βαριούνται. Πιθανότατα, αξίζει να σταματήσουμε στην πολυπλοκότητα 4-5 μερών από 4-5 κύτταρα το καθένα.

Επίπεδο 1

Ρύζι. 1: Χωρίστε κατά μήκος των γραμμών του πλέγματος (κατά κελιά) σε 2 ίσα μέρη.

Ρύζι. 2: Χωρίστε κατά μήκος των γραμμών του πλέγματος σε 3 ίσα μέρη.

Τα παιδιά σας μπορεί να χρειάζονται πιο απλές εργασίες. Είναι πολύ εύκολο να τα συνθέσετε: απλά πρέπει να πάτε "από την απάντηση", π.χ. πάρτε καρό χαρτί, επιλέξτε το σχήμα μιας φιγούρας ("μέρος") από πολλά κελιά και σχεδιάστε πολλές τέτοιες φιγούρες δίπλα-δίπλα, "τυφλώνοντάς" τις μεταξύ τους. (Θα ήταν ωραίο να μην συγχέετε τις φιγούρες με τις κατοπτρικές τους εικόνες.) Δεν έχει σημασία αν αποδειχθεί ότι το παζλ έχει δύο ή περισσότερες λύσεις - αυτό σημαίνει ότι πρέπει να βρείτε τουλάχιστον μία (ή όλες). Σχεδιάστε ξανά το περίγραμμα του "τέρατος" που έχετε αποκτήσει σε ένα λευκό φύλλο καρό χαρτιού - η εργασία είναι έτοιμη.

Επίπεδο 2

Ρύζι. 3: Χωρίστε τα κελιά σε 2 ίσα μέρη ώστε το καθένα να έχει ένα
Κόκκινη πλατεία. ( Πρόσθετη προϋπόθεση- κόκκινο τετράγωνο - απαγορεύει το "έξτρα"
λύσεις.)

Ρύζι. 4: Χωρίστε κατά μήκος των γραμμών του πλέγματος σε 3 ίσα μέρη.

Ρύζι. 5: Χωρίστε κατά μήκος των γραμμών του πλέγματος σε 4 ίσα μέρη.

Επίπεδο 3

Ρύζι. 6: Χωρίστε σε 4 ίσα μέρη.

"Γεωμετρία τετραγώνων σχημάτων"- V). ποιο θα είναι το εμβαδόν ενός σχήματος που αποτελείται από τα σχήματα Α και Δ. Το Πυθαγόρειο θεώρημα. Περιοχές διαφόρων μορφών. Φιγούρες ίσου εμβαδού. Ίσα νούμερα έχουν ίσες περιοχές. Οι φιγούρες χωρίζονται σε τετράγωνα με πλευρά 1 cm. Ορθογώνια τρίγωνα. Τα σχήματα με ίσα εμβαδά ονομάζονται ίσα εμβαδά. Λύσε το παζλ.

«Τολστόι δύο αδέρφια»- Είμαι έτοιμος να φύγω. η κύρια ιδέαπαραμύθια. Και τώρα περπατώντας στη θέση, Αριστερά - δεξιά, περίμενε ένα - δύο. " Δύο αδέλφια". Θέλω να μάθω. Θα καθίσουμε στα θρανία μας, μαζί Ας ασχοληθούμε ξανά. Η προσοχή μου μεγαλώνει. Ας γνωρίσουμε το έργο του Λ.Ν. Τολστόι και το έργο «Δύο αδέρφια». Θα εξαφανιστούμε για το τίποτα - θα εξαφανιστούμε μάταια Θα μείνουμε χωρίς τίποτα - θα μείνουμε χωρίς τίποτα.

"Δύο καπετάνιοι Κάβεριν"- Η Sanya ζει στο Ensk με τους γονείς της και την αδερφή της Sasha. Τα μυθιστορήματα «Ανοιχτό βιβλίο» και «Δύο καπετάνιοι» γυρίστηκαν επανειλημμένα. Φωκά» υπό τις διαταγές του Γκεόργκι Σέντοφ, στη γολέτα «Στ. V.A. Καβερίν. Η αποστολή δεν επέστρεψε. Η πρώτη ιστορία «Χρονικό της πόλης της Λειψίας. Ο Νικολάι Αντόνοβιτς, ο ξάδερφος της Κάτια αποδεικνύεται αχάριστος.

"Ανθρώπινη φιγούρα"- Η λέξη αναλογία στα λατινικά σημαίνει «συσχέτιση», «αναλογία». Κύριο σώμα (κοιλιά, στήθος) Δεν έδωσε σημασία Κεφάλι, πρόσωπο, χέρια. Αναγέννηση. Αναλογίες. Καλλιτέχνες και αρχιτέκτονες του ΧΧ αιώνα. 5. Παραδείγματα διαφορετικών κινήσεων. Αρχαία Αίγυπτος. Ο σκελετός παίζει το ρόλο ενός πλαισίου στη δομή της φιγούρας.

"Παρόμοια στοιχεία"- Των ζώων. Χρησιμοποιήθηκε διαδικτυακό υλικό. ομοιότητα στη ζωή μας. Γεωμετρία. Εάν αλλάξετε (αυξήσετε ή μειώσετε) όλες τις διαστάσεις ενός επίπεδου σχήματος κατά τον ίδιο αριθμό φορές (λόγος ομοιότητας), τότε το παλιό και το νέο σχήμα ονομάζονται παρόμοια. Παρόμοια τρίγωνα. Φυτά. Η ομοιότητα μας περιβάλλει. Σαν επίπεδες φιγούρες.

"Παρέμβαση δύο κυμάτων"- Παρεμβολές. Τα κύματα από διαφορετικές πηγές δεν είναι συνεκτικά. Το ξυράφι μένει στο νερό επιφανειακή τάσημεμβράνη λαδιού. Παρέμβαση -. Η διαφορά διαδρομής κύματος εξαρτάται από το πάχος του φιλμ. Παρεμβολή μηχανικών ηχητικών κυμάτων. όνομα οπτικό φαινόμενο. Αιτία? Αντιστοιχεί στο φως διαφόρων χρωμάτων διαφορετικά διαστήματαμήκη κύματος.