κανονικό πεντάγωνο (γρ. πενταγωνον ) είναι ένα γεωμετρικό σχήμα, ένα κανονικό πολύγωνο με πέντε πλευρές.
Ιδιότητες
- Το δωδεκάεδρο είναι το μόνο κανονικό πολύεδρο του οποίου οι όψεις είναι κανονικά πεντάγωνα.
- Το Πεντάγωνο είναι ένα κτίριο του Υπουργείου Άμυνας των ΗΠΑ σε σχήμα κανονικού πενταγώνου.
- Ένα κανονικό πεντάγωνο είναι ένα κανονικό πολύγωνο με τον μικρότερο αριθμό γωνιών που δεν μπορούν να τοποθετηθούν σε ένα επίπεδο.
- Στη φύση, δεν υπάρχουν κρύσταλλα με πρόσωπα σε σχήμα κανονικού πενταγώνου.
- Το πεντάγωνο με όλες του τις διαγώνιους είναι μια προβολή ενός 4 απλού.
δείτε επίσης
Γράψτε μια κριτική για το άρθρο "Regular Pentagon"
Σημειώσεις
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Ένα απόσπασμα που χαρακτηρίζει το Τακτικό Πεντάγωνο
Ο Petya δεν ήξερε πόσο καιρό συνεχίστηκε αυτό: απολάμβανε τον εαυτό του, ήταν συνεχώς έκπληκτος με τη δική του ευχαρίστηση και μετάνιωνε που δεν υπήρχε κανείς να του το πει. Η απαλή φωνή του Λιχάτσεφ τον ξύπνησε.- Έγινε, τιμή σου, άπλωσε τη φρουρά στα δύο.
Η Πέτια ξύπνησε.
- Φωτίζει, αλήθεια, φωτίζεται! αυτός έκλαψε.
Τα προηγουμένως αόρατα άλογα έγιναν ορατά μέχρι την ουρά τους και ένα υδαρές φως ήταν ορατό μέσα από τα γυμνά κλαδιά. Ο Πέτια τινάχτηκε, πήδηξε, έβγαλε από την τσέπη του ένα χαρτονόμισμα ρούβλι και το έδωσε στον Λιχάτσεφ, το κούνησε, δοκίμασε το σπαθί και το έβαλε στη θήκη του. Οι Κοζάκοι λύνουν τα άλογα και σφίγγουν τις περιφέρειες.
«Εδώ είναι ο διοικητής», είπε ο Λιχάτσεφ. Ο Ντενίσοφ βγήκε από την φρουρά και, καλώντας τον Πέτια, διέταξε να ετοιμαστεί.
Γρήγορα μέσα στο μισοσκόταδο, διέλυσαν τα άλογα, έσφιξαν τις περιφέρειες και τακτοποίησαν τις ομάδες. Ο Ντενίσοφ στάθηκε στο φυλάκιο, δίνοντας τις τελευταίες του εντολές. Το πεζικό του κόμματος, χτυπώντας εκατό πόδια, προχώρησε κατά μήκος του δρόμου και γρήγορα χάθηκε ανάμεσα στα δέντρα στην ομίχλη που είχε προηγηθεί. Ο Esaul διέταξε κάτι στους Κοζάκους. Ο Πέτια κράτησε το άλογό του στη σειρά, περιμένοντας ανυπόμονα τη διαταγή να ανέβει. πλυμένο κρύο νερόΤο πρόσωπό του, ειδικά τα μάτια του, έκαιγαν από φωτιά, ρίγη έτρεχαν στην πλάτη του και κάτι σε όλο του το σώμα έτρεμε γρήγορα και ομοιόμορφα.
- Λοιπόν, είστε όλοι έτοιμοι; είπε ο Ντενίσοφ. - Έλα άλογα.
Τα άλογα δόθηκαν. Ο Ντενίσοφ θύμωσε με τον Κοζάκο επειδή οι περιφέρειες ήταν αδύναμες και, αφού τον επέπληξε, κάθισε. Η Πέτυα πήρε τον αναβολέα. Το άλογο, από συνήθεια, ήθελε να δαγκώσει το πόδι του, αλλά ο Πέτια, χωρίς να αισθάνεται το βάρος του, πήδηξε γρήγορα στη σέλα και κοιτάζοντας πίσω τους ουσάρους που κινούνταν πίσω στο σκοτάδι, ανέβηκε στον Ντενίσοφ.
- Βασίλι Φιοντόροβιτς, θα μου εμπιστευτείς κάτι; Παρακαλώ… για όνομα του Θεού…» είπε. Ο Ντενίσοφ φαινόταν να έχει ξεχάσει την ύπαρξη του Πέτυα. Τον κοίταξε πίσω.
«Θα σου πω για ένα πράγμα», είπε αυστηρά, «υπάκουσέ με και μην ανακατεύεσαι πουθενά.
Καθ' όλη τη διάρκεια του ταξιδιού, ο Ντενίσοφ δεν είπε λέξη στον Πέτια και οδήγησε σιωπηλός. Όταν φτάσαμε στην άκρη του δάσους, το πεδίο ήταν αισθητά πιο φωτεινό. Ο Ντενίσοφ είπε κάτι ψιθυριστά στον εσαούλ και οι Κοζάκοι άρχισαν να περνούν με το αυτοκίνητο από τον Πέτια και τον Ντενίσοφ. Όταν πέρασαν όλοι, ο Ντενίσοφ άγγιξε το άλογό του και κατηφόρισε. Καθισμένα στις αγκυλώσεις τους και γλιστρώντας, τα άλογα κατέβηκαν με τους αναβάτες τους στο κοίλωμα. Η Πέτυα οδήγησε δίπλα στον Ντενίσοφ. Το τρέμουλο σε όλο του το σώμα έγινε πιο δυνατό. Γίνονταν όλο και πιο ελαφρύ, μόνο που η ομίχλη έκρυβε μακρινά αντικείμενα. Οδηγώντας κάτω και κοιτάζοντας πίσω, ο Ντενίσοφ έγνεψε το κεφάλι του στον Κοζάκο που στεκόταν δίπλα του.
- Σήμα! αυτός είπε.
Ο Κοζάκος σήκωσε το χέρι του, ακούστηκε ένας πυροβολισμός. Και την ίδια στιγμή ακούστηκε ένας κρότος μπροστά στα άλογα που καλπάζονταν, φωνές από διαφορετικές πλευρέςκαι περισσότερες βολές.
Την ίδια στιγμή που ακούστηκαν οι πρώτοι ήχοι ποδοπάτημα και κραυγές, ο Πέτια, κλωτσώντας το άλογό του και ελευθερώνοντας τα ηνία, χωρίς να ακούει τον Ντενίσοφ, που του φώναξε, κάλπασε μπροστά. Στον Πέτια φάνηκε ότι ξημέρωσε ξαφνικά λαμπρά, σαν τη μέση της ημέρας, τη στιγμή που ακούστηκε ένας πυροβολισμός. Πήδηξε στη γέφυρα. Κοζάκοι κάλπασαν μπροστά στο δρόμο. Στη γέφυρα, έπεσε πάνω σε έναν στρατιώτη Κοζάκο και κάλπασε. Υπήρχαν μερικοί άνθρωποι μπροστά —πρέπει να ήταν οι Γάλλοι— που έτρεχαν μαζί τους σωστη πλευραδρόμο προς τα αριστερά. Ο ένας έπεσε στη λάσπη κάτω από τα πόδια του αλόγου του Πέτυα.
Κοζάκοι συνωστίζονταν γύρω από μια καλύβα, κάνοντας κάτι. Άκουσα από τη μέση του πλήθους τρομακτική κραυγή. Ο Πέτια κάλπασε πάνω σε αυτό το πλήθος και το πρώτο πράγμα που είδε ήταν χλωμό, με τρέμουλο κάτω γνάθοτο πρόσωπο ενός Γάλλου που κρατιόταν από το στέλεχος ενός λούτσου έδειξε προς το μέρος του.
«Ούρα!.. Παιδιά...δικά μας…» φώναξε η Πέτια και, δίνοντας τα ηνία στο ενθουσιασμένο άλογο, κάλπασε μπροστά στο δρόμο.
Μπροστά ακούστηκαν πυροβολισμοί. Κοζάκοι, ουσάροι και κουρελιασμένοι Ρώσοι αιχμάλωτοι, που τράπηκαν σε φυγή και από τις δύο πλευρές του δρόμου, όλοι φώναξαν κάτι δυνατά και ασυνάρτητα. Ένας νεαρός άνδρας, χωρίς καπέλο, με ένα κόκκινο συνοφρυωμένο πρόσωπο, ένας Γάλλος με μπλε πανωφόρι πολέμησε τους ουσάρους με μια ξιφολόγχη. Όταν ο Petya πήδηξε, ο Γάλλος είχε ήδη πέσει. Αργά πάλι, ο Πέτυα πέρασε από το κεφάλι του και κάλπασε εκεί όπου ακούστηκαν συχνοί πυροβολισμοί. Πυροβολισμοί ακούστηκαν στην αυλή του αρχοντικού όπου βρισκόταν χθες το βράδυ με τον Ντολόχοφ. Οι Γάλλοι κάθισαν εκεί πίσω από τον φράχτη σε έναν πυκνό κήπο κατάφυτο από θάμνους και πυροβόλησαν τους Κοζάκους που ήταν συνωστισμένοι στην πύλη. Πλησιάζοντας την πύλη, ο Petya, μέσα στον καπνό πούδρας, είδε τον Dolokhov με ένα χλωμό, πρασινωπό πρόσωπο, να φωνάζει κάτι στους ανθρώπους. «Στην παράκαμψη! Περίμενε το πεζικό!». φώναξε καθώς η Πέτυα τον πλησίαζε.
«Περίμενε;.. Ούρα!» φώναξε η Πέτια και, χωρίς να διστάσει ούτε λεπτό, κάλπασε προς το μέρος όπου ακούστηκαν οι πυροβολισμοί και όπου ο καπνός της πούδρας ήταν πιο πυκνός. Ακούστηκε ένα βόλι, άδειο και χτύπησε σφαίρες. Οι Κοζάκοι και ο Dolokhov πήδηξαν πίσω από τον Petya μέσα από τις πύλες του σπιτιού. Οι Γάλλοι, μέσα στον ταλαντευόμενο πυκνό καπνό, άλλοι πέταξαν τα όπλα και έτρεξαν έξω από τους θάμνους προς τους Κοζάκους, άλλοι έτρεξαν κατηφορικά προς τη λιμνούλα. Ο Πέτια κάλπασε κατά μήκος της αυλής του αρχοντικού με το άλογό του και, αντί να κρατήσει τα ηνία, κούνησε και τα δύο χέρια παράξενα και γρήγορα, και συνέχιζε να πέφτει όλο και πιο μακριά από τη σέλα προς τη μία πλευρά. Το άλογο, έχοντας πέσει σε μια φωτιά που σιγοκαίει στο πρωινό φως, ξεκουράστηκε και η Πέτια έπεσε βαριά στο βρεγμένο έδαφος. Οι Κοζάκοι είδαν πόσο γρήγορα συσπάστηκαν τα χέρια και τα πόδια του, παρά το γεγονός ότι το κεφάλι του δεν κουνήθηκε. Η σφαίρα τρύπησε το κεφάλι του.
Αφού μίλησε με έναν ανώτερο Γάλλο αξιωματικό, ο οποίος βγήκε από πίσω από το σπίτι με ένα μαντήλι σε ένα σπαθί και ανακοίνωσε ότι παραδίδονταν, ο Ντολόχοφ κατέβηκε από το άλογό του και ανέβηκε στον Πέτια, ακίνητος, με τα χέρια απλωμένα.
«Έτοιμος», είπε συνοφρυωμένος, και πέρασε από την πύλη για να συναντήσει τον Ντενίσοφ, που ερχόταν προς το μέρος του.
- Σκοτώθηκε;! αναφώνησε ο Ντενίσοφ, βλέποντας από μακριά αυτή τη γνώριμη σε αυτόν, αναμφίβολα άψυχη θέση, στην οποία βρισκόταν το σώμα του Πέτυα.
«Έτοιμος», επανέλαβε ο Ντολόχοφ, λες και η προφορά αυτής της λέξης του έδινε ευχαρίστηση και πήγε γρήγορα στους κρατούμενους, που ήταν περιτριγυρισμένοι από κατεβασμένους Κοζάκους. - Δεν θα το πάρουμε! φώναξε στον Ντενίσοφ.
Το πεντάγωνο είναι ένα γεωμετρικό σχήμα με πέντε γωνίες. Ταυτόχρονα, από άποψη γεωμετρίας, η κατηγορία των πενταγώνων περιλαμβάνει όλα τα πολύγωνα που έχουν αυτό το χαρακτηριστικό, ανεξάρτητα από τη θέση των πλευρών του.
Το άθροισμα των γωνιών ενός πενταγώνου
Ένα πεντάγωνο είναι στην πραγματικότητα ένα πολύγωνο, επομένως για να υπολογίσετε το άθροισμα των γωνιών του, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο που υιοθετήθηκε για τον υπολογισμό του υποδεικνυόμενου αθροίσματος για ένα πολύγωνο με οποιονδήποτε αριθμό γωνιών. Το καθορισμένο θεωρεί το άθροισμα των γωνιών του πολυγώνου ως την ακόλουθη ισότητα: το άθροισμα των γωνιών = (n - 2) * 180°, όπου n είναι ο αριθμός των γωνιών στο απαιτούμενο πολύγωνο.Έτσι, στην περίπτωση που μιλαμεακριβώς , η τιμή του n σε αυτόν τον τύπο θα είναι ίση με 5. Έτσι, αντικαθιστώντας τη δεδομένη τιμή του n στον τύπο, αποδεικνύεται ότι το άθροισμα των γωνιών του πενταγώνου θα είναι 540 °. Ωστόσο, θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι η εφαρμογή αυτής της φόρμουλας σε σχέση με ένα συγκεκριμένο πεντάγωνο συνδέεται με μια σειρά περιορισμών.
Τύποι πενταγώνων
Το γεγονός είναι ότι ο υποδεικνυόμενος τύπος, έχει, όπως και για άλλους τύπους αυτών γεωμετρικά σχήματα, μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο εάν είναι ένα λεγόμενο κυρτό πολύγωνο. Αυτό, με τη σειρά του, είναι ένα γεωμετρικό σχήμα που ικανοποιεί την ακόλουθη συνθήκη: όλα τα σημεία του βρίσκονται στην ίδια πλευρά μιας ευθείας γραμμής που διέρχεται μεταξύ δύο γειτονικών κορυφών.Έτσι, υπάρχει μια ολόκληρη κατηγορία πενταγώνων, το άθροισμα των γωνιών στις οποίες θα διαφέρει από την καθορισμένη τιμή. Έτσι, για παράδειγμα, μια από τις παραλλαγές ενός μη κυρτού πενταγώνου είναι ένα γεωμετρικό σχήμα σε σχήμα αστεριού. Ένα αστρικό πεντάγωνο μπορεί επίσης να ληφθεί χρησιμοποιώντας ολόκληρο το σύνολο των διαγωνίων ενός κανονικού πενταγώνου, δηλαδή ενός πενταγώνου: στην περίπτωση αυτή, το γεωμετρικό σχήμα που προκύπτει θα ονομάζεται πεντάγραμμο, το οποίο έχει ίσες γωνίες. Στην περίπτωση αυτή, το άθροισμα των υποδεικνυόμενων γωνιών θα είναι 180°.
Έχουμε ήδη γράψει ότι οι Πυθαγόρειοι θεωρούσαν τον κόσμο διευθετημένο σύμφωνα με τους νόμους της αριθμητικής αρμονίας. Βρήκαν ότι η αντίληψη της αρμονίας στη μουσική συνδέεται με κάποια σχέση μεταξύ των αριθμών (βλ. Αρμονία του Πυθαγόρα). αλλά η οπτική αρμονία, αποδεικνύεται, συνδέεται επίσης με ορισμένες αναλογίες διαφορετικών τμημάτων. Από αυτή την άποψη, το πιο διάσημο Χρυσή αναλογία- ένας τέτοιος τρόπος διαίρεσης ενός τμήματος σε δύο άνισα μέρη, στα οποία ολόκληρο το τμήμα σχετίζεται με το μεγαλύτερο μέρος, ως μεγαλύτερο προς ένα μικρότερο:
Ο γλύπτης Πολύκλειτος ανέπτυξε την ιδέα ενός κανόνα (κανόνα) για την απεικόνιση της αναλογικής ανθρώπινο σώμακαι ενσάρκωσε ξεκάθαρα τον κανόνα του στο άγαλμα "Dorifor" ("Spearman"), αλλιώς αποκαλούμενο απλά "Canon". Στις αναλογίες του αγάλματος, η χρυσή τομή υπάρχει σε αφθονία. Για παράδειγμα, η αναλογία των υψών των κάτω και άνω τμημάτων, στα οποία ο αφαλός χωρίζει το άγαλμα, είναι ίση με τη χρυσή τομή. με τη σειρά του, η βάση του λαιμού χωρίζεται ανώτερο τμήμαεπίσης στη χρυσή τομή? τα γόνατα χωρίζουν κάτω μέροςστη χρυσή τομή κ.λπ.
Κατά τη διάρκεια της Αναγέννησης, υπήρξε ανανεωμένο ενδιαφέρον μεταξύ επιστημόνων και καλλιτεχνών για τη χρυσή τομή. Ο Ιταλός μαθηματικός Luca Pacioli του αφιέρωσε το βιβλίο Divine Proportion. Και ο φίλος του - ο μεγάλος Λεονάρντο ντα Βίντσι - κατέχει τον όρο "χρυσή τομή" (οι αρχαίοι συνήθως τον αποκαλούσαν "η διαίρεση του τμήματος στην ακραία και μέση αναλογία"). Η «χρυσή τομή» συναντάται συχνά στα έργα των Ραφαήλ, Μικελάντζελο, Ντύρερ.
Ο Johannes Kepler, που δεν ήταν ξένος στις πυθαγόρειες ιδέες για την υποκείμενη αριθμητική αρμονία του σύμπαντος, είπε ότι η γεωμετρία έχει δύο θησαυρούς - το Πυθαγόρειο θεώρημα και τη χρυσή τομή. το πρώτο μπορεί να συγκριθεί με ένα μέτρο χρυσού, το δεύτερο με έναν πολύτιμο λίθο.
Έχει αποδειχθεί πειραματικά ότι, για παράδειγμα, από ορθογώνια με διαφορετικούς λόγους διαστάσεων ανθρώπινο μάτιπροτιμά εκείνα στα οποία αυτή η αναλογία είναι ίση με τη χρυσή τομή. Φύλλα χαρτιού, πλάκες σοκολάτας, πιστωτικές κάρτες κ.λπ. φτιάχνονται πολύ συχνά με τη μορφή ακριβώς τέτοιων ορθογωνίων.
Για να διαιρέσετε ένα δεδομένο τμήμα AB σε αναλογία με τη χρυσή τομή, πρέπει να επαναφέρετε μέσα από ένα από τα άκρα του, ας πούμε, μέσω του σημείου Β, μια κάθετη, να βάλετε ένα τμήμα πάνω του BD \u003d AB /2, να σχεδιάσετε ένα τμήμα AD, να βάλετε ένα τμήμα σε αυτό DE \u003d AB /2 και, τέλος, να σημειώσετε ένα σημείο C στο τμήμα \u E30 έτσι ώστε . Το σημείο Γ θα διαιρέσει το τμήμα ΑΒ στη χρυσή τομή.
Ας το αποδείξουμε. Με το Πυθαγόρειο θεώρημα (AE + ED) 2 = AB 2 + BD 2, ή
AE 2 + 2AE ∙ ED + ED 2 = AB 2 + BD 2, και εφόσον BD = DE = AB /2 και AE = AC, τότε
AC 2 + AC ∙ AB \u003d AB 2,
από όπου AC 2 \u003d AB (AB - AC) .
Αφού AB - AC = BC , έχουμε
AC 2 = AB ∙ BC, από όπου
Η παραπάνω κατασκευή σας επιτρέπει να βρείτε την αριθμητική τιμή της χρυσής τομής. Είναι ίσος με τον λόγο ολόκληρου του τμήματος ΑΒ προς το τμήμα
Έτσι, η χρυσή τομή εκφράζεται με τον αριθμό 
Ο αριθμός αυτός είναι περίπου ίσος με 1.618. Συχνά ονομάζεται αριθμός Φειδίας και συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα Φ:
| Φ = |
Ο αριθμός μερικές φορές ονομάζεται μικρός αριθμός Φειδίας (και Φ μετά - ένας μεγάλος αριθμόςΦειδίας) και δηλώνουν φ. Είναι περίπου ίσο με 0,618. Η χρυσή τομή εκφράζεται ως παράλογος αριθμός. Αυτό προκύπτει από τον παραλογισμό (εάν η χρυσή τομή ήταν ορθολογική, τότε ο αριθμός = 2Φ - 1 θα ήταν επίσης ορθολογικός), και ο παραλογισμός μπορεί να αποδειχθεί παρόμοια με τον παραλογισμό. Επιπλέον, ο παραλογισμός του Φ είναι πολύ απλός να φανεί χρησιμοποιώντας τη γεωμετρική απεικόνιση του αλγορίθμου του Ευκλείδη. Έστω ότι έχουμε ένα παραλληλόγραμμο a 1 × a 2 του οποίου οι πλευρές είναι στη χρυσή τομή. Αναβολή για μεγαλύτερη πλευράμικρότερο, παίρνουμε ένα τετράγωνο και το υπόλοιπο ορθογώνιο θα είναι παρόμοιο με το αρχικό ορθογώνιο: Εφαρμόζοντας την ίδια πράξη σε αυτό, παίρνουμε πάλι ένα τετράγωνο και ένα ορθογώνιο παρόμοια με το αρχικό κ.λπ.
Δεδομένου ότι αυτός ο αλγόριθμος δεν θα τελειώσει ποτέ, τα τμήματα a 1 και a 2 δεν τελειώνουν κοινό μέτρο. Ο Κέπλερ είπε ότι η χρυσή τομή αναπαράγεται συνεχώς. Συχνά βρίσκεται στην άγρια ζωή στη δομή τέτοιων οργανισμών, τα μέρη των οποίων είναι περίπου παρόμοια με το σύνολο - για παράδειγμα, σε κοχύλια, στη διάταξη των φύλλων σε βλαστούς κ.λπ.
 |
|
Ρύζι. 5. Νεροχύτης |
Τέλος, η χρυσή τομή σας επιτρέπει να φτιάξετε ένα κανονικό πεντάγωνο. (Μπορείτε να δημιουργήσετε κανονικά τρίγωνα και τετράπλευρα χωρίς υπαινιγμό, σωστά; Περιγράφοντας κύκλους γύρω τους και διαιρώντας τις πλευρές στη μέση, δεν είναι δύσκολο να κατασκευάσετε κανονικά πολύγωνα με 2 n και 3 ∙ 2 n κορυφές). Εάν επεκτείνετε τις πλευρές ενός κανονικού πενταγώνου στα σημεία τομής με τις προεκτάσεις των γειτονικών πλευρών, θα έχετε ένα όμορφο πεντάκτινο αστέρι. Αυτό είναι ένα αρχαίο μυστικιστικό σύμβολο, δημοφιλές, ειδικότερα, μεταξύ των Πυθαγορείων: ονομάζεται "πεντάγραμμα" ή "πεντάλφα", δηλαδή, κυριολεκτικά, "πέντε γράμματα" ή "πέντε άλφα" - είδαν σε αυτό έναν συνδυασμό πέντε γραμμάτων "άλφα" (Α). Το πεντάγραμμο θεωρούνταν σύμβολο υγείας - αρμονίας στον άνθρωπο - και χρησίμευε στους Πυθαγόρειους αναγνωριστικό σήμα. (Για παράδειγμα, όταν σε μια ξένη χώρα ένας από τους Πυθαγόρειους ξάπλωσε στο νεκροκρέβατό του και δεν είχε χρήματα να πληρώσει αυτόν που τον φρόντιζε μέχρι το θάνατό του, διέταξε να σχεδιάσουν ένα πεντάγραμμα στην πόρτα της κατοικίας του. Λίγα χρόνια αργότερα, ένας άλλος Πυθαγόρειος είδε αυτό το σημάδι και ο ιδιοκτήτης έλαβε μια γενναιόδωρη ανταμοιβή). Αποδεικνύεται ότι στο πεντάγραμμο, οι διάφορες γραμμές διαιρούνται μεταξύ τους σε σχέση με τη χρυσή τομή. Πράγματι, τα τρίγωνα ACD και ABE είναι παρόμοια, AB : AC = AE : AD . Αλλά AD = BC , και AE = AC , και έτσι AB : AC = AC : BC . Αποδεικνύεται ότι οποιοδήποτε από τα 10 τμήματα του εξωτερικού περιγράμματος του άστρου ανήκει στη χρυσή τομή σε οποιοδήποτε από τα 5 τμήματα που σχηματίζουν ένα μικρό εσωτερικό πεντάγωνο.
Παρεμπιπτόντως, από την ομοιότητα των ίδιων τριγώνων ACD και ABE προκύπτει ότι το τρίγωνο ACD είναι ισοσκελές και CD = AD . Αυτό σημαίνει ότι η διαγώνιος ενός κανονικού πενταγώνου αναφέρεται και στην πλευρά του στη χρυσή τομή. Και οι πέντε διαγώνιοι ενός κανονικού πενταγώνου σχηματίζουν ένα άλλο πεντάγραμμο, στο οποίο όλοι οι λόγοι επαναλαμβάνονται ξανά.
Εάν πρέπει να φτιάξετε ένα κανονικό πεντάγωνο με πλευρά a 1, τότε πρέπει να διαιρέσετε το τμήμα a 1 στη χρυσή τομή σε τμήματα a 2 και a 3 και στη συνέχεια να δημιουργήσετε ισοσκελές τρίγωνομε πλευρές a 1 , a 1 και (a 1 + a 2). Δύο τμήματα μήκους a 1 θα αποτελούν δύο πλευρές του επιθυμητού πενταγώνου και ένα τμήμα μήκους a 1 + a 2 \u003d a 1 /Φ είναι η διαγώνιος του. Κατασκευάζοντας άλλα τρίγωνα, δεν είναι δύσκολο να βρούμε τις υπόλοιπες κορυφές του πενταγώνου.
Στο Μεσαίωνα, το πεντάγραμμο χρησίμευε ως σύμβολο της Αφροδίτης: αυτός ο πλανήτης πλησιάζει τη Γη σε πέντε σημεία σχηματίζοντας ένα πεντάγωνο.
Ένα ισοσκελές τρίγωνο του οποίου οι πλευρές σχετίζονται με τη βάση στη χρυσή τομή - για παράδειγμα, ένα τρίγωνο που σχηματίζεται από δύο διαγώνιες και μια πλευρά ενός κανονικού πενταγώνου - έχει ένα άλλο ενδιαφέρουσα ιδιοκτησία: οι διχοτόμοι των γωνιών του στη βάση είναι ίσες με την ίδια τη βάση.
Ένα τέτοιο τρίγωνο βρίσκεται συχνά στη σύνθεση διαφόρων έργα τέχνης- για παράδειγμα, στη διάσημη «Μόνα Λίζα» του Λεονάρντο ντα Βίντσι.
Μια αίσθηση στον κόσμο των μαθηματικών. Ανακαλύφθηκε ένας νέος τύπος πενταγώνων, που καλύπτουν το αεροπλάνο χωρίς σπασίματα και χωρίς επικαλύψεις.
Αυτός είναι μόνο ο 15ος τύπος τέτοιων πενταγώνων και ο πρώτος που ανακαλύφθηκε τα τελευταία 30 χρόνια.
Το αεροπλάνο είναι καλυμμένο με τρίγωνα και τετράγωνα οποιουδήποτε σχήματος, αλλά με πεντάγωνα όλα είναι πολύ πιο περίπλοκα και ενδιαφέροντα. Τα κανονικά πεντάγωνα δεν μπορούν να καλύψουν ένα επίπεδο, αλλά μερικά ακανόνιστα πεντάγωνα μπορούν. Η αναζήτηση τέτοιων μορφών ήταν από τις πιο ενδιαφέρουσες εδώ και εκατό χρόνια. μαθηματικά προβλήματα. Η αναζήτηση ξεκίνησε το 1918, όταν ο μαθηματικός Carl Reinhard ανακάλυψε τα πρώτα πέντε ταιριαστά κομμάτια.
Για πολύ καιρό πίστευαν ότι ο Reinhard υπολόγιζε όλους τους πιθανούς τύπους και δεν υπάρχουν άλλα τέτοια πεντάγωνα, αλλά το 1968 ο μαθηματικός R. B. Kershner (R. B. Kershner) βρήκε άλλα τρία και ο Richard James (Richard James) το 1975 ανέβασε τον αριθμό τους σε εννέα. Την ίδια χρονιά, η 50χρονη Αμερικανίδα νοικοκυρά και λάτρης των μαθηματικών Marjorie Rice ανέπτυξε τη δική της μέθοδο σημειογραφίας και ανακάλυψε τέσσερα ακόμη πεντάγωνα μέσα σε λίγα χρόνια. Τελικά, το 1985, ο Rolf Stein ανέβασε τον αριθμό των αριθμών σε δεκατέσσερα.
Τα πεντάγωνα παραμένουν η μόνη φιγούρα σε σχέση με την οποία παραμένει η αβεβαιότητα και το μυστήριο. Το 1963, αποδείχθηκε ότι υπάρχουν μόνο τρία είδη εξαγώνων που καλύπτουν το αεροπλάνο. Ανάμεσα στα κυρτά επτά, οκτώ και ούτω καθεξής, δεν υπάρχουν τέτοια. Αλλά με τα "Πεντάγωνα" δεν είναι ακόμη ξεκάθαρο μέχρι το τέλος.
Μέχρι τώρα, μόνο 14 τύποι τέτοιων πενταγώνων ήταν γνωστοί. Φαίνονται στην εικόνα. Οι τύποι για καθένα από αυτά δίνονται στον σύνδεσμο.
Για 30 χρόνια κανείς δεν μπορούσε να βρει κάτι καινούργιο και τελικά η πολυαναμενόμενη ανακάλυψη! Κατασκευάστηκε από μια ομάδα επιστημόνων από το Πανεπιστήμιο της Ουάσιγκτον: Casey Mann, Jennifer McLoud και David Von Derau. Δείτε πώς μοιάζει ο μικρός.
«Ανοίξαμε το σχήμα με τη βοήθεια υπολογιστικής απαρίθμησης ενός μεγάλου, αλλά περιορισμένη ποσότηταεπιλογές, λέει ο Casey Mann. - Φυσικά, είμαστε πολύ ενθουσιασμένοι και λίγο έκπληκτοι που καταφέραμε να ανοίξουμε το νέο είδοςπεντάγωνο."
Η ανακάλυψη φαίνεται καθαρά αφηρημένη, αλλά στην πραγματικότητα μπορεί να βρει πρακτική χρήση. Για παράδειγμα, στην παραγωγή πλακιδίων φινιρίσματος.
Η έρευνα για νέα πεντάγωνα που θα καλύπτουν το αεροπλάνο σίγουρα θα συνεχιστεί.
Πρώτος τρόπος- σε αυτή την πλευρά S με τη βοήθεια μοιρογνωμόνιου.
Σχεδιάστε μια ευθεία γραμμή και σχεδιάστε AB = S πάνω της. παίρνουμε αυτή την ευθεία ως ακτίνα και με αυτήν την ακτίνα από τα σημεία Α και Β περιγράφουμε τόξα:Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας ένα μοιρογνωμόνιο, χτίζουμε γωνίες 108 ° σε αυτά τα σημεία, οι πλευρές των οποίων θα τέμνονται με τόξα στα σημεία C και D. από αυτά τα σημεία με ακτίνα ΑΒ = 5 περιγράφουμε τα τόξα που τέμνονται στο Ε, και συνδέουμε τα σημεία L, C, E, D, B με ευθείες γραμμές.
Το πεντάγωνο που προκύπτει- επιθυμητό.
Ο δεύτερος τρόπος.Σχεδιάστε έναν κύκλο με ακτίνα r. Από το σημείο Α σχεδιάζουμε ένα τόξο ακτίνας ΑΜ με πυξίδα μέχρι να τέμνεται στα σημεία Β και Γ με κύκλο. Συνδέουμε τα Β και Γ με μια γραμμή που θα διασχίζει τον οριζόντιο άξονα στο σημείο Ε.
Στη συνέχεια από το σημείο Ε σχεδιάζουμε ένα τόξο που θα τέμνεται οριζόντια γραμμήστο σημείο Ο. Τέλος, από το σημείο F, περιγράφουμε ένα τόξο που τέμνει τον κύκλο στα σημεία Η και Κ. Βάζοντας την απόσταση FO = FH = FK πέντε φορές κατά μήκος του κύκλου και συνδέοντας τα σημεία διαίρεσης με ευθείες, παίρνουμε ένα κανονικό πεντάγωνο.
Ο τρίτος τρόπος.Εγγράψτε ένα κανονικό πεντάγωνο σε αυτόν τον κύκλο. Σχεδιάζουμε δύο αμοιβαία κάθετες διαμέτρους ΑΒ και MC. Διαιρέστε την ακτίνα ΑΟ με το σημείο Ε στο μισό. Από το σημείο Ε, από το κέντρο, σχεδιάζουμε τόξο κύκλου ακτίνας ΕΜ και σημειώνουμε με αυτό τη διάμετρο ΑΒ στο σημείο F. Το τμήμα MF είναι ίσο με την πλευρά του απαιτούμενου κανονικού πενταγώνου. Με διάλυμα πυξίδας ίσο με MF, φτιάχνουμε σερίφ N 1, P 1, Q 1, K 1 και τις συνδέουμε με ευθείες γραμμές.
Το σχήμα δείχνει ένα εξάγωνο κατά μήκος αυτής της πλευράς.
Άμεση AB \u003d 5, ως ακτίνα, από τα σημεία Α και Β περιγράφουμε τόξα που τέμνονται στο C. από αυτό το σημείο, με την ίδια ακτίνα, περιγράφουμε έναν κύκλο στην οποία η πλευρά Α Β θα εναποτεθεί 6 φορές.
Εξάγωνο ADEFGB- επιθυμητό.
"Ανακαίνιση δωματίων κατά την ανακαίνιση",
N.P.Krasnov
Η βάση για την εφαρμογή της ζωγραφικής είναι η πλήρως τελειωμένη βαφή των επιφανειών τοίχων, οροφών και άλλων κατασκευών. η ζωγραφική γίνεται σε υψηλής ποιότητας κόλλα και λαδομπογιές, φτιαγμένες για κούρεμα ή φτερούγισμα. Ξεκινώντας να αναπτύσσει ένα σκίτσο του φινιρίσματος, ο πλοίαρχος πρέπει να φανταστεί ξεκάθαρα ολόκληρη τη σύνθεση σε ένα οικιακό περιβάλλον και να συνειδητοποιήσει σαφώς τη δημιουργική ιδέα. Μόνο αν τηρηθεί αυτή η βασική προϋπόθεση μπορεί κανείς σωστά ...
Η μέτρηση της εργασίας που εκτελείται, εκτός από ειδικές περιπτώσεις, γίνεται σύμφωνα με την επιφάνεια της πραγματικά επεξεργασμένης επιφάνειας, λαμβάνοντας υπόψη την τοπογραφία της και μείον τις μη επεξεργασμένες περιοχές. Για να προσδιορίσετε τις πραγματικά επεξεργασμένες επιφάνειες κατά τη διάρκεια των εργασιών βαφής, θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε τους συντελεστές μετατροπής που δίνονται στους πίνακες. A. Ξύλινες συσκευές παραθύρων (μετρούμενες από την περιοχή των ανοιγμάτων κατά μήκος του εξωτερικού περιγράμματος των κουτιών) Όνομα συσκευής Συντελεστής για ...
Έχουμε ήδη πει ότι για να εκτελέσετε ορισμένους τύπους ζωγραφικής, πρέπει να είστε σε θέση να σχεδιάζετε. Και η ικανότητα σχεδίασης, με τη σειρά της, απαιτεί γνώση των κανόνων για την κατασκευή γεωμετρικών σχημάτων. Τα σκίτσα σε χαρτί σχεδιάζονται με τη βοήθεια τριγώνων, σειράς T, μεταφοράς πα και πυξίδας και στο επίπεδο των τοίχων και των οροφών, οι κατασκευές πραγματοποιούνται με βάρη, χάρακα, ξύλινη πυξίδα και κορδόνι. Παράλληλα, χρειάζεστε…