ΤΡΙΓΩΝΙΑ.
§ 30. ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΠΛΕΥΡΩΝ ΚΑΙ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ.
Θεώρημα 1. Η μεγαλύτερη γωνία σε ένα τρίγωνο είναι απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά .
Αφήνω μέσα /\ Η πλευρά ABC Η πλευρά AB είναι μεγαλύτερη από την πλευρά BC. Ας αποδείξουμε ότι η γωνία C που βρίσκεται απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά AB είναι μεγαλύτερη από τη γωνία Α που βρίσκεται απέναντι από τη μικρότερη πλευρά BC (Εικ. 164).
Ας αφήσουμε στην πλευρά AB από το σημείο B ένα τμήμα BD ίσο με την πλευρά BC και ας συνδέσουμε τα σημεία D και C με ένα τμήμα.
Το τρίγωνο DBC είναι ισοσκελές. Η γωνία BDC είναι ίση με τη γωνία BCD, καθώς βρίσκονται απέναντι από ίσες πλευρές του τριγώνου.
Η γωνία BDC είναι η εξωτερική γωνία του τριγώνου ADC, επομένως είναι μεγαλύτερη από τη γωνία Α.
Επειδή / ВСD = / BDC, τότε η γωνία BCD είναι μεγαλύτερη από τη γωνία Α: / ВСD > / Α. Αλλά η γωνία BCD είναι μόνο μέρος ολόκληρης της γωνίας C, επομένως η γωνία C θα είναι ακόμη πιο σημαντική από τη γωνία Α.
Αποδείξτε μόνοι σας το ίδιο θεώρημα χρησιμοποιώντας το σχέδιο 165, όταν BD = AB.
Στην § 18 αποδείξαμε ότι στο ισοσκελές τρίγωνοοι γωνίες στη βάση είναι ίσες, δηλαδή σε ένα τρίγωνο, ίσες γωνίες βρίσκονται απέναντι από ίσες πλευρές. Ας αποδείξουμε τώρα τα αντίστροφα θεωρήματα.
Θεώρημα 2. Κατά ίσες γωνίεςΈνα τρίγωνο έχει επίσης ίσες πλευρές.
Αφήνω μέσα /\ αλφάβητο / Α= / Γ (σχέδιο 166). Ας αποδείξουμε ότι AB = BC, δηλαδή το τρίγωνο ABC είναι ισοσκελές.
Μεταξύ των μερών AB και BC μπορεί να υπάρχει μόνο μία από τις ακόλουθες τρεις σχέσεις:
1) AB > BC;
2) ΑΒ< ВС;
3) ΑΒ = Π.Χ.
Αν η πλευρά AB ήταν μεγαλύτερη από BC, τότε η γωνία C θα ήταν μεγαλύτερη από τη γωνία Α, αλλά αυτό έρχεται σε αντίθεση με την συνθήκη του θεωρήματος, επομένως, το AB δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερο από το BC.
Με τον ίδιο τρόπο, το ΑΒ δεν μπορεί να είναι μικρότερο από BC, αφού σε αυτή την περίπτωση η γωνία C θα ήταν μικρότερη από τη γωνία Α.
Κατά συνέπεια, μόνο η τρίτη περίπτωση είναι δυνατή, δηλ.
Έτσι, έχουμε αποδείξει: απέναντι από ίσες γωνίες σε ένα τρίγωνο υπάρχουν ίσες πλευρές.
Θεώρημα 3. Κατά μεγαλύτερη γωνίατο τρίγωνο έχει τη μεγαλύτερη πλευρά.
Αφήστε το τρίγωνο ABC (Εικ. 167) / Γ> / σι
Ας αποδείξουμε ότι AB > AC.
Μπορεί επίσης να υπάρχει μία από τις ακόλουθες τρεις σχέσεις:
1) AB = AC;
2) ΑΒ< АС;
3) AB > AC.
Αν η πλευρά ΑΒ ήταν ίση με την πλευρά AC, τότε / Το C θα ήταν ίσο / Β. Αυτό όμως έρχεται σε αντίθεση με τις προϋποθέσεις του θεωρήματος. Αυτό σημαίνει ότι το AB δεν μπορεί να ισούται με το AC
Με τον ίδιο τρόπο, το ΑΒ δεν μπορεί να είναι μικρότερο από το AC, αφού σε αυτή την περίπτωση η γωνία C θα ήταν μικρότερη από τη γωνία Β, κάτι που επίσης έρχεται σε αντίθεση με αυτήν την προϋπόθεση.
Επομένως, μόνο μία περίπτωση είναι δυνατή, και συγκεκριμένα:
Έχουμε αποδείξει ότι η μεγαλύτερη πλευρά ενός τριγώνου είναι απέναντι από τη μεγαλύτερη γωνία.
Συνέπεια. ΣΕ ορθογώνιο τρίγωνο. η υποτείνουσα είναι μεγαλύτερη από οποιοδήποτε από τα πόδια της.
Στόχοι μαθήματος:
Εκπαιδευτικός:
- Βελτιώστε τις δεξιότητες επίλυσης προβλημάτων στο θέμα «Θεώρημα για τις σχέσεις μεταξύ των πλευρών και των γωνιών ενός τριγώνου».
- Συνοψίστε και συστηματοποιήστε το θεωρητικό υλικό:
– τύποι τριγώνων.
– το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου·
– σχέσεις μεταξύ των πλευρών και των γωνιών ενός τριγώνου·
– σημάδι ισοσκελούς τριγώνου.
Εκπαιδευτικός:
- Αναπτύξτε τις νοητικές δεξιότητες μέτρησης.
- Αναπτύσσω λογική σκέψηΦοιτητές.
- Αναπτύξτε την ικανότητα να εκφράζετε καθαρά και ξεκάθαρα τις σκέψεις σας.
- Να αναπτύξει τη μαθηματική ομιλία των μαθητών στη διαδικασία εκτέλεσης προφορικής εργασίας για την αναπαραγωγή θεωρητικού υλικού.
Εκπαιδευτικός:
- Αναπτύξτε την ικανότητα εργασίας με τις διαθέσιμες πληροφορίες.
- Καλλιεργήστε το σεβασμό για το θέμα, την ικανότητα να δείτε μαθηματικά προβλήματαστον κόσμο γύρω μας.
- Αναπτύξτε την ικανότητα να ακούτε τον φίλο σας, την αίσθηση της αλληλοβοήθειας και της αμοιβαίας υποστήριξης.
Τύπος μαθήματος: μάθημα γενίκευσης και συστηματοποίησης της γνώσης με χρήση τεχνολογίας υπολογιστών.
Εξοπλισμός και οπτικά βοηθήματα: Υπολογιστής, προβολέας, παρουσίαση μαθήματος, κραγιόνια .
Σχέδιο του πίνακα: ένα σχέδιο για το Νο. 246 έγινε στο κλειστό μέρος του πίνακα.
Δομή μαθήματος.
| Είδος δραστηριότητας. | Διαφάνεια αρ. | ελάχ. |
| 1. Οργανωτική στιγμή. | 1 | |
| 2. Επικοινωνήστε το θέμα και τους στόχους του μαθήματος. | 2 | |
| 3. Επικαιροποίηση βασικών γνώσεων. | 6 | |
| 4. Πρακτική δουλειά. | 2–4 | 8 |
| 5. Λεπτό φυσικής αγωγής. | 2 | |
| 6. Ενοποίηση της μελέτης ύλης: Νο 241, 239, 246 – σε τετράδιο. γραπτώς. | 23 | |
| 7. Συνοψίζοντας το μάθημα. Βαθμολόγηση. | 2 | |
| 8. Εργασία για το σπίτι: επαναλάβετε την παράγραφο 30 - παράγραφος 32 του σχολικού βιβλίου, Νο 337, 338. | 1 |
Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων
Ι. Οργανωτική στιγμή.
II. Επικοινωνήστε το θέμα και τους στόχους του μαθήματος.
Έλεγχος της ετοιμότητας των μαθητών για το μάθημα. Κοινοποίηση στόχων και σχεδίου μαθήματος στους μαθητές.
Ο σκοπός του σημερινού μαθήματος είναι η γενίκευση και η συστηματοποίηση του θεωρητικού υλικού, η βελτίωση των δεξιοτήτων επίλυσης προβλημάτων στο θέμα "Θεώρημα για τις σχέσεις μεταξύ των πλευρών και των γωνιών ενός τριγώνου".
Σήμερα η κύρια φιγούρα στο μάθημά μας θα είναι το Τρίγωνο.
III. Ενημέρωση βασικών γνώσεων.
Μετωπική εργασία.
- Τι είναι ένα τρίγωνο;
- Τι είδη τριγώνων υπάρχουν;
- Ποιο τρίγωνο ονομάζεται οξύ;
- Ποιο τρίγωνο ονομάζεται ορθογώνιο; Πώς λέγονται οι πλευρές του;
- Ποιο τρίγωνο ονομάζεται αμβλύ;
- Να διατυπώσετε το θεώρημα για το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου.
- Ποια γωνία ονομάζεται εξωτερική γωνία τριγώνου; Ποια είναι η εξωτερική γωνία του τριγώνου;
- Ποιο τρίγωνο ονομάζεται ισοσκελές; Καταγράψτε τις ιδιότητές του.
- Να διατυπώσετε το πρόσημο ενός ισοσκελούς τριγώνου.
- Να διατυπώσετε ένα θεώρημα για τις σχέσεις μεταξύ των πλευρών και των γωνιών ενός τριγώνου.
- Ποιες συνέπειες προκύπτουν από το θεώρημα για τις σχέσεις μεταξύ των πλευρών και των γωνιών ενός τριγώνου;
IV. Πρακτική δουλειά. Προφορική εργασία σε τελειωμένα σχέδια . <Презентация> .
Στο τρίγωνο ABC βρίσκουμε τη μικρότερη γωνία.
Η μικρότερη πλευρά AC σημαίνει τη μικρότερη γωνία Β.
Στο τρίγωνο NRQ βρίσκουμε τη μικρότερη πλευρά.
1) Μικρότερη γωνία Q, επειδή 180 0 – (74 0 + 64 0) = 42 0
2) Μικρότερη πλευρά NR.
V. Λεπτό φυσικής αγωγής.
VI. Ενισχυτικό εκπαιδευτικό υλικό
Λύση στο πρόβλημα Νο 241.
Οι μαθητές σημειώνουν την ημερομηνία και το θέμα του μαθήματος στο τετράδιό τους. Ο δάσκαλος καλεί τον μαθητή στον πίνακα για να λύσει το πρόβλημα Νο 241.
Λύση: Το ΔABC είναι ισοσκελές, που σημαίνει<В = <С. MN||BC, откуда Το κατάλαβα Ο δάσκαλος καλεί τον μαθητή στον πίνακα για να λύσει το πρόβλημα Νο 239. Λύση: 1. Θεωρήστε ∆BMH – ορθογώνιο, γιατί BH – ύψος. Κατά συνέπεια 1 BM>BH. 2. BM=BH αν το ∆ABC είναι ισοσκελές (AB = BC) ή ισόπλευρο. Ο δάσκαλος καλεί τον μαθητή στον πίνακα για να λύσει το πρόβλημα Νο 246 (το σχέδιο σχεδιάζεται στον πίνακα). Λύση: Αφού το VO είναι διχοτόμος, τότε ΟΕ||ΑΒ, επομένως, OD||AC, επομένως, P∆EDO = OE + ED + DO, αλλά OE = BE, OD = DC, τότε P∆EDO = BE + ED + DC = BC. VII. Συνοψίζοντας το μάθημα. Βαθμολόγηση. VIII. Εργασία για το σπίτι: επαναλάβετε την παράγραφο 30 - παράγραφος 32 του σχολικού βιβλίου, Νο 337, 338. Βιβλιογραφία. Θεώρημα: Σε τρίγωνο 1. Δίνονται: AB>AC Απόδειξη: ∠C>∠B. Απόδειξη: Ας ορίσουμε το τμήμα AD ίσο με το τμήμα AC και τότε το σημείο D θα βρίσκεται μεταξύ των σημείων Α και Β. Η ακτίνα CD θα κόψει τη γωνία ACB σε δύο γωνίες, ενώ το ∠1=∠2. Το ΔACV αποτελείται από γωνίες ∠1 και ∠3. Το ∠2 είναι εξωτερικό για το τρίγωνο CDB, που σημαίνει ότι είναι μεγαλύτερο από τη γωνία Β. Ρύζι. 1. Θεώρημα για τη σχέση μεταξύ των πλευρών και των γωνιών ενός τριγώνου ∠1=∠2<∠ACB ∠2=∠B+∠3>∠Β ∠ACB>∠B, που ήταν αυτό που έπρεπε να αποδειχθεί. 2. Δίνονται: ∠Γ>∠Β Απόδειξη: ∠AB>∠AC Ρύζι. 2. Αντίστροφο θεώρημα για τη σχέση μεταξύ των πλευρών και των γωνιών ενός τριγώνου Ας διατυπώσουμε ξανά το θεώρημα και ας το επεκτείνουμε σε όλες τις γωνίες του τριγώνου. Θεώρημα: Σε τρίγωνο 1. Απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά βρίσκεται η μεγαλύτερη γωνία 2. Αντίθετα, η μεγαλύτερη πλευρά βρίσκεται απέναντι από τη μεγαλύτερη γωνία. Ρύζι. 3. Σχέδιο για το θεώρημα Αν AB>AC>BC, τότε ∠C>∠B>∠A. Αν ∠C>∠B>∠A, τότε AB>AC>BC. Συμπέρασμα 1: Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, η υποτείνουσα είναι μεγαλύτερη από το σκέλος. Απόδειξη: Ρύζι. 4. Σχέδιο για το συμπέρασμα 1 ∠A+∠B+90=180, ∠A+∠B=90=∠C. Από αυτό προκύπτει ότι ∠Α<90, ∠В<90. Значит, СВ<АВ, СА<АВ. Гипотенуза АВ больше одного катета и больше другого катета. Следствие доказано. Συμπέρασμα 2: Αν δύο γωνίες ενός τριγώνου είναι ίσες, τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές (δοκιμή ισοσκελούς τριγώνου). Δίνονται: ∠B=∠C Απόδειξη: AC=AB Απόδειξη: Ας το αποδείξουμε με αντίφαση. Ρύζι. 5. Σχέδιο για το συμπέρασμα 2 AB>AC ∠C>∠B, δηλαδή AB=AC. Η έρευνα έχει αποδειχθεί. Ας συζητήσουμε το συμπέρασμα 2. Ένα τρίγωνο ονομάζεται ισοσκελές αν οι δύο πλευρές του είναι ίσες. Από αυτό προκύπτει η ιδιότητά του: οι γωνίες στη βάση είναι ίσες. Και τώρα έχουμε ένα σημάδι ότι αν οι γωνίες σε οποιαδήποτε πλευρά είναι ίσες, τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Έχουμε το ζώδιο ενός ισοσκελούς τριγώνου. Παράδειγμα 1: Συγκρίνετε τις γωνίες ενός τριγώνου και βρείτε αν η γωνία Α μπορεί να είναι αμβλεία αν AB = AC<ВС. Ρύζι. 6. Σχέδιο για παράδειγμα 1 AB=AC ∠C=∠B. ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ<ВС ÐВ<ÐА. Мы получили соотношение между углами: ∠С=∠В ∠А=180-(∠В+∠С). Παράδειγμα: ∠B=∠C=10, μετά ∠A=180-(10+10)=160. Απάντηση: 1) ∠B=∠C<∠А 2) ∠А может быть тупым. Στο σημερινό μάθημα εξετάσαμε το θεώρημα για τη σχέση μεταξύ των πλευρών και των γωνιών ενός τριγώνου. Στο επόμενο μάθημα θα εξετάσουμε το θέμα της ανισότητας τριγώνου. Το μάθημα βίντεο «Θεώρημα για τις σχέσεις μεταξύ των πλευρών και των γωνιών ενός τριγώνου» παρουσιάζει αυτό το θεώρημα, καθώς και τις συνέπειές του. Η γνώση του θεωρήματος και των συνεπειών του είναι απαραίτητη για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων στη γεωμετρία, στα οποία χρησιμοποιούνται διάφοροι λόγοι των πλευρών και των γωνιών του για την εύρεση των παραμέτρων ενός τριγώνου. Ο σκοπός του μαθήματος βίντεο είναι να διευκολύνει την κατανόηση του υλικού και να προωθήσει την απομνημόνευση του θεωρήματος και των συνεπειών του. Το μάθημα βίντεο χρησιμοποιεί εφέ κινούμενων σχεδίων που βοηθούν στην επισήμανση σημαντικών λεπτομερειών γεωμετρικών σχημάτων κατά την εκμάθηση του υλικού. Η χρωματική επισήμανση χρησιμοποιείται επίσης για την επισήμανση της δήλωσης του θεωρήματος και των συνεπειών του. Η φωνητική επεξήγηση αντικαθιστά πλήρως τον δάσκαλο κατά την τυπική παρουσίαση νέου υλικού στους μαθητές. Στην αρχή του βίντεο μαθήματος, μετά την παρουσίαση του θέματος, εμφανίζεται στην οθόνη το κείμενο του θεωρήματος, το οποίο δηλώνει ότι μια μεγαλύτερη γωνία βρίσκεται απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά σε ένα αυθαίρετο τρίγωνο, αλλά απέναντι από τη μεγαλύτερη γωνία υπάρχει πάντα μια μεγαλύτερη πλευρά. Αυτή η δήλωση αποδεικνύεται στο τρίγωνο ΔABC, το οποίο εμφανίζεται στο σχήμα κάτω από το κείμενο του θεωρήματος. Η απόδειξη του θεωρήματος εξηγείται προφορικά από τον ομιλητή. Για να αποδειχθεί η δήλωση, υποτίθεται ότι λαμβάνονται υπόψη οι πλευρές AB, AC και οι γωνίες που βρίσκονται απέναντι τους - ∠C και ∠B. Υποτίθεται ότι για τις πλευρές AB>AC οι αντίθετες γωνίες θα είναι ∠C>∠B. Στην πλευρά AB είναι τοποθετημένο ένα τμήμα AD, ίσο σε μέγεθος με το τμήμα AC. Δεδομένου ότι η πλευρά AC είναι μικρότερη από την πλευρά AB, το άκρο του τμήματος σημείου D βρίσκεται μεταξύ των κορυφών του τριγώνου Α και Β. Από αυτό προκύπτει ότι η γωνία ∠1 που σχηματίζεται κατά την κατασκευή είναι μικρότερη από τη γωνία ∠C και η γωνία ∠2 ως εξωτερικό της γωνίας ∠BDC ισούται με το άθροισμα των γωνιών ∠DBC και ∠DCB. Αυτό σημαίνει ότι το ∠2 είναι μεγαλύτερο από τη γωνία ∠DBC=∠B. Αντίστοιχα, η γωνία ∠C είναι μεγαλύτερη από τη γωνία ∠B. Η απόδειξη της αντίστροφης πρότασης συνοψίζεται στην εξέταση του λόγου διαστάσεων AB, AC εάν η γωνία ∠C είναι μεγαλύτερη από τη γωνία ∠B. Γίνεται απόδειξη με αντίφαση. Για να γίνει αυτό, υποτίθεται ότι για ∠C>∠B η πλευρά AB είναι ίση ή μικρότερη από την πλευρά AC. Λαμβάνοντας όμως υπόψη την ισότητα των πλευρών AB=AC, γνωρίζοντας τις ιδιότητες ενός ισοσκελούς τριγώνου, μπορούμε να υποστηρίξουμε ότι στην περίπτωση αυτή οι γωνίες ∠C=∠B θα είναι επίσης ίσες. Αν ΑΒ Το παρακάτω βίντεο εκμάθησης συζητά τις συνέπειες αυτού του θεωρήματος. Δηλώνεται ότι, με βάση αυτό το θεώρημα, η υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι πάντα μεγαλύτερη από το σκέλος. Πράγματι, δεδομένου ότι η υποτείνουσα βρίσκεται απέναντι από τη σωστή γωνία, τα πόδια βρίσκονται απέναντι από τις οξείες γωνίες. Δεδομένου ότι οι οξείες γωνίες είναι πάντα μικρότερες από τις ορθές, οι απέναντι πλευρές είναι πάντα μικρότερες από την υποτείνουσα. Το δεύτερο συμπέρασμα του θεωρήματος είναι το πρόσημο ενός ισοσκελούς τριγώνου. Αυτό το συμπέρασμα αναφέρει ότι η ισότητα δύο γωνιών ενός τριγώνου σημαίνει ότι είναι ισοσκελές. Χρησιμοποιώντας το παράδειγμα του τριγώνου ΔABC, θεωρούμε δύο γωνίες ∠C και ∠B και τις απέναντι πλευρές AB και AC. Θεωρείται ότι η ισότητα των γωνιών ∠C=∠B αντιστοιχεί στην ισότητα των πλευρών AB=AC. Πράγματι, αν οι πλευρές δεν ήταν ίσες, τότε, σύμφωνα με το θεώρημα, μια μεγαλύτερη γωνία θα βρισκόταν απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά και μια μικρότερη γωνία θα βρισκόταν απέναντι από τη μικρότερη πλευρά. Επομένως, η υπόθεση της ανισότητας των πλευρών είναι εσφαλμένη. Αυτό το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Η έρευνα έχει αποδειχθεί.
, αλλά ∠C>∠B από συνθήκη, επομένως, η μόνη περίπτωση που απομένει είναι εάν AB>AC, που είναι αυτό που έπρεπε να αποδειχθεί.
