Το βίντεο μάθημα "Θεώρημα για τη σχέση μεταξύ των πλευρών και των γωνιών ενός τριγώνου" παρουσιάζει αυτό το θεώρημα, καθώς και τις συνέπειες του. Η γνώση του θεωρήματος και των συνεπειών του είναι απαραίτητη για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων στη γεωμετρία, στα οποία χρησιμοποιούνται διάφοροι λόγοι των πλευρών και των γωνιών του για την εύρεση των παραμέτρων ενός τριγώνου. Το καθήκον του μαθήματος βίντεο είναι να διευκολύνει την κατανόηση του υλικού, να διευκολύνει την απομνημόνευση του θεωρήματος και των συνεπειών του.
Το εκπαιδευτικό βίντεο χρησιμοποιεί εφέ κινούμενων σχεδίων για να τονίσει σημαντικές λεπτομέρειες γεωμετρικά σχήματακατά την εκμάθηση του υλικού. Η επισήμανση χρησιμοποιείται επίσης για την επισήμανση της δήλωσης του θεωρήματος και των συνεπειών του. Η επεξήγηση της φωνητικής συνοδείας αντικαθιστά πλήρως τον δάσκαλο στην τυπική παρουσίαση νέου υλικού στους μαθητές.
Στην αρχή του μαθήματος βίντεο, μετά την παρουσίαση του θέματος, εμφανίζεται στην οθόνη το κείμενο του θεωρήματος, το οποίο δηλώνει ότι υπάρχει μεγαλύτερη γωνία απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά σε ένα αυθαίρετο τρίγωνο και η μεγαλύτερη είναι πάντα απέναντι. όσο μεγαλύτερη γωνία. Αυτή η δήλωση αποδεικνύεται στο τρίγωνο ΔABC, το οποίο εμφανίζεται στο σχήμα κάτω από το κείμενο του θεωρήματος. Η απόδειξη του θεωρήματος εξηγείται προφορικά από τον εκφωνητή.
Για να αποδειχθεί η δήλωση, υποτίθεται ότι λαμβάνονται υπόψη οι πλευρές AB, AC και οι γωνίες που βρίσκονται απέναντι τους - ∠C και ∠B. Υποτίθεται ότι για τις πλευρές AB>AC, οι απέναντι γωνίες θα είναι ∠C>∠B. Στην πλευρά ΑΒ, εναποτίθεται το τμήμα AD, ίσο σε μέγεθος με το τμήμα AC. Εφόσον η πλευρά AC είναι μικρότερη από την πλευρά AB, τότε το άκρο του τμήματος σημείου D βρίσκεται μεταξύ των κορυφών του τριγώνου Α και Β. Από αυτό προκύπτει ότι η γωνία ∠1 που σχηματίζεται κατά την κατασκευή είναι μικρότερη από τη γωνία ∠C, και η γωνία ∠2, που είναι εξωτερική της γωνίας ∠BDC, ισούται με το άθροισμα των γωνιών ∠DBC και ∠DCB. Αυτό σημαίνει ότι το ∠2 είναι μεγαλύτερο από τη γωνία ∠DBC=∠B. Αντίστοιχα, η γωνία ∠C είναι μεγαλύτερη από τη γωνία ∠B.
Η απόδειξη του αντίθετου ισχυρισμού ανάγεται στην εξέταση του λόγου των πλευρών AB, AC εάν η γωνία ∠C είναι μεγαλύτερη από τη γωνία ∠B. Εκτελείται απόδειξη με αντίφαση. Για αυτό, υποτίθεται ότι για ∠C>∠B η πλευρά AB είναι ίση ή μικρότερη από την πλευρά AC. Λαμβάνοντας όμως υπόψη την ισότητα των πλευρών AB=AC, γνωρίζοντας τις ιδιότητες ενός ισοσκελούς τριγώνου, μπορούμε να υποστηρίξουμε ότι στην περίπτωση αυτή οι γωνίες ∠C=∠B θα είναι επίσης ίσες. Αν ΑΒ
Περαιτέρω στο μάθημα βίντεο, εξετάζονται οι συνέπειες αυτού του θεωρήματος. Υποστηρίζεται ότι, με βάση αυτό το θεώρημα, η υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι πάντα μεγαλύτερη από το σκέλος. Πράγματι, δεδομένου ότι η υποτείνουσα βρίσκεται απέναντι από τη σωστή γωνία, τα πόδια βρίσκονται απέναντι από τις οξείες γωνίες. Δεδομένου ότι οι οξείες γωνίες είναι πάντα μικρότερες από μια ορθή γωνία, τα απέναντι σκέλη είναι πάντα μικρότερα από την υποτείνουσα.
Η δεύτερη συνέπεια του θεωρήματος είναι το πρόσημο ενός ισοσκελούς τριγώνου. Αυτό το συμπέρασμα αναφέρει ότι η ισότητα δύο γωνιών ενός τριγώνου σημαίνει ότι είναι ισοσκελές. Χρησιμοποιώντας το τρίγωνο ΔABC ως παράδειγμα, εξετάζονται δύο γωνίες ∠C και ∠B και οι απέναντι πλευρές AB και AC. Θεωρείται ότι η ισότητα των γωνιών ∠C=∠B αντιστοιχεί στην ισότητα των πλευρών AB=AC. Πράγματι, αν οι πλευρές δεν ήταν ίσες, τότε, σύμφωνα με το θεώρημα, μια μεγαλύτερη γωνία θα βρισκόταν απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά και μια μικρότερη γωνία θα βρισκόταν απέναντι από τη μικρότερη πλευρά. Έτσι, η υπόθεση για την ανισότητα των πλευρών είναι λανθασμένη. Αυτό το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Η συνέπεια είναι αποδεδειγμένη.
ΤΡΙΓΩΝΙΑ.
§ 30. ΣΧΕΣΕΙΣ ΠΛΕΥΡΩΝ ΚΑΙ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ.
Θεώρημα 1. Η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου είναι απέναντι από τη μεγαλύτερη γωνία. .
Αφήνω μέσα /\ Η πλευρά ABC Η πλευρά AB είναι μεγαλύτερη από την πλευρά BC. Ας αποδείξουμε ότι η γωνία C που βρίσκεται απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά AB είναι μεγαλύτερη από τη γωνία A που βρίσκεται απέναντι από τη μικρότερη πλευρά BC (Εικ. 164).
Αφαιρέστε την πλευρά AB από το σημείο Β τμήμα BD, ίσο με την πλευρά BC, και συνδέστε τα σημεία D και C με ένα τμήμα.
Το τρίγωνο DBC είναι ισοσκελές. Η γωνία BDC είναι ίση με τη γωνία BCD επειδή βρίσκονται απέναντι από ίσες πλευρές σε ένα τρίγωνο.
Η γωνία BDC είναι η εξωτερική γωνία του τριγώνου ADC, επομένως είναι μεγαλύτερη από τη γωνία Α.
Επειδή / BCD = / BDC, τότε η γωνία BCD είναι μεγαλύτερη από τη γωνία Α: / BCD > / Α. Αλλά η γωνία BCD είναι μόνο ένα μέρος της ολόκληρης γωνίας C, επομένως η γωνία C θα είναι πολύ μεγαλύτερη από τη γωνία Α.
Να αποδείξετε ανεξάρτητα το ίδιο θεώρημα σύμφωνα με το σχέδιο 165, όταν BD = AB.
Στην § 18 αποδείξαμε ότι σε ένα ισοσκελές τρίγωνο οι γωνίες στη βάση είναι ίσες, δηλαδή σε τρίγωνο απέναντι από ίσες πλευρές υπάρχουν ίσες γωνίες. Ας αποδείξουμε τώρα τα αντίστροφα θεωρήματα.
Θεώρημα 2. Οι ίσες πλευρές ενός τριγώνου είναι απέναντι ίσες γωνίες.
Αφήνω μέσα /\ αλφάβητο / Α= / Γ (Εικ. 166). Ας αποδείξουμε ότι AB = BC, δηλαδή το τρίγωνο ABC είναι ισοσκελές.
Μεταξύ των πλευρών AB και BC μπορεί να υπάρχει μόνο μία από τις ακόλουθες τρεις σχέσεις:
1) AB > BC;
2) ΑΒ< ВС;
3) ΑΒ = Π.Χ.
Εάν η πλευρά AB ήταν μεγαλύτερη από BC, τότε η γωνία C θα ήταν μεγαλύτερη από τη γωνία A, αλλά αυτό έρχεται σε αντίθεση με την προϋπόθεση του θεωρήματος, επομένως, το AB δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερο από το BC.
Ομοίως, το ΑΒ δεν μπορεί να είναι μικρότερο από BC, αφού σε αυτή την περίπτωση η γωνία C θα ήταν μικρότερη από τη γωνία Α.
Επομένως, μόνο η τρίτη περίπτωση είναι δυνατή, δηλ.
Έτσι, αποδείξαμε: οι απέναντι ίσες γωνίες σε ένα τρίγωνο βρίσκονται ίσες πλευρές.
Θεώρημα 3. Η μεγαλύτερη πλευρά ενός τριγώνου είναι απέναντι από τη μεγαλύτερη γωνία.
Αφήστε το τρίγωνο ABC (Εικ. 167) / γ> / σι
Ας αποδείξουμε ότι AB > AC.
Μπορεί επίσης να είναι μία από τις τρεις ακόλουθες σχέσεις:
1) AB = AC;
2) ΑΒ< АС;
3) AB > AC.
Αν η πλευρά ΑΒ ήταν ίση με την πλευρά AC, τότε / Το C θα ήταν ίσο / Ερ. Αλλά αυτό έρχεται σε αντίθεση με την προϋπόθεση του θεωρήματος. Άρα το AB δεν μπορεί να είναι ίσο με το AC.
Ομοίως, το ΑΒ δεν μπορεί να είναι μικρότερο από το AC, αφού σε αυτή την περίπτωση η γωνία C θα ήταν μικρότερη από τη γωνία Β, κάτι που επίσης έρχεται σε αντίθεση με αυτήν την προϋπόθεση.
Επομένως, μόνο μία περίπτωση είναι δυνατή, και συγκεκριμένα:
Έχουμε αποδείξει ότι η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου βρίσκεται απέναντι από τη μεγαλύτερη γωνία.
Συνέπεια. Σε ορθογώνιο τρίγωνο. η υποτείνουσα είναι μεγαλύτερη από οποιοδήποτε από τα πόδια του.
Στόχοι μαθήματος:
Εκπαιδευτικός:
- Βελτιώστε τις δεξιότητες επίλυσης προβλημάτων στο θέμα «Θεώρημα για τη σχέση μεταξύ των πλευρών και των γωνιών ενός τριγώνου».
- Συνοψίστε και συστηματοποιήστε το θεωρητικό υλικό:
- τύποι τριγώνων.
είναι το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου.
- τη σχέση μεταξύ των πλευρών και των γωνιών του τριγώνου.
- σημάδι ισοσκελούς τριγώνου.
Ανάπτυξη:
- Αναπτύξτε τις προφορικές δεξιότητες μέτρησης.
- Αναπτύξτε τη λογική σκέψη των μαθητών.
- Αναπτύξτε την ικανότητα να εκφράζετε τις σκέψεις σας καθαρά και συνοπτικά.
- Να αναπτύξει τη μαθηματική ομιλία των μαθητών στη διαδικασία εκτέλεσης προφορικής εργασίας για την αναπαραγωγή θεωρητικού υλικού.
Εκπαιδευτικός:
- Να αναπτύξει την ικανότητα εργασίας με τις διαθέσιμες πληροφορίες.
- Να καλλιεργήσουμε το σεβασμό για το αντικείμενο, την ικανότητα να βλέπουμε μαθηματικά προβλήματα στον κόσμο γύρω μας.
- Να καλλιεργήσετε την ικανότητα να ακούτε τον σύντροφό σας, την αίσθηση της αλληλοβοήθειας και της αλληλοϋποστήριξης.
Είδος μαθήματος: μάθημα γενίκευσης και συστηματοποίησης της γνώσης με χρήση τεχνολογίας υπολογιστών.
Εξοπλισμός και οπτικοποίηση: Υπολογιστής, προβολέας, παρουσίαση για το μάθημα, χρωματιστά κραγιόνια .
Σχέδιο σανίδας: στο κλειστό μέρος του πίνακα έγινε σχέδιο για το Νο 246.
Δομή μαθήματος.
| Είδος δραστηριότητας. | Αριθμός διαφανειών. | ελάχ. |
| 1. Οργανωτική στιγμή. | 1 | |
| 2. Επικοινωνία του θέματος και των στόχων του μαθήματος. | 2 | |
| 3. Πραγματοποίηση βασικών γνώσεων. | 6 | |
| 4. Πρακτική εργασία. | 2–4 | 8 |
| 5. Φυσική αγωγή. | 2 | |
| 6. Ενοποίηση της μελέτης ύλης: Νο 241, 239, 246 - σε τετράδιο. γραπτώς. | 23 | |
| 7. Συνοψίζοντας το μάθημα. Βαθμολόγηση. | 2 | |
| 8. Εργασία για το σπίτι: επαναλάβετε το στοιχείο 30 - στοιχείο 32 του σχολικού βιβλίου, Νο 337, 338. | 1 |
Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων
Ι. Οργανωτική στιγμή.
II. Παρουσίαση του θέματος και των στόχων του μαθήματος.
Έλεγχος της ετοιμότητας των μαθητών για το μάθημα. Κοινοποίηση στόχων και σχεδίων μαθήματος στους μαθητές.
Σκοπός του σημερινού μαθήματος είναι η γενίκευση και η συστηματοποίηση του θεωρητικού υλικού, η βελτίωση των δεξιοτήτων επίλυσης προβλημάτων στο θέμα "Θεώρημα για τη σχέση μεταξύ των πλευρών και των γωνιών ενός τριγώνου".
Σήμερα, η κύρια φιγούρα στο μάθημά μας θα είναι το Τρίγωνο.
III. Επικαιροποίηση βασικών γνώσεων.
Μπροστινή εργασία.
- Τι είναι ένα τρίγωνο;
- Τι είναι τα τρίγωνα;
- Ποιο τρίγωνο ονομάζεται οξύ τρίγωνο;
- Ποιο τρίγωνο ονομάζεται ορθογώνιο; Πώς ονομάζονται οι πλευρές του;
- Ποιο τρίγωνο ονομάζεται αμβλύ τρίγωνο;
- Να διατυπώσετε το θεώρημα για το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου.
- Ποια είναι η εξωτερική γωνία ενός τριγώνου; Ποια είναι η εξωτερική γωνία του τριγώνου;
- Ποιο τρίγωνο ονομάζεται ισοσκελές τρίγωνο; Καταγράψτε τις ιδιότητές του.
- Ορίστε ένα ισοσκελές τρίγωνο.
- Να διατυπώσετε ένα θεώρημα για τη σχέση μεταξύ των πλευρών και των γωνιών ενός τριγώνου.
- Ποιες είναι οι συνέπειες του θεωρήματος στις σχέσεις μεταξύ των πλευρών και των γωνιών ενός τριγώνου;
IV. Πρακτική δουλειά. Προφορική εργασία σε τελειωμένα σχέδια . <Презентация>.
Βρείτε τη μικρότερη γωνία στο τρίγωνο ABC.
Η μικρότερη πλευρά AC σημαίνει τη μικρότερη γωνία Β.
Στο τρίγωνο NRQ βρίσκουμε τη μικρότερη πλευρά.
1) Μικρότερη γωνία Q, επειδή 180 0 - (74 0 + 64 0) = 42 0
2) Μικρότερη πλευρά NR.
V. Φυσική αγωγή.
VI. Ενοποίηση εκπαιδευτικού υλικού
Λύση του προβλήματος Νο 241.
Οι μαθητές γράφουν στα τετράδια τους τον αριθμό, το θέμα του μαθήματος. Ο δάσκαλος καλεί τον μαθητή στον πίνακα για να λύσει το πρόβλημα Νο 241.
Λύση: Το ΔABC είναι ισοσκελές, άρα<В = <С. MN||BC, откуда Το κατάλαβα Ο δάσκαλος καλεί τον μαθητή στον πίνακα για να λύσει το πρόβλημα Νο 239. Λύση: 1. Θεωρήστε το ∆BMH - ορθογώνιο, γιατί BH είναι το ύψος. Από το συμπέρασμα 1 BM>BH. 2. BM=BH αν το ∆ABC είναι ισοσκελές (AB = BC) ή ισόπλευρο. Ο δάσκαλος καλεί τον μαθητή στον πίνακα για να λύσει το πρόβλημα Νο 246 (το σχέδιο σχεδιάζεται στον πίνακα). Λύση: Αφού το VO είναι διχοτόμος, τότε ΟΕ||ΑΒ, επομένως, OD||AC, επομένως, P∆EDO = OE + ED + DO, αλλά OE = BE, OD = DC, τότε P∆EDO = BE + ED + DC = BC. VII. Συνοψίζοντας το μάθημα. Βαθμολόγηση. VIII. Εργασία για το σπίτι: επανάληψη 30 - στοιχείο 32 σχολικού βιβλίου, Νο 337, 338. Βιβλιογραφία.
