Πολύγωνο- ένα γεωμετρικό σχήμα σε ένα επίπεδο, που οριοθετείται από μια κλειστή διακεκομμένη γραμμή. μια γραμμή που προκύπτει αν πάρετε n οποιαδήποτε σημεία А 1 , А 2 , ..., А n και συνδέσετε το καθένα με το επόμενο και το τελευταίο με το πρώτο, με ευθύγραμμα τμήματα.
Τα πολύγωνα είναι δύο τύπων: κυρτό και μη κυρτό. Θα ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στα κυρτά πολύγωνα. Κάλεσε το πολύγωνο κυρτόςεάν καμία πλευρά του πολυγώνου, που εκτείνεται απεριόριστα, δεν κόβει το πολύγωνο σε δύο μέρη. Τα κυρτά πολύγωνα είναι κανονικά και ακανόνιστα, αλλά θα εξετάσουμε τα σωστά. Κυρτό πολύγωνοπου ονομάζεται σωστάαν όλες οι πλευρές είναι ίσες και όλες οι γωνίες ίσες. Το κέντρο ενός κανονικού πολυγώνου είναι ένα σημείο σε ίση απόσταση από όλες τις κορυφές και όλες τις πλευρές του.
Η κεντρική γωνία ενός κανονικού πολυγώνου είναι η γωνία στην οποία είναι ορατή η πλευρά από το κέντρο του. Ιδιότητες κανονικού πολυγώνου:
1) Ένα κανονικό πολύγωνο εγγράφεται σε κύκλο και περιγράφεται γύρω από έναν κύκλο, ενώ τα κέντρα αυτών των κύκλων συμπίπτουν.
2) Το κέντρο ενός κανονικού πολυγώνου συμπίπτει με τα κέντρα των εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων κύκλων.
3) Η δεξιά πλευρά nΤο -gon σχετίζεται με την ακτίνα Rτύπος περιγεγραμμένου κύκλου.
4) Περίμετροι του σωστού n-Τα γόνια συσχετίζονται ως ακτίνες περιγεγραμμένων κύκλων.
5) Οι διαγώνιοι ενός κανονικού ν-γώνου χωρίζουν τις γωνίες του σε ίσα μέρη.
κανονικό πεντάγωνο
Ας σταθούμε λεπτομερέστερα στο κανονικό πεντάγωνο - το πεντάγωνο.
Βασικές αναλογίες: η γωνία στην κορυφή του πενταγώνου είναι 108°, η εξωτερική γωνία είναι 72°. Η πλευρά ενός πενταγώνου εκφράζεται ως προς τις ακτίνες των εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων κύκλων:
Ας φτιάξουμε ένα κανονικό πεντάγωνο. Αυτό είναι εύκολο να γίνει με τον περιγεγραμμένο κύκλο. Από το κέντρο του, είναι απαραίτητο να παραμεριστούν διαδοχικά γωνίες με μια κορυφή στο κέντρο του κύκλου, ίση με 72 °. Οι πλευρές των γωνιών τέμνουν τον κύκλο σε πέντε σημεία, συνδέοντάς τις σε σειρά, παίρνουμε ένα κανονικό πεντάγωνο. Και τώρα ας σχεδιάσουμε όλες τις διαγώνιους σε αυτό το πεντάγωνο. Σχηματίζουν ένα κανονικό αστεροειδή πεντάγωνο, δηλ. διάσημο πεντάγραμμο. Είναι ενδιαφέρον ότι οι πλευρές των πενταγράμμων, που τέμνονται, σχηματίζουν και πάλι ένα κανονικό πεντάγωνο, στο οποίο η τομή των διαγωνίων μας δίνει ένα νέο πεντάγραμμο, και ούτω καθεξής ad infinitum (βλ. Εικ. 6).
Το πεντάγραμμο είναι ένα κανονικό μη κυρτό πεντάγωνο, είναι επίσης ένα κανονικό πεντάγωνο αστέρι, ή ένα κανονικό πενταγωνικό αστέρι. Πολλά λουλούδια, αστερίες και σκαντζόχοιροι, ιοί κ.λπ. έχουν σχήμα πεντάκτινου αστεριού. Η πρώτη αναφορά του πενταγράμμου αναφέρεται σε Αρχαία Ελλάδα. Μετάφραση από τα ελληνικά, το πεντάγραμμο σημαίνει κυριολεκτικά πέντε γραμμές. Το πεντάγραμμο ήταν το σήμα κατατεθέν της σχολής του Πυθαγόρα (580-500 π.Χ.). Πίστευαν ότι αυτό το όμορφο πολύγωνο είχε πολλές μυστικιστικές ιδιότητες. Η ευλαβική στάση απέναντι στο πεντάγραμμο ήταν επίσης χαρακτηριστική των μεσαιωνικών μυστικιστών, που δανείστηκαν πολλά από τους Πυθαγόρειους. Στο Μεσαίωνα, πίστευαν ότι το πεντάγραμμο χρησίμευε ως σημάδι ασφαλείας από τον Σατανά.
Το πεντάγωνο αντιπροσωπεύει γεωμετρικό σχήμα, που έχει πέντε γωνίες. Ταυτόχρονα, από άποψη γεωμετρίας, η κατηγορία των πενταγώνων περιλαμβάνει όλα τα πολύγωνα που έχουν αυτό το χαρακτηριστικό, ανεξάρτητα από τη θέση των πλευρών του.
Το άθροισμα των γωνιών ενός πενταγώνου
Ένα πεντάγωνο είναι στην πραγματικότητα ένα πολύγωνο, επομένως για να υπολογίσετε το άθροισμα των γωνιών του, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο που υιοθετήθηκε για τον υπολογισμό του υποδεικνυόμενου αθροίσματος για ένα πολύγωνο με οποιονδήποτε αριθμό γωνιών. Το καθορισμένο θεωρεί το άθροισμα των γωνιών του πολυγώνου ως την ακόλουθη ισότητα: το άθροισμα των γωνιών = (n - 2) * 180°, όπου n είναι ο αριθμός των γωνιών στο επιθυμητό πολύγωνο.Έτσι, στην περίπτωση που μιλαμεακριβώς , η τιμή του n σε αυτόν τον τύπο θα είναι ίση με 5. Έτσι, αντικαθιστώντας τη δεδομένη τιμή του n στον τύπο, αποδεικνύεται ότι το άθροισμα των γωνιών του πενταγώνου θα είναι 540 °. Ωστόσο, θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι η εφαρμογή αυτής της φόρμουλας σε σχέση με ένα συγκεκριμένο πεντάγωνο συνδέεται με μια σειρά περιορισμών.
Τύποι πενταγώνων
Το γεγονός είναι ότι ο υποδεικνυόμενος τύπος, που έχει, όπως και για άλλους τύπους αυτών των γεωμετρικών σχημάτων, μπορεί να εφαρμοστεί μόνο εάν μιλάμε για το λεγόμενο κυρτό πολύγωνο. Αυτό, με τη σειρά του, είναι ένα γεωμετρικό σχήμα που ικανοποιεί την ακόλουθη συνθήκη: όλα τα σημεία του βρίσκονται στην ίδια πλευρά μιας ευθείας γραμμής που διέρχεται μεταξύ δύο γειτονικών κορυφών.Έτσι, υπάρχει μια ολόκληρη κατηγορία πενταγώνων, το άθροισμα των γωνιών στις οποίες θα διαφέρει από την καθορισμένη τιμή. Έτσι, για παράδειγμα, μια από τις παραλλαγές ενός μη κυρτού πενταγώνου είναι ένα γεωμετρικό σχήμα σε σχήμα αστεριού. Ένα αστρικό πεντάγωνο μπορεί επίσης να ληφθεί χρησιμοποιώντας ολόκληρο το σύνολο των διαγωνίων ενός κανονικού πενταγώνου, δηλαδή ενός πενταγώνου: στην περίπτωση αυτή, το γεωμετρικό σχήμα που προκύπτει θα ονομάζεται πεντάγραμμο, το οποίο έχει ίσες γωνίες. Στην περίπτωση αυτή, το άθροισμα των υποδεικνυόμενων γωνιών θα είναι 180°.
Προστασία της ιδιωτικής ζωής σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε την πολιτική απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.
Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών
Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση ή επικοινωνία με ένα συγκεκριμένο άτομο.
Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.
Τα παρακάτω είναι μερικά παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.
Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:
- Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνσή σας ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗκαι τα λοιπά.
Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:
- Συλλέγεται από εμάς προσωπικές πληροφορίεςμας επιτρέπει να επικοινωνήσουμε μαζί σας και να σας ενημερώσουμε για μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
- Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να σας στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και μηνύματα.
- Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως έλεγχος, ανάλυση δεδομένων και διάφορες μελέτεςνα βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
- Εάν συμμετάσχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοιο κίνητρο, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.
Αποκάλυψη σε τρίτους
Δεν αποκαλύπτουμε πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.
Εξαιρέσεις:
- Εάν είναι απαραίτητο - σύμφωνα με το νόμο, τη δικαστική τάξη, σε δικαστικές διαδικασίες και/ή βάσει δημοσίων αιτημάτων ή αιτημάτων από κυβερνητικές υπηρεσίεςστο έδαφος της Ρωσικής Ομοσπονδίας - αποκαλύψτε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι αυτή η αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους σκοπούς δημοσίου συμφέροντος.
- Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τα προσωπικά στοιχεία που συλλέγουμε στον αντίστοιχο τρίτο διάδοχο.
Προστασία προσωπικών πληροφοριών
Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.
Διατήρηση του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο
Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε πρακτικές απορρήτου και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.
Έχουμε ήδη γράψει ότι οι Πυθαγόρειοι θεωρούσαν τον κόσμο διευθετημένο σύμφωνα με τους νόμους της αριθμητικής αρμονίας. Βρήκαν ότι η αντίληψη της αρμονίας στη μουσική συνδέεται με κάποια σχέση μεταξύ των αριθμών (βλ. Αρμονία του Πυθαγόρα). αλλά η οπτική αρμονία, αποδεικνύεται, συνδέεται επίσης με ορισμένες αναλογίες διαφορετικών τμημάτων. Από αυτή την άποψη, το πιο διάσημο Χρυσή αναλογία- ένας τέτοιος τρόπος διαίρεσης ενός τμήματος σε δύο άνισα μέρη, στα οποία ολόκληρο το τμήμα σχετίζεται με το μεγαλύτερο μέρος, ως μεγαλύτερο προς ένα μικρότερο:
Ο γλύπτης Πολύκλειτος ανέπτυξε την ιδέα ενός κανόνα (κανόνα) για την απεικόνιση της αναλογικής ανθρώπινο σώμακαι ενσάρκωσε ξεκάθαρα τον κανόνα του στο άγαλμα "Dorifor" ("Spearman"), αλλιώς αποκαλούμενο απλά "Canon". Στις αναλογίες του αγάλματος, η χρυσή τομή υπάρχει σε αφθονία. Για παράδειγμα, η αναλογία των υψών των κάτω και άνω τμημάτων, στα οποία ο αφαλός χωρίζει το άγαλμα, είναι ίση με τη χρυσή τομή. με τη σειρά του, η βάση του λαιμού χωρίζεται ανώτερο τμήμαεπίσης στη χρυσή τομή? τα γόνατα χωρίζουν κάτω μέροςστη χρυσή τομή κ.λπ.
Κατά τη διάρκεια της Αναγέννησης, υπήρξε ανανεωμένο ενδιαφέρον μεταξύ επιστημόνων και καλλιτεχνών για τη χρυσή τομή. Ο Ιταλός μαθηματικός Luca Pacioli του αφιέρωσε το βιβλίο Divine Proportion. Και ο φίλος του - ο μεγάλος Λεονάρντο ντα Βίντσι - κατέχει τον όρο "χρυσή τομή" (οι αρχαίοι συνήθως τον αποκαλούσαν "η διαίρεση του τμήματος στην ακραία και μέση αναλογία"). Η «χρυσή τομή» συναντάται συχνά στα έργα των Ραφαήλ, Μικελάντζελο, Ντύρερ.
Ο Johannes Kepler, που δεν ήταν ξένος στις πυθαγόρειες ιδέες για την υποκείμενη αριθμητική αρμονία του σύμπαντος, είπε ότι η γεωμετρία έχει δύο θησαυρούς - το Πυθαγόρειο θεώρημα και τη χρυσή τομή. το πρώτο μπορεί να συγκριθεί με ένα μέτρο χρυσού, το δεύτερο με έναν πολύτιμο λίθο.
Έχει αποδειχθεί πειραματικά ότι, για παράδειγμα, από ορθογώνια με διαφορετικούς λόγους διαστάσεων ανθρώπινο μάτιπροτιμά εκείνα στα οποία αυτή η αναλογία είναι ίση με τη χρυσή τομή. Φύλλα χαρτιού, πλάκες σοκολάτας, πιστωτικές κάρτες κ.λπ. φτιάχνονται πολύ συχνά με τη μορφή ακριβώς τέτοιων ορθογωνίων.
Για να διαιρέσετε ένα δεδομένο τμήμα AB σε αναλογία με τη χρυσή τομή, πρέπει να επαναφέρετε μέσω ενός από τα άκρα του, ας πούμε, μέσω του σημείου Β, μια κάθετη, να βάλετε ένα τμήμα πάνω του BD \u003d AB /2, να σχεδιάσετε ένα τμήμα AD, να βάλετε ένα τμήμα σε αυτό DE \u003d AB /2 και, τέλος, σημειώστε ένα σημείο C στο τμήμα AB έτσι ώστε AC = AE . Το σημείο Γ θα διαιρέσει το τμήμα ΑΒ στη χρυσή τομή.
Ας το αποδείξουμε. Με το Πυθαγόρειο θεώρημα (AE + ED) 2 = AB 2 + BD 2, ή
AE 2 + 2AE ∙ ED + ED 2 = AB 2 + BD 2, και εφόσον BD = DE = AB /2 και AE = AC, τότε
AC 2 + AC ∙ AB \u003d AB 2,
από όπου AC 2 \u003d AB (AB - AC) .
Αφού AB - AC = BC , έχουμε
AC 2 = AB ∙ BC, από όπου
Η παραπάνω κατασκευή σας επιτρέπει να βρείτε την αριθμητική τιμή της χρυσής τομής. Είναι ίσος με τον λόγο ολόκληρου του τμήματος ΑΒ προς το τμήμα
Έτσι, η χρυσή τομή εκφράζεται με τον αριθμό 
Ο αριθμός αυτός είναι περίπου ίσος με 1.618. Συχνά ονομάζεται αριθμός Φειδίας και συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα Φ:
| Φ = |
Ο αριθμός μερικές φορές ονομάζεται μικρός αριθμός Φειδίας (και Φ μετά - ένας μεγάλος αριθμόςΦειδίας) και δηλώνουν φ. Είναι περίπου ίσο με 0,618. Η χρυσή τομή εκφράζεται ως παράλογος αριθμός. Αυτό προκύπτει από τον παραλογισμό (εάν η χρυσή αναλογία ήταν ορθολογική, τότε ο αριθμός = 2Φ - 1 θα ήταν επίσης ορθολογικός), και ο παραλογισμός μπορεί να αποδειχθεί παρόμοια με τον παραλογισμό. Επιπλέον, ο παραλογισμός του Φ είναι πολύ απλός να φανεί χρησιμοποιώντας τη γεωμετρική απεικόνιση του αλγορίθμου του Ευκλείδη. Έστω ότι έχουμε ένα παραλληλόγραμμο a 1 × a 2 του οποίου οι πλευρές είναι στη χρυσή τομή. Αναβολή για μεγαλύτερη πλευράμικρότερο, παίρνουμε ένα τετράγωνο και το υπόλοιπο ορθογώνιο θα είναι παρόμοιο με το αρχικό ορθογώνιο: Εφαρμόζοντας την ίδια λειτουργία σε αυτό, παίρνουμε πάλι ένα τετράγωνο και ένα παραλληλόγραμμο παρόμοια με το αρχικό κ.λπ. (Είναι ενδιαφέρον, το πρώτο, το τρίτο, το πέμπτο , κ.λπ. τα ορθογώνια έχουν κοινή διαγώνιο, όπως και η δεύτερη, η τέταρτη, η έκτη κ.λπ., αυτές οι δύο διαγώνιοι τέμνονται σε ορθή γωνία σε σημείο που ανήκει σε όλα τα ορθογώνια).
Δεδομένου ότι αυτός ο αλγόριθμος δεν θα τελειώσει ποτέ, τα τμήματα a 1 και a 2 δεν τελειώνουν κοινό μέτρο. Ο Κέπλερ είπε ότι η χρυσή τομή αναπαράγεται συνεχώς. Συχνά βρίσκεται στην άγρια ζωή στη δομή τέτοιων οργανισμών, τα μέρη των οποίων είναι περίπου παρόμοια με το σύνολο - για παράδειγμα, σε κοχύλια, στη διάταξη των φύλλων σε βλαστούς κ.λπ.
 |
|
Ρύζι. 5. Νεροχύτης |
Τέλος, η χρυσή τομή σας επιτρέπει να φτιάξετε ένα κανονικό πεντάγωνο. (Μπορείτε να δημιουργήσετε κανονικά τρίγωνα και τετράπλευρα χωρίς υπαινιγμό, σωστά; Περιγράφοντας κύκλους γύρω τους και διαιρώντας τις πλευρές στη μέση, δεν είναι δύσκολο να κατασκευάσετε κανονικά πολύγωνα με 2 n και 3 ∙ 2 n κορυφές). Εάν επεκτείνετε τις πλευρές ενός κανονικού πενταγώνου στα σημεία τομής με τις προεκτάσεις των γειτονικών πλευρών, θα έχετε ένα όμορφο πεντάκτινο αστέρι. Αυτό είναι ένα αρχαίο μυστικιστικό σύμβολο, δημοφιλές, ειδικότερα, μεταξύ των Πυθαγορείων: ονομάζεται "πεντάγραμμο" ή "πεντάλφα", δηλαδή, κυριολεκτικά, "πέντε γράμματα" ή "πέντε άλφα" - είδαν σε αυτό έναν συνδυασμό πέντε γράμματα "άλφα" (Α) . Το πεντάγραμμο θεωρούνταν σύμβολο υγείας - αρμονίας στον άνθρωπο - και χρησίμευε στους Πυθαγόρειους αναγνωριστικό σήμα. (Για παράδειγμα, όταν σε μια ξένη χώρα ένας από τους Πυθαγόρειους ξάπλωσε στο κρεββάτι του θανάτου του και δεν είχε χρήματα να πληρώσει αυτόν που τον φρόντιζε μέχρι το θάνατό του, διέταξε να σχεδιάσουν ένα πεντάγραμμο στην πόρτα της κατοικίας του. Λίγα χρόνια αργότερα, ένας άλλος Πυθαγόρειος είδε αυτό το σημάδι και ο ιδιοκτήτης έλαβε γενναιόδωρη ανταμοιβή). Αποδεικνύεται ότι στο πεντάγραμμο, οι διάφορες γραμμές διαιρούνται μεταξύ τους σε σχέση με τη χρυσή τομή. Πράγματι, τα τρίγωνα ACD και ABE είναι παρόμοια, AB : AC = AE : AD . Αλλά AD = BC και AE = AC , και έτσι AB : AC = AC : BC . Αποδεικνύεται ότι οποιοδήποτε από τα 10 τμήματα του εξωτερικού περιγράμματος του άστρου ανήκει στη χρυσή τομή σε οποιοδήποτε από τα 5 τμήματα που σχηματίζουν ένα μικρό εσωτερικό πεντάγωνο.
Παρεμπιπτόντως, από την ομοιότητα των ίδιων τριγώνων ACD και ABE προκύπτει ότι το τρίγωνο ACD είναι ισοσκελές και CD = AD . Αυτό σημαίνει ότι η διαγώνιος ενός κανονικού πενταγώνου αναφέρεται και στην πλευρά του στη χρυσή τομή. Και οι πέντε διαγώνιοι ενός κανονικού πενταγώνου σχηματίζουν ένα άλλο πεντάγραμμο, στο οποίο όλοι οι λόγοι επαναλαμβάνονται ξανά.
Εάν πρέπει να φτιάξετε ένα κανονικό πεντάγωνο με πλευρά a 1, τότε πρέπει να διαιρέσετε το τμήμα a 1 στη χρυσή τομή σε τμήματα a 2 και a 3 και στη συνέχεια να δημιουργήσετε ισοσκελές τρίγωνομε πλευρές a 1 , a 1 και (a 1 + a 2). Δύο τμήματα μήκους a 1 θα αποτελούν δύο πλευρές του επιθυμητού πενταγώνου και ένα τμήμα μήκους a 1 + a 2 \u003d a 1 /Φ είναι η διαγώνιος του. Χρησιμοποιώντας την κατασκευή άλλων τριγώνων, δεν είναι δύσκολο να βρούμε τις υπόλοιπες κορυφές του πενταγώνου.
Στο Μεσαίωνα, το πεντάγραμμο χρησίμευε ως σύμβολο της Αφροδίτης: αυτός ο πλανήτης πλησιάζει τη Γη σε πέντε σημεία σχηματίζοντας ένα πεντάγωνο.
Ένα ισοσκελές τρίγωνο του οποίου οι πλευρές σχετίζονται με τη βάση στη χρυσή τομή - για παράδειγμα, ένα τρίγωνο που σχηματίζεται από δύο διαγώνιες και μια πλευρά ενός κανονικού πενταγώνου - έχει ένα άλλο ενδιαφέρουσα ιδιοκτησία: οι διχοτόμοι των γωνιών του στη βάση είναι ίσες με την ίδια τη βάση.
Ένα τέτοιο τρίγωνο βρίσκεται συχνά στη σύνθεση διαφόρων έργα τέχνης- για παράδειγμα, στη διάσημη «Μόνα Λίζα» του Λεονάρντο ντα Βίντσι.
Το επεξηγηματικό λεξικό του Ozhegov λέει ότι ένα πεντάγωνο είναι ένα οριοθετημένο από πέντε τεμνόμενες ευθείες που σχηματίζουν πέντε εσωτερικές γωνίες, καθώς και οποιοδήποτε αντικείμενο παρόμοιου σχήματος. Αν ένα δεδομένο πολύγωνο έχει όλες τις ίδιες πλευρές και γωνίες, τότε ονομάζεται κανονικό (πεντάγωνο).
Τι είναι ενδιαφέρον για ένα κανονικό πεντάγωνο;
Με αυτή τη μορφή χτίστηκε το γνωστό κτίριο του Υπουργείου Άμυνας των Ηνωμένων Πολιτειών. Από τα ογκώδη κανονικά πολύεδρα, μόνο το δωδεκάεδρο έχει όψεις πενταγώνου. Και στη φύση, οι κρύσταλλοι απουσιάζουν εντελώς, οι όψεις των οποίων θα έμοιαζαν με ένα κανονικό πεντάγωνο. Επίσης, αυτό το σχήμα είναι ένα πολύγωνο με το ελάχιστο ποσόγωνίες που δεν μπορούν να πλακωθούν. Μόνο ένα πεντάγωνο έχει τον ίδιο αριθμό διαγωνίων με τις πλευρές του. Συμφωνώ, είναι ενδιαφέρον!
Βασικές ιδιότητες και τύποι
Χρησιμοποιώντας τους τύπους για ένα αυθαίρετο κανονικό πολύγωνο, μπορείτε να προσδιορίσετε όλες τις απαραίτητες παραμέτρους που έχει το πεντάγωνο.
- Κεντρική γωνία α = 360 / n = 360/5 = 72°.
- Εσωτερική γωνία β = 180° * (n-2)/n = 180° * 3/5 = 108°. Αντίστοιχα, το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών είναι 540°.
- Ο λόγος της διαγωνίου προς την πλευρά είναι (1+√5)/2, δηλαδή (περίπου 1,618).
- Το μήκος της πλευράς που έχει ένα κανονικό πεντάγωνο μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας έναν από τους τρεις τύπους, ανάλογα με το ποια παράμετρος είναι ήδη γνωστή:
- εάν ένας κύκλος περιγράφεται γύρω του και η ακτίνα του R είναι γνωστή, τότε a = 2*R*sin (α/2) = 2*R*sin(72°/2) ≈1,1756*R;
- στην περίπτωση που ένας κύκλος με ακτίνα r εγγράφεται σε κανονικό πεντάγωνο, a = 2*r*tg(α/2) = 2*r*tg(α/2) ≈ 1,453*r;
- συμβαίνει αντί για ακτίνες να είναι γνωστή η τιμή της διαγωνίου D, τότε η πλευρά προσδιορίζεται ως εξής: a ≈ D / 1,618.
- Το εμβαδόν ενός κανονικού πενταγώνου προσδιορίζεται, πάλι, ανάλογα με την παράμετρο που γνωρίζουμε:
- εάν υπάρχει εγγεγραμμένος ή περιγεγραμμένος κύκλος, τότε χρησιμοποιείται ένας από τους δύο τύπους:
S \u003d (n * a * r) / 2 \u003d 2,5 * a * r ή S \u003d (n * R 2 * sin α) / 2 ≈ 2,3776 * R 2;
- η περιοχή μπορεί επίσης να προσδιοριστεί, γνωρίζοντας μόνο το μήκος της πλευράς α:
S \u003d (5 * a 2 * tg54 °) / 4 ≈ 1,7205 * a 2.
κανονικό πεντάγωνο: Κτίριο
Αυτό το γεωμετρικό σχήμα μπορεί να κατασκευαστεί με διαφορετικούς τρόπους. Για παράδειγμα, εγγράψτε το σε κύκλο με δεδομένη ακτίνα ή κατασκευάστε το με βάση μια δεδομένη πλευρική πλευρά. Η αλληλουχία των ενεργειών περιγράφηκε στα Στοιχεία του Ευκλείδη γύρω στο 300 π.Χ. Σε κάθε περίπτωση χρειαζόμαστε πυξίδα και χάρακα. Εξετάστε τη μέθοδο κατασκευής χρησιμοποιώντας έναν δεδομένο κύκλο.
1. Επιλέξτε μια αυθαίρετη ακτίνα και σχεδιάστε έναν κύκλο, σημειώνοντας το κέντρο του με το σημείο Ο.
2. Στην κυκλική γραμμή, επιλέξτε ένα σημείο που θα χρησιμεύσει ως μία από τις κορυφές του πενταγώνου μας. Έστω αυτό το σημείο Α. Συνδέστε τα σημεία Ο και Α με μια ευθεία γραμμή.
3. Σχεδιάστε μια ευθεία στο σημείο Ο κάθετο στην ευθεία ΟΑ. Σημειώστε το σημείο όπου αυτή η ευθεία τέμνεται με την κυκλική γραμμή ως σημείο Β.
4. Στη μέση της απόστασης μεταξύ των σημείων Ο και Β, χτίστε το σημείο Γ.
5. Τώρα σχεδιάστε έναν κύκλο, το κέντρο του οποίου θα είναι στο σημείο Γ και που θα διέρχεται από το σημείο Α. Η θέση της τομής του με την ευθεία ΟΒ (θα είναι μέσα στον πρώτο κιόλας κύκλο) θα είναι το σημείο Δ.
6. Κατασκευάστε έναν κύκλο που διέρχεται από το Δ, το κέντρο του οποίου θα είναι στο Α. Οι θέσεις της τομής του με τον αρχικό κύκλο πρέπει να σημειωθούν με τα σημεία Ε και ΣΤ.
7. Τώρα φτιάξτε έναν κύκλο, το κέντρο του οποίου θα είναι στο Ε. Πρέπει να το κάνετε έτσι ώστε να περάσει από το Α. Πρέπει να υποδεικνύεται η άλλη τομή του με τον αρχικό κύκλο
8. Τέλος, σχεδιάστε έναν κύκλο μέσω του A με κέντρο στο σημείο F. Σημειώστε μια άλλη τομή του αρχικού κύκλου με το σημείο H.
9. Τώρα μένει μόνο να συνδέσουμε τις κορυφές A, E, G, H, F. Το κανονικό μας πεντάγωνο θα είναι έτοιμο!