Το μήκος του διανύσματος a → θα συμβολίζεται με ένα → . Αυτός ο συμβολισμός είναι παρόμοιος με τον συντελεστή ενός αριθμού, επομένως το μήκος ενός διανύσματος ονομάζεται επίσης συντελεστής ενός διανύσματος.
Για να βρεθεί το μήκος ενός διανύσματος στο επίπεδο με τις συντεταγμένες του, απαιτείται να θεωρηθεί ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων O x y . Έστω ότι περιέχει κάποιο διάνυσμα a → με συντεταγμένες a x ; α υ . Εισάγουμε έναν τύπο για την εύρεση του μήκους (μέτρο) του διανύσματος a → ως προς τις συντεταγμένες a x και a y .
Αφαιρέστε το διάνυσμα O A → = a → από την αρχή. Ας ορίσουμε τις αντίστοιχες προβολές του σημείου Α στους άξονες συντεταγμένων ως A x και A y . Τώρα θεωρήστε ένα ορθογώνιο O A x A A y με διαγώνιο O A .
Από το Πυθαγόρειο θεώρημα ακολουθεί η ισότητα O A 2 = O A x 2 + O A y 2 , από όπου O A = O A x 2 + O A y 2 . Από τον ήδη γνωστό ορισμό των συντεταγμένων ενός διανύσματος σε ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, προκύπτει ότι O A x 2 = a x 2 και O A y 2 = a y 2 , και κατά κατασκευή, το μήκος του O A είναι ίσο με το μήκος του διάνυσμα O A → , επομένως, O A → = O A x 2 + O A y 2.
Ως εκ τούτου αποδεικνύεται ότι τύπος για την εύρεση του μήκους ενός διανύσματος a → = a x ; a y έχει την αντίστοιχη μορφή: a → = a x 2 + a y 2 .
Εάν το διάνυσμα a → δίνεται ως επέκταση σε διανύσματα συντεταγμένων a → = a x i → + a y j → , τότε το μήκος του μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον ίδιο τύπο a → = a x 2 + a y 2 , σε αυτή η υπόθεσηοι συντελεστές a x και a y λειτουργούν ως συντεταγμένες του διανύσματος a → στο δεδομένο σύστημα συντεταγμένων.
Παράδειγμα 1
Υπολογίστε το μήκος του διανύσματος a → = 7 ; e , δίνεται σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων.
Λύση
Για να βρούμε το μήκος ενός διανύσματος, θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για την εύρεση του μήκους ενός διανύσματος με συντεταγμένες a → = a x 2 + a y 2: a → = 7 2 + e 2 = 49 + e
Απάντηση: a → = 49 + e .
Τύπος για την εύρεση του μήκους ενός διανύσματος a → = a x ; a y ; Το a z από τις συντεταγμένες του στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Oxyz στο διάστημα, προέρχεται παρόμοια με τον τύπο για την περίπτωση στο επίπεδο (βλ. παρακάτω σχήμα)
Σε αυτήν την περίπτωση, O A 2 \u003d O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 (καθώς το OA είναι διαγώνιος κυβοειδές), επομένως O A = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 . Από τον ορισμό των συντεταγμένων του διανύσματος, μπορούμε να γράψουμε τις ακόλουθες ισότητες O A x = a x ; O A y = a y ; O A z = a z ; , και το μήκος του ΟΑ είναι ίσο με το μήκος του διανύσματος που αναζητούμε, επομένως, O A → = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 .
Από αυτό προκύπτει ότι το μήκος του διανύσματος a → = a x ; a y ; a z ισούται με a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 .
Παράδειγμα 2
Υπολογίστε το μήκος του διανύσματος a → = 4 i → - 3 j → + 5 k → , όπου i → , j → , k → είναι τα μοναδιαία διανύσματα του ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων.
Λύση
Δίνεται αποσύνθεση ενός διανύσματος a → = 4 · i → - 3 · j → + 5 · k → , οι συντεταγμένες του είναι a → = 4 , - 3 , 5 . Χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο, παίρνουμε a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 = 4 2 + (- 3) 2 + 5 2 = 5 2 .
Απάντηση: a → = 5 2 .
Το μήκος ενός διανύσματος ως προς τις συντεταγμένες των σημείων έναρξης και τέλους του
Παραπάνω, προέκυψαν τύποι που σας επιτρέπουν να βρείτε το μήκος ενός διανύσματος από τις συντεταγμένες του. Έχουμε εξετάσει περιπτώσεις στο επίπεδο και στον τρισδιάστατο χώρο. Ας τις χρησιμοποιήσουμε για να βρούμε τις συντεταγμένες του διανύσματος με τις συντεταγμένες των σημείων έναρξης και τέλους του.
Έτσι, δίνονται σημεία με δεδομένες συντεταγμένες A (a x; a y) και B (b x; b y), επομένως το διάνυσμα A B → έχει συντεταγμένες (b x - a x; b y - a y), που σημαίνει ότι το μήκος του μπορεί να προσδιοριστεί από τον τύπο: A B → = ( b x - a x) 2 + (b y - a y) 2
Και αν δίνονται σημεία με δεδομένες συντεταγμένες A (a x; a y; a z) και B (b x; b y; b z) στον τρισδιάστατο χώρο, τότε το μήκος του διανύσματος A B → μπορεί να υπολογιστεί με τον τύπο
A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2
Παράδειγμα 3
Να βρείτε το μήκος του διανύσματος A B → αν σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων A 1 , 3 , B - 3 , 1 .
Λύση
Χρησιμοποιώντας τον τύπο για την εύρεση του μήκους του διανύσματος από τις συντεταγμένες των σημείων έναρξης και τέλους στο επίπεδο, παίρνουμε A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2: A B → = (- 3 - 1) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 .
Η δεύτερη λύση συνεπάγεται την εφαρμογή αυτών των τύπων με τη σειρά: A B → = (- 3 - 1; 1 - 3) = (- 4; 1 - 3) ; A B → = (- 4) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 . -
Απάντηση: A B → = 20 - 2 3 .
Παράδειγμα 4
Προσδιορίστε για ποιες τιμές το μήκος του διανύσματος A B → ισούται με 30 εάν A (0 , 1 , 2) ; Β (5 , 2 , λ 2) .
Λύση
Αρχικά, ας γράψουμε το μήκος του διανύσματος A B → σύμφωνα με τον τύπο: A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2 = (5 - 0) 2 + (2 - 1) 2 + (λ 2 - 2) 2 = 26 + (λ 2 - 2) 2
Στη συνέχεια, εξισώνουμε την έκφραση που προκύπτει με 30, από εδώ βρίσκουμε το επιθυμητό λ:
26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 (λ 2 - 2) 2 = 4 λ 2 - 2 = 2 και l και λ 2 - 2 = - 2 λ 1 = - 2 , λ 2 = 2 , λ 3 = 0 .
Απάντηση: λ 1 \u003d - 2, λ 2 \u003d 2, λ 3 \u003d 0.
Εύρεση του μήκους ενός διανύσματος χρησιμοποιώντας το νόμο των συνημιτόνων
Δυστυχώς, οι συντεταγμένες ενός διανύσματος δεν είναι πάντα γνωστές στις εργασίες, οπότε ας εξετάσουμε άλλους τρόπους για να βρούμε το μήκος ενός διανύσματος.
Έστω τα μήκη δύο διανυσμάτων A B → , A C → και η μεταξύ τους γωνία (ή το συνημίτονο της γωνίας) και απαιτείται να βρεθεί το μήκος του διανύσματος B C → ή C B → . Σε αυτήν την περίπτωση, θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε το θεώρημα συνημιτόνου στο τρίγωνο △ A B C , να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς B C , το οποίο είναι ίσο με το επιθυμητό μήκος του διανύσματος.
Ας εξετάσουμε μια τέτοια περίπτωση στο παρακάτω παράδειγμα.
Παράδειγμα 5
Τα μήκη των διανυσμάτων A B → και A C → είναι ίσα με 3 και 7, αντίστοιχα, και η μεταξύ τους γωνία είναι ίση με π 3 . Να υπολογίσετε το μήκος του διανύσματος B C → .
Λύση
Το μήκος του διανύσματος B C → στην περίπτωση αυτή είναι ίσο με το μήκος της πλευράς B C του τριγώνου △ A B C . Τα μήκη των πλευρών Α Β και Α Γ του τριγώνου είναι γνωστά από την συνθήκη (είναι ίσα με τα μήκη των αντίστοιχων διανυσμάτων), η μεταξύ τους γωνία είναι επίσης γνωστή, οπότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα συνημιτόνου: B C 2 = A B 2 + A C 2 - 2 A B A C cos ∠ (A B , → A C →) = 3 2 + 7 2 - 2 3 7 cos π 3 = 37 ⇒ B C = 37 Έτσι, B C → = 37 .
Απάντηση: B C → = 37 .
Άρα, για να βρούμε το μήκος ενός διανύσματος κατά συντεταγμένες, υπάρχουν οι ακόλουθοι τύποι a → = a x 2 + a y 2 ή a → = a x 2 + a y 2 + a z 2, σύμφωνα με τις συντεταγμένες των σημείων της αρχής και του τέλους του διανύσματος A B → = (b x - a x) 2 + ( b y - a y) 2 ή A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2, σε ορισμένες περιπτώσεις το θεώρημα συνημιτόνου πρέπει να χρησιμοποιηθεί.
Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter
Επιτέλους, έπιασα στα χέρια μου ένα εκτενές και πολυαναμενόμενο θέμα αναλυτική γεωμετρία. Πρώτον, λίγα για αυτό το τμήμα των ανώτερων μαθηματικών…. Σίγουρα θυμηθήκατε τώρα το μάθημα της σχολικής γεωμετρίας με πολλά θεωρήματα, τις αποδείξεις τους, τα σχέδια κ.λπ. Τι να κρύψω, ένα αναγάπητο και συχνά σκοτεινό θέμα για ένα σημαντικό ποσοστό μαθητών. Η αναλυτική γεωμετρία, παραδόξως, μπορεί να φαίνεται πιο ενδιαφέρουσα και προσιτή. Τι σημαίνει το επίθετο «αναλυτικό»; Δύο σφραγισμένες μαθηματικές φράσεις έρχονται αμέσως στο μυαλό: "γραφική μέθοδος λύσης" και " αναλυτική μέθοδοςλύσεις». Γραφική μέθοδος , φυσικά, συνδέεται με την κατασκευή γραφημάτων, σχεδίων. Αναλυτικόςίδιο μέθοδοςπεριλαμβάνει επίλυση προβλημάτων κυρίωςμέσω αλγεβρικών πράξεων. Από αυτή την άποψη, ο αλγόριθμος για την επίλυση σχεδόν όλων των προβλημάτων της αναλυτικής γεωμετρίας είναι απλός και διαφανής, συχνά αρκεί να εφαρμόζουμε με ακρίβεια τους απαραίτητους τύπους - και η απάντηση είναι έτοιμη! Όχι, φυσικά, δεν θα κάνει καθόλου σχέδια χωρίς σχέδια, εξάλλου για την καλύτερη κατανόηση του υλικού θα προσπαθήσω να τα φέρω πέρα από την ανάγκη.
Το ανοιχτό μάθημα των μαθημάτων στη γεωμετρία δεν ισχυρίζεται ότι είναι θεωρητική πληρότητα, επικεντρώνεται στην επίλυση πρακτικών προβλημάτων. Θα συμπεριλάβω στις διαλέξεις μου μόνο ό,τι, από την άποψή μου, είναι σημαντικό από πρακτική άποψη. Εάν χρειάζεστε μια πληρέστερη αναφορά σε οποιαδήποτε υποενότητα, προτείνω την ακόλουθη αρκετά προσβάσιμη βιβλιογραφία:
1) Κάτι που, χωρίς αστείο, είναι γνωστό σε πολλές γενιές: Σχολικό εγχειρίδιο γεωμετρίας, συγγραφείς - L.S. Atanasyan and Company. Αυτή η κρεμάστρα των αποδυτηρίων του σχολείου έχει ήδη αντέξει 20 (!) επανεκδόσεις, που φυσικά δεν είναι το όριο.
2) Γεωμετρία σε 2 τόμους. Συγγραφείς L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Αυτή είναι λογοτεχνία για την τριτοβάθμια εκπαίδευση, θα χρειαστείτε πρώτος τόμος. Οι εργασίες που εμφανίζονται σπάνια μπορεί να πέσουν έξω από το οπτικό μου πεδίο και φροντιστήριοθα προσφέρει πολύτιμη βοήθεια.
Και τα δύο βιβλία είναι δωρεάν για λήψη διαδικτυακά. Επίσης, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το αρχείο μου με έτοιμες λύσεις, το οποίο μπορείτε να βρείτε στη σελίδα Κατεβάστε παραδείγματα ανώτερων μαθηματικών.
Από τα εργαλεία, προσφέρω και πάλι τη δική μου ανάπτυξη - πακέτο λογισμικούστην αναλυτική γεωμετρία, η οποία θα απλοποιήσει σημαντικά τη ζωή και θα εξοικονομήσει πολύ χρόνο.
Υποτίθεται ότι ο αναγνώστης είναι εξοικειωμένος με βασικές γεωμετρικές έννοιες και σχήματα: σημείο, ευθεία, επίπεδο, τρίγωνο, παραλληλόγραμμο, παραλληλεπίπεδο, κύβος κ.λπ. Συνιστάται να θυμάστε μερικά θεωρήματα, τουλάχιστον το Πυθαγόρειο θεώρημα, γεια σας επαναλήπτες)
Και τώρα θα εξετάσουμε διαδοχικά: την έννοια ενός διανύσματος, ενέργειες με διανύσματα, διανυσματικές συντεταγμένες. Περαιτέρω προτείνω να διαβάσετε το πιο σημαντικό άρθρο Σημείο γινόμενο διανυσμάτων, καθώς Διάνυσμα και μικτό γινόμενο διανυσμάτων. Η τοπική εργασία δεν θα είναι περιττή - Διαίρεση του τμήματος από αυτή την άποψη. Με βάση τις παραπάνω πληροφορίες, μπορείτε εξίσωση ευθείας σε επίπεδοΜε τα πιο απλά παραδείγματα λύσεων, που θα επιτρέψει μάθουν πώς να λύνουν προβλήματα στη γεωμετρία. Τα παρακάτω άρθρα είναι επίσης χρήσιμα: Εξίσωση ενός επιπέδου στο διάστημα, Εξισώσεις ευθείας στο χώρο, Βασικά προβλήματα στη γραμμή και στο επίπεδο , άλλες ενότητες αναλυτικής γεωμετρίας. Φυσικά, στην πορεία θα εξεταστούν τυπικές εργασίες.
Η έννοια του διανύσματος. ελεύθερο διάνυσμα
Αρχικά, ας επαναλάβουμε τον σχολικό ορισμό ενός διανύσματος. Διάνυσμαπου ονομάζεται σκηνοθετημένοςένα τμήμα για το οποίο υποδεικνύονται η αρχή και το τέλος του:
Σε αυτήν την περίπτωση, η αρχή του τμήματος είναι το σημείο, το τέλος του τμήματος είναι το σημείο. Το ίδιο το διάνυσμα συμβολίζεται με . Κατεύθυνσηείναι απαραίτητο, εάν αναδιατάξετε το βέλος στο άλλο άκρο του τμήματος, θα λάβετε ένα διάνυσμα και αυτό είναι ήδη εντελώς διαφορετικό διάνυσμα. Είναι βολικό να προσδιορίσετε την έννοια του διανύσματος με την κίνηση ενός φυσικού σώματος: πρέπει να παραδεχτείτε ότι η είσοδος στις πόρτες ενός ινστιτούτου ή η έξοδος από τις πόρτες ενός ινστιτούτου είναι εντελώς διαφορετικά πράγματα.
Είναι βολικό να ληφθούν υπόψη μεμονωμένα σημεία ενός επιπέδου, το διάστημα ως το λεγόμενο μηδενικό διάνυσμα. Ένα τέτοιο διάνυσμα έχει το ίδιο τέλος και αρχή.
!!! Σημείωση: Εδώ και παρακάτω, μπορείτε να υποθέσετε ότι τα διανύσματα βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο ή μπορείτε να υποθέσετε ότι βρίσκονται στο χώρο - η ουσία του υλικού που παρουσιάζεται ισχύει τόσο για το επίπεδο όσο και για το διάστημα.
Ονομασίες:Πολλοί τράβηξαν αμέσως την προσοχή σε ένα ραβδί χωρίς βέλος στην ονομασία και είπαν ότι έβαλαν και ένα βέλος στην κορυφή! Αυτό είναι σωστό, μπορείτε να γράψετε με ένα βέλος: , αλλά παραδεκτό και εγγραφή που θα χρησιμοποιήσω αργότερα. Γιατί; Προφανώς, μια τέτοια συνήθεια έχει αναπτυχθεί από πρακτικούς λόγους, οι σκοπευτές μου στο σχολείο και στο πανεπιστήμιο αποδείχθηκαν πολύ διαφορετικοί και δασύτριχοι. ΣΕ εκπαιδευτική βιβλιογραφίαΜερικές φορές δεν ασχολούνται καθόλου με τη σφηνοειδή γραφή, αλλά επισημαίνουν τα γράμματα με έντονη γραφή: , υπονοώντας έτσι ότι πρόκειται για διάνυσμα.
Αυτό ήταν το στυλ, και τώρα για τους τρόπους γραφής των διανυσμάτων:
1) Τα διανύσματα μπορούν να γραφτούν με δύο κεφαλαία λατινικά γράμματα: 
και ούτω καθεξής. Ενώ το πρώτο γράμμα Αναγκαίωςδηλώνει το σημείο έναρξης του διανύσματος και το δεύτερο γράμμα υποδηλώνει το τελικό σημείο του διανύσματος.
2) Τα διανύσματα γράφονται επίσης με μικρά λατινικά γράμματα:
Συγκεκριμένα, το διάνυσμά μας μπορεί να υποδηλωθεί εκ νέου για συντομία με το μικρό Λατινικό γράμμα.
Μήκοςή μονάδα μέτρησηςμη μηδενικό διάνυσμα ονομάζεται μήκος του τμήματος. Το μήκος του μηδενικού διανύσματος είναι μηδέν. Λογικά.
Το μήκος ενός διανύσματος συμβολίζεται με το πρόσημο του modulo: ,
Πώς να βρούμε το μήκος ενός διανύσματος, θα μάθουμε (ή θα επαναλάβουμε, για κάποιον πώς) λίγο αργότερα.
Αυτή ήταν στοιχειώδης πληροφορία για το διάνυσμα, γνωστή σε όλους τους μαθητές. Στην αναλυτική γεωμετρία, τα λεγόμενα ελεύθερο διάνυσμα.
Αν είναι πολύ απλό - το διάνυσμα μπορεί να σχεδιαστεί από οποιοδήποτε σημείο:
Παλαιότερα ονομάζαμε τέτοια διανύσματα ίσα (ο ορισμός των ίσων διανυσμάτων θα δοθεί παρακάτω), αλλά από καθαρά μαθηματική άποψη, αυτό είναι το ΙΔΙΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ή ελεύθερο διάνυσμα. Γιατί δωρεάν; Επειδή κατά την επίλυση προβλημάτων, μπορείτε να «προσαρτήσετε» ένα ή άλλο διάνυσμα σε ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ σημείο του επιπέδου ή του χώρου χρειάζεστε. Αυτό είναι ένα πολύ ωραίο ακίνητο! Φανταστείτε ένα διάνυσμα αυθαίρετου μήκους και κατεύθυνσης - μπορεί να «κλωνοποιηθεί» άπειρες φορές και σε οποιοδήποτε σημείο του χώρου, στην πραγματικότητα, υπάρχει ΠΑΝΤΟΥ. Υπάρχει μια τέτοια παροιμία μαθητή: Κάθε λέκτορας στο f ** u στο διάνυσμα. Άλλωστε, όχι μόνο μια πνευματώδης ομοιοκαταληξία, όλα είναι μαθηματικά σωστά - ένα διάνυσμα μπορεί επίσης να προσαρτηθεί εκεί. Αλλά μην βιαστείτε να χαρείτε, οι ίδιοι οι μαθητές υποφέρουν πιο συχνά =)
Ετσι, ελεύθερο διάνυσμα- Αυτό ένα μάτσο πανομοιότυπα κατευθυντικά τμήματα. Ο σχολικός ορισμός του διανύσματος, που δίνεται στην αρχή της παραγράφου: «Ένα κατευθυνόμενο τμήμα ονομάζεται διάνυσμα ...», υποδηλώνει ειδικόςένα κατευθυνόμενο τμήμα που λαμβάνεται από ένα δεδομένο σύνολο, το οποίο είναι προσαρτημένο σε ένα ορισμένο σημείο του επιπέδου ή του χώρου.
Πρέπει να σημειωθεί ότι από τη σκοπιά της φυσικής, η έννοια του ελεύθερου διανύσματος είναι γενικά λανθασμένη και το σημείο εφαρμογής του διανύσματος έχει σημασία. Πράγματι, ένα άμεσο χτύπημα της ίδιας δύναμης στη μύτη ή στο μέτωπο είναι αρκετό για να αναπτύξω το ηλίθιο παράδειγμά μου συνεπάγεται διαφορετικές συνέπειες. Ωστόσο, όχι δωρεάνδιανύσματα βρίσκονται επίσης στην πορεία του vyshmat (μην πάτε εκεί :)).
Δράσεις με διανύσματα. Συγγραμμικότητα διανυσμάτων
ΣΕ σχολικό μάθημαΗ γεωμετρία εξετάζει έναν αριθμό ενεργειών και κανόνων με διανύσματα: πρόσθεση σύμφωνα με τον κανόνα του τριγώνου, πρόσθεση σύμφωνα με τον κανόνα του παραλληλογράμμου, ο κανόνας της διαφοράς των διανυσμάτων, ο πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος με έναν αριθμό, το κλιμακωτό γινόμενο των διανυσμάτων κ.λπ.Ως σπόρος, επαναλαμβάνουμε δύο κανόνες που είναι ιδιαίτερα σημαντικοί για την επίλυση προβλημάτων αναλυτικής γεωμετρίας.
Κανόνας πρόσθεσης διανυσμάτων σύμφωνα με τον κανόνα των τριγώνων
Εξετάστε δύο αυθαίρετα μη μηδενικά διανύσματα και : 
Απαιτείται να βρεθεί το άθροισμα αυτών των διανυσμάτων. Λόγω του γεγονότος ότι όλα τα διανύσματα θεωρούνται ελεύθερα, αναβάλλουμε το διάνυσμα από τέλοςδιάνυσμα: 
Το άθροισμα των διανυσμάτων είναι το διάνυσμα . Για καλύτερη κατανόηση του κανόνα, καλό είναι να επενδύσετε σε αυτόν φυσική έννοια: αφήστε κάποιο σώμα να κάνει μια διαδρομή κατά μήκος του διανύσματος και μετά κατά μήκος του διανύσματος . Τότε το άθροισμα των διανυσμάτων είναι το διάνυσμα της διαδρομής που προκύπτει που ξεκινά από το σημείο αναχώρησης και τελειώνει στο σημείο άφιξης. Ένας παρόμοιος κανόνας διατυπώνεται για το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού διανυσμάτων. Όπως λένε, το σώμα μπορεί να ακολουθήσει τον δρόμο του έντονα ζιγκ-ζαγκ, ή ίσως με αυτόματο πιλότο - κατά μήκος του διανύσματος αθροίσματος που προκύπτει.
Παρεμπιπτόντως, εάν το διάνυσμα αναβληθεί από αρχήδιάνυσμα , τότε παίρνουμε το ισοδύναμο κανόνας παραλληλογράμμουπροσθήκη διανυσμάτων.
Πρώτον, σχετικά με τη συγγραμμικότητα των διανυσμάτων. Τα δύο διανύσματα ονομάζονται συγγραμμικήαν βρίσκονται στην ίδια ευθεία ή σε παράλληλες ευθείες. Σε γενικές γραμμές, μιλάμε για παράλληλα διανύσματα. Σε σχέση όμως με αυτά χρησιμοποιείται πάντα το επίθετο «συγγραμμικό».
Φανταστείτε δύο συγγραμμικά διανύσματα. Εάν τα βέλη αυτών των διανυσμάτων κατευθύνονται προς την ίδια κατεύθυνση, τότε ονομάζονται τέτοια διανύσματα συνκατευθυντική. Αν τα βέλη δείχνουν σε διαφορετικές πλευρές, τότε τα διανύσματα θα είναι αντίθετα κατευθυνόμενη.
Ονομασίες:Η συγγραμμικότητα των διανυσμάτων γράφεται με το συνηθισμένο εικονίδιο παραλληλισμού: , ενώ η λεπτομέρεια είναι δυνατή: (τα διανύσματα κατευθύνονται από κοινού) ή (τα διανύσματα κατευθύνονται αντίθετα).
δουλειάενός μη μηδενικού διανύσματος από έναν αριθμό είναι ένα διάνυσμα του οποίου το μήκος είναι ίσο με , και τα διανύσματα και είναι συν-κατευθυνόμενα και αντίθετα στο .
Ο κανόνας για τον πολλαπλασιασμό ενός διανύσματος με έναν αριθμό είναι πιο κατανοητός με μια εικόνα: 
Καταλαβαίνουμε αναλυτικότερα:
1) Κατεύθυνση. Αν ο πολλαπλασιαστής είναι αρνητικός, τότε το διάνυσμα αλλάζει κατεύθυνσηπρος το αντίθετο.
2) Μήκος. Εάν ο παράγοντας περιέχεται εντός ή , τότε το μήκος του διανύσματος μειώνεται. Άρα, το μήκος του διανύσματος είναι δύο φορές μικρότερο από το μήκος του διανύσματος. Αν ο πολλαπλασιαστής modulo είναι μεγαλύτερος από ένα, τότε το μήκος του διανύσματος αυξάνειεγκαίρως.
3) Σημειώστε ότι όλα τα διανύσματα είναι συγγραμμικά, ενώ ένα διάνυσμα εκφράζεται μέσω ενός άλλου, για παράδειγμα, . Ισχύει και το αντίστροφο: εάν ένα διάνυσμα μπορεί να εκφραστεί ως ένα άλλο, τότε τέτοια διανύσματα είναι απαραίτητα συγγραμμικά. Ετσι: αν πολλαπλασιάσουμε ένα διάνυσμα με έναν αριθμό, παίρνουμε συγγραμμικό(σε σχέση με το πρωτότυπο) διάνυσμα.
4) Τα διανύσματα είναι συμκατευθυντικά. Τα διανύσματα και είναι επίσης συμκατευθυντικά. Οποιοδήποτε διάνυσμα της πρώτης ομάδας είναι αντίθετο με οποιοδήποτε διάνυσμα της δεύτερης ομάδας.
Ποια διανύσματα είναι ίσα;
Δύο διανύσματα είναι ίσα αν είναι συμκατευθυντικά και έχουν το ίδιο μήκος. Σημειώστε ότι η συν-κατεύθυνση υποδηλώνει ότι τα διανύσματα είναι συγγραμμικά. Ο ορισμός θα είναι ανακριβής (περιττός) αν πείτε: "Δύο διανύσματα είναι ίσα εάν είναι συγγραμμικά, συνκατευθυνόμενα και έχουν το ίδιο μήκος."
Από την άποψη της έννοιας του ελεύθερου διανύσματος, ίσα διανύσματα είναι το ίδιο διάνυσμα, το οποίο συζητήθηκε ήδη στην προηγούμενη παράγραφο.
Διανυσματικές συντεταγμένες στο επίπεδο και στο διάστημα
Το πρώτο σημείο είναι να εξετάσουμε τα διανύσματα σε ένα επίπεδο. Σχεδιάστε ένα καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων και αφήστε το στην άκρη από την αρχή μονόκλινοφορείς και:
Διανύσματα και ορθογώνιο. Ορθογώνιος = Κάθετος. Συνιστώ σιγά σιγά να συνηθίσουμε τους όρους: αντί για παραλληλισμό και καθετότητα, χρησιμοποιούμε τις λέξεις αντίστοιχα συγγραμμικότηταΚαι ορθογωνικότητα.
Ονομασία:η ορθογωνία των διανυσμάτων γράφεται με το συνηθισμένο κάθετο πρόσημο, για παράδειγμα: .
Τα θεωρούμενα διανύσματα ονομάζονται διανύσματα συντεταγμένωνή όρτες. Αυτά τα διανύσματα σχηματίζονται βάσηστην επιφάνεια. Ποια είναι η βάση, νομίζω, είναι διαισθητικά σαφές σε πολλούς, περισσότερους λεπτομερείς πληροφορίεςμπορείτε να βρείτε στο άρθρο Γραμμική (μη) εξάρτηση διανυσμάτων. Διανυσματική βάση.Με απλά λόγια, η βάση και η προέλευση των συντεταγμένων καθορίζουν ολόκληρο το σύστημα - αυτό είναι ένα είδος θεμελίωσης πάνω στο οποίο βράζει μια πλήρης και πλούσια γεωμετρική ζωή.
Μερικές φορές ονομάζεται η κατασκευασμένη βάση ορθοκανονικήβάση του επιπέδου: "ορθό" - επειδή τα διανύσματα συντεταγμένων είναι ορθογώνια, το επίθετο "κανονικοποιημένο" σημαίνει μονάδα, δηλ. τα μήκη των διανυσμάτων βάσης είναι ίσα με ένα.
Ονομασία:η βάση γράφεται συνήθως σε παρένθεση, μέσα στην οποία με αυστηρή σειράπαρατίθενται βασικά διανύσματα, για παράδειγμα: . Διανύσματα συντεταγμένων ειναι ΑΠΑΓΟΡΕΥΜΕΝΟανταλλάξουμε θέσεις.
Οποιοςεπίπεδο διάνυσμα ο μόνος τρόποςεκφράστηκε ώς: 
, Οπου - αριθμοί, που ονομάζονται διανυσματικές συντεταγμένεςσε αυτή τη βάση. Αλλά η ίδια η έκφραση 
που ονομάζεται διάνυσμα αποσύνθεσηςβάση .
Δείπνο που σερβίρεται:
Ας ξεκινήσουμε με το πρώτο γράμμα του αλφαβήτου: . Το σχέδιο δείχνει ξεκάθαρα ότι κατά την αποσύνθεση του διανύσματος ως προς τη βάση, χρησιμοποιούνται αυτά που μόλις εξετάστηκαν:
1) ο κανόνας του πολλαπλασιασμού ενός διανύσματος με έναν αριθμό: και ;
2) πρόσθεση διανυσμάτων σύμφωνα με τον κανόνα του τριγώνου: .
Τώρα παραμερίστε διανοητικά το διάνυσμα από οποιοδήποτε άλλο σημείο στο επίπεδο. Είναι αρκετά προφανές ότι η διαφθορά του «θα τον ακολουθεί αμείλικτα». Εδώ είναι, η ελευθερία του διανύσματος - το διάνυσμα «κουβαλάει τα πάντα μαζί σου». Αυτή η ιδιότητα, φυσικά, ισχύει για οποιοδήποτε διάνυσμα. Είναι αστείο ότι τα ίδια τα διανύσματα βάσης (δωρεάν) δεν χρειάζεται να παραμερίζονται από την προέλευση, το ένα μπορεί να σχεδιαστεί, για παράδειγμα, κάτω αριστερά και το άλλο πάνω δεξιά, και τίποτα δεν θα αλλάξει από αυτό! Είναι αλήθεια ότι δεν χρειάζεται να το κάνετε αυτό, γιατί ο δάσκαλος θα δείξει επίσης πρωτοτυπία και θα σας βγάλει ένα "πάσο" σε ένα απροσδόκητο μέρος.
Τα διανύσματα , απεικονίζουν ακριβώς τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό ενός διανύσματος με έναν αριθμό, το διάνυσμα συν-κατευθύνεται με το διάνυσμα βάσης, το διάνυσμα κατευθύνεται αντίθετα από το διάνυσμα βάσης. Για αυτά τα διανύσματα, μία από τις συντεταγμένες είναι ίση με μηδέν, μπορεί να γραφτεί σχολαστικά ως εξής:
Και τα διανύσματα βάσης, παρεμπιπτόντως, είναι έτσι: (στην πραγματικότητα, εκφράζονται μέσω του εαυτού τους).
Και τελικά: , . Παρεμπιπτόντως, τι είναι η διανυσματική αφαίρεση και γιατί δεν σας είπα για τον κανόνα της αφαίρεσης; Κάπου στη γραμμική άλγεβρα, δεν θυμάμαι πού, σημείωσα ότι είναι η αφαίρεση ειδική περίπτωσηπρόσθεση. Έτσι, οι επεκτάσεις των διανυσμάτων "de" και "e" γράφονται ήρεμα ως άθροισμα: 
. Αναδιάταξη των όρων σε θέσεις και ακολουθήστε το σχέδιο πόσο ξεκάθαρα λειτουργεί η παλιά καλή προσθήκη διανυσμάτων σύμφωνα με τον κανόνα του τριγώνου σε αυτές τις καταστάσεις.
Θεωρείται αποσύνθεση της μορφής 
μερικές φορές ονομάζεται διάνυσμα αποσύνθεσης στο σύστημα ort(δηλαδή στο σύστημα των μοναδιαίων διανυσμάτων). Αλλά αυτός δεν είναι ο μόνος τρόπος για να γράψετε ένα διάνυσμα, η ακόλουθη επιλογή είναι κοινή:
Ή με σύμβολο ίσον:
Τα ίδια τα διανύσματα βάσης γράφονται ως εξής: και
Δηλαδή, οι συντεταγμένες του διανύσματος υποδεικνύονται σε παρένθεση. Σε πρακτικές εργασίες, χρησιμοποιούνται και οι τρεις επιλογές εγγραφής.
Αμφιβάλλω αν θα μιλήσω, αλλά και πάλι θα πω: Οι διανυσματικές συντεταγμένες δεν μπορούν να αναδιαταχθούν. Αυστηρά στην πρώτη θέσηγράψτε τη συντεταγμένη που αντιστοιχεί στο μοναδιαίο διάνυσμα, αυστηρά στη δεύτερη θέσηγράψτε τη συντεταγμένη που αντιστοιχεί στο μοναδιαίο διάνυσμα . Πράγματι, και είναι δύο διαφορετικά διανύσματα.
Καταλάβαμε τις συντεταγμένες στο αεροπλάνο. Τώρα σκεφτείτε τα διανύσματα στον τρισδιάστατο χώρο, όλα είναι σχεδόν ίδια εδώ! Θα προστεθεί μόνο μία ακόμη συντεταγμένη. Είναι δύσκολο να εκτελέσω τρισδιάστατα σχέδια, επομένως θα περιοριστώ σε ένα διάνυσμα, το οποίο για λόγους απλότητας θα αναβάλω από την αρχή: 
Οποιοςτρισδιάστατο διάνυσμα χώρου ο μόνος τρόπος
επεκτείνεται σε ορθοκανονική βάση: 
, όπου είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος (αριθμός) στη δεδομένη βάση.
Παράδειγμα από την εικόνα: 
. Ας δούμε πώς λειτουργούν οι κανόνες διανυσματικών ενεργειών εδώ. Αρχικά, πολλαπλασιάζοντας ένα διάνυσμα με έναν αριθμό: (κόκκινο βέλος), (πράσινο βέλος) και (ματζέντα βέλος). Δεύτερον, εδώ είναι ένα παράδειγμα προσθήκης πολλών, σε αυτήν την περίπτωση τριών, διανυσμάτων: . Το διάνυσμα αθροίσματος ξεκινά από το σημείο εκκίνησης (η αρχή του διανύσματος) και καταλήγει στο τελικό σημείο άφιξης (το τέλος του διανύσματος).
Όλα τα διανύσματα του τρισδιάστατου χώρου, φυσικά, είναι επίσης ελεύθερα, προσπαθήστε να αναβάλετε νοερά το διάνυσμα από οποιοδήποτε άλλο σημείο και θα καταλάβετε ότι η επέκτασή του «μένει μαζί του».
Ομοίως με την θήκη του αεροπλάνου, εκτός από τη γραφή 
εκδόσεις με αγκύλες χρησιμοποιούνται ευρέως: είτε .
Εάν λείπουν ένα (ή δύο) διανύσματα συντεταγμένων στην αποσύνθεση, τότε τοποθετούνται μηδενικά. Παραδείγματα:
διάνυσμα (σχολαστικά 
) - σημειωσε ;
διάνυσμα (σχολαστικά 
) - σημειωσε ;
διάνυσμα (σχολαστικά 
) - σημειωσε .
Τα διανύσματα βάσης γράφονται ως εξής:
Εδώ, ίσως, βρίσκονται όλες οι ελάχιστες θεωρητικές γνώσεις που είναι απαραίτητες για την επίλυση προβλημάτων αναλυτικής γεωμετρίας. Ίσως υπάρχουν πάρα πολλοί όροι και ορισμοί, γι' αυτό προτείνω τα ανδρείκελα να τα ξαναδιαβάσετε και να τα κατανοήσετε αυτή η πληροφορίαπάλι. Και θα είναι χρήσιμο για κάθε αναγνώστη να αναφέρεται στο βασικό μάθημα κατά καιρούς για καλύτερη αφομοίωση της ύλης. Συγγραμμικότητα, ορθογωνικότητα, ορθοκανονική βάση, διάνυσμα αποσύνθεσης - αυτές και άλλες έννοιες θα χρησιμοποιηθούν συχνά σε όσα ακολουθούν. Σημειώνω ότι τα υλικά του ιστότοπου δεν επαρκούν για να περάσετε ένα θεωρητικό τεστ, ένα συνέδριο για τη γεωμετρία, αφού κωδικοποιώ προσεκτικά όλα τα θεωρήματα (εκτός από αποδείξεις) - εις βάρος του επιστημονικού στυλ παρουσίασης, αλλά ένα συν για την κατανόησή σας του θέματος. Για λεπτομερείς θεωρητικές πληροφορίες, σας ζητώ να υποκλιθείτε στον καθηγητή Atanasyan.
Τώρα ας περάσουμε στο πρακτικό μέρος:
Τα απλούστερα προβλήματα αναλυτικής γεωμετρίας.
Ενέργειες με διανύσματα σε συντεταγμένες
Οι εργασίες που θα εξεταστούν, είναι πολύ επιθυμητό να μάθετε πώς να τις επιλύετε πλήρως αυτόματα και τους τύπους απομνημονεύω, μην το θυμάστε καν επίτηδες, θα το θυμούνται μόνοι τους =) Αυτό είναι πολύ σημαντικό, καθώς άλλα προβλήματα αναλυτικής γεωμετρίας βασίζονται στα πιο απλά στοιχειώδη παραδείγματα και θα είναι ενοχλητικό να ξοδέψετε Επιπλέον χρόνοςνα φάει πιόνια. Δεν χρειάζεται να κουμπώσεις τα πάνω κουμπιά στο πουκάμισό σου, πολλά πράγματα σου είναι γνωστά από το σχολείο.
Η παρουσίαση του υλικού θα ακολουθήσει παράλληλη πορεία -τόσο για το αεροπλάνο όσο και για το διάστημα. Για το λόγο ότι όλες οι φόρμουλες ...θα το δείτε μόνοι σας.
Πώς να βρείτε ένα διάνυσμα με δύο σημεία;
Αν δίνονται δύο σημεία του επιπέδου, τότε το διάνυσμα έχει τις ακόλουθες συντεταγμένες: 
Αν δίνονται δύο σημεία στο χώρο, τότε το διάνυσμα έχει τις ακόλουθες συντεταγμένες:
Αυτό είναι, από τις συντεταγμένες του τέλους του διανύσματοςπρέπει να αφαιρέσετε τις αντίστοιχες συντεταγμένες διανυσματική έναρξη.
Ασκηση:Για τα ίδια σημεία, γράψτε τους τύπους για την εύρεση των συντεταγμένων του διανύσματος. Φόρμουλες στο τέλος του μαθήματος.
Παράδειγμα 1
Δίνονται δύο σημεία στο επίπεδο και . Βρείτε διανυσματικές συντεταγμένες
Λύση:σύμφωνα με τον αντίστοιχο τύπο:
Εναλλακτικά, θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί ο ακόλουθος συμβολισμός:
Οι αισθητιστές θα αποφασίσουν ως εξής:
Προσωπικά, έχω συνηθίσει την πρώτη έκδοση του δίσκου.
Απάντηση:
Σύμφωνα με την προϋπόθεση, δεν χρειαζόταν να κατασκευαστεί ένα σχέδιο (το οποίο είναι χαρακτηριστικό για προβλήματα αναλυτικής γεωμετρίας), αλλά για να εξηγήσω ορισμένα σημεία στα ανδρείκελα, δεν θα είμαι πολύ τεμπέλης: 
Πρέπει να γίνει κατανοητό διαφορά μεταξύ σημειακών και διανυσματικών συντεταγμένων:
Συντεταγμένες σημείωνείναι οι συνήθεις συντεταγμένες σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων. Νομίζω ότι όλοι γνωρίζουν πώς να σχεδιάζουν σημεία στο επίπεδο συντεταγμένων από τον βαθμό 5-6. Κάθε σημείο έχει μια αυστηρή θέση στο αεροπλάνο και δεν μπορούν να μετακινηθούν πουθενά.
Οι συντεταγμένες του ίδιου διανύσματοςείναι η επέκτασή του ως προς τη βάση , στην προκειμένη περίπτωση . Οποιοδήποτε διάνυσμα είναι ελεύθερο, επομένως, αν χρειαστεί, μπορούμε εύκολα να το αναβάλουμε από κάποιο άλλο σημείο του επιπέδου. Είναι ενδιαφέρον ότι για τα διανύσματα, δεν μπορείτε να δημιουργήσετε καθόλου άξονες, ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, χρειάζεστε μόνο μια βάση, σε αυτήν την περίπτωση, μια ορθοκανονική βάση του επιπέδου.
Οι εγγραφές των σημειακών συντεταγμένων και των διανυσματικών συντεταγμένων φαίνεται να είναι παρόμοιες: , και αίσθηση των συντεταγμένωναπολύτως διαφορετικός, και θα πρέπει να γνωρίζετε καλά αυτή τη διαφορά. Αυτή η διαφορά, φυσικά, ισχύει και για το χώρο.
Κυρίες και κύριοι, γεμίζουμε τα χέρια μας:
Παράδειγμα 2
α) Δίνονται σημεία και . Βρείτε διανύσματα και .
β) Δίνονται βαθμοί 
Και . Βρείτε διανύσματα και .
γ) Δίνονται βαθμοί και . Βρείτε διανύσματα και .
δ) Δίνονται βαθμοί. Βρείτε διανύσματα 
.
Ίσως αρκετά. Αυτά είναι παραδείγματα για ανεξάρτητη απόφαση, προσπαθήστε να μην τα αμελήσετε, θα σας αποδώσει ;-). Δεν απαιτούνται σχέδια. Λύσεις και απαντήσεις στο τέλος του μαθήματος.
Τι είναι σημαντικό για την επίλυση προβλημάτων αναλυτικής γεωμετρίας;Είναι σημαντικό να είστε ΕΞΑΙΡΕΤΙΚΑ ΠΡΟΣΕΚΤΙΚΟΙ για να αποφύγετε το αριστοτεχνικό σφάλμα «δύο συν δύο ίσον μηδέν». Ζητώ προκαταβολικά συγγνώμη αν έκανα λάθος =)
Πώς να βρείτε το μήκος ενός τμήματος;
Το μήκος, όπως ήδη σημειώθηκε, υποδεικνύεται από το σύμβολο συντελεστή.
Εάν δίνονται δύο σημεία του επιπέδου και, τότε το μήκος του τμήματος μπορεί να υπολογιστεί με τον τύπο
Εάν δίνονται δύο σημεία στο διάστημα και, τότε το μήκος του τμήματος μπορεί να υπολογιστεί με τον τύπο
Σημείωση: Οι τύποι θα παραμείνουν σωστοί εάν αντικατασταθούν οι αντίστοιχες συντεταγμένες: και , αλλά η πρώτη επιλογή είναι πιο τυπική
Παράδειγμα 3
Λύση:σύμφωνα με τον αντίστοιχο τύπο:
Απάντηση: 
Για λόγους σαφήνειας, θα κάνω ένα σχέδιο 
Ευθύγραμμο τμήμα - δεν είναι διάνυσμα, και δεν μπορείτε να το μετακινήσετε πουθενά, φυσικά. Επιπλέον, εάν ολοκληρώσετε το σχέδιο σε κλίμακα: 1 μονάδα. \u003d 1 cm (δύο τετραδικά κελιά), τότε η απάντηση μπορεί να ελεγχθεί με έναν κανονικό χάρακα μετρώντας απευθείας το μήκος του τμήματος.
Ναι, η λύση είναι σύντομη, αλλά έχει και δυο ακόμα σημαντικά σημείαΘα ήθελα να διευκρινίσω:
Αρχικά, στην απάντηση ορίσαμε τη διάσταση: «μονάδες». Η κατάσταση δεν λέει ΤΙ είναι, χιλιοστά, εκατοστά, μέτρα ή χιλιόμετρα. Επομένως, η γενική διατύπωση θα είναι μια μαθηματικά ικανή λύση: "μονάδες" - συντομογραφία ως "μονάδες".
Δεύτερον, ας επαναλάβουμε το σχολικό υλικό, το οποίο είναι χρήσιμο όχι μόνο για το εξεταζόμενο πρόβλημα:
δώσε προσοχή στο σημαντικό τεχνικό κόλπο – βγάζοντας τον πολλαπλασιαστή από κάτω από τη ρίζα. Ως αποτέλεσμα των υπολογισμών, πήραμε το αποτέλεσμα και το καλό μαθηματικό στυλ περιλαμβάνει την αφαίρεση του πολλαπλασιαστή κάτω από τη ρίζα (αν είναι δυνατόν). Η διαδικασία φαίνεται πιο αναλυτικά ως εξής: 
. Φυσικά, το να αφήσετε την απάντηση στη φόρμα δεν θα είναι λάθος - αλλά είναι σίγουρα ένα ελάττωμα και ένα βαρύ επιχείρημα για τσιμπήματα από την πλευρά του δασκάλου.
Εδώ είναι άλλες κοινές περιπτώσεις: 
Συχνά κάτω από τη ρίζα αποδεικνύεται αρκετά μεγάλος αριθμός, Για παράδειγμα . Πώς να είσαι σε τέτοιες περιπτώσεις; Στην αριθμομηχανή ελέγχουμε αν ο αριθμός διαιρείται με το 4:. Ναι, χωρίστε εντελώς, έτσι: 
. Ή μήπως ο αριθμός μπορεί να διαιρεθεί πάλι με το 4; . Ετσι: 
. Το τελευταίο ψηφίο του αριθμού είναι περιττό, επομένως η διαίρεση με το 4 για τρίτη φορά είναι σαφώς αδύνατη. Προσπαθώντας να διαιρέσουμε με το εννέα: . Σαν άποτέλεσμα:
Ετοιμος.
Συμπέρασμα:αν κάτω από τη ρίζα λάβουμε έναν εντελώς μη εξαγόμενο αριθμό, τότε προσπαθούμε να βγάλουμε τον παράγοντα κάτω από τη ρίζα - στην αριθμομηχανή ελέγχουμε αν ο αριθμός διαιρείται με: 4, 9, 16, 25, 36, 49, και τα λοιπά.
Κατά την επίλυση διάφορων προβλημάτων, συχνά βρίσκονται ρίζες, προσπαθείτε πάντα να εξάγετε παράγοντες κάτω από τη ρίζα για να αποφύγετε χαμηλότερη βαθμολογία και περιττά προβλήματα με την οριστικοποίηση των λύσεών σας σύμφωνα με την παρατήρηση του δασκάλου.
Ας επαναλάβουμε τον τετραγωνισμό των ριζών και άλλων δυνάμεων ταυτόχρονα: 
Κανόνες για ενέργειες με πτυχία in γενική εικόναμπορεί να βρεθεί σε ένα σχολικό εγχειρίδιο για την άλγεβρα, αλλά νομίζω ότι όλα ή σχεδόν όλα είναι ήδη ξεκάθαρα από τα παραδείγματα που δίνονται.
Εργασία για μια ανεξάρτητη λύση με ένα τμήμα στο διάστημα:
Παράδειγμα 4
Δεδομένα σημεία και . Βρείτε το μήκος του τμήματος.
Λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.
Πώς να βρείτε το μήκος ενός διανύσματος;
Εάν δίνεται ένα επίπεδο διάνυσμα, τότε το μήκος του υπολογίζεται από τον τύπο.
Εάν δίνεται ένα διάνυσμα χώρου, τότε το μήκος του υπολογίζεται από τον τύπο 
.
Πρώτα απ 'όλα, είναι απαραίτητο να αποσυναρμολογήσουμε την ίδια την έννοια του διανύσματος. Για να εισαγάγουμε τον ορισμό ενός γεωμετρικού διανύσματος, ας θυμηθούμε τι είναι ένα τμήμα. Εισάγουμε τον ακόλουθο ορισμό.
Ορισμός 1
Ένα τμήμα είναι ένα τμήμα μιας ευθείας που έχει δύο όρια με τη μορφή σημείων.
Το τμήμα μπορεί να έχει 2 κατευθύνσεις. Για να υποδείξουμε την κατεύθυνση, θα ονομάσουμε ένα από τα όρια του τμήματος την αρχή του και το άλλο όριο - το τέλος του. Η κατεύθυνση υποδεικνύεται από την αρχή μέχρι το τέλος του τμήματος.
Ορισμός 2
Ένα διάνυσμα ή ένα κατευθυνόμενο τμήμα είναι ένα τμήμα για το οποίο είναι γνωστό ποιο από τα όρια του τμήματος θεωρείται η αρχή και ποιο το τέλος του.
Σημείωση: Δύο γράμματα: $\overline(AB)$ – (όπου $A$ είναι η αρχή και $B$ το τέλος της).
Με ένα μικρό γράμμα: $\overline(a)$ (Εικόνα 1).
Εισάγουμε τώρα, άμεσα, την έννοια των διανυσματικών μηκών.
Ορισμός 3
Το μήκος του διανύσματος $\overline(a)$ είναι το μήκος του τμήματος $a$.
Σημείωση: $|\overline(a)|$
Η έννοια του μήκους ενός διανύσματος συνδέεται, για παράδειγμα, με μια έννοια όπως η ισότητα δύο διανυσμάτων.
Ορισμός 4
Δύο διανύσματα θα ονομάζονται ίσα εάν πληρούν δύο προϋποθέσεις: 1. Είναι συμκατευθυντικά. 1. Τα μήκη τους είναι ίσα (Εικ. 2).
Για να ορίσετε διανύσματα εισάγετε ένα σύστημα συντεταγμένων και προσδιορίστε τις συντεταγμένες για το διάνυσμα στο εισαγόμενο σύστημα. Όπως γνωρίζουμε, οποιοδήποτε διάνυσμα μπορεί να επεκταθεί ως $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$, όπου τα $m$ και $n$ είναι πραγματικοί αριθμοί και $\overline(i )$ και $\overline(j)$ είναι τα μοναδιαία διανύσματα στους άξονες $Ox$ και $Oy$, αντίστοιχα.
Ορισμός 5
Οι συντελεστές επέκτασης του διανύσματος $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ θα ονομάζονται συντεταγμένες αυτού του διανύσματος στο εισαγόμενο σύστημα συντεταγμένων. Μαθηματικά:
$\overline(c)=(m,n)$
Πώς να βρείτε το μήκος ενός διανύσματος;
Για να εξαγάγετε έναν τύπο για τον υπολογισμό του μήκους ενός αυθαίρετου διανύσματος δεδομένων των συντεταγμένων του, εξετάστε το ακόλουθο πρόβλημα:
Παράδειγμα 1
Δίνεται: διάνυσμα $\overline(α)$ με συντεταγμένες $(x,y)$. Βρείτε: το μήκος αυτού του διανύσματος.
Ας εισάγουμε το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων $xOy$ στο επίπεδο. Αφαιρέστε το $\overline(OA)=\overline(a)$ από την αρχή του εισαγόμενου συστήματος συντεταγμένων. Ας κατασκευάσουμε τις προβολές $OA_1$ και $OA_2$ του κατασκευασμένου διανύσματος στους άξονες $Ox$ και $Oy$, αντίστοιχα (Εικ. 3).
Το διάνυσμα $\overline(OA)$ που κατασκευάστηκε από εμάς θα είναι το διάνυσμα ακτίνας για το σημείο $A$, επομένως, θα έχει συντεταγμένες $(x,y)$, που σημαίνει
$=x$, $[OA_2]=y$
Τώρα μπορούμε εύκολα να βρούμε το επιθυμητό μήκος χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα, παίρνουμε
$|\overline(α)|^2=^2+^2$
$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$
$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$
Απάντηση: $\sqrt(x^2+y^2)$.
Συμπέρασμα:Για να βρείτε το μήκος ενός διανύσματος του οποίου οι συντεταγμένες δίνονται, πρέπει να βρείτε τη ρίζα του τετραγώνου του αθροίσματος αυτών των συντεταγμένων.
Παράδειγμα εργασίας
Παράδειγμα 2
Βρείτε την απόσταση μεταξύ των σημείων $X$ και $Y$, τα οποία έχουν τις ακόλουθες συντεταγμένες: $(-1,5)$ και $(7,3)$, αντίστοιχα.
Οποιαδήποτε δύο σημεία μπορούν εύκολα να συσχετιστούν με την έννοια του διανύσματος. Σκεφτείτε, για παράδειγμα, το διάνυσμα $\overline(XY)$. Όπως ήδη γνωρίζουμε, οι συντεταγμένες ενός τέτοιου διανύσματος μπορούν να βρεθούν αφαιρώντας τις αντίστοιχες συντεταγμένες του σημείου εκκίνησης ($X$) από τις συντεταγμένες του τελικού σημείου ($Y$). Το καταλαβαίνουμε
Τυπικός ορισμός: "Ένα διάνυσμα είναι ένα τμήμα κατευθυνόμενης γραμμής." Αυτό είναι συνήθως το όριο της γνώσης ενός πτυχιούχου για διανύσματα. Ποιος χρειάζεται κάποιου είδους «κατευθυνόμενα τμήματα»;
Αλλά στην πραγματικότητα, τι είναι τα διανύσματα και γιατί είναι;
Δελτίο καιρού. «Άνεμος βορειοδυτικός, ταχύτητα 18 μέτρα το δευτερόλεπτο». Συμφωνώ, η κατεύθυνση του ανέμου (από όπου φυσά) και η ενότητα (δηλαδή η απόλυτη τιμή) της ταχύτητάς του έχουν επίσης σημασία.
Οι ποσότητες που δεν έχουν κατεύθυνση ονομάζονται βαθμωτές. βάρος, εργασία, ηλεκτρικό φορτίοδεν εστάλη πουθενά. Χαρακτηρίζονται μόνο από μια αριθμητική τιμή - "πόσα κιλά" ή "πόσα joules".
Τα φυσικά μεγέθη που δεν έχουν μόνο απόλυτη τιμή, αλλά και κατεύθυνση ονομάζονται διανυσματικά μεγέθη.
Ταχύτητα, δύναμη, επιτάχυνση - διανύσματα. Για αυτούς είναι σημαντικό «πόσο» και σημαντικό «που». Για παράδειγμα, η επιτάχυνση ελεύθερης πτώσης 
κατευθύνεται προς την επιφάνεια της Γης και η τιμή του είναι 9,8 m / s 2. ορμή, ένταση ηλεκτρικό πεδίο, επαγωγή μαγνητικό πεδίοείναι επίσης διανυσματικά μεγέθη.
Το θυμάστε αυτό φυσικές ποσότητεςυποδηλώνεται με γράμματα, λατινικά ή ελληνικά. Το βέλος πάνω από το γράμμα δείχνει ότι η ποσότητα είναι διάνυσμα:
Εδώ είναι ένα άλλο παράδειγμα.
Το αυτοκίνητο κινείται από το Α στο Β. Τελικό αποτέλεσμα- η κίνησή του από το σημείο Α στο σημείο Β, δηλαδή η μετακίνηση προς το διάνυσμα .
Τώρα είναι σαφές γιατί ένα διάνυσμα είναι ένα κατευθυνόμενο τμήμα. Προσοχή, το τέλος του διανύσματος είναι το βέλος. Διάνυσμα μήκοςονομάζεται μήκος αυτού του τμήματος. Ορισμένοι: ή
Μέχρι στιγμής έχουμε δουλέψει σκαλοπάτια, σύμφωνα με τους κανόνες της αριθμητικής και της στοιχειώδους άλγεβρας. Τα διανύσματα είναι μια νέα έννοια. Αυτή είναι μια άλλη κατηγορία μαθηματικών αντικειμένων. Έχουν τους δικούς τους κανόνες.
Μια φορά κι έναν καιρό, δεν ξέραμε καν για αριθμούς. Η γνωριμία μαζί τους ξεκίνησε από τις δημοτικές τάξεις. Αποδείχθηκε ότι οι αριθμοί μπορούν να συγκριθούν μεταξύ τους, να προστεθούν, να αφαιρεθούν, να πολλαπλασιαστούν και να διαιρεθούν. Μάθαμε ότι υπάρχει ένας αριθμός ένα και ένας αριθμός μηδέν.
Τώρα γνωρίζουμε τα διανύσματα.
Οι έννοιες "μεγαλύτερο από" και "λιγότερο από" δεν υπάρχουν για τα διανύσματα - τελικά, οι κατευθύνσεις τους μπορεί να είναι διαφορετικές. Μπορείτε να συγκρίνετε μόνο τα μήκη των διανυσμάτων.
Αλλά η έννοια της ισότητας για τα διανύσματα είναι.
Ισοςείναι διανύσματα που έχουν το ίδιο μήκος και την ίδια κατεύθυνση. Αυτό σημαίνει ότι το διάνυσμα μπορεί να μετακινηθεί παράλληλα με τον εαυτό του σε οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου.
μονόκλινοονομάζεται διάνυσμα του οποίου το μήκος είναι 1 . Μηδέν - ένα διάνυσμα του οποίου το μήκος είναι ίσο με μηδέν, δηλαδή η αρχή του συμπίπτει με το τέλος.
Είναι πιο βολικό να εργάζεστε με διανύσματα σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων - αυτό στο οποίο σχεδιάζουμε γραφήματα συναρτήσεων. Κάθε σημείο του συστήματος συντεταγμένων αντιστοιχεί σε δύο αριθμούς - τις συντεταγμένες x και y, την τετμημένη και την τεταγμένη.
Το διάνυσμα δίνεται επίσης από δύο συντεταγμένες:
Εδώ, οι συντεταγμένες του διανύσματος γράφονται σε αγκύλες - σε x και σε y.
Είναι εύκολο να βρεθούν: η συντεταγμένη του τέλους του διανύσματος μείον τη συντεταγμένη της αρχής του.
Εάν δίνονται οι συντεταγμένες του διανύσματος, το μήκος του βρίσκεται από τον τύπο
Διάνυσμα προσθήκη
Υπάρχουν δύο τρόποι για να προσθέσετε διανύσματα.
1 . κανόνας παραλληλογράμμου. Για να προσθέσουμε τα διανύσματα και , τοποθετούμε την αρχή και των δύο στο ίδιο σημείο. Συμπληρώνουμε το παραλληλόγραμμο και σχεδιάζουμε τη διαγώνιο του παραλληλογράμμου από το ίδιο σημείο. Αυτό θα είναι το άθροισμα των διανυσμάτων και .
Θυμάστε τον μύθο για τον κύκνο, τον καρκίνο και τον λούτσο; Προσπάθησαν πολύ σκληρά, αλλά δεν κίνησαν ποτέ το κάρο. Εξάλλου, το διανυσματικό άθροισμα των δυνάμεων που ασκούσαν στο καρότσι ήταν ίσο με μηδέν.
2. Ο δεύτερος τρόπος για να προσθέσετε διανύσματα είναι ο κανόνας του τριγώνου. Ας πάρουμε τα ίδια διανύσματα και . Προσθέτουμε την αρχή του δεύτερου στο τέλος του πρώτου διανύσματος. Τώρα ας συνδέσουμε την αρχή του πρώτου και το τέλος του δεύτερου. Αυτό είναι το άθροισμα των διανυσμάτων και .
Με τον ίδιο κανόνα, μπορείτε να προσθέσετε πολλά διανύσματα. Τα στερεώνουμε ένα προς ένα και μετά συνδέουμε την αρχή του πρώτου με το τέλος του τελευταίου.
Φανταστείτε ότι πηγαίνετε από το σημείο Α στο σημείο Β, από το Β στο Γ, από το Γ στο Δ, μετά στο Ε και μετά στο ΣΤ. Το τελικό αποτέλεσμα αυτών των ενεργειών είναι η μετάβαση από το Α στο ΣΤ.
Όταν προσθέτουμε διανύσματα και παίρνουμε:
Αφαίρεση διάνυσμα
Το διάνυσμα κατευθύνεται αντίθετα από το διάνυσμα. Τα μήκη των διανυσμάτων και είναι ίσα.
Τώρα είναι σαφές τι είναι η αφαίρεση των διανυσμάτων. Η διαφορά των διανυσμάτων και είναι το άθροισμα του διανύσματος και του διανύσματος .
Πολλαπλασιάστε ένα διάνυσμα με έναν αριθμό
Πολλαπλασιάζοντας ένα διάνυσμα με έναν αριθμό k προκύπτει ένα διάνυσμα του οποίου το μήκος είναι k φορές διαφορετικό από το μήκος. Είναι συνκατευθυντικό με το διάνυσμα εάν το k είναι μεγαλύτερο από το μηδέν και κατευθύνεται αντίθετα εάν το k είναι μικρότερο από μηδέν.
Σημείο γινόμενο διανυσμάτων
Τα διανύσματα μπορούν να πολλαπλασιαστούν όχι μόνο με αριθμούς, αλλά και μεταξύ τους.
Το κλιμακωτό γινόμενο των διανυσμάτων είναι το γινόμενο των μηκών των διανυσμάτων και του συνημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας.
Δώστε προσοχή - πολλαπλασιάσαμε δύο διανύσματα και πήραμε έναν βαθμωτό, δηλαδή έναν αριθμό. Για παράδειγμα, στη φυσική μηχανική εργασίαισούται με το βαθμωτό γινόμενο δύο διανυσμάτων - δύναμης και μετατόπισης:
Αν τα διανύσματα είναι κάθετα, το γινόμενο των τελειών τους είναι μηδέν.
Και έτσι εκφράζεται το βαθμωτό γινόμενο ως προς τις συντεταγμένες των διανυσμάτων και:
Από τον τύπο για το βαθμωτό γινόμενο, μπορείτε να βρείτε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων:
Αυτή η φόρμουλα είναι ιδιαίτερα βολική στη στερεομετρία. Για παράδειγμα, στο πρόβλημα 14 του προφίλ USE στα μαθηματικά, πρέπει να βρείτε τη γωνία μεταξύ τεμνόμενων γραμμών ή μεταξύ ευθείας και επιπέδου. Το πρόβλημα 14 λύνεται συχνά πολλές φορές πιο γρήγορα με τη μέθοδο του διανύσματος από ότι με την κλασική.
ΣΕ σχολικό πρόγραμμα σπουδώνστα μαθηματικά μελετάται μόνο το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων.
Αποδεικνύεται ότι, εκτός από το βαθμωτό, υπάρχει επίσης ένα διανυσματικό γινόμενο, όταν λαμβάνεται ένα διάνυσμα ως αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού δύο διανυσμάτων. Όποιος περνάει τις εξετάσεις στη φυσική, ξέρει τι είναι η δύναμη Lorentz και η δύναμη Ampère. Οι τύποι για την εύρεση αυτών των δυνάμεων περιλαμβάνουν ακριβώς διανυσματικά γινόμενα.
Τα διανύσματα είναι ένα πολύ χρήσιμο μαθηματικό εργαλείο. Θα πειστείτε για αυτό στο πρώτο μάθημα.
