Οι ιδιότητες ενός ισοσκελούς τριγώνου εκφράζουν τα ακόλουθα θεωρήματα.
Θεώρημα 1. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, οι γωνίες στη βάση είναι ίσες.
Θεώρημα 2. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, η διχοτόμος που τραβιέται στη βάση είναι η διάμεσος και το ύψος.
Θεώρημα 3. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, η διάμεσος που τραβιέται στη βάση είναι η διχοτόμος και το ύψος.
Θεώρημα 4. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, το ύψος που τραβιέται στη βάση είναι η διχοτόμος και η διάμεσος.
Ας αποδείξουμε ένα από αυτά, για παράδειγμα, το Θεώρημα 2.5.
Απόδειξη. Θεωρήστε ένα ισοσκελές τρίγωνο ABC με βάση BC και αποδείξτε ότι ∠ B = ∠ C. Έστω AD η διχοτόμος του τριγώνου ABC (Εικ. 1). Τα τρίγωνα ABD και ACD είναι ίσα σύμφωνα με το πρώτο πρόσημο της ισότητας των τριγώνων (AB = AC κατά συνθήκη, AD είναι η κοινή πλευρά, ∠ 1 = ∠ 2, αφού το AD είναι η διχοτόμος). Από την ισότητα αυτών των τριγώνων προκύπτει ότι ∠ B = ∠ C. Το θεώρημα αποδεικνύεται.
Χρησιμοποιώντας το Θεώρημα 1, θεμελιώνουμε το ακόλουθο θεώρημα.
Θεώρημα 5. Το τρίτο κριτήριο για την ισότητα των τριγώνων. Εάν τρεις πλευρές ενός τριγώνου είναι αντίστοιχα ίσες με τρεις πλευρές ενός άλλου τριγώνου, τότε τέτοια τρίγωνα είναι ίσα (Εικ. 2).
Σχόλιο. Οι προτάσεις που καθορίζονται στα παραδείγματα 1 και 2 εκφράζουν τις ιδιότητες της κάθετης διχοτόμου στο τμήμα. Από τις προτάσεις αυτές προκύπτει ότι οι κάθετες διχοτόμοι των πλευρών ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο.
Παράδειγμα 1Να αποδείξετε ότι το σημείο του επιπέδου που ισαπέχει από τα άκρα του τμήματος βρίσκεται στη μεσοκάθετο σε αυτό το τμήμα.
Λύση. Έστω το σημείο Μ να έχει ίση απόσταση από τα άκρα του τμήματος ΑΒ (Εικ. 3), δηλαδή AM = VM.
Τότε το ΔAMV είναι ισοσκελές. Ας τραβήξουμε μια ευθεία p μέσα από το σημείο M και το μέσο O του τμήματος ΑΒ. Κατασκευαστικά, το τμήμα MO είναι η διάμεσος του ισοσκελούς τριγώνου AMB, και επομένως (Θεώρημα 3), και το ύψος, δηλ. η ευθεία γραμμή MO, είναι μέση κάθετηστο τμήμα ΑΒ.
Παράδειγμα 2Να αποδείξετε ότι κάθε σημείο της διχοτόμου ενός τμήματος απέχει από τα άκρα του.
Λύση. Έστω p η διχοτόμος του τμήματος ΑΒ και το σημείο Ο το μέσο του τμήματος ΑΒ (βλ. Εικ. 3).
Θεωρήστε ένα αυθαίρετο σημείο M που βρίσκεται στην ευθεία p. Ας σχεδιάσουμε τμήματα AM και VM. Τα τρίγωνα AOM και VOM είναι ίσα, αφού οι γωνίες τους στην κορυφή Ο είναι ευθείες, το σκέλος OM είναι κοινό και το σκέλος OA είναι ίσο με το σκέλος OB κατά συνθήκη. Από την ισότητα των τριγώνων ΑΟΜ και ΒΟΜ προκύπτει ότι ΑΜ = ΒΜ.
Παράδειγμα 3Στο τρίγωνο ABC (βλ. Εικ. 4) AB \u003d 10 cm, BC \u003d 9 cm, AC \u003d 7 cm. σε τρίγωνο DEF DE = 7 cm, EF = 10 cm, FD = 9 cm.
Συγκρίνετε τρίγωνα ABC και DEF. Βρείτε αντίστοιχα ίσες γωνίες.
Λύση. Αυτά τα τρίγωνα είναι ίσα στο τρίτο κριτήριο. Αντίστοιχα, ίσες γωνίες: A και E (βρίσκονται απέναντι από τις ίσες πλευρές BC και FD), B και F (βρίσκονται απέναντι από τις ίσες πλευρές AC και DE), C και D (βρίσκονται απέναντι από τις ίσες πλευρές AB και EF).
Παράδειγμα 4Στο σχήμα 5 AB = DC, BC = AD, ∠B = 100°.
Βρείτε τη γωνία Δ.
Λύση. Θεωρήστε τα τρίγωνα ABC και ADC. Είναι ίσα στο τρίτο χαρακτηριστικό (AB = DC, BC = AD κατά συνθήκη και η πλευρά AC είναι κοινή). Από την ισότητα αυτών των τριγώνων προκύπτει ότι ∠ B = ∠ D, αλλά η γωνία B είναι 100°, επομένως η γωνία D είναι 100°.
Παράδειγμα 5Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο ABC με βάση AC, η εξωτερική γωνία στην κορυφή C είναι 123°. Βρείτε τη γωνία ΑΒΓ. Δώστε την απάντησή σας σε μοίρες.
Λύση βίντεο.
Ένα ισόπλευρο τρίγωνο, εξ ορισμού, δεν είναι ισοσκελές, αφού σε ένα ισοσκελές τρίγωνο μόνο δύο πλευρές είναι ίσες μεταξύ τους και σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο όλες οι πλευρές είναι ίσες μεταξύ τους. Ένα ισόπλευρο τρίγωνο είναι μόνο μια ειδική περίπτωση ισοσκελούς τριγώνου, αλλά διαφέρει από αυτό. Για να φτιάξετε ένα ισόπλευρο τρίγωνο, αρκεί να γνωρίζετε το μήκος μόνο μιας πλευράς και για να φτιάξετε ένα ισοσκελές τρίγωνο, πρέπει να γνωρίζετε τα μήκη δύο πλευρών. Ο ορισμός του ισοσκελούς τριγώνου που έδωσε ο Leib είναι απολύτως σωστός.
Απάντηση Naitkin:
17 Οκτωβρίου 2014 στις 04:03 μ.μ
A="Ένα ισόπλευρο τρίγωνο εξ ορισμού δεν είναι ισοσκελές τρίγωνο"
B="Ένα ισόπλευρο τρίγωνο είναι μόνο μια ειδική περίπτωση ισοσκελούς τριγώνου",
Αυτές οι δύο εκφράσεις δεν μπορούν να είναι αληθινές ταυτόχρονα. 
Απάντηση Vyacheslav:
18 Οκτωβρίου 2014 στις 13:54
Στην πραγματικότητα, και οι δύο εκφράσεις είναι αληθινές. Αυτό φαίνεται ξεκάθαρα από το Σχήμα 7 vasil stryzhak. Όλο το σύνολο των τριγώνων είναι ισοσκελές, συμπεριλαμβανομένου του κόκκινου ισόπλευρου τριγώνου, που αντιστοιχεί στην έκφραση Β. Αλλά μόνο ένα (κόκκινο) ισόπλευρο τρίγωνο αποτελεί εξαίρεση από το σύνολο των ισοσκελές και επομένως δεν μπορεί να ονομαστεί μόνο ισοσκελές. Για να ορίσουμε ένα τρίγωνο με ίσες πλευρές, δεν αρκεί να πούμε ότι είναι ισοσκελές. Αυτό ιδιαίτερο είδος, που δεν είναι μόνο ισοσκελές, και έχει ιδιαίτερη ονομασία.
Απάντηση Naitkin:
19 Οκτωβρίου 2014 στις 9:36 π.μ
Το "μόνο" είναι εξίσου μηριαίο, αυτό (ισόπλευρο) δεν είναι φυσικά. Αλλά ισοσκελές, είναι ταυτόχρονα. Ένα ισόπλευρο τρίγωνο «λαμβάνεται» από ένα ισοσκελές χωρίς να χάσει καμία από τις ιδιότητες του ισοσκελούς. Έτσι
C = "ένα ισόπλευρο τρίγωνο είναι ισοσκελές", και
D = "ένα ισόπλευρο τρίγωνο είναι μια ειδική περίπτωση ισοσκελούς τριγώνου."
είναι πανομοιότυπες προτάσεις (C=D).
Δώστε ένα παράδειγμα για το ποια ιδιότητα χάνει ένα ισοσκελές τρίγωνο (χάνει! [Αν αποκτήσει, τότε όλες οι ιδιότητες ενός ισοσκελούς τριγώνου παραμένουν σε αυτό]) και γίνεται ισόπλευρο;
(Μόνο 2 πλευρές είναι ίσες, να σας υπενθυμίσω, αυτό δεν είναι ιδιότητα. Αυτό είναι από τον ορισμό. Και επειδή συζητάμε για ορισμούς, πρέπει να αφαιρέσουμε εντελώς τους ορισμούς. Μην λαμβάνετε καθόλου υπόψη τους ορισμούς και καταλαβαίνετε τι Τα ισοσκελή και τα ισόπλευρα τρίγωνα είναι. Ας μάθουμε ποιος είναι ο ορισμός, γνωρίζοντας μόνο τις ιδιότητες.)
Απάντηση Vyacheslav:
19 Οκτωβρίου 2014 στις 21:13
Για ποιες ιδιότητες μπορούμε να μιλήσουμε χωρίς ορισμούς; Η ισότητα δύο πλευρών σε ένα ισοσκελές τρίγωνο δεν προκύπτει από τον ορισμό του; Γιατί είναι απαραίτητο να δώσουμε ένα παράδειγμα της ιδιότητας ενός ισοσκελούς τριγώνου που χάνει όταν γίνεται ισόπλευρο; Δεν μπορείς να χάσεις αυτό που δεν έχεις. Ένα ισοσκελές τρίγωνο δεν έχει τρίτη ίση πλευρά και δεν μπορεί να χάσει αυτή την ιδιότητα.
Ισοσκελές τρίγωνοείναι ένα τρίγωνο στο οποίο δύο πλευρές είναι ίσες σε μήκος. Οι ίσες πλευρές ονομάζονται πλευρικές, και οι τελευταίες - η βάση. Εξ ορισμού, ένα κανονικό τρίγωνο είναι επίσης ισοσκελές, αλλά το αντίστροφο δεν ισχύει.
Ιδιότητες
- Οι γωνίες απέναντι από τις ίσες πλευρές ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες μεταξύ τους. Οι διχοτόμοι, οι διάμεσοι και τα ύψη από αυτές τις γωνίες είναι επίσης ίσα.
- Η διχοτόμος, η διάμεσος, το ύψος και η κάθετη διχοτόμος που έλκονται στη βάση συμπίπτουν μεταξύ τους. Τα κέντρα των εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων κύκλων βρίσκονται σε αυτή τη γραμμή.
- Οι γωνίες απέναντι από ίσες πλευρές είναι πάντα οξείες (από την ισότητά τους προκύπτει).
Αφήνω έναείναι το μήκος δύο ίσων πλευρών ενός ισοσκελούς τριγώνου, σι- το μήκος της τρίτης πλευράς, α Και β - αντίστοιχες γωνίες, R- ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, r- η ακτίνα του εγγεγραμμένου .
Οι πλευρές μπορούν να βρεθούν ως εξής:
Οι γωνίες μπορούν να εκφραστούν με τους εξής τρόπους:
Η περίμετρος ενός ισοσκελούς τριγώνου μπορεί να υπολογιστεί με οποιονδήποτε από τους παρακάτω τρόπους:
Το εμβαδόν ενός τριγώνου μπορεί να υπολογιστεί με έναν από τους παρακάτω τρόπους:
(Η φόρμουλα του Ήρωνα).σημάδια
- Οι δύο γωνίες ενός τριγώνου είναι ίσες.
- Το ύψος είναι ίδιο με το διάμεσο.
- Το ύψος συμπίπτει με τη διχοτόμο.
- Η διχοτόμος είναι ίδια με τη διάμεσο.
- Τα δύο ύψη είναι ίσα.
- Οι δύο διάμεσοι είναι ίσοι.
- Δύο διχοτόμοι είναι ίσες (το θεώρημα Steiner-Lemus).
δείτε επίσης
Ίδρυμα Wikimedia. 2010 .
Δείτε τι είναι το "Ισοσκελές Τρίγωνο" σε άλλα λεξικά:
ΤΡΙΓΩΝΟ ISOSHELES, ΕΝΑ ΤΡΙΓΩΝΟ που έχει δύο πλευρές ίσες σε μήκος. οι γωνίες σε αυτές τις πλευρές είναι επίσης ίσες ... Επιστημονικό και τεχνικό εγκυκλοπαιδικό λεξικό
Και (απλό) τρίγωνο, τρίγωνο, σύζυγος. 1. Γεωμετρικό σχήμα, που οριοθετούνται από τρεις αμοιβαία τέμνουσες ευθείες που σχηματίζουν τρεις εσωτερικές γωνίες (ματ.). Αμβλύ τρίγωνο. Οξύ τρίγωνο. Ορθογώνιο τρίγωνο.… … ΛεξικόΟ Ουσάκοφ
ISOSHELES, ου, ου: ισοσκελές τρίγωνο με δύο ίσες πλευρές. | ουσιαστικό ισοσκελές, και, συζύγους. Επεξηγηματικό λεξικό Ozhegov. ΣΙ. Ozhegov, N.Yu. Σβέντοβα. 1949 1992... Επεξηγηματικό λεξικό Ozhegov
τρίγωνο- ▲ ένα πολύγωνο που έχει τρίγωνο τριών γωνιών είναι το απλούστερο πολύγωνο. δίνεται από 3 σημεία που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία. τριγωνικός. οξεία γωνία. οξεία γωνία. ορθογώνιο τρίγωνο: καθετήρας. υποτείνουσα. ισοσκελές τρίγωνο. ▼…… Ιδεογραφικό λεξικόρωσική γλώσσα
τρίγωνο- ΤΡΙΓΩΝΟ1, α, μ εκ των οποίων ή με ορ. Ένα αντικείμενο που έχει το σχήμα ενός γεωμετρικού σχήματος που οριοθετείται από τρεις τεμνόμενες ευθείες που σχηματίζουν τρεις εσωτερικές γωνίες. Ταξινόμησε τα γράμματα του συζύγου της, κιτρινισμένα τρίγωνα της πρώτης γραμμής. ΤΡΙΓΩΝΟ2, a, m ... ... Επεξηγηματικό λεξικό ρωσικών ουσιαστικών
Αυτός ο όρος έχει άλλες έννοιες, βλέπε Τρίγωνο (έννοιες). Ένα τρίγωνο (στον Ευκλείδειο χώρο) είναι ένα γεωμετρικό σχήμα που σχηματίζεται από τρία ευθύγραμμα τμήματα που συνδέουν τρία μη γραμμικά σημεία. Τρεις τελείες, ... ... Wikipedia
Τρίγωνο (πολύγωνο)- Τρίγωνα: 1 οξύ, ορθογώνιο και αμβλύ. 2 κανονικές (ισόπλευρες) και ισοσκελές. 3 διχοτόμοι? 4 διάμεσοι και κέντρο βάρους. 5 ύψη? 6 ορθόκεντρο; 7 μεσαία γραμμή. ΤΡΙΓΩΝΟ, πολύγωνο με 3 πλευρές. Μερικές φορές κάτω από... Εικονογραφημένο Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό
εγκυκλοπαιδικό λεξικό
τρίγωνο- ΕΝΑ; μ. 1) α) Γεωμετρικό σχήμα που οριοθετείται από τρεις τεμνόμενες ευθείες που σχηματίζουν τρεις εσωτερικές γωνίες. Ορθογώνιο, ισοσκελές τρίγωνο/λινάρι. Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου. β) αντιστ. τι ή με def. Φιγούρα ή αντικείμενο τέτοιας μορφής. ... Λεξικό πολλών εκφράσεων
ΕΝΑ; μ. 1. Γεωμετρικό σχήμα που οριοθετείται από τρεις τεμνόμενες ευθείες που σχηματίζουν τρεις εσωτερικές γωνίες. Ορθογώνιο, ισοσκελές μ. Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου. // τι ή με def. Φιγούρα ή αντικείμενο τέτοιου σχήματος. Τ. στέγη. Τ.…… εγκυκλοπαιδικό λεξικό
Σε αυτό το μάθημα θα εξεταστεί το θέμα «Ισοσκελές τρίγωνο και οι ιδιότητές του». Θα μάθετε πώς φαίνονται τα ισοσκελή και ισόπλευρα τρίγωνα και πώς χαρακτηρίζονται. Να αποδείξετε το θεώρημα για την ισότητα των γωνιών στη βάση ενός ισοσκελούς τριγώνου. Εξετάστε επίσης το θεώρημα της διχοτόμου (διάμεσος και ύψος) που σχεδιάστηκε στη βάση ενός ισοσκελούς τριγώνου. Στο τέλος του μαθήματος, θα εξετάσετε δύο προβλήματα χρησιμοποιώντας τον ορισμό και τις ιδιότητες ενός ισοσκελούς τριγώνου.
Ορισμός:ΙσοσκελήςΛέγεται ένα τρίγωνο που έχει δύο πλευρές ίσες.
Ρύζι. 1. Ισοσκελές τρίγωνο
AB = AC - πλευρές. π.Χ. - βάση.
Το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι το μισό του γινόμενου της βάσης του επί το ύψος του.
Ορισμός:ισόπλευροςΛέγεται ένα τρίγωνο στο οποίο και οι τρεις πλευρές του είναι ίσες.
Ρύζι. 2. Ισόπλευρο τρίγωνο
AB = BC = SA.
Θεώρημα 1:Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, οι γωνίες στη βάση είναι ίσες.
Δεδομένος: AB = AC.
Αποδεικνύω:∠B = ∠C.
Ρύζι. 3. Αντλώντας στο θεώρημα
Απόδειξη:τρίγωνο ABC \u003d τρίγωνο DIA σύμφωνα με το πρώτο σημάδι (σε δύο ίσες πλευρές και τη γωνία μεταξύ τους). Από την ισότητα των τριγώνων προκύπτει η ισότητα όλων των αντίστοιχων στοιχείων. Ως εκ τούτου, ∠B = ∠C, το οποίο έπρεπε να αποδειχθεί.
Θεώρημα 2:Σε ισοσκελές τρίγωνο διαχωριστική γραμμήτραβιέται στη βάση είναι διάμεσοςΚαι ύψος.
Δεδομένος: AB = AC, ∠1 = ∠2.
Αποδεικνύω: BD = DC, AD κάθετα στο BC.
Ρύζι. 4. Σχέδιο για το Θεώρημα 2
Απόδειξη:τρίγωνο ADB = τρίγωνο ADC από το πρώτο χαρακτηριστικό (AD - κοινό, AB = AC κατά συνθήκη, ∠BAD = ∠DAC). Από την ισότητα των τριγώνων προκύπτει η ισότητα όλων των αντίστοιχων στοιχείων. BD = DC αφού ψεύδονται κατά ίσες γωνίες. Άρα η AD είναι η διάμεσος. Επίσης ∠3 = ∠4 αφού βρίσκονται απέναντι από ίσες πλευρές. Αλλά, εξάλλου, είναι ίσοι συνολικά. Επομένως, ∠3 = ∠4 = . Επομένως, AD είναι το ύψος του τριγώνου, το οποίο έπρεπε να αποδειχθεί.
Στη μοναδική περίπτωση a = b = . Σε αυτή την περίπτωση, οι ευθείες AC και BD ονομάζονται κάθετες.
Εφόσον η διχοτόμος, το ύψος και η διάμεσος είναι το ίδιο τμήμα, ισχύουν επίσης οι ακόλουθες δηλώσεις:
Το ύψος ενός ισοσκελούς τριγώνου που τραβιέται στη βάση είναι η διάμεσος και η διχοτόμος.
Η διάμεσος ενός ισοσκελούς τριγώνου που τραβιέται στη βάση είναι το ύψος και η διχοτόμος.
Παράδειγμα 1:Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, η βάση έχει το μισό μέγεθος της πλευράς, και η περίμετρος είναι 50 εκ. Βρείτε τις πλευρές του τριγώνου.
Δεδομένος: AB = AC, BC = AC. P = 50 cm.
Εύρημα: BC, AC, AB.
Λύση:
Ρύζι. 5. Σχέδιο για παράδειγμα 1
Συμβολίζουμε τη βάση BC ως a, μετά AB \u003d AC \u003d 2a.
2a + 2a + a = 50.
5a = 50, a = 10.
Απάντηση: BC = 10 cm, AC = AB = 20 cm.
Παράδειγμα 2:Να αποδείξετε ότι όλες οι γωνίες σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο είναι ίσες.
Δεδομένος: AB = BC = SA.
Αποδεικνύω:∠A = ∠B = ∠C.
Απόδειξη:
Ρύζι. 6. Σχέδιο για παράδειγμα
∠B = ∠C, αφού AB=AC, και ∠A = ∠B, αφού AC = BC.
Επομένως, ∠A = ∠B = ∠C, που έπρεπε να αποδειχθεί.
Απάντηση:Αποδεδειγμένος.
Στο σημερινό μάθημα, εξετάσαμε ένα ισοσκελές τρίγωνο, μελετήσαμε τις βασικές του ιδιότητες. Στο επόμενο μάθημα, θα λύσουμε προβλήματα σχετικά με το θέμα ενός ισοσκελούς τριγώνου, στον υπολογισμό του εμβαδού ενός ισοσκελούς και ισόπλευρου τριγώνου.
- Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. κλπ. Γεωμετρία 7. - Μ.: Διαφωτισμός.
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. et al. Geometry 7. 5η έκδ. - Μ.: Διαφωτισμός.
- Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Γεωμετρία 7 / V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev, V.V. Prasolova, επιμ. Sadovnichy V.A. - Μ.: Εκπαίδευση, 2010.
- Λεξικά και εγκυκλοπαίδειες για το "Akademik" ().
- Φεστιβάλ Παιδαγωγικής Ιδέας» Δημόσιο μάθημα» ().
- Kaknauchit.ru ().
1. Νο. 29. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Γεωμετρία 7 / V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev, V.V. Prasolova, επιμ. Sadovnichy V.A. - Μ.: Εκπαίδευση, 2010.
2. Η περίμετρος ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι 35 cm, και η βάση είναι τρεις φορές μικρότερη από την πλευρά. Βρείτε τις πλευρές του τριγώνου.
3. Δίνονται: ΑΒ = Π.Χ. Να αποδείξετε ότι ∠1 = ∠2.
4. Η περίμετρος ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι 20 cm, η μία πλευρά του είναι διπλάσια από την άλλη. Βρείτε τις πλευρές του τριγώνου. Πόσες λύσεις έχει το πρόβλημα;