Πώς να εξαγάγετε τη ρίζα του 15. Εξαγωγή της τετραγωνικής ρίζας των αριθμών

Τι είναι η τετραγωνική ρίζα;

Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικό στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους έντονα "όχι πολύ..."
Και για όσους "πολύ...")

Αυτή η ιδέα είναι πολύ απλή. Φυσικό, θα έλεγα. Οι μαθηματικοί προσπαθούν να βρουν μια αντίδραση για κάθε ενέργεια. Υπάρχει πρόσθεση και υπάρχει αφαίρεση. Υπάρχει πολλαπλασιασμός και διαίρεση. Υπάρχει τετραγωνισμός ... Άρα υπάρχει και εξαγωγή τετραγωνική ρίζα! Αυτό είναι όλο. Αυτή η ενέργεια ( παίρνοντας την τετραγωνική ρίζα) στα μαθηματικά συμβολίζεται με αυτό το εικονίδιο:

Το ίδιο το εικονίδιο ονομάζεται όμορφη λέξη "ριζικό".

Πώς να εξαγάγετε τη ρίζα;Είναι καλύτερα να εξετάσετε παραδείγματα.

Ποια είναι η τετραγωνική ρίζα του 9; Και ποιος αριθμός στο τετράγωνο θα μας δώσει το 9; Το 3 στο τετράγωνο μας δίνει 9! Εκείνοι:

Ποια είναι η τετραγωνική ρίζα του μηδενός; Κανένα πρόβλημα! Ποιος αριθμός στο τετράγωνο μηδέν δίνει; Ναι, ο ίδιος δίνει μηδέν! Που σημαίνει:

Πιάστηκε τι είναι η τετραγωνική ρίζα;Στη συνέχεια εξετάζουμε παραδείγματα:

Απαντήσεις (σε αταξία): 6; 1; 4; 9; 5.

Αποφασισμένος? Πραγματικά, είναι πολύ πιο εύκολο!

Αλλά... Τι κάνει ένας άνθρωπος όταν βλέπει κάποια εργασία με ρίζες;

Ένα άτομο αρχίζει να λαχταρά ... Δεν πιστεύει στην απλότητα και την ελαφρότητα των ριζών. Αν και φαίνεται να ξέρει τι είναι τετραγωνική ρίζα...

Αυτό συμβαίνει επειδή ένα άτομο έχει αγνοήσει πολλά σημαντικά σημεία κατά τη μελέτη των ριζών. Τότε αυτές οι μόδες εκδικούνται βάναυσα τις εξετάσεις και τις εξετάσεις...

Σημείο ένα. Οι ρίζες πρέπει να αναγνωρίζονται από την όραση!

Ποια είναι η τετραγωνική ρίζα του 49; Επτά; Σωστά! Πώς ήξερες ότι ήταν επτά; Τετράγωνο επτά και πήρε 49; Σωστά! Παρακαλούμε να σημειώσετε ότι εξάγετε τη ρίζααπό τα 49, έπρεπε να κάνουμε την αντίστροφη πράξη - τετράγωνο 7! Και φροντίστε να μην χάσουμε. Ή μπορεί να χάσουν…

Εκεί βρίσκεται η δυσκολία εξαγωγή ρίζας. Τετραγωνισμόςοποιοσδήποτε αριθμός είναι δυνατός χωρίς ειδικά προβλήματα. Πολλαπλασιάστε τον αριθμό από μόνος του σε μια στήλη - και αυτό είναι όλο. Αλλά εξαγωγή ρίζαςδεν υπάρχει τόσο απλή και απροβλημάτιστη τεχνολογία. για λογαριασμό μαζεύωαπαντήστε και ελέγξτε το για χτύπημα με τετράγωνο.

Αυτή η πολύπλοκη δημιουργική διαδικασία - η επιλογή μιας απάντησης - απλοποιείται πολύ αν το κάνετε θυμάμαιτετράγωνα δημοφιλών αριθμών. Σαν πίνακας πολλαπλασιασμού. Αν, ας πούμε, χρειάζεται να πολλαπλασιάσετε το 4 με το 6 - δεν προσθέτετε τα τέσσερα 6 φορές, σωστά; Η απάντηση εμφανίζεται αμέσως 24. Αν και δεν την έχουν όλοι, ναι ...

Δωρεάν και επιτυχημένη δουλειάμε τις ρίζες, αρκεί να γνωρίζουμε τα τετράγωνα των αριθμών από το 1 έως το 20. Επιπλέον, εκείΚαι πίσω.Εκείνοι. θα πρέπει να μπορείτε να ονομάσετε εύκολα και τα δύο, ας πούμε, το 11 στο τετράγωνο και την τετραγωνική ρίζα του 121. Για να επιτύχετε αυτήν την απομνημόνευση, υπάρχουν δύο τρόποι. Το πρώτο είναι να μάθετε τον πίνακα των τετραγώνων. Αυτό θα βοηθήσει πολύ με παραδείγματα. Το δεύτερο είναι να λύσουμε περισσότερα παραδείγματα. Είναι υπέροχο να θυμόμαστε τον πίνακα των τετραγώνων.

Και όχι αριθμομηχανές! Μόνο για επαλήθευση. Διαφορετικά, θα επιβραδύνετε αλύπητα κατά τη διάρκεια των εξετάσεων ...

Ετσι, τι είναι τετραγωνική ρίζαΚαι πως εκχύλιση ριζών- Νομίζω ότι είναι κατανοητό. Τώρα ας μάθουμε ΑΠΟ ΤΙ μπορείτε να τα εξαγάγετε.

Σημείο δύο. Root, δεν σε ξέρω!

Από ποιους αριθμούς μπορείτε να πάρετε τετραγωνικές ρίζες; Ναι, σχεδόν οποιοδήποτε. Είναι πιο εύκολο να καταλάβεις τι ειναι ΑΠΑΓΟΡΕΥΜΕΝΟεξάγετε τα.

Ας προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε αυτή τη ρίζα:

Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να σηκώσετε έναν αριθμό που στο τετράγωνο θα μας δώσει -4. Επιλέγουμε.

Τι δεν επιλέγεται; Το 2 2 δίνει +4. (-2) Το 2 δίνει πάλι +4! Αυτό ήταν... Δεν υπάρχουν αριθμοί που όταν τετραγωνιστούν, θα μας δώσουν αρνητικό αριθμό! Κι ας ξέρω τους αριθμούς. Αλλά δεν θα σας πω.) Πηγαίνετε στο κολέγιο και μάθετε μόνοι σας.

Η ίδια ιστορία θα είναι και με οποιονδήποτε αρνητικό αριθμό. Εξ ου και το συμπέρασμα:

Μια έκφραση στην οποία ένας αρνητικός αριθμός βρίσκεται κάτω από το σύμβολο της τετραγωνικής ρίζας - δεν έχει νόημα! Αυτή είναι μια απαγορευμένη λειτουργία. Τόσο απαγορευμένη όσο η διαίρεση με το μηδέν. Λάβετε υπόψη αυτό το γεγονός!Ή, με άλλα λόγια:

Οι τετραγωνικές ρίζες του αρνητικούς αριθμούςδεν μπορεί να εξαχθεί!

Αλλά από όλα τα υπόλοιπα - μπορείτε. Για παράδειγμα, είναι δυνατός ο υπολογισμός

Με την πρώτη ματιά, αυτό είναι πολύ δύσκολο. Σήκωσε κλάσματα, αλλά τετράγωνε... Μην ανησυχείς. Όταν ασχολούμαστε με τις ιδιότητες των ριζών, τέτοια παραδείγματα θα αναχθούν στον ίδιο πίνακα τετραγώνων. Η ζωή θα γίνει πιο εύκολη!

Εντάξει κλάσματα. Αλλά εξακολουθούμε να συναντάμε εκφράσεις όπως:

Είναι εντάξει. Ολα τα ίδια. Η τετραγωνική ρίζα του δύο είναι ο αριθμός που, όταν τετραγωνιστεί, θα μας δώσει ένα δυάρι. Μόνο που ο αριθμός είναι εντελώς άνισος ... Εδώ είναι:

Είναι ενδιαφέρον ότι αυτό το κλάσμα δεν τελειώνει ποτέ... Τέτοιοι αριθμοί ονομάζονται παράλογοι. Στις τετραγωνικές ρίζες, αυτό είναι το πιο συνηθισμένο πράγμα. Παρεμπιπτόντως, γι' αυτό ονομάζονται οι εκφράσεις με ρίζες παράλογος. Είναι σαφές ότι το να γράφεις συνεχώς ένα τέτοιο άπειρο κλάσμα είναι άβολο. Επομένως, αντί για άπειρο κλάσμα, το αφήνουν ως εξής:

Εάν, κατά την επίλυση του παραδείγματος, λάβετε κάτι που δεν μπορεί να εξαχθεί, όπως:

τότε το αφήνουμε έτσι. Αυτή θα είναι η απάντηση.

Πρέπει να κατανοήσετε ξεκάθαρα τι υπάρχει κάτω από τα εικονίδια

Φυσικά, αν ληφθεί η ρίζα του αριθμού λείος, πρέπει να το κάνετε. Η απάντηση της εργασίας στη φόρμα, για παράδειγμα

αρκετά ολοκληρωμένη απάντηση.

Και, φυσικά, πρέπει να γνωρίζετε τις κατά προσέγγιση τιμές από τη μνήμη:

Αυτή η γνώση βοηθά πολύ στην αξιολόγηση της κατάστασης σε πολύπλοκες εργασίες.

Σημείο τρία. Το πιο πονηρό.

Η κύρια σύγχυση στη δουλειά με τις ρίζες φέρεται ακριβώς από αυτή τη μόδα. Είναι αυτός που δίνει αυτοαμφιβολία... Ας αντιμετωπίσουμε σωστά αυτή τη μόδα!

Αρχικά, εξάγουμε και πάλι την τετραγωνική ρίζα των τεσσάρων τους. Τι, σε έχω ήδη με αυτή τη ρίζα;) Τίποτα, τώρα θα είναι ενδιαφέρον!

Ποιος αριθμός θα δώσει στο τετράγωνο του 4; Λοιπόν, δύο, δύο - ακούω δυσαρεστημένες απαντήσεις ...

Σωστά. Δύο. Αλλά επίσης μείον δύοθα δώσει 4 στο τετράγωνο ... Εν τω μεταξύ, η απάντηση

σωστή και η απάντηση

το χειρότερο λάθος. Σαν αυτό.

Ποια είναι λοιπόν η συμφωνία;

Πράγματι, (-2) 2 = 4. Και κάτω από τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας των τεσσάρων μείον δύοαρκετά κατάλληλο ... Αυτή είναι και η τετραγωνική ρίζα των τεσσάρων.

Αλλά! ΣΕ σχολικό μάθημαΤα μαθηματικά θεωρούνται τετραγωνικές ρίζες μόνο μη αρνητικοί αριθμοί!Δηλαδή μηδέν και όλα θετικά. Ακόμη και ένας ειδικός όρος επινοήθηκε: από τον αριθμό ΕΝΑ- Αυτό μη αρνητικόαριθμός του οποίου το τετράγωνο είναι ΕΝΑ. Τα αρνητικά αποτελέσματα κατά την εξαγωγή της αριθμητικής τετραγωνικής ρίζας απλώς απορρίπτονται. Στο σχολείο, όλες οι τετραγωνικές ρίζες - αριθμητική. Αν και δεν αναφέρεται συγκεκριμένα.

Εντάξει, αυτό είναι κατανοητό. Είναι ακόμα καλύτερα να μην μπλέκεις με αρνητικά αποτελέσματα... Δεν είναι ακόμα σύγχυση.

Η σύγχυση αρχίζει κατά την επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων. Για παράδειγμα, πρέπει να λύσετε την ακόλουθη εξίσωση.

Η εξίσωση είναι απλή, γράφουμε την απάντηση (όπως διδάσκεται):

Αυτή η απάντηση (πολύ σωστή, παρεμπιπτόντως) είναι απλώς μια συνοπτική σημειογραφία δύοαπαντήσεις:

Σταμάτα σταμάτα! Λίγο πιο πάνω έγραψα ότι η τετραγωνική ρίζα είναι αριθμός Πάνταμη αρνητικό! Και εδώ είναι μια από τις απαντήσεις - αρνητικός! Διαταραχή. Αυτό είναι το πρώτο (αλλά όχι το τελευταίο) πρόβλημα που προκαλεί δυσπιστία στις ρίζες... Ας λύσουμε αυτό το πρόβλημα. Ας γράψουμε τις απαντήσεις (καθαρά για κατανόηση!) ως εξής:

Οι παρενθέσεις δεν αλλάζουν την ουσία της απάντησης. Μόλις χώρισα με αγκύλες σημάδιααπό ρίζα. Τώρα φαίνεται ξεκάθαρα ότι η ίδια η ρίζα (σε αγκύλες) εξακολουθεί να είναι ένας μη αρνητικός αριθμός! Και τα σημάδια είναι το αποτέλεσμα της επίλυσης της εξίσωσης. Άλλωστε, όταν λύνουμε οποιαδήποτε εξίσωση, πρέπει να γράφουμε Ολα x, το οποίο, όταν αντικατασταθεί στην αρχική εξίσωση, θα δώσει το σωστό αποτέλεσμα. Η ρίζα του πέντε (θετική!) είναι κατάλληλη για την εξίσωσή μας και με το συν και με το πλην.

Σαν αυτό. Αν εσύ απλά πάρτε την τετραγωνική ρίζααπό οτιδήποτε εσύ Πάνταπαίρνω ένα μη αρνητικόαποτέλεσμα. Για παράδειγμα:

Γιατι το - αριθμητική τετραγωνική ρίζα.

Αν όμως αποφασίσεις τετραγωνική εξίσωση, τύπος:

Οτι Πάντααποδεικνύεται δύοαπάντηση (με συν και πλην):

Γιατί είναι η λύση μιας εξίσωσης.

Ελπίδα, τι είναι τετραγωνική ρίζασωστά κατάλαβες με τους βαθμούς σου. Τώρα μένει να μάθουμε τι μπορεί να γίνει με τις ρίζες, ποιες είναι οι ιδιότητές τους. Και τι είναι οι μόδες και τα υποβρύχια κουτιά ... με συγχωρείτε, πέτρες!)

Όλα αυτά - στα επόμενα μαθήματα.

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Μάθηση - με ενδιαφέρον!)

μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.

Ο υπολογισμός (ή η εξαγωγή) της τετραγωνικής ρίζας μπορεί να γίνει με διάφορους τρόπους, αλλά όλοι τους δεν είναι πολύ απλοί. Είναι πιο εύκολο, φυσικά, να καταφύγετε στη βοήθεια μιας αριθμομηχανής. Αλλά αν αυτό δεν είναι δυνατό (ή θέλετε να κατανοήσετε την ουσία της τετραγωνικής ρίζας), μπορώ να σας συμβουλεύσω να ακολουθήσετε τον ακόλουθο τρόπο, ο αλγόριθμός του είναι ο εξής:

Εάν δεν έχετε τη δύναμη, την επιθυμία ή την υπομονή για τέτοιους μακροσκελούς υπολογισμούς, μπορείτε να καταφύγετε σε πρόχειρη επιλογή, το πλεονέκτημά του είναι ότι είναι απίστευτα γρήγορο και, με τη δέουσα ευρηματικότητα, ακριβές. Παράδειγμα:

Όταν ήμουν στο σχολείο (στις αρχές της δεκαετίας του '60), μας έμαθαν να παίρνουμε την τετραγωνική ρίζα οποιουδήποτε αριθμού. Η τεχνική είναι απλή, εξωτερικά παρόμοια με τη διαίρεση με στήλη, αλλά για να το δηλώσουμε εδώ, θα χρειαστεί μισή ώρα και 4-5 χιλιάδες χαρακτήρες κειμένου. Αλλά γιατί το χρειάζεστε; Έχετε τηλέφωνο ή άλλο gadget, υπάρχει αριθμομηχανή σε nm. Υπάρχει μια αριθμομηχανή σε κάθε υπολογιστή. Προσωπικά, προτιμώ να κάνω αυτού του είδους τους υπολογισμούς στο Excel.

Συχνά στο σχολείο απαιτείται η εύρεση τετραγωνικών ριζών διαφορετικούς αριθμούς. Αλλά αν έχουμε συνηθίσει να χρησιμοποιούμε μια αριθμομηχανή όλη την ώρα για αυτό, τότε δεν θα υπάρχει τέτοια ευκαιρία στις εξετάσεις, επομένως πρέπει να μάθετε πώς να αναζητάτε τη ρίζα χωρίς τη βοήθεια αριθμομηχανής. Και είναι καταρχήν δυνατό να γίνει αυτό.

Ο αλγόριθμος είναι:

Κοιτάξτε πρώτα το τελευταίο ψηφίο του αριθμού σας:

Για παράδειγμα,

Τώρα πρέπει να προσδιορίσετε περίπου την τιμή για τη ρίζα από την πιο αριστερή ομάδα

Στην περίπτωση που ο αριθμός έχει περισσότερες από δύο ομάδες, τότε πρέπει να βρείτε τη ρίζα ως εξής:

Αλλά ο επόμενος αριθμός θα πρέπει να είναι ακριβώς ο μεγαλύτερος, πρέπει να τον σηκώσετε ως εξής:

Τώρα πρέπει να σχηματίσουμε έναν νέο αριθμό Α προσθέτοντας στο υπόλοιπο που λήφθηκε παραπάνω, την επόμενη ομάδα.

Στα παραδείγματά μας:

Μια στήλη najna, και όταν χρειάζονται περισσότεροι από δεκαπέντε χαρακτήρες, τότε οι υπολογιστές και τα τηλέφωνα με αριθμομηχανές συνήθως ξεκουράζονται. Απομένει να ελέγξουμε αν η περιγραφή της μεθοδολογίας θα πάρει 4-5 χιλιάδες χαρακτήρες.

Berm οποιονδήποτε αριθμό, από κόμμα μετράμε ζεύγη ψηφίων δεξιά και αριστερά

Για παράδειγμα, 1234567890.098765432100

Ένα ζεύγος ψηφίων είναι σαν ένας διψήφιος αριθμός. Η ρίζα ενός διψήφιου είναι ένα προς ένα. Επιλέγουμε ένα μονής τιμής, το τετράγωνο του οποίου είναι μικρότερο από το πρώτο ζεύγος ψηφίων. Στην περίπτωσή μας είναι 3.

Όπως όταν διαιρούμε με μια στήλη, κάτω από το πρώτο ζεύγος γράφουμε αυτό το τετράγωνο και αφαιρούμε από το πρώτο ζεύγος. Το αποτέλεσμα υπογραμμίζεται. 12 - 9 = 3. Προσθέστε ένα δεύτερο ζεύγος ψηφίων σε αυτή τη διαφορά (θα είναι 334). Στα αριστερά του αριθμού των μπερμ, η διπλασιασμένη τιμή του τμήματος του αποτελέσματος που έχει ήδη βρεθεί συμπληρώνεται με ένα ψηφίο (έχουμε 2 * 6 = 6), έτσι ώστε όταν πολλαπλασιαστεί με τον αριθμό που δεν ελήφθη, να κάνει δεν υπερβαίνει τον αριθμό με το δεύτερο ζεύγος ψηφίων. Καταλαβαίνουμε ότι ο αριθμός που βρέθηκε είναι πέντε. Βρίσκουμε πάλι τη διαφορά (9), καταρρίπτουμε το επόμενο ζεύγος ψηφίων, παίρνοντας 956, γράφουμε ξανά το διπλασιασμένο μέρος του αποτελέσματος (70), προσθέτουμε ξανά το απαραίτητο ψηφίο και ούτω καθεξής μέχρι να σταματήσει. Ή στην απαιτούμενη ακρίβεια των υπολογισμών.

Πρώτον, για να υπολογίσετε την τετραγωνική ρίζα, πρέπει να γνωρίζετε καλά τον πίνακα πολλαπλασιασμού. Τα πιο απλά παραδείγματα είναι 25 (5 επί 5 = 25) και ούτω καθεξής. Αν πάρουμε τους αριθμούς πιο περίπλοκους, τότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτόν τον πίνακα, όπου υπάρχουν μονάδες οριζόντια και δεκάδες κάθετα.



Τρώω καλός τρόποςπώς να βρείτε τη ρίζα ενός αριθμού χωρίς τη βοήθεια αριθμομηχανών. Για να το κάνετε αυτό, θα χρειαστείτε έναν χάρακα και μια πυξίδα. Η ουσία είναι ότι βρίσκετε στον χάρακα την τιμή που έχετε κάτω από τη ρίζα. Για παράδειγμα, βάλτε ένα σημάδι κοντά στο 9. Η αποστολή σας είναι να διαιρέσετε αυτόν τον αριθμό σε ίσο αριθμό τμημάτων, δηλαδή σε δύο γραμμές των 4,5 cm η καθεμία και σε ένα άρτιο τμήμα. Είναι εύκολο να μαντέψει κανείς ότι στο τέλος θα λάβετε 3 τμήματα των 3 εκατοστών.

Η μέθοδος δεν είναι εύκολη και μεγάλα νούμεραδεν είναι κατάλληλο, αλλά θεωρείται χωρίς αριθμομηχανή.

χωρίς τη βοήθεια αριθμομηχανής διδάχθηκε η μέθοδος εξαγωγής της τετραγωνικής ρίζας Σοβιετική εποχήστο σχολείο στην 8η τάξη.

Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να σπάσετε πολυψήφιος αριθμόςαπό δεξιά προς τα αριστερά στην άκρη των 2 ψηφίων :

Το πρώτο ψηφίο της ρίζας είναι ολόκληρη η ρίζα της αριστερής πλευράς, μέσα αυτή η υπόθεση, 5.

Αφαιρέστε το 5 στο τετράγωνο από το 31, 31-25=6 και προσθέστε την επόμενη όψη στο έξι, έχουμε 678.

Το επόμενο ψηφίο x επιλέγεται για να διπλασιάσει το πέντε έτσι ώστε

Το 10x*x ήταν το μέγιστο, αλλά λιγότερο από 678.

x=6 γιατί 106*6=636,

τώρα υπολογίζουμε 678 - 636 = 42 και προσθέτουμε την επόμενη όψη 92, έχουμε 4292.

Και πάλι ψάχνουμε για το μέγιστο x, έτσι ώστε 112x*x lt; 4292.

Απάντηση: η ρίζα είναι 563

Έτσι μπορείτε να συνεχίσετε όσο θέλετε.

Σε ορισμένες περιπτώσεις, μπορείτε να προσπαθήσετε να επεκτείνετε τον αριθμό ρίζας σε δύο ή περισσότερους τετράγωνους παράγοντες.

Είναι επίσης χρήσιμο να θυμάστε τον πίνακα (ή τουλάχιστον ένα μέρος του) - τα τετράγωνα των φυσικών αριθμών από το 10 έως το 99.



Προτείνω μια παραλλαγή εξαγωγής της τετραγωνικής ρίζας σε μια στήλη που επινόησα. Διαφέρει από τα γνωστά, εκτός από την επιλογή των αριθμών. Αλλά όπως έμαθα αργότερα, αυτή τη μέθοδουπήρχε ήδη πολλά χρόνια πριν γεννηθώ. Ο μεγάλος Ισαάκ Νεύτων το περιέγραψε στο βιβλίο του Γενική Αριθμητική ή σε ένα βιβλίο για την αριθμητική σύνθεση και ανάλυση. Εδώ λοιπόν παρουσιάζω το όραμα και το σκεπτικό μου για τον αλγόριθμο της μεθόδου Newton. Δεν χρειάζεται να απομνημονεύσετε τον αλγόριθμο. Μπορείτε απλά να χρησιμοποιήσετε το διάγραμμα στο σχήμα ως οπτικό βοήθημα εάν είναι απαραίτητο.







Με τη βοήθεια πινάκων, δεν μπορείτε να υπολογίσετε, αλλά να βρείτε, τις τετραγωνικές ρίζες μόνο από τους αριθμούς που υπάρχουν στους πίνακες. Ο ευκολότερος τρόπος υπολογισμού των ριζών δεν είναι μόνο το τετράγωνο, αλλά και άλλες μοίρες, με τη μέθοδο των διαδοχικών προσεγγίσεων. Για παράδειγμα, υπολογίζουμε την τετραγωνική ρίζα του 10739, αντικαθιστούμε τα τρία τελευταία ψηφία με μηδενικά και εξάγουμε τη ρίζα του 10000, παίρνουμε το 100 με ένα μειονέκτημα, οπότε παίρνουμε τον αριθμό 102 και τον τετραγωνίζουμε, παίρνουμε 10404, που είναι επίσης μικρότερο από την καθορισμένη τιμή, παίρνουμε πάλι 103*103=10609 με μειονέκτημα, παίρνουμε 103,5 * 103,5 \u003d 10712,25, παίρνουμε ακόμη περισσότερα 103,6 * 103,6 \u003d 10703. 703d . 9, που είναι ήδη μέσα υπέρβαση. Μπορείτε να πάρετε την τετραγωνική ρίζα του 10739 να είναι περίπου ίση με 103,6. Πιο συγκεκριμένα 10739=103.629... . . Ομοίως, υπολογίζουμε την κυβική ρίζα, πρώτα από το 10000 παίρνουμε περίπου 25 * 25 * 25 = 15625, το οποίο υπερβαίνει, παίρνουμε 22 * ​​22 * ​​22 = 10,648, παίρνουμε λίγο περισσότερο από 22,06 * 22,06 * 22,06 = 10735, που είναι πολύ κοντά στο δεδομένο.

Κατά προτίμηση μηχανικής - ένα στο οποίο υπάρχει ένα κουμπί με το σύμβολο της ρίζας: "√". Συνήθως, για να εξαγάγετε τη ρίζα, αρκεί να πληκτρολογήσετε τον ίδιο τον αριθμό και, στη συνέχεια, να πατήσετε το κουμπί: "√".

Στα πιο σύγχρονα κινητά τηλέφωναυπάρχει μια εφαρμογή "αριθμομηχανή" με λειτουργία εξαγωγής ρίζας. Η διαδικασία εύρεσης της ρίζας ενός αριθμού με χρήση τηλεφωνικής αριθμομηχανής είναι παρόμοια με την παραπάνω.
Παράδειγμα.
Βρείτε από το 2.
Ενεργοποιούμε την αριθμομηχανή (αν είναι απενεργοποιημένη) και πατάμε διαδοχικά τα κουμπιά με την εικόνα των δύο και τη ρίζα (“2”, “√”). Το πάτημα του πλήκτρου "=" συνήθως δεν είναι απαραίτητο. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε έναν αριθμό όπως 1,4142 (ο αριθμός των χαρακτήρων και η "στρογγυλότητα" εξαρτάται από το βάθος bit και τις ρυθμίσεις της αριθμομηχανής).
Σημείωση: όταν προσπαθείτε να βρείτε τη ρίζα, η αριθμομηχανή συνήθως δίνει ένα σφάλμα.

Εάν έχετε πρόσβαση σε υπολογιστή, τότε η εύρεση της ρίζας ενός αριθμού είναι πολύ απλή.
1. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την εφαρμογή Αριθμομηχανή που είναι διαθέσιμη σε σχεδόν οποιονδήποτε υπολογιστή. Για τα Windows XP, αυτό το πρόγραμμα μπορεί να εκτελεστεί ως εξής:
"Έναρξη" - "Όλα τα προγράμματα" - "Αξεσουάρ" - "Αριθμομηχανή".
Είναι καλύτερα να ρυθμίσετε την προβολή σε "κανονική". Παρεμπιπτόντως, σε αντίθεση με μια πραγματική αριθμομηχανή, το κουμπί για την εξαγωγή της ρίζας επισημαίνεται ως "sqrt", όχι "√".

Εάν δεν φτάσετε στην αριθμομηχανή με τον καθορισμένο τρόπο, τότε μπορείτε να ξεκινήσετε την τυπική αριθμομηχανή "μη αυτόματα":
"Start" - "Run" - "calc".
2. Για να βρείτε τη ρίζα ενός αριθμού, μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε ορισμένα προγράμματα που είναι εγκατεστημένα στον υπολογιστή σας. Επιπλέον, το πρόγραμμα έχει τη δική του ενσωματωμένη αριθμομηχανή.

Για παράδειγμα, για την εφαρμογή MS Excel, μπορείτε να κάνετε την ακόλουθη σειρά ενεργειών:
Ξεκινάμε το MS Excel.

Γράφουμε σε οποιοδήποτε κελί τον αριθμό από τον οποίο θέλετε να εξαγάγετε τη ρίζα.

Μετακινήστε τον δείκτη κελιού σε διαφορετική θέση

Πατήστε το κουμπί επιλογής λειτουργίας (fx)

Επιλέξτε τη λειτουργία "ROOT".

Ως όρισμα συνάρτησης, καθορίστε ένα κελί με έναν αριθμό

Πατήστε "OK" ή "Enter"
πλεονέκτημα αυτή τη μέθοδοείναι ότι τώρα αρκεί να εισαγάγετε οποιαδήποτε τιμή στο κελί με τον αριθμό, όπως στο με η συνάρτηση εμφανίζεται αμέσως.
Σημείωση.
Υπάρχουν αρκετοί άλλοι, πιο εξωτικοί τρόποι για να βρείτε τη ρίζα ενός αριθμού. Για παράδειγμα, μια "γωνία", χρησιμοποιώντας έναν κανόνα διαφανειών ή πίνακες Bradis. Ωστόσο, αυτές οι μέθοδοι δεν εξετάζονται σε αυτό το άρθρο λόγω της πολυπλοκότητας και της πρακτικής αχρηστίας τους.

Σχετικά βίντεο

Πηγές:

• πώς να βρείτε τη ρίζα ενός αριθμού

Μερικές φορές υπάρχουν περιπτώσεις όπου πρέπει να εκτελέσετε μαθηματικούς υπολογισμούς, συμπεριλαμβανομένης της εξαγωγής τετραγωνικών ριζών και ριζών υψηλότερου βαθμού από έναν αριθμό. Η ρίζα "n" του "a" είναι ο αριθμός ου βαθμούπου είναι ο αριθμός «α».

Εντολή

Για να βρείτε τη ρίζα "n" του , κάντε τα εξής.

Κάντε κλικ στον υπολογιστή σας "Έναρξη" - "Όλα τα προγράμματα" - "Αξεσουάρ". Στη συνέχεια, μπείτε στην υποενότητα "Βοηθητικά προγράμματα" και επιλέξτε "Αριθμομηχανή". Μπορείτε να το κάνετε χειροκίνητα: κάντε κλικ στο "Start", πληκτρολογήστε "calk" στη γραμμή "run" και πατήστε "Enter". θα ανοίξει. Για να εξαγάγετε την τετραγωνική ρίζα οποιουδήποτε αριθμού, πληκτρολογήστε τη στη γραμμή της αριθμομηχανής και πατήστε το κουμπί με την ένδειξη "sqrt". Η αριθμομηχανή θα εξαγάγει τη ρίζα του δεύτερου βαθμού, που ονομάζεται τετράγωνο, από τον εισαγόμενο αριθμό.

Για να εξαγάγετε τη ρίζα, ο βαθμός της οποίας είναι υψηλότερος από τη δεύτερη, πρέπει να χρησιμοποιήσετε ένα διαφορετικό είδος αριθμομηχανής. Για να το κάνετε αυτό, κάντε κλικ στο κουμπί "Προβολή" στη διεπαφή της αριθμομηχανής και επιλέξτε τη γραμμή "Μηχανική" ή "Επιστημονική" από το μενού. Αυτός ο τύπος αριθμομηχανής έχει τα απαραίτητα για τον υπολογισμό ρίζα nthσυνάρτηση βαθμού.

Για να εξαγάγετε τη ρίζα του τρίτου βαθμού (), στην αριθμομηχανή "engineering", πληκτρολογήστε τον επιθυμητό αριθμό και πατήστε το κουμπί "3√". Για να αποκτήσετε ρίζα μεγαλύτερη από την 3η, πληκτρολογήστε τον επιθυμητό αριθμό, πατήστε το κουμπί με το εικονίδιο "y√x" και, στη συνέχεια, εισαγάγετε τον αριθμό - τον εκθέτη. Μετά από αυτό, πατήστε το σύμβολο ίσον (κουμπί "=") και θα λάβετε τη ρίζα που αναζητάτε.

Εάν η αριθμομηχανή σας δεν έχει τη συνάρτηση "y√x", τα ακόλουθα.

Για να εξαγάγετε τη ρίζα του κύβου, εισαγάγετε τη ριζική έκφραση και, στη συνέχεια, επιλέξτε το πλαίσιο δίπλα στην επιγραφή "Inv". Με αυτήν την ενέργεια, θα αντιστρέψετε τις λειτουργίες των κουμπιών της αριθμομηχανής, δηλαδή κάνοντας κλικ στο κουμπί σε κύβο, θα εξαγάγετε τη ρίζα του κύβου. Στο κουμπί που εσείς

Κατά την επίλυση διαφόρων προβλημάτων από το μάθημα των μαθηματικών και της φυσικής, οι μαθητές και οι φοιτητές αντιμετωπίζουν συχνά την ανάγκη να εξάγουν ρίζες του δεύτερου, του τρίτου ή του nου βαθμού. Φυσικά, στον αιώνα Τεχνολογίες πληροφορικήςΔεν θα είναι δύσκολο να λύσετε ένα τέτοιο πρόβλημα χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή. Ωστόσο, υπάρχουν περιπτώσεις όπου είναι αδύνατο να χρησιμοποιήσετε ηλεκτρονικό βοηθό.

Για παράδειγμα, απαγορεύεται να φέρνεις ηλεκτρονικά σε πολλές εξετάσεις. Επιπλέον, η αριθμομηχανή μπορεί να μην είναι διαθέσιμη. Σε τέτοιες περιπτώσεις, είναι χρήσιμο να γνωρίζετε τουλάχιστον μερικές μεθόδους για τον χειροκίνητο υπολογισμό των ριζών.

Ένας από τους απλούστερους τρόπους υπολογισμού των ριζών είναι να χρησιμοποιώντας ειδικό τραπέζι. Τι είναι και πώς να το χρησιμοποιήσετε σωστά;

Χρησιμοποιώντας τον πίνακα, μπορείτε να βρείτε το τετράγωνο οποιουδήποτε αριθμού από το 10 έως το 99. Ταυτόχρονα, οι σειρές του πίνακα περιέχουν τιμές δεκάδων και οι στήλες περιέχουν τιμές μονάδας. Το κελί στην τομή μιας γραμμής και μιας στήλης περιέχει το τετράγωνο ενός διψήφιου αριθμού. Για να υπολογίσετε το τετράγωνο του 63, πρέπει να βρείτε μια γραμμή με τιμή 6 και μια στήλη με τιμή 3. Στη διασταύρωση, βρίσκουμε ένα κελί με τον αριθμό 3969.

Δεδομένου ότι η εξαγωγή της ρίζας είναι η αντίστροφη πράξη του τετραγωνισμού, για να εκτελέσετε αυτήν την ενέργεια, πρέπει να κάνετε το αντίθετο: πρώτα βρείτε το κελί με τον αριθμό του οποίου η ρίζα θέλετε να υπολογίσετε και, στη συνέχεια, καθορίστε την απάντηση από τις τιμές της στήλης και της γραμμής. Για παράδειγμα, θεωρήστε τον υπολογισμό της τετραγωνικής ρίζας του 169.

Βρίσκουμε ένα κελί με αυτόν τον αριθμό στον πίνακα, οριζόντια προσδιορίζουμε τις δεκάδες - 1, κάθετα βρίσκουμε τις - 3. Απάντηση: √169 = 13.

Ομοίως, μπορείτε να υπολογίσετε τις ρίζες του κυβικού και του ν-ου βαθμού, χρησιμοποιώντας τους κατάλληλους πίνακες.

Το πλεονέκτημα της μεθόδου είναι η απλότητά της και η απουσία πρόσθετων υπολογισμών. Τα μειονεκτήματα είναι προφανή: η μέθοδος μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο για περιορισμένο εύρος αριθμών (ο αριθμός για τον οποίο βρίσκεται η ρίζα πρέπει να είναι μεταξύ 100 και 9801). Επιπλέον, δεν θα λειτουργήσει εάν ο δεδομένος αριθμός δεν βρίσκεται στον πίνακα.

Πρωταρχική παραγοντοποίηση

Εάν ο πίνακας των τετραγώνων δεν είναι διαθέσιμος ή με τη βοήθειά του ήταν αδύνατο να βρείτε τη ρίζα, μπορείτε να δοκιμάσετε να αποσυνθέσετε τον αριθμό κάτω από τη ρίζα σε πρώτους παράγοντες. Οι πρώτοι παράγοντες είναι εκείνοι που μπορούν να διαιρεθούν πλήρως (χωρίς υπόλοιπο) μόνο από τον εαυτό τους ή από έναν. Τα παραδείγματα θα ήταν 2, 3, 5, 7, 11, 13 κ.λπ.

Εξετάστε τον υπολογισμό της ρίζας χρησιμοποιώντας το παράδειγμα √576. Ας το αναλύσουμε σε απλούς παράγοντες. Λαμβάνουμε το ακόλουθο αποτέλεσμα: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². Χρησιμοποιώντας την κύρια ιδιότητα των ριζών √a² = a, απαλλαγούμε από τις ρίζες και τα τετράγωνα, μετά την οποία υπολογίζουμε την απάντηση: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​= 24.

Τι να κάνετε εάν κάποιος από τους παράγοντες δεν έχει το δικό του ζεύγος; Για παράδειγμα, θεωρήστε τον υπολογισμό του √54. Μετά την παραγοντοποίηση, παίρνουμε το αποτέλεσμα με την ακόλουθη μορφή: Το μη αφαιρούμενο τμήμα μπορεί να μείνει κάτω από τη ρίζα. Για τα περισσότερα προβλήματα γεωμετρίας και άλγεβρας, μια τέτοια απάντηση θα μετρηθεί ως η τελική. Αλλά εάν υπάρχει ανάγκη να υπολογίσετε κατά προσέγγιση τιμές, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις μεθόδους που θα συζητηθούν αργότερα.

Η μέθοδος του Heron

Τι να κάνετε όταν πρέπει να γνωρίζετε τουλάχιστον περίπου ποια είναι η εξαγόμενη ρίζα (αν είναι αδύνατο να λάβετε μια ακέραια τιμή); Ένα γρήγορο και αρκετά ακριβές αποτέλεσμα επιτυγχάνεται με την εφαρμογή της μεθόδου Heron.. Η ουσία του έγκειται στη χρήση ενός κατά προσέγγιση τύπου:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

όπου R είναι ο αριθμός του οποίου η ρίζα πρόκειται να υπολογιστεί, a είναι ο πλησιέστερος αριθμός του οποίου η ρίζα είναι γνωστή.

Ας δούμε πώς λειτουργεί η μέθοδος στην πράξη και ας αξιολογήσουμε πόσο ακριβής είναι. Ας υπολογίσουμε με τι ισούται το √111. Ο πλησιέστερος αριθμός στο 111, η ρίζα του οποίου είναι γνωστή, είναι 121. Έτσι, R = 111, a = 121. Αντικαταστήστε τις τιμές στον τύπο:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

Τώρα ας ελέγξουμε την ακρίβεια της μεθόδου:

10,55² = 111,3025.

Το σφάλμα της μεθόδου ήταν περίπου 0,3. Εάν πρέπει να βελτιωθεί η ακρίβεια της μεθόδου, μπορείτε να επαναλάβετε τα βήματα που περιγράφηκαν προηγουμένως:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Ας ελέγξουμε την ακρίβεια του υπολογισμού:

10.536² = 111.0073.

Μετά από επανειλημμένη εφαρμογή του τύπου, το σφάλμα έγινε αρκετά ασήμαντο.

Υπολογισμός της ρίζας με διαίρεση σε στήλη

Αυτή η μέθοδος εύρεσης της τιμής της τετραγωνικής ρίζας είναι λίγο πιο περίπλοκη από τις προηγούμενες. Ωστόσο, είναι η πιο ακριβής μεταξύ άλλων μεθόδων υπολογισμού χωρίς αριθμομηχανή..

Ας πούμε ότι πρέπει να βρείτε την τετραγωνική ρίζα με ακρίβεια 4 δεκαδικών ψηφίων. Ας αναλύσουμε τον αλγόριθμο υπολογισμού χρησιμοποιώντας το παράδειγμα ενός αυθαίρετου αριθμού 1308.1912.

1. Διαχωρίστε το φύλλο χαρτιού σε 2 μέρη με μια κάθετη γραμμή και, στη συνέχεια, τραβήξτε μια άλλη γραμμή από αυτό προς τα δεξιά, λίγο κάτω από την επάνω άκρη. Γράφουμε τον αριθμό στην αριστερή πλευρά, χωρίζοντάς τον σε ομάδες των 2 ψηφίων, κινούμενοι προς τα δεξιά και αριστερή πλευράαπό κόμμα. Το πρώτο ψηφίο στα αριστερά μπορεί να είναι χωρίς ζεύγος. Εάν το σύμβολο λείπει στη δεξιά πλευρά του αριθμού, τότε θα πρέπει να προστεθεί το 0. Στην περίπτωσή μας, παίρνουμε 13 08.19 12.
2. Ας διαλέξουμε τα περισσότερα μεγάλος αριθμός, του οποίου το τετράγωνο θα είναι μικρότερο ή ίσο με την πρώτη ομάδα ψηφίων. Στην περίπτωσή μας, αυτό είναι 3. Ας το γράψουμε πάνω δεξιά. Το 3 είναι το πρώτο ψηφίο του αποτελέσματος. Κάτω δεξιά, υποδεικνύουμε 3 × 3 = 9. αυτό θα χρειαστεί για μεταγενέστερους υπολογισμούς. Αφαιρούμε το 9 από το 13 σε μια στήλη, παίρνουμε το υπόλοιπο 4.
3. Ας προσθέσουμε το επόμενο ζεύγος αριθμών στο υπόλοιπο 4. παίρνουμε 408.
4. Πολλαπλασιάστε τον αριθμό πάνω δεξιά με το 2 και γράψτε τον κάτω δεξιά, προσθέτοντας _ x _ = σε αυτόν. Παίρνουμε 6_ x _ =.
5. Αντί για παύλες, πρέπει να αντικαταστήσετε τον ίδιο αριθμό, μικρότερο ή ίσο με 408. Παίρνουμε 66 × 6 \u003d 396. Ας γράψουμε 6 επάνω δεξιά, αφού αυτό είναι το δεύτερο ψηφίο του αποτελέσματος. Αφαιρούμε το 396 από το 408, παίρνουμε 12.
6. Ας επαναλάβουμε τα βήματα 3-6. Δεδομένου ότι οι αριθμοί που μεταφέρονται βρίσκονται στο κλασματικό μέρος του αριθμού, είναι απαραίτητο να βάλετε μια υποδιαστολή πάνω δεξιά μετά το 6. Ας γράψουμε το διπλασιασμένο αποτέλεσμα με παύλες: 72_ x _ =. Ένας κατάλληλος αριθμός θα ήταν 1: 721 × 1 = 721. Ας τον γράψουμε ως απάντηση. Ας αφαιρέσουμε 1219 - 721 = 498.
7. Ας εκτελέσουμε την ακολουθία ενεργειών που δόθηκε στην προηγούμενη παράγραφο άλλες τρεις φορές για να λάβουμε τον απαιτούμενο αριθμό δεκαδικών ψηφίων. Εάν δεν υπάρχουν αρκετά σημάδια για περαιτέρω υπολογισμούς, πρέπει να προστεθούν δύο μηδενικά στον τρέχοντα αριθμό στα αριστερά.

Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε την απάντηση: √1308.1912 ≈ 36.1689. Εάν ελέγξετε τη δράση με μια αριθμομηχανή, μπορείτε να βεβαιωθείτε ότι όλοι οι χαρακτήρες καθορίστηκαν σωστά.

Υπολογισμός δυαδικών ψηφίων της τιμής της τετραγωνικής ρίζας

Η μέθοδος είναι εξαιρετικά ακριβής. Επιπλέον, είναι αρκετά κατανοητό και δεν απαιτεί απομνημόνευση τύπων ή πολύπλοκο αλγόριθμο ενεργειών, καθώς η ουσία της μεθόδου είναι να επιλέξετε το σωστό αποτέλεσμα.

Ας εξαγάγουμε τη ρίζα από τον αριθμό 781. Ας εξετάσουμε λεπτομερώς τη σειρά των ενεργειών.

1. Μάθετε ποιο ψηφίο της τιμής της τετραγωνικής ρίζας θα είναι το υψηλότερο. Για να το κάνουμε αυτό, ας τετραγωνίσουμε τα 0, 10, 100, 1000 κ.λπ. και ας μάθουμε ανάμεσα σε ποια από αυτά βρίσκεται ο ριζικός αριθμός. Παίρνουμε αυτό το 10²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. Ας πάρουμε την τιμή των δεκάδων. Για να το κάνουμε αυτό, θα αυξήσουμε εναλλάξ στη δύναμη των 10, 20, ..., 90, μέχρι να πάρουμε έναν αριθμό μεγαλύτερο από το 781. Στην περίπτωσή μας, παίρνουμε 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. Η τιμή του αποτελέσματος n θα είναι εντός 20< n <30.
3. Ομοίως με το προηγούμενο βήμα, επιλέγεται η τιμή του ψηφίου των μονάδων. Τετράγωνουμε εναλλάξ 21,22, ..., 29: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28. Παίρνουμε αυτό το 724< n < 28.
4. Κάθε επόμενο ψηφίο (δέκατα, εκατοστά, κ.λπ.) υπολογίζεται με τον ίδιο τρόπο όπως φαίνεται παραπάνω. Οι υπολογισμοί πραγματοποιούνται μέχρι να επιτευχθεί η απαιτούμενη ακρίβεια.

Γεγονός 1.
\(\bullet\) Πάρτε έναν μη αρνητικό αριθμό \(a\) (δηλ. \(a\geqslant 0\) ). Στη συνέχεια (αριθμητική) τετραγωνική ρίζααπό τον αριθμό \(a\) ονομάζεται ένας τέτοιος μη αρνητικός αριθμός \(b\), όταν τον τετραγωνίζουμε παίρνουμε τον αριθμό \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(ίδιο με )\quad a=b^2\]Από τον ορισμό προκύπτει ότι \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Αυτοί οι περιορισμοί είναι σημαντική προϋπόθεση για την ύπαρξη τετραγωνικής ρίζας και πρέπει να θυμόμαστε!
Θυμηθείτε ότι οποιοσδήποτε αριθμός όταν τετραγωνιστεί δίνει ένα μη αρνητικό αποτέλεσμα. Δηλαδή, \(100^2=10000\geqslant 0\) και \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Τι είναι το \(\sqrt(25)\) ; Γνωρίζουμε ότι \(5^2=25\) και \((-5)^2=25\) . Εφόσον εξ ορισμού πρέπει να βρούμε έναν μη αρνητικό αριθμό, το \(-5\) δεν είναι κατάλληλο, επομένως \(\sqrt(25)=5\) (αφού \(25=5^2\) ).
Η εύρεση της τιμής \(\sqrt a\) ονομάζεται λαμβάνοντας την τετραγωνική ρίζα του αριθμού \(a\) , και ο αριθμός \(a\) ονομάζεται έκφραση ρίζας.
\(\bullet\) Με βάση τον ορισμό, οι εκφράσεις \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) , κ.λπ. δεν έχει νόημα.

Γεγονός 2.
Για γρήγορους υπολογισμούς, θα είναι χρήσιμο να μάθετε τον πίνακα τετραγώνων φυσικών αριθμών από \(1\) έως \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(πίνακας)\]

Γεγονός 3.
Τι μπορεί να γίνει με τις τετραγωνικές ρίζες;
\(\σφαίρα\) Το άθροισμα ή η διαφορά των τετραγωνικών ριζών ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΙΣΟ ΜΕ την τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος ή της διαφοράς, δηλ. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]Έτσι, εάν πρέπει να υπολογίσετε, για παράδειγμα, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , τότε αρχικά πρέπει να βρείτε τις τιμές \(\sqrt(25)\) και \(\sqrt (49)\ ) και στη συνέχεια αθροίστε τα. Ως εκ τούτου, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Εάν οι τιμές \(\sqrt a\) ή \(\sqrt b\) δεν μπορούν να βρεθούν κατά την προσθήκη του \(\sqrt a+\sqrt b\), τότε μια τέτοια έκφραση δεν μετατρέπεται περαιτέρω και παραμένει ως έχει. Για παράδειγμα, στο άθροισμα \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) μπορούμε να βρούμε \(\sqrt(49)\) - αυτό είναι \(7\) , αλλά το \(\sqrt 2\) δεν μπορεί να είναι μετατράπηκε με οποιονδήποτε τρόπο, Γι' αυτό \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Επιπλέον, αυτή η έκφραση, δυστυχώς, δεν μπορεί να απλοποιηθεί με κανέναν τρόπο.\(\bullet\) Το γινόμενο/πηλίκο των τετραγωνικών ριζών είναι ίσο με την τετραγωνική ρίζα του γινομένου/πηλίκου, δηλ. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (υπό τον όρο ότι και τα δύο μέρη των ισοτήτων έχουν νόημα)
Παράδειγμα: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Χρησιμοποιώντας αυτές τις ιδιότητες, είναι βολικό να βρίσκουμε τις τετραγωνικές ρίζες μεγάλων αριθμών παραγοντοποιώντας τους.
Εξετάστε ένα παράδειγμα. Βρείτε \(\sqrt(44100)\) . Αφού \(44100:100=441\) , τότε \(44100=100\cdot 441\) . Σύμφωνα με το κριτήριο της διαιρετότητας, ο αριθμός \(441\) διαιρείται με το \(9\) (καθώς το άθροισμα των ψηφίων του είναι 9 και διαιρείται με το 9), επομένως, \(441:9=49\) , δηλαδή \(441=9\ cdot 49\) .
Έτσι, πήραμε: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]Ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Ας δείξουμε πώς να εισάγετε αριθμούς κάτω από το σύμβολο της τετραγωνικής ρίζας χρησιμοποιώντας το παράδειγμα της έκφρασης \(5\sqrt2\) (σύντομη για την έκφραση \(5\cdot \sqrt2\) ). Αφού \(5=\sqrt(25)\) , τότε \ Σημειώστε επίσης ότι, για παράδειγμα,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Γιατί αυτό? Ας εξηγήσουμε με το παράδειγμα 1). Όπως ήδη καταλάβατε, δεν μπορούμε με κάποιο τρόπο να μετατρέψουμε τον αριθμό \(\sqrt2\) . Φανταστείτε ότι το \(\sqrt2\) είναι κάποιος αριθμός \(a\) . Συνεπώς, η έκφραση \(\sqrt2+3\sqrt2\) δεν είναι παρά \(a+3a\) (ένας αριθμός \(a\) συν τρεις ακόμη από τους ίδιους αριθμούς \(a\) ). Και ξέρουμε ότι αυτό ισούται με τέσσερις τέτοιους αριθμούς \(a\) , δηλαδή \(4\sqrt2\) .

Γεγονός 4.
\(\bullet\) Λέγεται συχνά "δεν μπορεί να εξαχθεί η ρίζα" όταν δεν είναι δυνατό να απαλλαγούμε από το σύμβολο \(\sqrt () \ \) της ρίζας (ριζική) όταν βρίσκουμε την τιμή κάποιου αριθμού. Για παράδειγμα, μπορείτε να ριζώσετε τον αριθμό \(16\) επειδή \(16=4^2\) , οπότε \(\sqrt(16)=4\) . Αλλά να εξαγάγετε τη ρίζα από τον αριθμό \(3\) , δηλαδή να βρείτε το \(\sqrt3\) , είναι αδύνατο, γιατί δεν υπάρχει τέτοιος αριθμός που στο τετράγωνο να δίνει \(3\) .
Τέτοιοι αριθμοί (ή εκφράσεις με τέτοιους αριθμούς) είναι παράλογοι. Για παράδειγμα, αριθμοί \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\)και ούτω καθεξής. είναι παράλογες.
Επίσης παράλογοι είναι οι αριθμοί \(\pi\) (ο αριθμός "pi", περίπου ίσος με \(3,14\) ), \(e\) (ο αριθμός αυτός ονομάζεται αριθμός Euler, περίπου ίσος με \(2 ,7\) ) κ.λπ.
\(\bullet\) Λάβετε υπόψη ότι οποιοσδήποτε αριθμός θα είναι είτε λογικός είτε παράλογος. Και όλοι μαζί όλοι οι ορθολογικοί και όλοι οι παράλογοι αριθμοί σχηματίζουν ένα σύνολο που ονομάζεται σύνολο πραγματικών (πραγματικών) αριθμών.Αυτό το σύνολο συμβολίζεται με το γράμμα \(\mathbb(R)\) .
Αυτό σημαίνει ότι όλοι οι αριθμοί που γνωρίζουμε αυτή τη στιγμή ονομάζονται πραγματικοί αριθμοί.

Γεγονός 5.
\(\bullet\) Το μέτρο ενός πραγματικού αριθμού \(a\) είναι ένας μη αρνητικός αριθμός \(|a|\) ίσος με την απόσταση από το σημείο \(a\) έως \(0\) στον πραγματικό γραμμή. Για παράδειγμα, τα \(|3|\) και \(|-3|\) είναι ίσα με 3, καθώς οι αποστάσεις από τα σημεία \(3\) και \(-3\) έως \(0\) είναι οι ίδιο και ίσο με \(3 \) .
\(\bullet\) Εάν ο \(a\) είναι ένας μη αρνητικός αριθμός, τότε \(|a|=a\) .
Παράδειγμα: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Εάν ο \(a\) είναι αρνητικός αριθμός, τότε \(|a|=-a\) .
Παράδειγμα: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Λένε ότι για τους αρνητικούς αριθμούς, η ενότητα "τρώει" τους μείον, και τους θετικούς αριθμούς, καθώς και τον αριθμό \(0\) , η ενότητα αφήνει αμετάβλητη.
ΑΛΛΑαυτός ο κανόνας ισχύει μόνο για αριθμούς. Εάν έχετε ένα άγνωστο \(x\) (ή κάποιο άλλο άγνωστο) κάτω από το σύμβολο της ενότητας, για παράδειγμα, \(|x|\) , για το οποίο δεν γνωρίζουμε αν είναι θετικό, ίσο με μηδέν ή αρνητικό, τότε να απαλλαγούμε από τη μονάδα δεν μπορούμε. Σε αυτήν την περίπτωση, αυτή η έκφραση παραμένει ως εξής: \(|x|\) . \(\bullet\) Ισχύουν οι ακόλουθοι τύποι: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( παρέχεται ) a\geqslant 0\]Συχνά γίνεται το ακόλουθο λάθος: λένε ότι τα \(\sqrt(a^2)\) και \((\sqrt a)^2\) είναι το ίδιο πράγμα. Αυτό ισχύει μόνο όταν το \(a\) είναι θετικός αριθμός ή μηδέν. Αλλά αν το \(a\) είναι αρνητικός αριθμός, τότε αυτό δεν είναι αλήθεια. Αρκεί να εξετάσουμε ένα τέτοιο παράδειγμα. Ας πάρουμε τον αριθμό \(-1\) αντί για \(a\). Τότε \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , αλλά η έκφραση \((\sqrt (-1))^2\) δεν υπάρχει καθόλου (γιατί είναι αδύνατο κάτω από το σύμβολο της ρίζας βάλτε αρνητικούς αριθμούς!).
Επομένως, εφιστούμε την προσοχή σας στο γεγονός ότι το \(\sqrt(a^2)\) δεν ισούται με \((\sqrt a)^2\) !Παράδειγμα: 1) \(\sqrt(\αριστερά(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), επειδή \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Αφού \(\sqrt(a^2)=|a|\) , τότε \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (η έκφραση \(2n\) υποδηλώνει ζυγό αριθμό)
Δηλαδή κατά την εξαγωγή της ρίζας από έναν αριθμό που είναι σε κάποιο βαθμό, αυτός ο βαθμός μειώνεται στο μισό.
Παράδειγμα:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (σημειώστε ότι εάν η μονάδα δεν έχει οριστεί, τότε αποδεικνύεται ότι η ρίζα του αριθμού είναι ίση με \(-25 \) ; αλλά θυμόμαστε , το οποίο, εξ ορισμού της ρίζας, αυτό δεν μπορεί να είναι: κατά την εξαγωγή της ρίζας, πρέπει πάντα να παίρνουμε έναν θετικό αριθμό ή μηδέν)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (καθώς οποιοσδήποτε αριθμός σε άρτια δύναμη είναι μη αρνητικός)

Γεγονός 6.
Πώς να συγκρίνετε δύο τετραγωνικές ρίζες;
\(\bullet\) Σωστό για τις τετραγωνικές ρίζες: αν \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aΠαράδειγμα:
1) συγκρίνετε τα \(\sqrt(50)\) και \(6\sqrt2\) . Αρχικά, μετατρέπουμε τη δεύτερη έκφραση σε \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Έτσι, αφού \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Ανάμεσα σε ποιους ακέραιους είναι ο \(\sqrt(50)\) ;
Αφού \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) και \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Συγκρίνετε τα \(\sqrt 2-1\) και \(0,5\) . Ας υποθέσουμε ότι \(\sqrt2-1>0,5\) : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((προσθήκη ενός και στις δύο πλευρές))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((τετράγωνο και τα δύο μέρη))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(στοίχιση)\]Βλέπουμε ότι έχουμε λάβει μια λανθασμένη ανισότητα. Επομένως, η υπόθεσή μας ήταν λανθασμένη και \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Σημειώστε ότι η προσθήκη ενός συγκεκριμένου αριθμού και στις δύο πλευρές της ανισότητας δεν επηρεάζει το πρόσημο της. Ο πολλαπλασιασμός/διαίρεση και των δύο μερών της ανίσωσης με έναν θετικό αριθμό επίσης δεν επηρεάζει το πρόσημο της, αλλά ο πολλαπλασιασμός/διαίρεση με έναν αρνητικό αριθμό αντιστρέφει το πρόσημο της ανίσωσης!
Και οι δύο πλευρές μιας εξίσωσης/ανίσωσης μπορούν να τετραγωνιστούν ΜΟΝΟ ΑΝ και οι δύο πλευρές είναι μη αρνητικές. Για παράδειγμα, στην ανισότητα από το προηγούμενο παράδειγμα, μπορείτε να τετραγωνίσετε και τις δύο πλευρές, στην ανισότητα \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Σημειώστε ότι \[\αρχή(ευθυγραμμισμένη) &\sqrt 2\περίπου 1,4\\ &\sqrt 3\περίπου 1,7 \end(στοίχιση)\]Γνωρίζοντας την κατά προσέγγιση σημασία αυτών των αριθμών θα σας βοηθήσει όταν συγκρίνετε αριθμούς! \(\bullet\) Για να εξαγάγετε τη ρίζα (αν έχει εξαχθεί) από κάποιο μεγάλο αριθμό που δεν βρίσκεται στον πίνακα των τετραγώνων, πρέπει πρώτα να προσδιορίσετε μεταξύ ποιων "εκατοντάδων" είναι και μετά μεταξύ ποιων "δεκάδων", και στη συνέχεια προσδιορίστε το τελευταίο ψηφίο αυτού του αριθμού. Ας δείξουμε πώς λειτουργεί με ένα παράδειγμα.
Πάρτε \(\sqrt(28224)\) . Γνωρίζουμε ότι \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) και ούτω καθεξής. Σημειώστε ότι το \(28224\) είναι μεταξύ \(10\.000\) και \(40\.000\) . Επομένως, το \(\sqrt(28224)\) είναι μεταξύ \(100\) και \(200\) .
Τώρα ας προσδιορίσουμε ανάμεσα σε ποιες «δεκάδες» βρίσκεται ο αριθμός μας (δηλαδή, για παράδειγμα, μεταξύ \(120\) και \(130\) ). Γνωρίζουμε επίσης από τον πίνακα των τετραγώνων ότι \(11^2=121\) , \(12^2=144\) κ.λπ., τότε \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . Βλέπουμε λοιπόν ότι το \(28224\) είναι μεταξύ \(160^2\) και \(170^2\) . Επομένως, ο αριθμός \(\sqrt(28224)\) είναι μεταξύ \(160\) και \(170\) .
Ας προσπαθήσουμε να προσδιορίσουμε το τελευταίο ψηφίο. Ας θυμηθούμε τι δίνουν οι μονοψήφιοι αριθμοί κατά τον τετραγωνισμό στο τέλος \ (4 \) ; Αυτά είναι τα \(2^2\) και \(8^2\) . Επομένως, το \(\sqrt(28224)\) θα τελειώνει είτε σε 2 είτε σε 8. Ας το ελέγξουμε αυτό. Βρείτε τα \(162^2\) και \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Επομένως \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Για να λυθεί επαρκώς η εξέταση στα μαθηματικά, πρώτα απ 'όλα, είναι απαραίτητο να μελετηθεί το θεωρητικό υλικό, το οποίο εισάγει πολλά θεωρήματα, τύπους, αλγόριθμους κ.λπ. Με την πρώτη ματιά, μπορεί να φαίνεται ότι αυτό είναι αρκετά απλό. Ωστόσο, η εύρεση μιας πηγής στην οποία η θεωρία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά παρουσιάζεται εύκολα και κατανοητά για μαθητές με οποιοδήποτε επίπεδο κατάρτισης είναι, στην πραγματικότητα, ένα αρκετά δύσκολο έργο. Τα σχολικά εγχειρίδια δεν μπορούν να είναι πάντα διαθέσιμα. Και η εύρεση των βασικών τύπων για τις εξετάσεις στα μαθηματικά μπορεί να είναι δύσκολη ακόμη και στο Διαδίκτυο.

Γιατί είναι τόσο σημαντικό να σπουδάζουν θεωρία στα μαθηματικά, όχι μόνο για όσους δίνουν εξετάσεις;

1. Γιατί διευρύνει τους ορίζοντές σου. Η μελέτη του θεωρητικού υλικού στα μαθηματικά είναι χρήσιμη για όποιον θέλει να πάρει απαντήσεις σε ένα ευρύ φάσμα ερωτήσεων που σχετίζονται με τη γνώση του κόσμου. Όλα στη φύση είναι διατεταγμένα και έχουν ξεκάθαρη λογική. Αυτό ακριβώς αντικατοπτρίζεται στην επιστήμη, μέσω της οποίας είναι δυνατή η κατανόηση του κόσμου.
2. Γιατί αναπτύσσει τη διάνοια. Μελετώντας τα υλικά αναφοράς για τις εξετάσεις στα μαθηματικά, καθώς και την επίλυση διαφόρων προβλημάτων, ένα άτομο μαθαίνει να σκέφτεται και να συλλογίζεται λογικά, να διατυπώνει τις σκέψεις σωστά και καθαρά. Αναπτύσσει την ικανότητα ανάλυσης, γενίκευσης, εξαγωγής συμπερασμάτων.

Σας προσκαλούμε να αξιολογήσετε προσωπικά όλα τα πλεονεκτήματα της προσέγγισής μας στη συστηματοποίηση και παρουσίαση εκπαιδευτικού υλικού.