Ποιο είναι το άθροισμα οποιουδήποτε τριγώνου. Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου. Θεώρημα αθροίσματος τριγώνων γωνιών

. (Διαφάνεια 1)

Τύπος μαθήματος:νέο υλικό μάθησης.

Στόχοι μαθήματος:

Εκπαιδευτικός:
- εξετάστε το θεώρημα του αθροίσματος γωνίες ενός τριγώνου,
- δείξτε την εφαρμογή του θεωρήματος στην επίλυση προβλημάτων.
Εκπαιδευτικός:
- ενθάρρυνση της θετικής στάσης των μαθητών στη γνώση,
- ενσταλάξει την εμπιστοσύνη στους μαθητές μέσω ενός μαθήματος.
Εκπαιδευτικός:
- ανάπτυξη αναλυτικής σκέψης,
- ανάπτυξη «δεξιοτήτων μάθησης»: χρήση γνώσεων, δεξιοτήτων και ικανοτήτων εκπαιδευτική διαδικασία,
- ανάπτυξη της λογικής σκέψης, την ικανότητα να διατυπώνουν με σαφήνεια τις σκέψεις τους.

Εξοπλισμός:διαδραστικός πίνακας, παρουσίαση, κάρτες.

ΚΑΤΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

- Σήμερα στο μάθημα θα θυμηθούμε τους ορισμούς των ορθογώνιων, ισοσκελές, ισόπλευρων τριγώνων. Ας επαναλάβουμε τις ιδιότητες των γωνιών τριγώνων. Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των εσωτερικών μονόπλευρων και εσωτερικών εγκάρσιων γωνιών, θα αποδείξουμε το θεώρημα για το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου και θα μάθουμε πώς να το εφαρμόζουμε στην επίλυση προβλημάτων.

II. Προφορικά(Διαφάνεια 2)

1) Βρείτε στα σχήματα ορθογώνια, ισοσκελή, ισόπλευρα τρίγωνα.
2) Ορίστε αυτά τα τρίγωνα.
3) Να διατυπώσετε τις ιδιότητες των γωνιών ενός ισόπλευρου και ισοσκελούς τριγώνου.

4) Στο σχήμα ΚΕ ΙΙ ΝΗ. (διαφάνεια 3)

– Καθορίστε διατομές για αυτές τις γραμμές
– Βρείτε εσωτερικές μονόπλευρες γωνίες, εσωτερικές εγκάρσιες γωνίες, ονομάστε τις ιδιότητές τους

III. Επεξήγηση νέου υλικού

Θεώρημα.Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180 o

Σύμφωνα με τη διατύπωση του θεωρήματος, τα παιδιά κατασκευάζουν ένα σχέδιο, γράφουν την συνθήκη, το συμπέρασμα. Απαντώντας στις ερωτήσεις, να αποδείξετε ανεξάρτητα το θεώρημα.

Δεδομένος:

Αποδεικνύω:

Απόδειξη:

1. Σχεδιάστε μια ευθεία BD II AC στην κορυφή Β του τριγώνου.
2. Καθορίστε τομές για παράλληλες γραμμές.
3. Τι μπορούμε να πούμε για τις γωνίες CBD και ACB; (κάνω εγγραφή)
4. Τι γνωρίζουμε για τις γωνίες CAB και ABD; (κάνω εγγραφή)
5. Αντικαταστήστε τη γωνία CBD με τη γωνία ACB
6. Βγάλε ένα συμπέρασμα.

IV. Ολοκληρώστε την προσφορά.(Διαφάνεια 4)

1. Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι ...
2. Σε ένα τρίγωνο, μια από τις γωνίες είναι ίση, η άλλη, η τρίτη γωνία του τριγώνου είναι ίση με ...
3. Το άθροισμα των οξειών γωνιών ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ...
4. Οι γωνίες ενός ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσες με ...
5. Οι γωνίες ενός ισόπλευρου τριγώνου είναι ίσες ...
6. Αν η γωνία μεταξύ των πλευρών ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι 1000, τότε οι γωνίες στη βάση είναι ...

V. Λίγο ιστορία.(Διαφάνειες 5-7)

Απόδειξη του θεωρήματος για το άθροισμα γωνιών τριγώνου «Το άθροισμα του εσωτερικού οι γωνίες ενός τριγώνου είναι ίσες με δύο ορθές γωνίες» που αποδίδεται στον Πυθαγόρα (580-500 π.Χ.)
Αρχαίος Έλληνας λόγιος Πρόκλος (410-485 μ.Χ.),

Τύπος μαθήματος:εκμάθηση νέου υλικού.

Στόχοι μαθήματος:

Εκπαιδευτικός:

μαζί με τα παιδιά "ανοίγουμε" και αποδεικνύουμε το θεώρημα για το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου.
γενίκευση και συστηματοποίηση του μελετημένου υλικού για αυτό το θέμα.
να εξοικειώσει τους μαθητές με ιστορικό υλικό για το υπό μελέτη θέμα.
να εμφυσήσει το ενδιαφέρον για τα μαθηματικά μέσα από την ένταξη στο μάθημα τεχνολογίες παιχνιδιών;
να σχηματίσουν δεξιότητες και ικανότητες στην επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων.

Ανάπτυξη:

ανάπτυξη της προσοχής, της μνήμης, της ομιλίας, λογική σκέψη, ανεξαρτησία?
εξετάστε διάφορους τρόπους για να αποδείξετε ένα θεώρημα, να γενικεύσετε χρησιμοποιώντας ερευνητικά στοιχεία, να αναπτύξετε μαθηματική ομιλία.
να σχηματίσουν την ικανότητα σύγκρισης, γενίκευσης γεγονότων και εννοιών.
αναπτύσσουν συνεργασία όταν εργάζονται σε ζευγάρια.

Εκπαιδευτικός:

εκπαιδεύστε την επιθυμία για την επίτευξη του στόχου. αίσθημα ευθύνης, αυτοπεποίθηση, ικανότητα εργασίας σε ομάδα.
να καλλιεργήσουν χαρακτηριστικά όπως η επιμονή, η αφοσίωση, η εργατικότητα και η πειθαρχία·
να ενσταλάξει τις δεξιότητες ακρίβειας στην κατασκευή σχεδίων.

αναπτύσσουν ανθρώπινες σχέσεις στην τάξη.

Εξοπλισμός:Υπολογιστές, εξοπλισμός πολυμέσων, tablet, φύλλα εργασίας για το σπίτι, τρίγωνα από χαρτόνι, φυλλάδια.

Ισχύουσες μορφές εκπαίδευσης:μετωπικός, ατομική δουλειάμαθητές και εργασία σε ζευγάρια. Για να ενεργοποιήσετε την προσοχή, τη φαντασία, εισάγονται στιγμές παιχνιδιού.

Δομή μαθήματος:

Οργάνωση της έναρξης του μαθήματος - 2 λεπτά.
Καθορισμός των στόχων του μαθήματος - 1 λεπτό.
Προετοιμασία για την κύρια φάση του μαθήματος -5 λεπτά.
Πραγματοποίηση υλικού που μελετήθηκε προηγουμένως - 4 λεπτά.
Εξοικείωση με νέο υλικό - 10 λεπτά
Φυσική αγωγή - 1 λεπτό
Αρχικός έλεγχος κατανόησης - 5 λεπτά.
Αφομοίωση της γνώσης. Επίλυση προβλημάτων - 13 λεπτά.
Συνοψίζοντας το μάθημα. Αντανάκλαση - 2 λεπτά.
Πληροφορίες για εργασία για το σπίτι- 2 λεπτά.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

1. Οργανωτική στιγμή.

Χαιρετίσματα. Έλεγχος της ετοιμότητας των μαθητών για το μάθημα. Στον πίνακα, το θέμα του μαθήματος και η δήλωση:

... Όσο για τους θνητούς, η αλήθεια είναι ξεκάθαρη,
Ότι δύο ηλίθιοι άνθρωποι δεν μπορούν να χωρέσουν σε ένα τρίγωνο.
Δάντης Α.

2. Καθορισμός στόχων μαθήματος.

Παιδιά, τι πιστεύετε, ποια εικόνα θα συζητηθεί σε αυτό το μάθημα; Ποιοι είναι οι στόχοι του μαθήματος;

«ανακαλύψτε» και αποδείξτε το θεώρημα αθροίσματος τριγώνων.
μάθετε πώς να επιλύετε προβλήματα χρησιμοποιώντας τη γνώση που αποκτήθηκε.

3. Προετοιμασία για το κύριο στάδιο του μαθήματος.

Να διατυπώσετε τον ορισμό του τριγώνου. (Ένα τρίγωνο είναι ένα γεωμετρικό σχήμα, που σχηματίζεται από τρία σημεία που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία και τμήματα που συνδέουν αυτά τα σημεία σε ζεύγη.)

Ονομάστε τα στοιχεία ενός τριγώνου. (Γωνίες, πλευρές, κορυφές.)

Ονομάστε τα τρίγωνα σύμφωνα με τις πλευρές. (Ισόπλευρο, ισοσκελές, πολύπλευρο.)

Ένας από τους μαθητές επιλέγει και δείχνει στην τάξη τα τρίγωνα που έχουν ετοιμάσει και βρίσκονται στο τραπέζι του δασκάλου.

Τα τρίγωνα διαφέρουν επίσης ως προς τις γωνίες. Ας προσπαθήσουμε να ονομάσουμε τα τρίγωνα από τις γωνίες. (Ένας άλλος μαθητής επιλέγει: οξεία, αμβλεία και ορθογώνια τρίγωνα.)

Ας απαντήσουμε σε μερικές ερωτήσεις:

Μπορεί ένα τρίγωνο να έχει:

δύο ορθές γωνίες?
δύο αμβλείες γωνίες;
μια ορθή και μια αμβλεία γωνία;

Ένας μαθητής καλείται στον πίνακα και εκτελεί τις ακόλουθες ζωγραφιές:

Ακολουθεί η ομαδική συζήτηση. Οι κατασκευασμένες ακτίνες δεν τέμνονται, πράγμα που σημαίνει ότι το τρίγωνο δεν θα λειτουργήσει. Το άθροισμα των μονόπλευρων γωνιών στην πρώτη περίπτωση είναι ίσο με 180°, στη δεύτερη και τρίτη περίπτωση είναι μεγαλύτερο από 180°. Στην πρώτη περίπτωση, οι γραμμές είναι παράλληλες και στη δεύτερη και τρίτη περίπτωση, οι γραμμές αποκλίνουν. Συμπεραίνουμε: τα τρίγωνα δεν μπορούν να έχουν δύο ευθείες, δύο αμβλείες. Επίσης, ένα τρίγωνο δεν μπορεί να έχει μία αμβλεία και μία ορθή ταυτόχρονα. Διαφάνεια 3.

Και πάλι, ας δούμε τα μοντέλα των τριγώνων και να συμπεράνουμε: in ορθογώνιο τρίγωνομια γωνία είναι ορθή και δύο γωνίες οξείες· σε ένα αμβλύ τρίγωνο, μια γωνία είναι αμβλεία και δύο οξείες· σε ένα οξύ τρίγωνο, όλες οι γωνίες είναι οξείες. Αλλά θεωρητικά, δεν μπορούμε να απαντήσουμε σε αυτό το ερώτημα αν δεν ξέρουμε ποιο είναι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου.

Έτσι, γνωρίζουμε ήδη πολλά για το τρίγωνο. Ποιο πιστεύετε ότι είναι το άθροισμα των γωνιών οποιουδήποτε τριγώνου; (ακούστε τις απαντήσεις). Ας ελέγξουμε αν οι υποθέσεις σας είναι σωστές με τη βοήθεια πρακτικής εργασίας.

Πρακτική δουλειά(συμβάλλει στην πραγματοποίηση γνώσεων και δεξιοτήτων αυτογνωσίας). (Δουλέψτε σε ζευγάρια.) Διαφάνειες 4-5.

Καθένας από εσάς έχει ένα τρίγωνο στο γραφείο του διαφορετικά χρώματα. Παιδιά, μετρήσαμε τις γωνίες με τη βοήθεια ενός μοιρογνωμόνιου και βρήκαμε το άθροισμά τους στον 5ο βαθμό. Το άθροισμα των γωνιών αποδείχθηκε διαφορετικό για τον καθένα (αυτό μπορεί να συμβεί επειδή το μοιρογνωμόνιο δεν εφαρμόστηκε σωστά, ο υπολογισμός εκτελέστηκε απρόσεκτα κ.λπ.).

Προτείνω να βρείτε το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου με δύο άλλους τρόπους: πάρτε τα τρίγωνα που βρίσκονται στο γραφείο σας. Είναι κίτρινα ή Ροζ χρώμα. Σημειώστε τις γωνίες του τριγώνου με τους αριθμούς 1, 2, 3.

Μαθητές με κίτρινα τρίγωνα: Κόψτε δύο γωνίες του τριγώνου και συνδέστε τις στις πλευρές της τρίτης γωνίας, έτσι ώστε όλες οι κορυφές να βρίσκονται στο ίδιο σημείο. Παρατηρήστε ότι όλες οι γωνίες ενός τριγώνου αθροίζονται σε μια ευθεία γωνία.

Μαθητές με ροζ τρίγωνα: Διπλώστε τις γωνίες προς τα μέσα στο τρίγωνο. Σημειώστε ότι είναι απαραίτητο να λυγίσουμε το τρίγωνο κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής παράλληλης προς την πλευρά, τη γωνία που θα λυγίσουμε πρώτα, και δεδομένη γωνίαπρέπει να αγγίξει αυτή την πλευρά. Παρατηρήστε ότι όλες οι γωνίες ενός τριγώνου αθροίζονται σε μια ευθεία γωνία.

Ποιο είναι το μέτρο της μοίρας μιας ευθυγραμμισμένης γωνίας;

Σε τι συμπέρασμα καταλήξαμε;

Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180 μοίρες.

Αφού κάναμε πρακτική εργασία, διαπιστώσαμε ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180 μοίρες.

Στα μαθηματικά πρακτική δουλειάκαθιστά δυνατή μόνο τη διατύπωση κάποιου είδους δήλωσης, αλλά χρειάζεται να αποδειχθεί. Μια δήλωση της οποίας η εγκυρότητα αποδεικνύεται με απόδειξη ονομάζεται θεώρημα.

Ποιο θεώρημα πρέπει να αποδείξουμε;

Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180 μοίρες.

4. Το στάδιο προετοιμασίας των μαθητών για την ενεργητική και συνειδητή αφομοίωση της νέας γνώσης.

Διαφάνειες 6-7.

Πριν αποδείξουμε αυτό το θεώρημα, λύνουμε δύο προβλήματα προφορικά, θα μας βοηθήσουν να αποδείξουμε το θεώρημα:

5. Το στάδιο αφομοίωσης νέων γνώσεων, δεξιοτήτων και ικανοτήτων.

Διαφάνειες 8-9

(Τρεις τρόποι απόδειξης είναι δυνατοί.)

Απόδειξη του θεωρήματος(αναπτύσσει την ικανότητα ανάλυσης, γενίκευσης και εξαγωγής λογικών συμπερασμάτων χρησιμοποιώντας προηγουμένως μελετημένο υλικό).

Ένας μαθητής αποδεικνύει ένα θεώρημα στον πίνακα, σχολιάζοντας τις ενέργειές του καθώς προχωρά. Οι υπόλοιποι μαθητές εργάζονται σε τετράδια. Σε περίπτωση ανακρίβειας, ο εκπαιδευτικός κάνει διορθώσεις.

Δάσκαλος: Τι μας δίνεται;

Μαθητής: Δίνεται ένα τρίγωνο.

Δάσκαλος: Φτιάξτε ένα αυθαίρετο τρίγωνο στα τετράδιά σας και σημειώστε τις κορυφές του Α, Β και Γ. Τι χρειάζεται να αποδείξετε;

Μαθητής: Ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180°.

Δίνονται: ∆ABC
Απόδειξη: A+B+C=180°

Σχέδιο απόδειξης:
1) Μέσω της κορυφής Β σχεδιάζουμε μια ευθεία DE || ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ
2) Να αποδείξετε ότι 4 =1, 5 = 3
3) Να αποδείξετε ότι αν 4+2+5=180°, τότε 1+2+3=180° ή σε Δ ABC A+B+C=180°

Αλλά αυτή η μέθοδος απόδειξης δεν είναι η μόνη. Η πρώτη απόδειξη δόθηκε από τον Πυθαγόρα (5ος αιώνας π.Χ.) Στο πρώτο βιβλίο των Στοιχείων, ο Ευκλείδης εκθέτει μια άλλη απόδειξη του θεωρήματος για το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου. διαφάνεια 10.

Τα παιδιά αποδεικνύουν προφορικά:

Απόδειξη:
1) Σχεδιάστε μια ακτίνα BD|| μέσα από την κορυφή Β ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ.
2) 4 και 3 - ξαπλωμένα σταυρωτά στο BD||AC και το τμήμα BC.
3) ΒΔ|| Το AC και το AB είναι τέμνοντα, τότε 1+ABD=180° είναι μονόπλευρες γωνίες.
4) τότε 1+2+4=180° , αφού 4=3 , μετά 1+2+3=180° ή A+B+C=180°

Προσπαθήστε να αποδείξετε αυτό το θεώρημα στο σπίτι χρησιμοποιώντας το σχέδιο Πυθαγόρειων μαθητών. (Στα παιδιά δίνεται ένα φύλλο με σχέδια και των τριών αποδείξεων στο σπίτι.) Διαφάνεια 11.

6. Φυσική αγωγή.

Διαφάνειες 12-14.

7. Εμπέδωση της μελετημένης ύλης.

Τώρα, χρησιμοποιώντας το θεώρημα, μπορούμε να δικαιολογήσουμε γιατί ένα τρίγωνο δεν μπορεί να έχει δύο ορθές γωνίες, δύο αμβλείες γωνίες, δύο γωνίες, εκ των οποίων η μία είναι αμβλεία και η άλλη ορθή.

Συνέπεια του θεωρήματος για το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου (που προκύπτει από τους μαθητές μόνοι τους· αυτό συμβάλλει στην ανάπτυξη της ικανότητας διατύπωσης δικό του σημείοδείτε, εκφράστε και επιχειρηματολογήστε το).

Σε οποιοδήποτε τρίγωνο, είτε όλες οι γωνίες είναι οξείες, είτε δύο οξείες γωνίες και η τρίτη αμβλεία ή ορθή.

Αν όλες οι γωνίες σε ένα τρίγωνο είναι οξείες, τότε λέγεται οξεία γωνία. Αν μία από τις γωνίες ενός τριγώνου είναι αμβλεία, τότε λέγεται κουτός. Αν μία από τις γωνίες ενός τριγώνου είναι ορθή, τότε λέγεται ορθογώνιος.

Προφορική εργασία: (ταμπλέτες) Διαφάνεια 15.

Απαντήστε στις ερωτήσεις: Διαφάνεια 16.

Αν μία από τις γωνίες ενός τριγώνου είναι ορθή, ποιες είναι οι άλλες δύο γωνίες;
Αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, ποιο είναι το άθροισμα των οξειών γωνιών του τριγώνου;
Αν μία από τις γωνίες ενός τριγώνου είναι αμβλεία, τότε ποιο είναι το άθροισμα των άλλων δύο γωνιών του τριγώνου;

9. Εργασία για το σπίτι.

Φυλλάδιο: τρία σχέδια για απόδειξη. ( Παράρτημα 1)
Σελ. 30-31, σελ. 70, Νο. 223 (α, β), 224, 225, 230

10. Το αποτέλεσμα του μαθήματος.

Αντανάκλαση:

Συνέχισε την πρόταση:

«Σήμερα έμαθα στην τάξη…»
«Σήμερα στο μάθημα που έμαθα…»
«Σήμερα στο μάθημα συνάντησα…»
«Σήμερα στο μάθημα επανέλαβα…»
«Σήμερα στο μάθημα διόρθωσα…»

Το γεγονός ότι «Το άθροισμα των γωνιών οποιουδήποτε τριγώνου στην Ευκλείδεια γεωμετρία είναι 180 μοίρες» μπορεί να θυμηθεί εύκολα. Εάν η απομνημόνευση δεν είναι εύκολη, μπορείτε να κάνετε μερικά πειράματα για καλύτερη απομνημόνευση.

Πείραμα ένα

Σχεδιάστε μερικά αυθαίρετα τρίγωνα σε ένα κομμάτι χαρτί, για παράδειγμα:

με αυθαίρετες πλευρές?
ισοσκελές τρίγωνο;
ορθογώνιο τρίγωνο.

Φροντίστε να χρησιμοποιήσετε τη γραμμή. Τώρα πρέπει να κόψετε τα τρίγωνα που προκύπτουν, κάνοντας το ακριβώς κατά μήκος των σχεδιασμένων γραμμών. Χρωματίστε τις γωνίες κάθε τριγώνου με χρωματιστό μολύβι ή μαρκαδόρο. Για παράδειγμα, στο πρώτο τρίγωνο, όλες οι γωνίες θα είναι κόκκινες, στο δεύτερο - μπλε, το τρίτο - πράσινο. http://bit.ly/2gY4Yfz

Από το πρώτο τρίγωνο κόβουμε και τις 3 γωνίες και τις συνδέουμε σε ένα σημείο με τις κορυφές, ώστε να συνδέονται οι πλησιέστερες πλευρές κάθε γωνίας. Όπως μπορείτε να δείτε, οι τρεις γωνίες του τριγώνου σχημάτισαν μια ευθεία γωνία, η οποία είναι ίση με 180 μοίρες. Κάντε το ίδιο με τα άλλα δύο τρίγωνα - το αποτέλεσμα θα είναι το ίδιο. http://bit.ly/2zurCrd

Πείραμα δεύτερο

Σχεδιάζουμε ένα αυθαίρετο τρίγωνο ΑΒΓ. Επιλέγουμε οποιαδήποτε κορυφή (για παράδειγμα, C) και σχεδιάζουμε μια ευθεία DE μέσα από αυτήν, παράλληλη με αντίθετη πλευρά(ΑΒ). http://bit.ly/2zbYNzq

Παίρνουμε τα εξής:

Οι γωνίες BAC και ACD είναι ίσες, ως εσωτερικά σταυρωτές σε σχέση με το AC.
Οι γωνίες ABC και BCE είναι ίσες, ως εσωτερικά σταυρωτές σε σχέση με το BC.
Βλέπουμε ότι οι γωνίες 1, 2 και 3 - οι γωνίες του τριγώνου, συνδεδεμένες σε ένα σημείο, σχημάτισαν μια ανεπτυγμένη γωνία DCE, η οποία είναι ίση με 180 μοίρες.

Το θεώρημα αθροίσματος τριγώνων δηλώνει ότι το άθροισμα όλων των εσωτερικών γωνιών οποιουδήποτε τριγώνου είναι 180°.

Έστω οι εσωτερικές γωνίες του τριγώνου a, b και c, τότε:

a + b + c = 180°.

Από αυτή τη θεωρία, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το άθροισμα όλων των εξωτερικών γωνιών οποιουδήποτε τριγώνου είναι 360 °. Δεδομένου ότι η εξωτερική γωνία είναι γειτονική με την εσωτερική γωνία, το άθροισμά τους είναι 180°. Έστω οι εσωτερικές γωνίες ενός τριγώνου a, b και c, τότε οι εξωτερικές γωνίες σε αυτές τις γωνίες είναι 180° - a, 180° - b και 180° - c.

Να βρείτε το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών του τριγώνου:

180° - a + 180° - b + 180° - c = 540° - (a + b + c) = 540° - 180° = 360°.

Απάντηση: το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός τριγώνου είναι 180°. το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών ενός τριγώνου είναι 360°.

Θεώρημα για το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός τριγώνου

Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180°.

Απόδειξη:

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ.
Σχεδιάστε μια ευθεία DK στην κορυφή Β παράλληλη στη βάση AC.
\γωνία CBK= \γωνία C ως εσωτερική εγκάρσια κείμενη με παράλληλα DK και AC, και τέμνουσα BC.
\γωνία DBA = \γωνία Εσωτερικό εγκάρσια κείται στο DK \παράλληλο AC και σε τέμνουσα AB. Η γωνία DBK είναι ευθεία και ίση με
\γωνία DBK = \γωνία DBA + \γωνία Β + \γωνία CBK
Εφόσον η ευθεία γωνία είναι 180 ^\circ , και \γωνία CBK = \γωνία C και \γωνία DBA = \γωνία A , παίρνουμε 180 ^\circ = \γωνία A + \γωνία Β + \γωνία Γ.

Θεώρημα αποδεδειγμένο

Συνέπειες από το θεώρημα για το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου:

Το άθροισμα των οξειών γωνιών ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι 90°.
Σε ένα ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο, κάθε οξεία γωνία είναι 45°.
Σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο, κάθε γωνία είναι 60°.
Σε οποιοδήποτε τρίγωνο, είτε όλες οι γωνίες είναι οξείες, είτε δύο γωνίες είναι οξείες και η τρίτη είναι αμβλεία ή ορθή.
Εξωτερική γωνία τριγώνου ισούται με το άθροισμαδύο εσωτερικές γωνίες που δεν γειτνιάζουν με αυτό.

Θεώρημα εξωτερικής γωνίας τριγώνου

Μια εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι ίση με το άθροισμα των δύο υπόλοιπων γωνιών του τριγώνου που δεν γειτνιάζουν με αυτήν την εξωτερική γωνία.

Απόδειξη:

Δίνεται τρίγωνο ABC, όπου BCD είναι η εξωτερική γωνία.
\γωνία BAC + \γωνία ABC +\γωνία BCA = 180^0
Από τις ισότητες, η γωνία \γωνία BCD + \γωνία BCA = 180^0
Παίρνουμε \γωνία BCD = \γωνία BAC+\γωνία ABC.

Στόχοι:

Εκπαιδευτικός:

επανάληψη και γενίκευση της γνώσης για το τρίγωνο.
να αποδείξετε το θεώρημα αθροίσματος τριγώνων.
πρακτικά επαληθεύστε την ορθότητα της διατύπωσης του θεωρήματος.
μάθουν να εφαρμόζουν τις γνώσεις που αποκτήθηκαν στην επίλυση προβλημάτων.

Ανάπτυξη:

αναπτύξουν γεωμετρική σκέψη, ενδιαφέρον για το θέμα, γνωστικό και δημιουργική δραστηριότηταμαθητές, μαθηματικός λόγος, ικανότητα αυτοτελούς απόκτησης γνώσεων.

Εκπαιδευτικός:

αναπτύσσω προσωπικές ιδιότητεςμαθητές, όπως η σκοπιμότητα, η επιμονή, η ακρίβεια, η ικανότητα ομαδικής εργασίας.

Εξοπλισμός:προβολέας πολυμέσων, τρίγωνα από χρωματιστό χαρτί, διδακτικό υλικό «Ζωντανά Μαθηματικά», Η/Υ, οθόνη.

Προπαρασκευαστικό στάδιο:Ο δάσκαλος δίνει οδηγίες στο μαθητή να προετοιμαστεί ιστορικό υπόβαθρογια το θεώρημα του αθροίσματος τριγώνων των γωνιών.

Τύπος μαθήματος: εκμάθηση νέου υλικού.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

Ι. Οργανωτική στιγμή

Χαιρετίσματα. Ψυχολογική στάση των μαθητών στην εργασία.

II. Ζέσταμα

ΜΕ γεωμετρικό σχήμα«τρίγωνο» που γνωρίσαμε στα προηγούμενα μαθήματα. Ας επαναλάβουμε όσα γνωρίζουμε για το τρίγωνο;

Οι μαθητές εργάζονται σε ομάδες. Τους δίνεται η ευκαιρία να επικοινωνήσουν μεταξύ τους, ο καθένας να οικοδομήσει ανεξάρτητα τη διαδικασία της γνώσης.

Τι συνέβη? Κάθε ομάδα κάνει τις προτάσεις της και ο δάσκαλος τις γράφει στον πίνακα. Τα αποτελέσματα συζητούνται:

Εικόνα 1

III. Διατυπώνουμε την εργασία του μαθήματος

Έτσι, γνωρίζουμε ήδη πολλά για το τρίγωνο. Αλλά όχι όλα. Καθένας από εσάς έχει τρίγωνα και μοιρογνωμόνια στο γραφείο του. Τι πιστεύετε, τι καθήκον μπορούμε να διατυπώσουμε;

Οι μαθητές διατυπώνουν την εργασία του μαθήματος - να βρουν το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου.

IV. Επεξήγηση νέου υλικού

Πρακτικό μέρος(συμβάλλει στην πραγματοποίηση γνώσεων και δεξιοτήτων αυτογνωσίας) Μετρήστε τις γωνίες με μοιρογνωμόνιο και βρείτε το άθροισμά τους. Σημειώστε τα αποτελέσματα σε ένα τετράδιο (ακούστε τις απαντήσεις που λάβατε). Διαπιστώνουμε ότι το άθροισμα των γωνιών για τον καθένα αποδείχθηκε διαφορετικό (αυτό μπορεί να συμβεί επειδή το μοιρογνωμόνιο δεν εφαρμόστηκε σωστά, ο υπολογισμός εκτελέστηκε απρόσεκτα κ.λπ.).

Διπλώστε κατά μήκος των διακεκομμένων γραμμών και μάθετε τι άλλο ισούται με το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου:

ΕΝΑ)
Σχήμα 2

σι)
Εικόνα 3

V)
Εικόνα 4

ΣΟΛ)
Εικόνα 5

μι)
Εικόνα 6

Μετά την ολοκλήρωση της πρακτικής εργασίας, οι μαθητές διατυπώνουν την απάντηση: Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι ίσο με μέτρο βαθμούδιευρυμένη γωνία, δηλαδή 180°.

Δάσκαλος: Στα μαθηματικά, η πρακτική εργασία καθιστά δυνατή μόνο τη διατύπωση κάποιου είδους δήλωσης, αλλά χρειάζεται να αποδειχθεί. Μια δήλωση της οποίας η εγκυρότητα αποδεικνύεται με απόδειξη ονομάζεται θεώρημα. Ποιο θεώρημα μπορούμε να διατυπώσουμε και να αποδείξουμε;

Φοιτητές: Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180 μοίρες.

Ιστορική αναφορά:Η ιδιότητα του αθροίσματος των γωνιών ενός τριγώνου καθορίστηκε στο Αρχαία Αίγυπτος. Η απόδειξη που δίνεται στα σύγχρονα εγχειρίδια βρίσκεται στα σχόλια του Πρόκλου για τα Στοιχεία του Ευκλείδη. Ο Πρόκλος ισχυρίζεται ότι αυτή η απόδειξη (Εικ. 8) ανακαλύφθηκε από τους Πυθαγόρειους (5ος αιώνας π.Χ.). Στο πρώτο βιβλίο των Στοιχείων, ο Ευκλείδης εκθέτει μια άλλη απόδειξη του θεωρήματος για το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου, το οποίο είναι εύκολο να γίνει κατανοητό με τη βοήθεια ενός σχεδίου (Εικ. 7):

Εικόνα 7

Εικόνα 8

Τα σχέδια εμφανίζονται στην οθόνη μέσω ενός προβολέα.

Ο δάσκαλος προσφέρεται να αποδείξει το θεώρημα με τη βοήθεια σχεδίων.

Στη συνέχεια, η απόδειξη πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας το CMD "Live Mathematics". Ο δάσκαλος στον υπολογιστή προβάλλει την απόδειξη του θεωρήματος.

Θεώρημα αθροίσματος τριγώνων γωνιών: "Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180°"

Εικόνα 9

Απόδειξη:

ΕΝΑ)

Εικόνα 10

σι)

Εικόνα 11

V)

Εικόνα 12

Οι μαθητές στο τετράδιο κάνουν μια σύντομη καταγραφή της απόδειξης του θεωρήματος:

Θεώρημα:Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180°.

Εικόνα 13

Δεδομένος:Δ ABC

Αποδεικνύω: A + B + C = 180°.

Απόδειξη:

Αυτό που έπρεπε να αποδειχτεί.

V. Phys. λεπτό.

VI. Επεξήγηση νέου υλικού (συνέχεια)

Η συνέπεια του θεωρήματος για το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου προκύπτει από τους μαθητές μόνοι τους, αυτό συμβάλλει στην ανάπτυξη της ικανότητας να διατυπώνουν τη δική τους άποψη, να την εκφράζουν και να την υποστηρίζουν:

Σε οποιοδήποτε τρίγωνο, είτε όλες οι γωνίες είναι οξείες, είτε δύο οξείες γωνίες και η τρίτη αμβλεία ή ορθή.

Αν όλες οι γωνίες σε ένα τρίγωνο είναι οξείες, τότε λέγεται οξεία γωνία.

Αν μία από τις γωνίες ενός τριγώνου είναι αμβλεία, τότε λέγεται κουτός.

Αν μία από τις γωνίες ενός τριγώνου είναι ορθή, τότε λέγεται ορθογώνιος.

Το θεώρημα αθροίσματος τριγώνων μας επιτρέπει να ταξινομούμε τα τρίγωνα όχι μόνο κατά πλευρές, αλλά και κατά γωνίες. (Κατά την εισαγωγή των τύπων τριγώνων, οι μαθητές συμπληρώνουν έναν πίνακα)

Τραπέζι 1

Τριγωνική όψη	Ισοσκελής	Ισόπλευρος	Πολύπλευρος
Ορθογώνιος
κουτός
οξεία γωνία

VII. Εμπέδωση της ύλης που μελετήθηκε.

Λύστε προβλήματα προφορικά:

(Τα σχέδια εμφανίζονται στην οθόνη μέσω του προβολέα)

Εργασία 1. Να βρείτε τη γωνία Γ.

Εικόνα 14

Εργασία 2. Να βρείτε τη γωνία F.

Εικόνα 15

Εργασία 3. Να βρείτε τις γωνίες Κ και Ν.

Εικόνα 16

Εργασία 4. Να βρείτε τις γωνίες Ρ και Τ.

Εικόνα 17

Λύστε μόνοι σας το πρόβλημα Νο 223 (β, δ).
Λύστε το πρόβλημα στον πίνακα και στα τετράδια του μαθητή Νο 224.
Ερωτήσεις: Μπορεί ένα τρίγωνο να έχει: α) δύο ορθές γωνίες; β) δύο αμβλείες γωνίες. γ) μία ορθή και μία αμβλεία γωνία.
(εκτελείται προφορικά) Οι κάρτες σε κάθε τραπέζι δείχνουν διάφορα τρίγωνα. Προσδιορίστε με το μάτι το σχήμα κάθε τριγώνου.

Εικόνα 18

Να βρείτε το άθροισμα των γωνιών 1, 2 και 3.

Εικόνα 19

VIII. Περίληψη του μαθήματος.

Δάσκαλος: Τι μάθαμε; Ισχύει το θεώρημα σε οποιοδήποτε τρίγωνο;

IX. Αντανάκλαση.

Δώστε μου τη διάθεσή σας παιδιά! ΜΕ αντιθετη πλευρατρίγωνο απεικονίζει τις εκφράσεις του προσώπου σας.

Εικόνα 20

Εργασία για το σπίτι:σελ.30 (μέρος 1ο), ερώτηση 1 κεφ. IV σελίδα 89 του σχολικού βιβλίου? Νο. 223 (α, γ), Νο. 225.